1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene"

Transkript

1 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm m = m = ,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km = 60 0,1 mil = 6 mil Det er 6 mil fra Lillehammer til Hamar. d 6 dm = 6 1 dm = 6 0,1 m = 0,6 m Bredden av okhyllen er 0,6 m.. a 7, mil = 7, 10 km = 7 km 4,5 km = 4, m = 4500 m c 40 d 5 cm = 40 0,01 m = 0,4 m mm = 5 0,001 m = 0,005 m. a 1,4 mil = 1, m = m dm c 0,00 m d 5,4 = 100 mm = 00 mm = 0, mm = mm cm = 5,4 0,1 dm =,54 dm.4 a 5 dm + 50 mm + 8 mm = 5 10 cm ,1 cm + 8 0,1 cm = 50 cm + 5 cm + 0,8 cm = 55,8 cm 1 cm + 4 dm + 50 mm = 1 0,01 m + 4 0,1 m ,001 m = 0,1 m+ 0,4 m+ 0,5 m= 0,77 m c 0,5 m + dm + 40 mm = 0,5 100 cm + 10 cm ,1 cm = 50 cm + 0 cm + 4 cm = 74 cm = 6,54 cm = 66,04 cm 66 cm 8 = 8,54 cm = 71,1 cm 71 cm Sykkelhjulene har diametre på 66 cm og 71 cm. 0 fot = 0 1 = 60,54 cm = 914, 4 0,01 m = 9,144 m 9,1 m Lengden av åten er 9,1 m..7 a 4 nautiske mil = m = 7408 m 1 nautiske mil = m = 4 0,001 km =,4 km, km Aschehoug Side 1 av 18

2 c 1 nautisk mil = 185 m = 1,85 km 1 nautisk mil 1,85 km = 1,85 1, km = nautiske mil 1, km = 100 nautiske mil = 54, 0 nautiske mil 1,85 Det er 54,0 nautiske mil i luftlinje mellom Bodø og Stamsund. Løsninger til innlæringsoppgavene.8 a c d 8 dm = 8 1 dm = cm = 800 cm m = 1 m = 100 dm = cm = cm,5 cm =,5 1 cm =,5 100 mm = 50 mm 0,45 m = 0,45 1 m = 0, dm = 45 dm.9 a c d 40 dm = 40 1 dm = 40 0,01 m = 0,4 m 10 cm = 10 1 cm = 10 0,01 dm = 0,1 dm 000 cm = cm = 000 0,01 dm = 000 0,01 0,01 m = 0, m 5,5 cm = 5,5 1 cm = 5,5 0,01 dm = 0,55 dm.10 a c, 4 mål =, m = 400 m 500 m =, m =,5 mål 5 mål = m = m.11 a = Hyttefeltet kan deles opp i 150 tomter. 10 m 60 m = 700 m Arealet av fotallanen er 700 m. 700 m = 7, 1000 m =7, mål Arealet av fotallanen er 7, mål. 5 1, 5 1 7, = Det går 1 fotallaner på 5 mål..1 a Den asolutte usikkerheten i målingene er 0,05 cm. Den relative usikkerheten i målingen av redden er 0,05 0,005 0,5 % 0 = = Aschehoug Side av 18

3 Den relative usikkerheten er størst i målingen av den korteste lengden, altså i reddemålingen. Vi kan kontrollere dette ved å regne ut den relative usikkerheten i lengdemålingen: 0,05 0, ,17 % 0 = = c Den største verdien for lengden er 0,05 cm, og den største verdien for redden er 0,05 cm. Den største verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 0,05 cm + 0,05 cm = 100, cm Den minste verdien for lengden er 9,95 cm, og den minste verdien for redden er 19,95 cm. Den minste verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 9,95 cm + 19,95 cm = 99,8 cm d Omkretsen av arket ligger mellom 99,8 cm og 100, cm. Vi kan derfor oppgi omkretsen av arket som (100 ± 0,) cm..1 a Den asolutte usikkerheten ved målingen er 60 m 1 % = 60 m 0,01= 0,6 m Lengden le målt til 60 m, og den asolutte usikkerheten er 0,6 m. Vi kan derfor oppgi lengden som (60 ± 0,6) m..14 a Lengden le målt til 8,5 m, og den asolutte usikkerheten er 0,5 cm = 0,005 m. Vi kan derfor oppgi lengden av rommet som ( 8,5 ± 0,005) m. Den asolutte usikkerheten ved lasermålingen er 8,5 m 0,5 % = 8,5 m 0,005 = 0,0415 m 4 cm Måleåndet har altså minst usikkerhet. Målingen med måleåndet er mest nøyaktig..15 Lengden og redden av rektanglet er oppgitt med to sifre. Vi regner derfor ut arealet med to sifre. A= l = 8,0 cm 5, 4 cm = 4, cm 4 cm Arealet av rektanglet er 4 cm..16 Grunnlinja og høyden i trekanten er oppgitt med tre sifre. Vi regner derfor ut arealet med tre sifre. g h 5,4 11,5 cm 146,05 cm A 146 cm = = = Arealet av trekanten er 146 cm. Aschehoug Side av 18

4 .17 Høyden av det største ildet er 8,9 cm, mens høyden av det minste ildet er 5,9 cm. Forholdet mellom høydene er 8,9 1, 5 5,9 =.18 a Vi regner ut avstanden vist på figuren. På det største ildet er denne avstanden 4, cm, mens avstanden er,8 cm på det minste ildet. Forholdet mellom avstandene er 4, 1, 5,8 = Vi ser altså at forholdet mellom to tilsvarende avstander hele tiden er lik 1,5. De formlike trekantene i oppgave a har de samme vinklene. Det er altså vinklene som estemmer formen på en trekant..19 a Trekantene har to vinkler som er like store. Da er også den tredje vinkelen like stor. Siden trekantene har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Siden AB ligger mellom vinklene 50 og 70 i trekanten ABC. I trekanten DEF er det siden DE som ligger mellom disse vinklene. Altså er AB og DE tilsvarende sider. På samme måte er BC og EF tilsvarende sider, og AC og DF er tilsvarende sider. Aschehoug Side 4 av 18

5 c Vi kjenner lengden av siden BC i trekanten ABC, som er den tilsvarende siden til EF i trekanten DEF. Altså kan vi finne lengden av EF. Forholdet mellom EF og BC er lik forholdet mellom DE og AB. EF DE = BC AB EF 4,0 = 4,5 5, 0 4,0 4,5 EF = 5,0 EF =, 6.0 a DE og AB er tilsvarende sider, og DF og AC er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom DE og AB lik forholdet mellom DF og AC. DE DF = AB AC Vi lar x cm være lengden av DE. x 6 = 6 66 x = = 1 DE =1 cm BC og EF er tilsvarende sider. BC AC = EF DF Vi lar x cm være lengden av BC. x = x = = 4,5 6 BC = 4,5 cm.1 Hvis to trekanter er formlike, vil de lengste katetene og de korteste katetene være tilsvarende sider. Forholdet mellom de lengste katetene skal altså være lik forholdet mellom de korteste katetene, dersom trekantene er formlike. 6 Trekant B: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = 5 Trekant C: 1, 5 4 = og 4 1, 1, 5 = Trekant D: 0,5 4 = og 1, 5 0,5 = 6 Trekant E: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = Vi ser altså at trekantene B, D og E er formlike med trekant A. (For trekant E kan vi godt sammenlikne hypotenusen med trekant A, men det er egentlig unødvendig, siden trekantene er rettvinklet og vi allerede har sammenliknet to sider.) Aschehoug Side 5 av 18

6 . a Eksempel: Eksempel:. AB og EF er tilsvarende sider, og AD og EH er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom EH og AD lik forholdet mellom EF og AB. EH EF = AD AB Dessuten er firkantene rektangler, slik at FG = EH. Vi lar x cm være lengden av FG. x 8, 0 =, 0 5, 0 8, 0, 0 x = = 4,8 5,0 FG = 4,8 cm.4 a Rettvinklede trekanter har alltid én felles vinkel, nemlig den rette vinkelen. Men de to andre vinklene kan godt være forskjellige. Rettvinklede trekanter trenger derfor ikke å være formlike. I en likeeint trekant er to vinkler like store. Men denne vinkelen kan være vilkårlig stor (mellom 0 og 90 ). Likeeinte trekanter trenger derfor ikke å være formlike. c I en likesidet trekant er alle tre vinklene like store. Dette etyr at alle vinklene er 60. Alle likesidede trekanter har altså de samme vinklene, som etyr at likesidede trekanter er formlike. d I et kvadrat er alle vinklene 90, og de fire sidene er like lange. Når vi sammenlikner to kvadrater, er derfor vinklene parvis like store, og forholdene mellom tilsvarende sider er like store. Alle kvadrater er altså formlike. e I et rektangel er alle vinklene 90, og to og to sider er like lange. Men forholdet mellom lengden og redden av rektanglet kan være vilkårlig. Rektangler trenger derfor ikke å være formlike. f I et parallellogram er to og to vinkler like store, og to og to sider er like lange. Men for øvrig kan vinklene være vilkårlige, og forholdet mellom lengden av sidene kan være vilkårlig. Parallellogrammer trenger derfor ikke å være formlike. Aschehoug Side 6 av 18

7 g En sirkel er éntydig gitt ved radien. Det eneste som er forskjellig i to sirkler, er derfor radien, altså størrelsen av sirkelen. Formen for øvrig er alltid den samme. Alle sirkler er altså formlike..5 A= l = = = = O= l+ = 86 mm + 54 mm = 80 mm 86 mm 54 mm 4644 mm ,01 cm 46, 44 cm 46 cm.6 a.7 a A= g h= 6 m,6 m = 1,6 m m ( a+ ) h (4 m+ m) m 9 m A = = = c Vi gjør om alle lengdene til meter. a = 80 cm = 0,8 m = dm = 0, m ( a+ ) h A = = (0,8 m + 0, m) 1,8 m = 0,9 m Det fins flere muligheter for hvordan trapeset kan se ut. Her har vi tegnet to av mulighetene. Forskjellen er at de to parallelle sidene er parallellforskjøvet i forhold til hverandre. Begge disse figurene passer til opplysningene om trapeset. ( a+ ) h (10 + 8,0) 4,0 A = = cm = 6 cm c Vi lar siden i kvadratet være s cm. A= s = 6 s = 6 = 6 Siden i kvadratet er 6 cm..8 Diameteren på plata er d =1 cm. Radien er da d 1 cm r = = = 6 cm Arealet av CD-plata er A=π r =π 6 cm =11 cm Omkretsen er O=π d =π 1 cm =8 cm.9 Arealet av sirkelen er π r =π 6 cm = 11 cm. Arealet av kvadratet er s = 10 cm = 100 cm. Sirkelen har altså størst areal. Aschehoug Side 7 av 18

8 .0 a Vi gjør om grunnlinja til cm. g = 15 mm = 1,5 cm Arealet av trekanten er g h 1, 5, cm 1, 65 cm A = = = 1, 7 cm Vi gjør om høyden til meter. h = 40 cm = 0,4 m Arealet av trekanten er g h 0,5 0, 4 A = = m = 0,1 m c Vi gjør om høyden til meter. h = 75 cm = 0,75 m Arealet av trekanten er g h 0,8 0,75 m 0,075 m A = = = 0,1 m Løsninger til innlæringsoppgavene.1 Alle trekantene har samme grunnlinje og samme høyde. De har derfor samme areal.. Vi deler opp terrassen i to rektangler, slik figuren viser. Arealet av terrassen er dermed A = 4,0 m,0 m+ 6,0 m 4,0 m = 6 m. Lekeplassen estår av et kvadrat med side 40 m og en halvsirkel med radius 0 m. Arealet er 1 A = 40 m + π 0 m = 8 m 0 m Omkretsen er O = 40 m +π 0 m = 18 m.4 Arealet av firkanten AEBC er lik arealet av trekanten ABC minus arealet av trekanten ABE. Høyden i trekant ABE er gitt ved DE = DC CE = 5,0 cm,0 cm =,0 cm Arealet av firkanten er dermed 10 5,0 10,0 A = cm cm = 15 cm Aschehoug Side 8 av 18

9 .5 a Katetene har lengde x og,5 m, og hypotenusen er 8,0 m. Pytagorassetningen gir x + (,5 m) = (8,0 m) x x + 1,5 m = 64 m = 64 m 1,5 m x = 51,75 m= 7,19 m 7, m Vi kan ruke siden med lengde 7, m som grunnlinje, og siden med lengde,5 m som høyde i trekanten. Arealet av trekanten er dermed g h 7,19,5 m A = = =1,6 m 1 m Katetene har lengde 0,6 m og 1,5 m, og hypotenusen er. Pytagorassetningen gir (0,6 m) + (1,5 m) = 0,6 m +, 5 m = =,61 m= 1,6 m 1,6 m Arealet av trekanten er g h 1, 5 0, 6 m 0,45 m A = = = c Katetene har lengde g og 1,5 m, og hypotenusen er,0 m. Pytagorassetningen gir g + (1, 5 m) = (, 0 m) g +, 5 m = 9,0 m g = 9,0 m, 5 m g = 6,75 m=,60 m,6 m Arealet av trekanten er g h,60 1,5 A = = m = 1,95 m,0 m d Katetene har lengde 4,0 cm og 8,0 cm, og hypotenusen er x. Pytagorassetningen gir (4,0 cm) + (8,0 cm) = x 16 cm + 64 cm = x x = 80 cm = 8,94 cm 8,9 cm Arealet av trekanten er g h 4,0 8,0 cm 16 cm A = = = Aschehoug Side 9 av 18

10 .6 a ( a+ ) h (8,0+ 5,0) 4,0 A = = cm = 6 cm Trekanten på figuren har katetene,0 cm og 4,0 cm. Vi lar hypotenusen være x cm. Pytagorassetningen gir, 0 + 4, 0 = x 9,0 + 16,0 = x x = 5,0 = 5,0 Hypotenusen har lengde 5,0 cm. Omkretsen av trapeset er dermed O = 8,0 cm + 4, 0 cm + 5,0 cm + 5,0 cm = cm.7 a Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c =16,0. a + = 14, 0 + 7, 00 = , 0 = 45 c = 16, 0 = 56 a + c Tallene passer ikke i pytagorassetningen. Trekanten er derfor ikke rettvinklet. Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c = 6,0. a + = 10, 0 + 4, 0 = = 676 c = 6, 0 = 676 a + = c Tallene passer i pytagorassetningen. Trekanten er derfor rettvinklet..8 Her er a = 5, 40 og c = 7,00 katetene, og = 9,05 er hypotenusen. a + c = 5,40 + 7,00 = 9, + 49,0 =78, = 9,05 = 81, 9 Siden a + c, er vinkel B ikke rett..9 a Bredden av huset er (i virkeligheten) 8,50 m = 8, mm = 8500 mm Målestokken er forholdet mellom redden på tegningen og redden i virkeligheten. redden på tegningen 85 mm 85:85 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 8500 mm 8500 : Målestokken er 1 : 100. Målestokken 1 : 50 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 50 cm i virkeligheten. 4 cm på tegningen svarer da til 4 50 cm = 00 cm = m i virkeligheten. Tomtegrensa er m. Aschehoug Side 10 av 18

11 .40 På tegningen er redden av huset 69 mm. redden på tegningen 69 mm 69 : 69 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 6900 mm 6900 : Målestokken er 1 : a Målestokken 1 : 00 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 00 cm i virkeligheten. På tegningen er lengden av soverommet 1,9 cm, og redden er 1,7 cm. I virkeligheten er derfor lengden 1,9 00 cm = 80 cm =,8 m Bredden er i virkeligheten 1,7 00 cm = 40 cm =, 4 m Dermed kan vi finne arealet.,8 m,4 m = 1,9 m 1 m Arealet av soverommet er ca. 1 m. Døråpningene på tegningen er ca. 0,4 cm. 0, 4 00 cm = 80 cm Døråpningene er ca. 80 cm rede i virkeligheten..4 Målestokken 1 : 10 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. På tegningen er a =,5 cm, = 1,0 cm, c =,0 cm og d = 1, cm. De virkelige lengdene er derfor a =,5 10 cm = 5 cm = 1,0 10 cm = 10 cm c =,0 10 cm = 0 cm d = 1, 10 cm = 1 cm.44 a Toppen av Gråergan ligger 989 m over havet. På kartet er avstanden 8, cm. Målestokken er 1 : , som etyr at 1 cm på kartet svarer til cm = 500 m i virkeligheten. 8, 500 m = 4150 m 400 m Avstanden i luftlinje fra toppen av Gråergan til toppen av Skeikampen er ca. 400 m. c Lengden av rektanglet er l = 5,1 cm, og redden er =,0 cm. Arealet er dermed A= l = 5,1 cm,0 cm = 15, cm 15 cm d 1 cm på kartet svarer til 500 m i virkeligheten. Lengden og redden av rektanglet er derfor i virkeligheten l = 5,1 500 m = 550 m =,55 km =,0 500 m = 1500 m = 1,5 km Arealet av området er A= l =,55 km 1,5 km =,85 km,8 km Aschehoug Side 11 av 18

12 .45 a c d 1,05 m = 1,05 1 m = 1, dm = 1050 dm,1 cm =,1 1 cm =, mm = 100 mm 0,5 dm = 0,5 1 dm = 0, cm = 0, mm = mm 0,005 m = 0,005 1 m = 0, dm = 0, cm = 5000 cm.46 a c d 50 dm = 50 1 dm = 50 0,001 m = 0,5 m 100 cm = cm = 100 0,001 dm = 0,1 dm 000 cm = cm = 000 0,001 dm = 000 0,001 0,001 m = 0,00 m mm = mm = ,001 cm = = = 400 0,001 dm 0,4 0,001 m 0,0004 m.47 a 0,006 m = 0, dm = 6 dm = 6 L 0,5 L = 0,5 dm = 0, cm = 500 cm c Grunnflaten er G = 10 cm 10 cm = 100 cm. Volumet av kartongen er dermed V = G h= 100 cm 5,0 cm = 500 cm = 500 0,001 dm = 0,5 dm = 0,5 L d Volumet av kartongen skal være V = 1 L = 1 dm = 1000 cm Grunnflaten er G =100 cm. V = G h V 1000 h = = cm = 10 cm G 100 Kartongen må være 10 cm høy..48 a Diameteren i grunnflaten er d =,5 m. Radien er dermed d,5 m r = = = 1, 5 m V =π r h=π 1, 5, 0 m = 14, 7 m 14, dm dm 14 V = = = 700 L c L 9800 L = Det er 9800 L vann i tanken..49 a Radien i grunnflaten er d 4,0 m r = = =,0 m Volumet av grushaugen er πrh π,0,0 V = = m = 8,4 m Aschehoug Side 1 av 18

13 Tykkelsen på gruslaget er cm,0 10 0,0 m = 10,8 m De har kjøpt inn for lite grus..50 a Radien i fotallen er Løsninger til innlæringsoppgavene = 0,0 m. Volumet av gruslaget skal altså være d cm r = = = 11 cm. Volumet av allen er 4πr 4π 11 cm 5575 cm 5600 cm V = = = Radien i tanken er 1, m. Volumet er 4πr 4π 1, m 7, m V = = = I liter er dette 7, m = 7, 1000 dm = 700 dm = 700 L..51 Radien i grunnflaten er,5 cm. πrh π,5 1, 0 cm 167 cm V = = = 170 cm = 170 0,001 dm = 0,17 dm = 0,17 L Kjeksen rommer 170 cm = 0,17 L is..5 a Overflaten estår av fire rektangler med målene 9,5 cm og 6,5 cm, og to kvadrater med side 6,5 cm. Overflaten av pakningen er derfor O = 4 9,5 cm 6,5 cm + 6,5 cm 6,5 cm = 1,5 cm cm Volumet av pakningen er V = 6,5 cm 6,5 cm 9,5 cm = 401 cm.5 a V = l h= 0,80 m 0,60 m 1,0 m = 0,576 m 0,58 m c Av figuren i oppgave ser vi at overflaten av tanken er O = 0,60 m 1,0 m + 0,80 m 1,0 m + 0,80 m 0,60 m = 4, m 4, m Det går med 4, m plate til å lage tanken..54 a Radien er 5,0 cm. Dermed er volumet av oksen V =π r h=π 5,0 11,0 cm = 864 cm = 864 0,001 dm = 0,864 dm = 0,864 L Omkretsen av oksen er π r = π 5,0 cm = 1, 4 cm 1, 4 cm Aschehoug Side 1 av 18

14 c Arealet av sideflaten er 1, 4 cm 11,0 cm = 45,6 cm Arealet av unnflaten og toppflaten er π r =π 5, 0 cm = 78,54 cm Overflaten av fiskeolleoksen er dermed 45,6 cm + 78,54 cm = 50 cm Det går med 50 cm metall til å lage fiskeolleoksen..55 a Radien i fotallen er 10,4 cm. Volumet av allen er dermed 4πr 4π 10,4 cm 471 cm 471 0,001 dm 4,71 dm V = = = = = 4,71 dm Overflaten av allen er O= 4π r = 4π 10,4 cm = 159 cm = 159 0,01 dm = 1,59 dm 1,6 dm Radien i en lungelære er 0,1 mm. Overflaten av hver lungelære er 4π r = 4π 0,1 mm = 0,1 mm Til sammen har alle lungelærene dermed overflaten 6 0,1 mm = mm = ,01 cm = ,01 dm = 100 0,01 m = 1 m.56 Vi finner høyden a i sideflaten fra pytagorassetningen. a = cm = 46 cm = 0,9 cm Overflaten av pyramiden er dermed s a 1 0,9 O= s + 4 = 1 cm + 4 cm = 646 cm = 646 0,01 dm = 6, 46 dm 6,5 dm Aschehoug Side 14 av 18

15 .57 Taket estår av fire trekanter. To av dem har grunnlinje 1,0 m og høyde a, og to av dem har grunnlinje 8,0 m og høyde. Vi finner a og fra pytagorassetningen. a = 4,0 +,0 m = 5,0 m = 5,00 m = 6,0 +,0 m = 45,0 m = 6,71 m Overflaten av taket er dermed 1,0 5,00 8,0 6,71 m + m = 11,68 m 114 m.58 a Diameteren i grunnflaten er 4 cm. Radien er derfor d 4 cm r = = = 1 cm c d πrh π 1 8,0 cm 106 cm 106 0,001 dm 1, 06 dm 1, dm V = = = = = s = 1 + 8,0 cm = 08 cm = 14, 4 cm 14 cm O=π r +π rs =π 1 cm +π 1 14, 4 cm = 996 cm = 996 0,01 dm = 9,96 dm 10,0 dm.59 Diameteren i grunnflaten er 0 cm. Både radien i grunnflaten og høyden i kjegla er halvparten av diameteren, altså 10 cm. Volumet av kjegla er dermed πrh π cm 1047 cm ,001 dm 1,047 dm V = = = = = 1,0 dm Sidekanten i kjegla er s = r + h = cm = 00 cm = 14,14 cm Overflaten er dermed O=π r +π rs =π 10 cm +π 10 14,14 cm = 758 cm = 758 0,01 dm = 7,58 dm 7,6 dm Aschehoug Side 15 av 18

16 .7 a c d e f 60 v = 180 = v = 180 = v = 180 = v = 180 = v = 180 = 18, v = 180 = Vinkelen i en regulær åttekant er 60 v = 180 = 15 8 Hvis vi skal kunne fylle planet med regulære åttekanter, må summen av vinklene i punktene der åttekantene møtes, være 60. Men 15 går ikke opp i 60. Hvis vi legger to åttekanter ved siden av hverandre, lir det = 90 til overs, hvor det ikke er plass til en tredje åttekant. Vi kan derfor ikke fylle planet med regulære åttekanter..75 a Vinkelen i en regulær firkant er 90, og vinkelen i en regulær sekskant er 10. Hvis vi skal ha minst én firkant og minst én sekskant, må antall sekskanter være én eller to (med tre sekskanter er vi allerede oppe i 60 til sammen, uten noen firkanter). Men hverken = 40 eller = 10 kan deles på 90. Det er derfor ikke mulig for regulære firkanter og regulære sekskanter å møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Vinkelen i en regulær trekant er 60, og vinkelen i en regulær firkant er 90. Antall firkanter må være én, to eller tre = 70 kan ikke deles på = 180 kan deles på 60 (180 = 60 ) = 90 kan ikke deles på 60 Vi ser at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60. Altså kan regulære trekanter og regulære firkanter møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Aschehoug Side 16 av 18

17 c Vi kan ikke ruke firkanter og sekskanter til å fylle planet, siden summen av vinklene ikke lir 60. I oppgave fant vi at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60 når de møtes i et hjørne. Vi må undersøke om dette mønstret kan utvides til å fylle hele planet. Det viser seg at det er to forskjellige mønstre som er mulig:.76 a Det første mønstret estår av tre trekanter og to firkanter, altså (,,,4,4). Det andre mønstret estår av to trekanter og to sekskanter, i rekkefølgen trekant sekskant trekant sekskant. Skrivemåten for mønstret er altså (,6,,6). Det siste mønstret estår av én firkant og to åttekanter, altså (4,8,8). Mønstret har skrivemåten (,,4,,4). c Figuren nedenfor viser mønstrene (,,,, 6), (, 4, 6, 4), (4, 6,1) og (,1,1). Aschehoug Side 17 av 18

18 d Mønstret (6,6,6) inneholder kun sekskanter, mens et semiregulært mønster skal inneholde minst to forskjellige typer mangekanter. Derfor er (6,6,6) ikke et semiregulært mønster. Men vi kan fylle planet med regulære sekskanter: e Mønstret i eksempel 4 er det semiregulære mønstret (,4,6,4). Aschehoug Side 18 av 18

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...

Detaljer

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co. MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Eksamen høsten 2016 Løsninger

Eksamen høsten 2016 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Vi fordeler malingen på de små oksene: 8 8 3 4 8 : 1 3 3 3 3 Vi trenger 1 okser. Oppgave

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Geometri 1P og 1P-Y

Oppgaver. Innhold. Geometri 1P og 1P-Y Oppgaver Innhold Linjer og vinkler... 2 Måling av lengder... 3 Setninger om vinkler... 6 Mangekanter og sirkler... 7 Formlikhet... 10 Kart og arbeidstegninger... 14 Pytagoras setning... 17 Areal... 20

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Geometri Vg1P

Oppgaver. Innhold. Geometri Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1: Linjer og vinkler... 2 Modul 2: Måling av lengder og vinkler... 3 Modul 3: Setninger om vinkler... 6 Modul 4: Mangekanter og sirkler... 7 Modul 5: Formlikhet... 9 Modul 6: Pytagoras

Detaljer

Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate

Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate Mål for kapittel 5: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse problem som gjelder lengde, vinkel, areal og volum Læringsmål Etter at

Detaljer

5.4 Konstruksjon med passer og linjal

5.4 Konstruksjon med passer og linjal 5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen

Detaljer

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Løsninger. Innhold. Geometri Vg1P

Løsninger. Innhold. Geometri Vg1P Løsninger Innhold Modul 1: Linjer og vinkler... Modul : Måling av lengder og vinkler... 4 Modul 3: Setninger om vinkler... 7 Modul 4: Mangekanter og sirkler... 9 Modul 5: Formlikhet... 13 Modul 6: Pytagoras

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets (O)

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Geometri Vg1P MATEMATIKK

Geometri Vg1P MATEMATIKK Løsninger Innhold Innhold... 1.1 Lengde og vinkler... Måleenheter for lengde... Pytagoras setning... 5 Formlike trekanter... 9. Areal og volum... 1 Definisjon og måleenheter areal... 1 Arealformler...

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

1 Geometri R2 Oppgaver

1 Geometri R2 Oppgaver 1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...

Detaljer

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Oppgave 1 Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Hva er omkretsen til den nye figuren? A 32 cm B 40 cm C 48 cm D 56 cm

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med entimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 Økningen i salget er 1000 øker per år. Da vil den prosentvise økningen fra et år til

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Oppgave 1 Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Hva er forholdet mellom arealet av det røde området og arealet av det blå korset? 54 7 18 A 3 B C D E 4 17 2 5 Skriv mål på flere sider

Detaljer

Eksamen 1P våren 2011

Eksamen 1P våren 2011 Eksamen 1P våren 011 Del 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Når kursen på islandske kroner er 5,5, svarer 500 ISK til 5, 5 kr 500 = 6, 5 kr 100 b) Hvis vi setter kursen på islandske kroner til 5, blir omregningen

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Geometri R1, Prøve 2 løsning

Geometri R1, Prøve 2 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 2 Bokmål Kapittel 1 Trekantberegning 2.1 a Likesidet trekant b Rettvinklet trekant c Likebeint trekant d Rettvinklet og likebeint trekant 2.2 a 9,4 cm b 5 cm c 4,5 cm 2.3 2.11 Korteste

Detaljer

b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90.

b, og de er dermed like lange. 3) Ettersom trekantene er kongruente, er alle rettvinklet, og vinklene mellom sidekantene i det ytre området er 90. 5.9 Bevis OPPGAVE 5.90 a) For å vise at den ytre figuren er et kvadrat, må vi vise 1) at sidekantene faktisk er fire rette linjestykker (ingen «knekk» der to trekanter møtes) ) at alle sidekantene er like

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

1P eksamen høsten Løsningsforslag

1P eksamen høsten Løsningsforslag 1P eksamen høsten 2017 - Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

Geometri R1. Test, 1 Geometri

Geometri R1. Test, 1 Geometri Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Oppgaver Innhold 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 2 2.2.Mangekanter og sirkler... 6 2.3 Formlikhet... 8 2.4 Pytagoras setning... 12 2.5 Areal... 15 2.6 Trigonometri 1... 18 Navn på hjørner

Detaljer

( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. Oppgave 1. Oppgave 2. Px ( ) er altså delelig med ( x 2) hvis og bare hvis k = 8. f x x x. hx ( x 1) ( 1) ( 1) ( 1) DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a f x x x f ( x) = 6x+ 6 ( ) = 3 + 6 c 3 gx ( ) = 5ln( x x) 1 3 g ( x) = 5 3 ( x x )

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P

Basisoppgaver til Tall i arbeid P Basisoppgaver til Tall i arbeid P 1 Tall og algebra Økonomi Geometri Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 1. Brøk 1. Store og små tall 1.4 Bokstavuttrykk

Detaljer

Geometri 1P, Prøve 2 løsning

Geometri 1P, Prøve 2 løsning Geometri 1P, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 a) Regn ut lengden AC. Vi bruker Pytagoras setning. AC AB BC AC 5 4 b) Regn ut arealet av ABC. Arealet er 1 4 6. c) Regn

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

99 matematikkspørsma l

99 matematikkspørsma l 99 matematikkspørsma l TALL 1. Hva er et tall? Et tall er symbol for en mengde. Et tall forteller om antallet i en mengde. 5 sauer eller 5 epler eller 5.. 2. Hvilket siffer står på eneplassen i tallet

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 1 6 50 x x 6 50 x 300 Feilen lir 300 mm 30 cm. Oppgave 617 L 600L og 15,3L 15L 600 40

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a 4 ( ) f + f ( ) 4 1 g ( ) ln( ) u u 1 v ln( ) v ( ) ln( ) + g ln + + (ln 1) 1 c h

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 8.3 Formlikhet... 1.4 Pytagoras setning... 17.5 Areal... 3.6 Trigonometri 1... 9 Navn på hjørner og sider i trekanter...

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 15 L 150 dl Til sammen 150 dl med dl i hvert glass gir: 150 glass 75 glass Oppgave Vi

Detaljer

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, 016. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1: 187 + 9 = 16 9,4-15,6 = 13,8 c: 4,. 1,7 94 4 7,14 d: 3,4 : 0,9 = 34 : 9 = 6 18 54 54 OPPGAVE : -. (- 3) = 6 5. () = 5 4 = 1 c: 3. (- ) (- 4) = - 6

Detaljer

Geometri 1T, Prøve 2 løsning

Geometri 1T, Prøve 2 løsning Geometri 1T, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt trekanten til høyre. a) Bestem sin B, cos B og tanb. 4,9 sinb 0,70, 7,0 5,0 cosb 0,71, 7,0 Du får oppgitt at sinb i

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 4. mai 2007 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

1P-Y eksamen vår 2018 løsningsforslag Programområde: Alle

1P-Y eksamen vår 2018 løsningsforslag Programområde: Alle 1P-Y eksamen vår 2018 løsningsforslag Programområde: Alle Tid: 1,5 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Et skolesenter har el-bil

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007 Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG1341-4. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 15, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MY er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

1 Geometri R2 Løsninger

1 Geometri R2 Løsninger 1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...

Detaljer

Geometri 1P, Prøve 1 løsning

Geometri 1P, Prøve 1 løsning Geometri 1P, Prøve 1 løsning Del 1 Tid: 50 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gjør om a),04 m 04 cm b) 154 mg 0, 154 g c) d) e) 150 m 1 500 000 cm 3 3 145 000 mm 0,145 dm 34 dl 3,4 L 3, 4 dm 3 Oppgave

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Kengurukonkurransen 2018

Kengurukonkurransen 2018 2018 «Et sprang inn i matematikken» Cadet (9. 10. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange matematiske

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Høst 13

Løsning del 1 utrinn Høst 13 //06 Løsning del utrinn Høst - matematikk.net Løsning del utrinn Høst Contents DEL EN Oppgave + 679 = 0 89 78 = 8 c) 7,, 6 = 6, 6 d) : 0, = 0 : = 80 Oppgave 78 dl = 7,8 L, mil = kilometer = 000 m c), t

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

Lærerveiledning uke 2-7: Geometri. volum, overflate og massetetthet Kompetansemål Geometri Måling Læringsmål Trekantberegning Kart og målestokk

Lærerveiledning uke 2-7: Geometri. volum, overflate og massetetthet Kompetansemål Geometri Måling Læringsmål Trekantberegning Kart og målestokk Lærerveiledning uke 2-7: Geometri. volum, overflate og massetetthet Geogebra - Anders film - Nappeinnlevring Kompetansemål Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar

Detaljer

Kapittel 6. Trekanter

Kapittel 6. Trekanter Kapittel 6. Trekanter Mål for kapittel 6: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger i praktisk arbeid

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2...

Navn på hjørner og sider i trekanter Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri 2... Løsninger Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 7.3 Formlikhet... 11.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7 Navn på hjørner og sider i trekanter...

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2007 2008 Første runde 1. november 2007 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer