Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation.

Transkript

1 LÆRERENS D IGITALBOK 3 LDB Flere oppgaver Løsningsforslag Kapittelprøve Verktøyopplæring Twig-arbeidsark Kopioriginaler Kapittel 3 er geometrikapitlet. På 8. trinn har vi valgt å konsentrere oss om konstruk sjoner med passer og linjal, samt målenheter for lengde og areal. Vi har gjennom hele kapitlet et stort fokus på GeoGebra. I kapitlet møter elevene mange viktige begreper. Bruk tid på dem. De grunnleggende ferdighetene er tydelige i oppgavene gjennom hele kapitlet. Elevene skal lese, kommunisere og bruke GeoGebra. Kapitlet har en del oppgaver som er sammensatte hvor elev ene får bruke det de har lært om konstruksjon og om måling i samme oppgave. Bruk forsidebildet som inn ledning til kapitlet. Diskuter med elevene Hva mener dere dette er bildet av? Hvorfor har åkrene denne formen? Hvilke geometriske figurer finner dere i bildet? 150 Kapittel 3 geometri Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation. Få elevene til å reflektere over geometrien de finner i sine omgivelser. Dette kapitlet kan gjerne knyttes opp til andre fag. De fleste mønstre i for eksempel islamsk kunst og arkitektur er basert på repetisjon av et enkelt motiv. Geometriske figurer er blant de mest gjenkjennelige uttrykkene. Vi finner de samme grunnleggen de mønstre med like variasjo ner i mange kjente moskeer og bygninger rundt i verden. Hvordan ble disse mønstrene laget og hvilke teknikker ble brukt for å klare den nøyaktig heten det kreves å få et møn ster til å passe, er et spørsmål en ofte stiller seg når man beundrer disse kunstverkene.

2 3 [N8_2_01_42_ jpg ] Geometri Mål: Du skal vite hvilke konstruksjoner som er nødvendige for å konstruere noen geometriske figurer, bruke målenheter for ulike lengder, kunne forklare begrepet areal og finne arealet av noen mangekanter. Datidens håndverkere hadde en praktisk kjennskap til geometri. De kunne dele en sirkel i tolv like sektorer uten å ha et instrument til å måle vinkler. De kunne konstruere et stort geometrisk mønster i kuppelen på en moské og vite at det grunnleggende mønstret passet perfekt hele veien rundt. Ferdighetene var ikke basert på teori eller matematisk bereg ning de laget mønstret ved å tegne sirkler og linjer i et om det ganske enkelt er brukt tau. Med et tau kan man enkelt lage sirkler eller utføre de fleste konstruksjoner. Her tar man virkelig i bruk sirkelens egen skaper. Korteste avstand mellom to punkter er jo som kjent en rett linje, og til å lage den er òg tau et godt hjelpemiddel. avgrenset område, og deretter repeterte de mønstret på f.eks. en hel vegg. Dette er noe som kjennetegner etnomatematikk i mange kulturer. Finn bilder og bruk dem til inspirasjon. Mange av konstruksjonene tar utgangspunkt i sirkelen. Passe ren er da et nyttig hjelpemiddel. Vi er noe usikre på om de faktisk brukte passer til det vi for eksempel finner i Istanbul, eller Mange mønstre har regulære figurer som utgangspunkt. Vi finner ofte igjen den regulære sekskanten eller kvadratet (regulær firkant). Disse to figurene tesselerer, og det viser seg at de er utgangspunkt for de aller fleste geometriske dekor elementene i islamsk kunst og arkitektur. Selv om mange av figurene kan se kompliserte ut har de et enkelt grunnmønster, noe som gjør dem egnet for samtale og diskusjon. Alle kan finne en figur de kjenner eller kan noe om. Utgangspunkt for dialog om de ulike figurene sine egenskaper kan være med på å bygge opp elevenes kunnskap om geometriske figurer og sette i gang en samtale hvor det er naturlig å ta i bruk de matema tiske begrepene for faktisk å kunne beskrive mønstret og figuren som helhet. 3A linjer, sirkler og vinkler 151

3 Dette oppslaget åpner med alle begreper som inngår i geometri delen dette året. Det er viktig å fokusere på sam menhenger de ulike begrepene opptrer i. Bruk begrepene aktivt sammen med elevene. 3A LINJER, SIRKLER OG VINKLER Etter dette delkapitlet skal du kunne bruke ulike konstruksjoner for å konstruere noen geometriske figurer Vi starter med å vise de ulike konstruksjonene etter vi har gått gjennom de viktigste begrepene som omhandler lengder og vinkler. Vi presente rer tre normalkonstruksjoner, halvering av vinkel og konstruk sjon av en vinkel på 60. Det er disse konstruksjonene som må være på plass for å kunne konstruere ulike figurer som er innenfor pensum på ungdoms trinnet. «Å konstruere en 90» er egentlig å konstruere en normal. «Å konstruere en 45» er først å konstruere en normal for så å halvere vin kelen på 90. Tekstoppgaver gir flere utfor dringer, både å finne den relevante informasjonen og å gjennomføre oppgaven. Her er det viktig at elevene trener på ulike strategier. Å tegne informasjonen eller oppgaven er til stor hjelp for mange. 152 Kapittel 3 geometri sirkel sirkelbue rett linje linjestykke stråle vinkel rett vinkel toppunkt oppreise normal nedfelle normal midtnormal parallell linje likesidet trekant vinkelbein halveringsstråle Arkimedes, gresk vitenskapsmann. Å konstruere en figur med passer og linjal vil si å tegne figuren ved hjelp av passer, linjal og blyant. Vi har ikke lov til å tegne på «frihånd». Du lurer kanskje på hvorfor vi bryr oss med slikt, når det fins PC er og andre hjelpemidler. Vi kan jo lage både snorrette linjer og perfekte sirkelbuer elektronisk. Svaret er at når du lærer hvordan noe kan konstrueres med passer og linjal, bygger du opp en solid forståelse for geometri. [N8_2_02_ jpg [N8_2_03_sy03f315.jpg ] ] Oppfordre gjerne elevene til å gjøre oppgaver på nytt hvis det er noe de ikke har forstått. Bruk gjerne disse oppgavene når elevene skal forklare sin tankegang. La gjerne elevene jobbe to og to. konstruksjon radius Oppslaget starter med et bilde av Arkimedes. Hva er Arki medes mest kjent for? Kanskje det er noen av elevene som vet noe? Start med å lese det som står på side 152. Hvilke begreper er viktige? Vet alle hvordan vi kon struerer en sirkel? La elevene øve seg på det. La dem gjerne konstruere fire sirkler der de avsetter radien og lengden av radien på hver av sirklene. Sett også navn på sirkelbuene. Er det noen som kanskje vet hva en dia meter er? BEGREPER Det enkleste vi kan konstruere med en passer, er en sirkel. Hvis du vil konstruere en sirkel, så velger du en passende åpning i passeren som da vil være radien i sirkelen. Så av setter du et punkt, setter spissen i punktet og slår buen helt rundt. Buen kalles sirkelbuen. 152 Kapittel 3 geometri

4 Oppgave 3.1 Denne oppgaven handler om å øve på de nye begrepene. Den handler også om å bli vant til å bruke passeren. Noen elever har gjort dette mye før og mestrer det bra. For andre kan det være en utfordring med finmotorik ken. Det fins passere på marke det som er stødigere og bedre enn den vanlige skolepasseren. For noen elever blir det viktig å ha et spesielt godt arbeidsred skap for å mestre. Oppgave 3.1 a Tegn et punkt på arket. Konstruer en sirkel med sentrum i punktet. b Konstruer en sirkel med radius 3,0 cm. c Konstruer to sirkler med samme sentrum, én sirkel med radius 2,5 cm og én sirkel med radius 3,2 cm. d Konstruer to sirkler med radius 3,4 cm slik at de to sirklene skjærer hverandre i to punkter. Oppgave 3.2 samarbeid Bruk passeren og konstruerer en sirkel med radius 8,0 cm. Merk av et punkt på sirkelbuen. Sett passerspissen i dette punktet og merk av to punkter til på sirkelbuen ved hjelp av passeren, også nå med 8,0 cm passeråpning. Flytt passer spissen til ett av disse punktene og merk av et nytt punkt på sirkelbuen. Dere skal fortsatt bruke passeråpning lik 8,0 cm. Fortsett hele veien rundt. Hva oppdager dere? Videre skal dere bruke linjal og blyant. Se på figuren deres og diskuter hva dere ser. Hvordan konstruerer vi en sirkel med gitt sentrum? Hvordan konstruerer vi en sirkel med gitt radius? Mange elever synes det er veldig motiverende med [Bilde_N8_2_04] konstruksjon. Dette er noe annerledes enn bare «å regne». Etterpå kan dere lage deres egen figur med deres eget mønster. Oppgave 3.2 Dette er en samarbeidsoppgave. Det betyr ikke at ikke elevene kan lage hver sin figur. La elevene gjerne sitte sammen to og to og lese teksten sammen før de starter med å lage figuren. Hva skal de gjøre? Hvilke begreper er viktige? Denne figuren er tegnet av en elev. 3A linjer, sirkler og vinkler 153 Får elevene en figur tilsvarende figuren i boka? Nei, fordi på figuren i boka er sirkelbuen delt i 10. Figuren etter konstruksjo nen i oppgave 3.2 blir delt i 6. Ved å trekke linjer mellom hvert av punktene på sirkelbuen ser vi at vi får en regulær sekskant. Her er det mye å reflektere over for den «flinke» eleven. Hvilke figurer framkommer i bildet etter konstruksjonen? Hvordan er figuren i boka o p p g av e s a m l i n g e n m e r øv i n g s. 236 oppgave 300 s. 236 mer utfordring konstruert? Hvem klarer å lage en slik oppgave 301 figur? 3A linjer, sirkler og vinkler 153

5 Linjer og vinkler På denne siden er fokuset på begrepene og forskjellene mellom linjestykke, linje og stråle samt vinkel med toppunkt og vinkelbein. Les teksten på side 154 sammen med elevene. Dette er god lesetrening i faget. Teksten må [N8_2_04_3323_001.jpg] leses sammen med tegningene for å gi forståelse. Mange elever strever med å lese sammensatt tekst. La elevene forklare [N8_fig_3_2] med egne ord skriftlig eller muntlig. Hvilke begreper mestrer de? La elevene tegne ulike linjer, linjestykker og stråler, samt vinkler og sette navn på de ulike delene. Gjenta begrepene ofte. Linjer og vinkler Når du tegner en strek med linjal, får du en rett linje. Egentlig er det bare en del av en rett linje du får, for i matematikken er en rett linje uendelig lang i begge retninger. En bit av en rett linje, en slik vi kan tegne med en linjal, kaller vi i matematikken et linjestykke. Et linje stykke har to ende punkter. En stråle er en bit av en rett linje som er uendelig lang den ene veien, og som har ett endepunkt. To linjestykker eller stråler som har et felles endepunkt, danner en vinkel. Det felles endepunktet kalles vinkelens toppunkt. To stråler danner faktisk to vinkler. Strålene som danner vinkler kalles vinkelbein. toppunkt vinkelbein vinkelbein rett linje stråle linjestykke To linjer som skjærer hverandre, danner fire vinkler. Oppgave 3.3 samarbeid a Tegn en linje. Merk av et punkt på linja og tegn en stråle fra punktet. Merk av et nytt punkt på linja, og tegn et linje stykke der det ene endepunktet er i det punktet du merket av. b Sammenlikn det du har tegnet, med figurene til medelever. c Beskriv med dine egne ord hva en linje, et linjestykke og en stråle er. 154 Kapittel 3 geometri Oppgave 3.3 Dette er igjen en samarbeidsoppgave som handler om begrepene. Elevene skal lese, så gjøre. For mange elever er dette enkelt. Introduser GeoGebra så tidlig som mulig slik at elever som trenger utfordring, kommer i gang. GeoGebra er bygd opp slik at det er viktig å kunne begrepene. 154 Kapittel 3 geometri

6 Oppgave 3.4 [L Sirkler, linjer og vinkler kan tegnes ved hjelp av et dynamisk geometriprogram, for eksempel GeoGebra. På elevnettstedet finner du verktøyopplæring som gjør deg i stand til å løse geometrioppgavene ved hjelp av GeoGebra. Du vil også finne for klaring der på hvordan du løser konstruksjonsoppgavene som følger i dette kapitlet. Oppgave 3.4 digital a Tegn et linjestykke som er 6,0 cm. b Tegn to stråler som skjærer linjestykket. c Marker vinkler som dannes i figuren din. d Gjør også denne oppgaven i GeoGebra. Drei på strålene og linjestykket og se hva som skjer med vinklene. Å måle vinkler Vi måler størrelsen av vinkler i grader. For å finne ut hvor mange grader en vinkel er, kan vi bruke en gradskive. På figuren ser vi en vinkel som er 50, en som er 120, en som er 270 og en som er 180. Vi bruker en liten ring oppe bak tallet for å markere at det er grader vi måler i, og vi markerer selve vinkelen med en liten bue inne ved toppunktet. Uttrykket 50 leser vi «50 grader». I denne oppgaven er det en rik mulighet til å repetere og fokusere på riktig begrep. Å tegne et linjestykke betyr at elevene må velge linjestykke med gitt lengde, 6.0. Elevene vil oppdage at de får linjestykke tegnet etter at de har avsatt 6.0. Det fine med å gjøre denne oppgaven i GeoGebra er animasjonen som åpner opp for at vi kan utforske. Hva skjer når vi dreier på strålene og linjestykket? Hvordan endrer vinklene seg? [N8_fig_3_3] A linjer, sirkler og vinkler 155 Å måle vinkler La elevene tegne mange vinkler. La dem måle vinklene med vinkelmåler gradskive. For hver vinkel vil de se at de får to vinkler. Hva er summen av disse vinklene? Jo, summen må alltid være 360. Vi sier at sirkelen er bestemt ved at den danner 360. Halvparten av en sirkel vil da være 180. Da sier vi at vi har en halvsirkel. At vi deler en sirkel opp i 360, er noe vi har bestemt oss for, og har historiske årsaker. Du kan lese mer om dette på nettet: 3/kronometre.html. oppgavesamlingen mer øving s. 236 oppgave 302 3A linjer, sirkler og vinkler 155

7 Siden åpner med et bilde av en gradskive. Se at elevene kan måle vinkler ved hjelp av en gradskive. Her er begrepene spiss og stump vinkel ofte til hjelp for mange elever. Før de begynner med å måle eller tegne en vinkel, tenker de om den er spiss eller stump, og på hva som er forskjellen. Da vil de enklere lese av på riktig skala på[n8_ _linjal.jpg gradskiva. La elevene få øve tildette de mestrer. blide er ikke bra, men En vinkel på 180 tilsvarer en halv sirkel. En hel sirkel («helt rundt») er en vinkel på 360. At sirkelen deles opp i akkurat 360, er noe man har valgt, og som har historiske årsaker. det skal være et bilde her] Oppgave 3.5 Oppgave 3.5 La elevene foreslå omtrent hvor store vinklene er, før [N8_fig_3_5 men utende måler. bokstaver i figuren] Her er tegnet flere vinkler. Mål vinklene med gradskive. Hvor mange grader er vinklene? Be så elevene tegne vinkler som er 360, 180 og 90. Hvordan ser disse vinklene ut? Oppgave 3.6 samarbeid Skriv størrelsen i grader på fem ulike vinkler. Bruk gradskive og tegn de fem vinklene på et annet ark. Bytt med en med elev. Mål vinklene til medeleven med gradskive. Fikk dere riktige svar? 156 Kapittel 3 geometri Oppgave 3.6 Denne oppgaven utfordrer elevene til å gå den motsatte veien. La dem tenke gjennom hvordan vinklene som de har foreslått, kommer til å se ut? Vinkler som er større enn 90, kaller vi for stumpe vinkler, og vinkler som er mindre enn 90, kaller vi spisse vinkler. 156 Kapittel 3 geometri

8 Oppgave 3.7 Oppgave 3.7 samarbeid [Bilde_N8_2_26] Hushjørner og gatekryss danner vinkler. På bildet ser dere en del av København. Bildet er ikke rett ovenfra, slik at vinklene til hushjørner og i gatekryss ikke lar seg måle nøyaktig. Bildet viser en del av Køben havn. Diskuter med elevene hvor vi bruker vinkler i det praktiske liv. Takvinkel er et viktig prinsipp i husbygging. a Finn vinkler på bildet. b Finn vinkler på bildet som er omtrent 90. c Anslå hvor store noen av vinklene på bildet er. Hva betyr takvinkel? Hvor stor er vanligvis en d Bruk et kart eller flyfoto over stedet der dere bor, og gjør det samme som for København. takvinkel? 3A linjer, sirkler og vinkler 157 Hus har ofte rette hjørner. Hva betyr det? La elevene diskutere seg imellom og få et forhold til ulike vinkelstørrelser. o p p g av e samlingen m e r øv i n g s. 236 oppgave 303 3A linjer, sirkler og vinkler 157

9 Oppgave 3.8 Oppgave 3.8 digital Denne oppgaven er merket digital og er ment å gjøres ved hjelp av GeoGebra. Dette handler først om å følge oppskriften for å lage trekanten ABC og sette mål på vinklene. Sørg for [N8_skjermdump_3_1] at elevene klarer det tekniske. Videre er dette en utforskende oppgave. Avsett to punkter, A og B. Tegn en sirkel med sentrum i A og B på sirkelperiferien. Avsett et punkt C på sirkelbuen. Tegn en stråle som starter i A og går gjennom B, og en stråle som starter i A og går gjennom C. Tegn en linje gjennom B og C. Mål vinkler i den figuren du har laget. Hvordan går det med vinklene hvis du flytter på C? Oppdager du noen vinkler du ikke har målt når du flytter C? Hva skjer når vi flytter på C? Jo, vinklene endrer seg, men vi vil fortsatt ha en likebeint trekant der to av vinklene vil være like store. Utfordre de sterkeste elevene på hvorfor det blir slik. (To av vinkelbeina vil alltid være like store fordi de er radius i sirkelen.) Videre ser vi at vi kan måle tre andre vinkler også. På bildet ser vi at vinkelen som er målt fra sentrum i sirkelen, er målt til 115. Den [N8_fig_3_4] ytre vinkelen vil være = 245. Det samme vil det også være med de to andre vinklene. Rett vinkel En vinkel som er 90, kaller vi en rett vinkel. En rett vinkel er altså halvparten så stor som en 180 vinkel. Vi markerer ofte rette vinkler ved å sette en liten rett hake innerst ved toppunktet. Se figuren. To linjestykker, stråler eller linjer som danner en rett vinkel, sier vi står normalt på hverandre. Vi kan også si at de står vinkelrett på hverandre, eller at den ene linja er en normal til den andre linja Kapittel 3 geometri Rett vinkel At en vinkel er en rett vinkel, betyr at det ene vinkelbeinet står normalt på det andre. Vi skal seinere se at å konstruere 90 vil si å konstruere en normal. Når dere tegner eller skal konstruere vinkler som er 90, er det viktig at elevene ikke bare ser vinkler der vinkelbeina er horisontale og vertikale. Dersom de ser en rett vinkel der vinkelbeina ikke er horisontale og vertikale, vil mange elever si at vinkelen ikke er «rett». De har utviklet en misoppfatning. 158 Kapittel 3 geometri

10 Oppgave 3.9 På figuren er det tegnet flere vinkler. Mål vinklene så nøyaktig du kan. I hvilke vinkler står linjene normalt på hverandre? a d b e c Oppgave 3.9 Denne oppgaven er et godt eksempel på at elever som har [N8_fig_3_5] misoppfatning, vil si at ingen vinkler er rette. Hva betyr det at linjene står normalt på hverandre? Jo, da danner de en rett vinkel dvs, at de danner 90. La elevene bruke gradskiva og få så nøyaktige mål som mulig. Dersom elevene har tilgang til GeoGebra, kan de også tegne disse vinklene med målene de fant. Konstruksjoner I matematikken betyr konstruksjon å konstruere linjestykker, sirkler og vinkler med passer og linjal. Når vi konstruerer, er det viktig å være klar over hvilke konstruksjoner vi trenger for å konstruere noen geometriske figurer. Å oppreise en normal Å oppreise en normal i et punkt på en linje vil si å konstruere en linje som står normalt på linja. [N8_fig_3_6] 3A linjer, sirkler og vinkler 159 Konstruksjoner På de neste sidene skal vi konsentrere oss om konstruksjon. Her vil elevene bli presentert for fem konstruksjoner som de bør kunne. Disse konstruksjonene danner grunnlaget for all konstruksjon som elevene vil møte i løpet av ungdomsskolen. Vi starter med de tre normalkonstruksjonene. Disse konstruksjonene er avhengig av hva utgangspunktet er. Har vi et linjestykke, er det greit å konstruere en midtnormal. Har vi en linje og et punkt på linja, konstruerer vi en normal fra punktet på linja. Ligger ikke punktet på linja, men utenfor, må vi konstruere en normal fra punktet til linja. 3A linjer, sirkler og vinkler 159

11 Eksempel 1 Å oppreise en normal Eksempel 1 viser hvordan vi oppreiser en normal der utgangspunktet er en linje og et punkt på linja. La elevene lese eksempel 1 og gjør akkurat slik eksemplet viser. Oppgave 3.10 Denne [N8_fig_3_7] oppgaven er en ren kopi av eksempel 1. La elevene gjøre konstruksjonen helt til de får det til. Utfordre elevene til å tenke gjennom hvorfor vinkelen blir 90. [N8_fig_3_8] [N8_fig_3_9] eksempel 1 å oppreise en normal Vi skal oppreise normalen til linja l i punktet A. Løsning Merk av et punkt A på linja der normalen skal reises opp. Sett passeren i A og konstruer en halvsirkel. Halvsirkelen skjærer linja i B og C. De to punktene ligger like langt fra A. Sett passerspissen i B og lag en liten bue. Gjenta med samme åpning i passeren, nå med passerspissen i C. Skjæringspunktet mellom de to buene ligger like langt fra B som fra C. B B A A C l C l Bruk linjalen og tegn en linje gjennom punktet A og punktet der de to buene skjærer hverandre. Du har nå reist opp en normal i A. Vinkelen mellom de to linjene er 90. B A C l Oppgave 3.10 Tegn en rett linje. Merk av et punkt A på linja. Oppreis normalen til linja i punktet A. Hvor stor er vinkelen mellom linja du startet med, og normalen du konstruerte? 160 Kapittel 3 geometri 160 Kapittel 3 geometri

12 [L Oppgave 3.11 a Tegn en loddrett linje. Merk av et punkt A på linja. Oppreis normalen til linja i punktet A. b Tegn en linje som går på skrå. Merk av et punkt A på linja. Oppreis normalen til linja i punktet A. Å nedfelle en normal Å nedfelle en normal fra et punkt P til en rett linje l vil si å konstruere en linje gjennom P som står normalt på l. P l Oppgave 3.11 Denne oppgaven er ment spesielt for elever som må ha en horisontal linje å starte med. La elevene tegne flere linjer som «er på skrå» også. La dem oppreise normaler i punkter på disse linjene. Dette vil få elever som har misoppfatninger om hva som er rette [N8_fig 3_10] vinkler, til å skjønne at de tok feil. For mange elever vil det hjelpe å snu boka slik at det for dem blir en horisontal linje når de konstruerer. eksempel 2 å nedfelle en normal Vi skal nedfelle normalen fra punktet P på linja l. Løsning P Sett passerspissen i P, og tegn en bue som skjærer linja l i to punkter, A og B. De to punktene har samme avstand til P. A B Sett passerspissen i A og lag en liten bue. Gjenta med samme åpning i passeren, nå med passerspissen i B. Skjærings punktet mellom de to buene ligger like langt fra A som fra B. A P B l l Eksempel 2 Å nedfelle en normal Eksempel 2 viser den andre normalkonstruksjonen, nemlig der punktet ligger utenfor linja. La også elevene her lese [N8_fig_3_11] eksemplet, og gjør akkurat slik eksemplet viser. [N8_fig_3_12] [s 3A linjer, sirkler og vinkler 161 UTFORDRINGER La elever som synes dette er enkelt, gruble på hvordan disse konstruksjonene er forskjellige. Hvorfor blir det 90 i begge tilfellene? La elevene både tegne og konstruere ved hjelp av GeoGebra. LDB 3A linjer, sirkler og vinkler 161

13 [N8_fig_3_13] Bruk linjalen og tegn en linje gjennom punktet P og skjærings punktet som dannes av de to buene. Du har nå nedfelt en normal fra P på linja l. Vinkelen mellom de to linjene er 90. A P B l Oppgave 3.12 Oppgaven er en ren ferdighetsoppgave slik at elevene kan trene på konstruksjonen av en normal fra et punkt til en linje. I tillegg blir også elevene her utfordret til å tegne linjer som ikke er horisontale, slik at misoppfatninger kan bli avslørt. Oppgave 3.12 a Tegn en rett linje. Merk av et punkt P som ikke ligger på linja. Nedfell normalen fra punktet P til linja. b Tegn en ny linje på skrå på arket. Merk av et punkt C til venstre for linja. Nedfell normalen fra punktet C til linja. c Tegn en loddrett linje på arket. Merk av et punkt D til høyre for linja. Nedfell normalen fra D til linja. UTFORDRINGER La elevene både tegne og konstruere ved hjelp av Geo Gebra. Hvor [N8_fig_3_14] brukes de ulike konstruksjonene? Oppgave 3.13 a Tegn en vinkel som er mindre enn 90. Kall toppunktet A. Marker et punkt B på det ene vinkelbeinet. Nedfell en normal fra punktet B til det andre vinkelbeinet. A digital B b Tegn omtrent den samme vinkelen en gang til. Marker et punkt C på det vinkelbeinet der B ikke ble markert. Nedfell en normal fra punktet C til det andre vinkelbeinet. A C 162 Kapittel 3 geometri Oppgave 3.13 Dette er merket som en digital oppgave. Gjør først oppgaven med passer og linjal. Det kan være utfordrende for mange elever fordi linja de skal nedfelle normalen til, er skråstilt. Gjør den så digitalt etterpå. FORENKLINGER Tegn flere vinkler, og avsett et punkt på det ene vinkelbeinet. Nedfell normaler. La elever gjøre dette flere ganger. La dem bruke gradskiva og måle vinkelen. Blir den 90? UTFORDRINGER La elever som trenger utfordringer både tegne og konstruere i GeoGebra. Hva er forskjellen på å tegne og konstruere? 162 Kapittel 3 geometri

14 Oppgave 3.14 samarbeid digital a Tegn et linjestykke AB. Konstruer, ved to ganger å oppreise en normal, en firkant der alle sidene har samme lengde som linjestykket AB. b Sammenlikn firkantene deres. Har alle fått samme type firkant? c Løs oppgaven ved hjelp av GeoGebra. Undersøk om firkanten endrer form hvis du flytter på A eller B. d Kan du se av kravene til firkanten som er gitt i oppgaven, at det må bli en slik firkant? e Hva kalles en slik firkant? Begrunn. Oppgave 3.15 Sammenlikn de to normalkonstruksjonene du har jobbet med nå. a Hva skiller de to konstruksjonene? b Hva er likt når du nedfeller og oppreiser en normal? Oppgave 3.14 Denne oppgaven er også merket digital. Det en fordel at elever jobber to og to når de jobber med GeoGebra. Da kan de sammen finne ut og korrigere hverandre. Problemet her vil være at mange ikke ser at A og B er punkter på en linje. Også her bør elevene både gjøre oppgaven med passer og linjal og ved hjelp av Geo Gebra. La elevene utforske ved å flytte på A og B. Hvorfor vil det alltid være et kvadrat? Hvilke betingelser ligger til grunn for at vi skal ha et kvadrat? Å konstruere en midtnormal Å konstruere en midtnormal på et linjestykke vil si å konstruere en rett linje som står normalt på linjestykket, og som går gjennom midtpunktet på linjestykket. Alle sidene må være like lange, og vinklene må alle være 90. [N8_fig_3_16] Oppgave 3.15 Denne oppgaven er en oppsummering av de to normalkonstruksjonene vi til nå har gjennomgått. La elevene prøve å utrykke hva som skiller disse konstruksjonene, og hva som er likt. Når trenger vi de ulike normalkonstruksjonene? 3A linjer, sirkler og vinkler 163 3A linjer, sirkler og vinkler 163

15 Eksempel 3 Å konstruere en midtnormal Et linjestykke er en avgrenset linje som har to endepunkter. Gjenta begrepene. Hva er forskjellen på en linje, en stråle og et linjestykke? [N8_fig_3_17] eksempel 3 å konstruere en midtnormal Vi skal konstruere midtnormalen på linjestykket AB. Løsning Tegn linjestykket AB. Sett passerspissen i A. Tegn en bue. A B Å konstruere en midtnormal vil samtidig si at vi deler et linjestykke i to. Normalen vil da gå gjennom midtpunktet på linjestykket. [N8_fig_3_18] La elevene lese eksempel tre og gjør akkurat som eksemplet [N8_fig_3_19] viser. Behold åpningen i passeren, sett spissen i B og tegn en bue. De to skjæringspunktene er like langt fra A som fra B. A B UTFORDRINGER Hvorfor blir linjestykket delt i to? Bruk linjal og tegn en linje gjennom de to punktene der buene skjærer hverandre. Denne linja er midtnormalen på AB. A B Oppgave 3.16 Tegn et linjestykke AB. La AB være 8,0 cm. Konstruer midtnormalen til linjestykket AB. Oppgave 3.17 samarbeid digital a Tegn et linjestykke AB som er 9,3 cm. Konstruer midtnormalen til linjestykket. 164 Kapittel 3 geometri Oppgave 3.16 Denne oppgaven er en ren repetisjon av eksempel 3. For elever som trenger det, kan det være lurt å tegne flere linjestykker, også skråstilte og loddrette, slik at de kan øve seg på å konstruere midtnormaler. Oppgave 3.17 Denne oppgaven er merket digital. La elever som trenger det, gjøre oppgaven både med passer og linjal og ved hjelp av GeoGebra. La elever som trenger utfordringer, både tegne og konstruere i LDB GeoGebra. 164 Kapittel 3 geometri

16 b Se på midtnormalen. Hva er felles for alle punkter som ligger på midtnormalen, tror du? Diskuter med en medelev. Hva fant dere ut? c Tegn midtnormalen til et linjestykke AB ved hjelp av GeoGebra. Merk av tre punkter på midtnormalen. Mål av standen fra hvert av punktene til A og B. Hva oppdager dere? Oppgave 3.18 Bruk GeoGebra. a Tegn normalen fra et punkt på en linje. b Tegn normalen fra et punkt til en linje. c Tegn et linjestykke og tegn midtnormalen. Å halvere en vinkel digital Å halvere en vinkel vil si å konstruere en linje som deler vinkelen i to like store vinkler. Linja som deler vinkelen i to like store vinkler kalles halveringsstråle. Oppgave b utfordrer elevene til å se og tenke på hva som kan være felles for alle punktene som ligger på en midtnormal. Dette kaller vi for et geometrisk sted. (Et geometrisk sted er en samling punkter som oppfyller samme krav.) Her er kravet at alle punktene ligger like langt fra A som fra B. Når elevene gjør oppgave c, vil de oppdage at lengdene blir like. Oppgave 3.18 Også denne oppgaven er merket digital. La elevene gjøre disse oppgavene både med [N8_fig_3_20] passer og linjal og digitalt. Oppsummer gjerne de tre normalkonstruksjonene. eksempel 4 å halvere en vinkel Vi skal halvere en vinkel ved hjelp av passer og linjal. Hva er felles ved disse konstruksjonene, og hva er ulikhetene? [N8_fig_3_21] Oppsummer helst i hel klasse. Løsning Sett passerspissen i vinkelens toppunkt og slå en bue som skjærer vinkelbeina i A og B. A og B ligger like langt fra toppunktet. B A 3A linjer, sirkler og vinkler 165 FLERE OPPGAVER. Se oppgavesamlingen side 236 og 237, oppgavene Å halvere en vinkel Tidligere i dette kapitlet har vi sett på ulike vinkler samt normalkonstruksjoner. De to neste sidene viser hvordan vi halverer vinkler ved hjelp av konstruksjon og GeoGebra. Linja som deler vinkelen i to, kalles halveringsstråle. Når vi oppreiser en normal i et punkt på en linje, er det samme konstruksjon som å halvere en vinkel. I dette tilfellet har vi en vinkel på 180 som vi halverer. Halveringsstrålen er også et geometrisk sted. Det geometriske stedet er alle punktene på halveringsstrålen som ligger i samme avstand fra hvert av vinkelbeina. 3A linjer, sirkler og vinkler 165

17 Eksempel 4 Eksemplet viser konstruksjonen av halveringslinja. La elevene lese eksemplet, og gjør som eksemplet viser bit for bit. La elever [N8_fig_3_22] som trenger det, gjøre dette [N8_fig_3_23] flere ganger. Sørg for at elevene mestrer det. Sett passerspissen i A og lag en liten bue. Gjenta med samme åpning i passeren, nå med passerspissen i B. Punktet der buene skjærer hverandre, er like langt fra A som fra B. B A UTFORDRINGER La elever forklare hvorfor halveringsstrålen halverer vinkelen ved konstruksjonen vi gjør. Bruk linjalen, og tegn en linje gjennom vinkelens toppunkt og skjæringspunktet mellom de to buene. Du har nå fått to vinkler som er halvparten så store som den vinkelen du startet med. B A Oppgave 3.19 Dette er en ferdighetsoppgave som handler om å halvere vinkler. Har dere GeoGebra tilgjengelig, kan elevene tegne halveringsstrålen ved hjelp av GeoGebra. Elever som mestrer dette, kan også konstruere halveringsstrålen i GeoGebra. Hva er forskjellen på å tegne og konstruere? Oppgave 3.19 Tegn tre vinkler. Halver alle vinklene, og tegn halveringsstrålene gjennom vinklenes toppunkt og skjæringspunktet mellom buene du fikk ved hver konstruksjon. Oppgave 3.20 Konstruer en vinkel som er 90. Halver vinkelen. Hvor store er de to vinklene du nå har fått? Hva tror du er felles for alle punkter som ligger på halveringsstrålen? Diskuter dette med en medelev. Oppgave 3.20 Her skal elevene konstruere en vinkel som skal være 90. Det kan gjøres på tre måter dersom vi sier at å oppreise normaler er det samme som å halvere en vinkel på 180. Det kommer an på utgangspunktet. Dersom vi halverer en vinkel som er 90, blir halvparten 45. I oppgavene spørres det om hva som er felles for alle punktene på halveringsstrålen. La elevene gjøre oppgaven i GeoGebra. Marker tre punkter på halveringsstrålen, og nedfell normaler til hvert av vinkelbeina. Mål lengdene fra punktene til punktene på vinkelbeina. Da vil elevene oppdage at lengdene er like lange. NB! En avstand i matematikken er alltid den korteste avstanden eller lengden. En annen variant her er å avsette ett punkt, måle Oppgave Kapittel 3 geometri utfordring Tegn et linjestykke AB som er 8,7 cm. Konstruer midtnormalen til linjestykket uten å bruke området under linjestykket. Hvilken konstruksjon har du gjort? Diskuter med en medelev og begrunn hvorfor dette må være riktig. avstanden og deretter flytte på punktet. Elevene vil da se at avstanden hele tiden er den samme til de to vinkelbeina. Når elevene skal «tegne» normaler fra halveringsstrålen til hvert av vinkelbeina, er det ofte misoppfatninger. Mange elever lager normaler fra punktet på halveringslinja. Skjæringspunktet mellom denne normalen og vinkelbeina kaller de da avstanden fra punktet på halveringsstrålen til hvert av vinkelbeina Oppgave 3.20 og 3.21 Disse oppgavene er begge merket utfordring fordi elevene her må vurdere framgangsmåten selv. Det er ikke rene ferdighetsoppgaver. I oppgave 3.21 bruker vi samme triks som før, to punkter som har samme avstand til vinkelbeina, og det spiller ingen rolle hvor de to punktene ligger, de kan gjerne ligge på samme side av linja. 166 Kapittel 3 geometri

18 Oppgave 3.22 a Konstruer en vinkel som er 22,5. b Konstruer en vinkel som er 135. c Konstruer en vinkel som er 67,5. d Konstruer en vinkel som er 225. utfordring e Hvilke konstruksjoner brukte du i de ulike oppgavene? Oppgave 3.23 digital Bruk verktøyet GeoGebra og tegn en vinkel. Halver vinkelen. Sett av tre punkter på halveringsstrålen og tegn normalene fra hvert av punktene til begge vinkelbeina. Mål avstandene. Hva oppdager du? Å konstruere en vinkel som er 60 Når vi vet at vinkelsummen i en trekant er 180, kan vi lage en enkel metode for å konstruere en 60 vinkel. I en likesidet trekant er alle vinklene like store. Alle vinklene er 60. Oppgave 3.22 Oppgaven handler om å sette sammen kjente vinkler, som at 22,5 er halvparten av 45 og 135 er Stort sett er det her foretatt halvering av vinkler, konstruksjoner. Oppgave 3.23 Denne oppgaven er merket digital slik at elevene kan øve seg på å tegne og halvere vinkler ved LDB hjelp av GeoGebra. [N8_fig_3_24] [L eksempel 5 å konstruere en 60 vinkel Vi konstruerer en 60 vinkel. [N8_fig_3_25] Løsning Tegn en linje l. Merk av et punkt A på l som skal bli vinkelens toppunkt. Sett passerspissen i A og slå en bue. Buen skjærer l i B. A B 3A linjer, sirkler og vinkler l 167 UTFORDRING Hva må elevene gjøre dersom de skal konstruere i GeoGebra? Eksempel 5 Å konstruere en vinkel som er 60 Den siste konstruksjonen vi trenger, er å konstruere en vinkel på 60. Eksempel 5 viser metoden vi bruker for å konstruere 60. Arbeid med dette i fellesskap. Utfordre elevene til å forklare hvorfor vinkelen må være 60. Forklaringen blir gitt seinere på side 180. Det fins også en annen forklaring som flere elever vil foretrekke. Da slår de en sirkel og deler sirkelen i 6 deler. 360 dividert med 60 gir 60. oppgavesamlingen mer øving s. 236 oppgave 304 s. 237 oppgave 305 s. 237 oppgave 306 s. 237 oppgave 307 s. 237 oppgave 308 s. 237 oppgave 309 s. 237 oppgave 310 s. 237 oppgave 311 3A linjer, sirkler og vinkler 167

19 Behold åpningen du har i passeren. Sett passerspis sen i B og slå en bue. [N8_fig_3_26] [N8_fig_3_27] B A Bruk linjal og tegn en linje som går gjennom A og det punktet der buene skjærer hverandre. Nå har du konstruert en vinkel på 60. Oppgave 3.24 Her er en konstruksjon av en trekant. Vi starter med å kon struere en vinkel A som er 60. Vi får da en konstruksjon lik siste figur i eksempel 5. Merk at vi skriver vinkel A som A. Nå kan vi konstruere 60 med B som toppunkt. Vi kaller skjær ings punktet mellom vinkelbeina C. Vi ser at vi har fått en trekant. La elevene måle den siste vinkelen med grad skive. A B l Tegnet leser vi «vinkel», så A leser vi «vinkel A». Tilsvarende leser vi B «vinkel B» og C «vinkel C». Oppgave 3.24 Konstruer en trekant, der A og B er 60. Hvor stor er den siste vinkelen? Oppgave 3.25 utfordring a Konstruer en trekant ABC, der A = 60, AB = 7,0 cm og B = 30. Hvor stor er C? Hvorfor er den også 60? b Mål AC og BC. Hva fikk du? c Konstruer en ny trekant ABC, der A = 60 og B = 30, men AB = 5,0 cm. Mål AC og BC. Ser du en sammenheng med det du fant i oppgave a? Oppgave 3.25 [Bilde_N8_2_09] Denne oppgaven er merket utfordring fordi det er en sammensatt oppgave som omhandler alle konstruksjone ne vi har gjennomgått. Vi har ennå ikke gjennomgått vinkel summen i en trekant som alltid må være 180. Likevel vil det sikkert være flere elever som vet det. Beviset står på side d Hva kan du si om alle trekanter som har en vinkel som er 30 og en vinkel som er 60? Oppgave 3.26 samarbeid Konstruer en trekant ABC, der A er 30, AB = 10,0 cm og B = 120. Hvor stor er C? Mål sidene i trekanten. Hva oppdager dere? Beskriv egen skapene til denne trekanten. 168 Kapittel 3 geometri Denne oppgaven kan selvsagt også gjøres ved hjelp av GeoGebra. La elevene jobbe grundig med en oppgave slik at de til en hver tid forstår hva de gjør og hvorfor. Oppgave 3.26 Samtidig er dette en utfors kende oppgave. Ved å konstru ere og måle vil de da oppdage at i en trekant som har vinkler som er 30, 60 og 90, så er den korteste siden halv parten så lang LDB som den lengste siden. Trekanten må være likebeint. Det betyr at to av vinklene i trekan ten må være like store, eller at to av sidene i trekanten må være like lange. 168 Kapittel 3 geometri Denne oppgaven er merket sam arbeid fordi elevene skal gjennom utforsking og måling beskrive egenskaper til denne spesielle trekanten. Finn ut hvordan elevene har formulert seg, og opp summer gjerne i hel klasse.

20 [N8_fig_3_38] [N8_fig_3_39] Konstruere en sirkel [N8_fig_3_40] Oppreise en normal fra et punkt på en linje B A C l [N8_fig_3_41] Nedfelle en normal fra et punkt til en linje P A B [N8_fig_3_42] Konstruere midtnormalen A B [N8_fig_3_27] Halvere en vinkel B A Konstruere en 60 vinkel A B l 3A linjer, sirkler og vinkler 169 FLERE OPPGAVER Se side 237, oppgave Hele side 169 er en viktigboks som oppsummerer de ulike konstruksjonene som er omtalt på sidene foran. Her har vi også valgt å ta med konstruksjon av en sirkel, som ikke er spesifikt omtalt tidligere. Å konstruere en sirkel er nødvendig for alle andre konstruksjoner samtidig som det også er et geometrisk sted. Alle punktene på sirkelperiferien har samme avstand til sentrum i sirkelen. 3A linjer, sirkler og vinkler 169