Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning"

Transkript

1 Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til stor hjelp når en skal lage perspektiviske tegninger. De forteller nemlig hvor bildet av en gjenstand vil være dersom vi kjenner gjenstandens plassering i forhold til rutenettet. Det blir gitt eksempel på hvordan rutenett og plantegninger kan brukes til å lage en perspektivtegning. 1 Konstruksjon av bildet av et vannrett kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt Dette er det enkleste tilfellet. Siden det er et forsvinningspunkt vil linjene i det kvadratiske rutenettet enten være parallelle med grunnlinjen eller de vil være perpendikulære til grunnlinjen. Linjene som går vekk fra betrakteren vil da ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Diagonalene i det kvadratiske rutenettet som går fra venstre mot høyre er alle parallelle med hverandre. Det perspektiviske bildet av disse linjene vil derfor ha et felles forsvinningspunkt. Dette forsvinningspunktet ligger på horisontlinjen siden diagonalene er vannrette. Som vi så tidligere vil dette forsvinningspunktet være et av distansepunktene. Avsnittet over forteller oss faktisk alt vi trenger for å forstå og gjennomføre konstruksjonen. Vi vil først gjennomføre konstruksjonen i tilfelle hvor fremste linje i rutenettet er grunnlinjen i bildet. Velg hovedpunkt (H) og distansepunkt (D) på horisontlinjen. Sett av ønsket antall punkter med fast avstand mellom dem på grunnlinjen. Som et eksempel vil vi lage et perspektivisk bilde av et 6 x 6 kvadratisk rutenett. Versjon av 25. november Denne teksten er et utdrag fra en tekst om perspektivtegning som jeg holder på å arbeide med. Utdraget greier mer eller mindre å stå på egne ben, selv om enkelte ord og uttrykk som benyttes kan være ukjente da de er presentert tidligere i teksten. For å forstå alle argumentene, må en kjenne til distansepunkt og distansepunktkonstruksjonen. Kort fortalt er distansepunktet forsvinningspunktet til de linjene som står 45 på billedplanet. Ikke la deg skremme av det første avsnittet som er ganske teknisk dersom du ikke er vant med terminologien - fortsett å lese og gå tilbake til det i etterkant. Teksten er fortsatt under bearbeiding og den er ikke skikkelig korrekturlest, så det vil nok være noen feil her og der. Ta kontakt dersom du har kommentarer. 1

2 Neste punkt er å tegne opp linjestykkene mellom hovedpunktet og punktene på grunnlinjen. 2

3 For å nne bildet av hjørnene i rutenettet trekker vi opp bildet av diagonalene. Det er faktisk nok å trekke opp en diagonal dersom vi trekker opp den diagonalen som går fra punktet på grunnlinjen som er lengst vekke fra distansepunktet. Siden de resterende linjestykkene i rutenettet er parallelle med grunnlinjen kan vi tegne de opp gjennom skjæringspunktene til bildet av diagonalen. 3

4 Nå har vi alt vi trenger, så det er bare å fullføre guren. Vi ser at dersom vi trekker opp de andre diagonalene, så går alle disse mot distansepunktene (sjekk dette). Konstruksjonen her er gammel og velkjent. Figur 1 viser samme konstruksjon i de Vries lærebok. Der er diagonalene til begge distansepunktene trukket opp. Vi har nå laget et perspektivisk bilde av et vannrett kvadratisk rutenett i tilfellet hvor den fremste siden i rutenettet er grunnlinjen. I dette tilfellett blir det kvadratiske rutenettet seende ut som et gulv. For å lage perspektiviske bilder av tilsvarende rutenett hvor den fremste siden i rutenettet ikke er grunnlinjen kan vi bruke akkurat samme 4

5 Figur 1: Plansje 2 i de Vries, Perspective (1604). 5

6 (a) Under horisontlinjen (b) Over horisontlinjen Figur 2: Forskjellige plasseringer av fremre side i rutenettet (a) Tilstrekkelige opplysninger (b) Ferdig rutenett Figur 3: Rutenett hvor fremre side i rutenettet ikke er horisontal fremgangsmåte, bare at vi nå først må nne ellers bestemme den fremste siden i rutenettet. To eksempler på dette er vist i gur 2. I gur 2 b) er den fremste siden i rutenettet høyere enn horisontlinjen. Da ser rutenettet ut som et tak. Samme fremgangsmåte kan brukes til å lage et vilkårlig perspektiviske rutenett med et forsvinningspunkt. Da vil ene siden i alle kvadratene være parallell med billedaten. For å tegne rutenettet trenger vi bare å kjenne bildet til den siden i rutenettet som er parallell med billedaten og to punkter til på billedaten. Et av disse punktene (P) er forsvinningspunktet til de sidene i kvadratene som går vekk fra betrakteren. Det andre (Q) er forsvinningspunktet til en diagonal. Et eksempel vises i gur 3. Bildet i gur 4 viser et bilde av et rutenettmønster i en hage. Dersom vi forlenger alle sidekantene, får vi gur 5. Vi ser at vi i teorien kan fortsette rutenettet så langt vi ønsker ved å tegne inn ere linjer. Siden rutenettet bare har et forsvinningspunkt, må forsvinningspunktet også være hovedpunktet. I gur 6 er også diagonalene tegnet inn og forlenget. Disse møtes som ventet i to forsvinningspunkt, et på hver side av hovedpunktet. 6

7 Figur 4: Bilde fra en hage med rutenettmønster. Foto: lragerich ( Figur 5: Bilde av rutenett med et forsvinningspunkt. Disse forsvinningspunktene blir distansepunktene til bildet. De ligger også i samme høyde på bildet som hovedpunktet. De ligger da på horisontlinjen. Dette er akkurat som ventet ettersom rutemønsteret er vannrett. 7

8 Figur 6: Bilde av rutenett med diagonaler og forsvinningspunkt. 2 Konstruksjon av bildet av et loddrett rutenett når bildet av et kvadratisk rutenett er gitt Metoden som ble brukt over kan også brukes til å tegne et loddrett rutenett. Men dersom vi allerede har tegnet et kvadratisk rutenett nnes det en raskere metode. Denne metoden bygger på at bildet av en loddrett linje også er en loddrett linje. Vi starter med 6 x 6 rutenettet som ble konstruert over. Vi vil lage et 5 x 6 loddrett rutenett på venstre side av dette. Vi starter med å tegne en loddrett linje gjennom nedre venstre hjørnet i rutenettet vårt (normalen til grunnlinjen gjennom nedre venstre hjørne). På denne setter vi av punkter med fast avstand i mellom dem. 8

9 Sidene i det loddrette rutenettet vil enten være loddrette eller vannrette. De vannrette sidene vil ha hovedpunktet som forsvinningspunkt. Vi trekker derfor opp linjestykkene fra punktene på den loddrette linjen til hovedpunktet. De loddrette sidene i rutenettet vil starte ved hjørnepunktene på den venstre siden av det vannrette rutenettet. Vi trekker derfor opp de loddrette linjene som går gjennom disse punktene. 9

10 Skjæringspunktene vi da får er hjørner i bildet av det loddrette rutenettet. Så nå er det bare å fullføre rutenettet. Dersom vi hadde trukket opp diagonalene i det loddrette rutenettet ville vi sett at disse har forsvinningspunkt på den loddrette linjen gjennom hovedpunktet. Avstanden mellom hovedpunktet og disse forsvinningspunktene er det samme som avstanden mellom hovedpunktet og distansepunktet (hvorfor?). 10

11 3 Å bruke rutenettet til å plassere gjenstander i riktig høyde i en perspektivtegning For å plassere gjenstander ved hjelp av et rutenett er det tre ting vi må ha i tankene: A.1 Alle rutene i perspektivtegningen representerer ruter som er like store i virkeligheten. A.2 Bildet av loddrette linjer er loddrette. A.3 Hvis en vannrett rute i den perspektiviske tegningen har sin horisontale sidelengde lik x, så vil en loddrett rute i den perspektiviske tegningen med hjørne i samme reelle posisjon også ha vertikal sidelengde lik x. Dette kan illustreres gjennom gur 7. Her er det tegnet inn det horisontale rutenettet og deler av mulige loddrette rutenett. Fra punktet Q ønsker vi å nne punktet R som er bildet av et punkt som ligger 8 rutelengder loddrett ovenfor det punktet som har Q som bilde. I kapittelet om distansepunktkonstruksjonen så vi på en måte å nne R på ved å sette av en normal på grunnlinjen. Fra guren ser vi at Vignola har gjort det samme i høyre billedkant. Men guren til Vignola viser også en annen måte å nne R på. Vi tenker oss at bare det vannrette rutenettet er tegnet inn. Fra punktet Q vil vi nne R. Fra A.2 ser vi at R må ligge på den loddrette linjen som går gjennom Q. Ved å kombinere A.1 og A.3 ser vi at avstanden fra Q til R er den samme som avstanden fra Q og 8 rutelengder horisontalt mot venstre. Vi kan derfor sette passerspissen i Q, den andre enden i P som ligger 8 rutelengder horisontalt mot venstre fra Q og slå sirkelbuen. Der hvor sirkelbuen treer den loddrette linjen gjennom Q ligger R. Dette ble en tungvint beskrivelse for et prinsipp som er ganske enkelt å anvende. La oss ta et par eksempler fra de Vries bok Perspective (1604) for å illustrere det bedre. Først hans plansje 14 (gur 8). Vi skal se nærmere på den rektangulære inngjerdingen i midten av rommet. La oss tenke oss at inngjerdingen ikke er tegnet enda og vi ønsker å gjøre dette (for enkelhetsskyld beskriver jeg bare den ytre rammen - den indre blir tilsvarende). For å benytte oss av rutenettet må vi vite dimensjonene til inngjerdingen. Denne er tre ruter bred, re ruter dyp og en rute høy. Når vi vet dette er det greit å plassere den korrekt på tegningen. Vi merker av de fremre nedre hjørnene med tre horisontale rutelengders avstand. Så nner vi de bakre nedre hjørnene ved å teller re ruter "innover"i tegningen. Siden inngjerdingen er en rute høy kan vi nne de øvre hjørnene ved å gå en virtuell rutelengde vertikalt oppover fra alle de nedre hjørnene. 1 Det samme er gjort i den noe mer avanserte plansje 18 (gur 9). Her er bordet tre ruter høyt og benken er litt over en rute høy. Denne 1 Ser vi på den ferdige tegningen til de Vries så ser det ut som om høyden er større enn en rutelengde på baken. Dette er et synsbedrag som skyldes at vi prøver å tolke den todimensjonale tegningen som tredimensjonal. Dersom en måler på tegningen vil en se at høyden er akkurat like stor som den horisontale rutelengden på samme plass i bildet. 11

12 Figur 7: Figuren er fra Jacopo Barozzi Vignolas Le due regole della prosppettiva (1583) 12

13 Figur 8: Plansje 14 i de Vries, Perspective (1604). 13

14 plansjen får leseren studere nærmere selv. Se også GeoGebra-arbeidsarket: gmh/geogebra/perspektiv/distansepunktkonstruksjon4.html. 4 Å lage perspektivtegning med bruk av plantegninger og rutenett Vi så nettopp hvordan å plassere bildet av et punkt dersom vi har tegnet inn et rutenett. I denne delen skal vi gjøre noe helt tilsvarende, bare at vi nå går ut i fra at vi har plantegninger av det vi vil tegne. En plantegning er en ortogrask projeksjon. 2 Ved en ortogrask projeksjon nner vi bildet av punkt som følger: gitt et punkt P i rommet, så vil dette bli avbildet på punktet i planet P' som ligger nærmest P. Da vil linjestykket PP' være ortogonalt (altså perpendikulært eller vinkelrett) på planet. Se gur 10 og 11. Det går faktisk an å se på plantegninger som en type perspektivtegning. Dersom vi tenker oss en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt vekke fra billedplanet, slik at øyepunktet ligger i den retningen som er ortogonal på billedplanet, så vil perspektivtegningen være det samme som en ortogonal projeksjon på billedplanet. Dette fordi at alle synsstrålene vil være parallelle og ortogonale på billedplanet. Se gur 12. Ortogrask projeksjon blir brukt både i arkitektur (plantegninger til hus) og i kart. Plantegninger til hus er velkjent (se gur 13). Alle kart over områder som er så små at vi kan se på jorden som at er også tilnærmet gitt ved en ortogrask projeksjon. For kart over større områder er det umulig å unngå distorsjon - det er umulig å få både vinkler og lengder til å samsvare med tilsvarende vinkler og lengder på sfæren - ettersom kartet er en plan representasjon av jordsfæren. Forskjellige typer projeksjon vil være hensiktsmessig, for slike kart, alt etter situasjonen, og av og til blir ortogrask projeksjon brukt (et eksempel er vist i gur 14). Som et eksempel skal vi tegne et rektangulært prisme som er re ruter høyt, re ruter bredt og tre ruter dypt. For å gjøre konstruksjonen lettere å følge har jeg valgt å gjøre prismet fargerikt: venstre (og høyre) sideate er blå, fremre sideate er rød og toppen er grønn. Plantegninger forfra, ovenfra og fra høyre følger i gur Alt etter hva vi ønsker å tegne trenger vi plantegninger fra forskjellige sider. I dette tilfellet her får vi nok informasjon til å fullføre tegningen med de tre plantegningene under. I andre, mer kompliserte, tilfeller kan det 2 I ordet ortogonal er oρθoς (ortos - gresk for rett) satt sammen med γωνια (gonia - betyr nå vinkel, men opprinnelig kne (så polygon betyr bokstavelig mange knær)). Ordet ortogonal brukes nå om to geometriske gurer (f. eks. linje og plan) som står vinkelrett på hverandre. En projeksjon er en gjengivelse av et romlig gur på en plan ate. Etymologisk henspeiler ordet projeksjon på skyggene som kastes på en ate (denne betydningen nner vi igjen i ordet projektor - maskiner som projiserer et bilde på et lerett). En ortogrask projeksjon er en gjengivelse av en romlig gur på en plan ate slik at punkter blir yttet til aten gjennom linjer som står vinkelrett på aten. 14

15 Figur 9: Plansje 18 i de Vries, Perspective (1604). 15

16 Figur 10: Eksempel på ortogrask projeksjon. Vi starter med et plan i rommet som resten av rommet skal projiseres på. Punktet P projiseres (avbildes) på P', som ligger i dette planet, slik at linjestykket PP' står ortogonalt (vinkelrett) på planet. Figur 11: Et prisme avbildet ved ortogrask projeksjon. Bildet av prismet avhenger av hvilken orientering planet det avbildes på har. 16

17 Figur 12: Ortogrask projeksjon sett på som en perspektivtegning med øyepunktet uendelig langt borte. Da blir linjene PP', QQ' og RR' synsstråler. Figur 13: Plantegning av et hus. commons/9/9a/sample_floorplan.jpg 17

18 Figur 14: Ortogrask projeksjon av jorden sentrert over Nordpolen. Orthographic_Projection_Polar_North.jpg 18

19 Figur 15: Prisme forfra Figur 16: Prisme ovenfra hende vi trenger ere plantegninger (ekstra plantegninger i tilfellet her vil være plantegninger nedenfra eller fra venstre). 3 Vi kan nå skissere plantegningene på vegger og gulv i rutenettet vårt. Plantegningen fra høyre kommer på venstre vegg (gur 18). Plantegningen ovenfra kommer på gulvet. Plantegningen forfra kommer på bakre vegg. Og tilsvarende for andre plantegninger. Grunnen til at vi gjør det på denne måten er at vi nesten uansett gur vil trenge plantegning forfra og for å slippe en uoversiktlig gur med ere rutenett oppå hverandre er det greiest å skissere denne plantegningen på bakre vegg. For å nne det perspektiviske bildet av prismet trenger vi nå en del hjelpelinjer. Det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på venstre (eller høyre) vegg vil ligge på den horisontale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Tilsvarende vil det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er 3 Dersom vi tenker oss gjenstandene som gjennomsiktige er det alltid nok med plantegninger forfra og ovenfra. 19

20 Figur 17: Prisme fra høyre side Figur 18: Plantegninger skissert i rutenettet 20

21 Figur 19: Omriss gitt av plantegningene avbildet ved plantegning til punktet P på gulv (eller tak) ligge på den vertikale linjen i perspektivtegningen som går gjennom P. Og det perspektiviske bildet P' av et punkt P som er avbildet ved plantegning til punktet P på bakre vegg vil ligge på strålen fra hovedpunktet gjennom P. Vi tegner så inn disse linjene for strategisk valgte punkter på plantegningene (gur 19). Vi har nå nok perspektiviske bilder av punkter på prismet til å tegne inn prismet (gur 20). Vi har faktisk "overødig"informasjon. Vi hadde fått nok informasjon til å tegne inn prismet selv om vi ikke hadde tatt med strålene fra hovedpunktet (se gur 21). Tilsvarende kunne vi i stedet for å droppe strålene ha droppet de vertikale eller horisontale hjelpelinjene. I praksis vil gurene bli svært uoversiktlige med alle disse hjelpelinjene, spesielt når en skal tegne mer kompliserte gurer enn prismet som er tegnet inn her. I tillegg vil en jo gjerne unngå alle hjelpelinjene på den ferdige tegningen. En måte å unngå dette på er ved å bruke to linjaler og nne ut hvor disse skjærer uten å faktisk tegne opp hjelpelinjene. Til slutt kan vi pusse litt på tegningen og ferdigstille den (gur 22). 5 Rutenett med to forsvinningspunkt For et rutenett med to forsvinningspunkt vil ingen av sidekantene i rutenettet være parallelle med grunnlinjen. Som et eksempel skal vi lage en perspektivtegning av et 5 x 5 rutenett. 4 Et omriss av dette er gitt i gur Se også GeoGebra-arbeidsarket: gmh/geogebra/perspektiv/rutenetttoforsvinningspkt.html. 21

22 Figur 20: Prismet gitt av plantegningene Figur 21: Prismet gitt av plantegningene ovenfra og fra høyre 22

23 Figur 22: Ferdig prisme Figur 23: Omriss av et 5 x 5 rutenett 23

24 For å lage perspektivtegning er det nok å kjenne til plasseringen av horisontlinjen og det perspektiviske bildet til de to fremre, ytre sidekantene av rutenettet. 5 Vi starter med å tegne en linje m' parallell med grunnlinjen gjennom det fremre punktet i rutenett (denne linjen er også parallell med horisontlinjen). Denne linjen svarer til linjen m i gur 23. Det neste vi gjør er å nne forsvinningspunktene F og G til de to sidekantene i rutenettet som vi kjenner til (dette er forsvinningspunktene til linjene a og l i gur 23). 5 Vi skal etterpå nne ut hvor hovedpunktet og distansepunktene må være plassert. 24

25 Linjene a, b, c, d, e, og f er parallelle, så bildet av de vil ha samme forsvinningspunkt F. Vi kjenner da til to punkter som bildet f' av f går i gjennom og kan tegne inn f' på guren. I tillegg, siden linjene a, b, c, d, e og f er parallelle og ligger med jevn avstand fra hverandre, vil de skjære linjen m med jevn avstand. Siden m er parallell med billedplanet, vil bildet av disse skjæringene ligge med jevn avstand på m'. Deler vi linjestykket PQ inn i fem like store deler, nner vi da de andre skjæringene. 25

26 Nå kjenner vi to punkter på bildet av alle linjene b, c, d og e, så det er bare å tegne de inn. Nå kan vi gjøre akkurat det samme for bildet av linjene g, h, i, j, k og l. 26

27 Skjæringene mellom de forskjellige forsvinningslinjene er hjørnene i rutenettet, så nå er det bare å gjøre guren ferdig. Merk at i konstruksjonen av rutenettet brukte vi ingen plass at rutene var kvadratiske. Det ble bare brukt at sidekantene i rutenettet alle var like lange, altså at rutene var romber. Om perspektivtegningen faktisk viser det perspektiviske bildet av et kvadratisk rutenett avhenger av hvor hovedpunktet og distansepunktene ligger. Hvor må så hovedpunktet og distansepunktene ligge for at rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett? Faktisk blir disse entydig bestemt dersom rutenettet skal være bildet av et kvadratisk rutenett. Se gur 24 27

28 Figur 24: La P, Q og R være tre forskjellige punkter i samme vannrette plan, med perspektiviske bilder P, Q og R, slik at P Q = P R og P ligger nærmest billedaten. Videre La m være linjen gjennom P parallell med grunnlinjen, F være forsvinningspunktet til P Q og G være forsvinningspunktet til P R. Da vil QP R = 90 hvis og bare hvis hovedpunktet H er gitt sånn at F H HG = (Q 2 Q /Q Q 1 )2. Hvis QP R = 90, så ligger distansepunktet D (R 2 R /R R 1 1 på linjen R V )2 hvor T V = SP og distansepunktet D 2 på linjen Q U hvor US = P T. Dersom P, Q og R er hjørner i et kvadratisk rutenett, som på guren, gir dette plasseringen av hovedpunktet og distansepunktene. for de eksakte betingelsene. 6 Betingelsene kan også brukes til å nne hovedpunkt og distansepunkt i mange situasjoner som er tegnet med topunktsperspektiv. I gur 25 ser vi bilde av et iselagt gulv. Det er tydelig at sideakantene til isene har to forsvinningspunkt. Trekker vi opp diagonalene til isene så ser vi at de enten er vannrette på bildet eller forsvinner mot et forsvinningspunkt som ligger på linjen gjennom forsvinningspunktene til sidekantene til isene (se gur 26). I dette tilfelle blir forsvinningspunktet til de gule linjene hovedpunktet, mens forsvinnignspunktene til sidekantene til isene blir distansepunktene. Dette betyr at bildet er tatt akkurat sånn at sidekantene til isene står 45 på billed- aten. Vi ser også at de gule og svarte linjene gir et kvadratisk rutenett med et forsvinningspunkt. De røde og blå linjene blir diagonalene til dette rutenettet. 6 Jeg tar ikke med beviset for dette her. Betingelsene følger primært av å se på hvor Q og R plasserer seg ved distansepunktkonstruksjonen. 28

29 Figur 25: Fliselagt gulv med noen linjer tegnet inn. Figur 26: Fliselagt gulv med enda ere linjer tegnet inn. 29

Tegning av tredimensjonale figurer parallell sentral perspektiv Parallell-projeksjoner grunnlinje horisontalprojeksjon vertikalprojeksjon

Tegning av tredimensjonale figurer parallell sentral perspektiv Parallell-projeksjoner grunnlinje horisontalprojeksjon vertikalprojeksjon Tegning av tredimensjonale figurer Å tegne en tredimensjonal figur på et papirark byr på fundamentale prinsipielle problemer: Papiret er todimensjonalt, mens gjenstandene som skal avbildes, er tredimensjonal.

Detaljer

Rom og form i 3D og 2D. fra det tredimensjonale rom til perspektivtegning

Rom og form i 3D og 2D. fra det tredimensjonale rom til perspektivtegning Rom og form i 3D og 2D fra det tredimensjonale rom til perspektivtegning Multilink Tre og tre arbeider sammen. Person 1 bygger en figur av maks seks multilinkklosser og forklarer for Person 2 hvordan figuren

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Stjernepolyeder og glidegurer

Stjernepolyeder og glidegurer Stjernepolyeder og glidegurer Gert Monstad Hana, Høgskolen i Bergen 29. september 2010 I denne artikkelen beskrives hvordan å lage romgurer ved å la papirbiter gli inn i hverandre. Ved å klippe hakk i

Detaljer

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge

Avdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde

Detaljer

GeoGebra på mellomtrinnet

GeoGebra på mellomtrinnet GeoGebra på mellomtrinnet innføring + UTFORSKING + problemløsing Mattelyst Vågå, 16. sept. 2015 Anne-Gunn Svorkmo og Susanne Stengrundet I LK06 for matematikk fellesfag står det følgende om digitale ferdigheter:

Detaljer

Tallinjen FRA A TIL Å

Tallinjen FRA A TIL Å Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1.

Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl Antall oppgaver 9. Oppgave 1. Innlevering i Matematikk Obligatorisk Innlevering 2 Innleveringsfrist 12. november 2010 kl. 13.00 Antall oppgaver 9 Løsningsforslag Oppgave 1 a) sin A = BC AC 3, 2 cm = = 0, 627 5, 1 cm A = sin 1 0, 627

Detaljer

ESERO AKTIVITET HVA ER EN KONSTELLASJON? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET HVA ER EN KONSTELLASJON? Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 80 min. Å: vite at stjernene i en konstellasjon er veldig langt fra hverandre vite at det du

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER 1 Innledning til volum 1 V - 2 2 Grunnleggende om volum 1 V - 2 3 av V - 5 3a Kube V - 5 3b Rett prisme V - 7 3c Sylinder V - 8 3d

Detaljer

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Perspektivtegning. -12 timers kurs

Perspektivtegning. -12 timers kurs Perspektivtegning -12 timers kurs Utarbeidet av Gunn Åse Røstad Letnes, Vinne skole. 2009 Undervisningsopplegg i kunst og håndtverk, 5.-7. klasse. Tema 1. Perspektivtegning a) Sentralperspektiv b) Forminskning

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Tall og form 1 UTFORDRINGER UTFORDRINGER GENIER UTFORDRINGER UTFORDRINGER

Tall og form 1 UTFORDRINGER UTFORDRINGER GENIER UTFORDRINGER UTFORDRINGER Hvorfor er de vridd? Undersøk og sammenlikn de blå, gule og røde pinnene. Legg merke til at de blå pinnene er rette mens de gule og røde er vridd på midten. Hvorfor? Lag formen på pinnene Legg merke til

Detaljer

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50 Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ S 37: Andre linje i 124: Det skal være «kile og hakk», dvs at symbolet som står

Detaljer

Lengdemål, areal og volum

Lengdemål, areal og volum Lengdemål, areal og volum Lengdemål Elever bør tidlig få erfaring med å vurdere ulike avstander og lengdemål. De kommer ofte opp i situasjoner i hverdagen hvor det er en stor ulempe å ikke ha begrep om

Detaljer

Julekalender mellomtrinn -

Julekalender mellomtrinn - Julekalender 2004 - mellomtrinn - 1. desember Vi har noen underlige terninger. De viser tallene 1, -2, 3, -4, 5, -6. Om vi slår to terninger samtidig, hvilken av summene listet opp under klarer vi IKKE

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth

INF Triangulering. Med sterk støtte fra Petter Kristiansen. Skal først se på et eksempel fra Google Earth INF 4130 17. november 2011 Triangulering Stein Krogdahl Med sterk støtte fra Petter Kristiansen Skal først se på et eksempel fra Google Earth De bruker en underliggende triangulering av landskapet, men

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass

Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass Kort innføring i kart, kartreferanser og kompass UTM Universal Transverse Mercator (UTM) er en måte å projisere jordas horisontale flate over i to dimensjoner. UTM deler jorda inn i 60 belter fra pol til

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007

Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG mai 2007 Løsningsforslag Eksamen 1MY - VG1341-4. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 15, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MY er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: utvikle, og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning,

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Perspektivtegning på småskoletrinnet

Perspektivtegning på småskoletrinnet Bjørnar Alseth, Grete H. Lindegaard Perspektivtegning på småskoletrinnet Bjørnar Alseth er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved HiO, avdeling for lærerutdanning. Han har drevet med grunnog videreutdanning

Detaljer

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL

QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50. Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ. S 37: Andre linje i 1.2.4: Det skal være «kile og hakk», dvs. at symbolet som

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

Nedlasting av SCRIBUS og installasjon av programmet

Nedlasting av SCRIBUS og installasjon av programmet Nedlasting av SCRIBUS og installasjon av programmet Laget for BODØ FRIMERKEKLUBB av Sten Isaksen Versjon 06.01.2018 1 Før du laster ned Scribus: Du må vite hvilken versjon av Windows du har, sannsynligvis

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Illustrator, bruk av Pen tool. Pentool og rette linjer

Illustrator, bruk av Pen tool. Pentool og rette linjer Illustrator, bruk av Pen tool Pentool er ikke det enkleste tegneredskapet man kan bruke, men når man blir godt kjent med det og kommer over opplevelsen i første møtet så er min erfaring at det er et utmerket

Detaljer

C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER,

C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, 20. mai 2013 Innhold INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET... 5 NIVÅ B: LINJER, SIRKLER, VINKLER... 6 NIVÅ C: SPEILING, NORMALER, TREKANTER M/HJELPEFIGUR... 7 NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER

Detaljer

2 Resultanten. til krefter

2 Resultanten. til krefter 2 Resultanten til krefter Mål Når du har lest dette kapitlet skal du kunne gjøre greie for angrepslinja og angrepspunktet til en kraft forklare hva vi mener med statisk moment sette sammen krefter grafisk

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Start med å åpne programmet ved å trykke på ikonet GIMP 2 på skjermen eller under startmenyen.

Start med å åpne programmet ved å trykke på ikonet GIMP 2 på skjermen eller under startmenyen. 1 Tegne i GIMP Det er flere måter å tegne på i Gimp. Man kan bruke frihåndstegning, og man kan bruke utvalgsverktøy. Man kan også hente opp bilder som kan manipuleres med ulike verktøy. Åpne Gimp Start

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

KUBEKURS: HVORDAN LØSE RUBIKS KUBE? By Norges Kubeforbund / Marie Lilleborge

KUBEKURS: HVORDAN LØSE RUBIKS KUBE? By Norges Kubeforbund / Marie Lilleborge KUBEKURS: HVORDAN LØSE RUBIKS KUBE? By Norges Kubeforbund / Marie Lilleborge Hællæ! Og god påske og happy TG! Dette heftet er laget til kubekurs på TG påsken 2014. Det beskriver en begynnermetode for å

Detaljer

Ting det er lurt å tenke over før en går i gang med å tegne et bilde:

Ting det er lurt å tenke over før en går i gang med å tegne et bilde: -Skyggelegging Ting det er lurt å tenke over før en går i gang med å tegne et bilde: Skal jeg tegne etter hukommelsen, eller skal jeg ha det jeg tegner foran meg? Hvor skal jeg stå eller sitte i forhold

Detaljer

Tak. Kapittel 4 - Tak... 3

Tak. Kapittel 4 - Tak... 3 30.01.2012 Kapittel 4... 1 DDS-CAD Arkitekt innføring i versjon 7 Kapittel Innhold... Side Kapittel 4 -... 3 Loftsetasje... 3 Underlagstegning... 3... 4 Yttervegg... 6 Vindu i gavl... 9 Gulv i loftsetasjen...

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

SCREENINGTEST TIL BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE)

SCREENINGTEST TIL BEGYNNERTRINNET (1.-2. KLASSE) Elev: Klasse: dato: Materiell: Papir og blyant. Røde, gule og blå centikuber (minst ti av hver). Målebånd. Analogt og digitalt ur. Firesidet pyramide med bunnen utformet av Polydron brikker. Elevens følelser

Detaljer

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013

Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Sensurveiledning Matematikk 1, 5-10, emne 1 Høsten 2013 Oppgave 1 a) =2 = 5 2 =5 2 = = 25 4 = 25 8 Full uttelling gis for arealet uttrykt over. Avrundinger gis noe uttelling. b) DC blir 5 cm og bruk av

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Trigonometri og geometri

Trigonometri og geometri 6 Trigonometri og geometri 6.1 Sinus til en vinkel Oppgave 6.110 a) Hvilken av disse påstandene er riktig? 1) sin = 3) sin = 2) sin = b) Hvilken av disse påstandene er riktig? b a Oppgave 6.111 ruk lommeregneren

Detaljer

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130 Løsningsforslag ATEATIKK 1, X130 UTSATT EKSAEN 8. januar 2010 Oppgave 1 a) Alle flisene forutsettes å være like store. Vi tenker oss at sidekantene på flisene er 1 enhet lang og at arealet av hver flis

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Visuelle virkemidler. Motiv Hva er gjengitt? Hva er det vi ser? Er motivet realistisk gjengitt? Stilisert? Abstrakt?

Visuelle virkemidler. Motiv Hva er gjengitt? Hva er det vi ser? Er motivet realistisk gjengitt? Stilisert? Abstrakt? Visuelle virkemidler Det visuelle er det som oppfattes av synssansen. Visuelle virkemidler er det som brukes for å skape et bestemt uttrykk. Visuelle virkemidler anvendes i alle former for bildekomposisjoner:

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F.

F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F. 26. juli 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: PUNKTER, RETTE LINJER OG SIRKLER... 13 A.1: Ved hjelp av linjal, trekke linje gjennom to punkter....

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Spikerbrettet oppdaget på nytt

Spikerbrettet oppdaget på nytt 22 TANGENTEN 1 1995 Christoph Kirfel Spikerbrettet oppdaget på nytt Spikerbrettet eller pluggbrettet er et hjelpemiddel som for mange av oss kanskje virker en smule barnslig. Men det viser seg faktisk

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Perspektivtegning med Paint

Perspektivtegning med Paint Perspektivtegning med Paint Hvis du bruker Microsoft Windows, har du tilgang til programmet Paint. Paint finner du som regel ved å velge Start, Alle programmer og Tilbehør. Med Paint kan du bl.a. lage

Detaljer

LGU51005 A, Matematikk

LGU51005 A, Matematikk Skriftlig eksamen i LGU51005 A, Matematikk 1 5-10 15 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 10. desember 2013. BOKMÅL Sensur faller innen torsdag 9. januar 2014. Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

En presisering av kompetansemålene

En presisering av kompetansemålene En presisering av kompetansemålene - med vekt på aktiviteter Mål for kompetanse, og innhold? M87: Innholdsplan, eks geometri 5.-7. trinn: Geometriske begreper: Punkt, linjestykke, rett linje, kurve, vinkel

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Resultanten til krefter

Resultanten til krefter KRAFTBEGREPET Resultanten til krefter En kraft er en vektor. Kraften har måltall (størrelse), enhet(n) og retning (horisontalt mot høyre) Kraften virker langs en rett linje, kraftens angrepslinje Punktet

Detaljer

Pytagoras, Pizza og PC

Pytagoras, Pizza og PC Øistein Gjøvik Pytagoras, Pizza og PC Skal vi bestille en stor eller to små? Eller kanskje en medium og en liten? Magnus har helt klart tenkt seg å få mest for pengene. Kan du regne ut hvor stor forskjellen

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer