1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1.14 Oppgaver. Løsningsforslag"

Transkript

1 til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel på 45 og hvis bein går gjennom A og B A og B er to punkter i planet med avstand 6 cm. Du skal konstruere en trekant ABC der C = 30. a. Arealet av ABC skal være cm. Konstruer trekanten. b. Arealet av ABC skal være maksimalt. Konstruer ABC. Figuren ovenfor er i halv målestokk. Vi starter med punktene A og B i avstanden 6 cm. Vi konstruerer en likesidet trekant for å finne sentrum i en sirkel gjennom A og B med sentralvinkel 60. C må da ligge på denne sirkelen. Skal arealet av trekanten være cm, må høyden være 7 cm, så vi konstruerer en parallell med AB i avstanden 7 cm. Skjæringspunktene mellom denne parallellen og sirkelen gir da to muligheter for hjørnet C. Skal trekantens areal være maksimal, må trekantens høyde være maksimal. Det tredje hjørnet må da ligge på sirkelens øverste punkt. MA-3 Geometri Byrge Birkeland

2 til oppgaver i avsnitt Av alle trekanter ABC der størrelsen av A og BC er gitt, vil den likebeinte trekanten med A som toppunkt være den som har størst areal. Hvorfor? Det geometriske stedet for A blir en sirkel der AB dekker en sentralvinkel på punktet på denne sirkelen ligger på midtnormalen på AB. A. Det høyeste.4.5 De to linjestykkene a og b er lik 4 og 7 cm. Konstruer mellomproporsjonalen mellom a og b På figuren til høyre er AB=7 cm og BC=4 cm. Vi finner E som midtpunktet på AC og slår sirkelen med sentrum i E og radius AE. Vi oppreiser normalen i B og finner skjæringspunktet D med sirkelen. Stykket BD er da mellomproporsjonalene mellom AB og BC..4.6 Et rektangel har sider 5 og 9 cm. Konstruer et kvadrat med like stort areal Vi starter med å tegne et rektangel med sider 5 og 9. Vi avsetter så lengden 5 på samme linje som siden med lengde 9, og konstruerer mellomproporsjonalen mellom 5 cm og 9 cm. Vi tegner så et kvadrat med denne som side..4.7 Du har gitt to kvadrater, Konstruer et nytt kvadrat med areal lik summen av de to.. Vi bruker Pythagoras setning: MA-3 Geometri Byrge Birkeland

3 til oppgaver i avsnitt Gitt en vinkel, der beina skjærer en sirkel og skjærer over buer på henholdsvis x og y (grader). Uttrykk størrelsen av vinkelen v, i de to tilfellene at vinkelens toppunkt er utenfor eller inni sirkelen. Periferivinkelen over en bue x er x/. Av dette får vi for figuren til venstre u x v 80 = 80 = ( x y) og i figuren til høyre: v = ( x + y) MA-3 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 til oppgaver i avsnitt En korde-tangent-vinkel har størrelse v. Vis at den skjærer av en bue på v. Vi konstruerer SC AB.. SB tangenten og SC AB gir at BSC = TBC = v, fordi vinklenes bein står parvis normalt på hverandre. Videre er SBA = SAB, fordi ABC er likebeint. Dermed er ASC = BSC = v og ASB = v..4.0 (Eksamen i grunnskolen 99) a. Slå en sirkel med radius 4,0 cm, og kall sentrum i sirkelen S. Sett av to punkter A og B på sirkelperiferien slik at AB blir 0. b. Konstruer en tangent til sirkelen i punkt A og en tangent i punkt B. Forleng tangentene til de skjærer hverandre. Kall skjæringspunktet for T. c. Regn ut AT Forleng linjestykket TS slik at det skjærer sirkelen. Kall dette skjæringspunktet for R. d. Tangenten i R skjærer forlengelsen av TA i punktet D og TB i punktet C. Vis at trekanten TSB er formlik med trekant TDR. e. Regn ut CD.. a. Vi slår først sirkelen, og trekker en diameter. I et av skjæringspunktene slår vi en ny sirkel med samme radius. Skjæringspunktene mellom de to sirklene gir de to punktene A og B. b. Vi trekker de to radiene fra S til A og B, og konstruerer normaler til disse radiene. Disse blir tangentene i A og B. c. Vinklene i SAT er 30,60,90, så ST er det dobbelte av AT. Etter Pythagoras setning er da ( ) AT = R R = R 3 = 4 3 cm = 6.9 cm d. TSB TDR, fordi begge åpenbart har vinklene 30,60,90. e. TDC er likesidet, så CD = DR = AT = 8 3 cm = 3.9cm MA-3 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 til oppgaver i avsnitt.4.4. Tangentkonstruksjoner a. Slå en sirkel med radius 3,5 cm om et punkt O. Avsett AO=7,0 cm, og konstruer tangenten til sirkelen gjennom A b. Trekk ei linje m gjennom A og O. Punktet B ligger på m utenfor sirkelen slik at AB>AO og slik at linja m og tangenten gjennom B danner en vinkel på 67. Konstruer denne tangenten. c. Tangenten gjennom A og tangenten gjennom B skjærer hverandre i punkt C slik at vinkel C er spiss. Regn ut ACB. a. Vi konstruerer tangenten fra A ved å slå en sirkel med OA som diameter. Skjæringspunktene mellom de to sirklene vil da være tangeringspunktene. b. Trekantene OBD er rettvinklet, fordi tangenten står normalt på radien i tangeringspunktet. Hvis OBD skal være 67, må BOD være =, og vi konstruerer denne vinkelen ved å ta utgangspunkt i en normal på AB gjennom O, og halvere den rette vinkelen to ganger. Skjæringspunktet med sirkelen blir da tangeringspunktet, og tangenten blir en normal til radien i dette punktet. c. Siden OA = OE, er OAC = 30, AOE = 60, EOD = ,5 = 4,5 C = , 5 = 37, 5.4. Sidene i en trekant ABC har lengder a, b og c., der a er motstående til A osv. Radius i den omskrevne sirkelen er R. Vis at følgende er uttrykk for arealet T av trekantene ABC: a. T = absin C b. abc T = 4R a b c Sinussetningen gir = = = R, der R er radius i omsirkelen.. Men da er sin A sin B sin C b a b c arealet: T = b c sin A = a b sin C = a c sin B = a c = R 4 R.4.3 I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene. a. a=4,7 cm, c=6,9 cm og C = 56. b. c=7, cm, A = 5 og C = 7 MA-3 Geometri 5 Byrge Birkeland

6 til oppgaver i avsnitt.4 c. B = 48, a=8,0 cm og c= 6,3 cm a. c a a sin C 4.7 = sin A = = sin 56 = , sin C sin A c 6.9 A = 34.4 B = = 89.6 b c c 6.9cm = b = sin B = sin 89.6 = 8.3cm sin B sin C sin C sin 56 b. a c c 7,cm = a = sin A = sin 5 = 5.88cm sin A sin C sin C sin 7 B = = 57 c sin B 7.cm sin 57 b = = = 6.3cm sin C sin 7 c. b a c ac cos B cos cm = + = + = a b a sin B 8.0 sin 48 = sin A = = = 0.99, A = 8 sin A sin B b 6.0 C = = Gitt trekanten på figuren til høyre. a. Vis at a = b cos C + c cos B b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at sin A = sin B cosc + sin C cos B a b c Sinussetningen = = gir sin A sin B sin C a sin B sin, a b = c = C. Dermed blir sin A sin A MA-3 Geometri 6 Byrge Birkeland

7 til oppgaver i avsnitt.4 a sin B a sin C a = c cos B + b cosc = cosc + cos B. Vi dividerer denne likheten med a sin A sin A og multipliserer sin A: sin A = sin B cosc + sin C cos B. Siden sin( B + C) = sin(80 B C) = sin A, følger at sin( B + C) = sin B cosc + sin C cos B.4.5 Gitt en trekant ABC. a. Konstruer en sirkel S som går gjennom A og som tangerer linja BC i B b. Konstruer en sirkel S som går gjennom A og tangerer BC i C. c. Vis følgende: Dersom S har radien s og S har radien t, så er st=r, der R er omradius til ABC..4.6 I en trekant ligger omsenteret på en av sidene i trekanten. Hva kan vi si om denne trekanten? Hvis omsenteret ligger på en av sidene i trekant, må denne sida være en diameter i omsirkelen. Den motstående vinkelen må dermed være rett. Trekanten må altså være rettvinklet..4.7 Forklar at omsenteret og ortosenteret til en stumpvinklet trekant ligger utenfor trekanten. Hvis vinkel C, som er periferivinkel i omsirkelen, er større enn 90, er den tilsvarende sentralvinkelen større enn 80, og det er umulig hvis omsenteret ligger inni firkanten. Hvis vinkel C er stump, vil de to høydene fra A og B bare ha ett punkt hver felles med trekanten, nemlig hhv. A og B, og skjæringspunktet deres må da også ligge utenfor trekanten. MA-3 Geometri 7 Byrge Birkeland

8 til oppgaver i avsnitt Gitt en trekant ABC. Konstruer en ny trekant DEF med sider lik medianene i ABC. Undersøk forholdet mellom arealene av de to trekantene. La medianenes skjæringspunkt være D. Trekk BE parallell med CD til skjæring med CE, som er parallell med DB. Da har alle trekantene DBF, BEF, FEC og DFC samme areal, fordi de har like lang grunnlinje og samme høyde fra D, h.h.v. E til BC. Men sidene i DBE er alle /3 av hver sin av medianenes lengde, og må derfor ha et areal som er 4/9 av arealet A' av trekantene utspent av medianene. Men DBE har samme areal som BCD, som har et areal som er /3 av arealet A av ABC. Men da må 4/9 A' = /3 A, og derfor er A'=3/4 A..4.9 Er en trekant med to like lange medianer en likebeint trekant? Begrunn svaret. SE figuren til høyre. Hvis medianen AA og BB er like lange, og D er skjæringspunktet, vil også stykkene B D og A D være like lange, og også AD og BD. Dessuten er er ADB ' = BDA', fordi de er toppvinkler. Dermed er ADB ' BDA', Siden AC =C B og DC er felles for AC ' D og C ' BD, er også AC ' D = C ' BD. Derfor er A = BAA' + A' AC = ABB ' + B ' BC = B. Vinklene ved A og B er altså like, og da er trekanten likebeint..4.0 Er en trekant med to like lange høyder en likebeint trekant? Begrunn svaret. Hvis høydene BB og AA er like lange, er de to trekantene ABA og ABB kongruente ifølge kongruenssetningen SSV. Dermed er A = B, og ABC er likebeint..4. a b c Vis at omradien i en trekant kan beregnes som R =, der a, b 4 T og c er sidene i trekanten og T er arealet av trekanten. Vink: Bruk sinussetningen. MA-3 Geometri 8 Byrge Birkeland

9 til oppgaver i avsnitt.4 a Vi har R sin A = og dermed sin a A =. Arealet av trekanten er da R abc abc T = b c sin A = R = 4R og herav abc R =. 4T.4. En rettvinklet trekant har sider 3, 4 og 5. Regn ut innradien og omradien. T = =. Innradien r finnes av ( ) Arealet er hjelp av foregående oppgave: hypotenusen r =, r=. Omradien finnes ved R = =., eller enklere, det er halve lengden av Vis Herons formel for arealet av en trekant. Du kan gå fram slik: a. Arealet er T = bc sin A b. Cosinussetningen gir et uttrykk for cos A. c. Av a. og b. får du uttrykk for sin A og cos A. Disse settes inn i relasjonen sin A + cos A =. d. Vis av dette at 6T = 4b c ( b + c a ) e. Bruk konjugatsetningen x y ( x y) ( x y). = +. a. Høyden i trekanten blir b sin A, så trekantens areal T er T = c b sin A = b c sin A eller sin A =. b c b. Cosinussetningen gir a = b + c b c cos A og b + c a herav cos A = b c c. Vi setter resultatene fra a. og b. inn i identiteten sin A + cos A = og får 4 T b + c a + = b c b c d. Herav 6T = 4b c ( b + c a ) e. Vi omformer videre: ( ) ( ) ( ) 6T = 4b c b + c a = bc + b + c a bc b c + a = (( ) ) ( ) ( a + b + c) ( a + b + c a) ( a + b + c b) ( a + b + c c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) b + c a a b c = b + c a b + c + a a + b c a b + c = MA-3 Geometri 9 Byrge Birkeland

10 til oppgaver i avsnitt.4 Vi innfører p = ( a + b + c) og får 6 T P ( P a) ( P b) ( P c) 6 P ( P a)( P b)( P c) T = P( P a)( P b)( P c) = = og herav.4.4 Tegn en vilkårlig trekant ABC, og trekk medianen AM. Halver nabovinklene AMB og AMC, og kall halveringslinjenes skjæringspunkter med AB og AC for henholdsvis P og Q. Bevis at PQ er parallell med BC. Setningen om delingsforhold og halveringslinjer gir: AM AP AM AQ = og = og dermed MB PB MC QC AP AM AM AQ PB QC PB QC AP + PB AQ + QC = = = = + = + = PB MB MC QC AP AQ AP AQ AP AQ AB AC =. Etter transversalsetningen må da QP BC AP AQ.4.5 a. Konstruer trekanten ABC, der AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. b. Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene. c. Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b. a. Se figuren til høyre b. Ifølge setning om delingsforhold og x 6 halveringslinje er y = 4, så 3 x = y, og vi har også x + y = 7. Da må 3 5 y + y = y =, så 7 y =, x = = c. Når AB=c, BC=a og AC=b, må x + y = c og x = AC = b og y BC a b c a c b c + y = c og y = =, x =. a b a + b a + b + a b x = y. Da må a.4.6 Konstruer en trekant der du har gitt to sider a og b og lengden av den mellomliggende vinkelens halveringslinje innenfor trekanten. Hva er betingelsen for løsningen? MA-3 Geometri 0 Byrge Birkeland

11 til oppgaver i avsnitt.4 La lengden av halveringslinja innenfor trekanten være t, og de to gitte sidelengdene a og b. Vi uttrykker arealet av trekanten på to måter: a sin v t + t b sin v = a b sin v, der v er vinkelen mellom sidene med oppgitte lengder. Da blir ( ) t sin v a + b = a b sin v cos v t a + b b cos v a + b og herav b cos v = eller =. På grunnlag av dette resultatet kan vi a b t a konstruere b cos v, som er projeksjonen a sida på halveringslinja, ved hjelp av formlike trekanter, se figuren til venstre. Vi slår da to sirkler med samme sentrum og radier a og b og avsetter den konstruerte lengden y fra sentrum langs en radius og oppreiser en normal i punktet. Skjæringspunktene med sirkelen med radius b gir det andre hjørnet på denne kanten og et punkt på forlengelsen av den andre kanten. Det andre endepunktet ligger på sirkelen t a + b med radius a. Skal denne konstruksjonen føre fram, må projeksjon b cos v = < b, så a a b vi må ha t < a + b..4.7 I trekanten ABC er C = 90, A = 30 og AB=s. Halveringslinja for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. I denne trekanten er AB=s, BC = s, AC = s 3. Setningen om vinkelhalveringslinjenes deling av den motstående side i en trekant gir da 3 / AC AD AD = 3 = = = og herav / BC BD s AD ( ) ( ) 3 ( 3 ) s ( 3 3 ) ( 3 + )( 3 ) AD = 3 s AD, AD + 3 = 3 s AD = = s 3 s ( 3 ) ( 3 ) BD = AB AD = s + =.4.8 Konstruer en trekant der forholdet mellom to sider er 3:4., den mellomliggende vinkelen er 75, og lengden av denne vinkelens halveringslinje innenfor trekanten er 5 cm. MA-3 Geometri Byrge Birkeland

12 til oppgaver i avsnitt.4 Jeg trakk først en stråle fra et punkt A, og avsatte det samme stykket 4 ganger bortover strålen til punktet B. Jeg slo deretter en sirkel med radius 3 av disse delene. Jeg konstruerte en vinkel på 75 i A. Jeg fant så skjæringspunktet C mellom sirkelen og venstre vinkelbein av vinkelen. Da har vi en trekant AB C som en formlik med den søkte. Jeg halverte vinkel A og avsatte 5 cm langs halveringslinja til punktet D. Jeg konstruerte en parallell BC med B C gjennom D.4.9 Gitt et trapes ABCD med parallellsidene AB og CD. Diagonalene skjærer hverandre i E, og sidene AD og BC skjærer hverandre i F. Bevis at den rette linja EF halverer AB og CD. AB DC gir at ABD og ABC har samme grunnlinje og samme høyde og dermed samme areal. ABE er felles for de to trekantene, så derfor må AED = ABD ABE = ( ) ( ) ( ) ( ABC ) ( ABE) = ( EBC) Vi trekker HI AB DC gjennom E. La h, h og h være h.h.v. avstandene mellom AB og DC, mellom HI og DC og AED skrives mellom AB og HI. Da kan ( ) som HE h + HE h = HE h og ( ) EBC som EI h + EI h = EI h, Skal disse være like, må HE = EI. Formlike trekanter AGF HEF DKF og AG HE DK AG GF DK KF GBF EIF KCF gir at = = og = = og = =, altså GF EF KF GB GF KC KF AG = GB og DK = KC. Alternativt: Cevas setning på ABF : ABF DCF, så FC = FD = t, eller CB FA BC FD AG ( t) FB t FA AG AG FC = t FB, FD = t FA. Da må = = =, altså CF DA GB t FB t FA GB GB AG = GB ( ) MA-3 Geometri Byrge Birkeland

13 til oppgaver i avsnitt I en sirkel med radius 5 cm er innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer trekanten, og regn ut sidene, Høyden fra C på AB forlenges til den skjærer sirkelen i E. b. Finn arealet av firkanten AEBC a. Vi har AB = = 5 og ( ) ( ) ( + ) AC = = = 5 AC = b. Arealet av firkanten AEBC blir AB DE AB DC AB DE DC 5 0cm = 5 cm 35.3cm ( ).4.3 I en trekant ABC er AB=0 cm, BC=6 cm, høyden fra C på AB er 3 3 cm, og a. Konstruer trekanten og den innskrevne sirkelen i trekanten. b. Hvor lang er siden AC? c. Hvor lang er radius i den innskrevne sirkelen? a. Figuren til høyre er i halv målestokk. Vi starter med AB=0 cm. I trekanten BCD er CBD = 30 og CDB = 90, BC=6 cm. Da er CD=3 cm og BD = 6 3 = 7 = 3 3. Når C er plassert til venstre for BD, blir B spiss og = 60. b. Den utvidede pytagoreiske setning gir AC = AB + BC AB BC cos B = cos = + = 76 = 4 9 og AC = 9 B er spiss. MA-3 Geometri 3 Byrge Birkeland

14 til oppgaver i avsnitt.4 c. Arealet av trekanten er T = AB 3 3 = = Innradius r er da bestemt ved at ( ) ( ) AB BC AC r = eller ( ) 5 3 ( 8 9 ) ( ) ( ) ( ) r = = = r = 5 3, og herav.4.3 a. Konstruer et trapes ABCD der avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er lik et gitt linjestykke a, BAD = 90 og BAC = 30. Diagonalene skjærer hverandre i punktet E slik at AE:EC=:. b. Finn diagonalene AC og BD uttrykt ved a. a. Vi konstruerte en rett vinkel DAB og avsatte AD=a. Vi konstruerte deretter en rett vinkel ADC. for å få DC parallell med AB. Så konstruerte vi en vinkel BAF = 30. C er da skjæringspunktet med linja DC. Vi delte så linjestykket AC i tre og fant punktet E. DE skjærer da AB i B. b. Siden BAC = ACD = 30, er AC = a, DC = a 3. Videre er DCE ABE, så AB AE = =, AB = CD = a 3, CD EC DB = a + a = a.4.33 Konstruer en firkant ABCD der AB=6 cm, BC=4 cm, AD=7,5 cm, CD=5 cm og diagonalen AC er 8 cm. Halver vinklene B og D, og bevis at halveringslinjene må skjære hverandre på AC. Hvor langt ligger dette skjæringspunktet fra A? Undersøk tilsvarende halveringslinjene for vinklene A og C. La E være skjæringspunktet med AC og halveringslinja AE for D. Da må = =. La tilsvarende E være EC 5.0 skjæringspunktet mellom AC og halveringslinja for 3 MA-3 Geometri 4 Byrge Birkeland

15 til oppgaver i avsnitt.4 AE ' AB 6 3 vinkelen B. Da må = = =. Skjæringspunktene mellom AC og halveringslinjene E ' C BC 4 for hhv B og D deler AC i samme forhold og må derfor falle sammen. Tilsvarende er =, og det viser at halveringslinjene for vinklene A og C skjærer hverandre på BD På en linje l er merket av to punkter A og B. En annen linje m skjærer l utenfor AB. Finn det punktet P på m som gjør vinkelen APB så stor som mulig. Vi kan tenke på P som toppunktet i en periferivinkel i en sirkel som går gjennom A og B og P. Vinkelen som AB spenner over, blir større jo mindre sirkelen er. Den minst tenkelige sirkelen må være den som bare har punktet P felles med m. Det er altså en sirkel som tangerer m og som går gjennom A og B. La C være skjæringspunktet mellom l og m. Vi kan da uttrykke C s potens m.h.p. sirkelen på to måter: CP = CA CB. Det betyr at CP er mellomproporsjonalen mellom CA og CB. Dette bruker vi til å konstruere punktet P Gitt et kvadrat ABCD med side 4 cm. Finn midtpunktet M på BC, og bestem ved konstruksjon et punkt P på siden CD slik at vinkelen APM blir så stor som mulig. Regn så ut avstanden CP både i eksakt form og i cm med to desimaler. Her får vi bruk for forrige oppgave. Vi konstruerer en sirkel som går gjennom A og M og som tangerer DC. Hvis tangeringspunktet er P, uttrykker vi E s potens m.h.p sirkelen på to måter: EP = EM EA. Det betyr at EP er mellomproporsjonalen mellom ME og AM. Vi konstruerer denne som linjestykket FE, og slår buen FP. Vi har AM = ME = AB + = AB AB da: ( ) 5 EP = AB 5 AB 5 = AB 0 og ( ) CP = AP På en 54 m høy holme står et 4 m høyt fyrtårn. Hvor langt fra tårnets fotpunkt i vannflatens nivå må en ro ut for å se tårnet under størst mulig vinkel, forutsatt at en kunne ha øyet i vannflaten? MA-3 Geometri 5 Byrge Birkeland

16 til oppgaver i avsnitt.4 Dette er enda en anvendelse av oppgave 34. Avstanden blir mellomproporsjonalen mellom 54 og 54+4=96, altså = a. Gitt en sirkel med radius r og et punkt P i en avstand r fra sentrum. Konstruer gjennom P en korde som blir delt av P i forholdet :. Regn ut den minste delen av korden. b. Gjenta konstruksjonen og beregningen når P har avstanden d fra sentrum. Hva er betingelsen for at oppgaven kan løses? r 3r a. Vi uttrykker punktet P s potens m.h.p. sirkelen på to måter: x x = eller 3 r x = r. Da må x være mellomproporsjonalen mellom r og r : r r x = = Se figuren etter oppgave b. r d r + d b. I det andre tilfellet blir x x = ( r d ) ( r + d ) og x ( r d ) da være mellomproporsjonalen mellom sirklene, må vi ha: r + d og r d r + d r x = ( r d ) > r d ( r + d ) > r d 3d > r d > 3 = =. x må. For å få skjæring mellom de to MA-3 Geometri 6 Byrge Birkeland

17 til oppgaver i avsnitt a. Gjør ved konstruksjon et gitt rektangel om til et like stort kvadrat. b. Gjør det samme med en gitt trekant.4.39 Gitt en vilkårlig femkant. Konstruer et like stort kvadrat. Vi deler femkanten opp i tre trekanter og konstruerer sidene i kvadrater med samme areal som hver av trekantene. Til slutt bruker vi Pythagoras setning to ganger for å konstruere et kvadrat som har areal lik summen av arealene av de tre kvadratene. MA-3 Geometri 7 Byrge Birkeland

18 til oppgaver i avsnitt Gitt en vilkårlig trekant. Konstruer en linje som er parallell med en av sidene og halverer trekantens areal. Hvis avstanden fra C til D er s ganger avstanden fra C til A, vil arealet av DEC være s ganger arealet av ABC. Skal denne være halvdelen av arealet av ABC, må s være /, eller ekvivalent DC = AC. Vi konstruerer da en likebeint trekant med vinkler 45, 45 og 90 og med AC som hypotenus. Katetene blir da den søkte CD..4.4 Hva er den minste mulige verdien et punkts potens kan ha? For hvilke punkter har punktets potens denne verdien. Når punktet ligger på sirkelen, er potensen 0, og dette er åpenbart den minste verdien potensen kan ha..4.4 Hva er det geometriske sted for alle punkter hvis potens er konstant? Hvis P er et punkt i avstanden d fra sentrum i en sirkel med radius r, er potensen d r for punkter utenfor sirkelen og r d for punkter innenfor sirkelen. Skal den være konstant, må d også være konstant. Det betyr at det geometriske sted for punkter med samme potens må være sirkler En sirkel med radius 3 cm er gitt. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier i svarene der du får kvadratrøtter, ikke tilnærmingsverdier. a. Konstruer en sekant som skjærer av buen AB = 90 av sirkelen. Regn ut lengden av korden AB. b. Sett av et punkt C på sekanten utenfor B slik at BC = AB. Regn ut punktet C s potens med hensyn på sirkelen, og regn ut lengden av tangentstykket fra C til sirkelen. c. Konstruer så en trekant ACD slik at hjørnet D ligger på sirkelen og DB blir halveringslinje for ADC. Regn ut sidene i trekanten, og finn C. MA-3 Geometri 8 Byrge Birkeland

19 til oppgaver i avsnitt.4 a. Figuren er i halv målestokk. Vi starter med å slå sirkelen med radius 3 cm, og en sentralvinkel på 90 for å finne hjørnene A og B. Da må AB = 3 cm b. Vi avsetter så lengden AB to ganger utover langs AB for å finne punktet C. Punktet C s potens m.h.p. sirkelen er AC BC = cm = 08cm Tangentstykkets lengde blir da 08 cm = 6 3 cm c. Skal D ligge på sirkelen, må ADB være en periferivinkel på 45. ADC må da være 90, siden DB skal halvere ADC. Den må derfor være en periferivinkel i en sirkel med diameter AC. Vi konstruerer da en slik sirkel og finner D som skjæringspunktet mellom de to sirklene. Setningen om halveringslinjene for vinklene i en trekant gir at AD AB = =, CD + AD = ( AD) + AD = 5 AD = ( 3 AB) = 9 8cm CD BC 9 8 AD = 9 cm= 0 cm CD = AD = 0 cm Vi har AD tan C = =, herav C = 6.6 CD MA-3 Geometri 9 Byrge Birkeland

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD 1. Innledning Dette er kompendiet i Euklidsk plangeometri leder til beviser av Pappos setning og Pascals setning. En rekke kjente setninger er vist underveis, med argumenter

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Løsningsforslag uke 42

Løsningsforslag uke 42 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus Matematikk for ungdomstrinn Matematikk for ungdomstrinnet 0A Fasit Grunnbok 0A FASIT TIL KAPITTEL A GEOMETRI A Konstruer speilbildet av endepunktene til linjestykkene og

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1 Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer

Detaljer

Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Heldagsprøve R Thora Storms vgs. R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

Detaljer

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved. Polynomet P er gitt ved DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved a) b) f x x x ( ) 3 6 4 g x x x 3 ( ) 5ln( ) c) h( x) x x Oppgave (5 poeng) Polynomet P er gitt ved 3 P( x) x 7x 4x k a) Vis at P er

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

Eksamen 1T våren 2011

Eksamen 1T våren 2011 Eksamen 1T våren 011 Oppgave 1 a) 1) ) 7 6 00 000 =,6 10 0,04 10 =,4 10 4 b) c) x x + 6x= 16 + 6x 16 = 0 6 ± 6 4 1 ( 16) 6 ± 6 + 64 6 ± 100 6 ± 10 x = = = = = ± 5 1 x = 8 eller x = x x xx > 0 ( 1) > 0

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning: Oppgave 1 På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik A 10 B 1,5 C 15 D 0 E,5 Skriv på alle kjente vinkler og marker vinkelen dere skal finne på figuren. Marker alle

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MAT104 våren 2013

Løsningsforslag, eksamen MAT104 våren 2013 Løsningsforslag, eksamen MAT104 våren 2013 Oppgave 1 (35%) La ( ) a) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne ( ). Løsning: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). b) Hva er stigningstallet til ( ) når? Løsning:

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

R1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1 Oppgave 1 R1 - Eksamen V10-7.05.010 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x 3x lnx x 3 1 x 3x lnx x x 3lnx 1 ) Kjerneregel: f x 4e u, u x 3x f x 4e u x 3 4 x 3 e x 3x 1) P 3 4 4 16 0 P 0 P x x Q x x

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation.

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation. LÆRERENS D IGITALBOK 3 LDB Flere oppgaver Løsningsforslag Kapittelprøve Verktøyopplæring Twig-arbeidsark Kopioriginaler Kapittel 3 er geometrikapitlet. På 8. trinn har vi valgt å konsentrere oss om konstruk

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

6 IKT i geometriundervisningen

6 IKT i geometriundervisningen 6 IKT i geometriundervisningen Matematikk som fag står i en særstilling når det gjelder databehandling. Prinsippene som ligger til grunn for datamaskinenes virkemåte kan oppfattes som matematikk. I norsk

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,

Detaljer

R1 - Heldagsprøve våren

R1 - Heldagsprøve våren R - Heldagsprøve våren 04 -.05.04 Løsningsskisser Generelle problem: Ikke gi bort gratispoeng, kontroller svar og ikke slurv med enkle oppgaver! (Oppgave,, 5 og 6.) Tegn grafer ordentlig! (Piler på akser,

Detaljer

Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15

Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15 til oppgver... til oppgvene i vsnitt.... August 00, oppgve Linjestykket er gitt Gitt et kvdrt ABCD der AB. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik t AE BF. AE og BF skjærer hverndre i M. Konstruer

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M1 Onsdag 14.desember 2005

Løsningsforslag Eksamen M1 Onsdag 14.desember 2005 Løsningsforslag Eksamen M Onsdag.desember 005 Her følger et kort løsningsforslag, med forbehold om at det kan ha sneket seg inn enkelte feil... Oppgave (0) a) V basskasse dm 5,5dm 5,0dm 75,dm 75, l Basskassen

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren:

Hvis noen vil løse oppgaven ved regning, må de bruke bokstaver som representasjon for noen av linjestykkene i figuren: Oppgave ABCD og EFGH er like store kvadrater. AB EF og AD EH. Det fargelagte området har areal. Hvor stort er arealet til kvadratet ABCD? A B C ½ D 3/ E Det kommer an på hvordan man plasserer kvadratene

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer