Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
|
|
|
- Emilie Borgen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler Formlikhet Pytagoras setning Areal Trigonometri Navn på hjørner og sider i trekanter... 7 Tangens, sinus og cosinus... 8 Arealformel for trekanter Trigonometri Arealsetningen Sinussetningen Cosinussetningen... 6 Blandede oppgaver Eksamensoppgaver Noen av oppgavene er merket med symbolet. Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra 1
2 .1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.1.1 Hvordan definerer vi a) en linje? En linje består av uendelig mange punkter. Linjen har en uendelig utstrekning i begge retninger (én dimensjon). b) et linjestykke? Et linjestykke er en del av en linje og avgrenses av to endepunkter. c) en stråle? En stråle er en del av en linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning i én retning..1. Tegn en rett, en spiss og en stump vinkel. En rett vinkel er 90. En spiss vinkel er mindre enn 90. En stump vinkel er større enn d) Tegn to komplementvinkler.
3 e) Tegn to supplementvinkler..1.4 Sett sammen begrep og forklaring 1) Punkt a) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i én retning. ) Linje b) Avgrenset av to endepunkter. 3) Linjestykke c) Har ingen utstrekning, men har en bestemt posisjon. 4) Stråle d) Består av uendelig mange punkter, har uendelig utstrekning i begge retninger. 5) Plan e) Har uendelig utstrekning i to dimensjoner 1c, d, 3b, 4a, 5e.1.5 Sett inn begrepet som mangler: a) To linjer som ligger i samme plan og ikke skjærer hverandre er b) En vinkel på 90, kalles en vinkel c) En vinkel mellom 0 og 90 kaller vi en.. vinkel. d) En vinkel mellom 90 og 180 kaller vi en.. vinkel. e) To vinkler som til sammen er 90 kaller vi vinkler. f) To vinkler som til sammen er 180 kaller vi. vinkler. a) parallelle b) rett 3
4 c) spiss d) stump e) komplement f) supplement.1.6 Bruk figuren og fyll inn begrepene som mangler a) AEC og DEB er. b) AED og CEB er. c) AEC og CEB er. d) AED og DEB er. a) toppvinkler b) toppvinkler c) supplementvinkler d) supplementvinkler 4
5 .1.7 Linjene b og c på figuren er parallelle. Bestem vinkel u, v, w og u 50, v 50, w , Vis at w z. v w 180 w 180 v z v 180 z 180 v w z 5
6 .1.9 Forklar hvorfor u v. Vi har to rettvinklede trekanter, og to toppvinkler. Vinkelsummen i en trekant er 180, vi har derfor at u v Fyll ut tabellen. m dm cm mm 1,5 1, ,59 5, Regn ut. Oppgi svarene i meter. a) 0,0 cm + 1,4 m + 38,0 dm = 0,0 m + 1,4 m + 3,80 m =5,4 m b) 740 mm + 30 cm + 6,0 dm = 0,740 m + 3,0 m + 0,60 m = 4,54 m c) 85 mm + 40,00 dm + 9,0 cm = 0, 085 m + 4,000 m + 0,090 m = 4,175 m 6
7 ..Mangekanter og sirkler..1 Hvilke trekanter er a) rettvinklede? b) Likebeinte? c) Likesidet? Den første er rettvinklet, den andre er likebeint, den tredje likesidet (og dermed likebeint) og den fjerde er rettvinklet og likebeint... Tegn og beskriv - et trapes En firkant. Minst to sider er parallelle. - et parallellogram En firkant. 7
8 Motstående sider er parallelle. - et rektangel En firkant. Alle vinklene er en rombe En firkant. Alle sidene er like lange. - et kvadrat En firkant. Alle vinklene er 90. Alle sidene er like lange. 8
9 ..3 Figuren viser et parallellogram. Bestem de ukjente vinklene. A C 50, B , D B Bestem B på figuren Vinkelsummen i en femkant er Vi finner B
10 ..5 Sett navn på linjene og linjestykkene på figuren 10
11 .3 Formlikhet.3.1 Forklar at ABC er formlik med DEF. Hvor stor er den siste vinkelen i trekantene? Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike. Den siste vinkelen er ,57 63,43.3. ABC og DEF nedenfor er formlike. a) Finn lengden av AC. Vi regner ut målestokken når vi går fra Lengden av AC 10,0 cm 0,75 7,5 cm DEF til ABC. AB 6,0 Målestokken 0,75 DE 8,0 b) Finn lengden av EF. 6,3 cm 6,3 cm Lengden av EF 0,75 3 4,1 6,3 cm 4 8,4 cm 3 11
12 .3.3 I trekanten nedenfor er DE parallell med GH. Forklar at DEF er formlik med GHF. Trekantene DEF og GHF har felles vinkel F. De parallelle linjene DE og GH skjæres av linjene gjennom DF og EF. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel DEF = vinkel GHF osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike..3.4 Figuren nedenfor viser to trekanter DSC og ASB. DC er parallell med AB. Forklar at DSC er formlik med ASB. Toppvinklene ASB og CDS er like store. De parallelle linjene DC og AB skjæres av linjene gjennom AB og CD. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike. 1
13 .3.5 ABC og DEF nedenfor er formlike. A D. Hvor store er de andre vinklene i trekantene? ACB DFE ACB 71,6 CBA FEB ,6 63,4.3.6 Norges høyeste tre skal være grantreet Goliat i Aurskog-Høland. Lise vil finne ut hvor høyt treet er. Hun plasserer en,0 m loddrett stav på bakken 10,0 m foran treet. Lise sikter inn en rett linje fra toppen av treet gjennom toppen av staven som treffer bakken 0,5 m fra staven. Bruk formlikhet og regn ut hvor høyt treet er. Trekanten dannet av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som dannes av bakken, treet og siktelinja. Trekantene har felles vinkel der siktelinja treffer bakken og både staven og treet danner 90 med bakken. 10,5 Målestokk 1 0,5,0 m 1 4m Treet er 4 meter høyt. 13
14 .3.7 Se på figuren under og forklar hvorfor trekantene BTS og B T S er formlike. T T B B S Trekantene BST og B ST har felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike..3.8 På figuren til høyre er siden PQ parallell med RT. Forklar hvorfor trekantene PQS og RST er formlike. Hvilken side er tilsvarende til ST? Finn lengden til denne siden. PSQ RST fordi de er toppvinkler. Linjene PT og RQ skjærer de parallelle linjene PQ og RT og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er SQP SRT. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. Da SQP SRT er sidene PS og ST tilsvarende sider fordi de er motstående sider til like store vinkler. Forholdet mellom tilsvarende sider er konstant PS PQ PS 4m 4 0m PS 5m 3,3 m ST RT 5m 6m
15 .3.9 Vi står på Sjøsanden og skal beregne avstanden ut til Hatholmen. Se figuren til høyre. Vi måler avstander og finner at AB 5m, CD 00 m og BC,5 m. Hva blir avstanden ut til Hatholmen? DCE og BCA er formlike fordi vinkel C er lik i de to trekantene (toppvinkler), og begge trekantene er rettvinklete. Forholdet mellom de tilsvarende sidene CD og BC 00 blir Avstanden DE ut til Hatholmen er 000 meter Denne oppgaven krever fint vær og at du får lov av læreren din. Gå sammen to og to og finn ut hvor høy skolen din er. Utstyr: Målbånd/tommestokk Metode: Gå ut i solen rett ved skolen. Få medeleven din til å måle skyggen som du lager. Mål lengden av skyggen som skolen lager. Mål din egen høyde, dersom du ikke vet hvor høy du er. Du har nå to formlike trekanter og kan finne ut hvor høy skolen din er! 15
16 .4 Pytagoras setning.4.1 Regn ut lengden av siden AC i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Jeg bruker Pytagoras læresetning. hypotenus katet katet AC AC 5,0 3,0 34 AC 34 5,8 Lengden av siden AC er 5,8 cm..4. Figuren nedenfor viser grunnflaten til en garasje. Regn ut lengden av diagonalen BC. Bruker Pytagoras læresetning. BC BC 6,0 8, BC 100 BC 10,0 Diagonalen BC er 10,0 meter. 16
17 .4.3 Regn ut lengden av siden AB i den rettvinklete trekanten ABC nedenfor. Bruker Pytagoras læresetning. AB AB AB 10,0 6, AB 8,0 Lengden AB er 8,0 dm..4.4 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 5,15 cm lang og den ene kateten,50 cm lang. Regn ut lengden av den andre kateten. Bruker Pytagoras læresetning. katet +katet hypotenus Regner i GeoGebra Lengden av den andre kateten er 4,50 cm. 17
18 .4.5 Trekanten ABC til høyre er likebeint. AC er 6,75 m og AB er 10,80 m. Finn høyden h. Bruker Pytagoras læresetning. katet hypotenus katet Regner i GeoGebra Høyden h er 4,05 meter..4.6 I en rettvinklet trekant er den ene kateten 10,0 cm. Den andre kateten er tredjedelen av hypotenusen. Finn hypotenusen og den ukjente kateten. Setter opp en likning som vi løser i GeoGebra. Jeg kaller hypotenusen for x Ser bort fra den negative løsningen 10,6 3,5 3 Hypotenusen er 10,6 cm og kateten er 3,5 cm. 18
19 .4.7 En trekant har sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Hvordan kan du finne ut om denne trekanten er rettvinklet? Jeg undersøker om Pytagoras setning gjelder for trekanten Siden Pytagoras setning bare gjelder for rettvinklete trekanter, er denne trekanten rettvinklet..4.8 Undersøk om trekanten til høyre er rettvinklet. Undersøker om Pytagoras setning gjelder for trekanten. 4,0 4,0 5,5 4,0 4,0 16,0 16,0 3 5,5 30,5 Trekanten er ikke rettvinklet. 19
20 .4.9 Gitt firkanten ABCD. ACD ADC, BAC ABC, AE står normalt på CD og ACB 90. Diagonalen AC er 4, cm og høyden AE er 3,9 cm. a) Finn lengden av AD og BC. Opplysningene om vinklene viser at trekantene ABC og ACD er likebente. Da er AD BC AC 4,cm b) Finn lengden av AB og CD. Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av AB. Regner i GeoGebra. AB 5,9 cm Bruker Pytagoras til å bestemme lengden av CD: CD 3,1 cm c) Finn arealet av firkanten ABCD. Finner arealet av firkanten som summen av arealene av de to trekantene: Arealet er 14,9 cm 0
21 .5 Areal.5.1 Gitt rektangelet ABCD nedenfor. a) Regn ut arealet av rektangelet. Arealet 6,0 m,0 m 1,0 m b) Regn ut lengden av diagonalen AC. Bruker Pytagoras læresetning og finner diagonalen ved å løse en likning i GeoGebra. Ser bort fra den negative løsningen Diagonalen AC er 6,3 meter. c) Regn ut arealet av trekanten ABC. 6,0 m,0 m Arealet av trekanten ABC 6,0 m d) Hva er arealet av trekanten ACD? Trekantene ABC og ACD er formlike og like store. Arealet av ABC = Arealet av ACD, altså 6,0 m 1
22 .5. Gitt trapeset ABCD. Finn arealet og omkretsen av trapeset. Sidelengden AB 6m 3m 9m 9 m 6 m 15 m Arealet av trapeset ABCD m m 15 m Finner omkretsen i GeoGebra: Omkretsen av trapeset ABCD er 1m.5.3 Finn arealet av parallellogrammet EFGH. Arealet av parallellogrammet EFGH grunnlinje høyde 4 dm dm 8 dm
23 .5.4 Regn ut arealet av trekanten ABC nedenfor. Finner først høyden h fra C ned på linja gjennom AB. Pytagoras læresetning gir: h h h h 4 16 cm 4 cm 8 cm Arealet av trekanten ABC 4 cm 3
24 .5.5 Stian skal sette opp et bygg. Grunnflaten har form som vist på tegningen ovenfor. Alle målene er gitt i millimeter (mm). Vis at grunnflaten til bygget har et areal på 107,5 m. Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ. Metode: Finner arealet av de to store firkantene. Legger til arealet av trekanten. Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre. Areal av den øverste store firkanten 7,0 m 8,0 m 56,0 m Areal av den nederste store firkanten 8,0 m 6,0 m 48,0 m 8,0 m,5 m 7,0 m 3,0 m 5,5 m 4,0 m Areal av trekanten 11,0 m Areal av det området som blir med i begge de store firkantene,5 m 3,0 m 7,5 m Samlet areal blir: 56,0 m 48,0 m 11,0 m 7,5 m 107,5 m 4
25 .5.6 Figuren nedenfor viser en likesidet trekant med sider 30,0 cm. Utskjæringen er en halvsirkel med diameter 10,0 cm. a) Regn ut høyden i trekanten. Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Bruker Pytagoras læresetning og finner høyden h ved å løse en likning i GeoGebra Ser bort fra den negative løsningen Høyden i trekanten er 6,0 cm. b) Regn ut arealet av den utskjærte trekanten. Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen. Arealet er 350,7 cm 5
26 c) Regn ut omkretsen av den utskjærte trekanten. Omkretsen av halvsirkelen r r Omkretsen av trekanten blir dermed: 30,0 cm 30,0 cm 10,0 cm 10,0 cm 15,7 95,7 cm.5.7 Hvilken figur har størst areal, en sirkel med radius 4,00 cm eller et kvadrat med sidelengde 7,00 cm? Areal sirkel r 7,00 cm 49,00 cm Areal kvadrat Arealet av sirkelen er størst..5.8 Regn ut arealet av det lysegrå området på figuren. Areal av rektangel Areal av de to kvartsirklene 6,0 m 3,0 m 18,0 m Arealet av det lysegrå området blir: 18,0 m 14,1 m 3,9 m 6
27 .6 Trigonometri 1 Navn på hjørner og sider i trekanter.6.1 Sett navn (bokstaver) på sidene til trekanten nedenfor. Se figur..6. Gitt den rettvinklete trekanten ABC til høyre. a) Sett navn på sidene. Se figur. b) Hvilken side er hypotenus? c c) Sett fra hjørnet A 1. Hvilken side er motstående katet? a. Hvilken side er hosliggende katet? b d) Sett fra hjørnet B 1. Hvilken side er motstående katet? b. Hvilken side er hosliggende katet? a 7
28 Tangens, sinus og cosinus.6.3 Finn tangensverdiene til følgende vinkler. Finn også de eksakte verdiene hvis det er mulig. Bruker GeoGebra a) 3 b) 45 c) 73,6 tan3 0,445 tan45 1 tan73,6 3,3977 d) 30 e) 60 tan30 0, tan tan60 1,731 tan60 3 8
29 .6.4 Finn ut hvilke vinkler som har følgende tangensverdier Bruker GeoGebra Husk å krysse av for grader a) tanv 0,3456 v 19,1 b) tanv 1 v 45 c) tanv 3 v 60 d) tanv 3 3 v 30 9
30 .6.5 a) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når c 14,0. Jeg løser følgende likning i GeoGebra b 7,4 b) Finn den ukjente kateten i trekanten til høyre når b 7,0. Jeg løser følgende likning i GeoGebra c 13,.6.6 Finn den ukjente kateten i trekanten når C 6 Jeg løser følgende likning i GeoGebra og b 7,0. c 13,.6.7 Finn vinkel v i den rettvinklete trekanten til høyre. Jeg løser følgende likning i GeoGebra v 68, 30
31 .6.8 Finn de ukjente sidene i trekantene under a) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra AB 4,0 AC 4,7 b) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra BC 1,3 AC 3,4 31
32 c) Jeg løser følgende likninger i GeoGebra BC 0, AC 3,1 3
33 .6.9 I trekanten under er 3 tanb og AC 3,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AB Jeg bruker definisjonen på tangens og Pytagoras setning og løser følgende likninger i GeoGebra BC 5,0 AB 5,8 Vi ser bort fra den negative løsningen b) Bestem vinklene i trekanten GeoGebra gir følgende B 31,0 C 90,0 A 90,0 31,0 59,0 33
34 .6.10 I trekanten under er 3 tanb og BC 7,0. 5 a) Bestem lengden til AC og AB Vi bruker definisjonen til tangens og løser følgende likning i GeoGebra AC 4, Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AB Vi ser bort fra den negative løsningen AB 8, b) Bestem vinklene i trekanten Jeg bruker definisjonen på tangens i GeoGebra B 31,0 C 90,0 A 90,0 31,0 59,0 34
35 .6.11 a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3 tanb 5 b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1 tanc c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan A 3 35
36 .6.1 Du skal finne høyden til et tre i skolegården. Dette kan gjøres ved at du går 30 meter bort fra treet. Du finner vinkelen mellom siktelinjen til treets topp og bakken. Vinkelen måler du til 33. Se figuren ovenfor. Hvor høyt er treet? Jeg bruker definisjonen på tangens i GeoGebra Høyden til treet er 19 meter.6.13 Du skal nå sammen med tre andre elever finne et stort tre eller en høg bygning. Dere skal benytte framgangsmåten skissert i forrige oppgave og finne høyden til det valgte objekt. Dere må klart redegjøre for metoden dere brukte for å finne vinkelen. Bruk to forskjellige metoder for vinkelmålingen og vurder grad av nøyaktighet. Hvilket utslag gir det på treets høyde om vinkelen måles en grad feil? 36
37 .6.14 Hege vil beregne den korteste avstanden over Mandalselva. Hun merker seg ut en stein på andre siden av elva der hvor elva ser ut til å være smalest. Hun merker så av to punkter, A og B, slik at AB 10m og A 90. Hun måler og finner at B 84. Hun måler videre avstanden fra punktet A og inn til elvebredden til 6 m. Hvordan kan nå Hege beregne avstanden over elva? Vi kaller avstanden fra punktet A og over til steinen på andre siden av elva for x. Vi regner i GeoGebra og får Bredden over elva blir da 95 m 6 m 69 m.6.15 Mens Maren og Naomi var på Sjøsanden, så de en seilbåt langt ute på sjøen. De kjente igjen seilbåten og visste at mastehøyden var 1 meter over havflaten. De ville nå finne ut hvor langt ute seilbåten var. De målte vinkelen mellom siktelinjene til seilbåtens mastetopp og til båtens vannlinje til 1,5. De beregnet så avstanden til båten. Hvilken avstand fant de? Vi kaller avstanden ut til båten for x. Vi kan da sette opp følgende likning som vi løser i GeoGebra x 460 m 37
38 .6.16 I eksempel i teorien ble det beskrevet hvordan du kan beregne avstanden fra Sjøsanden til Hatholmen. Du skal nå sammen med tre andre elever følge denne framgangsmåten for å finne denne eller en tilsvarende avstand. Som en del av oppgaven må du lage en vinkel på 90. Beskriv hvordan du gjør dette. Sjekk også hvilket utslag det gir på avstanden om vinkelen måles en grad feil Regn ut ukjente sider og vinkler i trapeset til høyre. Vi kaller fotpunktet fra C på AD for E. DE 4,5 1,9,6 D 36, C , 143, 8 Jeg bruker definisjonen på cosinus og bestemmer CD CD 3, 38
39 .6.18 a) Regn ut hvor store hver av vinklene i parallellogrammet til høyre er. C A 51,7 D B , 7 18, 3 b) Regn ut arealet til trapeset EBCD. Jeg bruker GeoGebra og finner AE AE 1,7 BE AB AE 5,1 1,7 3,4 Arealet blir 3,4 5,1,1 8,9 c) Regn ut omkretsen til parallellogrammet. Finner først AD ved å bruke Pytagoras Ser bort fra den negative løsningen AD,7 Omkretsen blir (, 7 5,1) 15, 6 39
40 .6.19 a) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 3 tanb og AC 6 5 b) Tegn en rettvinklet trekant ABC der 1 tanc og AC 6 c) Tegn en rettvinklet trekant ABC der tan A 3 og AC 1, 40
41 .6.0 I trekanten under er 3 tanb og AB 5,8. 5 Bestem lengden til AC og BC Vi finner AC uttrykt ved BC 3 tanb 5 AC 3 BC 5 3 AC BC 5 Vi kan bruke Pytagoras setning og sette opp en likning for å finne BC. Løser likningen i GeoGebra AB AC BC 5,8 3 BC 5 BC Vi ser bort fra den negative løsningen BC 5,0 3 AC BC 5 AC 3 5,0 5 AC 3,0 41
42 .6.1 Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre. Bruker GeoGebra AC 9,7.6. Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre Bruker GeoGebra AB 1,7.6.3 Finn lengden av siden AC i trekanten til høyre. Bruker GeoGebra AC 1,5.6.4 Finn lengden av siden AB i trekanten til høyre. Bruker GeoGebra AB 88 m 4
43 .6.5 Finn ukjente sider og vinkler i trekanten ABC. Bruker GeoGebra AC 61 m AB 547 m C , 6 63, Finn de ukjente sidene i trekantene under a) Vi finner først AB ved å bruke definisjonen til sinus. Bruker GeoGebra. AB 3,1 Så finner vi BC ved å bruke definisjonen til cosinus BC 1,7 43
44 b) Vi finner først AC ved å bruke definisjonen til sinus. Bruker GeoGebra AC 4,0 Så finner vi BC ved å bruke definisjonen til tangens c) BC,6 Vi finner først AC ved å bruke definisjonen til cosinus. Bruker GeoGebra AC 3,6 Så finner vi AB ved å bruke definisjonen til tangens AB 3, 44
45 I trekanten under er sina og AB 5,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC Vi bruker definisjonen til sinus BC sin A AC 3 BC 5 5,0 BC 3,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC AB BC AC 5,0 3,0 AC 4,0 b) Bestem cos Aog tan A AC 4 cos A AB 5 BC 3 tan A AC 4 c) Bestem sin B,cos B og tanb 4 sinb cos A 5 3 cosb sina 5 AC 4 tanb BC 3 45
46 .6.8 I trekanten under er cosb og AB,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC. Oppgi svarene eksakt Vi bruker definisjonen til cosinus AB cosb BC,0 5 BC BC 5,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC BC AB AC AC 5,0,0 1,0 b) Bruk eksakte verdier og bestem sin Bog tanb AC sinb BC AC tanb AB c) Bestem sin C,cos C og tanc AC cosc sinb BC sinc cosb AB,0 1 tanc AC 1,0 1 46
47 I trekanten under er sina og AB 0,0. 5 a) Bestem lengden til BC og AC Vi bruker definisjonen til sinus BC sin A AC 1 BC 5 0,0 BC 4,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC AB BC AC 0,0 4,0 AC AC 384 AC b) Bruk eksakte verdier og bestem cos Aog tan A AC cos A AB 0 5 BC tan A AC c) Bestem sin B,cos B og tanb 1 cosb sina 5 6 sinb cos A 5 AC 8 6 tan A 6 BC 4 47
48 I trekanten ABC er sinc og AB,0. 3 a) Bestem lengden til AC og BC. Oppgi svarene eksakt. Vi finner først BC ved å bruke definisjonen til sinus 1 sinc 3,0 1 BC 3 BC 6,0 Så kan vi bruke Pytagoras setning til å finne AC AC BC AB AC AC 6,0,0 3,0 AC 4 b) Bruk eksakte verdier og bestem cos C og tanc AC 4 cosc BC 6 3 AB tanc AC 4 4 c) Bestem sin B,cos B og tanb 1 cosb sinc 3 sinb cosc 3 AC 4 tanb AB 48
49 .6.31 Gitt den rettvinklede trekanten ABC, se figuren a) Bestem sin C og cosc,0 sinc 0, 10 9,8 cosc 0,98 10 b) Bestem tan B,sin B og cos B 9,8 tanb 4,9,0,0 cosb sinc 0, 10 9,8 sinb cosc 0,
50 .6.3 Regn ut hvor store hver av de ukjente vinklene i trekanten til høyre er. A 4,1 C ,1 47, En 8,5 m lang stige står mot en husvegg og danner 7. med bakken. Vinkelen mellom bakken og husveggen er 90. a) Hvor høyt står stigen på veggen? Vi kaller høyden for h og bruker GeoGebra h 8,1 m b) Hvor langt fra veggen står stigen? La avstanden til veggen være x x,6 m.6.34 I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 7. Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 3,5 meter. Finn lengden av den andre kateten og hypotenusen. Vi kaller den andre kateten for k, og hypotenusen for h. Vi bruker GeoGebra og får k 1,8 m h 3,9 m 50
51 Arealformel for trekanter.6.35 Finn arealet av trekanten til høyre. 1 T 40 m h h der sin37,0 h 30 m sin37,0 30 m Bruker GeoGebra T 360 m.6.36 Finn arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra Arealet er 4,7 cm.6.37 Regn ut arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra Arealet 9,5 51
52 .6.38 Regn ut arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra Arealet 1, Gitt firkanten til høyre. a) Regn ut hvor stor A er. Bruker GeoGebra A 50,8 b) Regn ut lengden av BD, BC og CD. Bruker GeoGebra BD: BD 6,7 BC: BC 4,7 CD: CD 4,7 c) Regn ut arealet av firkanten. 1 AB BD 1 BC CD 1 5,5 6,7 4,7 4,7 9,5 Arealet av firkanten er 9,5 5
53 .7 Trigonometri Arealsetningen.7.1 a) Regn ut arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra. Arealsetningen gir: Arealet er 5,5 cm b) Regn ut arealet av trekanten til høyre. Bruker GeoGebra. Arealsetningen gir: Arealet er 1,8 m c) I ABC er A 5, AB 8,0 m og AC 3,5 m. 1. Tegn en hjelpefigur.. Regn ut arealet av trekanten. Bruker GeoGebra. Arealsetningen gir: Arealet er 5,9 m 53
54 .7. Regn ut lengden av siden AB i trekanten til høyre. Vi bruker GeoGebra. Vi kan bruke arealsetningen til å sette opp en likning AB 5,7.7.3 Trekanten til høyre har areal 14,6. Regn ut lengden av siden AC i trekanten Vi bruker GeoGebra. Vi kan bruke arealsetningen til å sette opp en likning AC 5, Bestem arealet til trekanten til høyre når du får vite at sin A 5 Vi kan bruke arealsetningen 1 Arealet bcsin A 1 3 Arealet Arealet 10,5 54
55 Bestem sida AC til trekanten til høyre når du får vite at sina 5 Vi kan bruke arealsetningen 1 Arealet bcsina AC 5 AC Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre er. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen. A 5,5.7.7 Regn ut hvor stor A i trekanten til høyre er. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen A 3,8 55
56 .7.8 Eirins mor har en stor hage med mål som gitt på figuren nedenfor. Eirin får i oppgave å regne ut arealet av hagen slik at den får riktig mengde med gjødsel. Eirin finner ut at hagen har et areal på ca. 710 m. Har hun regnet riktig? Vi deler hagen opp i to trekanter, se stiplet linje. Finner så samlet areal ved hjelp av arealsetningen. Bruker GeoGebra: Ja, det ser ut som Eirin har kommet fram til riktig svar..7.9 Huseier Per A. Real skal legge asfalt på gårdsplassen sin. Det vil koste 100 kroner per m å legge asfalten. Finn prisen Per må betale for å få legge asfalten. Bruker GeoGebra og finner arealet av gårdsplassen Kostnad: 39,44 m 100 kr/m kr 56
57 Sinussetningen.7.10 Figuren viser en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut lengden av siden a når b er 3,0 cm, A 39 og B 59. Bruker GeoGebra og løser sinussetningen som en likning: a, cm b) Regn ut lengden av siden b når a er 8,5 cm, A 110, 5 og B 19, 8. Bruker GeoGebra og løser sinussetningen som en likning: b 3,1 cm.7.11 Vi skal legge en strømkabel SP langs gangveien på Sjøsanden. Figuren viser arbeidsområdet sett fra vannkanten V. Regn ut lengden SP når du får oppgitt at det er 35 meter mellom S og V. Finner først vinkel V: V 180 1, ,5 Regner med GeoGebra, bruker sinussetningen og får SP 600 m 57
58 .7.1 Anniken tar seg en liten båttur en varm sommerdag. Hun går ut fra Dyrstad og legger kursen mot Færøy. Så bøyer hun av mot Ryvingen, deretter drar hun rett hjem. Se figuren til høyre. Finn hvor lang båttur Anniken hadde denne dagen. Finner først vinkel v(dyrstad). Bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen: Det betyr at v 33,4 Den siste vinkelen i trekanten blir da: , ,6 Avstanden DF fra Dyrstad til Færøy blir 1015 m 635 m 1150 m 800 m Det betyr at Annikens båttur var ca 800 m. 58
59 .7.13 Du skal finne C i en trekant der AB 8,0 cm, BC 6,0 cm og A 30,0. a) Bruk figuren ovenfor og forklar at det er to trekanter som oppfyller kriteriene gitt i oppgaveteksten. Tenk deg at du setter passeren i punkt B og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel A på to steder, nemlig i C1 og C. Du får da to løsningstrekanter ABC1 og ABC. b) Finn C1 og C. Vi regner i GeoGebra og bruker sinussetningen: C 41,8 og C 138, 1 Vi ser av figuren at vi her kan bruke begge løsningene. Gitt en trekant ABC der AB 8,0 cm og A 30,0. c) Finn lengden av BC når BC står vinkelrett på venstre vinkelbein til A. Vinkel ACB er da 90 og vi får: BC 4,0 cm (Den minste kateten er halvparten av hypotenusen i en 30-, 60-, 90-graders trekant) 59
60 Lengden av BC vil avgjøre hvor mange mulige trekanter vi kan få. d) Finn hva lengden av BC må være dersom det ikke skal være mulig å danne en trekant. Dersom lengden BC er kortere enn 4,0 cm vil vi ikke ha noen løsninger. (BC rekker ikke opp til venstre vinkelbein til vinkel A). e) Finn hva lengden av BC må være dersom det skal være mulig å danne to trekanter. Dersom vi skal ha to løsninger må lengden BC være større enn 4,0 cm og lik eller mindre enn lengden til AB dvs. 8,0 cm. Se figuren i oppgave c). Finn hva lengden av BC må være dersom det bare skal være mulig å danne én trekant. Vi får én løsning når lengden BC er større enn 8,0 cm og når lengden BC akkurat er 4,0 cm Bestem sida BC i trekanten på figuren når du får oppgitt at sin30 og sin45 Vi bruker sinussetningen og får: BC AB sin30 sin45 BC AB BC 5 BC BC 5 60
61 .7.15 I trekanten ABC er AC, BC 3 og 3 sina 4 a) Bestem sinb Vi bruker sinussetningen og får: sinb sin A b a 3 sinb sinb sinb I en rettvinklet trekant der de spisse vinklene er 30 og 60, er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Bestem vinkel B i trekanten i a) Opplysningen over viser at sin30 Da må B
62 Cosinussetningen.7.16 Gitt en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut a når b 5,0 cm, c 7,0 cm og A 39. Bruker GeoGebra, setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Vi ser bort fra den negative løsningen Siden a er 4,4 cm. b) Regn ut b når a 8,7 dm, c 1,3 dm og B 115,5. Bruker GeoGebra, setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Vi ser bort fra den negative løsningen Siden b er 17,9 dm. c) Regn ut c når a,3 cm, b 4,5 cm og C 3,6. Bruker GeoGebra, setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen og får: Vi ser bort fra den negative løsningen Siden c er,6 cm. 6
63 .7.17 Gitt en trekant ABC, se figuren. Regn ut vinklene i trekanten. Vi bruker GeoGebra og setter opp likninger med utgangspunkt i cosinussetningen: A 11,7 B 8, C ,7 8, 140, Vi skal grave en kanal fra Båly, B til Lehnesfjorden, L. Vi står på en høyde, H slik at vi kan se både B og L, og gjør målinger som vist på figuren til høyre. Finn lengden av kanalen Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. BL 800 m 63
64 .7.19 Gitt en trekant ABC med sider a, b og c. a) Regn ut a når b 4,8 cm, c 4,5 cm og B 63. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. a 4,7 cm b) Regn ut b når a 3,8 cm, c 6,0 cm, og C 80. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen. b 5,4 cm c) Regn ut c når a 3,9 cm, b 4,7 cm, og A 35 Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Her kan begge løsningene brukes. Lengden c 1,0 cm i den ene løsningstrekanten og c 6,7 cm i den andre trekanten. 64
65 .7.0 I hver av oppgavene nedenfor skal du tegne hjelpefigur og finne lengden av BC hvis mulig. a) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 4,0 cm og B 30. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: BC 6,9 cm Vi får to sammenfallende løsninger. Det må bety at C 90. Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i en 30-, 60-, 90 graders trekant b) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 6,0 cm og B 30. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: BC 11,4 cm BC,5 cm 1 c) Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC 3,0 cm og B 30. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen: Vi finner ingen mulige løsninger. Vi ser av figuren at AC ikke rekker bort til BC. 65
66 Gitt trekanten ABC der AB 8,0 cm, AC a cm og B 30,0. d) For hvilke verdier av a er det to, én eller ingen trekanter som innfrir kravene i teksten ovenfor? Finner lengden til AC når AC står vinkelrett på BC. Vinkel ACB er da 90 og vi får: AC sin30 8,0 AC 8,0 sin30 AC 4,0 cm Dette fant vi i oppgave a). Dersom lengden AC er kortere enn 4,0 cm, vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave c). Dersom vi skal ha to løsninger må lengden AC være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til AB dvs. 8,0 cm. Se figur så skjønner du det. Et eksempel på dette var oppgave b) ovenfor. Vi får én løsning når lengden AC er større enn 8,0 cm og når lengden AC akkurat er 4,0 cm dvs. vinkelrett på BC. 66
67 .7.1 I en trekant er lengden på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklene i trekanten. Vi ser at trekanten er likebent. Da vet vi at to av vinklene er like. Vi kaller de to like vinklene v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetningen til å bestemme cosinus til vinklene cos u cosu cosu cos v cosv cosv 40 4 cosv I trekanten ABC er 5 AC 6, BC 3 og cosc. 9 a) Tegn en hjelpefigur og bestem AB Vi bruker cosinussetningen til å bestemme AB : 67
68 5 AB AB AB 5 b) Bestem cos Aog cos B Vi bruker cosinussetningen til å bestemme cos A : cos A cos A cos A cos A 15 Vi bruker cosinussetningen til å bestemme cosb : cos B cosb 35 cosb 35 1 cosb 15 c) Hva kan du si om størrelsen på vinklene i trekanten? Siden cos A er negativ, vet vi at A 90. De to andre vinklene er mindre enn
69 .7.3 Utfordring I denne oppgaven får du bruk for at sin30 1 I trekanten ABC er A 30, AB 5 og BC 3. a) Tegn en hjelpefigur og bestem sinc Vi bruker sinussetningen og får sinc sin A AB BC 1 sinc sinc 3 5 sinc 6 b) Forklar at det er to trekanter som tilfredsstiller kravene. Vi får en vinkel i intervallet 0,90 og en vinkel i intervallet 90,180, se figuren. I en av trekantene i b) er AC 6 c) Bestem cosb i denne trekanten Vi bruker cosinussetningen: 69
70 b a c ac cosb cosb 35 1 cosb 15 d) Hva forteller svaret i b) om størrelsen på B? Siden cosinusverdien er negativ, vet vi at vinkelen er større enn 90 e) Bestem arealet til trekanten i b) Vi bruker arealsetningen og får at arealet er b c sina 6 5 Blandede oppgaver.7.4 Et jordstykke er formet som en trekant ABC der AB 13 m, BC 65 m og B 70. a) Lag en figur og sett på de oppgitte målene. b) Regn ut arealet av trekanten. Bruker GeoGebra: Arealet blir 3760 m c) Finn lengden av AC. Vi bruker GeoGebra og finner lengden av AC ved hjelp av cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen AC er 118 meter. d) Finn C ved regning, både ved hjelp av sinussetningen og ved hjelp av cosinussetningen. Vi bruker GeoGebra 70
71 e) Sinussetningen: Her må vi undersøke om begge vinklene kan brukes. Ved å tegne trekanten ut fra de gitte opplysningene, ser vi at bare den ene vinkelen er mulig. C 79 Cosinussetningen: C Gitt ABC der B 30,0, BC 14,0 cm og AC 10,0 cm. a) Tegn trekanten. b) Finn A ved regning. Vi bruker GeoGebra, setter opp en likning med utgangspunkt i sinussetningen og finner A 44,4 eller A 135,6 1 Begge vinklene passer ifølge kriteriene for sinussetningen. 71
72 c) Finn lengden av AB ved regning. Vi bruker GeoGebra og velger å bruke cosinussetningen Lengden AB er 19,3 cm. 1 Lengden AB er 5,0 cm. (Se figur.) 7
73 .7.6 En trekant ABC har arealet 14,3 cm. AB har lengden 7,0 cm og BC har lengden 5,0 cm. a) Finn B. Vi bruker GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt arealsetningen og finner B : Her er begge løsningene mulige, se figuren B 54,8 eller B 15, b) Finn lengden av AC. Vi bruker cosinussetningen og begge løsningene fra a) Vi ser bort fra de negative løsningene Lengden av AC er 5,8 cm eller 10,7 cm. c) Finn de to andre vinklene i trekanten. Her har vi nok opplysninger slik at vi kan velge om vi vil bruke cosinussetningen eller sinussetningen. Under er begge metodene vist. En på hver av de to løsningene. Vi finner A ved cosinussetningen: A 180 A 44,8 Vi finner A ved sinussetningen: A,4 A,4 eller A 44,8 C blir: ,8 54,8 80,4 eller 180,4 15, 3,4 73
74 .8 Eksamensoppgaver.8.1 (Eksamen MX, Høsten 1999) Toscha og Sindre samarbeider om følgende matematikkoppgave: I en trekant ABC er A 4 og AC 14 cm. Arealet av trekanten er 40 cm. Beregn ukjente sider og vinkler i trekanten. a) Sindre har kommet fram til løsningen som du ser på figuren til høyre. Toscha mener at denne løsningen er feil. Hvordan kan hun overbevise Sindre om at han har regnet feil? Vi ser at den motstående siden til den minste vinkelen ikke har den korteste lengden. Da må noe være feil. Du kan også ta utgangspunkt i vinkel C og du vil da få feil areal av trekanten. b) Finn den riktige løsningen av oppgaven. Vi regner i GeoGebra og finner først siden AB ved å bruke arealsetningen: AB 8,5 cm Vi finner så siden BC ved cosinussetningen: Vi ser bort fra den negative løsningen Siden BC er 9,6 cm. Vi finner vinkel C ved cosinussetningen: C 36,6 B , ,4 74
75 .8. (Eksamen MX, Våren 00) a) Det skal legges et 5 cm tykt gruslag på en plass. Plassen har form som en trekant. To av sidene er 0 m og 15 m lange, og vinklene mellom dem er 60. Hvor mye grus går med? Finner arealet ved hjelp av arealsetningen. Regner i GeoGebra. Areal 130 m 3 Det går med 130 m 0,05m 6,5 m grus til plassen. b) En hustomt har form som vist på figuren. Bestem arealet av tomta. Finner diagonalen BD: Vi ser bort fra den negative løsningen Diagonalen BD er 18 meter. Finner BCD ved hjelp av cosinussetningen: BCD 61,8 Arealet blir: Arealet av tomta er 65 m. 75
76 .8.3 (Eksamen MX, Våren 003) En kajakkbane har form som en firkant ABCD (se figuren). Noen av målene er påført figuren: AB 1600 m, AD 315 m, DC 500 m, A 67 og B 105. D 315 m A m B 500 m 105 Sjø C Land a) 1) Vis at BD 1505 m. Regner i GeoGebra Vi ser bort fra den negative løsningen BD 1505 m ) Vis ved regning at ABD 11 Bruker cosinussetningen ABD 11 b) I tillegg til målene på figuren får du oppgitt at BD 1505 m, og at ABD 11. Regn ut kajakkbanens lengde. Finner først BCD ved sinussetningen: BCD 36,9 Finner lengden BC BDC ,9 49,1 Total lengde blir da: 1600 m 1895 m 500 m 315 m 6310 m 76
77 .8.4 (Eksamen MX, Høsten 004) En landmåler står i et punkt A. Han ønsker å bestemme avstanden mellom to punkt B og C. Han måler CAB 43,1 og avstandene AB = 53 m og AC =148 m. a) Finn ved regning lengden av BC. Vi bruker GeoGebra og finner lengden BC ved hjelp av cosinussetningen: BC 177 m b) Sidene i en trekantet tomt er 47 m, 34 m og 63 m. Bestem arealet av tomta. Finner først A ved å bruke cosinussetningen: A 47,1 Arealet kan vi da finne ved hjelp av arealformelen, og vi får: Areal tomt 785 m 77
78 .8.5 (Eksamen MX, Våren 006) I en trekant ABC er A 45, AC 8 og BC 6 Hvor stor er B? Tegner en hjelpefigur: Regner i GeoGebra og bruker sinussetningen Vi ser av figuren at det er to mulige løsninger. B 109,5 B 70, (Eksamen MX, Våren 006) En båt starter i punktet A 6,0 km vest for et fyr i B. Båten går med en nordøstlig kurs som danner vinkelen 37 med linja gjennom A og B. Se figuren. a) Hva er den minste avstanden mellom båten og fyret? Den minste avstanden finner vi når linjen fra båten til fyret står vinkelrett på båtens fartsretning. Vi får da en rettvinklet trekant og finner avstanden ved hjelp av definisjonen av sinus. Regner i GeoGebra. Den minste avstanden mellom båten og fyret er 3,6 km. 78
79 b) Forklar at båten vil være 5,0 km fra fyret to ganger. Hvor langt har båten gått når den er 5,0 km fra fyret første gang? Da den minste avstanden til fyret er 3,6 km og båten starter 6,0 km borte fra fyret, vil båten være 5,0 km fra fyret før den når den korteste avstanden til fyret og etter at den har vært nærmest fyret. Vi finner avstanden ved cosinussetningen: Båten har gått 1,3 km før den er 5,0 km fra fyret første gang. Båten bruker 5 minutter fra den er 5,0 km fra fyret første gang, til den er 5,0 km fra fyret andre gang. c) Hva er båtens fart målt i km/h? Fant i forrige oppgave at båten var 5,0 km fra fyret etter 1,3 km og etter 8, km. Det er altså 6,9 km fra første gang båten er 5,0 km fra fyret til andre gang. 5 5 minutter h 60 s 6,9 km 6,9 60 km Båtens fart blir: v 16,6 km/h t 5 h 5 h 60 En annen båt starter også i A. Den holder en nordøstlig kurs som danner vinkelen v med linja gjennom A og B. d) Hvor stor må vinkelen være for at båten skal være 7,0 km fra fyret når den har kjørt 10,0 km? Vi har da en trekant med 3 kjente sider. Vi finner vinkelen med cosinussetningen: A 43,5 79
80 .8.7 (Eksempelsett 1T+T, April 007) En bro er konstruert som på figurene nedenfor. Lengden, l, av hver av de to broelementene er 7,0 meter. Høyden mellom vannoverflaten og broen er 3,1 meter når broelementene er nede. Broens maksimale åpningsvinkel er v 60 a) Beregn hvor høyt broelementenes endepunkter A og B er over vannoverflaten når broen er åpnet maksimalt. Regner i GeoGebra Høyden blir 9, m b) Beregn lengden av AB når broen er åpnet maksimalt. Lengden blir 7,0 m c) Beregn hvor stor broens åpningsvinkel v må være hvis AB skal være 10 meter. Vi løser denne likningen i GeoGebra: 80
81 Her er det ikke aktuelt med vinkler over 90 Vinkelen må være (Eksempelsett 1T+T, Desember 007) Du skal være med i et mosjonsløp arrangert av bygdas lokale idrettslag. På figuren ser du løypa, som følger omkretsen til firkanten ABCD. Noen av målene står på figuren. a) Vis at lengden av diagonalen AC er ca. 641 meter. Vi bruker GeoGebra og løser likningen cosinussetningen gir på trekanten ADC: Vi ser bort fra den negative løsningen AC er 641 meter. b) Finn DCA Vi bruker sinussetningen og får Siden D 95, må den aktuelle vinkelen være mindre enn 90 DCA 34 81
82 c) Finn vinkel B. Vi finner først at ACB Vi bruker sinussetningen og får Siden ACB 105, må den aktuelle vinkelen være mindre enn 90 B 54 d) Du starter i A og løper rundt løypa til du igjen er ved A. Hvor langt har du løpt? Vi må finne BC. Vi finner CAB for å kunne bruke sinussetningen CAB Vi bruker sinussetningen og får BC 84 m Du har da løpt: 761m 84m 498m 36m 1905m 8
83 .8.9 (Eksamen 1T+T, Våren 008) Natascha har målt omkretsen av tomta si. Målene er vist på figuren. Hun har i tillegg målt BD til å være 70,5 m. Hun påstår at dermed må vinkel A være ca. 90 grader. a) Har Natascha rett i påstanden? Vi bruker Pythagoras læresetningen som sier at summen av kvadratene av katetene er lik kvadratet av hypotenusen. Kvadratet av katetene : Kvadratet av hypotenusen : 70,5 4970,5 Kvadratene er så å si like. Hun har rett i at vinkelen er ca. 90. b) Finn arealet av tomta. Finner BCD i trekanten BCD for å bestemme arealet av denne trekanten. Vi regner i GeoGebra, bruker cosinussetningen og får C 180 C 80 Finner så arealet av firkanten som summen av arealene til trekantene ABD og BDC: Arealet 598 m 83
84 .8.10 (Eksamen 1T+T, Høsten 008) a b h Vi bruker formelen A når vi skal finne arealet av et trapes. Utled denne formelen ved for eksempel å ta utgangspunkt i figuren nedenfor. Vi kaller trapeset ABCD med AB a. Da kan trapeset deles i trekantene ABC og ACD. Hvis vi bruker a og b som grunnlinjer i trekantene, blir h høyden i begge trekantene og arealet av trapeset blir summen av arealene til de to trekantene: ah bh ah bh a b h A.8.11 (Eksamen 1T+T, Våren 009) Else skal bygge seg hus. Hun har fått beskjed fra bygningsmyndighetene om at takvinkelen skal være 40. Husets bredde skal være b = 8,0 meter. Se figuren nedenfor. a) Forklar at høyden h blir 3,4 meter. Regner i GeoGebra: Høyden: h 3,4 m 84
85 Else skal montere en takstige som skal gå fra A til T. b) Hvor lang blir denne stigen? Lengden til stigen blir 5, meter Else vil ha et utbygg på huset. Hun vil sette opp en,5 meter høy loddrett vegg fra B og derfra legge en bjelke på 3,7 meter til taket. Se figuren nedenfor. c) Hvor stor blir vinkel u? I trekanten med to røde sider finner vi vinkelen mellom taket og den loddrette veggen: Vi bruker sinussetningen for å finner vinkelen mellom bjelken og taket: v 31, Vinkel u blir da: , 98,8 85
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner
Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...
Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 8.3 Formlikhet... 1.4 Pytagoras setning... 17.5 Areal... 3.6 Trigonometri 1... 9 Navn på hjørner og sider i trekanter...
Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri
Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel
Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen
Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete
Geometri 1T, Prøve 2 løsning
Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i
Løsninger. Innhold. Geometri Vg1P
Løsninger Innhold Modul 1: Linjer og vinkler... Modul : Måling av lengder og vinkler... 4 Modul 3: Setninger om vinkler... 7 Modul 4: Mangekanter og sirkler... 9 Modul 5: Formlikhet... 13 Modul 6: Pytagoras
Oppgaver. Innhold. Geometri 1P og 1P-Y
Oppgaver Innhold Linjer og vinkler... 2 Måling av lengder... 3 Setninger om vinkler... 6 Mangekanter og sirkler... 7 Formlikhet... 10 Kart og arbeidstegninger... 14 Pytagoras setning... 17 Areal... 20
Geometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
Oppgaver. Innhold. Geometri Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1: Linjer og vinkler... 2 Modul 2: Måling av lengder og vinkler... 3 Modul 3: Setninger om vinkler... 6 Modul 4: Mangekanter og sirkler... 7 Modul 5: Formlikhet... 9 Modul 6: Pytagoras
Kapittel 5. Lengder og areal
Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,
Kapittel 5. Lengder og areal
Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger
INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI
INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...
5.4 Konstruksjon med passer og linjal
5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen
Geometri Vg1P MATEMATIKK
Løsninger Innhold Innhold... 1.1 Lengde og vinkler... Måleenheter for lengde... Pytagoras setning... 5 Formlike trekanter... 9. Areal og volum... 1 Definisjon og måleenheter areal... 1 Arealformler...
Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?
Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som
Kapittel 5. Lengder og areal
Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger
Geometri R1, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet
Kapittel 5. Lengder og areal
Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger
Eksamen 1T våren 2016 løsning
Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
Kapittel 7. Lengder og areal
Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,
Innhold Kompetansemål - Geometri, 1T Grunnleggende begreper og sammenhenger... 4
2 Geometri Innhold Kompetansemål - Geometri, 1T... 3 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle... 4 Plan... 5 Parallelle linjer... 5 Vinkel... 5 Vinkelmål...
Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen
Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.
R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgave (1 poeng) Løs likningen 16 lg lg16
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for
Eksamen våren Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 7. mai Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1. Yrkesfag.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen våren 013 Fag: MAT1006
Innhold Kompetansemål - Geometri, 1T... 3 Innledning Grunnleggende begreper og sammenhenger... 7
2 Geometri Innhold Kompetansemål - Geometri, 1T... 3 Innledning... 4 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 7 Punkt... 7 Linje... 7 Linjestykke... 7 Stråle... 7 Plan... 8 Parallelle linjer... 8
1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fasit Grunnbok Kapittel 2 Bokmål Kapittel 1 Trekantberegning 2.1 a Likesidet trekant b Rettvinklet trekant c Likebeint trekant d Rettvinklet og likebeint trekant 2.2 a 9,4 cm b 5 cm c 4,5 cm 2.3 2.11 Korteste
Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
Geometri R1, Prøve 1 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med
Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010
Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x
Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?
Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9
Geometri oppgaver. Innhold. Geometri R1
Geometri oppgaver Innhold 1.1 Formlikhet... 2 Formlike trekanter... 2 Kongruente trekanter... 9 1.2 Pytagoras setning... 10 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 11 1.4 Geometriske steder...
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
Eksamen REA 3022 Høsten 2012
Eksamen REA 0 Høsten 01 Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f x x 1 f '( x) x 1 f ' x 8x b) g x x x 1 g( x) x x 1 1 1 g( x) x x x x 1 g x x x x c) hx x e h x x e x e x x
1 Å konstruere en vinkel på 60º
1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue
1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.
c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5
Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:
Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene
Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.
Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser
1T eksamen våren 2018 løsningsforslag
1T eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD
TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,
3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3
Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,
1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km
Eksamen 1T, Våren 2010
Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen
Geometri 1P, Prøve 2 løsning
Geometri 1P, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 a) Regn ut lengden AC. Vi bruker Pytagoras setning. AC AB BC AC 5 4 b) Regn ut arealet av ABC. Arealet er 1 4 6. c) Regn
6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato
Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).
5.A Digitale hjelpemidler i geometri
5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 7, 5 10 4 7,5 4,0 10 0 10, 1 4 1 ( 4) 8 9,0 10 0 10 Oppgave (4 poeng) Siv har fire blå og seks svarte bukser i skapet.
Eksamen høsten Fag: MAT1006 Matematikk 1T-Y. Eksamensdato: 13. november Kunnskapsløftet. Videregående trinn 1.
Eksamensoppgave for følgende fylker: Akershus, Oslo, Buskerud, Vestfold, Østfold, Oppland, Hedmark, Telemark, Aust-Agder, Vest-Agder, Rogaland, Hordaland, Sogn og Fjordane Eksamen høsten 013 Fag: MAT1006
Løsningsforslag kapittel 3
Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave
Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo
Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.
1.9 Oppgaver Løsningsforslag
til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Va ren 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,5 10 3,0 10 15 5 15 ( 5) 10,5 3,0 10 7,5 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig
Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K
Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.
Eksamen 1T våren 2015 løsning
Eksamen T våren 05 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5 7,5 0 0,003
Eksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 2014
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten 01 Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 50000000000,0005 10 10 ( ) 6 7,510 5,010,55,010 1,510 1,510 Oppgåve (1 poeng) Løys likninga 16 lg lg16
Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering i FORK1100 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 19. oktober 2018 kl. 14:30 Antall oppgaver: 15 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende
Kapittel 6. Trekanter
Kapittel 6. Trekanter Mål for kapittel 6: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger i praktisk arbeid
1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4
3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6
Oppgaver i kapittel 6
Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,
Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
1.14 Oppgaver. Løsningsforslag
til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel
Eksamen 1T, Våren 2011
Eksamen 1T, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (13 poeng) a) Skriv på standardform 1) 36 00 000 3600000
Eksamen 1T våren 2016 løysing
Eksamen T våren 06 løysing Oppgåve ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgåve (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinja ovanfor er det merkt av
TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.
TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1
E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende
11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde
Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?
Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store
Geometri R1, Prøve 1 løysing
Geometri R, Prøve løysing Del Tid: 60 min Hjelpemiddel: Skrivesaker Oppgåve Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i S. B ligg på sirkelperiferien og punkta Aog Cer skjeringspunkt mellom sirkelen med
Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm
Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen
Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik
Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )
Del 1. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (5 poeng) ( ) 2 e x. f x x x. Deriver funksjonene. Løs likningene
Del 1 Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) b) f ( ) e g( ) ln e 1 c) h( ) 1 Oppgave (4 poeng) Løs likningene a) b) e 7e 8 0 ln( 5 1) ln(3 ) 0 Oppgave 3 (5 poeng) Gitt vektorene a, 3 og b 5, 3 a)
Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole
Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men
1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse
R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene
GeoGebra U + V (Elevark)
GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:
Eksamen i matematikk løsningsforslag
Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:
Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål
Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål
MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm.
Oppgave 1 Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Hva er omkretsen til den nye figuren? A 32 cm B 40 cm C 48 cm D 56 cm
1P eksamen høsten Løsningsforslag
1P eksamen høsten 2017 - Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren
Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen
Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen
Eksamen 1T våren 2011
Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgåve (1 poeng) Løys likningssystemet x3y7 5xy8 Vel å løyse likninga
R1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate
Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate Mål for kapittel 5: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse problem som gjelder lengde, vinkel, areal og volum Læringsmål Etter at
b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.
5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like
Geometri løsninger. Innhold. Geometri R1
Geometri løsninger Innhold. Formlikhet... Formlike trekanter... Kongruente trekanter... 5. Pytagoras setning... 6.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning.... 8.4 Geometriske steder... 5.5 Skjæringssetninger
1T eksamen våren 2018 løysingsforslag
1T eksamen våren 018 løysingsforslag DEL 1 Utan hjelpemiddel Tid: Del 1 skal leverast inn etter timar. Hjelpemiddel: Del 1 Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar. Oppgåve
3.4 Geometriske steder
3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere
1T eksamen våren 2018
1T eksamen våren 018 DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter 3 timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 ( poeng) Løs
Grunnleggende geometri
Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
DEL 1 Utan hjelpemiddel Oppgåve 1 (18 poeng) a) Rekn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Rekn ut og skriv svaret på standardform 5 6 5,510 6,010 11 1 33,0 10
NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE
Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig: