Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006

Transkript

1 Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent slik ut (den lysegrå delen): Plassen i midten er halvdelen så lang og brei som gården, og den er sentrert i forhold til kvartalet Tegn en perspektivtegning av gården basert på følgende opplysninger ruk svararket til oppgave en nærmeste vertikale kanten er gitt som linjestykket og er nederste endepunkt på hver sin av to vertikale kanter orisonten er tegnet inn på svararket illedplanet er vertikalt horisont ksamen i M-04 7 mai 005 Side

2 ppgave a) ruk svararket til oppgave Ta utgangspunkt i den øverste trekanten, der er rett Konstruer en parallell med gjennom, og avsett et punkt på denne parallellen slik at, og slik at og ligger på hver sin side av Trekk linja, og kall skjæringspunktet med for Konstruer en parallell med gjennom, og kall skjæringspunktet med for Konstruer til slutt en parallell med gjennom, og kall skjæringspunktet med for (u skal ikke skrive forklaring til konstruksjonen) b) vorfor er og formlike? c) vorfor er og formlike? d) ruk b) og c) til å bevise at, slik at W er et kvadrat Vi skal nå generalisere konklusjonen i oppgave d) til å gjelde trekanter som ikke nødvendigvis er rettvinklede Ta utgangspunkt i den nederste figuren på svararket til oppgave, der det er tegnet en vilkårlig spissvinklet trekant Konstruer normalen fra på La fotpunktet for normalen være Konstruer en parallell med gjennom, og avsett et punkt på denne slik at, og slik at og ligger på hver sin side av Trekk, og kall skjæringspunktet med for Trekk en parallell med gjennom, og kall skjæringspunktet med for Trekk en parallell med gjennom, og kall skjæringspunktet med for Trekk endelig en parallell med gjennom, og kall skjæringspunktet med for I e) Vis at W I er et kvadrat (Vink: Se på og samt på I og J, der J er fotpunktet for normalen fra på ) a) Se figuren til høyre b) som toppvinkler, og som samsvarende vinkler når skjærer parallellene og a er : c) er felles for og, fordi a må : d) v b) følger at, og av c) følger at v disse følger så at og L e) : gir I : J gir, og eller I J blir I, og herav I a I K I J ksamen i M-04 7 mai 005 Side

3 ppgave 3 itt to sirkler, med radius r og sentrum, og med radius r og sentrum, som berører hverandre utvendig, og slik at r > r I tillegg til den felles tangenten gjennom berøringspunktet har de to sirklene en annen fellestangent som har tangeringspunkter P på og T på ruk svarark nr til oppgave 3 a) Trekk opp R PT slik at R ligger på P, og bevis at PT 4rr (Vink: ruk Pythagoras) orklar hvordan dette kan brukes til å konstruere et linjestykke med lengden PT, gitt r og r S S + r+ r b) La S være skjæringspunktet mellom tangenten PT og linja Vis at r r c) Vis hvordan resultatene ovenfor kan brukes til å konstruere fellestangenten til to sirkler som berører hverandre utvendig ruk svarark nr til oppgave 3 d) Konstruer fellestangentene til to vilkårlige sirkler med forskjellige radier som ikke skjærer eller berører hverandre Jfr svarark nr 3 til oppgave 3 (Vink: evis en likhet som tilsvarer den i oppgave b)) a) P T R r r S Pythagoras setning på R gir PT R R ( r + r ) ( r r ) 4rr et betyr at PT er mellomproporsjonalene mellom r og r, slik at PT kan konstrueres slik som på figuren ovenfor b) ST : SP gir S S S S + r+ r T P eller r r ksamen i M-04 7 mai 005 Side 3

4 c) d) Vi konstruerer først normalene i og Vi trekker en linje gjennom de to skjæringspunktene med sirklene til skjæring med ra dette punktet konstruerer vi tangenten til en av sirklene P r T S' r S r ' r PS S + S Vi har, og konstruerer punktet S på samme måte som tidligere r TS S S r S ' Punktet S konstrueres tilsvarende ved å konstatere at, så vi trekker og finner r S ' skjæringspunktet S med ksamen i M-04 7 mai 005 Side 4

5 ppgave 4 itt et kvadrat La,, og være punkter på hhv,,, og Vis at hvis står normalt på, så er og like lange nta at står normalt på Vi nedfeller normalen fra på med fotpunkt J og normalen fra på med fotpunkt I a er I og J vinkler som har bein som står parvis normalt på hverandre essuten er J I 90 og I J et betyr at I og J er kongruente, og dermed må I ppgave 5 u har gitt følgende isometrier ved koordinatformler: o (, ) (, ) I ( xy) yx I ( xy) ( yx) ( ) I xy xy, (, ),, essuten er det gitt tre punkter :, ( ), : ( 4, ), :( 4,3) a) Tegn trekanten T og bildene av T ved isometriene I, I og I 3 I3 xy, ( x, y) b) Klassifiser hver av isometriene som rotasjon, speiling, translasjon eller gliderefleksjon, og oppgi eventuelt speilakse, rotasjonssentrum, rotasjonsvinkel eller translasjonsvektor c) Klassifiser på samme måte følgende isometrier: II ( I først), II, I og I a) Se figuren til høyre b) I er rotasjon 90 om origo I er speiling om linja yx I 3 er speiling om x-aksen c) II ( xy, ) I ( yx, ) ( xy, ) II er speiling om y-aksen (jfr T4 på figuren) II ( xy, ) I( yx, ) ( x, y) II er speiling om x-aksen (jfr T3 på figuren) I ( xy, ) I( yx, ) ( x, y) I er rotasjon 80 om origo(jfr T5 på figuren) I xy, I yx, xy, I er identitetsavbildningen ( ) ( ) ( ) T4-5 T T5 T -5 5 J T T3 5 ksamen i M-04 7 mai 005 Side 5