Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid"

Transkript

1 8 1

2 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum bruke varierte målenheter og måleredskaper, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktighet

3 1.1 Enheter for lengde? Oppgave 1.10 Denne oppgaven skal du løse uten måleredskaper, for her skal du prøve å anslå lengder. a) Hvor mange centimeter bredt er et A4-ark, tror du? Hvor mange desimeter er det? b) Hvor mange desimeter er bredden av pultplata di? Hvor mange centimeter er det? c) Hvor mange meter er bredden av klasserommet ditt? Hvor mange desimeter er det? d) Sammenlikn svarene dine med det de andre i klassen har svart. Store lengder og avstander måler vi ofte i meter (m), kilometer (km) eller mil. Ettersom kilo betyr 1000, er 1 km = 1000 m. Sammenhengen er: 1 km = 1000 m 1 m = 0,001 km 1 mil = 10 km 1 km = 0,1 mil Små lengder måler vi vanligvis i desimeter (dm), centimeter (cm) eller millimeter (mm). CM m 2 CM Vi har denne sammenhengen mellom meter, centimeter og millimeter: 1 m = 10 dm 1 dm = 0,1 m 1 dm = 10 cm 1 cm = 0,1 dm 1 cm = 10 mm 1 mm = 0,1 cm 1 m = 100 cm 1 cm = 0,01 m 1 m = 1000 mm 1 mm = 0,001 m Disse sammenhengene bruker vi når vi regner om mellom enheter. a) Hvor mange kilometer er 5,6 mil? b) Hvor mange meter er 2,7 km? c) Hvor mange centimeter er 25 mm? 10 Sinus 1P > Geometri

4 a) Vi vet at 1 mil er 10 km. Det gir 5,6 mil = 5,6 10 km = 56 km 1 mil b) Ettersom 1 km er 1000 m, får vi 2,7 km = 2, m = 2700 m 1 km c) Ettersom 1 mm er 0,1 cm, er 25 mm = 25 0,1 cm = 2,5 cm 1 mm I praksis løser vi oppgaver som i eksempelet ovenfor ved å flytte komma. a) Hvor mange meter er 12,3 km? Hvor mange kilometer er 3700 m? b) Hvor mange meter er 32 cm? Hvor mange centimeter er 0,785 m? a) Ettersom 1 km = 1000 m, må vi flytte kommaet tre plasser. 12,3 km = 12,300 km = m, m = 3,7 km 3 b) Da 1 m = 100 cm, må vi flytte kommaet to plasser. 32 cm = 032 cm = 0,32 m 0,785 m = 78,5 cm 2 2? Oppgave 1.11 a) Hvor mange meter er 0,67 km? b) Hvor mange millimeter er 0,7 cm? c) Hvor mange kilometer er 4200 m? d) Hvor mange mil er m? 11

5 ? Oppgave 1.12 Gjør om til kilometer. a) 13,4 mil b) 0,47 mil c) 7800 m d) 300 m Oppgave 1.13 Gjør om til desimeter. a) 12,3 m b) 0,75 m c) 45 cm d) 320 mm Noen ganger får vi bruk for å summere avstander. Da gjør vi om alle avstandene til samme målenhet og legger sammen. Legg sammen avstandene. 13,4 km + 2,5 mil m Vi gjør alle lengdene om til kilometer. 2,5 mil = 25 km 4300 m = 4,3 km Nå summerer vi: 13,4 km + 2,5 mil m = 13,4 km + 25 km + 4,3 km = 42,7 km = 43 km Ettersom det ikke er desimaler i 25 km, tar vi heller ikke med desimaler i svaret. Vi runder av til 43 km.? Oppgave 1.14 Legg sammen. a) 200 m + 3,4 km b) 5,2 mil + 17 km c) 32 dm cm d) 24,2 cm mm Oppgave 1.15 Legg sammen. a) 12,1 km + 2,10 mil m b) 23,2 dm + 5,2 m cm c) 2,3 cm + 1,2 dm + 54 mm 12 Sinus 1P > Geometri

6 1.2 Måling av lengde og avstand? Oppgave 1.20 a) Bruk en linjal og mål 1) lengden og bredden av et A4-ark 2) tykkelsen av tommelen din 3) høyden din 4) tykkelsen av pennen din 5) omkretsen av pennen din b) Hvilke av målene ovenfor tror du ble mest nøyaktige? Hvor stor feil kan du ha gjort? c) Hvilke mål tror du er mest unøyaktige? Hvor stor tror du feilen kan være? d) Vet du om måleredskaper som er bedre egnet til målingene ovenfor? Når vi måler lengder og bredder, får vi ikke alltid et nøyaktig resultat. En grunn kan være at det vi måler, ikke har noen helt nøyaktig lengde eller bredde. Høyden din er avhengig av hvor godt du strekker deg. Bredden av tommelen er avhengig av hvor du måler, og hvor hardt du klemmer. En annen grunn kan være at det måleredskapet vi har, ikke egner seg til målingen. Det er ikke enkelt å måle tykkelsen av tommelen og omkretsen av en penn ved hjelp av en linjal. Linjalen og meterstokken er best egnet for lengder fra 1 mm og opp til noen få meter. Med dem kan vi måle lengder i hele millimeter og for eksempel finne ut at lengden av et A4-ark er 297 mm eller 29,7 cm. Men vi kan ikke finne ut om lengden er 297,0 mm eller 297,1 mm. Vi sier at målenøyaktigheten her er 1 mm eller 0,1 cm. 13

7 Det fins nøyaktige måleredskaper som vi kan bruke til å måle små lengder. En skyvelære måler lengder fra 1 mm og opp til omtrent 15 cm En skyvelære er velegnet når vi for eksempel skal finne diameteren av et rør eller diameteren av et hull. Nøyaktigheten er 0,1 mm. Da kan vi se om et rør for eksempel er 9,3 mm eller 9,4 mm tykt. Hvordan en skyvelære skal brukes, kan du finne på Sinus-sidene på nettet. Med en mikrometerskrue kan vi måle lengder med en nøyaktighet på 0,01 mm. Da kan vi avgjøre om et rør er 9,34 mm eller 9,35 mm tykt. Men det vi måler, kan ikke være mer enn noen få centimeter langt Det fins elektroniske måleapparater som måler lengder enda mer nøyaktig enn det vi kan gjøre med en mikrometerskrue. Med en meterstokk eller et måleband kan vi måle korte avstander. Men hvis avstanden er på flere kilometer, trenger vi andre hjelpemidler. Hvis vi skal måle avstander langs en vei, kan vi bruke kilometertelleren på en bil eller en sykkel. Men slike målere er ofte unøyaktige. Flere typer elektroniske målere kan derimot måle avstand med stor nøyaktighet. Blant annet kan vi måle avstander hvis vi har en GPS-mottaker. 14 Sinus 1P > Geometri

8 Det fins små bærbare mottakere og modeller som er montert i biler eller båter. Ved hjelp av tre fire satellitter finner GPS-mottakeren ut hvor du er. Den kan vise posisjonen enten på et digitalt kart eller ved hjelp av tall. Mottakeren viser aldri mer enn 15 m feil. Hvis du skal gå fra et sted A til et sted B, kan GPS-mottakeren finne avstanden i luftlinje. Når du er framme ved B, kan mottakeren fortelle hvor langt du har gått, med en feilmargin på 15 m. Det er ikke bare målenøyaktigheten til selve redskapen som avgjør hvor nøyaktig måling vi får. Vi kan for eksempel være unøyaktige når vi gjør målin gen, eller gjenstanden har en form som gjør at den er vanskelig å måle. Det er stor forskjell på å måle 1 mm feil når vi skal måle en maskindel som er 5 mm lang, og å måle 1 mm feil når vi skal måle et veistykke som er flere hundre meter langt. Derfor oppgir vi ofte målenøyaktigheten i prosent. a) Når vi bruker en linjal, er målenøyaktigheten 1 mm. Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 20 cm? b) Når vi bruker en GPS-mottaker, er målenøyaktigheten 15 m. Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en avstand på 3 mil? c) Hvilken av disse to målingene er mest nøyaktig? a) Vi gjør lengden om til millimeter. 20 cm = 200 mm. Forholdet mellom nøyaktigheten og lengden er = 0,005 Prosenten er 0, % = 0,5 % b) Vi gjør lengden om til meter. 3 mil = 30 km = m. Forholdet mellom nøyaktigheten og lengden er = 0,0005 Prosenten er 0, % = 0,05 % c) Ettersom den prosentvise målefeilen er minst for GPS-målingen, er det den som er den mest nøyaktige. 15

9 ? Oppgave 1.21 Når vi bruker en skyvelære, er målenøyaktigheten 0,1 mm. a) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 10 cm? b) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 2 cm? Oppgave 1.22 Når vi bruker en mikrometerskrue, er målenøyaktigheten 0,01 mm. a) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 2 cm? b) Hvor mange prosent feil gir det når vi måler en lengde på 1 mm? Oppgave 1.23 (gruppeoppgave) Vi skal nå undersøke målenøyaktigheten ved en praktisk måling. a) Hver elev i klassen måler bredden av samme type pultplate. b) Vi samler sammen alle måleresultatene og regner ut gjennomsnittet. Det tallet er sikkert nær den riktige bredden av pultplaten. c) Hver elev regner nå ut hvor mange prosent fra gjennomsnittet de var. d) Vi samler sammen alle prosentavvikene og regner ut gjennomsnittet. Det er et brukbart mål for målenøyaktigheten. 1.3 Vinkler i formlike figurer Når vi forstørrer eller forminsker og eventuelt speilvender en figur, får vi en formlik fi gur. De to husgavlene nedenfor er formlike. u v Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler i de to figurene.? Oppgave 1.30 a) Bruk en vinkelmåler og mål vinklene u og v i de to figurene ovenfor. Hva finner du? b) Mål de andre samsvarende vinklene i de to figurene. Hva finner du? 16 Sinus 1P > Geometri

10 I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store. Firkantene ABCD og EFGH er formlike. D C H 135 G A 45 a) Finn B og C. b) Finn summen av vinklene i ABCD. a) Ettersom figurene er formlike, er B = F = 90 C = G = 135 b) Summen av vinklene i ABCD er B E F A + B + C + D = = 360 Noen ganger må vi selv finne ut om to figurer er formlike. Da må vi bruke noen regler som vi kjenner fra ungdomsskolen. Om trekanter vet vi dette: Summen av vinklene i en trekant er 180. Videre vet vi at to trekanter er formlike hvis vinklene er parvis like store. Når vi skal undersøke om to trekanter er formlike, er det nok å vise at to av vinklene er parvis like store. Da må de siste vinklene også være like, for summen av vinklene skal være

11 To trekanter er formlike hvis to av vinklene i den ene trekanten er like store som to av vinklene i den andre trekanten. Noen tilsvarende regel gjelder ikke for figurer med mer enn tre kanter. Vi arbeider derfor stort sett med trekanter når vi skal undersøke om figurer er formlike. Vis at de to trekantene på figuren er formlike. C 82 F A B D E Vi ser at A = D. I ABC er summen av vinklene 180. Dermed er B = = 45 Dermed er B = E. To av vinklene i ABC er altså lik to av vinklene i DEF. Trekantene er derfor formlike.? Oppgave 1.31 ABC og DEF er formlike. Finn B og C. C F A B D E Oppgave 1.32 ABC og DEF er formlike. I ABC er A = 41,7 og B = 53,3. Finn vinklene i DEF. 18 Sinus 1P > Geometri

12 ? Oppgave 1.33 Vi kan vise at vinkelsummen i en firkant alltid er 360. Det må du bruke i denne oppgaven. Firkanten ABCD og firkanten EFGH er formlike. På figuren nedenfor finner du noen av vinklene. Finn de ukjente vinklene i de to firkantene. A D 63 H C B E F G På figuren nedenfor har vi tegnet to linjer som skjærer hverandre. v u Vinklene u og v kaller vi toppvinkler. De er alltid like store slik at u = v. Toppvinkler er like store. På figuren nedenfor er det ei linje som krysser to parallelle linjer. Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler ved parallelle linjer. De er alltid like store, slik at u = v. w v u Samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store. Videre er v og w toppvinkler. Dermed er v = w. Men ettersom u = v, er også u = w. 19

13 I firkanten ABCD er sidene AB og CD parallelle. La E være skjæringspunktet mellom diagonalene. Vis at ABE er formlik med CDE. D C E A B Ettersom AB og CD er parallelle sider, er BAE = ECD. Vinklene AEB og CED er toppvinkler. Dermed er AEB = CED. Altså er to av vinklene i ABE lik to av vinklene i CDE. Vi har da vist at ABE er formlik med CDE.? Oppgave 1.34 Merk av to punkter på den lange sida av et A4-ark. Merk av to punkter på motsatt side av arket. Trekk linjer fra punktene på den ene siden til punktene på den andre siden slik at linjene skjærer hverandre. Forklar hvorfor du får fram to formlike trekanter. Oppgave 1.35 Tegn en trekant ABC. La D være et punkt på AC. La E ligge på BC slik at DE er parallell med AB. Forklar hvorfor trekanten DEC er formlik med trekanten ABC. A D C E B 20 Sinus 1P > Geometri

14 1.4 Lengder i formlike figurer? Oppgave 1.40 De to femkantene nedenfor er formlike. D C E J I H A B F G a) FG og AB er samsvarende sider. Mål lengden av sidene og regn ut forholdet mellom FG og AB. b) Finn forholdet mellom de samsvarende sidene GH og BC. c) Finn forholdet mellom andre samsvarende sider i de to femkantene. d) Finn forholdet mellom diagonalene FI og AD. e) Finn forholdet mellom andre diagonaler. f) Hvilken regel har vi? I to formlike figurer er forholdet mellom samsvarende lengder det samme uansett hvilke samsvarende lengder vi velger. De to firkantene nedenfor er formlike. Finn lengden av EH. D C 7,0 cm H G A 15,0 cm B E 6,0 cm F 21

15 De to figurene er formlike, og da er forholdet mellom samsvarende sider i de to firkantene det samme. Det er praktisk å sette opp de samsvarende sidene i en tabell der vi passer på å plassere den ukjente siden øverst til venstre i tabellen. Samsvarende sider Samsvarende sider Liten figur EH EF Stor figur AD AB Det gir denne likningen: EH AD = EF AB EH 7,0 cm EH 7,0 cm EH = 2,8 cm 6,0 cm = 15,0 cm 7,0 cm 6,0 cm 7,0 cm = 7,0 cm 15,0 cm Det er ikke bare forholdet mellom rette linjer som er det samme i formlike figurer. Forholdet mellom samsvarende krumme linjer er også det samme. Grete skal lage et blomsterbed i hagen. Avstanden tvers over bedet skal være 250 cm som vist på figuren til venstre nedenfor. Hun lager en modell av bedet i papir der avstanden tvers over er 20 cm. På denne modellen er omkretsen 90 cm. a) Finn omkretsen av bedet. b) Langs kanten av bedet vil Grete legge stein. Steinene er kvadratiske med sidekant 15 cm. Hvor mange steiner trenger hun? 250 cm 20 cm 22 Sinus 1P > Geometri

16 a) La omkretsen av bedet være x. Vi lager tabell: Omkrets Avstand på tvers Bed x 250 cm Mønster 90 cm 20 cm Det gir denne likningen: x 90 cm = 250 cm 90 cm 20 cm x = cm 20 x = 1125 cm Omkretsen er 11,25 m. b) Ettersom omkretsen er 1125 cm og hver stein er 15 cm, blir tallet på steiner 1125 : 15 = 75. Grete trenger 75 steiner.? Oppgave 1.41 ABC og DEF er formlike. Finn lengden av sidene DF og EF. 5,6 cm 4,4 cm C F A 8,0 cm B D 6,0 cm E Oppgave 1.42 ABC og DEF er formlike. F 3,2 cm 42 C 45,5 5,4 cm A 4,5 cm B D 8,1 cm E a) Finn lengden av sidene BC og DF. b) Finn B, C, D og F. 23

17 ? Oppgave 1.43 Bjarne Beck vil lage sin egen ballbinge. Den skal være 9,00 m lang. Han lager en modell som er 30 cm lang og 18 cm bred. Bjarne finner ut at det er 75 cm rundt hele modellen. Ballbingen skal være formlik med modellen. 18 cm 30 cm a) Finn bredden av ballbingen. b) Langs kanten av bingen vil Bjarne bruke sponplater med bredde 60 cm. Hvor mange slike plater trenger han?! Det er ikke alltid de figurene vi arbeider med, er snudd samme veien. Da kan det være litt vanskelig å se hvilke sider som er samsvarende sider. Husk at samsvarende sider alltid går mellom like vinkler. På figuren nedenfor er AB og CD parallelle. Trekantene ABE og CDE er dermed formlike. D 50 cm C E 64 cm A 80 cm B a) Hvilken side i CDE samsvarer med AE? b) Finn lengden av CE. 24 Sinus 1P > Geometri

18 a) AEB og CED er toppvinkler. Vi har satt én strek over vinkeltegnet ved disse vinklene for å vise at de er like store. Ettersom AB og CD er parallelle, er A = C. Her har vi satt to streker over vinkeltegnene. Samsvarende sider går mellom like vinkler, og dermed er CE og AE samsvarende sider. CE og AE er samsvarende sider. b) Vi setter samsvarende sider inn i en tabell. Samsvarende sider Samsvarende sider CDE CE CD ABE AE AB Det gir dette forholdet: CE AE = CD AB CE 64 cm CE = 50 cm = 80 cm 50 cm 80 cm CE = 40 cm 64 cm 64 cm? Oppgave 1.44 I ABC er AB = 5,4 cm, AC = 4,2 cm og BC = 4,8 cm. Punktet D ligger på AC slik at CD = 2,0 cm. Punktet E ligger på BC slik at DE er parallell med AB. C D E A B a) Forklar hvorfor DEC er formlik med ABC. b) Finn lengden av CE og av DE. 25

19 ? Oppgave 1.45 I ABC er AB = 12,0 cm, AC = 8,0 cm og BC = 7,2 cm. Punktet D ligger på AB slik at BD = 4,0 cm. Punktet E ligger på BC slik at BDE = C. a) Tegn figur. b) Forklar hvorfor BED er formlik med ABC. c) Finn de samsvarende sidene i de to trekantene. d) Finn lengden av DE og av BE. 1.5 Pytagorassetningen I trekanten nedenfor er C = 90. En slik trekant der en av vinklene er 90, kaller vi en rettvinklet trekant. C Katet b a Katet A c Hypotenus B I en rettvinklet trekant er hypotenusen den siden som ligger rett overfor den rette vinkelen. Vinkelbeina til den rette vinkelen kaller vi kateter. Begge katetene har et endepunkt i hjørnet med den rette vinkelen. Fra ungdomsskolen kjenner du pytagorassetningen. Den gir sammenhengen mellom lengdene av katetene og hypotenusen. Setningen er oppkalt etter Pytagoras, en gresk matematiker og filosof som levde for omtrent 2500 år siden. I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er c 2 = a 2 + b 2 Denne setningen kjente babylonerne til lenge før Pytagoras levde. Setningen bærer likevel hans navn fordi vi tror det var han som var den første som beviste den. 26 Sinus 1P > Geometri

20 I en rettvinklet trekant har katetene lengdene 5,4 cm og 7,2 cm. Finn lengden c av hypotenusen. Vi bruker pytagorassetningen. c 2 = (5,4 cm) 2 + (7,2 cm) 2 = 29,16 cm ,84 cm 2 = 81,0 cm 2 c = 81,0 cm 2 = 9,0 cm Hypotenusen er 9,0 cm. c 7,2 cm 5,4 cm En rektangulær parkeringsplass er 39 m lang og 24 m bred. Hvor langt er det fra et hjørne til motsatt hjørne? 24 m c 39 m Når vi trekker diagonalen, får vi fram en rettvinklet trekant der katetene har lengdene 39 m og 24 m. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (39 m) 2 + (24 m) 2 = 1521 m m 2 = 2097 m 2 c = 2097 m 2 = 45,8 m Det er ca. 46 m fra et hjørne til motsatt hjørne. 27

21 ? Oppgave 1.50 Finn lengden av hypotenusen. a) b) c) 8 dm 5 dm 4,5 cm 5,8 cm 6 dm 5 dm Oppgave 1.51 I en rettvinklet trekant er lengdene av katetene 5 cm og 12 cm. Hvor lang er hypotenusen? Oppgave 1.52 Ei dør er 0,90 m bred og 2,05 m høy. Hvor lang er diagonalen i døra? Vi kan også bruke pytagorassetningen til å finne en katet når vi kjenner hypotenusen og den andre kateten. En stige som er 3,00 m lang, står inntil en vegg. Stigen står på et horisontalt underlag. Den står 1,20 m fra veggen ved bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? La x være avstanden opp langs veggen. x 3,00 m 1,20 m 28 Sinus 1P > Geometri

22 Her har hypotenusen lengden 3,00 m. Pytagorassetningen gir denne likningen: x 2 + (1,20 m) 2 = (3,00 m) 2 x 2 + 1,44 m 2 = 9,00 m 2 x 2 = 9,00 m 2 1,44 m 2 x 2 = 7,56 m 2 x = 7,56 m 2 x = 2,75 m Stigen når 2,75 m opp på veggen. Noen ganger bruker vi pytagorassetningen til å kontrollere om en trekant er rettvinklet. Vi undersøker da om sidene passer med pytagorassetningen. En bilderamme er 34,4 cm lang og 21,2 cm høy. Diagonalen er 41,0 cm. Er ramma rettvinklet? 41,0 cm 21,2 cm 34,4 cm Vi undersøker hvor lang diagonalen må være hvis ramma skal være rettvinklet. Da må diagonalen være hypotenusen i en rettvinklet trekant. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (34,4 cm) 2 + (21,2 cm) 2 = 1633 cm 2 c = 1633 cm 2 = 40,4 cm Diagonalen skal være 40,4 cm. Ettersom den er 41,0 cm, er ikke ramma rettvinklet. Ramma er ikke rettvinklet. 29

23 ? Oppgave 1.53 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 8,5 cm lang, og den ene kateten er 5,4 cm lang. Hvor lang er den andre kateten? Oppgave 1.54 Ei flaggstang står på et horisontalt underlag. En 20 m lang line er festet til toppen av flaggstanga. Når vi strekker lina, når den 8,72 m ut fra foten av stanga. Hvor høy er flaggstanga? Oppgave 1.55 Sidene i en trekant har lengdene 4,2 cm, 5,6 cm og 7,0 cm. Er trekanten rettvinklet? 20 m h 8,72 m Oppgave 1.56 En tømrer skal sette opp to vegger som skal stå vinkelrett på hverandre. Han merker av et punkt på den ene veggen i avstanden 1,50 m fra hjørnet. Han merker også av et punkt på den andre veggen i avstanden 2,00 m fra hjørnet. Hvis avstanden mellom de to punktene er 2,50 m, er vinkelen 90. 1,50 m 2,00 m 2,50 m? Forklar hvorfor dette er riktig. 30 Sinus 1P > Geometri

24 1.6 Areal Arealet av flatestykker måler vi ofte i enhetene kvadratcentimeter (cm 2 ), kvadrat desimeter (dm 2 ), kvadratmeter (m 2 ) eller kvadratkilometer (km 2 ). 1 dm 1 cm 1 dm 1 cm 2 1 dm 2 1 cm Ettersom 1 dm = 10 cm, kan vi langs hver side i det store kvadratet plassere ti ruter som hver er 1 cm 2. Vi ser at vi kan fylle det store kvadratet med 100 små ruter. 1 dm 2 = 100 cm 2 Dette kan vi regne ut på denne måten: Dermed er 1 dm 2 = (10 cm) 2 = 10 2 cm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 0,01 dm 2 Vi kan regne om mellom kvadratmeter og kvadratdesimeter på tilsvarende måte. 1 m 2 = (10 dm) 2 = 10 2 dm 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 0,01 m 2 31

25 Regn om til kvadratdesimeter. a) 1,25 m 2 b) 435 cm 2 a) 1,25 m 2 = 1, dm 2 = 125 dm 2 1 m 2 b) 435 cm 2 = 435 0,01 dm 2 = 4,35 dm 2 1 cm 2 I eksempelet ovenfor legger vi merke til at vi har flyttet kommaet to plasser. Når vi regner om mellom cm 2 og dm 2 eller mellom dm 2 og m 2, flytter vi kommaet 2 plasser. a) Regn om 346,2 dm 2 til kvadratmeter (m 2 ). b) Regn om 0,782 dm 2 til kvadratcentimeter (cm 2 ). a) 346,2 dm 2 = 346,2 dm 2 = 3,462 m 2 2 b) 0,782 dm 2 = 0,782 dm 2 = 78,2 cm 2 2? Oppgave 1.60 Gjør om til kvadratdesimeter. a) 3,7 m 2 b) 0,12 m 2 c) 376,5 cm 2 Oppgave 1.61 Gjør om til kvadratmeter. a) 350 dm 2 b) dm 2 c) cm 2 32 Sinus 1P > Geometri

26 Nå repeterer vi noen arealformler fra ungdomsskolen. Rektangel Alle vinklene er 90. De motstående sidene er parallelle og like lange. Arealet A er A = g h der g er lengden av grunnlinja og h er høyden. g h Kvadrat Alle vinklene er 90. Alle sidene er like lange. Arealet A er A = s 2 s der s er lengden av sidene. Trekant En trekant er begrenset av tre rette linjer. Arealet A er gitt ved A = g h 2 h s h der g er lengden av grunnlinja og h er høyden fra toppunktet til grunnlinja eller til forlengelsen av grunnlinja. g g Parallellogram De motstående sidene er parallelle og like lange. De motstående vinklene er like store. Arealet A er gitt ved A = g h der g er lengden av to parallelle sider og h er avstanden mellom dem. h g Rombe Alle sidene er like lange og parvis parallelle. De motstående vinklene er like store. Arealet A er gitt ved A = g h h der g er lengden av sidene og h er avstanden mellom to parallelle sider. g 33

27 Trapes To av sidene er parallelle. Arealet A er gitt ved (a + b) h A = 2 h der a og b er lengdene av de parallelle sidene og h er avstanden mellom dem. b a Finn arealet av parallellogrammet. Arealet A er 4,3 cm A = g h = 8,4 cm 4,3 cm = 36,12 cm 2 = 36 cm 2 8,4 cm I eksempelet ovenfor var både lengden og bredden oppgitt med to siffer. Da tar vi med to siffer i svaret også. Vi runder av til 36 cm 2. Når vi multipliserer tall som er målte verdier, tar vi med omtrent like mange siffer i svaret som det er siffer i de tallene som er oppgitt. Legg merke til at vi teller sifrene og ikke desimalene.? Oppgave 1.62 En trekant har grunnlinje g = 7,8 cm og høyde h = 5,2 cm. Finn arealet av trekanten. Oppgave 1.63 Et rektangel er 11 cm langt og 7,0 cm bredt. Regn ut arealet av rektangelet. Oppgave 1.64 I et kvadrat er omkretsen 36 cm. a) Finn lengden av sidene i kvadratet. b) Regn ut arealet av kvadratet. 34 Sinus 1P > Geometri

28 Noen ganger må vi bruke pytagorassetningen til å finne lengder når vi skal regne ut et areal. ABCD er et trapes der AB og DC er de parallelle sidene. AB er lengre enn CD. Videre er B = 90, BC = 3,0 cm, CD = 5,4 cm og AD = 4,0 cm. a) Finn lengden av AB. b) Finn arealet av trapeset ABCD. a) Først tegner vi en figur og setter på målene. Deretter feller vi ned en normal DE fra D på AB. EBCD blir et rektangel, derfor er EB = DC = 5,4 cm ED = BC = 3,0 cm D 5,4 cm C 4,0 cm 3,0 cm A E B Vi kan bruke pytagorassetningen til å finne AE. AE 2 + ED 2 = AD 2 AE 2 + (3,0 cm) 2 = (4,0 cm) 2 AE 2 + 9,0 cm 2 = 16,0 cm 2 AE 2 = 16,0 cm 2 9,0 cm 2 = 7,0 cm 2 AE = 7,0 cm = 2,6 cm Nå kan vi finne AB. AB = AE + EB = 2,6 cm + 5,4 cm = 8,0 cm b) Arealet av trapeset blir (AB + DC) ED = (8,0 cm + 5,4 cm) 3,0 cm ,4 cm 3,0 cm = = 20 cm

29 ? Oppgave 1.65 I parallellogrammet ABCD er DC = 12,3 cm, og AD = 7,2 cm. Normalen fra D til AB treffer AB 2,2 cm fra A. D 12,3 cm C 7,2 cm h A 2,2 cm E B a) Finn avstanden h mellom AB og CD. b) Regn ut arealet av parallellogrammet. Oppgave 1.66 Regn ut arealet av trapeset. D C 4,8 cm 5,2 cm A 6,8 cm B 1.7 Sirkelen I en sirkel er diameteren d dobbelt så lang som radien r. r d r d = 2 r 36 Fra ungdomsskolen kjenner vi formlene for omkretsen og arealet av en sirkel. Legg merke til at vi bruker ordet sirkel om hele sirkelskiva (hele rundingen med innhold) når vi snakker om arealet av sirkelen. Sinus 1P > Geometri

30 Omkretsen O og arealet A av en sirkel med radien r er gitt ved formlene O = 2 r A = r 2 Vi regner ofte med at tallet = 3,14. Når du får bruk for dette tallet i oppgaver, bør du heller trykke på tasten på lommeregneren. Mange lommeregnere gir da verdien = 3, Dette er en riktigere verdi for, men også denne verdien er unøyaktig. Det er ikke mulig å skrive tallet nøyaktig som en brøk eller som et desimaltall. Finn radien, arealet og omkretsen av en sirkel der diameteren d = 10,8 cm. Radien er r = d 2 Arealet er 10,8 cm = = 5,4 cm 2 A = r 2 = (5,4 cm) 2 = 91,6 cm 2 Omkretsen er O = 2 r = 2 5,4 cm = 33,9 cm? Oppgave 1.70 Finn diameteren, arealet og omkretsen av en sirkel der radien er 7,8 cm. Oppgave 1.71 På et sirkelrundt bord som er 1,5 m i diameter, skal det legges en duk. Duken skal henge 25 cm ned fra bordkanten rundt hele bordet. Finn arealet og omkretsen av duken. Oppgave 1.72 Mari trenger skråbånd til å ha rundt kanten på 20 sirkulære brikker. Radien i hver brikke er 15 cm. a) Hvor mye skråbånd går det med til en brikke? b) Hvor mye skråbånd må hun ha? 37

31 1.8 Volum Volum regner vi ofte i kubikkmeter (m 3 ), kubikkdesimeter (dm 3 ) eller kubikkcentimeter (cm 3 ). 1 cm 3 er volumet av en terning som er 1 cm lang, 1 cm bred og 1 cm høy. Vi kan regne om mellom enhetene på denne måten: 1 dm 3 = (10 cm) 3 = 10 3 cm 3 = 1000 cm 3 1 m 3 = (10 dm) 3 = 10 3 dm 3 = 1000 dm 3 I praksis gjør vi slik: Når vi regner om mellom cm 3 og dm 3 eller mellom dm 3 og m 3, flytter vi kommaet 3 plasser. Volumet av væsker måler vi oftest i liter, desiliter, centiliter eller milliliter. Slik er sammenhengen mellom disse enhetene: 1 l = 10 dl 1 dl = 0,1 l 1 dl = 10 cl 1 cl = 0,1 dl 1 l = 100 cl 1 cl = 0,01 l 1 l = 1000 ml 1 ml = 0,001 l 1 dl = 100 ml 1 ml = 0,01 dl 1 cl = 10 ml 1 ml = 0,1 cl Vi kan gjøre om mellom liter og kubikkdesimeter når vi vet at 1 liter er det samme som 1 dm 3. 1 liter = 1 dm 3 Gjør om til kubikkdesimeter. a) 4500 cm 3 b) 2,3 m 3 a) 4500 cm 3 = 4500 cm 3 = 4,500 dm 3 = 4,5 dm 3 b) 2,3 m 3 = 2,300 m 3 = 2300 dm Sinus 1P > Geometri

32 Gjør 23,5 dl om til kubikkdesimeter. Først gjør vi om til liter. 23,5 dl = 2,35 l = 2,35 dm 3 Gjør om til liter. a) 1,7 m 3 b) 250 cm 3 a) Vi gjør først om til kubikkdesimeter. 1,7 m 3 = 1,700 m 3 = 1700 dm 3 = 1700 l 3 b) Vi gjør først om til kubikkdesimeter. 250 cm 3 = 0250 cm 3 = 0,250 dm 3 = 0,25 l 3? Oppgave 1.80 Gjør om til kubikkdesimeter. a) 6400 cm 3 b) 640 cm 3 c) 0,045 m 3 d) 0,53 m 3 Oppgave 1.81 Gjør om til kubikkmeter. a) dm 3 b) 400 dm 3 c) 2300 l d) 150 l Oppgave 1.82 Gjør om til liter. a) 2,4 m 3 b) 0,012 m 3 c) 1200 cm 3 d) 240 cm 3 39

33 I et prisme er toppflaten og bunnflaten helt like. Hvis bunnflaten er en trekant, har vi et trekantet prisme. Hvis bunnflaten er en firkant, har vi et fi rkantet prisme. h h G Firkantet prisme G Trekantet prisme Vi kan finne volumet av alle prismer ved hjelp av den samme formelen. Volumet V av et prisme er gitt ved V = G h der G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Høyden må stå vinkel rett på grunnflaten. Ei eske har lengden 40 cm, bredden 30 cm og høyden 50 cm. a) Finn arealet av grunnflaten målt i kvadratcentimeter. b) Finn volumet av eska målt i kubikkdesimeter. c) Hvor mange liter rommer eska? 50 cm 40 cm 30 cm 40 Sinus 1P > Geometri

34 a) Arealet av grunnflaten er G = 40 cm 30 cm = 1200 cm 2 b) Volumet er V = G h = 1200 cm 2 50 cm = cm 3 Vi regner om til kubikkdesimeter (dm 3 ) cm 3 = cm 3 = 60,000 dm 3 = 60 dm 3 c) Ettersom 1 dm 3 = 1 l, rommer eska 60 l. Eska rommer 60 l. 3! Når vi skal regne ut et volum i liter, lønner det seg å gjøre om alle målene til desimeter først. I eksempelet ovenfor kunne vi da ha regnet slik: Sidene i grunnflaten har målene 4,0 dm og 3,0 dm. Arealet av grunnflaten er G = 4,0 dm 3,0 dm = 12 dm 2 Høyden er 5,0 dm. Dermed blir volumet V = G h = 12 dm 2 5,0 dm = 60 dm 3 = 60 l? Oppgave 1.83 Ei eske har form som et prisme der høyden h = 43 cm. Grunnflaten er et kvadrat der sidene er 22 cm. a) Finn volumet av eska. b) Hvor mange liter rommer eska? Oppgave 1.84 Et akvarium har lengden 60 cm, bredden 30 cm og høyden 34 cm. a) Finn volumet av akvariet. b) Hvor mye veier vannet i akvariet når det er helt fullt og 1 liter vann veier 1 kg? 41

35 I en sylinder er grunnflaten og toppflaten sirkler. h r Også for en sylinder er volumet gitt ved formelen V = G h der h er høyden og G er arealet av grunnflaten. Men ettersom grunnflaten er en sirkel, er G = r 2 der r er radien i grunnflaten. Volumet er V = G h = r 2 h For å finne arealet av overflaten bretter vi sylinderen ut, se figuren til høyre nedenfor. r 2 h h 2 rh r 2 r r 2 Vi ser at overflaten består av sideflaten og to sirkler som hver har arealet r 2. Sideflaten blir et rektangel med lengden 2 r og bredden h. Arealet blir 2 rh. Arealet O av overflaten blir da O = 2 r r h 42 Sinus 1P > Geometri

36 I en sylinder med høyde h er volumet gitt ved V = r 2 h der r er radien i grunnflaten. Arealet av overflaten, medregnet toppflaten og grunnflaten, er gitt ved O = 2 r r h r h I en sylinder er radien r = 5,4 cm og høyden h = 12,4 cm. a) Finn volumet av sylinderen. b) Finn arealet av overflaten av sylinderen. a) Volumet av sylinderen er V = r 2 h = (5,4 cm) 2 12,4 cm = 1136 cm 3 b) Arealet av overflaten er O = 2 r r h = 2 (5,4 cm) ,4 cm 12,4 cm = 604 cm 2? Oppgave 1.85 I en sylinderformet vanntank er radien 4,0 dm og høyden 10,0 dm. Hvor mange liter rommer tanken? Oppgave 1.86 En sylinderformet tank er 83 cm høy. Radien i grunnflaten er 31 cm. a) Hvor mange liter rommer tanken? b) Finn arealet av overflaten av tanken. Oppgave 1.87 En sylinder har volumet V = 93 cm 3. Radien i grunnflaten er r = 2,3 cm. a) Regn ut høyden h. b) Finn arealet av overflaten. 43

37 1.9 Pyramide, kjegle og kule En pyramide har en grunnflate som er en mangekant. Sidekantene finner vi ved å trekke rette linjer fra hjørnene i mangekanten til toppunktet. Høyden h er avstanden fra toppunktet til grunnflaten. h h G Firkantet pyramide G Trekantet pyramide Volumet av alle pyramider finner vi på denne måten: Volumet V av en pyramide er gitt ved V = 1 3 Gh der G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Lille Ola har noen byggeklosser av tre. En kloss er en pyramide der høyden er 7 cm. Grunnflaten er et kvadrat der sidene er 3 cm. Finn volumet av pyramiden. Arealet G av grunnflaten er 7 cm Volumet V er G = 3 cm 3 cm = 9 cm 2 V = 1 3 Gh = cm2 7 cm = 21 cm 3 3 cm 3 cm 44 Sinus 1P > Geometri

38 ? Oppgave 1.90 En pyramide har kvadratisk grunnflate der sidene er 15,2 cm. Høyden er 18,7 cm. Finn volumet av pyramiden. Oppgave 1.91 En pyramide rommer 1,5 liter. Grunnflaten er et rektangel som er 18,4 cm langt og 12,8 cm bredt. Hvor høy er pyramiden? I ei kjegle er grunnflaten en sirkel. Høyden h er avstanden fra toppunktet til grunnflaten. h s r Volumet V er som for pyramiden gitt ved formelen V = 1 3 Gh der G er arealet av grunnflaten. Men grunnflaten er en sirkel og da er G = r 2, der r er radien i grunnflaten. Volumet V blir dermed V = 1 3 r2 h Ei kjegle med radien r og høyden h har volumet V = 1 3 r2 h Arealet O av overflaten medregnet grunnflaten er gitt ved formelen grunnflaten O = r 2 + rs sideflaten der s er lengden av sidekanten. h r s 45

39 a) Hvor mange liter rommer kjegla på figuren? b) Finn arealet av overflaten av kjegla medregnet grunnflaten. 45 cm 32 cm a) Vi gjør radien r og høyden h om til desimeter: r = 32 cm = 3,2 dm h = 45 cm = 4,5 dm Volumet er V = 1 3 r2 h = 1 3 (3,2 dm)2 4,5 dm = 48 dm 3 = 48 l b) Lengden s av sidekanten finner vi ved hjelp av pytagorassetningen. s 2 = r 2 + h 2 = (3,2 dm) 2 + (4,5 dm) 2 = 10,24 dm ,25 dm 2 = 30,49 dm 2 s = 30,49 dm 2 = 5,5 dm Arealet av overflaten medregnet grunnflaten er O = r 2 + rs = (3,2 dm) 2 + 3,2 dm 5,5 dm = 32,2 dm ,3 dm 2 = 87,5 dm 2 Volumet V av ei kule med radien r er gitt ved V = 4 3 r3 Arealet O av overflaten er gitt ved O = 4 r 2 r 46 Sinus 1P > Geometri

40 En femmerfotball har radien 10,6 cm. a) Finn volumet av fotballen målt i liter. b) Finn arealet av overflaten. a) Volumet av fotballen er V = 4 3 r3 = 4 3 (10,6 cm)3 = 4989 cm 3 = 5,0 dm 3 = 5,0 liter b) Arealet av overflaten er O = 4 r 2 = 4 (10,6 cm) 2 = 1412 cm 2 = 14,1 dm 2? Oppgave 1.92 Du skal fylle is i et kjegleformet beger av kjeks. Begeret skal fylles helt opp til kanten. Åpningen i begeret har en diameter på 6 cm. Begeret er 10 cm dypt. 6 cm 10 cm Hvor mye is går det i begeret? Oppgave 1.93 Ei kjegle er 12,4 cm høy. Radien i grunnflaten er 3,4 cm. a) Finn volumet av kjegla. b) Hvor lang er sidekanten? c) Finn arealet av overflaten. Oppgave 1.94 En firerfotball har radien 9,8 cm. a) Finn arealet av overflaten på fotballen. b) Finn volumet av fotballen. c) Hvorfor tror du at ballen kalles en firerfotball? 47

41 SAMMENDRAG Formlike figurer I to formlike figurer er alle samsvarende vinkler like store, og forholdet mellom alle samsvarende lengder er det samme. Formlike trekanter To trekanter er formlike hvis to av vinklene er parvis like. Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er c 2 = a 2 + b 2 Formler for arealet A Rektangel med grunnlinje g og høyde h: A = gh Kvadrat med sidelengde s: A = s 2 Trekant med grunnlinje g og høyde h: Parallellogram der to parallelle sider har lengden g og avstanden mellom sidene er h: Rombe der alle sidene har lengdene g, og der avstanden mellom to parallelle sider er h: Trapes der de to parallelle sidene har lengdene a og b, og der avstanden mellom sidene er h: A = gh 2 A = gh A = gh A = Sirkel med radius r: A = r 2 (a + b)h 2 Formler for volumet V og for arealet O av overflaten Prisme med grunnflate G og høyde h h G Firkantet prisme h G Trekantet prisme V = Gh 48 Sinus 1P > Geometri

42 Sylinder med radius r og høyde h h V = r 2 h O = 2 r r h r Pyramide med grunnflate G og høyde h h h V = 1 3 Gh G G Kjegle med radius r, høyde h og sidekant s h s V = 1 3 r2 h O = r 2 + rs r Kule med radius r r V = 4 3 r3 O = 4 r 2 49

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand Oppgaver 1 Geometri KTEGORI 1 1.1 Enheter for lengde Oppgave 1.110 Gjør om til meter. a) 2,5 km b) 1,5 mil c) 0,5 km d) 0,8 mil Oppgave 1.111 a) Hvor mange kilometer er 2,2 mil? b) Hvor mange mil er 540

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4 9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets (O)

Detaljer

Trigonometri og geometri

Trigonometri og geometri 6 Trigonometri og geometri 6.1 Sinus til en vinkel Oppgave 6.110 a) Hvilken av disse påstandene er riktig? 1) sin = 3) sin = 2) sin = b) Hvilken av disse påstandene er riktig? b a Oppgave 6.111 ruk lommeregneren

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Høst 13

Løsning del 1 utrinn Høst 13 //06 Løsning del utrinn Høst - matematikk.net Løsning del utrinn Høst Contents DEL EN Oppgave + 679 = 0 89 78 = 8 c) 7,, 6 = 6, 6 d) : 0, = 0 : = 80 Oppgave 78 dl = 7,8 L, mil = kilometer = 000 m c), t

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co. MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag

Detaljer

Etter en lang ferie er det en del regneferdigheter vi må friske opp:

Etter en lang ferie er det en del regneferdigheter vi må friske opp: Repetisjonshefte matematikk høsten 7. trinn Navn: Etter en lang ferie er det en del regneferdigheter vi må friske opp: Ganging med store tall s. 2 Deling med store tall s. 2 Brøkregning s. 3 Finne brøkdeler

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2013 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal

Detaljer

Nøkkelspørsmål: Hvor lang er lengden + bredden i et rektangel sammenlignet med hele omkretsen?

Nøkkelspørsmål: Hvor lang er lengden + bredden i et rektangel sammenlignet med hele omkretsen? Omkrets For å finne omkretsen til en mangekant, må alle sidelengdene summeres. Omkrets måles i lengdeenheter. Elever forklarer ofte at omkrets er det er å måle hvor langt det er rundt en figur. Måleredskaper

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet SI-systemet Lengder Masse Volum Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet Den grunnleggjande SI-eininga for môling av lengder er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggjande

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Vår 13

Løsning del 1 utrinn Vår 13 /5/06 Løsning del utrinn Vår - matematikk.net Løsning del utrinn Vår Contents DEL Ingen hjelpemiddler Oppgave 9 + 576 = 868 95 8 = 56 c) d) 06 : = 0 Oppgave 8 min = timer og 8 minutter. 8hg = 0,8 kg c)

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Eksempeloppgave eksamen 1P-Y våren 2016

Eksempeloppgave eksamen 1P-Y våren 2016 Eksempeloppgave eksamen 1P-Y våren 2016 DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: 1,5 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 Skriv disse tallene

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng)

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng) Høsten 2015 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Generell trigonometri

Generell trigonometri 7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

Kul geometri - volum og overflate av kulen

Kul geometri - volum og overflate av kulen Kul geometri - volum og overflate av kulen Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012

Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) 14,90 kroner per flaske 48,20 kroner

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

Eksamen 1P våren 2011

Eksamen 1P våren 2011 Eksamen 1P våren 011 Del 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Når kursen på islandske kroner er 5,5, svarer 500 ISK til 5, 5 kr 500 = 6, 5 kr 100 b) Hvis vi setter kursen på islandske kroner til 5, blir omregningen

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

99 matematikkspørsma l

99 matematikkspørsma l 99 matematikkspørsma l TALL 1. Hva er et tall? Et tall er symbol for en mengde. Et tall forteller om antallet i en mengde. 5 sauer eller 5 epler eller 5.. 2. Hvilket siffer står på eneplassen i tallet

Detaljer

Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16

Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16 Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16 Emne/Innhold Uke Presisering Læremidler Kompetansemål Hele tall 34- Tall og algebra Multi s. 4-10 Multi 5a Kap 1 39 Bestemme tallverdien til sifrene i tall med opp

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai 2008 Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK 1. semester 10 studiepoeng Skolebasert lærerutdanning Tid 5 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) En hustegning har målestokk 1 : 50 På tegningen er en dør plassert 6 mm feil. Hvor stor vil denne feilen bli i virkeligheten når huset bygges?

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Del 1 Skal leveres etter senest 2 timer. Maks: 51 poeng Hjelpemidler: Skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler)

Del 1 Skal leveres etter senest 2 timer. Maks: 51 poeng Hjelpemidler: Skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler) Del 1 Skal leveres etter senest 2 timer. Maks: 51 poeng Hjelpemidler: Skrivesaker, passer, linjal og gradskive (vinkelmåler) 2 p Oppgave 1.1 Regn ut. a) 2,88 + 0,12 = c) 4,8 : 1,2 = b) 3,4 2,7 = d) 16

Detaljer

GEOMETRISPILL; former, omkrets og areal.

GEOMETRISPILL; former, omkrets og areal. GEOMETRISPILL; former, omkrets og areal. Utstyr: 1 spillbrett 1 terning 3-5 spillbrikker fyrstikker, eller småpinner med lik tykkelse og lengde geobrett og gummistrikker spørre- og gjørekort rød boks til

Detaljer

Terminprøve i matematikk for 9. trinn

Terminprøve i matematikk for 9. trinn Terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2015 Navn: Klasse: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer - senest kl. 11.00 Del

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

4. kurskveld: Brøk og geometri

4. kurskveld: Brøk og geometri 4. kurskveld: Brøk og geometri I dag skal vi se på begrepet brøk, regning med brøk, og hvorfor de ulike regnereglene fungerer. Mange har bedre grep om desimaltall fordi regnereglene er lik regnereglene

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P

Basisoppgaver til Tall i arbeid P Basisoppgaver til Tall i arbeid P 1 Tall og algebra Økonomi Geometri Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 1. Brøk 1. Store og små tall 1.4 Bokstavuttrykk

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Vår 10

Løsning del 1 utrinn Vår 10 /15/016 Løsning del 1 utrinn Vår 10 - matematikk.net Løsning del 1 utrinn Vår 10 Contents Oppgave 1 4 + 465 = 799 854 8 = 56 c) d) 64 :4 = 66 Oppgave c) d)650 g = 650 : 1000 kg = 6,50kg Oppgave 4, 7 =

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =

ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 = ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Terminprøve i matematikk for 9. trinn

Terminprøve i matematikk for 9. trinn Terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men del

Detaljer

Kapittel 6. Volum og overflate

Kapittel 6. Volum og overflate Kapittel 6. Volum og overflate Mål for Kapittel 6, Volum og overflate. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Areal av polygoner med GeoGebra

Areal av polygoner med GeoGebra 1. Vi starter med å lage forskjellige rektangler og kvadrater med følgende arealer: 1 rute, 2 ruter, 3 ruter, 4 ruter, 5 ruter, 6 ruter, 7 ruter, 8 ruter, 9 ruter og 10 ruter 2. Tegn så mange ulike figurer

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, 016. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1: 187 + 9 = 16 9,4-15,6 = 13,8 c: 4,. 1,7 94 4 7,14 d: 3,4 : 0,9 = 34 : 9 = 6 18 54 54 OPPGAVE : -. (- 3) = 6 5. () = 5 4 = 1 c: 3. (- ) (- 4) = - 6

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 9 dag 1 1. Kjetil og Øystein skal kjøre fra Stavanger til Oslo i hver sin bil. Kjetil starter først og holder en konstant fart på 75 km/t. Øystein starter en

Detaljer

Nøkkelspørsmål til eller i etterkant av introduksjonsoppgaven:

Nøkkelspørsmål til eller i etterkant av introduksjonsoppgaven: Areal og omkrets Mange elever forklarer areal ved å si at det er det samme som lengde gange bredde. Disse elevene refererer til en lært formel for areal uten at vi vet om de skjønner at areal er et mål

Detaljer

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER 1 Innledning til volum 1 V - 2 2 Grunnleggende om volum 1 V - 2 3 av V - 5 3a Kube V - 5 3b Rett prisme V - 7 3c Sylinder V - 8 3d

Detaljer

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44

Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 3 (10 (-4) 9 + 1) = 3 (10 + 36 + 1) = 3 47 = -44 Hjemmearbeid matematikk eksamensklassen Ark 23 Leveres mandag 27. januar 2014 Løsningsforslag Oppgave 1. Regn ut. a) 8 + 3 (2 6) + 16 : 2 = 8 + 3 (-4) + 8 = 8 12 + 8 = 4 b) + - = 4 + 5 10 = -1 c) 5 + 5

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Vår 2010 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del 1

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2010

Løsning eksamen 2P våren 2010 Løsning eksamen 2P våren 2010 Oppgave 1 a) Prisen for diesel er 10,91 kr. Hvis Liv hadde fylte diesel, hadde prisen for 41,5 l vært mindre enn 11 kr 42 = 462 kr Det stemmer ikke i det hun betalte 509,

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer