Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet

Transkript

1 SI-systemet Lengder Masse Volum Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet Den grunnleggjande SI-eininga for môling av lengder er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggjande SI-eininga for masse er kilogram. Symbolet for kilogram er kg. Volum gir oss eit môl pô kor mykje noko rommar. SI-eininga for volum er kubikkmeter,m 3. Vi môler ogsô volum i liter, l. liter er det volumet som fôr plass i ein kube med dm lange sider. liter er derfor det same som dm 3. MÔltal MÔleining Det talet vi nn ved ei môling Nemninga til eit môltal MÔleusikkerheit Manglande presisjon i môlingar kallar vi môleusikkerheit. Kor nöyaktige môlingane blir, kjem an pô kor nöyaktig vi môler, og kor gode môleinstrumentavôre er. NÔr vi tel, fôr vi ei nöyaktig mengd. Gjeldande si er Vi har spesielle reglar for kor mange si er som skal gjelde i eit môltal. Sifra, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 er alltid gjeldande.. For eksempel er det re gjeldande si er i 235,9. Tal med 0. Dersom 0 er omgitt av andre si er, er 0 eit gjeldande si er. Det er re gjeldande si er i 2,006.. I eit desimaltal som byrjar med null, reknar vi ikkje dei innleiande nullane som gjeldande si er. Det er eitt gjeldande si er i 0,5, mens det er to gjeldande si er i 0,89.. I talet 0,0600 er begge dei to siste nullane gjeldande. Vi har seks gjeldande si er.. I talet kan det vere to, tre, re eller fem gjeldande si er. For Ô presisere kor mange gjeldande si er talet har, kan vi skrive talet pô standardform:,6 0 4 har to gjeldande siffer, har tre gjeldande siffer 78

2 StrÔle Ei linje med eitt endepunkt. Linje Ei linje utan endepunkt. Linjestykke Ei linje som er avgrensa av to endepunkt. Punkt Vinkel VinkelmÔlar Eit punkt har ikkje utstrekning og blir gjerne markert med ein prikk eller eit kryss. To strôlar lagar ein vinkel. Dei to strôlane kallar vi högre vinkelbein og venstre vinkelbein. Det felles endepunktet kallar vi toppunktet.vi bruker stor bokstav som namn pô topppunktet og liten bokstav som namn pô vinkelen.vinkelen môler vi i grader. Symbolet for vinkel er, og symbolet for grader er. Brukt til Ô môle vinklar. Spiss vinkel Ein vinkel som er mindre enn 90, kallar vi ein spiss vinkel. Rett vinkel Ein vinkel som er 90, kallar vi ein rett vinkel. Vi merkjer vinkelen med ein liten rkant ved toppunktet. Stump vinkel Ein vinkel som er större enn 90, kallar vi ein stump vinkel. Likevinkel Ein vinkel som er 80, kallar vi ein likevinkel. 79

3 teikne lage ein geometrisk gur ved hjelp av linjal, vinkelmôlar og vinkelhake. konstruere lage ein geometrisk gur ved hjelp av passar og linjal. Berre bokstavane som er namn pô toppunkta, skal stô pô konstruksjonen. Alle konstruksjonar skal gjerast med blyant. Hjelpe gur Ei skisse av det som skal konstruerast. PÔ hjelpe guren skriv vi den informasjonen som er gitt i oppgôva. Normal NÔr to linjer skjer kvarandre slik at vinkelen mellom dei er 90, kan vi seie at linjene stôr vinkelrett eller normalt pô kvarandre. Ein normal er det same som ein rett vinkel. Midtnormal NÔr normalen deler linjestykket AB midt mellom A og B, kallar vi han midtnormalen til linjestykket. Reise ein normal Nedfelle ein normal Halvere ein vinkel HalveringsstrÔle Samansett vinkel Kopiere ein vinkel konstruere normalen til ei linje i eit punkt pô linja. konstruere ein normal frô eit punkt og ned pô ei linje. dele ein vinkel i to like store vinklar. Den linja som deler ein vinkel i to like vinklar, kallar vi halveringsstrôle. NÔr vi kombinerer konstruksjon av 60, 90, dobling og halvering av vinklar, kan vi konstruere samansette vinklar. Skal vi lage ein vinkel som er like stor som ein vi har frô för, kan vi kopiere den opphavlege vinkelen. Parallelle linjer To rette linjer som aldri skjer kvarandre, kallar vi parallelle linjer. To parallelle linjer har felles normalar, og avstanden mellom dei to parallelle linjene er lengda av normalane mellom dei. Polygon Ein polygon er ein plan gur som har tre eller eire sider. Polygon er det greske ordet for mangekant. Punkta A, B, C, D osv. er hjörna i polygonen, og sidene kallar vi AB, BC, CD osv. Polygonen har namn etter talet pô sider eller hjörne. Dersom alle vinklane er like store og alle sidene er like lange, har vi ein regul r polygon eller ein regul r mangekant. 80

4 Trekant Likesida trekant Ein mangekant eller polygon med tre sider, tre hjörne og tre vinklar:. HjÖrna i trekanten merkjer vi av mot klokkeretninga.. Trekanten fôr namn etter toppunkta i vinklane. Ein trekant som er laga av punkta A, B og C, kan vi skrive 4ABC.. Vinkelsummen i ein trekant er 80.. For Ô konstruere ein trekant treng vi tre uavhengige opplysningar om trekanten.. HÖgda i ein trekant er lengda av normalen frô eit hjörne til den motstôande sida. Ettersom ein trekant har tre hjörne og tre sider, har han oftast tre ulike högder.. Areal trekant = g h 2. I ein trekant ABC der AB er diameteren i ein sirkel, og C ligg pô sirkelen, er C alltid 90.. I ein trekant der vinklane er 30,60 og 90, er hypotenusen dobbelt sô lang som den minste kateten.. I ein likesida trekant er alle sidene like lange, og alle vinklane er 60.. Alle dei tre högdene er like store.. Kvar högd halverer ei side og ein vinkel.. HÖgdene deler trekanten i to rettvinkla trekantar med vinklane 30,60 og 90 : Likebeint trekant. I ein likebeint trekant er to av sidene like lange, og vinklane til dei to motstôande sidene er like store.. NÔr vi nedfeller normalen frô toppunktet i den tredje vinkelen, blir den likebeinte trekanten delt i to jamstore, rettvinkla trekantar.. Normalen deler den tredje vinkelen i to like vinklar: 8

5 Rettvinkla trekant. I ein rettvinkla trekant er ein av vinklane 90.. Den lengste sida kallar vi hypotenus. Hypotenusen er den motstôande sida til vinkelen pô 90.. Dei to sidene som blir forma av vinkelbeina til 90 -vinkelen, kallar vi katetar.. Arealet av ein rettvinkla trekant kan vi ogsô rekne ut med formelen A = katet katet 2 Pytagorassetninga I ein rettvinkla trekant er arealet av kvadratet pô hypotenusen c lik summen av areala av kvadrata pô katetane a og b: c 2 = a 2 + b 2 Toppvinklar Vinklar med felles toppunkt kallar vi toppvinklar. Vinkelbeina til den eine vinkelen er ei direkte forlenging av beina til den andre vinkelen. Toppvinklar er alltid like store. u og v er toppvinklar, x og y er toppvinklar. Nabovinklar To vinklar som ligg attmed kvarandre, er nabovinklar. Dei har eit felles toppunkt, eit felles vinkelbein og er til saman 80. a og b er nabovinklar. 82

6 Samsvarande vinklar NÔr to linjer blir overskorne av ei tredje linje, fôr vi samsvarande vinklar. Dei samsvarande vinklane har anten högre eller venstre vinkelbein felles. Dei har ikkje same toppunktet. a og b har högre vinkelbein felles. Dei er samsvarande vinklar. Like store NÔr to parallelle linjer blir overskorne av ei tredje samsvarande linje, fôr vi like store samsvarande vinklar. vinklar m er parallell med n, m k n. a og a 0 og b og b 0 er samsvarande vinklar og jamstore fordi m og n er parallelle. Formlike gurar Figurar som har same forma, men ulik storleik, kallar vi formlike gurar. Symbolet for formlikskap er. PÔ formlike gurar er alle vinklane parvis like store, og linjestykka mellom dei parvis like store vinklane har same forholdet til kvarandre. Formlike 4ABC 4DEF nôr A = D, B = E trekantar og C = F. I formlike trekantar har linjestykka mellom dei parvis like store vinklane same forholdet til kvarandre: AB DE = BC EF = CA FD Kongruente Kongruente gurar er bôde formlike og jamstore. gurar MÔlestokken mellom kongruente gurar er altsô :. Diagonal Firkant Ei rett linje som gôr frô det eine hjörnet til det motstôande hjörnet i ein rkant, kallar vi diagonal. Ein mangekant eller polygon med re sider kallar vi ein rkant. Det nst mange ulike rkantar, men felles for dei er at dei har re sider og re hjörne.. Vi merkjer rkanten pô same môten som trekanten. HjÖrna fôr namn i alfabetisk rekkjefölgje mot klokkeretninga.. Diagonalen deler rkanten i to trekantar.. Firkantar kan som regel konstruerast som to trekantar. 83

7 . Vinkelsummen i ein rkant er 2 80 = For Ô konstruere ein rkant treng vi fem uavhengige opplysningar.. Toppunktet pô den vinkelen vi namngir, skal alltid stô i midten nôr vi namngir vinkelen med tre bokstavar: A = DAB = BAD. Kvadrat. Firkant der alle sidene er like lange og parallelle.. Alle vinklane er 90.. Diagonalane i eit kvadrat er like lange og stôr vinkelrett pô kvarandre.. Diagonalane halverer kvarandre og deler vinklane i to vinklar pô 45.. Diagonalane deler ogsô kvadratet i re kongruente og likebeinte trekantar.. A = s s Rombe. Firkant der alle sidene er like lange, og motstôande sider er parallelle.. Diagonalane halverer kvarandre og stôr vinkelrett pô kvarandre.. Diagonalane halverer vinklane og deler romben i re kongruente trekantar.. MotstÔande vinklar er like store, og högda stôr alltid vinkelrett pô grunnlinja.. A = g h eller A = diagonal diagonal 2 2 Rektangel. Firkant der to motstôande sider er like lange og parallelle.. Diagonalane halverer kvarandre og deler rektanglet i re likebeinte trekantar, der motstôande trekantar er kongruente.. Alle vinklane er 90.. A = l b eller A = l h 84

8 Parallellogram. Firkant der to motstôande sider er like lange og parallelle.. Diagonalane halverer kvarandre og deler parallellogrammet i re trekantar, der motstôande trekantar er kongruente.. MotstÔande vinklar er like store.. HÖgda stôr alltid vinkelrett pô grunnlinja.. A = g h Trapes. Firkant der to av sidene er parallelle, mens dei to andre sidene ikkje er parallelle.. HÖgda i eit trapes stôr vinkelrett pô dei parallelle sidene.. Dersom dei to ikkje-parallelle sidene er like, er trapeset likebeint.. A =ða + bþ h 2 Sirkel. Ein sirkel deler vi inn i I ein sirkel med sentrum S ligg alle punkta i ein gitt avstand frô S.. Avstanden frô periferien til sentrum kallar vi radius.. Ei rett linje dregen frô periferien, gjennom sentrum og ut til periferien att, kallar vi diameter.. A = r 2. O =2r (pi) er ein gresk bokstav. Talet er forholdet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel.talet er eit irrasjonalt tal og kan ikkje skrivast som ein eksakt brök. = 3, NÔr vi reknar med desimalar, er det vanleg Ô setje & 3,4, men bröken 22 7 er o' g ei god tiln rming. 85

9 Sirkelsektor Ein sirkelsektor er ein del av sirkelen med toppunkt i sentrum av sirkelen. Ein sektorvinkel har to radiar som vinkelbein. Den delen av omkrinsen som höyrer til sektoren, kallar vi sirkelboge. A sirkelsektor = r 2 n 360 der n er gradtalet pô sektorvinkelen. Lengda av ein sirkelboge nn vi med denne formelen: b =2r n 360 der n er gradtalet pô sektorvinkelen. Tangent Korde Sekant Rom gur/ romlekam Ein tangent er ei rett linje som sneiar sirkelen i eitt punkt. Dette punktet kallar vi tangeringspunktet. Tangenten stôr vinkelrett pô radien i tangeringspunktet. Eit linjestykke som har endepunkta pô sirkelen. Midtnormalen til ein korde gôr gjennom sentrum i sirkelen. Midtnormalane til to ikkjeparallelle kordar har skjeringspunktet i sentrum av sirkelen. Ein sekant er ei rett linje som skjer sirkelen i to punkt. Tredimensjonale gurar, for eksempel eit rett prisme, ein sylinder og ei kule. Over ata av ein rom gur môler vi mellom anna i kvadratcentimeter ðcm 2 Þ, kvadratdesimeter ðdm 2 Þ og kvadratmeter ðm 2 Þ. Volumet av ein rom gur môler vi mellom anna i kubikkmillimeter ðmm 3 Þ, kubikkcentimeter ðcm 3 Þ, kubikkdesimeter ðdm 3 Þ og kubikkmeter ðm 3 Þ.Volumet av ein rom gur kan ogsô môlast i liter, dl, cl og ml. 86

10 Polyeder Platonsk lekam Ein rom gur som har polygonar til side ater. Dersom ein rom gur er bygd opp av kongruente polygonar, kallar vi guren ein platonsk lekam. Rett prisme. Eit rett prisme har ein mangekant til grunn ate og side ater som stôr vinkelrett pô grunn ata.. Grunn ata i eit rett prisme kan vere trekanta, rkanta, femkanta osv. Er alle sidene i eit rett prisme kvadratiske, kallar vi prismet ein terning eller ein kube.. Over ata av eit rett prisme nn vi ved Ô rekne ut arealet av kvar av sidene i prismet og sô addere areala.. Volumet av eit rett prisme er arealet av grunn ata multiplisert med högda: V = G h der G stôr for arealet av grunn ata. Pyramide. Ein pyramide har ei grunn ate og eire trekantar som mötest i eit punkt pô toppen.. Grunn ata kan vere alle slags mangekantar. Dersom alle sidene er likesida trekantar, er pyramiden ein platonsk lekam, eit tetraeder.. Brettar vi ut ein pyramide med kvadratisk grunn ate, fôr vi ein gur som er samansett av eit kvadrat og re likebeinte trekantar.. Volumet av alle pyramidar: V = G h 3 G er arealet av grunn ata, og h er högda i pyramiden.. HÖgda i ein pyramide môler vi frô toppen av pyramiden, i toppunktet for trekantane, og vinkelrett ned pô grunn ata. HÖgda i ein pyramide med kvadratisk grunn ate stôr vinkelrett pô grunn ata der diagonalane skjer kvarandre. 87

11 Sylinder. Ein sylinder er ein rom gur med ei sirkul r eller elliptisk grunn ate og med side ater som stôr vinkelrett pô grunn ata.. Over ata av ein sirkul r sylinder nn vi med formelen A sylinder =2r 2 +2rh =2r ðr + hþ der h er högda i sylinderen.. Volumet av ein sylinder reknar vi ut med formelen V = G h der G er arealet av grunn ata i sylinderen. Kjegle. Ei kjegle omfattar ei grunn ate og side ater som mötest i ein spiss.. Grunn ata kan vere ein sirkel eller ein ellipse.. Volumet av ei sirkelforma kjegle er 3 av volumet av ein sylinder med same grunn ata og högda: V = G h 3 V = r2 h 3 der h er högda frô toppunktet vinkelrett pô grunn ata. Kule. Ei kule er ein perfekt symmetrisk gur. Kula har ingen kantar og er derfor ikkje eit polyeder.. Alle punkta pô over ata har same avstanden (radien) frô sentrum.. Over ata av ei kule kan vi rekne ut med formelen A =4r 2. Volumet av ei kule kan vi rekne ut med formelen V = 4r3 3 88

12 Tabellar MÔltal med môleining Namn Kor mange meter mil mil m km kilometer 000 m m meter m dm desimeter 0 m = 0, m cm centimeter 00 m = 0,0 m mm millimeter 000 m = 0,00 m MÔltal med môleining Namn Kor mange gram Kor mange kilogram tonn tonn g 000 kg kg kilogram 000g kg hg hektogram 00 g 0 kg = 0, kg gram gram g 000 kg = 0,00 kg mg milligram 000 g = 0,00 g kg = 0, kg mg mikrogram g = 0, g kg = 0, kg MÔltal med môleining Namn Kor mange kubikkmeter m 3 kubikkmeter m m m =m 3 dm 3 kubikkdesimeter 0, m 0, m 0, m = 0,00 m 3 = 000 m3 cm 3 kubikkcentimeter 0,0 m 0,0 m 0,0m = 0, m 3 = m3 89

13 MÔltal med môleining Namn Kor mange liter l liter liter dl desiliter 0 liter = 0, liter cl centiliter 00 liter = 0,0 liter ml milliliter 000 liter = 0,00 liter 90