1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene"

Transkript

1 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm m = m = ,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km = 60 0,1 mil = 6 mil Det er 6 mil fra Lillehammer til Hamar. d 6 dm = 6 1 dm = 6 0,1 m = 0,6 m Bredden av okhyllen er 0,6 m.. a 7, mil = 7, 10 km = 7 km 4,5 km = 4, m = 4500 m c 40 d 5 cm = 40 0,01 m = 0,4 m mm = 5 0,001 m = 0,005 m. a 1,4 mil = 1, m = m dm c 0,00 m d 5,4 = 100 mm = 00 mm = 0, mm = mm cm = 5,4 0,1 dm =,54 dm.4 a 5 dm + 50 mm + 8 mm = 5 10 cm ,1 cm + 8 0,1 cm = 50 cm + 5 cm + 0,8 cm = 55,8 cm 1 cm + 4 dm + 50 mm = 1 0,01 m + 4 0,1 m ,001 m = 0,1 m+ 0,4 m+ 0,5 m= 0,77 m c 0,5 m + dm + 40 mm = 0,5 100 cm + 10 cm ,1 cm = 50 cm + 0 cm + 4 cm = 74 cm = 6,54 cm = 66,04 cm 66 cm 8 = 8,54 cm = 71,1 cm 71 cm Sykkelhjulene har diametre på 66 cm og 71 cm. 0 fot = 0 1 = 60,54 cm = 914, 4 0,01 m = 9,144 m 9,1 m Lengden av åten er 9,1 m..7 a 4 nautiske mil = m = 7408 m 1 nautiske mil = m = 4 0,001 km =,4 km, km Aschehoug Side 1 av 18

2 c 1 nautisk mil = 185 m = 1,85 km 1 nautisk mil 1,85 km = 1,85 1, km = nautiske mil 1, km = 100 nautiske mil = 54, 0 nautiske mil 1,85 Det er 54,0 nautiske mil i luftlinje mellom Bodø og Stamsund. Løsninger til innlæringsoppgavene.8 a c d 8 dm = 8 1 dm = cm = 800 cm m = 1 m = 100 dm = cm = cm,5 cm =,5 1 cm =,5 100 mm = 50 mm 0,45 m = 0,45 1 m = 0, dm = 45 dm.9 a c d 40 dm = 40 1 dm = 40 0,01 m = 0,4 m 10 cm = 10 1 cm = 10 0,01 dm = 0,1 dm 000 cm = cm = 000 0,01 dm = 000 0,01 0,01 m = 0, m 5,5 cm = 5,5 1 cm = 5,5 0,01 dm = 0,55 dm.10 a c, 4 mål =, m = 400 m 500 m =, m =,5 mål 5 mål = m = m.11 a = Hyttefeltet kan deles opp i 150 tomter. 10 m 60 m = 700 m Arealet av fotallanen er 700 m. 700 m = 7, 1000 m =7, mål Arealet av fotallanen er 7, mål. 5 1, 5 1 7, = Det går 1 fotallaner på 5 mål..1 a Den asolutte usikkerheten i målingene er 0,05 cm. Den relative usikkerheten i målingen av redden er 0,05 0,005 0,5 % 0 = = Aschehoug Side av 18

3 Den relative usikkerheten er størst i målingen av den korteste lengden, altså i reddemålingen. Vi kan kontrollere dette ved å regne ut den relative usikkerheten i lengdemålingen: 0,05 0, ,17 % 0 = = c Den største verdien for lengden er 0,05 cm, og den største verdien for redden er 0,05 cm. Den største verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 0,05 cm + 0,05 cm = 100, cm Den minste verdien for lengden er 9,95 cm, og den minste verdien for redden er 19,95 cm. Den minste verdien omkretsen av arket kan ha, er derfor 9,95 cm + 19,95 cm = 99,8 cm d Omkretsen av arket ligger mellom 99,8 cm og 100, cm. Vi kan derfor oppgi omkretsen av arket som (100 ± 0,) cm..1 a Den asolutte usikkerheten ved målingen er 60 m 1 % = 60 m 0,01= 0,6 m Lengden le målt til 60 m, og den asolutte usikkerheten er 0,6 m. Vi kan derfor oppgi lengden som (60 ± 0,6) m..14 a Lengden le målt til 8,5 m, og den asolutte usikkerheten er 0,5 cm = 0,005 m. Vi kan derfor oppgi lengden av rommet som ( 8,5 ± 0,005) m. Den asolutte usikkerheten ved lasermålingen er 8,5 m 0,5 % = 8,5 m 0,005 = 0,0415 m 4 cm Måleåndet har altså minst usikkerhet. Målingen med måleåndet er mest nøyaktig..15 Lengden og redden av rektanglet er oppgitt med to sifre. Vi regner derfor ut arealet med to sifre. A= l = 8,0 cm 5, 4 cm = 4, cm 4 cm Arealet av rektanglet er 4 cm..16 Grunnlinja og høyden i trekanten er oppgitt med tre sifre. Vi regner derfor ut arealet med tre sifre. g h 5,4 11,5 cm 146,05 cm A 146 cm = = = Arealet av trekanten er 146 cm. Aschehoug Side av 18

4 .17 Høyden av det største ildet er 8,9 cm, mens høyden av det minste ildet er 5,9 cm. Forholdet mellom høydene er 8,9 1, 5 5,9 =.18 a Vi regner ut avstanden vist på figuren. På det største ildet er denne avstanden 4, cm, mens avstanden er,8 cm på det minste ildet. Forholdet mellom avstandene er 4, 1, 5,8 = Vi ser altså at forholdet mellom to tilsvarende avstander hele tiden er lik 1,5. De formlike trekantene i oppgave a har de samme vinklene. Det er altså vinklene som estemmer formen på en trekant..19 a Trekantene har to vinkler som er like store. Da er også den tredje vinkelen like stor. Siden trekantene har parvis like store vinkler, er trekantene formlike. Siden AB ligger mellom vinklene 50 og 70 i trekanten ABC. I trekanten DEF er det siden DE som ligger mellom disse vinklene. Altså er AB og DE tilsvarende sider. På samme måte er BC og EF tilsvarende sider, og AC og DF er tilsvarende sider. Aschehoug Side 4 av 18

5 c Vi kjenner lengden av siden BC i trekanten ABC, som er den tilsvarende siden til EF i trekanten DEF. Altså kan vi finne lengden av EF. Forholdet mellom EF og BC er lik forholdet mellom DE og AB. EF DE = BC AB EF 4,0 = 4,5 5, 0 4,0 4,5 EF = 5,0 EF =, 6.0 a DE og AB er tilsvarende sider, og DF og AC er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom DE og AB lik forholdet mellom DF og AC. DE DF = AB AC Vi lar x cm være lengden av DE. x 6 = 6 66 x = = 1 DE =1 cm BC og EF er tilsvarende sider. BC AC = EF DF Vi lar x cm være lengden av BC. x = x = = 4,5 6 BC = 4,5 cm.1 Hvis to trekanter er formlike, vil de lengste katetene og de korteste katetene være tilsvarende sider. Forholdet mellom de lengste katetene skal altså være lik forholdet mellom de korteste katetene, dersom trekantene er formlike. 6 Trekant B: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = 5 Trekant C: 1, 5 4 = og 4 1, 1, 5 = Trekant D: 0,5 4 = og 1, 5 0,5 = 6 Trekant E: 1, 5 4 = og 4,5 1, 5 = Vi ser altså at trekantene B, D og E er formlike med trekant A. (For trekant E kan vi godt sammenlikne hypotenusen med trekant A, men det er egentlig unødvendig, siden trekantene er rettvinklet og vi allerede har sammenliknet to sider.) Aschehoug Side 5 av 18

6 . a Eksempel: Eksempel:. AB og EF er tilsvarende sider, og AD og EH er tilsvarende sider. Altså er forholdet mellom EH og AD lik forholdet mellom EF og AB. EH EF = AD AB Dessuten er firkantene rektangler, slik at FG = EH. Vi lar x cm være lengden av FG. x 8, 0 =, 0 5, 0 8, 0, 0 x = = 4,8 5,0 FG = 4,8 cm.4 a Rettvinklede trekanter har alltid én felles vinkel, nemlig den rette vinkelen. Men de to andre vinklene kan godt være forskjellige. Rettvinklede trekanter trenger derfor ikke å være formlike. I en likeeint trekant er to vinkler like store. Men denne vinkelen kan være vilkårlig stor (mellom 0 og 90 ). Likeeinte trekanter trenger derfor ikke å være formlike. c I en likesidet trekant er alle tre vinklene like store. Dette etyr at alle vinklene er 60. Alle likesidede trekanter har altså de samme vinklene, som etyr at likesidede trekanter er formlike. d I et kvadrat er alle vinklene 90, og de fire sidene er like lange. Når vi sammenlikner to kvadrater, er derfor vinklene parvis like store, og forholdene mellom tilsvarende sider er like store. Alle kvadrater er altså formlike. e I et rektangel er alle vinklene 90, og to og to sider er like lange. Men forholdet mellom lengden og redden av rektanglet kan være vilkårlig. Rektangler trenger derfor ikke å være formlike. f I et parallellogram er to og to vinkler like store, og to og to sider er like lange. Men for øvrig kan vinklene være vilkårlige, og forholdet mellom lengden av sidene kan være vilkårlig. Parallellogrammer trenger derfor ikke å være formlike. Aschehoug Side 6 av 18

7 g En sirkel er éntydig gitt ved radien. Det eneste som er forskjellig i to sirkler, er derfor radien, altså størrelsen av sirkelen. Formen for øvrig er alltid den samme. Alle sirkler er altså formlike..5 A= l = = = = O= l+ = 86 mm + 54 mm = 80 mm 86 mm 54 mm 4644 mm ,01 cm 46, 44 cm 46 cm.6 a.7 a A= g h= 6 m,6 m = 1,6 m m ( a+ ) h (4 m+ m) m 9 m A = = = c Vi gjør om alle lengdene til meter. a = 80 cm = 0,8 m = dm = 0, m ( a+ ) h A = = (0,8 m + 0, m) 1,8 m = 0,9 m Det fins flere muligheter for hvordan trapeset kan se ut. Her har vi tegnet to av mulighetene. Forskjellen er at de to parallelle sidene er parallellforskjøvet i forhold til hverandre. Begge disse figurene passer til opplysningene om trapeset. ( a+ ) h (10 + 8,0) 4,0 A = = cm = 6 cm c Vi lar siden i kvadratet være s cm. A= s = 6 s = 6 = 6 Siden i kvadratet er 6 cm..8 Diameteren på plata er d =1 cm. Radien er da d 1 cm r = = = 6 cm Arealet av CD-plata er A=π r =π 6 cm =11 cm Omkretsen er O=π d =π 1 cm =8 cm.9 Arealet av sirkelen er π r =π 6 cm = 11 cm. Arealet av kvadratet er s = 10 cm = 100 cm. Sirkelen har altså størst areal. Aschehoug Side 7 av 18

8 .0 a Vi gjør om grunnlinja til cm. g = 15 mm = 1,5 cm Arealet av trekanten er g h 1, 5, cm 1, 65 cm A = = = 1, 7 cm Vi gjør om høyden til meter. h = 40 cm = 0,4 m Arealet av trekanten er g h 0,5 0, 4 A = = m = 0,1 m c Vi gjør om høyden til meter. h = 75 cm = 0,75 m Arealet av trekanten er g h 0,8 0,75 m 0,075 m A = = = 0,1 m Løsninger til innlæringsoppgavene.1 Alle trekantene har samme grunnlinje og samme høyde. De har derfor samme areal.. Vi deler opp terrassen i to rektangler, slik figuren viser. Arealet av terrassen er dermed A = 4,0 m,0 m+ 6,0 m 4,0 m = 6 m. Lekeplassen estår av et kvadrat med side 40 m og en halvsirkel med radius 0 m. Arealet er 1 A = 40 m + π 0 m = 8 m 0 m Omkretsen er O = 40 m +π 0 m = 18 m.4 Arealet av firkanten AEBC er lik arealet av trekanten ABC minus arealet av trekanten ABE. Høyden i trekant ABE er gitt ved DE = DC CE = 5,0 cm,0 cm =,0 cm Arealet av firkanten er dermed 10 5,0 10,0 A = cm cm = 15 cm Aschehoug Side 8 av 18

9 .5 a Katetene har lengde x og,5 m, og hypotenusen er 8,0 m. Pytagorassetningen gir x + (,5 m) = (8,0 m) x x + 1,5 m = 64 m = 64 m 1,5 m x = 51,75 m= 7,19 m 7, m Vi kan ruke siden med lengde 7, m som grunnlinje, og siden med lengde,5 m som høyde i trekanten. Arealet av trekanten er dermed g h 7,19,5 m A = = =1,6 m 1 m Katetene har lengde 0,6 m og 1,5 m, og hypotenusen er. Pytagorassetningen gir (0,6 m) + (1,5 m) = 0,6 m +, 5 m = =,61 m= 1,6 m 1,6 m Arealet av trekanten er g h 1, 5 0, 6 m 0,45 m A = = = c Katetene har lengde g og 1,5 m, og hypotenusen er,0 m. Pytagorassetningen gir g + (1, 5 m) = (, 0 m) g +, 5 m = 9,0 m g = 9,0 m, 5 m g = 6,75 m=,60 m,6 m Arealet av trekanten er g h,60 1,5 A = = m = 1,95 m,0 m d Katetene har lengde 4,0 cm og 8,0 cm, og hypotenusen er x. Pytagorassetningen gir (4,0 cm) + (8,0 cm) = x 16 cm + 64 cm = x x = 80 cm = 8,94 cm 8,9 cm Arealet av trekanten er g h 4,0 8,0 cm 16 cm A = = = Aschehoug Side 9 av 18

10 .6 a ( a+ ) h (8,0+ 5,0) 4,0 A = = cm = 6 cm Trekanten på figuren har katetene,0 cm og 4,0 cm. Vi lar hypotenusen være x cm. Pytagorassetningen gir, 0 + 4, 0 = x 9,0 + 16,0 = x x = 5,0 = 5,0 Hypotenusen har lengde 5,0 cm. Omkretsen av trapeset er dermed O = 8,0 cm + 4, 0 cm + 5,0 cm + 5,0 cm = cm.7 a Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c =16,0. a + = 14, 0 + 7, 00 = , 0 = 45 c = 16, 0 = 56 a + c Tallene passer ikke i pytagorassetningen. Trekanten er derfor ikke rettvinklet. Hvis trekanten er rettvinklet, må hypotenusen være den lengste siden, c = 6,0. a + = 10, 0 + 4, 0 = = 676 c = 6, 0 = 676 a + = c Tallene passer i pytagorassetningen. Trekanten er derfor rettvinklet..8 Her er a = 5, 40 og c = 7,00 katetene, og = 9,05 er hypotenusen. a + c = 5,40 + 7,00 = 9, + 49,0 =78, = 9,05 = 81, 9 Siden a + c, er vinkel B ikke rett..9 a Bredden av huset er (i virkeligheten) 8,50 m = 8, mm = 8500 mm Målestokken er forholdet mellom redden på tegningen og redden i virkeligheten. redden på tegningen 85 mm 85:85 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 8500 mm 8500 : Målestokken er 1 : 100. Målestokken 1 : 50 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 50 cm i virkeligheten. 4 cm på tegningen svarer da til 4 50 cm = 00 cm = m i virkeligheten. Tomtegrensa er m. Aschehoug Side 10 av 18

11 .40 På tegningen er redden av huset 69 mm. redden på tegningen 69 mm 69 : 69 1 Målestokken = = = = redden i virkeligheten 6900 mm 6900 : Målestokken er 1 : a Målestokken 1 : 00 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 00 cm i virkeligheten. På tegningen er lengden av soverommet 1,9 cm, og redden er 1,7 cm. I virkeligheten er derfor lengden 1,9 00 cm = 80 cm =,8 m Bredden er i virkeligheten 1,7 00 cm = 40 cm =, 4 m Dermed kan vi finne arealet.,8 m,4 m = 1,9 m 1 m Arealet av soverommet er ca. 1 m. Døråpningene på tegningen er ca. 0,4 cm. 0, 4 00 cm = 80 cm Døråpningene er ca. 80 cm rede i virkeligheten..4 Målestokken 1 : 10 etyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. På tegningen er a =,5 cm, = 1,0 cm, c =,0 cm og d = 1, cm. De virkelige lengdene er derfor a =,5 10 cm = 5 cm = 1,0 10 cm = 10 cm c =,0 10 cm = 0 cm d = 1, 10 cm = 1 cm.44 a Toppen av Gråergan ligger 989 m over havet. På kartet er avstanden 8, cm. Målestokken er 1 : , som etyr at 1 cm på kartet svarer til cm = 500 m i virkeligheten. 8, 500 m = 4150 m 400 m Avstanden i luftlinje fra toppen av Gråergan til toppen av Skeikampen er ca. 400 m. c Lengden av rektanglet er l = 5,1 cm, og redden er =,0 cm. Arealet er dermed A= l = 5,1 cm,0 cm = 15, cm 15 cm d 1 cm på kartet svarer til 500 m i virkeligheten. Lengden og redden av rektanglet er derfor i virkeligheten l = 5,1 500 m = 550 m =,55 km =,0 500 m = 1500 m = 1,5 km Arealet av området er A= l =,55 km 1,5 km =,85 km,8 km Aschehoug Side 11 av 18

12 .45 a c d 1,05 m = 1,05 1 m = 1, dm = 1050 dm,1 cm =,1 1 cm =, mm = 100 mm 0,5 dm = 0,5 1 dm = 0, cm = 0, mm = mm 0,005 m = 0,005 1 m = 0, dm = 0, cm = 5000 cm.46 a c d 50 dm = 50 1 dm = 50 0,001 m = 0,5 m 100 cm = cm = 100 0,001 dm = 0,1 dm 000 cm = cm = 000 0,001 dm = 000 0,001 0,001 m = 0,00 m mm = mm = ,001 cm = = = 400 0,001 dm 0,4 0,001 m 0,0004 m.47 a 0,006 m = 0, dm = 6 dm = 6 L 0,5 L = 0,5 dm = 0, cm = 500 cm c Grunnflaten er G = 10 cm 10 cm = 100 cm. Volumet av kartongen er dermed V = G h= 100 cm 5,0 cm = 500 cm = 500 0,001 dm = 0,5 dm = 0,5 L d Volumet av kartongen skal være V = 1 L = 1 dm = 1000 cm Grunnflaten er G =100 cm. V = G h V 1000 h = = cm = 10 cm G 100 Kartongen må være 10 cm høy..48 a Diameteren i grunnflaten er d =,5 m. Radien er dermed d,5 m r = = = 1, 5 m V =π r h=π 1, 5, 0 m = 14, 7 m 14, dm dm 14 V = = = 700 L c L 9800 L = Det er 9800 L vann i tanken..49 a Radien i grunnflaten er d 4,0 m r = = =,0 m Volumet av grushaugen er πrh π,0,0 V = = m = 8,4 m Aschehoug Side 1 av 18

13 Tykkelsen på gruslaget er cm,0 10 0,0 m = 10,8 m De har kjøpt inn for lite grus..50 a Radien i fotallen er Løsninger til innlæringsoppgavene = 0,0 m. Volumet av gruslaget skal altså være d cm r = = = 11 cm. Volumet av allen er 4πr 4π 11 cm 5575 cm 5600 cm V = = = Radien i tanken er 1, m. Volumet er 4πr 4π 1, m 7, m V = = = I liter er dette 7, m = 7, 1000 dm = 700 dm = 700 L..51 Radien i grunnflaten er,5 cm. πrh π,5 1, 0 cm 167 cm V = = = 170 cm = 170 0,001 dm = 0,17 dm = 0,17 L Kjeksen rommer 170 cm = 0,17 L is..5 a Overflaten estår av fire rektangler med målene 9,5 cm og 6,5 cm, og to kvadrater med side 6,5 cm. Overflaten av pakningen er derfor O = 4 9,5 cm 6,5 cm + 6,5 cm 6,5 cm = 1,5 cm cm Volumet av pakningen er V = 6,5 cm 6,5 cm 9,5 cm = 401 cm.5 a V = l h= 0,80 m 0,60 m 1,0 m = 0,576 m 0,58 m c Av figuren i oppgave ser vi at overflaten av tanken er O = 0,60 m 1,0 m + 0,80 m 1,0 m + 0,80 m 0,60 m = 4, m 4, m Det går med 4, m plate til å lage tanken..54 a Radien er 5,0 cm. Dermed er volumet av oksen V =π r h=π 5,0 11,0 cm = 864 cm = 864 0,001 dm = 0,864 dm = 0,864 L Omkretsen av oksen er π r = π 5,0 cm = 1, 4 cm 1, 4 cm Aschehoug Side 1 av 18

14 c Arealet av sideflaten er 1, 4 cm 11,0 cm = 45,6 cm Arealet av unnflaten og toppflaten er π r =π 5, 0 cm = 78,54 cm Overflaten av fiskeolleoksen er dermed 45,6 cm + 78,54 cm = 50 cm Det går med 50 cm metall til å lage fiskeolleoksen..55 a Radien i fotallen er 10,4 cm. Volumet av allen er dermed 4πr 4π 10,4 cm 471 cm 471 0,001 dm 4,71 dm V = = = = = 4,71 dm Overflaten av allen er O= 4π r = 4π 10,4 cm = 159 cm = 159 0,01 dm = 1,59 dm 1,6 dm Radien i en lungelære er 0,1 mm. Overflaten av hver lungelære er 4π r = 4π 0,1 mm = 0,1 mm Til sammen har alle lungelærene dermed overflaten 6 0,1 mm = mm = ,01 cm = ,01 dm = 100 0,01 m = 1 m.56 Vi finner høyden a i sideflaten fra pytagorassetningen. a = cm = 46 cm = 0,9 cm Overflaten av pyramiden er dermed s a 1 0,9 O= s + 4 = 1 cm + 4 cm = 646 cm = 646 0,01 dm = 6, 46 dm 6,5 dm Aschehoug Side 14 av 18

15 .57 Taket estår av fire trekanter. To av dem har grunnlinje 1,0 m og høyde a, og to av dem har grunnlinje 8,0 m og høyde. Vi finner a og fra pytagorassetningen. a = 4,0 +,0 m = 5,0 m = 5,00 m = 6,0 +,0 m = 45,0 m = 6,71 m Overflaten av taket er dermed 1,0 5,00 8,0 6,71 m + m = 11,68 m 114 m.58 a Diameteren i grunnflaten er 4 cm. Radien er derfor d 4 cm r = = = 1 cm c d πrh π 1 8,0 cm 106 cm 106 0,001 dm 1, 06 dm 1, dm V = = = = = s = 1 + 8,0 cm = 08 cm = 14, 4 cm 14 cm O=π r +π rs =π 1 cm +π 1 14, 4 cm = 996 cm = 996 0,01 dm = 9,96 dm 10,0 dm.59 Diameteren i grunnflaten er 0 cm. Både radien i grunnflaten og høyden i kjegla er halvparten av diameteren, altså 10 cm. Volumet av kjegla er dermed πrh π cm 1047 cm ,001 dm 1,047 dm V = = = = = 1,0 dm Sidekanten i kjegla er s = r + h = cm = 00 cm = 14,14 cm Overflaten er dermed O=π r +π rs =π 10 cm +π 10 14,14 cm = 758 cm = 758 0,01 dm = 7,58 dm 7,6 dm Aschehoug Side 15 av 18

16 .7 a c d e f 60 v = 180 = v = 180 = v = 180 = v = 180 = v = 180 = 18, v = 180 = Vinkelen i en regulær åttekant er 60 v = 180 = 15 8 Hvis vi skal kunne fylle planet med regulære åttekanter, må summen av vinklene i punktene der åttekantene møtes, være 60. Men 15 går ikke opp i 60. Hvis vi legger to åttekanter ved siden av hverandre, lir det = 90 til overs, hvor det ikke er plass til en tredje åttekant. Vi kan derfor ikke fylle planet med regulære åttekanter..75 a Vinkelen i en regulær firkant er 90, og vinkelen i en regulær sekskant er 10. Hvis vi skal ha minst én firkant og minst én sekskant, må antall sekskanter være én eller to (med tre sekskanter er vi allerede oppe i 60 til sammen, uten noen firkanter). Men hverken = 40 eller = 10 kan deles på 90. Det er derfor ikke mulig for regulære firkanter og regulære sekskanter å møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Vinkelen i en regulær trekant er 60, og vinkelen i en regulær firkant er 90. Antall firkanter må være én, to eller tre = 70 kan ikke deles på = 180 kan deles på 60 (180 = 60 ) = 90 kan ikke deles på 60 Vi ser at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60. Altså kan regulære trekanter og regulære firkanter møtes i et hjørne slik at summen av vinklene lir 60. Aschehoug Side 16 av 18

17 c Vi kan ikke ruke firkanter og sekskanter til å fylle planet, siden summen av vinklene ikke lir 60. I oppgave fant vi at tre trekanter og to firkanter til sammen gir 60 når de møtes i et hjørne. Vi må undersøke om dette mønstret kan utvides til å fylle hele planet. Det viser seg at det er to forskjellige mønstre som er mulig:.76 a Det første mønstret estår av tre trekanter og to firkanter, altså (,,,4,4). Det andre mønstret estår av to trekanter og to sekskanter, i rekkefølgen trekant sekskant trekant sekskant. Skrivemåten for mønstret er altså (,6,,6). Det siste mønstret estår av én firkant og to åttekanter, altså (4,8,8). Mønstret har skrivemåten (,,4,,4). c Figuren nedenfor viser mønstrene (,,,, 6), (, 4, 6, 4), (4, 6,1) og (,1,1). Aschehoug Side 17 av 18

18 d Mønstret (6,6,6) inneholder kun sekskanter, mens et semiregulært mønster skal inneholde minst to forskjellige typer mangekanter. Derfor er (6,6,6) ikke et semiregulært mønster. Men vi kan fylle planet med regulære sekskanter: e Mønstret i eksempel 4 er det semiregulære mønstret (,4,6,4). Aschehoug Side 18 av 18

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co. MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets (O)

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Oppgave 1 Det norske flagget har dimensjoner som vist på bildet. Hva er forholdet mellom arealet av det røde området og arealet av det blå korset? 54 7 18 A 3 B C D E 4 17 2 5 Skriv mål på flere sider

Detaljer

Eksamen 1P våren 2011

Eksamen 1P våren 2011 Eksamen 1P våren 011 Del 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Når kursen på islandske kroner er 5,5, svarer 500 ISK til 5, 5 kr 500 = 6, 5 kr 100 b) Hvis vi setter kursen på islandske kroner til 5, blir omregningen

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P

Basisoppgaver til Tall i arbeid P Basisoppgaver til Tall i arbeid P 1 Tall og algebra Økonomi Geometri Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 1. Brøk 1. Store og små tall 1.4 Bokstavuttrykk

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 4. mai 2007 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, 016. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1: 187 + 9 = 16 9,4-15,6 = 13,8 c: 4,. 1,7 94 4 7,14 d: 3,4 : 0,9 = 34 : 9 = 6 18 54 54 OPPGAVE : -. (- 3) = 6 5. () = 5 4 = 1 c: 3. (- ) (- 4) = - 6

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

Areal av polygoner med GeoGebra

Areal av polygoner med GeoGebra 1. Vi starter med å lage forskjellige rektangler og kvadrater med følgende arealer: 1 rute, 2 ruter, 3 ruter, 4 ruter, 5 ruter, 6 ruter, 7 ruter, 8 ruter, 9 ruter og 10 ruter 2. Tegn så mange ulike figurer

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Høst 13

Løsning del 1 utrinn Høst 13 //06 Løsning del utrinn Høst - matematikk.net Løsning del utrinn Høst Contents DEL EN Oppgave + 679 = 0 89 78 = 8 c) 7,, 6 = 6, 6 d) : 0, = 0 : = 80 Oppgave 78 dl = 7,8 L, mil = kilometer = 000 m c), t

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007 Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG1341-4. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 15, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MY er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2007 2008 Første runde 1. november 2007 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet

Detaljer

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44 Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5

Detaljer

Trigonometri og geometri

Trigonometri og geometri 6 Trigonometri og geometri 6.1 Sinus til en vinkel Oppgave 6.110 a) Hvilken av disse påstandene er riktig? 1) sin = 3) sin = 2) sin = b) Hvilken av disse påstandene er riktig? b a Oppgave 6.111 ruk lommeregneren

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Terminprøve i matematikk for 9. trinn

Terminprøve i matematikk for 9. trinn Terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand Oppgaver 1 Geometri KTEGORI 1 1.1 Enheter for lengde Oppgave 1.110 Gjør om til meter. a) 2,5 km b) 1,5 mil c) 0,5 km d) 0,8 mil Oppgave 1.111 a) Hvor mange kilometer er 2,2 mil? b) Hvor mange mil er 540

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening

R2 kapittel 8 Eksamenstrening R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

1P kapittel 4 Lengder og vinkler

1P kapittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14

Detaljer

A) 3 B) 6 C) 12 D) 27 E) 54

A) 3 B) 6 C) 12 D) 27 E) 54 SETT 20 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En maur befinner seg ved hjørnet av en terning. På det diagonalt motsatte hjørnet er det en liten bit sukker som mauren har veldig lyst på. Mauren

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Eksamen 05.12.2013. MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 05.12.2013. MAT0010 Matematikk Del 1. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 05.12.2013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del 2 Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt:

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høst 007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks.

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Matematikk for yrkesfag

Matematikk for yrkesfag John Eneeth Odd Heir Håvard Moe fo re nk BOKMÅL l t e Matematikk for yrkefa BOKMÅL 6 Pytaoraetninen I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 90. katet hypotenu Den lente iden kaller vi hypotenu. De

Detaljer

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 %

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 % SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Per er i butikken for å kjøpe frukt. En appelsin koster 3 kroner, en banan koster 2 kroner, og et eple koster 1 krone. Per skal kjøpe for nøyaktig

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 = ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

JULETENTAMEN 2016, FASIT.

JULETENTAMEN 2016, FASIT. JULETENTAMEN 2016, FASIT. DELPRØVE 1. OPPGAVE 1 709 + 2598 = 3307 540-71 = 469 c: 2,9. 3,4 116 870 9,86 d: 30,6 : 0,6 = 306 : 6 = 51 30 6 6 OPPGAVE 2 440 kr 4 = 110 kr c: 7 4 7 2 = 7 4+2 =7 6 (Godtar også:

Detaljer

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 15 DAG 1 DAG Hvilken av følgende volumer er det samme som en halv liter?

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 15 DAG 1 DAG Hvilken av følgende volumer er det samme som en halv liter? SETT 15 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilken av følgende volumer er det samme som en halv liter? A) 50 cm 3 B) 500 cm 3 C) 0,5 m 3 D) 0,05 m 3 E) 0,005 m 3 2. Familien Hansen og familien

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2008 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

Kapittel 6. Volum og overflate

Kapittel 6. Volum og overflate Kapittel 6. Volum og overflate Mål for Kapittel 6, Volum og overflate. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1.

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1. Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl. 13.00 Antall oppgaver 9 Løsningsforslag Oppgave 1 a) sin A = BC AC 3, 2 cm = = 0, 627 5, 1 cm A = sin 1 0, 627

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

LGU51005 A, Matematikk

LGU51005 A, Matematikk Skriftlig eksamen i LGU51005 A, Matematikk 1 5-10 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 10. desember 2013. BOKMÅL Sensur faller innen torsdag 9. januar 2014. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Grunnskoleeksamen 2002. Innholdsfortegnelse

Grunnskoleeksamen 2002. Innholdsfortegnelse Grunnskoleeksamen 2002 Innholdsfortegnelse Delprøve 1...1 Oppgave 1 (2p)...1 Oppgave 2...1 Oppgave 3...1 Oppgave 4...2 Oppgave 5...2 Oppgave 6...2 Oppgave 7 (1p)...3 Oppgave 8 (1p)...3 Oppgave 9 (1p)...4

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2016-2017 Tids rom 3 Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall på

Detaljer