Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri

Transkript

1 Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler Formlikhet Pytagoras setning Areal Trigonometri Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri... 0 Arealsetningen... 0 Sinussetningen... 1 Cosinussetningen... Blandede oppgaver

2 .1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.1.1 a) En linje består av uendelig mange punkter. Linjen har en uendelig utstrekning i begge retninger (én dimensjon). Et linjestykke er en del av en linje og avgrenses av to endepunkter. En stråle er en del av en linje og avgrenses av ett endepunkt. Strålen har uendelig utstrekning i én retning..1. En rett vinkel er 90. En spiss vinkel er mindre enn 90. En stump vinkel er større enn a)

3 .1.4 1c, d, 3b, 4a, 5e.1.5 a) parallelle rett spiss d) stump e) komplement f) supplement.1.6 a) toppvinkler toppvinkler supplementvinkler d) supplementvinkler.1.7 u 50, v 50, w , w 180 v z 180 v w z.1.9 Vi har to rettvinklede trekanter, og to toppvinkler. Vinkelsummen i en trekant er 180, vi har derfor at u v. 3

4 m dm cm mm 1,5 1, ,59 5, a) 5,4 m 4,54 m 4,175 m 4

5 ..Mangekanter og sirkler Den første er rettvinklet, den andre er likebeint, den tredje likesidet (og dermed likebeint) og den fjerde er rettvinklet og likebeint... - En firkant. Minst to sider er parallelle. En firkant. Motstående sider er parallelle. En firkant. Alle vinklene er 90. En firkant. Alle sidene er like lange. En firkant. Alle vinklene er 90. Alle sidene er like lange. 5

6 ..3 A C 50, B , D B

7 .3 Formlikhet.3.1 Trekantene har parvis like store vinkler og er dermed formlike. Den siste vinkelen er 63,43.3. a) 7,5 cm 8,4 cm.3.3 Trekantene DEF og GHF har felles vinkel F. De parallelle linjene DE og GH skjæres av linjene gjennom DF og EF. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store, dvs. at vinkel DEF = vinkel GHF osv. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike..3.4 Toppvinklene ASB og CDS er like store. De parallelle linjene DC og AB skjæres av linjene gjennom AB og CD. Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store. Trekantene har dermed parvis like store vinkler og er da formlike..3.5 ACB DFE ACB 71,6 CBA FEB ,6 63,4.3.6 Treet er 4 meter høyt..3.7 Trekantene BST og B ST har felles vinkel S. Begge trekantene er rettvinklet. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike..3.8 PSQ RST fordi de er toppvinkler. Linjene PT og RQ skjærer de parallelle linjene PQ og RT og vi har da at de samsvarende vinklene er like. For eksempel er SQP SRT. Trekantene har da parvis like store vinkler og er formlike. 3,3 m.3.9 Avstanden DE ut til Hatholmen er 000 meter. 7

8 .4 Pytagoras setning.4.1 5,8 cm ,0 meter ,0 dm ,50 cm ,05 meter..4.6 Hypotenusen er 10,6 cm og kateten er 3,5 cm..4.7 Siden Pytagoras setning bare gjelder for rettvinklete trekanter, er denne trekanten rettvinklet..4.8 Trekanten er ikke rettvinklet..4.9 a) 4,cm 5,9 cm 3,1 cm 14,9 cm 8

9 .5 Areal.5.1 a) 1,0 m 6,3 meter. 6,0 m d) 6,0 m.5. Arealet av trapeset ABCD 15 m Omkretsen av trapeset ABCD er 1m dm cm.5.6 a) 6,0 cm. 350,7 cm 95,7 cm.5.7 Arealet av sirkelen er størst ,9 m 9

10 .6 Trigonometri a) c 1. a. b 1. b. a 10

11 Tangens, sinus og cosinus.6.3 a) ,6 tan3 0,445 tan45 1 tan73,6 3,3977 d) 30 e) 60 tan30 0, tan tan60 1,731 tan a) 19, d) a) b 7,4 c 13,.6.6 c 13, 11

12 .6.7 v 68,.6.8 a) AB 4,0 AC 4,7 BC 1,3 AC 3,4 BC 0, AC 3,1.6.9 a) BC 5,0 AB 5,8 B 31,0 C 90,0 A 59, a) AC 4, AB 8, B 31, a) C 90,0 A 59,0 1

13 meter m.6.15 x 460 m D 36, C 143,8 CD 3, 13

14 .6.18 a) C A 51,7 D B 18,3 AE 1,7 BE 3,4 Arealet blir 8,9 AD, a) Omkretsen blir 15,6 14

15 .6.0 BC 5,0 AC 3,0.6.1 AC 9,7.6. AB 1,7.6.3 AC 1,5.6.4 AB 88 m.6.5 AC 61 m AB 547 m C 63,4 15

16 .6.6 a) AB 3,1 BC 1,7 AC 4,0 BC,6 AC 3,6 AB 3,.6.7 a) BC 3,0 AC 4,0 4 cos A 5 3 tana 4 4 sinb cos A 5 3 cosb sina 5 AC 4 tanb BC a) BC 5,0 AC 1,0 sinb tanb

17 cosc sinc tanc a) BC 4,0 AC cos A 5 6 tana 1 1 cosb 5 6 sinb 5 tan A a) BC 6,0 AC 4 cosc 3 tanc 4 1 cosb 3 sinb 3 tanb 17

18 .6.31 a) sinc 0, cosc 0,98 tanb 4,9 cosb 0, sinb 0, A 4,1 C 47, a) h 8,1 m x,6 m.6.34 k 1,8 m h 3,9 m 18

19 Arealformel for trekanter.6.35 T 360 m.6.36 Arealet er 4,7 cm.6.37 Arealet 9, Arealet 1, a) A 50,8 BD 6,7 BC 4,7 CD 4,7 9,5 19

20 .7 Trigonometri Arealsetningen.7.1 a) Arealet er 5,5 cm Arealet er 1,8 m Arealet er 5,9 m.7. AB 5,7.7.3 AC 5,8.7.4 Arealet 10,5.7.5 AC A 5,5.7.7 A 3,8.7.8 Ja kr 0

21 Sinussetningen.7.10 a) a, cm b 3,1 cm.7.11 SP 600 m.7.1 ca 800 m a) Tenk deg at du setter passeren i punkt B og slår en sirkel med radius 6,0 cm. Du vil da skjære venstre vinkelbein til vinkel A på to steder, nemlig i C1 og C. Du får da to løsningstrekanter ABC1 og ABC. C1 C 41,8 og 138, BC 4,0 cm d) kortere enn 4,0 e) større enn 4,0 cm og mindre enn 8,0 cm. f) 8,0 cm og 4,0 cm BC sinb B 30 1

22 Cosinussetningen.7.16 a) 4,4 cm. 17,9 dm.,6 cm A 11,7 B 8, C 140, BL 800 m.7.19 a) a 4,7 cm b 5,4 cm c 1,0 cm i den ene løsningstrekanten og c 6,7 cm i den andre trekanten a) BC 6,9 cm BC 11,4 cm BC,5 cm 1 d) Dersom lengden AC er kortere enn 4,0 cm, vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave. Dersom vi skal ha to løsninger må lengden AC være større enn 4,0 cm og mindre enn 8,0 cm. Vi får én løsning når lengden AC er større enn 8,0 cm og når lengden AC akkurat er 4,0 cm

23 cosu 4 4 cosv a) AB 5 13 cos A 15 1 cosb 15 A 90. De to andre vinklene er mindre enn a) 5 sinc 6 Vi får en vinkel i intervallet 0,90 og en vinkel i intervallet 90,180, se figuren. 1 cosb 15 d) Vinkelen er større enn 90 e) 15 3

24 Blandede oppgaver.7.4. a) 3760 m AC er 118 meter. C 79 d).7.5 a). A1 A 44,4 eller 135,6 AB er 19,3 cm. 1 AB er 5,0 cm..7.6 a) B 54,8 eller B 15, AC er 5,8 cm eller 10,7 cm. A,4 eller A 44,8 C blir 80,4 eller 3,4 4