Geometri Vg1P MATEMATIKK

Transkript

1 Geometri Innhold Innhold... 1 Kompetansemål i læreplanen for Vg1P... Innledning. Historikk Lengde og vinkler... 4 Måleenheter for lengde... 6 Måleredskaper... 7 Presisjon og målenøyaktighet... 7 Vinkel... 7 Pytagoras setning... 8 Noen setninger om vinkler... 1 Formlikhet Areal og volum Definisjon og måleenheter areal Arealformler... 0 Tilnærmingsverdier... Arealformel for sirkel... 3 Definisjon og måleenheter volum... 4 Volum av prisme... 6 Volum og overflate av sylinder... 8 Volum av pyramide... 9 Volum og overflate av kjegle Volum og overflate av kule Geometri i yrkesliv, kunst og arkitektur Kart Arbeidstegninger... 3 Perspektivtegninger Skisser og mer om perspektivtegninger Tekst og eksempler Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA 1

2 Kompetansemål i læreplanen for Vg1P Bruke formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger og i praktisk arbeid Løse praktiske problemer som gjelder lengde, vinkel, areal og volum Regne med måleenheter, bruke ulike måleredskaper, og vurdere målenøyaktighet Tolke og framstille arbeidstegninger, kart, skisser og perspektivtegninger knyttet til yrkesliv, kunst og arkitektur

3 Innledning. Historikk Ordet geometri betyr «måling av jord». De eldste beretninger om jordmåling vi kjenner til, stammer fra det gamle Egypt for ca år siden. Da betalte jordeierne skatt etter hvor mye jord de eide, og jordarealene måtte måles opp. Nilen gikk ofte over sine bredder, og det medførte at landarealene til mange jordeiere endret seg. Det måtte derfor stadig foretas nye oppmålinger, og de gamle egypterne fikk etter hvert masse kunnskap om geometri. De utviklet metoder for å beregne areal av kvadrater, trekanter og andre figurer. Fra de tidligste tider har mennesker vært opptatt av former og figurer i naturen. Da egypterne, og også de gamle babylonerne, utviklet kunnskaper om jordmåling, ble interessen for geometri som fag større. En spesiell form i naturen fasinerte spesielt. Det var sirkelen, solas og månens form. Det svært spesielle med sirkelen var at det så ut til å finnes et bestemt forhold mellom omkretsen til sirkelen og dens radius. Det samme forholdet så ut til å finnes i alle sirkler uansett størrelse. Unøyaktige målemetoder gjorde det vanskelig å finne dette tallet nøyaktig eller vite om det virkelig fantes et slikt tall. Jakten på dette forholdstallet, som etter hvert har fått betegnelsen, er kanskje den enkeltsak i matematikken som har opptatt flest matematikere gjennom tidene. Resultatet av denne jakten er til nå at tallet er bestemt som et desimaltall med mange milliarder desimaler. Ingen har funnet noe system i desimalsifrene, og fortsatt er det personer som leter etter nye desimaler. Det kanskje mest imponerende er japaneren som lærte seg desimaler utenat. Han måtte bruke 9 timer for å si dem fram. Du har altså fortsatt mulighet for å bli berømt som matematiker. Pi - Milestep Det eldste og mest berømte læreverket i geometri heter «Elementer», og ble forfattet av Euklid ca. år 300 f. kr. Euklid var en gresk matematiker som bodde og arbeidet i Alexandria i Egypt. Euklids «Elementer» er det mest innflytelsesrike verket i matematikkens historie og trolig verdens mest kjente fagbok. Læreverket, som består av 13 bøker, ble brukt i europeiske skoler nesten helt fram til vår tid. Det er kun Bibelen som har hatt større plass i europeisk skole enn dette verket. Det er for eksempel i dette læreverket at konstruksjoner av figurer ved hjelp av passer og linjal introduseres. 3

4 .1 Lengde og vinkler I Euklids «Elementer» er geometrien systematisk bygd opp. Euklid startet med å definere noen grunnleggende begreper. Han definerte hva som menes med et punkt, en linje, en vinkel, en trekant, en sirkel osv. De fleste av disse begrepene kjenner du fra grunnskolen. Det kan likevel være nyttig å friske opp noen av dine gamle kunnskaper. Det kan også mange ganger være vanskelig å si med ord for eksempel hva en linje er, selv om du inderlig godt vet hva det er. Det er derfor nyttig å prate med medelever om disse begrepene og hva de betyr. Det er ikke så farlig om du ikke klarer å formulere alt med ord, bare du føler at du skjønner betydningen. Du kan repetere dine geometrikunnskaper, samtidig som du gjør deg kjent med geometriprogrammet GeoGebra. Gå sammen med en annen elev. Diskuter spørsmålene nedenfor. Forsøk å formulere svar på spørsmålene. Overalt hvor det er mulig, skal dere lage en tegning i GeoGebra. Hva menes med et punkt? Hva menes med en linje? Hva menes med et linjestykke? Hvordan finner vi midtpunktet på et linjestykke? Hva menes med en stråle? Hva menes med en normal til en linje eller linjestykke? Hva menes med en midtnormal til et linjestykke? Hva menes med parallelle linjer? Hva menes med en vinkel? Hva menes med toppunktet til en vinkel? Hva menes med høyre og venstre vinkelbein? Hva måles vinkler i? Mål noen vinkler. Hva menes med halveringslinje for vinkel? Hva menes med en rett vinkel? Hvor mange grader er en rett vinkel? Hva menes med en spiss vinkel? Hva kan du si om gradtallet til en spiss vinkel? Hva menes med en stump vinkel? Hva kan du si om gradtallet til en stump vinkel? Hva menes med en sirkel? Hva menes med radius og diameter i en sirkel? Hva er sammenhengen mellom radius og diameter i en sirkel? Lag flere sirkler ved «Sirkler definert med sentrum og punkt». Tegn linjestykket/radius i sirklene mellom sentrum og et punkt på sirkelen. Mål omkrets og radius til alle sirkler og regn ut forholdet mellom omkrets og diameter. 4

5 Hva menes med tangenter til en sirkel? Hva er en mangekant? Tegn mangekanter med 3, 4 og 5 kanter. Mål omkretsene til mangekantene. Tegn en trekant. Hvor mange «høyder» har en trekant. Tegn alle høydene. Mål vinklene i trekanten. Hva er summen av vinklene? Hva er en rettvinklet trekant? Hva er en likebeint trekant? Hva er en likesidet trekant? Hva er vinkelsummen i en firkant? Hva er en regulær mangekant? Tegn regulære mangekanter med antall kanter fra 3 til 7. Har noen av dem spesielle navn? Mål omkretsene. Hva menes med diagonaler? Hva menes med sirkelbue og sirkelsektor? 5

6 Måleenheter for lengde Fra gammelt av har det vært mange måleenheter for lengde. Noen av de gamle måleenhetene er ennå i bruk. Det er fortsatt vanlig å måle størrelsen på båter i fot, og størrelsen på fjernsynsskjermer måles i tommer (langs diagonalen av skjermen). I de fleste europeiske land, og i flesteparten av verdens land, brukes i dag det metriske målesystemet. I dette systemet er grunnenheten meter, m. Tidligere var 1 meter definert som lengden av en bestemt stav som ble oppbevart i Paris. Dette ble etter hvert for unøyaktig, og nå har meteren fått en nøyaktig fysisk definisjon. En meter er nå definert som avstanden lyset beveger seg i vakuum i løpet av en bestemt brøkdel av et sekund. Hvis vi deler 1 meter i 10 deler, får vi desimeter, dm. 1 meter kan deles i 100 deler, en slik del kaller vi centimeter, cm. En tusendels meter kalles for en millimeter, mm. Alle mål for trevirke skal nå oppgis i millimeter. For veldig små størrelser har vi også milliondelsmeter, mikrometer, μm og milliarddelsmeter, nanometer, nm. For store størrelser har vi km, kilometer (kilo betyr tusen) og for avstander i verdensrommet bruker vi måleenheter som lysår, som er avstanden lyset tilbakelegger i løpet av ett år. En oversikt over måleenheter for lengde kilometer km tusen meter m hektometer hm hundre meter 100 m meter m 1 m desimeter dm tidels meter 0,1 m centimeter cm hundredels meter 0,01 m millimeter mm tusendels meter 0,001 m mikrometer μm milliondels meter 0, m nanometer nm milliarddels meter 0, m 6

7 Måleredskaper Det er vanlig å bruke målebånd, linjal, meterstav osv for å måle lengde. På mekaniske verksteder er de ofte avhengige av større målenøyaktigheter. Da bruker de mikrometer og skyvelære. Du har kanskje en trippteller på sykkelen? Vi har også mer moderne måleinstrumenter som lasermålere og GPS. Presisjon og målenøyaktighet Uansett bruk av måleredskap vil den lengden vi måler, ikke være helt nøyaktig. Med en linjal er det vanskelig å angi antall millimeter nøyaktig. Vi kan derfor ikke ta med flere siffer enn det sifferet som angir millimeter. Vi kan måle en lengde til for eksempel 1, cm med en vanlig linjal. Vi er da innforstått med det siste sifferet er usikkert. Den riktige lengden ligger mellom 1,15 cm og 1,5 cm. Med skyvelære og mikrometer kan det måles mer nøyaktig, og måltallet kan oppgis med flere siffer. Vinkel Vinkler måles i grader. Vinkelen på tegningen er 43,7 grader 43,7. Gradtallet angir størrelsen på åpningen mellom vinkelbeina. Vi tenker oss en sirkel med sentrum i vinkelens toppunkt. Hele sirkelen er delt inn i 360 grader. Gradskive kan brukes for å måle vinkler. På samme måte som med lengder og alle andre målte størrelser er det gradtallet vi måler, bare en tilnærmet verdi, og i det måltallet vi oppgir, ligger usikkerheten i det siste sifferet. Gradskive kan også brukes for å tegne vinkler med bestemt gradtall. Da fås vinkler som er tilnærmet riktige. Noen vinkler kan imidlertid konstrueres med passer og linjal, eller i GeoGebra, slik at de blir nøyaktige. De første beskrivelser av disse konstruksjonene finnes i Euklids «Elementer». 7

8 Pytagoras setning Pytagoras setning handler om rettvinklede trekanter. I slike trekanter er det en spesiell sammenheng mellom lengdene til sidene. Denne sammenhengen var kjent i de tidligste sivilisasjoner, men det er fra matematikeren Pytagoras, som levde i Hellas ca 500 år f. Kr., vi har navnet på setningen. Tegn en trekant som er rettvinklet og hvor de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang? Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene. Kvadratet av sidelengden a a 5 5 Kvadratet av sidelengden b b 3 9 Kvadratet av sidelengden c c 4 16 Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du? Vi ser at Det er det samme som at a b c Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90. For å kunne formulere denne sammenhengen med ord, gir vi navn på sidene i rettvinkede trekanter. Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter. Pytagoras` setning: hypotenus katet katet a b c Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er også vanlig at vi har samme bokstav på hjørne og side som står motsatt hverandre. 8

9 Geometrisk bevis for Pytagoras setning Lag et kvadrat med sidelengder a b slik som figuren viser. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra. Del sidelengdene i to deler a og b, trekk linjer(klipp ut) som figuren viser og få på denne måten 4 like rettvinklede trekanter, grønne og røde. Hypotenusen i trekantene kaller du c. Det blå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde c og areal c. Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.) Arealet i de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik a b. Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene. Det må bety at det blå arealet i de to figurene er like stort, altså at a b c. Dette er nettopp Pytagoras setning for våre rettvinklede trekanter. På våre nettsider finner du flere bevis for Pytagoras setning. 9

10 Pytagoras setning kan brukes for å finne en ukjent side i en rettvinket trekant når to av sidene er kjent. Eksempel1 Hvor lang er siden b på figuren? Pytagoras setning gir b b b b,0 5,0 4,0 5,0 9,0 b 5,4 9,0 Siden b er ca. 5,4 cm. Eksempel Hvor lang er siden AB på figuren? Pytagoras setning gir,7 c 6,5 c 6,5,7 c c 5,9 6,5,7 Siden AB er ca. 5,9 m. 10

11 Eksempel 3 En stige skal plasseres,4 meter fra en husvegg og skal akkurat nå opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken. Hvor lang må stigen være? La stigen være x meter lang. Pytagoras setning gir: x x x x 4,6, 4 1,16 5,76 6,9 x 5, 6,9 Stigen må være ca. 5, meter lang. Hvordan lage rette vinkler Noen ganger bruker vi Pytagoras setning for å lage vinkler som er 90 grader. Snekker Pettersen skulle bygge en garasje. Det var svært viktig at alle hjørnene ble rette vinkler. Vinkelmåleren han brukte til vanlig, ble litt for liten slik at den ga unøyaktig vinkel. Han saget da til to bordlengder, den ene på 3 m, og den andre på 4 m. Han festet bordlengdene i endene som vist på tegningen og la dem slik at avstanden mellom de røde punktene ble 5 m. Han brukte til slutt en tredje bordlengde og spikret det sammen. Pettersen brukte Pytagoras setning for å lage seg en rett vinkel. Hvordan kontrollere at vinkler er rette Mål lengde, bredde og diagonal til pulten eller bordplata du jobber ved. Kvadrer alle lengdene. Sjekk om summen av kvadratene til lengde og bredde er lik kvadratet til hypotenusen. Hvis ikke, så er bordplata skeiv. 11

12 Noen setninger om vinkler I grunnskolen ble du kjent med noen nyttige setninger om vinkler. Her kommer en liten repetisjon. Toppvinkler Vinklene u og v kalles toppvinkler. Toppvinkler er alltid like store. Vi har at u v u v Samsvarende vinkler To vinkler er samsvarende hvis en linje utgjør enten høyre vinkelbein i begge vinklene eller venstre vinkelbein i begge vinklene. På Fig. 1 er u og v samsvarende vinkler fordi de har venstre vinkelbein felles. Linjen l er venstre vinkelbein i begge vinklene. Vinklene u og v er ikke like store. Samsvarende vinkler ved parallelle linjer På Fig. er u og v samsvarende vinkler fordi venstre vinkelbein er felles (linjen l). I tillegg er deres høyre vinkelbein parallelle. Linjene m og n er parallelle. Da er u og v like store. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Utfordring! Hvor store er vinklene j, k, r, s, t og w sammenliknet med u og v? Begrunn svarene. 1

13 Formlikhet Studer figurene A, B og C. Beskriv forskjeller og likheter mellom figurene. Som du sikkert har funnet ut, så er det en likhet mellom figur B og figur C. Disse figurene har samme form. Forskjellen er at figur C er en forstørret utgave av figur B. Figur A har en annen form. To figurer er formlike når vi ved å forstørre eller forminske den ene figuren kan få en figur som er lik den andre. Figurene B og C kan deles opp i trekanter. Da får vi tre par med formlike trekanter, trekanter med samme farge har samme form. Sammenlign sider og vinkler i de tre parene av formlike trekanter. Hva ser du? Studerer du lenge nok, vil du oppdage to ting: Vinklene i formlike trekanter er parvis like store. Forholdet mellom to tilsvarende sidelengder i et par av formlike trekanter er det samme. De vinklene som er like store, er de som ligger «på samme plass» i trekantene. Vi kaller dem for tilsvarende vinkler. Forholdstallet mellom sidene i alle tre parene av trekanter er i disse eksemplene det samme siden alle sidene i figur C er dobbelt så store som sidene i figur B. Forholdstallet er. I andre par av formlike trekanter kan forholdstallet være et annet tall. Formlikhet har vi for alle typer figurer. Vi summerer opp hva som gjelder for formlike trekanter: 13

14 Formlike trekanter Figuren viser to formlike trekanter. Som du ser er to og to vinkler like store. Hvis vi kan vise at vinklene i to trekanter er parvis like store, da har vi vist at trekantene er formlike. Det er nok å vise at to par av vinkler i to trekanter er like store. På grunn av setningen om at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader, må nemlig også det tredje paret av vinkler være like store. Dersom to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. To sider som ligger mellom vinkler som er like store, kaller vi for tilsvarende sider. Sidene EF og BC er tilsvarende, sidene DE og AC er tilsvarende, og sidene DF og AB er tilsvarende. Vi regner ut forholdene mellom lengdene til de tre parene med tilsvarende sider. EF 9,0 DE 7,1 DF 4, 1,4 1,4 1,4 BC 6,4 AC 5,1 AB 3,0 I formlike trekanter er forholdet mellom tilsvarende sider alltid det samme. 14

15 Bruk av formlikhet for å regne ut ukjente sider i trekanter Formlikhet kan brukes for å regne ut ukjente sider i trekanter. Normalt må det først vises at trekantene er formlike ved å vise at vinklene er parvis like. Så brukes de like forholdene mellom tilsvarende sider til å regne ut ukjente sider. Eksempel 1 ABC og DEF er to formlike trekanter. Regn ut lengden til siden AC. Løsning Alternativ 1 Her er AC og DF tilsvarende sider. Det er også AB og DE. Da må forholdet mellom AC og DF være lik forholdet mellom AC og DE. Vi setter forholdene lik hverandre og får en likning med b som ukjent. Det er lurt å lage likningen slik at vi begynner med den ukjente. Da får vi den ukjente i telleren, og da er regningen enklere. Alternativ AB 4,5 Vi kan regne ut forholdstallet 1,5 DE 3 Det betyr at AC 1,5DF 1,5, 3,3 AC AB DF DE AC 4,5, 3,0 AC, 4,5,, 3,0 AC 3, 3 15

16 Eksempel Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er uten å felle det. Utstyr: Sol Metermål Vi setter en pinne ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet. Se figuren nedenfor. Vi får da to formlike trekanter. Vi finner ut hvor høyt treet er ved å bruke tilsvarende sider. Vi setter høyden av treet lik x m og får x 15 1, 0 1, x 1,51,0 x 1,5 Treet er 1,5 meter høyt. 16

17 Eksempel 3 På figuren er AB og DE parallelle. Linjestykkene AE og BD går begge gjennom C. Oppgave Vis at ABC og EDC er formlike, og bruk dette til å regne ut en av de ukjente sidene i ABC. Løsning ACB DCE siden disse er toppvinkler. D Bfordi de er samsvarende vinkler med parallelle vinkelbein. Sidene BC og CD er da tilsvarende sider. Det samme er sidene AB og DE. Dette gir oss to like forhold: BC AB DC DE BC 150 cm 45 cm 60 cm BC 45 cm 150 cm45 cm 45 cm 60 cm BC 113 cm 17

18 1 dm Geometri Vg1P. Areal og volum Definisjon og måleenheter areal Arealet til en figur er et mål for hvor stor flate figuren dekker. Vi sier at et kvadrat med sider 1 cm har et areal på en kvadratcentimeter, 1 cm. Vi kan også ha som måleenheter m, dm og mm. Det er flatestørrelsen til kvadrater med sider henholdsvis 1 m, 1 dm og 1 mm. 1 dm 1 cm Av tabellen fremgår det at gjelder mellom 1 dm tilsvarer 100 cm. Det betyr igjen at 1 cm 0,01 dm. Tilsvarende dm og m og mellom mm og cm. Vi kan sette opp en oversikt over sammenhengen mellom måleenheter for areal. Vi repeterer også sammenhengen mellom lengdeenheter: 1 cm 10 mm 1 cm 1010 mm 100 mm 1 mm 0,01 cm 1 dm 10 cm 1 dm 1010 cm 100 cm 1 cm 0,01 dm 1 m 10 dm 1 m 1010 dm 100 dm 1 dm 0,01 m Eksempler på omregning mellom måleenheter:,3 m,3 100 dm 30 dm 3105 cm ,01 dm 31,05 dm 18

19 Vi ser av eksemplene at resultatet av omgjøringene er at vi flytter komma to plasser. For større arealer har vi også noen andre måleenheter: 1 a 100 m ar 1 da 10 a 1000 m dekar 1 ha 100 a m hektar 1 km 1000 da m kvadratkilometer 19

20 Arealformler I et rektangel som er 5 cm langt og 3 cm høyt kan vi få plass til 3515 kvadrater som hver har et areal på 1 cm. Det betyr at arealet er på 15 cm. Vi kan altså finne arealet til et rektangel ved å multiplisere grunnlinjen med høyden, eller det vi ofte kaller lengden med bredden. Vi får en formel for arealet til et rektangel A g h (Husk samme måleenhet på sidene.) Vi kan også lage formler for arealet til andre figurer. På figuren til høyre ser du en lyserød trekant. Arealet som er markert med blått, er like stort som arealet til denne trekanten. Vi får et rektangel med Arektangel trekant er da Atrekant gh g h. Areal til lyserød Du kan gjøre en tilsvarende betraktning og finne formelen for arealet til et parallellogram. 0

21 Vi repeterer navn, definisjoner og arealformler for noen figurer du kjenner fra før. Kvadrat Rektangel Trekant A s A g h gh A Parallellogram Rombe Trapes A gh A g h A a b h Sirkel Ar d r 1

22 Tilnærmingsverdier Eksempel Regn ut arealet til et rektangel med grunnlinje 3,4 m og høyde 1,7 m. Løsning Vi bruker arealformelen og får vi avrunde? A 3,4 m1,7 m 5,78 m. Bør vi ta med alle sifrene i svaret, eller bør Du husker fra måling av lengde at alle målte lengder er usikre. Usikkerheten ligger i siste siffer. Det betyr at når grunnlinjen er målt til 3,4 m, så vet vi bare at lengden ligger mellom 3,35 m og 3,45 m. Høyden ligger tilsvarende mellom 1,65 m og 1,75 m. Den største verdien arealet kan ha er Den minste verdien arealet kan ha er Amax 3,451,75 m 6,0375 m Amin 3,35 1,65 m 5,575 m Det mest riktige blir å avrunde til siffer. A 3,4 m1,7 m 5,78 m 5,8 m Det blir for tungvint å regne på usikkerhet i alle oppgaver. Derfor innfører vi regelen om antall gjeldende sifre. Når vi bruker målte verdier i beregninger, tar vi med like mange sifre i svaret som antall sifre i de målte verdiene. Hvis antall sifre i de målte verdiene er forskjellige, tar vi med det minste antallet.

23 Arealformel for sirkel Det er ikke så lett å gjøre en sirkel om til et rektangel og på den måten finne formelen for arealet. Vi får likevel en brukbar tilnærming ved metoden vist i figuren. Vi deler sirkelen inn i like sektorer. Så stiller vi sektorene annenhver opp ned slik at sektorene tilnærmet blir et parallellogram med grunnlinje tilnærmet lik r r og høyde lik r. Arealet blir da tilnærmet A r r r. Hvis vi deler sirkelen i veldig mange sektorer, og setter sektorene sammen som vist på figuren, får vi tilnærmet et rektangel. 3

24 1 dm Geometri Vg1P Definisjon og måleenheter volum Volumet til en figur er et mål for hvor stort rom figuren dekker. Vi sier at et rett prisme med sidekanter 1 cm, det vil si en terning med sidekanter 1 cm, har et volum på en kubikkcentimeter, 3 1 cm. Vi kan også ha som måleenheter m, dm og mm. Det er volumer til terninger med sidekanter henholdsvis 1 m, 1 dm og 1 mm. I hver rute i diagrammet nedenfor legger vi en terning med sidekanter lik 1 cm. Vi ser diagrammet rett ovenfra. Det er plass til terninger. Vi legger flere lag med terninger oppå hverandre til vi får en høyde på 1 dm som er lik 10 cm. Det går 10 lag. Det blir til sammen 1000 terninger. Det er altså plass til 1000 terninger med sidekanter på 1 cm i 1 terning med sidekanter på 1 dm. Det betyr at dm 1000 cm og 1 cm 0,001 dm 1 dm 3 1 cm Tilsvarende gjelder mellom over sammenhengen mellom måleenheter for volum dm og m og mellom mm og cm. Vi kan sette opp følgende oversikt 4

25 1 cm mm 1000 mm 1 mm 0,001 cm dm cm 1000 cm 1 cm 0,001 dm m dm 1000 dm 1 dm 0,001 m Eksempler på omregning mellom måleenheter 3 3 3,3 m, dm 300 dm cm ,001 dm 3,105 dm Det er vanlig å bruke liter som måleenhet for volum når vi regner med væskemengder. 3 1 liter 1dm En liter deles igjen inn i desiliter, centiliter og milliliter. Vi har denne sammenhengen 1 l 10 dl 100 cl 1000 ml 1 dl 10 cl 100 ml 1 cl 10 ml 1 ml 0,1 cl 0,01 dl 0,001 l 1 cl 0,1 dl 0,01 l 1 dl 0,1 l 5

26 Volum av prisme Et prisme er en romfigur som er bestemt av to identiske mangekanter som danner bunnflate og toppflate, endeflater, og et linjestykke som markerer høyden eller avstanden mellom endeflatene. Flatene mellom endeflatene kalles for sideflater, og de er alle parallellogrammer. Hvis alle sideflatene står vinkelrett på grunnflaten, har vi et rett prisme. Da er alle sideflatene rektangler. Hvis grunnflaten er et rektangel, har vi et firkantet prisme. Hvis grunnflaten er en trekant, har vi et trekantet prisme. Vi kan bruke samme resonnement som vi brukte når vi sammenliknet volumet for terninger, og når vi behandlet arealformelen for trekanter til å begrunne volumformelen for prismer. Volumet av et prisme er gitt ved formelen V G h Høyden h står alltid vinkelrett på grunnflaten. G står for arealet til grunnflaten. Eksempel En eske har et rektangel med sidelengder 34 cm og 17 cm til grunnflate. Høyden til esken er 50 cm. a) Finn arealet til grunnflaten b) Finn volumet til esken c) Hvor mange liter rommer esken? Løsning a) Bruker arealformelen og får G 34 cm17 cm 578 cm 580 cm. b) Volumet er V Gh 578 cm 50 cm 8900 cm 9000 cm c) Vi bruker at liter er det samme som kubikkdesimeter, og får V 9000 cm ,001 dm 9 dm 9 l Når det gjelder antall sifre vi skal avrunde til, har vi samme forhold som ved areal. Vi bruker regelen om antall gjeldende sifre. Legg også merke til at vi tar med et ekstra siffer i mellomregningen. Årsaken til dette kan illustreres med et eksempel. 6

27 Eksempel Grunnflata til en eske er et rektangel med sidelengder 0,5 cm og 0,4 cm. Esken er 78 cm høy. Korrekt utregning av volum i 3 cm blir da 0,5 0,4 78 9,7344 9,7 Ved først å regne ut grunnflaten i cm for deretter å multiplisere med høyden, får vi forskjellige svar avhengig av hvor mye vi avrunder i mellomregningen. Ved å bruke tilnærmet verdi for grunnflaten: 0,50,4 0,148 0,1 0,178 9, 36 9, 4 Ved å ta med et ekstra siffer fra mellomregningen: 0,50,4 0,148 0,15 0,1578 9,75 9,8 Eksempelet viser at tilnærmede verdier fra mellomregninger gir mer upresise svar. Ved å ta med et ekstra siffer fra mellomregninger reduseres feilen. 7

28 Volum og overflate av sylinder En sylinder er en romfigur hvor toppflaten og bunnflaten er sirkler. Volumet er grunnflate ganget med høyden. For å finne overflaten må vi tenke oss sylinderen klippet opp og lagt ut slik tegningen viser. Topp og bunn gir to sirkler, og sideflaten gir et rektangel med grunnlinje lik omkretsen til sirklene. Formler for volum og overflateareal til en sylinder med høyde h og r som radius i grunnflaten. V r h O r r h Eksempel I en sylinderformet kakeboks er diameteren i grunnflaten a) Finn arealet til grunnflaten b) Finn volumet til kakeboksen c) Finn arealet til overflaten til kakeboksen d 5,4 cm og høyden h 11, cm. Løsning a) Grunnflaten er en sirkel med radius lik halvparten av diameteren. d 5,4 cm G r 506,7 cm 507 cm b) Volumet er 3 3 V Gh 506,7 cm 11, cm 5680 cm 5,68 dm 5,68 l 8

29 c) Overflaten består av topp og bunn som er sirkelformet og en rektangulær sideflate. Arealet til overflaten er O r r h 5,4 cm 5,4 cm O 11, cm O 1910 cm Volum av pyramide En pyramide har en mangekant som grunnflate og et toppunkt. Videre har den sideflater som går fra sidekantene i grunnflaten til toppunktet. Avstanden fra toppunktet til grunnflaten kalles for høyden. Når grunnflaten er en trekant, har vi en trekantet pyramide. Når grunnflaten er en firkant, har vi en firkantet pyramide. Formelen for volumet til en pyramide kan utledes ved å bruke mer avansert matematikk. Vi gjengir formelen: Volumet av en pyramide er gitt ved formelen Gh V 3 Høyden h står alltid vinkelrett på grunnflaten. Du kan undersøke om du synes formelen er rimelig ved å helle vann i et pyramideformet volum og måle volumet. 9

30 Volum og overflate av kjegle En kjegle er en figur som vist på tegningen. Grunnflaten er en sirkel. Det kan vises at formlene for volum og overflateareal til en kjegle er r h 3 V og O r r s Høyden h står alltid vinkelrett på grunnflaten og s er lengden av sidekanten Her kan du også undersøke om du synes formelen er rimelig ved å måle vannmengden du kan fylle i en kjegleformet gjenstand. Volum og overflate av kule Det kan vises at formlene for volum og overflateareal til en kule er som vist i rammen: Volum og overflateareal av en kule er gitt ved 3 4 r V og O 4 r 3 30

31 .3 Geometri i yrkesliv, kunst og arkitektur Kart Et kart er ment å være en forminsket utgave av terrenget sett ovenfra, altså et formlikt bilde av virkeligheten. Formålet er å beregne avstander i terrenget på grunnlag av avstander på kartet. I virkeligheten er det bare luftlinjeavstander vi kan beregne. Kartet gir ikke grunnlag for å beregne ekstraavstander på grunn fjell og daler. På kart over store landområder får vi også feil på grunn av jordkrummingen. Målestokk Kartet viser et parti fra Lindesnes kommune i nærheten av Lindesnes fyr. Kartutsnittet er hentet fra nettsidene til Lindesnes kommune og er utarbeidet av GEODATA AS. Kartet har målestokken 1: Det betyr at området er ganger større enn kartet. 1 cm på kartet svarer til cm i virkeligheten cm 500 m 0,5 km, derfor vil 1 cm på kartet svare til 0,5 km i virkeligheten, og 1 km i virkeligheten vil svare til cm på kartet. På kartet kan vi måle at det er 10 cm fra Stokke til øya Våre. Det betyr at avstanden i virkeligheten er 10 0,5 km 5 km. Motsatt vil en båtreise på 15 km svare til cm15 30 cm på kartet. 31

32 Arbeidstegninger En arbeidstegning er vanligvis en forminsket utgave av en gjenstand som skal bygges, for eksempel et hus. Også her er tegningen et formlikt bilde av virkeligheten. Formålet er å beregne virkelige avstander på grunnlag av tegningen. Hvis det er veldig små gjenstander som skal lages, så kan målene på tegningen være større enn i virkeligheten. Plan for hytteområdet Tentodden, Alv Tore Romedal Målestokk Hvis målestokken er for eksempel : 1, så betyr det at tegningen er forstørret i forhold til virkeligheten. Det betyr at cm på tegningen svarer til 1 cm i virkeligheten. En hustegning kan ha målestokken 1 : 100. Det betyr at 1 cm på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheten eller at 1 cm på tegningen svarer til 1 m i virkeligheten. 5,5 cm på tegningen svarer til 5,5 cm cm 5,5 m i virkeligheten. 8 m i virkeligheten svarer til 8 m 0,08 m 8 cmpå tegningen. 100 Det er også vanlig med arbeidstegninger hvor de virkelige målene står oppført på tegningen. 3

33 Perspektivtegninger En utfordring ved å tegne er å gjengi virkeligheten slik at det skapes inntrykk av rom og dybde. Tegningen utføres på papir, dataskjerm eller andre flater som er av to dimensjoner, mens det som tegnes ofte er av tre dimensjoner, romfigurer. På slutten av 1400-tallet begynte kunstnere å utvikle teknikker for perspektivtegning. Fotografier gir inntrykk av rom og dybde. Studerer vi for eksempel et fotografi av en vei, synes det som om veien smalner inn. Veikantene som egentlig er parallelle linjer, synes å nærme seg et felles punkt. De forsvinner i et punkt i det fjerne. Slik er det også når vi studerer naturen. Ting som er langt borte ser mindre ut. Dette prinsippet utnyttes i perspektivtegningen. Punktet som alle linjer synes å forsvinne i kalles for forsvinningspunktet. Vi skal nå vise hvordan vi kan tegne et rom slik at vi får fram romfølelsen. Vi tegner først en firkantet ramme som angir tak, vegger og gulv. Vi tenker oss rommet sett rett forfra. Da plasserer vi forsvinningspunktet i øyehøyde rett foran der vi står og ser. Hjelpelinjer trekkes så fra hjørnene i rammen til forsvinningspunktet (Trinn 1). Vi lager så en ny firkantet ramme hvor alle sidene er parallelle med sidene i den første rammen, og hvor alle hjørnene ligger på hjelpelinjene. Vi har tegnet bakveggen i rommet. Fargelegging av gulv, vegger og tak gir nå en viss romfølelse (Trinn ). 33

34 Vi fortsetter med å tegne vinduer og møbler etter samme prinsipp som de påfølgende tegningene viser. Vi så rommet rett forfra. Alle linjer forsvant i ett punkt. Dette kalles for ettpunktsperspektiv. Vi så også rommet fra normal høyde, sentralperspektiv. 34

35 Ved å flytte oss opp slik at øyehøyden og dermed forsvinningspunktet kommer over gjenstanden, får vi et fugleperspektiv. Ved å flytte oss ned slik at øyehøyden og dermed forsvinningspunktet kommer under gjenstanden, får vi et froskeperspektiv. Skisser og mer om perspektivtegninger Kunstnere, arkitekter og andre benytter seg av teknikkene i perspektivtegning når de lager skisser. Skisser kan være enkle tegninger laget for hånd hvor det ikke stilles så strenge krav til nøyaktighet, men hvor det tydelig skal fremgå hva tegneren mener. En arkitekt lager gjerne en skisse før hun begynner på den detaljerte tegningen. Oppdragsgiver er som oftest mer interessert i hvordan det ferdige produktet vil bli seende ut. Til høyre har tegneren benyttet seg av topunktsperspektiv. Ved topunktsperspektiv er det to forsvinningspunkter som ligger på samme horisontale linje, horisontlinjen. Teknikken brukes når vi ser gjenstanden fra skrå vinkel. Tegnere kan også benytte seg av trepunktsperspektiv. Når gjenstanden ses fra lav høyde, vil også de loddrette linjene forsvinne i et forsvinningspunkt. Til høyre ser du skisser av en melkekartong sett fra forskjellige vinkler. Du kan søke på nettet etter perspektivtegninger og finne mange fine tegninger. Kunstnere og andre benytter seg også av andre teknikker som for eksempel lyssetting og skyggelegging for å få fram inntrykk av rom og dybde. I Wikipedia kan du lese at det første kjente bilde med sentralperspektiv ble laget av Brunelleschi omkring Hans biograf, Antonio Manetti, beskrev dette berømte eksperimentet, hvor Brunelleschi malte baptisteriet i Firenze fra hovedporten av den uferdige katedralen. Lerretet var konstruert med et hull i forsvinningspunktet. Maleriet ble observert fra baksiden, og refleksjonen av bildet ble sett i et speil gjennom hullet, som gav illusjonen av dybde. Dessverre har maleriet siden gått tapt. 35