F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F.

Transkript

1 26. juli 2013

2 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: PUNKTER, RETTE LINJER OG SIRKLER A.1: Ved hjelp av linjal, trekke linje gjennom to punkter A.2: Slå en sirkel med oppgitt radius. (Første geometriske sted.) A.3: Konstruere de punkter som ligger i gitt avstand fra to oppgitte punkter A.4: Ved hjelp av passer, kunne slå en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt NIVÅ B:SPEILING OM PUNKT, NORMALER, B.1: Speile en figur om et punkt B.2: Finne punktsymmetri B.3: Konstruere en midtnormal. (Andre geometriske sted.) B.4: Oppreise en normal i et gitt punkt (konstruere en rett vinkel) B.5: Nedfelle en normal fra et punkt ned på en linje NIVÅ C: SPEILING OM LINJE, PARALLELLE LINJER, 60 -VINKEL, SPESIELLE VINKLER C.1: Speile en figur om en linje C.2: Finne linjesymmetri C.3: Konstruere en parallell linje til en oppgitt linje i en gitt avstand. (Tredje geometriske sted.) C.4: Konstruere 60-graders-vinkel NIVÅ D: HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR, TREKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, D.1: Konstruere en linje som ligger like langt fra to linjer som krysser hverandre. (Halvering av vinkel.) (Fjerde geometriske sted.) D.2: Halvere 90 - og 60 -vinkel D.3: Med utgangspunkt i en hjelpefigur, konstruere trekanter hvor det er oppgitt vinkler på 30, 45, 60 eller D.4: Konstruere andre vinkler ved halvering: D.5: Ved å kombinere de foregående punktene, kunne konstruere en trekant ut fra en hjelpefigur D.6: Konstruere en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel NIVÅ E: ROTASJON, TREKANTKONST RUKSJON U/HJELPEFIGUR, «FEMTE GEOMETRISKE STED» E.1: Rotere en figur om et punkt: E.2: Finne rotasjonssymmetri: E.3: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, konstruere en trekant etter først å ha tegnet en hjelpefigur E.4: Konstruere en halvsirkel over et linjestykke (femte geometriske sted): E.5: Konstruere en trekant hvor en også må bruke geometriske steder NIVÅ F:KONSTRUERE PARALLELL LINJE VED HJELP AV SAMSVARENDE VINKLER, TREKANT- OG FIRKANT- KONSTRUKSJON

3 F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F.2: Konstruere en trekant hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarene vinkler F.3: Konstruere en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder F.4: Konstruere en firkant hvor en også må bruke en eller flere av de fem geometriske stedene F.5: Konstruere en firkant hvor en også må benytte parallellitet/samsvarende vinkler VEIEN VIDERE

4 INNLEDNING Konstruksjoner er en de grunnleggende delene av matematikkfaget med røtter langt tilbake i historien. Som alt annet i matematikken, er det en klar sammenheng mellom stegene i konstruksjon. Å konstruere vil si å bruke passer og linjal. Starten er å kunne trekke linjer og å slå en sirkel eller deler av en sirkel. Alle senere konstruksjoner har dette som hovedmomenter. De kravene vi stiller til «å konstruere» innebærer at det er grenser for hvor langt en kan utvikle det å konstruere. Vi når nesten taket i dette stegarket. Men dersom vi i tillegg til å kunne slå sirkler og å trekke linjer, legger vekt på hva et geometrisk sted er, blir det å konstruere et grenseløst område: Da er det bare fantasien som setter grensene. Begrepet «geometrisk sted» gir også tangeringspunkter til mange andre områder innen matematikken: Algebra, funksjoner og grafisk framstillinger er kanskje de viktigste. Vi har derfor valgt å vektlegge dette begrepet, selv om det nok er ganske mange elever som synes at det er abstrakt. Konstruksjon bør være en viktig del av innholdet på 8.trinn. Mange elever vil ha framgangsmåter/standard-oppskrifter på hvordan oppgaver skal løses. Elevene bør forsøke å forstå sammenhengen i faget. Derfor er det laget koplinger til stoff som er gjennomgått. Elevene bør bruke disse koplingene aktivt. Her defineres også viktige definisjoner og regler. Men her finner en også forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: PUNKTER, RETTE LINJER OG SIRKLER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. A.1: Ved hjelp av linjal kunne trekke linje gjennom to punkter. Trekk en rett linje gjennom punkt A og punkt B: A B A.2: Ved hjelp av passer, kunne slå en sirkel med oppgitt radius. (Første geometriske sted.) Ved hjelp av passeren: Slå en sirkel med radius 3,0cm om punktet P. P A.3: Konstruere de punkter som ligger i gitt avstand fra to oppgitte punkter. Finn ved konstruksjon de punktene som ligger 2,8cm fra A og 3,6cm fra B: A B A.4: Ved hjelp av passer, kunne slå en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Slå en sirkel med sentrum i P og som går gjennom A. P A 5

6 NIVÅ B:SPEILING OM PUNKT, NORMALER, Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. B.1: Ved hjelp av passer og linjal, kunne speile en figur om et punkt. Speil denne trekanten om punktet A: A B.2: Finne punktsymmetri. Er rektangler punktsymmetriske? B.3: Ved hjelp av passer og linjal: Konstruere en midtnormal. (Andre geometriske sted.) Konstruer midtnormalen til linjestykket AB. A B B.4: Ved hjelp av passer og linjal: Oppreise en normal i et gitt punkt (konstruere en rett vinkel). Konstruer en 90º-vinkel i punktet A. A B.5: Ved hjelp av passer og linjal: Nedfelle en normal fra et punkt ned på en linje. Nedfell normalen fra P på linja l : P 6

7 NIVÅ C:SPEILING OM LINJE, PARALLELLE LINJER, 60 -VINKEL, SPESIELLE VINKLER, FINNE FORSVINNINGSPUNKTER OG HORISONTLINJE. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. C.1: Ved hjelp av passer og linjal, speile en figur om en linje. Speil denne trekanten om linja l: l C.2: Finne linjesymmetri. Tegn symmetrilinjene i denne figuren: C.3: Konstruere en parallell linje til en oppgitt linje i en gitt avstand. (Tredje geometriske sted.) Konstruer en parallell linje til linje l i en avstand 3 cm l C.4: Konstruere 60 -vinkel. Konstruer en 60º-vinkel i punktet A: A 7

8 NIVÅ D: HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR, TREKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, PERSPEKTIVTEGNING M/ETT FORSVINNINGSPUNKT Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. D.1: Konstruere en linje som ligger like langt fra to linjer som krysser hverandre. (Halvering av vinkel.) (Fjerde geometriske sted.) Halver v. v D.2: Halvere 90 - og 60 -vinkel. Konstruer en 45º-vinkel i punktet A. A D.3: Med utgangspunkt i en hjelpefigur, konstruere trekanter hvor det er oppgitt vinkler på 30, 45, 60 eller 90. Her ser du en hjelpefigur til ΔABC. Konstruer ABC. 5cm D.4: Konstruere andre vinkler ved halvering: Konstruer en 67,5º-vinkel i punktet A. A D.5: Ved å kombinere de foregående punktene, kunne konstruere en trekant ut fra en hjelpefigur. Her er en hjelpefigur til ABC? Konstruer trekanten. C 75 3cm A B D.6: Konstruere en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel. Konstruer en vinkel i A som er dobbelt så stor som v. A v 8

9 NIVÅ E: ROTASJON, TREKANTKONSTRUKSJON U/HJELPEFIGUR, «FEMTE GEOMETRISKE STED». Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. E.1: Ved hjelp av passer og linjal, rotere en figur om et punkt: Roter dette kvadratet 45 mot klokka om punktet P: P E.2: Finne rotasjonssymmetri: Hvordan er denne figuren rotasjonssymetrisk? E.3: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, konstruere en trekant etter først å ha tegnet en hjelpefigur. I ABC er AB = 5,2cm, AC = 6cm og A = 60. Tegn hjelpefigur til denne trekanten. Konstruer deretter ABC. E.4: Konstruere en trekant ved å anvende «femte geometriske sted»: Konstruer ABC hvor AB er linjestykket her. C = 90º. AC = 2cm. A B E.5: Konstruere en trekant hvor en må bruke geometriske steder. I ABC er AB = 5,2cm. C ligger like langt fra A som fra B og A = 67,5. Tegn hjelpefigur til denne trekanten. Konstruer deretter ABC 9

10 NIVÅ F:KONSTRUERE PARALLELL LINJE VED HJELP AV SAMSVARENDE VINKLER, FIRKANTKONSTRUKSJON Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet konstruksjoner og tegninger. F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer). Konstruer en linje i A som er parallell med linje l. l A F.2: Konstruere en trekant hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarene vinkler. I ABC er B=52,5. AB = 6,2cm og C = 60. Tegn hjelpefigur. Konstruer deretter ABC. F.3: Konstruere en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder. I ABC er B=67,5. AB = 5,5cm og BC = 3,9cm. ABC er en del av firkanten ABCD. CAD=45 og BD=7,4cm. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. F.4: Konstruere en firkant hvor en også må bruke en eller flere av de fem geometriske stedene. I ABC er A=45. AB = 6,1cm. C ligger like langt fra A som fra B. ABC er en del av firkanten ABCD. Punktet D ligger like langt fra AB som fra BC og 4,0cm fra AC. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. F.5: Konstruere en firkant hvor en også kan benytte parallellitet/samsvarende vinkler. ABE er en likebeinet trekant hvor AB = BE = 5cm. A = 75º. Denne trekanten er en del av firkanten ABCD, hvor AB DC. Diagonalene AC og BD skjærer hverandre i det nevnte punktet E. E ligger like langt fra AB som fra BC. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. 10

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: A. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. B. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: C. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Konstruksjoner). Slik kan du konstruere: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du konstruere:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. D. Viktige regneregler blir skrevet med fet, sort skrift og satt i en ramme med gul bakgrunn. Viktige regler vises slik! E. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. 11

12 12

13 NIVÅ A NIVÅ A: PUNKTER, RETTE LINJER OG SIRKLER Konstruksjon er definert som å komme fram til nøyaktige figurer ved hjelp av passer og linjal. Passerspissen skal alltid settes i punkter, som igjen er kryss mellom to linjer. Linjer har bare lengder og er i prinsippet uendelig tynne. Punkter får dermed ingen utstrekning. Ved hjelp av passeren kan en slå sirkler (eller deler av en sirkel). Rette linjer skal trekkes ved hjelp av en linjal. Det må alltid være to gitte punkter for at vi skal ha en entydig linje. Dette virker kanskje pirkete, men har store konsekvenser: En følge av dette er at det er bare noen ganske få vinkler vi kan konstruere. Dessuten kan en ikke tredele alle vinkler. Med dynamiske geometriprogrammer kan en utføre mange operasjoner som en ikke kan gjøre ved hjelp av passer og linjal. Det skyldes at slike programmer kan tegne linjer og figurer ved hjelp av funksjoner. Men dermed bruker en ikke uttrykket «å konstruere» når en bruker disse programmene. I stedet bruker vi uttrykket «å tegne». Starten er altså å slå sirkler og å trekke linjer. 13

14 NIVÅ A A.1: Ved hjelp av linjal, trekke linje gjennom to punkter. Eksempel-oppgave: Trekk en rett linje gjennom punkt A og punkt B: A B BEGREPER Punkt: «Punkt» skulle kanskje ikke være grunn til å definere: Alle vet hva et punkt er. Det viktige her er å fastslå at et punkt ikke har noen utstrekning. Derfor markeres det ved at to linjer krysses. Linje: En rett linje er uendelig lang i begge retninger. En linje har ingen bredde. Linjestykke: Den delen av en linje som ligger mellom to punkter. Et linjestykke har to begrensninger. Nedenfor har vi tegnet løsningen på oppgaven. Den delen av linjen som ligger mellom punktene A og B, kalles linjestykket AB. Stråle: En linje som har én 1 begrensning: Strålen starter i ett punkt og går uendelig langt. FORKLARING Her trenger du en linjal. Den legger du inntil punktene A og B og tegner den rette linja som går gjennom A og B: A B 14

15 NIVÅ A A.2: Slå en sirkel med oppgitt radius. (Første geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Ved hjelp av passeren: Slå en sirkel med radius 3,0cm om punktet P. P BEGREPER Sirkel: Samlingen av alle punkter som ligger i en gitt avstand (for eksempel 3,0 cm) fra et oppgitt punkt. Dette punktet kalles sirkelens sentrum. Sirkelperiferien: Når du har tegnet en sirkel, har du også tegnet sirkelperiferien. Det er altså den delen av sirkelskiven som ligger lengst vekk fra sirkelens sentrum. Radius: Linjestykket som går fra sirkelens sentrum og ut til sirkelperiferien. Diameteren: Det lengste linjestykket som går mellom to punkter på sirkelperiferien. Diameteren går gjennom sentrum. FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren plasserte en markør midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp. Så ga læreren en av elevene en meterstokk og ba denne eleven plassere sin klistrelapp 50 cm fra markøren. Da denne hadde gjort det, fikk to andre elver sjansen til å plassere sine klistrelapper 50 cm fra markøren. Disse elevene plasserte sine klistrelapper slik: Etter at alle elevene hadde plassert sine klistrelapper, så det slik ut: 15

16 NIVÅ A Alle elevene hadde vært svært nøyaktige. Elevene kommenterte at lappene dannet en sirkel. Læreren trakk da en sirkel gjennom alle punktene: Klassen la merke til at alle de andre punktene på sirkel en også lå 50 cm fra markøren. Sirkelen inneholder alle punkter som ligger med en oppgitt avstand til et gitt punkt. Når du skal konstruere en sirkel, gjør du slik: Ved hjelp av en linjal, måler du opp slik at passeren spenner over 3,0 cm. (Vær nøyaktig!) Du setter så passerspissen i punktet P og slår en sirkel: 16

17 NIVÅ A KJEKT Å VITE Geometrisk sted: Samlingen av de punkter som oppfyller bestemte betingelser. På ungdomsskolen vil du møte fem geometriske steder: Sirkelen, midtnormalen, parallelle linjer og halverings-strålen pluss det som bare kalles «femte geometriske sted». Senere vil du møte parabel, hyperbel og ellipse. Et samlebegrep for rett linje, sirkel, parabel, hyperbel og ellipse kalles kjeglesnitt fordi disse figurene kan framkomme ved å skjære en kjegle med et plan. (Egentlig to kjegler som står rett overfor hverandre og som møtes i topp-punktet.) 17

18 NIVÅ A A.3: Konstruere de punkter som ligger i gitt avstand fra to oppgitte punkter. Eksempel-oppgave: Finn ved konstruksjon de punktene som ligger 2,8cm fra A og 3,6cm fra B: A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.2 (Konstruksjon); - og på definisjonen på hva et punkt er, se A.1 (Konstruksjon). FORKLARING Siden vi skal finne punkter som ligger 2,8 cm fra A, må vi slå en sirkel med A som sentrum og med radius 2,8 cm. På samme måten må vi slå en sirkel rundt B med radius 3,6 cm. Skjæringspunktene mellom disse to sirklene vil da ligge både 2,8 cm fra A og 3,6 cm fra B: Punktene C og D ligger på begge de to sirklene og er følgelig løsningene på oppgaven. (Merk at vi her har sirklet inn de to punktene med en liten rød sirkel.) En trenger ikke å slå hele sirkler. Det er nok å slå buer slik at de krysses. Da blir løsningen slik: 18

19 NIVÅ A A.4: Ved hjelp av passer, kunne slå en sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Eksempel-oppgave: Slå en sirkel med sentrum i P og som går gjennom A. P A KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en variant av det å slå sirkel med oppgitt radius, jfr. A.2 (Konstruksjoner). Her får vi oppgitt radiens lengde som avstand mellom to punkter, P og A. Vi kan si: r = PA. FORKLARING Vi setter passerspissen i P og måler avstanden PA ved hjelp av passeren. Dermed har vi funnet radien. Vi slår nå sirkelen: 19

20 NIVÅ A 20

21 NIVÅ B NIVÅ B:SPEILING OM PUNKT, NORMALER, Vi bruker nå det vi har gått gjennom på nivå A til å speile om punkter og til å konstruere normaler. Vi starter med å kombinere det å trekke linjer gjennom punkter og å slå sirkler slik at vi oppnår en speiling. Og da er spranget over til å finne punktsymmetri ikke langt. En annen kombinasjon av rette linjer og sirkler, er normaler. Grunnlaget for alle normaler er midtnormalen. Du kan utfordre dine venner eller din familie til å finne midtnormalen ved å plassere to gjenstander (for eksempel to kopper) på gulvet og be de andre om å plassere for eksempel eggeglass slik at de står like langt fra begge koppene. Etter at du har fått plassert en del eggeglass på gulvet, kan du legge for eksempel en gulvkost mellom koppene og deretter legge et skjerf over alle eggeglassene. 21

22 NIVÅ B B.1: Speile en figur om et punkt. Eksempel-oppgave: Speil denne trekanten om punktet P: BEGREPER Speilingspunkt: Det punktet en skal speile de andre punktene om. Her: «P». Originalpunktet: Punktet som skal speiles. Her: «A». Kopipunktet: Svaret på oppgaven. Her: «A» Speiling om et punkt: Å flytte et punkt langs en linje som går gjennom originalpunktet og speilingspunktet til et kopipunkt og hvor avstanden mellom kopipunktet og speilingspunktet blir like langt som mellom originalpunktet og speilingspunktet. Kongruens: To figurer er kongruente når de har samme form og er like store. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Konstruksjon) og på A.2 (Konstruksjon). FORKLARING Vi løser oppgaven ved først å trekke en linje gjennom A og P. Sett passeren i punktet P og, ved hjelp av passeren, måler vi avstanden mellom A og P og setter av denne avstanden slik at vi finner A (se de blå linjene på figuren nedenfor). Så gjør vi det samme med punktet B (se de grønne linjene på figuren) og til slutt med punktet C (se de brune linjene). Så trekker vi opp den nye figuren A B C (de røde linjene): 22

23 NIVÅ B Dette er framgangsmåten for speiling om et punkt som virker i alle situasjoner. Men av og til blir oppgaven gitt slik at det er enklere metoder. I denne oppgaven kan vi bruke rutenettet. Det holder med å telle ruter, men for sikkerhets skyld bør vi ta med linjene som punktene glir langs: Når vi speiler en figur om et punkt: 1. Original-linjestykket og kopi-linjestykket er like lange. 2. Originallinjene og kopilinjene er parallelle. 3. Vinklene i originalfiguren og i kopifiguren er like store. 4. Originalfiguren og kopifiguren er kongruente (like store og samme form). PUNKTSPEILING ER EN KONGRUENSAVBILDNING 23

24 NIVÅ B B.2: Finne punktsymmetri Eksempel-oppgave: Er rektangler punktsymmetriske? BEGREPER Punktsymmetri: En figur er punktsymmetrisk dersom du kan speile figuren om et punkt slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Symmetripunkt: Speilingspunktet i en punktsymmetrisk figur. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.1 (Konstruksjon) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere, i dette tilfellet rektangler, se A.1 (Lengde Areal Volum).. FORKLARING Vi legger merke til at figuren i oppgaven er et rektangel. Vi leter etter et punkt som vi kan speile rektangelet om slik at kopirektangelet dekker akkurat originalrektangelet. For å finne dette punktet, repeterer vi om rektangler (se A.1 (Lengde Areal Volum)): Diagonalene i et rektangel skjærer hverandre slik at begge diagonalene blir halvert: Svaret på oppgaven blir derfor: Rektangler er punktsymmetriske med diagonalenes skjæringspunkt som symmetripunkt. 24

25 NIVÅ B B.3: Konstruere en midtnormal. (Andre geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Konstruer midtnormalen til linjestykket AB. A B BEGREPER Normal: En linje som danner en 90 -vinkel med en annen linje. To linjer som danner en 90 - vinkel står altså normalt (eller perpendikulært) på hverandre. Rett vinkel: Det samme som en 90 -vinkel. Midtnormal: En rett linje som står normalt på et linjestykke slik at den deler linjestykket på midten. Eller: Samlingen av de punkter som ligger like langt fra to oppgitte punkter. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Konstruksjon) og A.2 (Konstruksjon). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren plasserte to markører midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp: Så ga han en elev om å plassere sin klistrelapp slik at den var like langt fra begge markørene. Denne eleven plasserte klistrelappen midt mellom de to markørene: Læreren spurte om andre ville prøve seg på legge på en klistrelapp. En elev foreslo: Medelevene målte nøye med metermål om den nye klistrelappen lå like langt fra begge begge markørene. Etter en kort diskusjon, slo de fast at den gjorde det. Nå la alle elevene på sine klistrelapper. For hver ny lapp som ble lagt ned, kontrollerte og eventuelt justerte lappene slik at de lå like langt fra begge markørene. Slik så det ut til slutt: 25

26 NIVÅ B Elevene la merke til at lappene nå lå på en rett linje. Læreren trakk så den rette linja. Et par elever sa at den rette linja dannet 90 med linjestykke mellom de to markørene. Læreren trakk opp denne linja også: Klassen la merke til at alle de andre punktene på linja lå like langt fra de to markørene. Midtnormalen inneholder alle punkter som ligger like langt fra to gitte punkter. 26

27 NIVÅ B Når du skal konstruere en midtnormal, bruker du dette: Ettersom midtnormalen består av punkter som ligger like langt fra A som fra B, holder det med å finne to slike punkter. Når vi har funnet to punkter, finner vi midtnormalen som linjen gjennom de to punktene. Vi ønsker å konstruere så nøyaktig som mulig. Derfor ønsker vi at de to punktene ikke skal ligge alt for nær hverandre. Vi begynner med å velge en åpning i passeren. Vi står helt fritt til å velge så stor åpning vi måtte ønske bare åpningen er større enn halvparten av linjestykket AB. Vi velger her en åpning som er omtrent tre kvart av linjestykket AB. Vi setter passerspissen i A og slår en stor bue som går på begge sider av AB (den blå buen). Uten å endre passeråpningen, setter vi så passerspissen i B og slår en omtrent like stor bue (den grønne). Den blå og den grønne buen skjærer hverandre i to punkter som må ligge like langt fra a som fra B. De to punktene må derfor ligge på midtnormalen. Da kan vi trekke opp midtnormalen (den røde linja). Vi har ikke ført noe bevis for at denne linja står normalt på AB. Men intuitivt forstår vi at dersom vinkelen mellom den røde linja og AB er noe annet enn 90, vil punktene på linja komme nærmere for eksempel A enn B. Vi noterer oss også et annet moment: Vi skal senere gå gjennom to andre normal-konstruksjoner. I begge tilfeller bygger vi på konstruksjon av midtnormaler. 27

28 NIVÅ B B.4: Oppreise en normal i et gitt punkt (konstruere en rett vinkel). Eksempel-oppgave: Konstruer en 90º-vinkel i punktet A. A BEGREPER Oppreise en normal: Dette uttrykket bare om situasjoner hvor du skal konstruere en rett vinkel i et punkt på en linje. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på konstruksjon av midtnormaler: B.3 (Konstruksjon). FORKLARING Vi vil bruke konstruksjonen vi gikk gjennom i foregående punkt. Ulempen er at vi ikke har noe linjestykke som vi kan konstruere en midtnormal på. Men det problemet løser vi ved at vi på linja setter av to punkter som er like langt fra A: Vi sette passerspissen i A og slår en bue til venstre for A og (uten å endre passeråpningen) slår en bue til høyre for A. De nye punktene kan vi kalle P og Q. Da har vi fått et linjestykke hvor A er på midten. Nå kan vi konstruere en midtnormal på linjestykket PQ. Siden vi allerede har midtpunktet på dette linjestykket, trenger vi bare et punkt utenfor linja. Det konstruerer vi ved å gjøre akkurat som i B.3 (Konstruksjon): Vi setter passerspissen i P og slår en bue over A (blå bue) og (uten å endre passeråpningen) setter vi passerspissen i Q og slå en bue (som her er grønn). Der buene skjærer hverandre har vi fått et nytt punkt på normalen. Nå kan vi trekke opp normalen: 28

29 NIVÅ B B.5: Nedfelle en normal fra et punkt ned på en linje. Eksempel-oppgave: Nedfell normalen fra P på linja l : P l BEGREPER Nedfelle en normal: Dette uttrykket bare om situasjoner hvor du skal konstruere en rett vinkel fra et punkt som ligger utenfor en linje og ned på linja. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på konstruksjon av midtnormaler: B.3 (Konstruksjon). FORKLARING Også her vil vi bruke det å konstruere midtnormaler. Men vi har ikke noe linjestykke: Linja «l» er uendelig lang. Vi løser dette problemet ved å sette passerspissen i P og slå en bue som skjærer linja i to punkter. Disse to punktene kan vi kalle A og B: Nå konstruerer vi midtnormalen på AB. (Punktet P ligger på midtnormalen siden P ligger like langt fra A som fra B.) Vi gjør nå som i B.3.a (Konstruksjon), bortsett fra at vi ikke trenger mer enn ett nytt punkt på midtnormalen. (Vi plasserer det nye punktet på motsatt side av linja l for å få passende avstand mellom punktene som vi skal trekke normalen gjennom; - dersom denne avstanden er kort, blir konstruksjonen mindre nøyaktig.): Vi setter passerspissen i A og slår en bue (blå) og (uten å forandre passeråpningen) setter passerspissen i B og slår en bue (grønn). Dermed kan vi trekke opp normalen fra P på linja l: 29

30 NIVÅ B 30

31 NIVÅ C NIVÅ C: SPEILING OM LINJE, PARALLELLE LINJER, 60 -VINKEL, SPESIELLE VINKLER. Normaler er en viktig ingrediens i mange konstruksjoner. Det er en forutsetning i speiling om linje og er basis for konstruksjoner av parallelle linjer. (Ved bruk av dynamisk geometriprogram blir denne forbindelsen ikke så klar, men den er der fortsatt.) I tillegg til disse konstruksjonene, lærer en her å konstruere 60. Da har vi lært de to vinkelstørrelsene som en kan konstruere direkte ved passer og linjal. (Det er ikke helt sant: det går an å konstruere også 72.) Dynamisk geometriprogram forenkler og utvider tegning av vinkler. Her holder det med å kunne tegne en oppgitt vinkel. På den måten likner slike programmer på en gradskive. 31

32 NIVÅ C C.1: Speile en figur om en linje. Eksempel-oppgave: Speil denne trekanten om linja l: BEGREPER Speilingslinja: Den linja en skal speile figuren/punktene om. Her: «l». Originalpunktet: Punktet som skal speiles. Her: «A». Kopipunktet: Svaret på oppgaven. Her: «A» Avstand: Avstand fra et punkt til en linje er lengden av normalen fra punktet til linja. Fotpunktet til en normal: En normal står alltid 90 på en linje. Fotpunktet for normalen er der normalen skjærer linja. Speiling om en linje: Å flytte et punkt langs en linje som går gjennom originalpunktet, normalt på speilingslinja til et kopipunkt og hvor avstanden mellom kopipunktet og speilingslinja blir like langt som mellom originalpunktet og speilingslinja. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.5 (Konstruksjon) og på A.4 (Konstruksjon). FORKLARING Vi speiler hvert av hjørnene. Når vi har speilet alle hjørnene, trekker vi opp den nye figuren. Vi skal gå gjennom framgangsmåten for et av hjørnene, nemlig punktet A: Slik kan du konstruere: Sett passerspissen i A og slå en bue (blå) som skjærer linja l to steder: X og Y. 2. Sett passerspissen i X og slå en bue (grønn). 3. Sett passerspissen i Y og slå en bue (brun). 4. Trekk normalen fra A gjennom skjæringspunktet for disse buene. 5. Sett passerspissen i fotpunktet for normalen, F. 6. Mål avstanden FA og slå en bue med dette som radius (rød). Vi finner A. A er speilingspunktet for A.

33 NIVÅ C I praksis setter vi ikke navn på alle punktene vi har brukt; - det holder at vi navngir A. Hint: Dersom vi ikke endrer passeråpningen når vi slår de ulike buene (se nr.1-3 i forklaringen ovenfor), blir skjæringspunktet for buene A -punktet. Nå gjør vi tilsvarende for de to andre punktene. Til slutt trekker vi opp den nye trekanten A B C. Konstruksjonen vil se ut slik: Dette er framgangsmåten for speiling om en linje som virker i alle situasjoner. Men av og til blir oppgaven gitt slik at det er enklere metoder. Her har vi en oppgave i et rutenett: 33

34 NIVÅ C For å løse denne oppgaven holder det med å telle ruter: Når vi speiler en figur om en linje: 1. Original-linjestykket og kopi-linjestykket er like lange. 2. Vinklene i originalfiguren og i kopifiguren er like store. 3. Originalfiguren og kopifiguren er kongruente (like store og samme form). SPEILING OM LINJE ER EN KONGRUENSAVBILDNING 34

35 NIVÅ C C.2: Finne linjesymmetri. Eksempel-oppgave: Tegn symmetrilinjene i denne figuren: BEGREPER Linjesymmetri: En figur er linjesymmetrisk dersom du kan speile figuren om en linje slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Symmetrilinje: Linja i en linjesymmetrisk figur som du kan speile figuren om slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Regulær mangekant: En mangekant (trekant, firkant, femkant o.s.v.) hvor alle sidene er like lange og alle vinklene er like store. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på C.1 (Konstruksjon) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere. FORKLARING Vi legger merke til at figuren i oppgaven er en regulær femkant. Vi ser at det er fem symmetrilinjer i denne figuren: (Du trenger ikke å bevise at midtnormalene på hver side er en symmetrilinje.) 35

36 NIVÅ C C.3: Konstruere en parallell linje til en oppgitt linje i en gitt avstand. (Tredje geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Konstruer en parallell linje til linje l i en avstand 3 cm l BEGREPER Parallelle linjer: To linjer som aldri møtes. Eller: Samlingen av de punkter som ligger i en gitt avstand fra en rett linje. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Konstruksjon), B.4 (Konstruksjon) og på C.1 (Konstruksjon). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren la en planke midt på gulvet og ga hver elev en klistrelapp: Så ga han en elev om å plassere sin klistrelapp slik at den lå 50 cm fra planken. Elevene lurte litt på hva det skulle bety, og læreren avstanden fra klistrelappen og rett ned på planken skulle være 50 cm. De fem første elevene la sine klistrelapper slik: Da kom det en elev som plasserte sin lapp på den andre siden av planken. Etter at alle elevene hadde lagt sine klistrelapper ned, var situasjonen slik: 36

37 NIVÅ C Elevene la merke til at lappene nå lå på to rett linjer som var parallelle med planken. Læreren trakk så de rette linjene med rød tusj: Elevene var enige om at alle punktene på de røde linjene lå 50 cm fra planken: Alle punkter som ligger med en oppgitt avstnd fra en gitt linje, ligger på to parallelle linjer. Når du skal konstruere to parallelle linjer, bruker du dette: I oppgaveteksten sies det at de parallelle linjene skal ha en bestemt avstand; - 3 cm. I C.1.a (Konstruksjon) definerte vi avstand fra en linje til et punkt til å være lengden av normalen fra punktet på linja. Dersom vi kan finne to punkter (som vi kan kalle X og Y) som hver har en avstand til linja på 3 cm, kan vi trekke en rett linje gjennom X og Y. Alle punktene på denne linja vil få en avstand til linja på 3 cm. Oppgaven her blir da å oppreise to normaler på linja og måle 3 cm langs normalene for å lage punktene som vi har kalt X og Y. Vi ser at det kan være to slike parallelle linjer: En over linja «l» og en under «l»: 37

38 NIVÅ C Slik kan du konstruere: C.4: Konstruere 1. På linja 60 -vinkel. «l» satte vi av to tilfeldige punkter, A og B. Konstruer 2. Vi en oppreiste 60º-vinkel en normal i punktet i hvert A: av disse punktene, se B.4 (Konstruksjon). 3. Vi målte opp 3 cm langs hver av normalene og fant punktene X 1, X 2, Y 1 og Y Gjennom X 1 og Y 1 A og gjennom X 2 og Y 2 trakk vi linjer. Disse linjene er paralleller KOPLING til TIL «l» i GJENNOMGÅTT avstand 3 cm. KUNNSKAP 38

39 NIVÅ C C.4: Konstruere 60-graders-vinkel. Eksempel-oppgave: Konstruer en 60º-vinkel i punktet A: A KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Konstruksjon), A.2 (Konstruksjon) og A.4 (Konstruksjon). I beviset for at vinkelen virkelig er 60, bruker vi C.1 (Konstruksjon) og C.2 (Konstruksjon). FORKLARING Slik kan du konstruere: 1. Vi satte passerspissen i A og slo en bue (blå). Buen skar linje l i B. 2. Med samme passeråpning: Vi satte så passerspissen B og slo en bue (grønn). Vi fikk da et kryss. 3. Så trakk vi en stråle gjennom A og krysset. KJEKT Å VITE Vi vil bevise at denne konstruksjonen virkelig gir en vinkel på 60 o. Vi ser på framgangsmåten en gang til, men denne gangen tar vi med hele sirklene: Ettersom vi valgte den samme radius i begge sirklene, må AB = AC = BC. ABC er altså likesidet. Denne trekanten er også symmetrisk med tre symmetriakser (se C.2 (Konstruksjon)): Hver akse er midtnormal på en side. Regelen i C.1 (Konstruksjon) («speiling om en linje er en kongruensavbildning»), medfører først at A = B. Tilsvarende må B = C. Altså er alle vinklene i trekanten like store. Ettersom vinkelsummen i en trekant er 180 o, må hver av vinklene være 60 o. Spesielt er A = 60 o. 39

40 NIVÅ C 40

41 NIVÅ D NIVÅ D: HALVERINGSSTRÅLE, SIRKELSEKTOR, TREKANTKONSTRUKSJON M/HJELPEFIGUR, Vi har lært tre såkalte «geometriske steder», sirkelen, midtnormalen og parallelle linjer; - og alle brukes i konstruksjoner i mer sammensatte oppgaver. Her skal vi gi det fjerde: Halveringsstrålen. Dermed er vi klar til å konstruere trekanter. Dette nivået inneholder flere trekantkonstruksjoner. Det som gjør at det blir stigende vanskelighetsgrad, er hvordan vi konstruerer vinklene i trekanten: Basisen er 90 - og 60 -vinklene. Deretter halverer vi disse til 45 og 30. Så halvere vi mellomrommene og kanskje også adderer vinkler. 41

42 NIVÅ D D.1: Konstruere en linje som ligger like langt fra to linjer som krysser hverandre. (Halvering av vinkel.) (Fjerde geometriske sted.) Eksempel-oppgave: Halver v: BEGREPER Halveringsstråle: En stråle som deler en vinkel i to like store vinkler. Eller: Samlingen av de punkter som har samme avstand til to linjer. Topp-punktet til en vinkel: Punktet hvor vinkelbeinene møtes. Vi kan også si at det er det punktet hvor vinkelen starter og der vinkelbeina stråler ut fra. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Konstruksjon) og på A.2 (Konstruksjon). FORKLARING En dag ryddet 8C pultene inn til veggen slik at gulvet hadde et fritt område. Læreren la to planker midt på gulvet slik at de krysset hverandre og ga hver elev en klistrelapp: Så ba læreren elvene plassere sine klistrelapper slik at de lå midt mellom begge plankene. De første forslagene var slik: 42

43 NIVÅ D Det ble en del diskusjon om hva «avstand» er. Læreren måtte presisere at «avstand» var lengden fra klistrelappen rett ned (eller bort) til planken. Elevene var nøye med å kontrollere at disse klistremerkene lå like langt fra begge plankene. De gjorde det. Etter hvert kom klassen i gang, og til slutt så det slik ut: Elevene la merke til at lappene dannet en rett linje. Læreren trakk en linje gjennom klistrelappene med en rød tusj: Klassen undersøkte punkter på den røde linja hvor det ikke var klistrelapp også lå like langt fra begge plankene. De gjorde det. Læreren anbefalte elevene å måle vinklene mellom planken ved hjelp av en tavlevinkelmåler. Elevene fant ut at vinkelen var blitt halvert. Alle punkter som ligger like langt fra to kryssende linjer, ligger på halveringsstrålen for den mellomliggende vinkelen. 43

44 NIVÅ D Når du skal halvere en vinkel, bruker du denne egenskapen: Slik kan du konstruere: 1. Vi satte passerspissen i vinkelens topp-punkt og slo en bue (blå). 2. Vi satte så passerspissen først i punktet X og slo en bue (grønn) og deretter (med samme passeråpning) i Y og slo en bue (grønn). Vi fikk da et kryss. 3. Så trakk vi en stråle gjennom topppunktet og krysset. KJEKT Å VITE Til nå har vi ikke ført noe bevis for at det vi påstår er korrekt. Vi skal her bevise at når vi gjennomfører konstruksjonen her, så vil vinkelen bli halvert. I beviset skal vi bruke en av fire viktige regler, de såkalte kongruenssetningene. De lyder slik: To trekanter er kongruente dersom enten 1. En side i begge trekantene er like stor og to av vinklene er like store eller 2. To sider i begge trekantene er like store og den mellomliggende vinkelen er like stor eller 3. To sider i begge trekantene er like store og den lengste sidens motstående vinkel er like stor eller 4. Alle tre sidene i begge trekantene er like store. Vi skal bruke den siste setningen. Vi ser på konstruksjonen en gang til. Nå setter vi navn på flere punkter: Topp-punktet kaller vi «A», og skjæringspunktet for de to (grønne) buene kaller vi «B»: Påstand: XAB YAB. Bevis: Det holder å bevise at AXB AYB. Da følger påstanden umiddelbart. 44

45 NIVÅ D AXB AYB fordi: AX = AY (satt av) XB = YB (satt av) AB er felles. Trekantene er da kongruente ut fra 4.kongruenssetning. KJEKT Å VITE Men vi påsto også at alle punktene på halveringsstrålen ligger like langt fra begge linjene. Det har vi enda ikke bevist. Vi må også huske at avstanden fra et punkt til en linje er lik lengden av normalen fra et punkt på linja. Vi lager oss en ny tegning: Vi må altså bevise at et tilfeldig valgt punkt, P, ligger like langt fra AM som fra AN. Påstand: PM = PN Bevis: Det holder å bevise at APM APN fordi da følger påstanden umiddelbart. APM APN fordi: MAP NAP fordi AP halverer A. 0 AMP ANP 90 AP er felles i begge trekantene. Trekantene er kongruente ut fra 1.kvadratsetning. 45

46 NIVÅ D D.2: Halvere 90 - og 60 -vinkel. Eksempel-oppgave: Konstruer en 45º-vinkel i punktet A, deretter en 30º-vinkel. A KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi skal gå gjennom løsningene på begge oppgavene i eksempel-oppgaven. Her kombinerer vi først B.4 (Konstruksjon) og D.1 (Konstruksjon) og deretter C.4 (Konstruksjon) og D.1 (Konstruksjon). FORKLARING Først konstruksjon av en 45 o -vinkel: Slik kan du konstruere: 1. Vi konstruerte 90 o -vinkel i A som i B.4 (Konstruksjon): a. Vi satte passerspissen i A og slo en bue. b. Der buen skar linja «l» satte vi passerspissen og slo bue: Først i P og med samme passeråpning i Q. c. Vi trakk opp normalen. 2. Vi halverte den rette vinkelen i A ved å gjøre som i D.1 (Konstruksjon): a. Der normalen skar den første buen (R), satte vi passerspissen og slo en bue (blå). b. Vi flyttet passeren til Q og med samme passeråpning, slo vi en bue (grønn). c. Vi trakk opp linja fra A gjennom krysset. Denne linja danner 45 o med linja «l»; - og med normalen gjennom A. Dernest konstruksjon av en 30 o -vinkel: Slik kan du konstruere: 1. Vi konstruerte 60 o -vinkel i A som i C.4 (Konstruksjon): a. Vi satte passerspissen i A og slo en bue. b. Der buen skar linja «l», P, satte vi passerspissen og med samme passeråpning slo bue: Vi fant Q. c. Vi trakk beinet til 60 o -vinkel: PQ. 2. Vi halverte 60 o -vinkelen i A ved å gjøre som i D.1 (Konstruksjon): a. Vi satte passerspissen i P og slo en bue (blå). b. Vi flyttet passeren til Q og med samme passeråpning, slo vi en bue (grønn). c. Vi trakk opp linja fra A gjennom krysset. Denne linja danner o med linja «l»; - og med AQ.

47 NIVÅ D D.3: Med utgangspunkt i en hjelpefigur, konstruere trekanter hvor det er oppgitt vinkler på 30, 45, 60 eller 90. Eksempel-oppgave: Her ser du hjelpefigur til ΔABC. Konstruer ABC. 5cm BEGREPER Hjelpefigur: En tegning av en figur hvor alle opplysninger som er gitt er skrevet på. (Det er ikke nødvendig at hjelpefiguren er helt lik den ferdige figuren. Konstruksjonsforklaring: En kortfattet beskrivelse (gjerne i telegramstil) på hvordan en har konstruert. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her setter vi sammen stegene B.4 (Konstruksjon), B.5 (Konstruksjon), C.4 (Konstruksjon) og/eller D.2 (Konstruksjon) og det å sette av lengder (som er A.3 (Konstruksjon)) til trekanter. FORKLARING Vi skal begynne å konstruere figurer. Starten er å konstruere trekanter. (Nesten) alle andre figurer bygges opp ved hjelp av trekanter. Selv om en på dette steget begrenses til å konstruere trekanter som inneholder 30 o -, 45 o -, 60 o - og/eller 90 o -vinkler, så er det en uendelighet av variasjoner. Vi trenger et hjelpemiddel til å klare alle disse variasjonene. Her er hjelpefiguren god å ha. Her kommer en måte å løse oppgaven på. Legg merke til konstruksjonsforklaringen. Den er kortfattet og opplysende. Men til vanlig brukes ikke henvisningene til tidligere steg: Slik kan du konstruere: 1. Avsatte AB = 5 cm på rett linje. 2. Konstruerte 90 o -vinkel i B (blått) (B.4 (Konstruksjon). 3. Konstruerte 30 o -vinkel i A (grønt) (D.2 (Konstruksjon). 4. Der disse vinkelbeinene møtes er C. Trakk opp trekanten. 47

48 NIVÅ D D.4: Konstruere andre vinkler ved halvering: Eksempel-oppgave: Konstruer en 67,5º-vinkel i punktet A. A KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her utvider vi mulighetene som ligger i å sette sammen stegene B.4 (Konstruksjon), C.4 (Konstruksjon) og/eller D.2 (Konstruksjon). FORKLARING I D.2 (Konstruksjon) halverte vi 90 o -vinkel hhv 60 o -vinkel. Her gjør vi litt mer ut av disse vinklene. Etter å ha delt en 90 o -vinkel på to og fått en 45 o -vinkel, kan vi dele mellomrommet mellom 90 o og 45 o. Da får vi en 67,5 o -vinkel. Vi kan sette en 90 o -vinkel og en 60 o -vinkel med samme topp-punkt og et vinkel bein felles. Deler vi mellomrommet mellom disse, får vi en 75 o - vinkel. Slik kan vi fortsette. På den måten kan vi få fram en lang rekke vinkler. Men alt dette har en begrensning: Vi kan bare konstruere 90 o -vinkel og 60 o -vinkel og halvere alle mulige kombinasjoner av disse. Vi kan generelt ikke tredele en vinkel. Derfor kan vi ikke konstruere for eksempel en 80 o -vinkel. Her følger en oversikt over de vinklene som er mest brukt i oppgaver. Noen av dem kan konstrueres på minst to måter: Vinkel Konstrueres ved å Konstrueres ved å 22,5 o Halvere 45 o 37,5 o Halvere mellomrommet mellom Halvere 75 o 30 o og 45 o 52,5 o Halvere mellomrommet mellom Halvere 105 o 45 o og 60 o 67,5 o Halvere mellomrommet mellom 45 o og 90 o Halvere mellomrommet mellom 60 o og 75 o. 75 o Halvere mellomrommet mellom 60 o og 90 o 105 o Halvere mellomrommet mellom Trekke fra 75 o fra 180 o 120 o og 90 o 135 o Trekke 45 o fra 180 o Legge 45 o til 90 o Det er flere mulige kombinasjoner: Alle mellomrommene kan halveres, o.s.v. Her viser vi hvordan en ferdig konstruert vinkel vil se ut: 48

49 NIVÅ D KJEKT Å VITE Vi har sagt at det bare er to vinkler vi kan konstruere: 90 o og 60 o. (Så kan vi halvere disse og halvere mellomrom mellom dem og halvere de nye vinklene som oppstår. I tillegg kan vi addere og subtrahere vinkler.) Men dette er åpenbart for enkelt: Vi kan konstruere så mange vinkler vi vil: Dersom du konstruerer en trekant hvor sidene er 3 cm, 4 cm og 5 cm, så vil den ene vinkelen bli 90 o, mens de to andre vil bli hhv omtrent 36,9 o og 43,1 o. Men for å finne ut hvor store disse vinklene er, må vi bruke et hjelpemiddel som heter trigonometri. Men det finnes en vinkel til som du kan konstruere uten å gå veien om trigonometri, nemlig 72 o. Da må du først høydele en linje: Se først på de sorte linjene og buene: Sett av et linjestykke AB. Oppreis en normal i B og sett av BC halvparten av AB. Sett passerspissen i C og slå en bue med radius CB til punktet D. Sett passerspissen i A og slå en bue med radius AD til punktet E. Se deretter på de røde linjene og buene: Lag midtnormalen på AE. Sett passerspissen i A og slå en bue med radius AB til punktet F. AEF er nå en likebeinet trekant hvor de to like vinklene er 72 o. Den siste vinkelen er halvparten, nemlig 36 o. AEF har spesielle egenskaper: Hvis du halverer en av de to 72 o -vinklene, vil du få en ny trekant som er formlik med AEF. Det er mange andre slike trekanter: I alle trekanter der en vinkel er dobbelt så stor som en av de andre kan du halvere den doble vinkelen og få en ny trekant som er formlik med den første. Men det er bare en 36 o -72 o -72 o -trekant hvor du har to vinkler som du kan halvere og få nye formlike trekanter. Det er en forbindelse mellom denne trekanten og det gylne snitt. (Denne trekanten kalles også «den gylne trekanten».) Og det er forbindelse over til Fibonnacci-tallene. 49

50 NIVÅ D D.5: Ved å kombinere de foregående punktene, kunne konstruere en trekant ut fra en hjelpefigur. Eksempel-oppgave: Her er en hjelpefigur til ABC. Konstruer trekanten. C 75 3cm A B KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her utvider vi D.3 (Konstruksjon) med D.4 (Konstruksjon). FORKLARING Svært ofte lønner det seg å begynne en konstruksjon med oppgitte lengder. Denne oppgaven kan også løses på denne måten. Men vi velger å starte med bare et punkt på en linje: B. Slik kan du konstruere: 1. Trakk linja l og satte av B på den. 2. Konstruerte 90 o -vinkel i B (blått) ((B.4 (Konstruksjon)). 3. Satte av BC = 3 cm på normalen. 4. Konstruerte 75 o -vinkel i C (grønt) ved å halvere mellomrommet mellom 60 o og 90 o (D.4 (Konstruksjon)). 5. Der det venstre vinkelbeinet til 75 o vinkelen traff linja l, er A. 6. Trakk opp linjene i trekanten (rødt). 50

51 NIVÅ D D.6: Konstruere en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel. Eksempel-oppgave: Konstruer en vinkel i A som er dobbelt så stor som v. A v BEGREPER Sirkelsektor: En del av en sirkel: Det som ligger mellom to radier og sirkelbuen: Dette «kakestykket» kalles en sirkelsektor: Korde: Et linjestykke som går mellom to punkter på sirkelen. Det røde linjestykket er en korde: En vinkels størrelse: Vi har mange ganger fortalt hvor stor en vinkel er: For eksempel 60 o eller 90 o. Dette baserer seg på at en sirkel er definert som 360 o. Sirkelen er da delt inn i 360 like store sektorer. En vinkel kan måles ved hjelp av disse sektorene. Til det trenger vi en gradskive. Men i konstruksjoner er det ikke lov å bruke gradskiver. Vi måler en vinkels størrelse ved hjelp av passeren og måler da lengden på korden som hører til. For å sammenlikne vinkler, kan vi sammenlikne kordene. Men da må radiene i de tilhørende sirklene være like store! KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på alle stegene på A-nivået. FORKLARING Når vi skal lage en vinkel som er dobbelt så stor som en oppgitt vinkel, så gjør vi det ved å legge til en vinkel som er like stor den oppgitte vinkelen. Da bruker det vi har sagt om en vinkels størrelse. Først slår vi en bue: Vi setter passerspissen i C og slår en sirkel med BC som radius. Vi kan nå trekke opp den dobbelte vinkel (rød): 51

52 NIVÅ D 52

53 NIVÅ E NIVÅ E: ROTASJON, TREKANTKONST RUKSJON U/HJELPEFIGUR, «FEMTE GEOMETRISKE STED». Vi har lært hvordan vi kan konstruere vinkler med utgangspunkt i 90 - og 60 -vinkler og halvere og addere/subtrahere vinkler. På nivå E skal vi bruke dette til å rotere figurer. Defra er ikke veien lang til å finne rotasjonssymmetrier. På de foregående nivåene har vi gått gjennom grunnlaget for konstruksjon av trekanter og har konstruert trekanter med utgangspunkt i hjelpefigur. Vi har blitt kjent med begrepet «geometriske steder» og går her gjennom det såkalte «femte geometriske sted». På dette nivået skal vi konstruere trekanter ut fra en tekst, altså uten hjelpefigur. Da bør vi starte med å tegne hjelpefiguren. Det er to nivåer i trekant konstruksjoner: Først skal vi konstruere trekanter hvor vi får oppgitt lengder og vinkelstørrelser. Deretter skal vi også bruke noen av de geometriske stedene. 53

54 NIVÅ E E.1: Rotere en figur om et punkt: Eksempel-oppgave: Roter dette kvadratet 45 mot klokka om punktet P: P BEGREPER Rotasjonspunktet: Det punktet en skal rotere figuren/punktene om. Her: «P». Originalpunktet: Punktet som skal speiles. I oppgaven nedenfor: «A». Kopipunktet: Svaret på oppgaven. I oppgaven nedenfor: «A» Rotere: Å dreie en figur om et punkt. Figuren forandrer ikke form eller størrelse. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på D.4 (Konstruksjon). For å gjøre konstruksjonen mindre arbeidskrevende, bruker vi også D.6 (Konstruksjon). FORKLARING Tenk deg at vi setter passerspissen i P, fester den andre enden av passeren i firkanten og dreier hele figuren 45 o mot klokka om P: I praksis roterer vi hvert av hjørnene om P og begynner med A og B. For å rotere 45 o, må vi først konstruere en 90 o -vinkel og halvere den. (Husk at vi skal rotere mot klokka.) (Vi bruker her i praksis D.2 (Konstruksjon).) 54

55 NIVÅ E Så må vi rotere punktene C og D. Vi starter med C: Vi kan da tekke en linje fra P til C og konstruere 45 o på denne linja og rotere C til C 1. Men vi har allerede konstruert en 45 o -vinkel. Det blir mindre å gjøre ved å benytte oss av teknikken fra D.6 (Konstruksjon). Her har vi trukket opp linjestykket PC (blåstiplet). Så målte vi buen BB 1 og slo en bue fra V som da er 45 o. Vi trakk en (blåstiplet) stråle gjennom P og buen vi nettopp konstruerte. Da vet vi i hvilken retning C 1 ligger. For å finne C 1, må vi sette passerspissen i P, og slå en (blå) bue med PC som radius. Der den blå buen skjærer den blåstiplete linja, ligger C 1. Til slutt må vi gjøre det samme for punktet D: Trekk opp PD (grønnstiplet). Mål 45 o fra F 1 og trekk opp en (grønnstiplet) stråle. Sett passerspissen i P og med PD som bue, slå en (grønn) bue. Der den grønne buen skjærer den grønnstiplete strålen, er D 1. Til slutt må vi trekke opp den nye figuren. Den er rød på denne konstruksjonen: 55

56 NIVÅ E 56

57 NIVÅ E E.2: Finne rotasjonssymmetri: Eksempel-oppgave: Hvordan er denne figuren rotasjonssymetrisk? BEGREPER Rotasjonssymmetri: En figur er rotasjonssymmetrisk dersom du kan rotere figuren i en eller annen vinkel slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. Rotasjonspunkt: Punktet i en rotasjonssymmetrisk figur som du kan rotere figuren om slik at kopifiguren er identisk med originalfiguren. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på E.1 (Konstruksjon) og på kunnskapen om den figuren vi skal vurdere. FORKLARING Figuren i eksempel-oppgaven består av to piler som er forbundet med et linjestykke som står 90 o på pilene. Pilene er altså parallelle. Pilene er også like lange. Da ser vi at kan rotere figuren 180 o om midtpunktet på linjestykket: Legg merke til at figuren også er punktsymmetrisk: Alle figurer som er punktsymmetriske er også 180 o rotasjonssymmetriske. Vi kan også merke oss at et kvadrat er rotasjonssymmetrisk med flere vinkler: 90 o, 180 o og 270 o. Et rektangel er rotasjonssymmetrisk med vinkelen 180 o, mens en likesidet trekant er rotasjonssymmetrisk med vinklene: 120 o og 240 o. 57

58 NIVÅ E E.3: Ut fra opplysninger om lengder og vinkelstørrelser, konstruere en trekant etter først å ha tegnet en hjelpefigur. Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,2cm, AC = 6cm og A = 60. Tegn hjelpefigur til denne trekanten. Konstruer deretter ABC. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Forskjellen på dette steget og på D.5 (Konstruksjon), er at her får vi ikke hjelp av en ferdiglaget hjelpefigur. Dersom vi klarer å lage en brukbar hjelpefigur, har vi samtidig klart å redusere vanskeligheten til nettopp D.5 (Konstruksjon). FORKLARING Vi skal gå grundig gjennom hvordan en kan lage en brukbar hjelpefigur. Legg merke til at vi ikke forlanger at hjelpefiguren skal være nøyaktig lik den ferdige trekanten. Sagt på en annen måte: Vi skal tegne (ikke konstruere) en hjelpefigur. Det er ikke feil å tegne en trekant og sette på lengder etterpå, men vi anbefaler å tegne hjelpefiguren stegvis mens vi leser teksten. Vi plukker ut den opplysningen som vi vil starte med. Her vil vi starte med AB = 5,2 cm: (Legg merke til at vi har skrevet på navn på punkter og lengde av figuren.) Den neste 0 opplysningen vi vil ta med er at A 60 : Til slutt setter vi av C og skriver på at AC = 6 cm. Samtidig tekker vi opp BC. Den ferdige hjelpefiguren ser da ut slik: Dermed har vi fått en oppgave som vi løser som en D.5 (Konstruksjon)-oppgave. Og nå kan vi konstruere trekanten i samme rekkefølge som vi har tegnet hjelpefiguren: 58

59 NIVÅ E Slik kan du konstruere: 1. Trakk linje og satte av AB = 5,2 cm (sort). 2. Konstruerte 60 o -vinkel i A (blått), C.4 (Konstruksjon). 3. Satte av AC = 6 cm (grønt). 4. Trakk opp linjene i trekanten (rødt). 59

60 NIVÅ E E.4: Konstruere en halvsirkel over et linjestykke (femte geometriske sted): Eksempel-oppgave: Konstruer ABC hvor AB er linjestykket her. C = 90º. AC=2cm. A B BEGREPER «Femte geometriske sted»: Samlingen av de punkter som er slik at når linjestykkene fra dette punktet til to oppgitte punkter, vil disse linjestykkene danne en 90 o -vinkel. Sagt mye enklere, men også mer uklart (fordi vi da ikke får fram hovedpoenget): «Halvsirkelen over AB». Betegnelse på vinkler: I teksten til eksempel-oppgaven angis en vinkel med én bokstav: C. Dette er uproblematisk så lenge dette gir en entydig opplysning. Men hva skjer dersom det er flere vinkler i et hjørne: Hvordan skal en fortelle at en vil snakke om den grønne vinkelen? Det kan være mange måter å løse dette på. Vi er blitt enige i å bruke tre bokstaver for å fortelle at vi snakker om den grønne vinkelen og vi vil tegne vinkelen. Den første bokstaven sier hvor vi starter tegningen. Vi velger å starte i «S». Så går vi langs vinkelbeinet til vinkelens topp-punkt «C» og deretter ut det andre vinkelbeinet; til «B». Dette skriver vi slik: SCB. Den midterste bokstaven angir vinkelens topppunkt. De to andre bokstavene angir hvor vinkelbeina går. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her anvender vi B.3 (Konstruksjon) i kombinasjon med A.2 (Konstruksjon). I oppgaveløsningen vil en bruke er rekke av de gjennomgåtte stegene. FORKLARING Eksempel-oppgaven ber oss om å konstruere en trekant. Hovedpoenget er allikevel å konstruere 0 C 90. Det får vi til ved å konstruere en halvsirkel med AB som diameter. Da må vi finne midtpunktet på AB; - som er sentrum i halvsirkelen. Vi finner midtpunktet på AB ved å konstruere midtnormalen. Punktet C må ligge på denne halvsirkelen! Men foreløpig vet vi ikke hvor på halvsirkelen punktet C ligger. Da er den siste opplysningen nødvendig. Her følger en gjennomgang på hvordan konstruere denne halvsirkelen. Denne konstruksjonen er felles for alle E.4 (Konstruksjon)-oppgaver. Deretter fullfører vi den spesielle oppgaven som er i 0 eksempel-oppgaven. Etterpå gjennomfører vi et formelt bevis for at C 90, gitt de forutsetninger som er her. 60

61 NIVÅ E Slik kan du konstruere: 1. Konstruerte midtnormalen på AB (blått), B.3 (Konstruksjon). 2. Slo halvsirkelen med M som sentrum og MA som radius (grønt), A.2 (Konstruksjon). Dette er grunnlaget som er nødvendig for å finne C. Slik kan du konstruere: 1. Konstruerte halvsirkelen som er «femte geometriske sted» (sort). 2. Slo bue slik at AC=2cm (blått), A.2 (Konstruksjon). 3. Trakk opp ABC (rødt). KJEKT Å VITE Vi vil bevise det femte geometriske sted, altså at C = 90º forutsatt av at C ligger på en halvsirkel og at vinkelbeinene til C spenner over diameteren til denne halvsirkelen: 61

62 NIVÅ E u v u v Se på BSC: Det er en likebeinet trekant fordi SB = SC = radius. Følgelig er SBC SCB. Vi kaller denne vinkelen for «v». På samme måte er ASC likebeinet fordi SA = SC = radius. Følgelig er SAC SCA. Vi kaller denne vinkelen for «u». Ettersom vinkelsummen i trekanter er 180 o, må: u + u + v + v = 180 o. 2v + 2u = 180 o. 2(v + u) = 180 o. 2 ( v u) v + u = 90 o. Vinkel C er nettopp v + u. Følgelig har vi bevist at C = 90º. KJEKT Å VITE Vi sa over at C spenner over halvsirkelen, d.v.s. at C spenner over 180 o. Når C = 90 o, vil det si at C er halvparten av buen den spenner over (forutsatt at C ligger på sirkelperiferien). Vi ønsker å bevise dette generelt. Altså: En periferivinkel er halvparten så stor som buen vinkelbeina spenner over. Beviset går i to steg. I første steg, går vi tilbake til beviset for at C = 90 o : v y x v Ettersom vinkelsummen i alle trekanter er 180 o, er BSC = 180 2v. Samtidig er BSC = 180 o - ASC. Følgelig må ASC = 2v. Sagt på en annen måte: y = 2v. ABC spenner over buen AC. Størrelsen på denne buen er lik 2v. (Husk hva vi sa om måling av en vinkels størrelse i D.5 62

63 NIVÅ E (Konstruksjon).) Ettersom ABC = v, betyr det at ABC er halvparten så stor som buen den spenner over. Setningen vi skal bevise er altså riktig for vinkler av typen ABC. Men ABC er et spesialtilfelle: Det ene vinkelbeinet er diameteren i sirkelen. Det siste steget i beviset, går slik: Vi skal altså bevise at DBC er halvparten av buen DC, se figuren. 2v v 2u u Det er to alternativer: Enten går vinkelbeina fra topp-punktet B på hver sin side av sirkelens sentrum (S) (slik som er vist i tilfelle overfor), eller så går vinkelbeina på samme side av sirkelens sentrum. Vi skal gjennomføre beviset for det første tilfelle: Vi trekker opp diameteren som går gjennom topp-punktet B (AB). Vi merker oss at: DBC = ABC + ABD. For hver av disse delene av DBC gjelder at periferivinkelen er halvparten av sentralvinkelen når disse spenner over samme bue. Da må det også gjelde for summen. Altså at DBC er halvparten av DSC. Det beviser påstanden vår for det tilfelle at vinkelbeina går på hver sin side av sirkelens sentrum. For det andre tilfelle: At vinkelbeina går på samme side av sirkelens sentrum, gjennomfører vi det samme resonnementet, men med den forskjellen at nå må vi trekke fra vinkeldelene. Vi tar med en illustrasjon av beviset: 63

64 NIVÅ E E.5: Konstruere en trekant hvor en også må bruke geometriske steder. Eksempel-oppgave: I ABC er AB = 5,2cm. C ligger like langt fra A som fra B og A=67,5. Tegn hjelpefigur til denne trekanten. Konstruer deretter ABC KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en videreføring av E.3 (Konstruksjon). Oppgaven mangler hjelpefigur; den skal du lage, og den har alle mulige lengder og vinkelstørrelser. I tillegg må du klare å koble teksten til et eller to geometriske steder. Følgelig kan oppgaven du skal løse bygge på B.3 (Konstruksjon), C.3 (Konstruksjon) eller E.4 (Konstruksjon). (A.2 (konstruksjon) er i alle oppgaver, og D.1 (Konstruksjon) kommer først til anvendelse i konstruksjon av figurer med flere kanter enn 3.) Sagt på en annen måte: Du må bestemme hvilket geometrisk sted du her skal konstruere; - og du har tre alternativer: Midtnormal, parallell linje eller femte geometriske sted. FORKLARING Utfordringen i dette steget er å bestemme hvilket/hvilke geometriske sted(er) som skal anvendes i den konkrete oppgaven. Det finner du ved å lese teksten grundig: Geometrisk sted Egenskap Eksempel på formulering Midtnormal Like langt fra to oppgitte punkter. «C ligger like langt fra A som fra B.» Parallell linje Oppgitt avstand fra en gitt linje «C ligger 4 cm fra AB» 5. geometriske sted En rett vinkel på en halvsirkel. «ACB = 90 o» (Ut fra sammenhengen, kan en konstruere den rette vinkelen på andre måter.) I eksempel-oppgaven er det Midtnormal vi skal konstruere. Først tegner vi hjelpefigur og setter på opplysningene fra oppgaven: 64

65 NIVÅ E Slik kan du konstruere: 1. Satte av AB = 5,2 cm 2. Konstruerte midtnormal på AB (blått): B.3 (Konstruksjon). 3. Konstruerte A = 67,5º (grønt): D.4 (Konstruksjon). 4. Trakk opp sidene i ABC (rødt). 65

66 NIVÅ E 66

67 NIVÅ F NIVÅ F:KONSTRUERE PARALLELL LINJE VED HJELP AV SAMSVARENDE VINKLER, TREKANT- OG FIRKANT- KONSTRUKSJON Vi begynner dette nivået med et svært viktig begrep: «Samsvarende vinkler». Dette bruker vi til å konstruere en trekant som ellers ville være vanskelig å få til uten å regne ut verdier som vi ikke har fått opplyst. Resten av nivået dreier seg om å konstruere firkanter. Hovedgrepet i konstruksjon av firkanter, er starte med å konstruere trekanter og så bygge på en ny trekant. Dermed skulle det være greit å konstruere femkanter eller sekskanter o.s.v: Vi bygger stadig nye trekanter på det vi allerede har på plass. Firkantkonstruksjon deles i tre steg: I første steg har vi fått opplyst lengder og vinkelstørrelser. I andre steg bruker vi de fem geometriske stedene. I det siste steget skal vi dessuten bruke egenskapene til samsvarende vinkler. 67

68 NIVÅ F F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer). Eksempel-oppgave: Konstruer en linje i A som er parallell med linje l. l A BEGREPER Nabovinkler: Når to linjer krysser hverandre, dannes det fire vinkler. To vinkler som ligger rett ved siden av hverandre, kalles nabovinkler: Nabovinkler danner alltid 180 til sammen. Topp-vinkler: Når to linjer krysser hverandre, dannes det fire vinkler. De to vinklene som står rett overfor hverandre, kalles topp-vinkler: Beviset for denne regelen går slik: Toppvinkler er alltid like store Vinklene «u» og «v» er nabovinkler. Da gjelder: u + v = 180 o. Vinklene «w» og «v» er også nabovinkler: w + v = 180 o Altså: u + v = w + v Jeg trekker fra «v» på begge sider av likhetstegnet. Da må: u = w 68

69 NIVÅ F Samsvarende vinkler: To vinkler som har ett vinkelbein felles og dette er høyre eller venstre vinkelbein i begge vinklene. l Her er «a» og «b» samsvarende vinkler fordi linja «l» er felles for begge vinklene og «l» er venstre vinkelbein for både «a» og «b». Dessuten er «a» og «c» også samsvarende fordi linja «l» er venstre vinkelbein for begge vinklene. På samme måte er «u» og «v» samsvarende: Linja «l» er høyre vinkelbein for begge vinklene. Men de blå vinklene og de røde vinklene er ikke samsvarende. Linja «l» er felles vinkelbein for «a» og «v», men «l» er venstre vinkelbein for «a» og høyre vinkelbein for «v». Samsvarende vinkler er ikke nødvendigvis like store. Hvorvidt to samsvarende vinkler er like store, er avhengig av de andre vinkelbeina: Samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Dersom de samsvarende vinklene er like store, er de andre vinkelbeina parallelle. Her er to parallelle linjer overskåret av en tredje linje. Alle de røde vinklene er like store. Dessuten er for eksempel «a» er samsvarende med både «b» og «c». Tilsvarende er alle de blåvinklene like store. Og for eksempel «x» er samsvarende med både «u» og «w». 69

70 NIVÅ F KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på konstruksjon i D.6 (Konstruksjon). FORKLARING I konstruksjonen bruker vi det vi nettopp har gått gjennom. Oppgaven er da å konstruere en vinkel i A som er like stor som «v». Den nye vinkelen og «v» vil være samsvarende, og ettersom vi konstruerer dem like store, vil de andre vinkelbeina bli parallelle. Vi skal altså lage en vinkel som er like stor som en oppgitt vinkel. Ut fra det som er sagt i D.6 (Konstruksjon), må vi ha sammenliknbare korder. Derfor lager vi to sirkler med samme radius: Så tegner vi inn en korde: 70

71 NIVÅ F Nå måler vi lengden av korden ved hjelp av passeren, flytter passeren til den andre sirkelen og, uten å endre passeråpningen, sette passerspissen der den andre sirkelen skjærer linja og slår en bue: Nå trekker vi en linje fra A og fullfører dermed konstruksjonen: Vi trenger ikke å ta med hele sirklene eller korden. Konstruksjonen kan se ut slik når vi er ferdige: KJEKT Å VITE Vi har nevnt to svært viktige regler: 1. Dersom samsvarende vinkler er like store, så er de andre vinkelbeina parallelle. 2. Dersom de to andre vinkelbeina er parallelle, så er de samsvarende vinklene like store. Vi vil bevise disse reglene. I beviset bygger vi på de vi sa i B.1 (Konstruksjon) om at når vi speiler en figur om et punkt, vil original-linjene og kopi-linjene bli parallelle og at originalvinklene og kopi-vinklene være like store. Samtidig minner vi om at topp-vinkler alltid er like store. Vi vil begynne med å bevise at dersom samsvarende vinkler er like store, så er de andre vinkelbeina parallelle. Se på figuren nedenfor: 71

72 NIVÅ F Her skal vi bevise at dersom vinkel «b» er like stor som vinkel «d», så er de andre vinkelbeina parallelle: Vi merker av punktet M, som ligger midt mellom A og B. Nå speiler vi hele figuren om punktet M. Da vil A* falle i B og B* falle i A. Vinklene i speilfiguren vil være like store som originalvinklene. Altså er vinkel «b*» like stor som «b», som er like stor som «d». Når «b*» er like stor som «d» og de har samme topp-punkt, må de andre vinkelbeina også bli sammenfallende. Ettersom «f*» vil bli parallell med «f» og sammenfallende med «h», må «f» og «h» være parallelle. Dermed er første setning bevist. I den andre setningen skal vi bevise at dersom «f» og «h» er parallelle, så må «b» og «d» være like store. (Vi viser til tegningen over.) På nytt speiler vi figuren om M. A* vil falle på B. Ettersom «f*» vil være parallell med «f» og gå gjennom B, vil «f*» bli sammenfallende med «h». Vinkelbeina til «b*» vil falle på vinkelbeina til «d». Da må disse vinklene være identiske. Det beviser den andre setningen. 72

73 NIVÅ F F.2: Konstruere en trekant hvor en må bruke parallelle linjer/samsvarene vinkler. Eksempel-oppgave: I ABC er B=52,5. AB = 6,2cm og C = 60. Tegn hjelpefigur. Konstruer deretter ABC. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på E.3 (Konstruksjon) og på F.1 (Konstruksjon). FORKLARING Vi begynner med å tegne en hjelpefigur. Vi setter av AB = 6,2cm og tegner B=52,5 : Når vi nå skal tegne inn punktet C og trekke CA slik at C=60, ser vi oppgavens vanskelighet: Hvor skal vi plassere C slik at C=60 og slik at venstre vinkelbein i C treffer akkurat i A? Vi kommer tilbake til denne vanskeligheten. Men siden vi nå skal tegne en hjelpefigur, er det ikke viktig at vinkelstørrelsene blir nøyaktige. Vi trekker AC litt tilfeldig. Hjelpefiguren ser da slik ut: Vi konstruerer ved først å tegne opp AB = 6,2cm og deretter konstruere B=52,5, se D.4 (Konstruksjon): 73

74 NIVÅ F Men hvordan skal vi løse vanskeligheten med å finne punktet C? Vi kan regne ut A. (Den er 67,5.) Men det er uakseptabelt: Når vi konstruerer, skal vi bare bruke de oppgitte størrelsene. Vi skal ikke regne ut andre størrelser. Løsningen på vårt problem er å bruke regelen i F.1 (Konstruksjon) om at samsvarende vinkler mellom parallelle linjer er like store. Vi setter av et tilfeldig punkt på høyre vinkelbein til B og kaller det C. I det punktet konstruerer vi en 60 -vinkel. Det nye vinkelbeinet skjærer forlengelsen av AB i A : Vi konstruerer nå en linje som er parallell til A C og som gjennom A. Vi kan bruke metoden som ble gjennomgått i F.1 (Konstruksjon). Men vi skal bruke en annen metode som her er raskere. Den baserer seg på egenskapene til et parallellogram. Metoden kalles parallellogrammetoden: 74

75 NIVÅ F Den viktige egenskapen er at de parallelle linjestykkene er like lange. Ved hjelp av passeren, måler vi avstanden A A og (uten å forandre passeråpningen) setter vi passerspissen i C. Der slår vi en bue. Så måler vi på samme måten avstanden A C og (uten å forandre passeråpningen) setter vi passerspissen i A. Der slår vi en bue. Der buene skjærere hverandre, finner vi det siste hjørnet i parallellogrammet: Der den parallelle linjen til A C som går gjennom A skjærer BC, ligger C. Til slutt trekker vi opp trekanten ABC: 75

76 NIVÅ F 76

77 NIVÅ F F.3: Konstruere en firkant ut fra opplysninger om vinkelstørrelser og lengder. Eksempel-oppgave: I ABC er B=67,5. AB = 5,5cm og BC = 3,9cm. ABC er en del av firkanten ABCD. CAD=45 og BD=7,4cm. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. BEGREPER Hvordan angir vi en figur: Når vi forteller at det finnes en firkant som kalles ABCD, er det en vedtatt regel at hjørnene (som heter hhv A, B, C og D), er i rekkefølge mot klokka: KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på E.3 (Konstruksjon). FORKLARING Når vi skal konstruere firkanter (eller femkanter eller sekskanter etc), gjør vi det ved først å konstruere en trekant, og så føye til nye trekanter. I denne teksten får vi hjelp til akkurat dette grepet ved at den først beskriver ABC. Etter at vi er ferdige med å konstruere ABC, går vi videre med å bygge på ACD. Sagt på en annen måte: Først gjennomfører vi en konstruksjon som i E.3 (Konstruksjon). Deretter fullfører vi oppgaven ved å bygge opp med nye E.3 (Konstruksjon)-oppgaver. Vi skal også tegne hjelpefigur. Vi vil her løse eksempel-oppgaven ved først tegne hjelpefigur til ABC og deretter konstruere denne trekanten: 77

78 NIVÅ F Vi har satt av AB = 5,5 cm, konstruerte ABC 67, 5 ved å konstruere 90 o i B og først halvere den (hvor vi får 45 o ), og til slutt halvere mellomrommet mellom 45 o og 90 o, se D.4 (Konstruksjon). Nå bygger vi ut hjelpefiguren med ACD: Vi føyer til resten av figuren ved å konstruere CAD 45 og måle opp AD = 7,4 cm. Vi kan konstruere CAD 45 ved å konstruere 90 o på AC i A og halvere denne vinkelen. Men det blir mindre å gjøre ved å bruke D.6 (Konstruksjon); husk at vi konstruerte en 45 o -vinkel da vi konstruerte 67,5 o -vinkel i B. Vi konstruerer en like stor vinkel i A. Sammen med en forklaring, blir besvarelsen slik: Slik kan du konstruere: 1. Satte av AB = 5,5 cm 2. Konstruerte ABC = 67,5º; D.4 (Konstruksjon). 3. Trakk opp sidene i ABC. 4. Konstruerte CAD = 45º ved å kopiere like stor vinkel i B; D.6 (Konstruksjon) (blått). 5. Satt av AD = 7,4 cm. 6. Trakk opp sidene i firkanten (rødt). 78

79 NIVÅ F F.4: Konstruere en firkant hvor en også må bruke en eller flere av de fem geometriske stedene. Eksempel-oppgave: I ABC er A=45. AB = 6,1cm. C ligger like langt fra A som fra B. ABC er en del av firkanten ABCD. Punktet D ligger like langt fra AB som fra BC og 4,0cm fra AC. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Foregående steg innebar at vi utførte E.3 (Konstruksjon) to (eller flere) ganger. Vi gjør noe liknende her: Vi skal utføre E.5 (konstruksjon) to (eller flere) ganger. For å få til denne oppgaven, må vi kunne forstå og bruke de geometriske stedene. FORKLARING I E.5 (Konstruksjon) presenterte vi en oversikt over aktuell geometriske steder i en konstruksjon av trekanter. I konstruksjon av mangekanter, kan vi også støte på «Halveringsstråle», se D.1 (Konstruksjon). Geometrisk sted Egenskap Eksempel på formulering Midtnormal Like langt fra to oppgitte punkter. «C ligger like langt fra A som fra B.» Parallell linje Oppgitt avstand fra en gitt linje. «C ligger 4 cm fra AB.» Halveringsstråle Like langt fra to oppgitte linjer. «D ligger like langt fra AB som fra AC.» 5. geometriske sted En rett vinkel på en halvsirkel. «ACB = 90 o.» (Ut fra sammenhengen, kan en konstruere den rette vinkelen på andre måter.) I gjennomføringen av konstruksjonen av den aktuelle mangekanten, gjør vi som i F.3 (Konstruksjon): Vi begynner med en trekant og utvider den med nye trekanter. Vi legger merke til at setningen «C ligger like langt fra A som fra B», innebærer at vi må konstruere midtnormalen på AB. Vi finner ABC ved å sette av AB = 6,1 cm, konstruere midtnormalen på AB og konstruere A 45. Konstruksjonen blir slik: 79

80 NIVÅ F Nå utvider vi denne trekanten med CAD. Legg merke til formuleringen «D ligger like langt fra AB som fra BC». Det innebærer at vi må halvere vinkel B. Tilføyelsen «og 4,0 cm fra AC», innebærer at vi må konstruere en parallell linje til AC. Det kan vi gjøre ved å opprette to normaler: Én i A og én i C. Men vi kan bruke våre kunnskaper om trekanter til å forenkle disse konstruksjonene: Normalen på AC i A får vi til ved bruke D.6 (Konstruksjon), nemlig ved å kopiere 45 o og legge den til normalen i A. Normalen på AC i får vi ved å forlenge BC. Ettersom A 45 og AC = BC må også B 45. Ut fra at vinkelsummen i trekanter alltid er 180 o, må BAC 90. (Slike resonnementer må være med i konstruksjons-forklaringen.) Hjelpefiguren ser slik ut 80

81 NIVÅ F Slik kan du konstruere: 1. Satte av AB = 6,1 cm 2. Konstruerte midtnormalen på AB; B.3 (Konstruksjon). 3. Konstruerte BAC = 45º; D.2 (Konstruksjon). 4. C ligger der vinkelbeinet skjærer midtnormalen. 5. Opprettet normal på AC i C. (Forlenget BC. BCA = 90º fordi BAC = CBA = 45º.) 6. Opprettet normal på AC i A. (Kopierte BAC = 45º og satte denne av slik at jeg fikk en normal: D.6 (Konstruksjon).) 7. Satte av 4,0 cm langs normalene og trakk parallel linje: C.3 (Konstruksjon). 8. Halverte ABC. 9. Der halveringsstrålen skjærer den parallelle linjen ligger D. 10. Trakk opp figuren (rødt). 81

82 NIVÅ F F.5: Konstruere en firkant hvor en også må benytte parallellitet/samsvarende vinkler. Eksempel-oppgave: ABE er en likebeinet trekant hvor AB = BE = 5cm. A = 75º. Denne trekanten er en del av firkanten ABCD, hvor AB DC. Diagonalene AC og BD skjærer hverandre i det nevnte punktet E. E ligger like langt fra AB som fra BC. Tegn hjelpefigur til denne firkanten. Konstruer deretter firkanten ABCD. BEGREPER Diagonal: En linje inne i figuren som går mellom to hjørner i en mangekant : KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer vi F.4 (Konstruksjon) med F.1 (Konstruksjon). FORKLARING Vi løser denne oppgaven på samme måte som vi gjorde i F.4 (Konstruksjon) og F.4 (Konstruksjon). Men i denne konkrete oppgaven begynner vi med ABE, for så å bygge på med flere trekanter. Vi starter med en hjelpefigur for ABE, og konstruerer så denne trekanten. ( ABE kan konstrueres som en E.3 (Konstruksjon)-oppgave; altså uten geometriske steder, selv om setningen «AB = BE = 5 cm» sier at B ligger på midtnormalen for AE. Ettersom vi ikke kjenner lengden til AE, kan vi ikke bruke dette geometriske stedet i konstruksjonen) Konstruksjonen av denne trekanten blir slik: 82

83 NIVÅ F Vi har satt av AB = 5 cm, konstruert 75 o i A (D.4 (Konstruksjon)) og slått en bue fra B med radius 5 cm. Der denne buen skar vinkelbeinet til 75 o -vinkelen ligger E. Nå bygger vi ut denne trekanten. Setningen «E ligger like langt fra AB som fra BC» innebærer at BE halverer B. Ettersom vi har fått størrelsen på ABE, må vi konstruere EBC ABE, se D.6 (Konstruksjon). (Vinklene er 30 o.) Der dette vinkelbeinet skjærer forlengelsen av AE, ligger C. Opplysningen «AB DC» innebærer at vi kan konstruere en parallell linje til AB gjennom C. Ut fra det vi sa i F.1 (Konstruksjon), må BAE ECD. Hjelpefiguren ser slik ut: Slik kan du konstruere: 1. Satte av AB = 5 cm 2. Konstruerte BAE = 75 o ; D.4 (Konstruksjon). 3. Slo bue med radius 5cm fra B. Der buen skar vinkelbeinet var E. 4. Trakk en stråle gjennom B og E og en stråle gjennom A og E. 5. Konstruerte EBC = ABE. Der vinkelbeinet skar strålen fra A gjennom E, ligger C. 6. Konstruerte ACD = BAE. (Like store samsvarende vinkler gir parallelle linjer; F.1 (Konstruksjon).) Der vinkelbeinet skar strålen gjennom BE ligger D. 7. Trakk opp sidene i firkanten ABCD. 83