Trigonometri og geometri

Transkript

1 6 Trigonometri og geometri 6.1 Sinus til en vinkel Oppgave a) Hvilken av disse påstandene er riktig? 1) sin = 3) sin = 2) sin = b) Hvilken av disse påstandene er riktig? b a Oppgave ruk lommeregneren og finn a) sin 0 b) sin 30 c) sin 60 d) sin 90 Oppgave I trekanten er = 5 cm, = 60 og = 90. a) Konstruer trekanten. b) Finn sin 60 ved å måle sidene i. c) Finn sin 60 på lommeregneren og sammenlikn med svaret i oppgave b. Oppgave I er = 6,0 m, = 40 og = 90. c 1) sin = b c 2) sin = a c 6,0 m 3) sin = b a 40 Finn lengdene av og. 47

2 Oppgave Finn lengdene av og. Oppgave I er = 12,8 cm, = 57 og = 90. Finn. 6.2 Mer om sinus 53,1 Oppgave ruk lommeregneren og finn vinkelen v når a) sin v = 0 b) sin v = 1 c) sin v = 0,5 d) sin v = 0,73 Oppgave I er = 37,5, = 90 og = 12,0 cm. Oppgave I er = ,5 12,0 cm Finn lengdene av og. Oppgave I er = 90. a) Finn lengden av når = 6,6 cm og = 50. b) Finn lengden av når = 8,2 cm og = 18. Oppgave I er = 7,8 cm, = 36 og = 90. a) Tegn trekanten. b) Regn ut lengdene av og. a) Finn når = 4,6 cm og = 9,2 cm. b) Finn når = 30 og = 7 cm. Oppgave I trekanten er = 90, = og = 7,0 cm. 7,0 cm Oppgave I er = 7,8 cm, = 36 og = 90. a) Tegn trekanten. b) Regn ut lengdene av og. a) Regn ut. b) Finn og. 48 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

3 Oppgave I trekanten er = 90, = 4,0 cm og = 3,0 cm. Oppgave I er = 9,0 cm, = 6,0 cm og høyden = 4,0 cm. 6,0 cm 4,0 cm 3,0 cm 4,0 cm a) Finn lengden av. b) Finn og. 9,0 cm a) Finn og lengden av. b) Finn lengdene av og, og finn. Oppgave I er = 90, = 12,0 cm og = 7,5 cm. a) Konstruer trekanten. b) Finn og. c) Finn lengden av normalen fra ned på. Oppgave I er = 90. Videre er lengden av tre ganger lengden av. Finn og. Oppgave En radiomast er 15,0 m. en er festet med en 20,0 m lang vaier. Oppgave En stige på 8,0 m står inntil en husvegg. Stigen danner da en vinkel på 60 med den horisontale bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? 6.3 osinus til en vinkel Oppgave ruk lommeregneren til å finne vinkelen v når a) cos v = 0,38 b) cos v = 0,45 c) cos v = 0,6 d) cos v = 0,95 Oppgave I er =, = 40 og = ,0 m 15,0 m v a) Hvor langt er det fra festepunktet til masta ved? b) Finn vinkelen v som vaieren danner med bakken. 40 Finn lengden av. 49

4 Oppgave I er =, = 90 og = 53,1. Oppgave I er = 12,0 cm, = 90 og = 56. Videre er fotpunktet for normalen fra ned på. 53,1 Finn lengden av ,0 cm a) Finn. b) Finn. c) Finn og. Oppgave I trekanten er = 90. Finn når a) = 3,8 cm og = 12,5 cm b) = 2,2 m og = 2,3 m Oppgave I er = 90, = 28 og = 10,5 cm. a) Tegn trekanten. b) Finn. c) Finn. Oppgave I er = 6,8 cm, = 8,2 cm og = 35. er fotpunktet for normalen fra til. a) Tegn trekanten. b) Finn og. c) Finn. d) Finn. Oppgave En stige på 7,5 m står inntil en husvegg. Stigen danner da en vinkel på 70 med den horisontale bakken. Hvor langt ut fra veggen står stigen? Oppgave Figuren nedenfor viser et tverrsnitt av ei loftsstue. = 42, og avstanden fra mønet til takhjørnet er 5,4 m. essuten er =. 5,4 m 42 a) Finn bredden av loftsstua. b) Finn høyden i loftsstua. 6.4 Tangens til en vinkel Oppgave ruk lommeregneren til å finne x når a) tan x = 2 b) tan x = 15 c) tan x = 1 d) tan x = Oppgave a) I er = 4,2 cm, = 31 og = 90. Tegn trekanten. b) Finn lengden av. 50 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

5 Oppgave I er =, = 90 og = 53,1. Finn lengden av. Oppgave I er = 12,0 cm, = 90 og = 54. a) Finn. b) Finn. c) Finn. Oppgave Skråtaket i ei loftsstue danner en vinkel på 41 med golvet. Loftsstua er 7,0 m bred og 7,0 m lang. Et tverrsnitt av stua er tegnet nedenfor. 53,1 Oppgave I trekanten er = 90. Finn lengdene av og når a) = 6,5 cm og = 35 b) = 12,4 dm og = 67 Oppgave I trekanten nedenfor er = ,0 m a) Regn ut lengden av. b) rutto boflate for ei slik stue blir regnet etter hvor mange kvadratmeter det er som har en takhøyde på minst 1,80 m. Hvor stor boflate har loftsstua? Oppgave I er = 7,0 cm, = 32 og = ,0 cm Finn når a) = 4,8 cm og = 4,8 cm b) = 21 m og = 8,6 m 32 a) Regn ut lengden av. b) Regn ut lengden av. c) Regn ut lengden av og av. 51

6 Oppgave En golfspiller er uheldig med det første slaget, og golfballen følger ei linje som danner 13 med linja fram til hullet. vstanden til hullet er 140 m, og ballen stopper opp rett til venstre for hullet. x 140 m y 13 a) Regn ut avstanden x som ballen har fra hullet når den stanser. b) Regn ut den horisontale veien y som ballen har beveget seg. 6.5 Prismer og sylindere Oppgave Innvendig har en mikrobølgeovn lengden 30 cm, bredden 30 cm og høyden 20 cm. Hvor mange liter rommer ovnen? Oppgave Et rett prisme har endeflater som er rektangler med sider 4 cm og 5 cm. Høyden er 2 cm. a) Regn ut volumet av prismet. b) Regn ut arealet av overflaten av prismet. Oppgave Per skal på tur med idrettslaget og må velge mellom to bager å ha sakene sine i. en ene bagen er sylinderformet med diameter 38 cm og høyde 70 cm. en andre er prismeformet. unnen i den er et rektangel med sider 72 cm og 50 cm, og høyden i bagen er 23 cm. Per velger den bagen som har størst volum. Hvilken bag velger han? Oppgave Ei gryte er 18 cm i diameter og 14 cm høy. Hvor mange liter rommer gryta? Oppgave I et skeivt prisme EF er en sidekant. Grunnflaten og toppflaten EF er begge likesidete trekanter med sider 6 cm. e andre side kantene i prismet er 15 cm lange. Normalen fra til grunnflaten treffer forlengelsen av linja i N, og N er kortere enn N. N = 9 cm. a) Hva er høyden i prismet? b) Finn avstanden. c) Finn volumet av prismet. Oppgave I en skeiv sylinder er radien i grunnflaten og toppflaten 5 cm. Sidekanten har lengden 13 cm og danner en vinkel på 60 med grunnflaten. a) Finn høyden i sylinderen. b) Finn volumet av sylinderen. 6.6 Pyramider, kjegler og kuler Oppgave Regn ut volumet av disse pyramidene: a) Grunnflaten er et kvadrat med sider 5 cm, og høyden er 5 cm. b) Grunnflaten er en likesidet trekant med sider 8 cm, og høyden er 15 cm. Oppgave Ei bowlingkule har radien 10,9 cm. a) Finn volumet av bowlingkula uttrykt i kubikkdesimeter (dm 3 ). b) Tettheten til den massive bowlingkula er 1,34 kg/dm 3. Hvor mye veier kula? 52 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

7 Oppgave En kuleis er satt sammen av ei iskule med radien r = 2,0 cm og ei kjekskjegle med høyden h = 8 cm. Vi tenker oss at det er is svarende til ei halv kule nede i kjegla. Er det mulig å stappe hele iskula ned i kjeksen dersom isen er myk nok til det? h r Oppgave a) Ei markeringskjegle av plast har en diameter på 20 cm og er 50 cm høy. Finn volumet av kjegla. b) En fotball har vanligvis et volum på 4 eller 5 dm 3. Vi sier da at fotballen er en firerball eller en femmerball. Fotballen til Lise har diameteren 21,2 cm. Finn ut om det er en firerball eller en femmerball. Oppgave En pyramide har kvadratisk grunnflate med sider 10 cm. Høyden i pyramiden er 12 cm. Normalen fra toppunktet til grunnflaten treffer i sentrum av kvadratet. a) Finn volumet av pyramiden. b) Finn arealet av overflaten av pyramiden. c) Finn lengden av sidekantene i pyramiden. 6.7 Sentralvinkel og periferivinkel Oppgave En trekant er innskrevet i en sirkel med sentrum S slik figuren viser. uen er 120, og S er rett. Finn vinklene i trekanten. = 120 S Oppgave a) Hvor stor er på figuren nedenfor? b) Hvor mange grader er sirkelbuen E? c) Finn. d) Finn E. Oppgave Yngve skal legge sand på en liten plass som er 20 m lang og 4,0 m bred. Sandlaget skal være 6 cm tykt. Sanden tar han fra en kjegleformet sandhaug som har radien 1,6 m og høyden 1,8 m. Har Yngve nok sand? S E 56 53

8 Oppgave Punktene,, og ligger på periferien av en sirkel. Linjestykkene og skjærer hverandre i et punkt S. Videre er S = S = v. La a være gradtallet til buen og b være gradtallet til buen. a v S Vis at v = a + b 2. v b Oppgave Punktene,, og ligger på periferien av en sirkel, og punktet S ligger utenfor sirkelen slik figuren viser. S = v. La a være gradtallet til buen og b være gradtallet til buen. S v a Vis at v = b a 2. b Oppgave På figuren er E = 40. essuten er buene, og like lange. Finn. 40 E Oppgave En trekant er innskrevet i en sirkel. Siden går gjennom sentrum S i sirkelen, og S = 130. Finn vinklene i trekanten. 6.8 bsolutt vinkelmål Oppgave Regn om vinkelen v til absolutt vinkelmål. a) v = 360 b) v = 180 c) v = 36 d) v = 18 e) v = 90 f) v = 9 Oppgave Regn om til absolutt vinkelmål. a) 15 b) 22,5 c) 135 d) 270 Oppgave Regn om til absolutt vinkelmål. a) 45 b) 330 c) 150 d) 495 Oppgave Regn om til grader. a) v = 3 b) v = c) v = 12 2 d) v = 7 12 Oppgave Regn om fra radianer til grader. a) v = 1 b) v = 2 c) v = 3 d) v = 4 Oppgave Regn om fra grader til radianer. Uttrykk alle vinklene med. a) 1000 b) 1080 c) 67,5 d) cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

9 Oppgave Vi måler buen b og radien r i noen sirkelsektorer. Oppgave realet av en sirkelsektor er 21,2 cm 2. Radien er 4 cm. b v r Finn det absolutte vinkelmålet til sentralvinkelen v når a) b = 1,8 cm og r = 2,4 cm b) b = 3,2 cm og r = 2,0 cm c) b = 3a og r = 6 a 5 Oppgave a) En sirkelsektor har buelengden 2,8 cm og radien 1 cm. Finn sentralvinkelen i absolutt vinkelmål. b) En sirkelsektor med radius 4,0 cm har en vinkel på 1,6 radianer. Finn buelengden. c) En sirkelsektor har buelengden 8,0 cm og en sentralvinkel på 2,5 radianer. Finn radien i sirkelsektoren. 6.9 uelengder og sirkelsektorer Oppgave En sirkelsektor med buelengden 8,0 cm har en sentralvinkel på 2,0 radianer. a) Finn radien i sirkelsektoren. b) Hvor stort areal har sirkelsektoren? Oppgave En sirkelsektor med radius har en sentralvinkel på 36. a) Finn vinkelen målt i radianer. b) Finn buelengden. c) Finn arealet av sirkelsektoren. b 21,2 cm 2 v 4,0 cm a) Finn lengden b av sirkelbuen. b) Finn gradtallet til vinkelen v. Oppgave a) En sirkelsektor har buelengden 2,8 cm og radien 1 cm. Finn sentralvinkelen i absolutt vinkelmål. b) En sirkelsektor med radius 4,0 cm har en sentralvinkel på 1,6 radianer. Finn buelengden. c) En sirkelsektor har buelengden 8,0 cm og har en sentralvinkel på 2,5 radianer. Finn radien i sirkelsektoren. Oppgave Regn ut arealet av en sirkelsektor når a) buelengden er 4,7 cm og radien 3,2 cm b) sirkelsektoren har en sentralvinkel på 18 og radien er 2,5 cm Oppgave Hjulene på sykkelen til Tommy har diameteren 60 cm. a) Hvor mange grader har hvert hjul dreid når Tommy har syklet 10 m? b) Til skolen sykler Tommy akkurat 1 km. Hvor mange hele omdreininger har hvert av hjulene gjort på denne strekningen? 55

10 Oppgave En sirkelsektor med buelengde 12,5 cm og radius 10 cm er sideflaten i ei kjegle. Finn radien i grunnflaten og volumet av kjegla. Oppgave Finn arealet av det gule området på figuren. Oppgave ente spiser et stort stykke av en rund pizza med radius R. Stykket utgjør 60 % av hele pizzaen. 2,0 cm Stykket tilsvarer en hel mindre, rund pizza med radius r. Finn forholdet mellom R og r. landede oppgaver Oppgave I er = 50 og = =. står normalt på. R Oppgave Figuren viser et snitt E gjennom et telt. Teltet blir støttet opp av de to bardunene og. ardunene har lengdene 4,0 m og 5,0 m. en rette avstanden mellom bardunene er 8,0 m. essuten er = E = 3,0 m. 4,0 m 5,0 m 3,0 m 8,0 m a) Finn og. b) Finn og E. c) Finn bredden E av teltet. E 50 E Oppgave På figuren er = 2,4 cm og = 2,0 cm. a) Regn ut lengdene av og. b) Punktet E ligger på forlengelsen av, slik at E er dobbelt så lang som. Regn ut E og lengden av E. 130 Finn arealet av det gule området. 56 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

11 Oppgave Ei sylinderformet eske har plass til akkurat tre tennisballer. Sylinderen er 18 cm lang. a) Finn volumet og arealet av overflaten av en tennisball. b) Fem tennisballer får akkurat plass innenfor en sirkel slik som vist på figuren nedenfor. Oppgave I et skeivt prisme EFGH er E en sidekant. Grunnflaten og toppflaten EFGH er begge kvadrater med sider 20 cm. lle de andre sidekantene er 10 cm lange. Normalen fra E til grunnflaten treffer linja i punktet N, og N er 8 cm. a) Finn høyden i prismet. b) Finn volumet av prismet. c) Finn arealet av overflaten. Oppgave Figuren viser inngangspartiet til en speider leir. To lange tømmerstokker er bundet sammen slik at blir likesidet. vstanden = 5,0 m. Hver dag skal en stor lastebil med bredden 2,4 m kjøre gjennom dette inngangs partiet. Finn arealet av det gule området. Oppgave På et hus beskytter takuthenget vegg og vinduer mot sol og regn. På et hus er takuthenget 50 cm langt (se figuren nedenfor). Vinkelen som takuthenget danner med den loddrette veggen, er 60. Når sola skinner, kaster takuthenget en skygge med lengde x på veggen. en vinkelen sola danner med horisontallinja, er x 50 cm 40 Solstråle Hva er den største høyden bilen kan ha hvis den skal komme gjennom inngangspartiet? Oppgave En tømmerstokk er sylinderformet. iameteren er 3,2 dm og lengden 3,86 m. a) Finn volumet av tømmerstokken i kubikkdesimeter. b) Hvor mye veier tømmerstokken når 1 dm 3 av tømmerstokken veier 0,87 kg? Finn lengden x av skyggen. 57

12 Oppgave Figuren viser inngangspartiet E til et telt. ruk de størrelsene som er oppgitt på figuren når du gjør disse oppgavene. 1,30 m E F 1,00 m 1,50 m 1,00 m G 1,30 m a) Finn EF og. b) Hvor høyt er teltet? c) Finn E. d) Finn arealet av inngangspartiet E. Oppgave Figuren nedenfor viser tomta til Kåre onde. 25 m 75 m Oppgave Figuren viser en sirkel med sentrum i S der de fire punktene,, og ligger på sirkelperiferien. Linjestykket er en diameter i sirkelen, og punktet E er skjæringspunktet mellom og. Forlengelsen av linjestykkene og skjærer hverandre i punktet P. Videre er buen = 80 og buen = S E 40 a) Forklar at E er formlik med E. b) Finn og. c) Finn buen og buen uttrykt i grader. d) Finn P. Oppgave I trekanten står vinkelrett på og N vinkelrett på. Videre er = 22,4 cm, = 10,5 cm og = 6,3 cm. P 100 m a) Finn lengden av. b) Finn og. c) Finn. d) Finn arealet av. e) På jordstykket skal onde dyrke jordbær. Han vil plante jordbærplanter i rekker parallelt med kanten. vstanden mellom to jordbærrekker skal være 2,0 m. Hvor mange slike rekker er det plass til på jordstykket? N a) Finn. b) Finn og. c) Finn. d) Finn. e) Finn N. 58 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri

13 Oppgave I denne oppgaven regner vi at jorda er ei kule med radius r = 6357 km. Mjøsa er 117 km lang fra Lillehammer til Minnesund. Vi tenker oss at det går an å strekke et tau i rett linje mellom de to stedene. Hvor langt under vannoverflaten vil tauet være på midten på grunn av jordkrummingen? Oppgave I denne oppgaven regner vi at jorda er ei kule med radius r = 6357 km. nne bor på Gjøvik og Petter på Hamar. En dag møtes de i hver sin robåt midt ute på Mjøsa. Etter stevnemøtet ror de hjem igjen i hver sin retning. Når de sitter i robåten, er øynene deres 1,0 m over vannflaten. Hvor stor er avstanden mellom dem når de ikke lenger kan se hverandre på grunn av jordkrummingen? Oppgave En maskindel er satt sammen av et kvadratisk prisme (lengst til venstre på figuren), en sylinder (i midten) og en kjegle (til høyre). Målene på de tre delene går fram av figuren. 30 mm 45 mm 60 mm 20 mm 40 mm a) Finn volumet av maskindelen. b) Maskindelen er laget av massivt stål med tettheten 7,8 g/cm 3. Finn massen av maskindelen i kilogram. c) Finn vinkelen v på figuren. v Oppgave Figuren viser en biltilhenger med oppgitte data for volum og vekt. TYSSE Modell 6301 NF Totalvekt 2000 kg Nyttelast 1680 kg Med brems og nedfellbare sider, 13 hjul og surrskinner i kassebunn Kassemål (L//H): cm. a) Hvor mye veier selve tilhengeren? b) iameteren til hjulene er 13 tommer. Hvor stor er diameteren i centimeter når 1 tomme = 2,54 cm? c) Katrine har lånt denne tilhengeren på jobben for å kjøre singel til oppkjørselen hjemme. Hun fyller tilhengeren med singel helt opp til kanten. Finn volumet av singelen i kubikkdesimeter (dm 3 ). d) 1 dm 3 singel veier 1,8 kg. Hvor mye veier singelen i tilhengeren? Hvor stor er overvekten? e) Hvor mange dm 3 singel må Katrine fjerne for å holde seg innenfor tillatt vekt? f) Vis at hvis Katrine fyller singel i en høyde av h dm i tilhengeren, vil volumet i dm 3 av singelen være V = 375 h. g) ruk oppgave f til å regne ut høyden h av singelen i tilhengeren hvis Katrine skal holde seg innenfor tillatt vekt. 59

14 Oppgave Timeglasset på figuren består av to identiske kjegler inne i en rett sylinder. Regn ut volumet av de to kjeglene. Oppgave I er = 34,0 cm, = 30,0 cm og = 16,0 cm. Normalen fra treffer linja i. M er midtpunktet på. 15 cm 16,0 cm 30,0 cm M 34,0 cm 5 cm a) Vis at er rettvinklet. b) Finn og. c) Finn. d) Finn M. 60 cosinus for forkurset > Trigonometri og geometri