MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

Transkript

1 MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål

2 Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag for skoleåret 2011/2012. Filene må behandles i henhold til åndsverksloven, og må ikke kopieres og/eller distribueres til personer som ikke er omfattet av avtalen. Alle filer skal være slettet innen 1. juli 2012 dersom ikke annen avtale er gjort med Aschehoug.

3 3 Geometri AKTIVITET: Maksimalt areal Omkretsen av rektanglet på figuren finner vi ved å legge sammen alle sidene: ( ) = O = cm 20cm Arealet av rektanglet finner vi ved å multiplisere lengden med bredden: A= l b= 7 cm 3cm = 21cm 2 Tegn noen rektangler som alle har en omkrets på 20 cm. Hva er arealet av disse rektanglene? Finn det rektanglet som har størst areal. Hvor store er sidene i dette rektanglet? Hva er arealet? l 7 cm b 3 cm

4 Geometri I 3.1 skal du lære å regne med ulike enheter for lengde og areal, og å gjøre om mellom enheter. måltall 60 cm 3.1 LENGDE OG AREAL enhet Et vanlig kjøkkenskap er 60 cm bredt. Fra Lillehammer til Hamar er det ca. 60 km. Den nærmeste stjerna ligger 4,3 lysår borte. Vi bruker mange slags enheter for lengde. For å kunne sammenlikne lengder er det viktig å kunne regne om fra én lengdeenhet til en annen. Når vi skal finne arealet eller flateinnholdet av en flate, kan vi bruke cm 2,dm 2,m 2 osv. som enhet. Vi bør passe på å bruke den enheten som sier oss mest. Sier du at rommet ditt er på cm 2, er det få som uten videre kan forestille seg hvor stort rommet er. Både for lengde og areal fins det gamle enheter som fortsatt er i bruk. Eksempler på slike enheter er fot, som ofte brukes for å fortelle hvor lang en båt er, mål, som er en vanlig arealenhet for huseller hyttetomter, og tomme, som er en lengdeenhet som blant annet brukes til å oppgi størrelsen på TV-skjermer. Omgjøring mellom lengdeenheter Vi bruker ofte meter som enhet for lengde. En meter kan vi dele inn i 10 desimeter, og hver desimeter kan deles inn i 10 centimeter. En centimeter kan vi dele inn i 10 millimeter. cm cm For større avstander bruker vi kilometer (km) og mil. 1m= 10 dm 1 dm = 0,1 m 1dm= 10 cm 1 cm = 0,1 dm 1cm= 10 mm 1 mm = 0,1 cm 1m= 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1mm= 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m 1km= 1000 m 1 m = 0,001 km 1 mil = 10 km 1 km = 0,1 mil

5 110 Geometri 3.1 Eksempel 1 Vi gjør om mellom lengdeenheter Hvor mange dm er 2,4 m? 2,4 m = 2,4 1m = 2,4 10 dm = 24dm Hvor mange m er 4 dm? Hvor mange km er 6500 m? Hvor mange m er 350 mm? 1 m= 10 dm 4dm = 4 1 dm = 4 0,1 m = 0,4 m 1dm= 01, m 6500 m = m = ,001 km = 6,5 km 1 m= 0,001 km 350 mm = mm = 350 0,001 m = 0,35 m 1 mm= 0,001 m Eller: 350 mm = 350 0,1 cm = 35 cm = 35 0,1 dm = 3,5 dm = 3,5 0,1 m = 0,35 m 1mm= 0, 1cm 1cm= 01, dm 1dm= 0, 1m Oppgave 3.1 a Bredden på et A4-ark er 210 mm. Hva er bredden i centimeter? b Anne løp en tur på 9800 m. Hvor mange kilometer løp hun? c Fra Lillehammer til Hamar er det 60 km. Hvor mange mil er det? d En bokhylle er 6 dm bred. Hva er bredden i meter? Oppgave 3.2 Gjør om. a 7,2 mil til km b 4,5 km til m c 40 cm til m d 5 mm til m Oppgave 3.3 Gjør om. a 1,4 mil til m b 3 dm til mm c 0,003 m til mm d 25,4 cm til dm Oppgave 3.4 a Gjør om til centimeter og legg sammen. 5dm+ 50 mm + 8mm b Gjør om til meter og legg sammen. 12 cm + 4dm+ 250 mm c Gjør om til centimeter og legg sammen. 0,5 m + 2dm+ 40 mm

6 Geometri Eksempel 2 Lengdeenheten tomme Størrelsen på en TV- eller dataskjerm er bestemt av lengden av diagonalen i tommer. Symbolet for tommer er. På en 32-tommers TV er altså lengden av diagonalen 32. Én tomme er det samme som 2,54 cm. Lengden av diagonalen er derfor 32 = 32 2,54 cm = 81,28 cm 1 = 2,54 cm. På en 32 TV er altså diagonalen ca. 81 cm. Oppgave 3.5 Diameteren på sykkelhjul blir ofte målt i tommer. På en terrengsykkel har hjulet en diameter på 26 tommer, mens hjulet på en vanlig sykkel har en diameter på 28 tommer. Regn ut begge diametrene i centimeter. Oppgave 3.6 Lengden av båter blir ofte oppgitt i fot. 1 fot = 12 tommer, og 1 tomme = 2,54 cm. Andreas skal kjøpe ny båt og finner en annonse for en båt på 30 fot. Regn ut lengden av båten i meter. Oppgave 3.7 På sjøen blir avstander målt i nautiske mil. Én nautisk mil er 1852 meter. a Hvor mange meter er 4 nautiske mil? b c Hvor mange kilometer er 12 nautiske mil? Fra Bodø til Stamsund er det 100 km i luftlinje. Hvor mange nautiske mil er det? 1 m 1 m 1 m = 10 dm = 100 cm A = 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2 Omgjøring mellom arealenheter Arealet av kvadratet på figuren kan vi skrive på flere måter, avhengig av hvilken lengdeenhet vi bruker. Med meter som lengdeenhet får vi A = 1 m 1 m = 1 m 2 Bruker vi desimeter som lengdeenhet, får vi A = 10 dm 10 dm = 100 dm 2 Bruker vi centimeter som lengdeenhet, får vi A = 100 cm 100 cm = cm Vi ser at 1 m = 100 dm = cm.

7 112 Geometri m 2 dm 2 cm 2 mm 2 : m = 100 dm 1 dm = m = 0,01 m dm = 100 cm 1 cm = dm = 0,01 dm cm = 100 mm 1 mm = cm = 0,01 cm cm = 0,01 dm = 0,0001 m Eksempel 3 Vi gjør om mellom arealenheter Hvor mange cm 2 er 1,2 m 2? ,2 m = 1, 2 1 m = 1,2 100 dm = 1, cm = cm Hvor mange dm 2 er 3000 mm 2? m = 100 dm 1 dm = 100 cm 3000 mm mm ,01 cm 2 2 = = = ,01 0,01 dm = 0,3 dm 1mm 2 = 0, 01cm cm = 0, 01dm 2 2 Oppgave 3.8 Gjør om. 2 2 a 8dm til cm c 35, cm til mm 2 2 Oppgave 3.9 Gjør om. 2 2 a 40 dm til m c 2000 cm til m 2 2 b d b d m til cm 045, m til dm cm til dm 25, 5 cm til dm 2 2 Eksempel 4 Arealenheten mål I en avis finner du en annonse for en hytte. I annonsen er tomta oppgitt til å være 1,2 mål. Hva sier det deg? 1 mål er det samme som 1000 m Derfor er 1, 2 mål = 1, m = 1200 m. Hvis du ikke har noen forestilling om hvor mye 1200 m 2 er, er det lurt å sammenlikne med noe du kjenner, for eksempel størrelsen på et klasserom. Et klasserom kan være omtrent 9 m 7 m, det vil si 63 m Siden 19, svarer 1,2 mål omtrent til 19 slike klasserom. 63

8 Geometri Oppgave 3.10 a Hvor mange kvadratmeter er 3,4 mål? b Hvor mange mål er 3500 m 2? c Hyttefeltet Gråhø er på 225 mål. Feltet skal deles opp i tomter på 1500 m 2. Hvor mange tomter blir det? Oppgave 3.11 En fotballbane er 120 m lang og 60 m bred. a Regn ut arealet av fotballbanen i 1 m 2 2 mål b Hvor mange fotballbaner går det på 225 mål? Målenøyaktighet Vi kan aldri måle noe helt nøyaktig. Resultatet av en måling er alltid en tilnærmet verdi. Vi får et slingringsmonn. Hvor nøyaktig en måling blir, er avhengig av hva slags måleredskap vi bruker, og hvordan målingen utføres. En meterstokk egner seg godt til å måle bredden av pulten din, men den egner seg ikke så godt til å måle bredden og lengden av klasserommet. (Hvorfor?) Med en meterstokk kan vi måle millimeter, men brøkdeler av en millimeter må vi finne ved skjønn. Det gjør at målingen blir usikker. En meterstokk kan ha en målenøyaktighet på en halv millimeter, 0,05 cm. Vi sier at den absolutte usikkerheten er 0,05 cm. Vi bruker meterstokken til å måle bredden b av en pult. Resultatet blir 62,5 cm. Bredden ligger da mellom 62,45 cm og 62,55 cm. Det skriver vi slik: b = ( 62,5 ± 0,05) cm Hvor stor er usikkerheten i prosent av bredden? 005, 0,05 cm er 100 % = 0, 08% av 62,5 cm. 62, 5 Vi sier at den relative usikkerheten i målingen er 008, %. Med en meterstokk vil den absolutte usikkerheten være like stor i en måling på 20 cm og i en måling på 80 cm, men den relative usikkerheten er minst i målingen på 80 cm. Eksempel 5 Absolutt og relativ usikkerhet En type lasermåler kan måle avstander fra 62 cm til 12 m med en relativ usikkerhet på 0,5 %. Vi måler lengden av et rom med lasermåleren. Den viser at rommet er 2,00 m langt. Den absolutte usikkerheten i lengdemålingen er da 2,00 m 0,5 % = 2,00 m 0, 005 = 0,01 m. Lengden av rommet er (, 200± 001, ) m. Lengden ligger altså mellom 1,99 m og 2,01 m.

9 114 Geometri 3.1 Oppgave 3.12 Vi har fått oppgitt at lengden av et papirark er ( 30 ± 0, 05) cm og bredden er ( 20 ± 0, 05) cm. a Hva er den absolutte usikkerheten i målingene? Hva er den relative usikkerheten i målingen av bredden? b Hvor er den relative usikkerheten størst, i breddemålingen eller i lengdemålingen? c Hva er den største verdien omkretsen av arket kan ha? Hva er den minste verdien omkretsen av arket kan ha? d Hvordan vil du oppgi omkretsen av arket? Oppgave 3.13 En avstandsmåler har en relativ usikkerhet på 1 %. Vi bruker avstandsmåleren til å måle lengden av 60-meteren på idrettsbanen og får 60 m. a Hvor stor er den absolutte feilen ved målingen? b Hvordan vil du oppgi lengden vi har målt? Oppgave 3.14 a Et målebånd har en målenøyaktighet på 0,5 cm. Vi måler lengden av et rom og får 8,25 m. Hvordan skal vi oppgi lengden av rommet? b En lasermåler måler lengder med en relativ usikkerhet på 0,5 %. Lasermåleren viser også at lengden er 8,25 m. Hvilken av de to målingene vil du si er den mest nøyaktige? Ved lengdehopp oppgis resultatene i hele cm. Verdensrekordene per november 2008 er 7,52 m (Galina Tsjistiakova, 1988) og 8,95 m (Mike Powell, 1991). Bildet viser Lex Gillette fra Paralympics i Beijing i 2008.

10 Geometri Antall sifre i svaret Vi tar med omtrent like mange sifre i svaret som det er sifre i de tallene vi får oppgitt. Eksempel 6 Fornuftig antall sifre i svaret Vi skal regne ut arealet av et rektangel. Lengden er målt til 2,5 m og bredden til 1,35 m. Vi ser at lengden er oppgitt med to sifre og bredden med tre sifre. Vi bruker to sifre i svaret. 2 2 A= l b= 25135,, m = 34, m Du kan lese mer om målenøyaktighet og avrunding på nettstedet på Lokus. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 201 Oppgave 3.15 I et rektangel er lengden målt til 8,0 cm og bredden til 5,4 cm. Finn arealet av rektanglet. Oppgave 3.16 Vi bruker formelen A = g h til å finne arealet av en trekant. 2 I en trekant er g = 25, 4 cm og h = 11, 5 cm. Finn arealet. I 3.2 skal du lære å avgjøre når trekanter og mangekanter er formlike, og gjøre beregninger på formlike trekanter og mangekanter. 3.2 FORMLIKHET Det ene bildet nedenfor er en forstørrelse av det andre. De to bildene har derfor samme form. Vi sier at de er formlike. «Sommer», av Giuseppe Arcimboldo ( )

11 116 Geometri 3.2 Når to figurer er formlike, kan vi få den ene figuren ved å forstørre den andre. Oppgave 3.17 Se på de to formlike bildene på forrige side. Regn ut høyden av det største bildet delt på høyden av det minste. Regn så ut avstanden fra undersiden av nesen til et hjørne på det største bildet delt på den tilsvarende avstanden på det minste bildet. Hva finner du? Oppgave cm Tegn av trekanten på figuren ovenfor. a Tegn noen trekanter som er formlike med denne trekanten. b Hva er det som bestemmer formen på en trekant? Formlike trekanter I oppgave 3.18 fant du kanskje ut at det er vinklene i en trekant som bestemmer formen på trekanten. Hvis to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Forstørret eller forminsket, rotert eller ikke rotert, speilet eller ikke speilet når vinklene i to trekanter er like store, da er trekantene formlike. Legg merke til at to trekanter er formlike dersom to av vinklene i den ene trekanten er lik to av vinklene i den andre. For da blir også den tredje vinkelen like stor i de to trekantene. Hvorfor? Tilsvarende sider Tilsvarende sider i to trekanter er de sidene som ligger mellom like store vinkler. På figuren øverst på neste side er AB og DE tilsvarende sider. AC og DF er tilsvarende sider, og det er også BC og EF.

12 Geometri F C b a e d A c B D f E Trekantene er formlike. Da er a b d = c e = f Når to trekanter er formlike, er forholdet mellom to tilsvarende sider lik forholdet mellom to andre tilsvarende sider. Eksempel 1 Vi bruker formlikhet til å finne en ukjent side ABC og DEF er formlike. Vi vil finne lengden av DF. C F 4 x A 6 B D 4,5 E DF og AC er tilsvarende sider. Det er også DE og AB. Derfor er forholdet mellom DF og AC lik forholdet mellom DE og AB. DF AC = DE AB Vi lar x være lengden av DF. x 4,5 = Vi multipliserer med 4 på begge sider. x 4 4,5 4 = x = = 3 6 DF = 3 Det lønner seg å begynne med den ukjente siden i telleren på venstre side av likningen, slik vi gjorde i 1. (Likningen kan også løses ved kryssmultiplikasjon, se side )

13 118 Geometri 3.2 Oppgave 3.19 C E 4,5 F 70 4, A 5,0 B 50 D a b c Forklar hvorfor trekantene ABC og DEF er formlike. Hvilke sider er tilsvarende sider i de to trekantene? Hvilken side i trekanten DEF kan du finne lengden av? Finn lengden av denne siden. Oppgave 3.20 F 3 cm C 6 cm 9 cm A 6 cm B D E Trekantene ABC og DEF er formlike. a Er lengden av DE lik 9 cm, 12 cm eller 15 cm? b Hva er lengden av BC? Oppgave 3.21 Hvilke av de rettvinklede trekantene nedenfor er formlike med trekant A? 6 5 A 3 4,5 B 4 C 4 1,5 D ,5 E 7,5

14 Geometri Formlike mangekanter Det er vinklene som bestemmer formen på en trekant. For alle andre mangekanter må vi se på både vinklene og sidene for å avgjøre om to mangekanter har samme form. To mangekanter er formlike hvis vinklene er parvis like store og forholdene mellom tilsvarende sider er like store. Eksempel 2 Formlike mangekanter Firkanten ABCD er formlik med firkanten EFGH. Vi vil finne EF. D C H 6 G 4, A 8 B E x F EF og AB er tilsvarende sider. Det er også EH og AD. Vi setter EF = x. x 4,5 = 8 6 Vi multipliserer med 8 på begge sider. x 8 4,5 8 = 8 6 4,5 8 x = 6 x = 6 Siden EF er 6.

15 120 Geometri 3.2 Oppgave 3.22 D 4,3 C 130 6, A 8 B a b Tegn en firkant som er formlik med firkanten ovenfor. Tegn en firkant der vinklene er de samme som i firkanten ovenfor, men uten at firkantene er formlike. Oppgave 3.23 Rektanglene ABCD og EFGH er formlike. AB = 5,0 cm, AD = 3,0 cm og EF = 8,0 cm. H G D C A B E F Regn ut lengden av FG. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 202 Oppgave 3.24 a Er alle rettvinklede trekanter formlike? b Er alle likebeinte trekanter formlike? c Er alle likesidede trekanter formlike? d Er alle kvadrater formlike? e Er alle rektangler formlike? f Er alle parallellogrammer formlike? g Er alle sirkler formlike?

16 Geometri AREAL OG OMKRETS AV PLANE FIGURER I 3.3 skal du lære å beregne areal og omkrets av plane figurer. I tabellen nedenfor finner du formlene for areal og omkrets for noen vanlige figurer. Figur Areal Omkrets Rektangel b A = l b O = 2l + 2b l Parallellogram s h A = g h O = 2g + 2s g Kvadrat s A = s s = s 2 O = 4s s Trekant a g b h A = g h 2 O = a + b + g b Trapes h A = (a + b) h 2 a Sirkel d r A = πr 2 O = 2πr = πd NB! Når du bruker disse formlene, må du kontrollere at alle lengdene har samme enhet. Eksempel 1 Bruk samme lengdeenhet Vi skal regne ut arealet av rektanglet. Her er det ikke brukt samme enhet på lengde og bredde. Vi må derfor gjøre om én av enhetene. Vi velger å gjøre om 6,0 dm til 0,60 m. A = 12, m 060, m = 072, m 2 1,2 m 6,0 dm

17 122 Geometri 3.3 Du må passe på å bruke samme enhet på alle lengdene. Når du har valgt lengdeenheten, har du også bestemt arealenheten. Bruker du meter, får arealet enheten m 2. Bruker du centimeter, får arealet enheten cm 2. Oppgave 3.25 Et bankkort har form som et rektangel med lengde 86 mm og bredde 54 mm. Dette er et internasjonalt format for bankkort og kredittkort. a Mål lengden og bredden av et bankkort, og kontroller om det stemmer med opplysningene ovenfor. b Regn ut arealet og omkretsen av et bankkort. Se bort fra avrunding av hjørner. Oppgave 3.26 Regn ut arealet av disse figurene: a b c 6 m 2 m 4 m 3,6 m 4 m 6 m 3 m 80 cm 4 m 1,8 m 2 dm «Komposisjon i fresko», 1935, av Bjarne Engebret. Finner du noen kjente former?

18 Geometri Oppgave 3.27 Lengden av de to parallelle sidene i et trapes er 10 cm og 8,0 cm. Avstanden mellom de to parallelle sidene er 4,0 cm. a Tegn figur som viser hvordan trapeset kan se ut. Fins det flere muligheter? b c Regn ut arealet av trapeset. Et kvadrat har like stort areal som trapeset i oppgave a. Hvor lang er siden i dette kvadratet? Oppgave 3.28 Diameteren på en CD-plate er 12 cm. Finn arealet og omkretsen av plata. Oppgave 3.29 Hva har størst areal av en sirkel med radius 6 cm og et kvadrat med side 10 cm? Oppgave 3.30 Regn ut arealet av trekantene. a b g = 15 mm h = 2,2 cm h = 40 cm g = 0,5 m c g = 0,82 m h = 75 cm Oppgave 3.31 Trekantene A, B og C er plassert inne i tre like store rektangler, slik figuren viser. A B C A Hanh og Nakita studerer disse trekantene. Hanh påstår at trekant A har størst areal. Nakita mener det er umulig ut fra tegningene å avgjøre hvilken trekant som har størst areal. Hva mener du?

19 124 Geometri 3.3 Sammensatte figurer Når vi skal løse praktiske problemer i geometrien, er figurene ofte sammensatte. I noen tilfeller kan vi dele opp en sammensatt figur slik at vi får figurer vi kjenner fra før, og som vi kan regne ut arealet av. Eksempel 2 Vi deler opp figuren og får noe kjent 2,5 m 2,0 m 4,0 m 2,0 m 5,5 m Gulvet i et rom har denne formen. Vi skal finne arealet av gulvet. Figuren har seks sider, og vi kan ikke regne ut arealet direkte. Vi deler opp figuren slik at vi får et rektangel og et trapes. Rektangel Trapes Vi regner ut arealet av rektanglet og trapeset hver for seg, og legger sammen. Arealet av rektanglet: 25, m 20, m = 50, m 2 ( 45, + 55, ) 20, Arealet av trapeset: m 2 = 10 m 2 2 Arealet av gulvet: 5,0 m 2 +10m 2 =15m 2 På hvor mange forskjellige måter kunne vi ha funnet arealet?

20 Geometri Oppgave ,0 m 7,0 m 4,0 m 6,0 m En terrasse har form slik figuren viser. Regn ut arealet av terrassen. Oppgave 3.33 En lekeplass har denne formen: 40 m 40 m Regn ut arealet og omkretsen av lekeplassen. Oppgave 3.34 C E A D B På figuren er AB = 10 cm, DC = 50, cm og CE = 30, cm. Regn ut arealet av firkanten AEBC.

21 126 Geometri 3.4 I 3.4 skal du lære å bruke pytagorassetningen i rettvinklede trekanter. 3.4 RETTVINKLEDE TREKANTER. PYTAGORASSETNINGEN En trekant er rettvinklet dersom én av vinklene er 90. Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to andre sidene kaller vi kateter. B a Katet c Hypotenus C b Katet A Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant er kvadratet av den ene kateten pluss kvadratet av den andre kateten lik kvadratet av hypotenusen: a + b = c Legg merke til at ordet kvadrat blir brukt på to måter i matematikken: Kvadratet av et tall er tallet ganget med seg selv. Eksempel: Kvadratet av 3 er 33 = 9. Figuren kvadrat er et rektangel der alle sidene er like lange. Har de to «kvadratene» noe med hverandre å gjøre? Eksempel 1 Vi bruker pytagorassetningen Trekanten ABC er rettvinklet. Vi skal regne ut lengden av siden AB og arealet av trekanten. Sidene AB og BC er kateter. Siden AC er hypotenusen. Vi setter AB = x cm. C Vi får AB + BC = AC x + 50, = 60, x 2 x 2 AB = 33, cm + 25 = 36 = x = 11 = 3, 32 Når vi skal finne arealet, kan vi bruke AB som grunnlinje og BC som høyde. Da får vi A = g h 332, 50, = cm 2 2 = 83, cm 2 2 6,0 cm A B 5,0 cm

22 Geometri Oppgave 3.35 Regn ut lengden av den ukjente siden og arealet av disse trekantene: a x 3,5 m b 0,6 m b 8,0 m 1,5 m Pytagoras (ca. 580 ca. 500 f.kr.). Setningen var kjent i Babylon 1000 år før hans tid, men det var sannsynligvis Pytagoras som beviste den. c 3,0 m g 1,5 m d 8,0 cm x Oppgave ,0 cm 5,0 cm 4,0 cm 8,0 cm a b Regn ut arealet av trapeset på figuren. Regn ut omkretsen av trapeset. Eksempel 2 Er vinkelen 90? Er vinkel C lik 90? C b = 12 a = 5 A c = 13 B 2 2 Vi regner ut a + b og sammenlikner svaret med c 2 : a + b = = = c = 13 = Vi ser at tallene 5, 12 og 13 passer i pytagorassetningen. Da er trekanten rettvinklet. Og siden det er vinkel C som er den største vinkelen, må det være den som er 90.

23 128 Geometri I forrige eksempel brukte vi pytagorassetningen «den motsatte veien»: Vi lar a, b og c være tre sider i en trekant, med c som den lengste siden. Hvis a + b = c, er trekanten rettvinklet med C som den rette vinkelen. Oppgave 3.37 a Sidene i en trekant er 14,0 cm, 7,00 cm og 16,0 cm. Er trekanten rettvinklet? b Sidene i en trekant er 10,0 cm, 24,0 cm og 26,0 cm. Er trekanten rettvinklet? Oppgave 3.38 D C 9,05 m 5,40 m Lokus NETTINNHOLD A 7,00 m B Stifinner: side 205 Andreas skal bygge en hytte som skal være 7,00 m lang og 5,40 m bred. Han har markert hjørnene for grunnmuren, A, B, C og D på figuren. For å undersøke om han har en rett vinkel i B, måler han diagonalen AC. Han finner at den er 9,05 m. Er vinkel B rett? 3.5 ARBEIDSTEGNINGER OG KART I 3.5 skal du lære å forstå og gjøre beregninger på arbeidstegninger og kart. Målestokk Et kart er et forminsket bilde av terrenget (virkeligheten). En arbeidstegning er et forminsket eller forstørret bilde av en gjenstand, et hus osv. Når vi lager et kart eller en arbeidstegning, bruker vi prinsippet om formlikhet. En arbeidstegning skal ha samme form som den virkelige gjenstanden, men størrelsen kan være en annen. Vi sier at tegningen er tegnet i en bestemt målestokk.

24 Geometri En målestokk er forholdet mellom lengden av et linjestykke på tegningen og lengden av den tilsvarende avstanden i virkeligheten. lengden på tegningen Målestokken = lengden i virkeligheten Målestokken M = 1 : 2 betyr at 1 cm på tegningen svarer til 2 cm i virkeligheten. Gjenstanden er da forminsket. Målestokken M = 2 : 1 betyr at 2 cm på tegningen svarer til 1 cm i virkeligheten. Gjenstanden er da forstørret. Eksempel 1 Vi finner målestokken En plate er 75 cm lang (i virkeligheten). På en arbeidstegning er den 5 cm lang. Hvilken målestokk er brukt på tegningen? Målestokken er forholdet mellom lengden på tegningen og lengden i virkeligheten: lengden på tegningen c Målestokken = = 5 m lengden i virkeligheten 75 cm = 5 = 5: = 1 : 15 Målestokken er 1 : 15. Eksempel 2 Vi finner virkelig lengde På en arbeidstegning i målestokken 1 : 100 er bredden på et hus 7,0 cm. Hvor bredt er huset i virkeligheten? Målestokk 1 : 100 betyr at 1 cm på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheten. 7 cm på tegningen svarer da til cm = 700 cm i virkeligheten. Huset er 7 m bredt. Eksempel 3 Vi finner hva lengden på tegningen skal være Huset i eksempel 2 er 12,5 m langt. Hvor langt er det på arbeidstegningen? 1 Målestokken viser at lengden på tegningen er (én hundredel) av lengden i virkeligheten. 100 I virkeligheten er huset 12,5 m = 1250 cm langt cm På tegningen blir lengden 1250 cm = = 12, 5 cm

25 130 Geometri 3.5 Lokus REGNEARK Oppgave 3.39 a Bredden på et hus er 8,50 m. På en tegning av huset er bredden 85 mm. Hvilken målestokk er brukt på tegningen? b En tomt er tegnet i målestokken 1 : 50. På tegningen er tomtegrensa mot en av naboene 4 cm. Hvor lang er grensa i virkeligheten? På nettstedet på Lokus finner du et regneark du kan bruke for å lære mer om målestokk. Arbeidstegninger ET U. ET Arbeidstegningen viser tverrsnittet av et hus. Huset skal være formlikt med arbeidstegningen. På en arbeidstegning er det vanlig å oppgi alle mål i millimeter. Bredden av huset er altså 6900 mm = 6,9 m. Oppgave 3.40 Finn målestokken på arbeidstegningen ovenfor.

26 Geometri Oppgave 3.41 x SOV STUE BAD Målestokk 1 : 200 Figuren viser planløsningen i en leilighet. Målestokken er 1 : 200. a Hvor mange kvadratmeter er soverommet på? Bruk innvendige mål. b Hvor brede er døråpningene? Oppgave Figuren viser arbeidstegningen til en bordplate. Lag en arbeidstegning av bordet i målestokken 1 : 100. Oppgave 3.43 a b c d Figuren viser en arbeidstegning av en maskindel i målestokk 1 : 10. Mål på figuren og regn ut de virkelige lengdene av a, b, c og d.

27 132 Geometri 3.5 Kart Luftlinje Lokus KART Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 210 Figuren viser et kart fra Gausdal med målestokk 1 : Du kan skrive ut kartet fra nettstedet på Lokus. Måler vi avstanden AC på kartet, finner vi at den er 5,9 cm. Men hvor langt er det fra A til C i terrenget? Ser du nærmere på kartet, ser du at hvis du vil gå fra A til C, har du først en stigning opp mot Frøysesæterhøgda. Deretter går det nedover mot Skeisleitet før det stiger bratt opp mot C. Det blir mye «opp og ned». Når vi måler en avstand på et kart, måler vi en avstand i luftlinje uten å ta hensyn til høydeforskjell. Se figuren i margen. Målestokk 1 : forteller at 1 cm på kartet er lik cm i luftlinje cm er 500 m. 5,9 cm på kartet ovenfor svarer da til 5, m = 2950 m. Fra A til C er det 2950 meter i luftlinje. Den virkelige turen fra A til C vil bli lengre, både på grunn av høydeforskjellene og på grunn av at vi ikke går helt rettlinjet. Oppgave 3.44 Finn Gråbergan og det høyeste punktet på Skeikampen på kartet ovenfor. a Hvor høyt ligger toppen av Gråbergan over havet? b Hvor langt er det i luftlinje fra toppen av Gråbergan til det høyeste punktet på Skeikampen? c d Regn ut arealet av rektanglet ABCD på figuren. Finn arealet av det området rektanglet ABCD tilsvarer i terrenget.

28 Geometri I 3.6 skal du lære å regne ut volumet av forskjellige romfigurer. 3.6 VOLUM OG VOLUMENHETER Volum er et mål for hvor mye en romfigur rommer eller inneholder. I tabellen nedenfor finner du formlene for volum og overflate av noen vanlige romfigurer. G står for arealet av grunnflaten, og h står for høyden. Figur Volum Overflate Prisme G h V = G h Sylinder h r V = G h = πr 2 h O = 2πr 2 + 2πrh Pyramide G h V = G h 3 Kjegle h r s V = = G h 3 πr 2 h 3 O = πr 2 + πrs Kule r V = 4πr 3 3 O = 4πr 2 Eksempel 1 Samme volum Kortstokken til høyre har form som et rett prisme. Volumet av kortstokken er gitt ved V = G h. Vi skyver litt på kortene slik at kortstokken får form som et skeivt prisme. Legg merke til at høyden er den samme, og dermed er volumet uendret. Både rette og skeive prismer har volum som er gitt ved formelen V = G h. Rette og skeive sylindre har den samme volumformelen. Det har også rette og skeive pyramider, og rette og skeive kjegler. h h

29 134 Geometri 3.6 Volumenheter Når vi skal regne ut volumet av terningen ovenfor, må vi velge lengdeenhet. Bruker vi meter som lengdeenhet, får vi V = G h= l b h= 1 m 1 m 1 m = 1 m 3 Bruker vi desimeter som lengdeenhet, får vi V = G h= l b h= 10 dm 10 dm 10 dm = 1000 dm 3 Med centimeter som lengdeenhet får vi V = G h= l b h= 100 cm 100 cm 100 cm = cm Legg merke til at 1 m = 1000 dm = cm m 3 dm 3 cm 3 mm 3 : m = 1000 dm 1 dm = m = 0, 001 m dm = 1000 cm 1 cm = dm = 0, 001 dm cm = 1000 mm 1 mm = cm = 0, 001 cm liter = 1dm 3

30 Geometri Eksempel 2 Vi gjør om mellom volumenheter Hvor mange dm 3 er 1,2 m 3? , 2 m = 1, 2 1 m = 1, dm = 1200 dm Hvor mange cm 3 er 0,045 m 3? m = 1000 dm 0, 045 m 3 0, m 3 0, dm 3 3 = = = 0, cm = cm Hvor mange m 3 er cm 3? 3 1 m 3 = 1000 dm dm = 1000 cm cm = , 001 dm = , 001 0, 001 m = 0, 15 m 1 cm 3 = 0, 001 dm dm = 0, 001 m 3 3 Oppgave 3.45 Gjør om. 3 3 a 105, m til dm c 025, dm til mm 3 3 Oppgave 3.46 Gjør om. 3 3 a 520 dm til m c 2000 cm til m 3 3 b d b d , cm til mm 0, 005 m til cm cm til dm mm til m 3 3 Oppgave 3.47 I dagliglivet er det vanlig å oppgi volum i liter. 1L= 1dm 3. (Det er nå vanlig å bruke L som symbol for liter.) a Hvor mange liter er 0, 006 m 3? b Hvor mange cm 3 er 0,5 L? c En kartong har form som et prisme. Grunnflaten er kvadratisk med side 10 cm, og høyden i kartongen er 5,0 cm. Hvor mange liter rommer kartongen? d En kartong har samme grunnflate som kartongen i oppgave c. Hvor høy må denne kartongen minst være for å romme én liter? Oppgave 3.48 En vanntank har form som en sylinder. Diameteren i grunnflaten er 2,5 m, og høyden er 3,0 m. a Finn radien i grunnflaten. b Regn ut volumet av vanntanken i m 3 og i liter. c Vi fyller tanken to tredeler full. Hvor mange liter vann er det i tanken?

31 136 Geometri 3.6 Operahuset i Oslo Oppgave 3.49 Familien Olsen har kjøpt inn grus for å gruse veien fram til hytta. Grushaugen har tilnærmet kjegleform. h = 2,0 m a b Regn ut volumet av haugen. Veien er 3,0 m bred og 120 m lang. Tykkelsen på gruslaget skal være 3 cm. Har familien kjøpt inn nok grus? d = 4,0 m Oppgave 3.50 a En fotball har en diameter på 22 cm. Regn ut volumet av ballen. b En kuleformet gasstank har en indre diameter på 2,4 m. Regn ut volumet av tanken. Hvor mange liter tar tanken? Oppgave 3.51 Kjeksen til en «krone-is» har kjegleform. Regn ut hvor mye is en slik kjeks rommer når diameteren i grunnflaten er 7,0 cm og høyden er 13,0 cm. Oppgi svaret i cm 3 og i liter. 7,0 cm 13,0 cm

32 Geometri I 3.7 skal du lære å regne ut overflaten av forskjellige romfigurer. 3.7 OVERFLATE AV ROMFIGURER Når vi skal regne ut overflaten av romfigurer, får vi bruk for formlene i oversikten på side 133. Du bør repetere disse. Når du setter inn i formlene, må du passe på å bruke samme lengdeenhet. Eksempel 1 Overflaten av et prisme Vi skal finne overflaten av et rett prisme når grunnflaten er et kvadrat med side lik 4,0 cm og høyden er 5,0 cm. Av figuren ser vi at sideflatene er fire like store rektangler. Toppflaten er like stor som bunnflaten. Arealet av toppflaten og bunnflaten: 2 ( 40, cm 40, cm )= 32 cm 2 Arealet av sideflatene: 4 ( 40, cm 50, cm )= 80 cm 2 Overflaten av prismet: 32 cm 2 +80cm 2 = 112 cm 2 5,0 cm 4,0 cm 4,0 cm Topp 4,0 cm Bunn 4,0 cm 4,0 cm 5,0 cm Oppgave En 2 kg-pakning med Gudbrandsdalsost G-35 har tilnærmet prismeform. Målene ser du på figuren. a Regn ut overflaten av pakningen. b Regn ut volumet av pakningen. Oppgave 3.53 En vanntank skal lages som et rett prisme med lengde 0,80 m, bredde 0,60 m og høyde 1,20 m. a Regn ut volumet av tanken. b c Tegn tanken i utbrettet tilstand. Sett mål på figuren. Regn ut hvor mange kvadratmeter plate som går med til å lage tanken. (Vi ser bort fra tykkelsen av plata.)

33 138 Geometri 3.7 Eksempel 2 Overflaten av en sylinder r G r h h Arealet er Overflaten av en sylinder består av to endeflater og en sideflate. Når vi bretter ut sideflaten, får vi et rektangel der den ene siden er lik høyden i sylinderen. Den andre siden er lik omkretsen av grunnflaten i sylinderen. Denne omkretsen er 2πr. Sideflaten får derfor arealet 2πr h, som vi skriver 2πrh. Bunnflaten og toppflaten er en sirkel med areal πr Overflaten = bunnflaten + toppflaten + sideflaten = πr + πr + 2πrh= 2πr + 2πrh Oppgave ,0 cm 11,0 cm En fiskebolleboks har tilnærmet sylinderform. Diameteren er 10,0 cm, og høyden er 11,0 cm. a Regn ut volumet av boksen i liter. b Finn omkretsen av boksen. c Hvor mange kvadratcentimeter metall går det med til å lage en slik boks? Oppgave 3.55 a En fotball har en diameter på 20,8 cm. Regn ut volumet og overflaten av fotballen. b Lungene består av om lag 100 millioner lungeblærer. Lungeblærene er tilnærmet kuleformede, og hver lungeblære har en diameter på ca. 0,2 mm. Hvor stor overflate har lungeblærene til sammen?

34 Geometri Eksempel 3 Overflaten av en pyramide Vi skal finne overflaten av en rett pyramide med kvadratisk grunnflate. Siden i grunnflaten er 10 cm, og høyden i pyramiden er 8,0 cm. Overflaten av pyramiden består av grunnflaten og fire like trekanter. For å kunne regne ut arealet av sideflatene må vi kjenne høyden i trekantene. Den er kalt a på figuren. Vi bruker pytagorassetningen: 10 8,0 2 2 a = 8, 0 + 5, 0 cm = cm = 89 cm 9, 43 cm 5,0 a 10 Arealet av grunnflaten: cm = 100 cm , Arealet av 4 sideflater: 4 cm = 188, 6 cm 2 Overflaten av pyramiden = 288, 6 cm 2, 9 dm 2 2 Lokus ANIMASJON På nettstedet på Lokus finner du en animasjon der du kan arbeide med volum og overflate. Animasjonen kan for eksempel brukes for å regne ut overflaten av pyramiden i eksempel 3. Oppgave 3.56 En rett pyramide har en kvadratisk grunnflate. Siden s i grunnflaten er 12 cm, og høyden h i pyramiden er 20 cm. Finn overflaten av pyramiden. Tips: Regn først ut høyden a i sideflaten. h a Oppgave 3.57 Taket på et hus er pyramideformet. Grunnflaten er et rektangel med lengde 12,0 m og bredde 8,0 m. Høyden av taket er 3,0 m. Regn ut overflaten av taket. s 3,0 m 12,0 m 8,0 m sirkelsektor r I neste eksempel får du bruk for å regne ut arealet av en sirkelsektor. Se figuren i margen. Arealet av en sirkelsektor er gitt ved A = b r, der r er radien og b er buen. 2 b

35 140 Geometri 3.7 Eksempel4 Overflatenavenkjegle s s h Sideflate s h r d r G Når vi bretter ut sideflaten i en rett kjegle, får vi en sirkelsektor. Radien i sirkelsektoren (s på figuren) er lik sidekanten i kjegla. Buen i sirkelsektoren er lik omkretsen av grunnflaten i kjegla. Studer figuren! Lengden av sidekanten s finner vi med pytagorassetningen: 2 2 s = r + h Overflaten = bunnflaten + sideflaten 2 b s =π r πr s 2 = πr + = πr + πrs 2 Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 211 Oppgave 3.58 I en kjegle er diameteren i grunnflaten 24 cm og høyden 8,0 cm. a Hvor stor er radius i grunnflaten? Tegn figur og sett på mål. b Regn ut volumet av kjegla. c Regn ut sidekanten s i kjegla. d Finn overflaten av kjegla. Oppgave 3.59 Finn volumet og overflaten av en kjegle der diameteren er 20 cm og høyden er halvparten av diameteren.

36 Geometri PERSPEKTIVTEGNING I 3.8 skal du lære å tegne i perspektiv. Å tegne virkeligheten På en stor flate står det et gjerde. Gjerdet består av to rette deler som møtes i et hjørne. Tenk deg at gjerdet er tegnet, og at tegneren har klart å gjengi både form og størrelse på gjerdet slik det så ut fra det stedet tegneren sto. Den ferdige tegningen ser du på figuren ovenfor. Lokus FIGUR Oppgave 3.60 Se figuren ovenfor. (Du kan skrive ut figuren fra nettstedet på Lokus.) a Hvor sto tegneren plassert i forhold til gjerdet da han tegnet? b c d e f Er gjerdet like høyt hele veien? Kan du finne noen punkter på tegningen som er i øyehøyde, det vil si punkter som i virkeligheten ligger like høyt som tegnerens øyne? Hvor høyt tror du gjerdet var? Kan du si noe om lengden av gjerdet? Tror du de langsgående plankene var parallelle? Figuren ovenfor er et eksempel på det vi kaller en perspektivtegning, det vil si en tegning som viser hvordan en gjenstand (et gjerde, et hus, en kasse osv.) ser ut, sett fra et bestemt ståsted. Det er ikke alltid så lett å tegne det du ser, for som regel «ser» du på to måter samtidig. Du ser at gjerdet blir stadig lavere på bildet. Dette gjelder både den høyre og den venstre delen av gjerdet. Samtidig ser du at i virkeligheten er gjerdet like høyt hele veien. Det «ser» du fordi hjernen alltid tolker det bildet som kommer på netthinna når vi ser på noe, både når vi ser direkte på omgivelsene, og når vi for eksempel ser på et fotografi eller på TV. Det er denne tolkningen som gjør at du i dagliglivet kan oppfatte avstander, sammenlikne størrelsen på personer i ulik avstand fra deg, osv. Hjernen er utrettelig når det gjelder å fortolke det vi ser, både på bilder og ellers. Men den er ikke like flink til å fortelle oss hvordan vi skal tegne slik at det blir riktig perspektiv. Derfor trenger vi noen regler når vi skal tegne perspektivtegninger.

37 142 Geometri 3.8 Horisontlinje og forsvinningspunkt l 1 l 3 Horisontlinja F 1 F 2 l 2 l 4 Ser opp på Ser ned på Tenk deg igjen at du står og ser på gjerdet. Punktene som ligger like høyt som tegnerens øyne, ligger på horisontlinja. Horisontlinja er en tenkt vannrett linje i øyehøyde. Generelt: Punkter som ligger over øyehøyde, ser vi opp på. Punkter som ligger under øyehøyde, ser vi ned på. Se figuren i margen. Tilbake til gjerdet: Alle punkter på linja l 1 har samme høyde, og de er alle over øyehøyde. Alle punkter på linja l 2 har også samme høyde, og de er under øyehøyde. Den delen av gjerdet som ligger over horisontlinja, ser du opp på, og den delen av gjerdet som ligger under horisontlinja, ser du ned på. Vi vet at linjene l 1 og l 2 i virkeligheten er parallelle. Men på tegningen er de ikke parallelle. Vi har forlenget linjene l 1 og l 2 til de møtes i et punkt F 1 på figuren. Dette punktet kalles forsvinningspunktet for de to linjene. Ordet forsvinningspunkt forkorter vi til F. Vi forlenger l 3 og l 4 på samme måte, slik at de møtes i et punkt vi kaller F 2. På figuren er det altså to forsvinningspunkter. Forsvinningspunktene ligger på horisontlinja. Dette gir oss tre grunnregler for perspektivtegning: Regel 1 Horisontlinja er en tenkt vannrett linje i øyehøyde. Regel 2 Linjer som er parallelle i virkeligheten, har alltid samme forsvinningspunkt. Parallelle linjer som har retning «innover», møtes i et forsvinningspunkt som ligger på horisontlinja. Regel 3 Det som ligger over øyehøyde i virkeligheten, ser vi opp på. Det ligger ovenfor horisontlinja på tegningen. Det som ligger under øyehøyde i virkeligheten, ser vi ned på. Det ligger nedenfor horisontlinja på tegningen.

38 Geometri På bildet på forrige side kan du tenke deg at de parallelle jernbaneskinnene «forsvinner» i et fjernt punkt. Dette punktet er forsvinningspunktet for de to skinnene. Oppgave 3.61 Bildet nedenfor viser midtskipet i San Lorenzo-kirken i Firenze, Italia. (Du kan skrive ut bildet fra nettstedet på Lokus.) a Bestem noen linjer som i virkeligheten er parallelle og som har retning innover i bildet. Forleng disse linjene og finn forsvinningspunktet for dem. b Finn horisontlinja. c Finn noe på fotografiet som du ser opp på. d e Finn noe på fotografiet som du ser ned på. I virkeligheten er alle søylene like høye, og de vannrette avstandene mellom dem er like. Hvordan ser det ut på bildet? (Mål med linjalen.)

39 144 Geometri 3.8 Ettpunktsperspektiv og topunktsperspektiv Tegneren på figuren ovenfor ser rett på kassa, litt ovenfra. Han ser parallelle linjer med retning «innover». På en perspektivtegning vil disse linjene møtes i et felles forsvinningspunkt. Dette er et eksempel på sentralperspektiv eller ettpunktsperspektiv. Vi snur litt på kassa, slik at tegneren ser kassa «på skrå». Tegneren «ser» nå to forsvinningspunkter. Dette er et eksempel på topunktsperspektiv. Å tegne med topunktsperspektiv Vi skal tegne en prismeformet kasse som står på skrå på gulvet. Hele kassa er under øyehøyde. Bruk blyant og linjal når du tegner. Når du er ferdig, kan du trekke opp selve kassa med penn og viske ut hjelpelinjene. Se eksemplet på neste side.

40 Geometri Eksempel 1 Kasse i topunktsperspektiv F 1 Horisontlinja F 2 b d c a 1 Bruk blyant. Tegn horisontlinja og velg plasseringene av de to forsvinningspunktene F 1 og F 2. 2 Tegn a, den loddrette kanten foran på kassa. Du velger selv lengde og plassering av denne kanten. 3 Tegn linjer fra toppen og bunnen av a til begge forsvinningspunktene. 4 Tegn den loddrette kanten b, til venstre for a. Velg selv plasseringen. Trekk linjer fra toppen og bunnen av b til F 2. 5 Tegn den loddrette kanten c, til høyre for a. Velg selv plasseringen. Trekk linjer fra toppen og bunnen av c til F 1. 6 Tegn bakre loddrette kant d. 7 Tegn kassa med penn. Stiple de linjene vi ikke ser. Lokus TEGNEMETODER På kassa i eksemplet ovenfor er de fire loddrette linjene parallelle i virkeligheten. Etter regel 2 på side 142 har derfor disse linjene et felles forsvinningspunkt. Når vi ser rett på (eller nesten rett på) de parallelle linjene vi tegner, kommer forsvinningspunktene som regel langt utenfor arket. Effekten blir da så liten at vi kan se bort fra den. Tegner vi f.eks. et hus sett nedenfra eller sett ovenfra, kan vi ikke se bort fra denne effekten. Det skal vi ta for oss på neste side. På nettstedet på Lokus finner du en annen metode for å tegne en kasse i topunktsperspektiv. Du finner også litt om hvordan du kan lage perspektivtegninger med dynamisk konstruksjonsprogram og med tegneprogram. Oppgave 3.62 Bruk metoden i eksemplet ovenfor og lag en ny tegning der du plasserer forsvinningspunktet F 1 mye nærmere kassa. Sammenlikn perspektivtegningen din med den i eksemplet. Hva ser du? Oppgave 3.63 Lag noen perspektivtegninger av en kasse. Varier a kassas størrelse b plasseringen av forsvinningspunktene c kassas plassering i forhold til forsvinningspunktene d kassas plassering i forhold til horisontlinja

41 146 Geometri 3.8 Oppgave 3.64 Figuren viser en del av et gatehjørne tegnet i topunktsperspektiv. I gatehjørnet har vi begynt å tegne en blokk, og du ser fortauet foran blokka. a Kopier tegningen, eller skriv den ut fra nettstedet på Lokus. Tegn inn noen flere vinduer i blokka. b Tegn noen hus ved siden av blokka langs hver av gatene. La husene få forskjellig høyde og bredde. c Tegn inn vinduer og dører i husene. d Tegn inn mennesker. Å tegne med trepunktsperpektiv Når vi står høyt eller lavt i forhold til det vi skal tegne, får vi tre forsvinningspunkter: To for horisontale linjer, og ett for vertikale (loddrette) linjer. På figuren nedenfor til venstre har vi tegnet en høy bygning sett nedenfra. Et slikt perspektiv kalles også for froskeperspektiv. Til høyre er bygningen sett ovenfra, i fugleperspektiv. F 3 F 1 F 2 F 1 F 2 F 3

42 Geometri Oppgave 3.65 Bildet ovenfor viser rester fra Seleniustempelet på Sicilia, Italia. Tempelet er fra ca. 550 f.kr. (Du kan skrive ut bildet fra nettstedet på Lokus.) a Finn noen linjer på bildet som er tilnærmet loddrette og parallelle i virkeligheten. Forleng disse linjene og bestem forsvinningspunktet for de vertikale linjene. b Finn forsvinningspunktene som ligger på horisontlinja. (Tips: Studer bygningen tegnet i froske- og fugleperspektiv på forrige side.) Oppgave 3.66 Tegn en boligblokk med tre etasjer i froskeperspektiv. Tegn inn inngangsdøra og tre vinduer i hver etasje. Å tegne med ettpunktsperspektiv Topunktsperspektiv gir ofte en god følelse av rom og dybde. Derfor er topunktsperspektiv mye brukt i tegninger og i malerier. Ser vi på en tegning laget i et ettpunktsperspektiv, føler vi det ofte som om blikket trekkes mot forsvinningspunktet. Når vi ser rett inn i et rom, rett nedover en korridor osv., er det naturlig å bruke ettpunktsperspektiv.

43 148 Geometri 3.8 Jesus overrekker «himmelrikets nøkler» til Peter. (Matt. 16,19.) Freske fra 1481 av Pietro Perugino Eksempel 2 Kasse i ettpunktsperspektiv Den venstre kassa er tegnet nedenfor horisontlinja. Derfor ser vi ikke undersiden av den (ABFE). Til høyre er den samme kassa tegnet ovenfor horisontlinja. Da er det oversiden (DCGH) vi ikke ser. Vi skal vise en oppskrift vi kan bruke til å tegne slike kasser i ettpunktsperspektiv. A D E H G F C B 1 Bruk blyant. Tegn horisontlinja og merk av forsvinningspunktet. 2 Tegn et rektangel ABCD, forsiden på kassa. Du velger selv størrelse og plassering av dette rektanglet. 3 Tegn CG, øvre høyre sidekant. Velg selv lengden. 4 Tegn DH, AE og BF. 5 Tegn rektanglet GHEF. 6 Tegn kassa med penn. Stiple de linjene vi ikke ser. D A H E F G B C

44 Geometri Oppgave 3.67 Følg oppskriften i eksempel 2 og lag noen tilsvarende tegninger. Varier a kassas plassering i forhold til horisontlinja b størrelsen og formen på kassa Oppgave 3.68 Tegn et prismeformet skap som er høyere enn deg selv. Tenk deg at du står rett foran skapet. Eksempel 3 Et rom i ettpunktsperspektiv Du skal tegne et rom der du ser rett på bakveggen. Tenk deg at den nærmeste veggen er gjennomsiktig, slik at du kan se rett inn i rommet. Vent litt med å tegne omrisset av denne veggen. a F Horisontlinja 1 Bruk blyant. Tegn rektanglet som skal danne bakveggen. 2 Merk av F. Forsvinningspunktet skal være i øyehøyde. (Vanlig romhøyde er ca ,50 m, og da er det rimelig å plassere F ca. opp på bakveggen. av 2,50 m 3 3 er 1,67 m.) 3 Tegn gulv, tak og vegger ved å trekke linjer gjennom forsvinningspunktet. Avslutt med rektanglet som danner den «gjennomsiktige» veggen. 4 Tegn horisontlinja gjennom F. Den fungerer som en hjelpelinje når du skal plassere gjenstander i rommet. Du ser opp på alt som ligger over horisontlinja, og ned på resten. 5 Tegn inn et vindu på venstre vegg. Start med å tegne opp linja merket a. Trekk linjer til forsvinningspunktet og tegn vinduet ferdig. (På figuren er dette vinduet tegnet slik at det ligger dels over, dels under øyehøyde.) 6 Tegn vinduer også på høyre vegg. (På figuren ligger de over øyehøyde, altså høyt oppe på veggen.) Lokus ANIMASJON På nettstedet på Lokus finner du en animasjon der du kan eksperimentere med et rom tegnet i ettpunktsperspektiv.

45 150 Geometri Oppgave 3.69 a b c Tegn av de to figurene. (Du kan skrive dem ut fra nettstedet på Lokus.) Finn forsvinningspunktet og tegn inn horisontlinja på hver av tegningene. Diskuter de to perspektivtegningene. Kan tegneren se rett ut gjennom vinduene når tegningene lages? Tegn inn mennesker i rommene. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 215 Oppgave 3.70 Følg oppskriften i eksempel 3 og tegn et rom i ettpunktsperspektiv. I rommet er det: En dør på bakveggen. To vinduer på høyre sidevegg. Nedre kant av vinduene har samme høyde over gulvet, men det ene vinduet er høyere enn det andre. En bokhylle på venstre sidevegg. Bokhylla går nesten til taket. Tenk gjennom plasseringen av dør, vindu og bokhylle i forhold til horisontlinja. Oppgave 3.71 a Se på bildet i starten av kapitlet. Finner du forsvinningspunkter? b Gå på «forsvinningspunktjakt» i resten av boka. 3.9 FORMER SOM KAN FYLLE PLANET I 3.9 skal du lære å avgjøre når ulike former kan fylle planet. Side Side Side Side Regulære mangekanter Trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter osv. er eksempler på mangekanter. En mangekant kalles også en n-kant, der n står for antall sider i mangekanten. Vi skal nå ta for oss en spesiell type mangekanter, de regulære. Studer firkanten på figuren til venstre. Ser du at alle sidene er like lange, og at alle vinklene er like store? Denne firkanten er et eksempel på en regulær firkant. En regulær firkant er det samme som et kvadrat.

46 Geometri I en regulær firkant er alle sidene like lange og alle vinklene like store. Slik er det med alle regulære mangekanter. v v v Regulær firkant Regulær trekant En regulær trekant er det samme som en likesidet trekant. I en regulær trekant er alle vinklene Regulær sekskant 60. Hvorfor? En regulær mangekant er en mangekant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store. Hvor store er vinklene i en regulær sekskant? Det skal vi blant annet finne svaret på nå. v Vinkelen i en regulær mangekant Med vinkelen i en regulær mangekant mener vi vinkelen mellom to sider som møtes. På figuren har vi tegnet en regulær sekskant. Fra et hjørne har vi trukket tre diagonaler. De deler sekskanten inn i fire trekanter. (Tell på figuren.) Legg merke til at antall trekanter er to mindre enn antall sider. Når vi legger sammen alle vinklene i de fire trekantene, får vi vinkelsummen i sekskanten. Summen av vinklene i en trekant er 180. Vinkelsummen i sekskanten er derfor Dette kan vi skrive som ( 6 2) 180. Det gjør vi for å understreke at antall trekanter er to mindre enn antall sider. Summen av alle vinklene i en sekskant blir altså ( 6 2) 180 = 720. Da sekskanten på figuren er regulær, er alle vinklene like store. 720 Vinkelen v i en sekskant er altså = Hvis en regulær mangekant har n sider, er vinkelsummen ( n 2) 180. I en regulær n-kant er alle vinklene like store. ( n 2) 180 Vinkelen i en regulær n-kant er altså. n Denne formelen kan vi omforme slik: ( n 2) 180 n n = = = 180 n n n n n

47 152 Geometri 3.9 Vinkelen v i en regulær n-kant er gitt ved formelen 360 v = 180 n Oppgave Bruk formelen v = 180 regulær n til å regne ut vinkelen i en a trekant b firkant c femkant d sekskant e sjukant f åttekant Flislegging Bildet nedenfor heter Fugler og er laget av den kjente nederlandske billedkunstneren Maurits Escher ( ). Escher eksperimenterte med ulike geometriske mønstre og laget mange bilder med slike mønstre. Ser du noe spesielt med bildet?

48 Geometri I bildet er det en grunnform, fuglen, som gjentar seg. Fuglene overlapper ikke, og det er ingen huller mellom dem. De danner derfor et mønster som kan fylle planet, det vil si at mønstret kan utvides i det uendelige i alle retninger. Å fylle planet med like eller ulike former kaller vi flislegging. Et annet ord for flislegging er tessellering. Det fins mange mønstre som kan fylle planet. Først skal vi ta for oss noen mønstre bygd opp av regulære mangekanter. Flislegging med regulære mangekanter som er like Vi vil først bruke like, regulære mangekanter til å fylle planet. Sidene i mangekantene skal altså være like lange. Hvert hjørne i en mangekant skal møte et hjørne i en annen mangekant. Hvilke regulære mangekanter kan vi da bruke? Sekskantmønstret til venstre kan utvides i det uendelige. Vi kan bruke regulære sekskanter til å fylle planet, men ikke regulære femkanter. Se på punktet der sekskantene møtes. Vi ser at summen av vinklene er 360. Se figuren til høyre. I det punktet der de tre femkantene møtes, er summen av vinklene 324, altså mindre enn 360. Skal vi kunne fylle planet med mangekanter, må summen av vinklene i alle punkter der mangekantene møtes, være 360. Denne regelen gjelder for alle mangekanter, ikke bare for de regulære. Når vi skal fylle planet med regulære mangekanter som er like, kan vi bare bruke trekanter, firkanter eller sekskanter.

49 154 Geometri 3.9 Eksempel 1 Farger skaper mønster Når kunstnere og formgivere bruker mangekanter eller andre figurer til å dekke en flate, bruker de også farger. I tillegg til at fargene er vakre i seg selv, er de med på å lage nye mønstre ved at de lager grupper av de mangekantene som danner selve det geometriske mønstret. Dermed kan selv trekanter plassert på den enkleste måte danne grunnlaget for spennende og vakre mønstre. Dette finner vi blant annet i broderi og veving. Oppgave 3.73 Studer bildet i eksempel 1. Hvilke mangekanter ser du i mønstret? Oppgave 3.74 Forklar hvorfor det ikke er mulig å fylle planet med regulære åttekanter.

50 Geometri NB! Flislegging der de regulære mangekantene ikke er like Hvis det ikke er et krav at alle de regulære mangekantene skal være like, trenger vi ikke å holde oss til bare trekanter, bare firkanter eller bare sekskanter. Da er det større variasjonsmuligheter. Vi skal undersøke hvilke muligheter som fins med regulære mangekanter når vi krever at alle hjørnene skal være like, det vil si at det i hvert hjørne kommer de samme mangekantene i samme rekkefølge. Du må altså velge mangekantene slik at summen av vinklene blir 360 i de punktene der mangekantene har et felles hjørne. Men det er ikke nok å kontrollere at det går bra i ett eller noen få hjørner. Du må undersøke hvordan det går når du fortsetter. Det enkleste er å prøve med mangekanter av papir, papp eller plast, men du kan også tegne. Eksempel 2 Flislegging med regulære sekskanter og trekanter Vi vil undersøke om vi kan bruke regulære sekskanter sammen med regulære trekanter til å fylle planet. Fra før av vet du at vinkelen i en regulær sekskant er 120, og at vinkelen i en regulær trekant er 60. Summen av vinklene i et felles hjørne skal være sekskanter og to trekanter møtes: = Det kan vi få til ved å la to Dette mønstret kan vi utvide til å fylle planet. I eksempel 2 er alle hjørnene like. I hvert hjørne er rekkefølgen «regulær trekant, regulær sekskant, regulær trekant, regulær sekskant». Mønstret kan da skrives (3,6,3,6). (Vi begynner med det laveste tallet og fortsetter i den rekkefølgen mangekantene kommer.)