Løsningsforslag uke 42

Transkript

1 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det andre endepunktet av en diameter gjennom i omsirkelen til. 1. Vis at trekantene D og er formlike. 2. La D ha lengden h og la R være radien i omsirkelen til. Vis at bc = 2Rh. Vis så at abc = 4RF, der F er arealet av trekanten. Løsning. Her er en hjelpefigur: c 2R b h a D 1. Vinkelen er en periferivinkel over diameteren, så den er rett. Vinkelen D er rett per definisjon. Vi har D = ettersom de er begge periferivinkler over buen fra til. Siden trekantene D og har to vinkler som er like store er de formlike. 2. Merk at F = ah 2. Trekantene D og er formlike, så vi har = D, eller c 2R = h b. Ganger vi opp får vi bc = 2Rh. Ganger vi begge sider med a får vi abc = 2Rah = 4RF. Martin Helsø martibhe@math.uio.no 16. oktober 2017

2 Oppgave 1 (Eksamen 2012). Gjennom hjørnene i en trekant trekker vi tre linjer: l gjennom parallell med, l gjennom parallell med og l gjennom parallell med. La være skjæringspunktet mellom l og l, la være skjæringspunktet mellom l og l og la være skjæringspunktet mellom l og l. a) Vis at og er formlike med forholdet = = = 1 2. b) Vis at linjene, og går gjennom samme punkt. Løsning. Her er en hjelpefigur: l l l a) Linjestykket er parallelt med siden l er parallell med. Tilsvarende er linjestykket parallelt med. Dermed er et parallellogram. Følgelig er vinklene og like. På samme måte kan vi vise at de andre vinklene i er like de andre vinklene i. Dermed er trekantene formlike. Ettersom er et parallellogram har vi også at =. I tillegg er et parallellogram, så =. Dermed er = + = 2, så =

3 b) Fra oppgave a) har vi at,, er midtpunktene på sidene i. Det betyr at linjestykkene, og er medianene i, som vi vet er konkurrente (se oppgave for hvordan du kan vise det med evas setning). Oppgave 2 (Eksamen 2014). a) La P være et punkt på den omskrevne sirkelen til en trekant. nta at P står normalt på. Vis at P står normalt på. b) La P være et punkt mellom og på den omskrevne sirkelen til en trekant. nta at P > π 2. Normalen fra P ned på siden har fotpunkt F, normalen fra P ned på siden har fotpunkt D og normalen fra P ned på forlengelsen av siden har fotpunkt E. Vis at Vis at P = P, P = P, P = π P. F = P cos P, D = P cos P, E = P cos P E = P cos P, F = P cos P, D = P cos P, E = P cos P. c) Vis at punktene D, E og F i b) ligger på linje. Løsning. a) Her er en hjelpefigur: P 3

4 Siden vinkelen P er en rett periferivinkel må P være en diameter. Siden P er en diameter må periferivinkelen P være rett. Det betyr at P står normalt på. b) Her er en hjelpefigur: E P D F Vinklene P og P er like fordi begge er periferivinkler over sirkelbuen fra P til. Tilsvarende er P = P fordi de er periferivinkler over buen fra P til. Videre har vi P + P = π fordi sirkelbuene til de to vinklene tilsammen spenner hele sirkelen. En periferivinkel som spenner hele sirkelen har vinkel π. Siden P F står normalt på er P F rettvinklet. Dermed kan vi skrive cos P F = F P. Siden P F = P har vi F = P cos P. Tilsvarende får vi F = P cos P, D = P cos P, D = P cos P, E = P cos P E, E = P cos P. Punktene,, E ligger på linje. Ettersom P > π 2 følger det at ligger mellom og E. Dermed er P + P E = π. Det betyr at P E = π P, så cos P E = cos P. c) Siden E ligger utenfor, mens D og F ligger på trekanten, er produktet F F D D E E negativt. Vi kan derfor regne uten fortegnsmål. 4

5 Fra b) har vi F F D D E P cos P P cos P P cos P = E P cos P P cos P P cos P cos P cos P cos P = cos P cos P cos P cos P = cos(π P ) = 1, cos P cos P cos P cos P der vi har brukt at cos(π P ) = cos P. Det følger av Menelaos setning at D, E og F ligger på linje. 5