5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = ="

Transkript

1 til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin u cosu = + + cos( u + v) cosu + sin( u + v)sin u cos( u + v)sin u sin( u + v) cos( u) cos v sin v = = sin( u + v)cosu cos( u + v)sin u sin( u + v)sin( u) + cos( u + v)cos( u) sin v cosv v 55 Bruk matriseregning med homogene koordinater til å vise at en translasjon er sammensetning av to speilinger I oppgave 3310 fant vi matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje gjennom et punkt (ab) som danner vinkelen v med den positive x-aksen For enkelhets skyld lar vi den første av speilaksene gå gjennom origo ammensetningen av to speilinger om parallelle linjer blir da: cos v sin v a cos v bsin v + a cos v sin v 0 sin v cos v a sin v + b cos v + b sin v cos v 0 = a cos v bsin v + a 0 1 asin v + bcos v + b Dette er matrisen til en translasjon 553 Bruk matriseregning med homogene koordinater til å finne matrisen til en gliderefleksjon e oppgave La α være rotasjon om origo vinkel α og β speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen β / med den positive x-aksen Bestem avbildningene (a) α β α 1 α (b) α β α 1 α (c) α a cosα sinα cos β sin β α β = = sinα cosα sin β cos β β β α ( ) cosα cos β sinα sin β cosα sin β + sinα cos β cos α + β sin( α + β ) = = sinα cos β + cosα sin β sinα sin β + cosα cos β sin( α + β ) cos( α + β ) Hvis vi setter α = β får vi α = α iden α α = α α = 0 = I er α = α α + β M-13 Geometri 1

2 til oppgavene i avsnitt 55 b cosα sinα cos β sin β α β = = sinα cosα sin β cos β cosα cos β + sinα sin β cosα sin β sinα cos β cos( α β ) sin( α β ) = = sinα cos β cosα sin β sinα sin β + cosα cos β sin ( α β ) cos( α β ) α = β gir c = = og α α = 0 I α cosα sinα cos β sin β α β = sinα cosα sin β cos β = cosα cos β sinα sin β cosα sin β + sinα cos β cos( α + β ) sin( α + β ) = = sinα cos β + cosα sin β sinα sin β cosα cos β sin( α + β ) cos( α + β ) cos β sin β cosα sinα β α = = sin β cos β sinα cosα cos β cosα + sin β sinα cos β sinα + sin β cosα cos( β α) sin( β α) = = sin β cosα cos β sinα sin β sinα cos β cosα sin ( β α ) cos ( β α ) 555 Hvis a b = c d a Vis at hvis er en -matrise er den transponerte definert ved at cos α sin α = α sinα cosα b Vis at ( ) B B I = så er enten på formen = og ( ) = c Vis at alle de reelle -matrisene som er slik at matrisemultiplikasjon α β α + β β α a c = b d cos θ sin θ = θ eller på formen cosθ = I danner en gruppe ved d Vis at gruppen i c er isomorf med gruppen av plane isometrier med fast fikspunkt a ( a b) ( a b) ( c d ) a b a c a + b ac + bd = = = c d b d ca + db c + d ( a b) ( c d ) ( c d ) 1 0 a c kal denne være lik må de to vektorene og ha lengde 1 og være 0 1 b d a cosθ c ortogonale Da må kunne skrives som og enten som b d M-13 Geometri

3 til oppgavene i avsnitt 55 ( θ + ) ( θ ) cos 90 sinθ cos( θ 90 ) sinθ a b = sin + 90 eller = å da er enten cosθ sin( θ 90 ) cosθ c d cosθ sinθ cosθ sinθ eller cosθ cosθ b Hvis a a B b b a11 b11 + a1 b1 a11 b1 + a1 b = = er B = og a1 a b1 b a1 b11 + a b1 a1 b1 + a b a11 b11 + a1 b1 a1 b11 + a b1 ( B) = a11 b1 + a1 b a1 b1 + a b b11 b1 a11 a1 b11 a11 + b1 a1 b11 a1 + b1 a B = = B = og vi b1 b a1 a b1 a11 + b a1 b1 a1 + b a ser at ( ) B B = ( ) om hoveddiagonalen c Hvis = I og = er opplagt: ransponering er det samme som speiling = I er ( ) B B B B I B B = I Derfor er mengden av matriser slik at derfor en undergruppe = = = = I lukket under sammensetning og er d Isomorfiene med fast fikspunkt origo er enten rotasjoner eller speilinger og har cos sin matriser på formen θ θ = θ eller cosθ cos θ sin θ = θ og disse matrisene er cosθ altså identisk med mengden av matriser slik at = I 556 Oppgavesett 1 oppgave Vi bruker følgende betegnelser for kongruens-avbildninger eller isometrier: La l være en gitt linje Da lar vi l eller enklere L bety speiling i linja l La O være et gitt punkt og v en gitt vinkel Da lar vi O v betegne rotasjon om punktet O en vinkel lik v i positiv dreieretning (mot urviserne) La α være en geometrisk vektor et linjestykke med retning Da lar vi α betegne parallellforskyvningen bestemt ved vektoren α Hvis X og Y er to isometrier lar vi XY bety den sammensatte isometrien ved at Y brukes først og så X Vis følgende: a Er en speiling så er = I b Er l og m to linjer som skjæres i et punkt P og der (l m) = v så er produktet av de to speilingene ML = P v c Er P u og Q v to rotasjoner så er produktet en rotasjon med rotasjonsvinkel (u + v) ltså: Q u P v = K w Vis dette og vis at w = u + v Bestem sentrum K M-13 Geometri 3

4 til oppgavene i avsnitt 55 a Du kan bruke flere slags argumentasjon: P ' ( P) = er definert ved at PP ' l og PQ = QP ' der Q skjæringspunktet mellom PP og l P" ( P ') = er definert ved at P ' P" l og P ' Q = QP" Men da er PP" = PQ + QP" = QP ' + P ' Q = QQ = 0 Men da må P = P" er en direkte isometri som åpenbart har l som fikspunktlinje Da må ifølge eorem 1 Matrisen til speiling om en linje som danner vinkelen θ / med den positive x- cosθ sinθ aksen er = og vi finner cosθ cosθ sinθ cosθ sinθ cos θ + sin θ 0 = I sinθ cosθ sinθ cosθ = = 0 cos θ + sin θ b Her kan du også argumentere på ulike måter: c slik: Du kan resonnere geometrisk ut fra en figur: m l blir en direkte isometri skjæringspunktet mellom l og m som fikspunt og dermed en rotasjon v figuren framgår det at rotasjonsvinkelen blir det dobbelte av v vinkelen mellom l og m Det betyr at ML = P Du kan også se på matrisene til L og M: cosθ sinθ cosα sinα L = M = der θ sinθ sinα sinα hhv α er de dobbelte av vinklene fra den positive x- aksen til m og l Da blir cosθ sinθ cosα sinα L M = = cosθ sinα cosα = I ( θ α ) sin ( θ α ) ( θ α ) cos ( θ α ) cosθ cosα + sinθ sinα cosθ sinα sinθ cosα cos = sinθ cosα cosθ sinα sinθ sinα + cosθ cosα sin og den siste matrisen er matrisen til en rotasjon vinkelen θ α som er den dobbelte av vinkelen mellom l og m er en direkte isometri og et fikspunkt for denne avbildningen kan konstrueres u Q v P M-13 Geometri 4

5 til oppgavene i avsnitt 55 Den er derfor en rotasjon t rotasjonsvinkelen er u+v følger av følgende figur: Du kan også bruke matriser i homogene koordinater men vi skal ikke gå i detalj om dette her 557 Fra Eksamen mai 000 oppgave 3b Gitt to linjer l og m som skjærer hverandre i et punkt l m er 60 Et annet punkt B Vinkelen mellom ( ) ligger også på l og i den rettvinklede trekanten BC er BC = 60 slik figuren viser: l er speiling om linja l m er speiling om linja m og er rotasjon 60 om punktet Bestem følgende tre isometrier: (1) m l ( l anvendt først) () (1) = = m l ml (3) 60 l m () (3) = = altså rotasjon 180 om eller refleksjon om punktet m l = = eller rotasjon om 60 med urviserne l m 558 Fra eksamen mai 1995 oppgave bcd Gitt en linje l og et punkt P La være speiling om l og la være rotasjon om P 180 a Bestem ( anvendes først) og når P ligger på l b Bestem og når P ikke ligger på l c Gitt en likebeint rettvinkla trekant BC med 90 = og la = ( C) l l egn den figuren som framkommer ved gjentatt bruk av og eller en kombinasjon av disse når (i) P= og når (ii) P=B a er speiling m om normalen m til l: er en motsatt isometri og det er lett å se at ethvert punkt på m er et fikspunkt =()= blir rotasjon 180 om P: Det er en direkte isometri og P er fikspunkt for både og og dermed for Det er lett å se at ethvert punkt på l roteres 180 om P M-13 Geometri 5

6 til oppgavene i avsnitt 55 =()=: Det er en motsatt isometri og det er lett å se at ethvert punkt på l er et fikspunkt b La m være normalen fra P på l er en motsatt isometri med m som fikslinje men uten fikspunkt Fotpunktet F for normalen m på l avbildes på et punkt H slik at FH = PF så dette er translasjonsvektoren er en direkte isometri med P som fikspunkt og rotasjonen er på 180 er en motsatt isometri og H=F er et fikspunkt Det er da en speiling og speilaksen er en parallell med l gjennom F c Vi har BC B ' C BC B ' C ' BC B ' C BC ' = BC m ( ) ( ) ( ) BC B ' C ' BC ' = BC BC B ' C m B ' C ' = BC Vi har altså l = l = m og ml = og = = I Enhver sammensetning av og l m " må pga identitetene = I og = I kunne skrives på en av følgende fire former: eller m Men = m = I og = m = I Hvis n er et partall er da = I = = I og = Hvis n = m + 1 er et oddetall er = = m m+ 1 ganger og = = = = = = m l m+ 1 ganger = = m+ 1 ganger m fordi BC B ' C ' B ' C ( BC) m+ 1 ganger Vi får derfor i alle tilfellene bare avbildningene I og m fire trekantene på figuren ovenfor = = og det gir bare de l m M-13 Geometri 6

7 til oppgavene i avsnitt 55 ii) er gliderefleksjon med m=b som speilakse og B som translasjonsvektor er gliderefleksjon med m=b som speilakse og B som translasjonsvektor og må da være translasjoner med 4 B som translasjonsvektor Vi får derfor et periodisk mønster med periode 4 B og de figurene som gjentas er og 559 Vis at produktet av to rotasjoner om to punkter og B med B begge en vinkel π / er det samme som rotasjon en vinkel π om midtpunktet av et kvadrat med B som side B v figuren nedenfor framgår det at E F E så E er et fikspunkt for sammensetningen B Videre ser vi at B C slik at EC = 180 B er derfor rotasjon 180 om E som er midtpunktet i kvadratet BCD 5510 Gitt tre punkter O P og P på ei linje l i planet La være en translasjon PO og la være speiling om midtnormalen på linjestykket OP Vis at ( anvendes først) er speiling om midtnormalen på linjestykket PP Bestem avbildningen U er en direkte isometri som kan settes sammen av fire speilinger om linjer som står normalt på l Den er derfor en translasjon langs en vektor parallell med l Vi har imidlertid U P O P ' P slik at P er et fikspunkt for U som derfor må være identiteten: U=I Men da må = U = U = U er sammensetningen av to speilinger om to linjer normalt på l og er derfor en translasjon ranslasjonsvektoren er Q siden Q er en vektor mellom speilaksene for U og normalt på dem M-13 Geometri 7

8 til oppgavene i avsnitt I planet er gitt to punkter = ( a0) og B ( 0 b) = der a > 0 b > 0 La G 1 være gliderefleksjonen definert ved O og x-aksen og la G være gliderefleksjonen definert ved OB og y-aksen a Finn bildet av et vilkårlig punkt P(xy) ved G 1 G og sammensetningen G G 1 der G 1 anvendes først b Vis at G G 1 er en rotasjon 180 og bestem rotasjonssenteret Vi har ( ) ( ) ( ) 1 ( ) O x x y x + a y x + a y = G x y OB ( x y) ( x y + b) y ( x y + b) = G ( x y) G1 G ( x y) ( x + a y) ( x a y + b) Her vil a b G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 a b a b G a b a b a b GG1 a b G G 1 Videre ser vi at ( 00 ) ( a b) og vi ser at ( 00 )( ) og ( a b) + = + = så dette er et fikspunkt for på linja y = x slik at rotasjonsvinkelen er 180 b a alle ligger 551 La og B være to forskjellige punkter i planet La være rotasjon en vinkel v om punktet som ikke er identitetsavbildningen og en translasjon gitt ved at avbildes på B a Vis at (der anvendes først) er en rotasjon b Konstruer fikspunktet til og vis at rotasjonsvinkelen er v c Vis at det fins en translasjon slik at = a er en direkte isometri med punktet F som fikspunkt jfr figuren nedenfor Den er dermed en rotasjon b F konstrueres slik: Vi starter med å halvere vinkelen v å konstruerer vi normalen m til B i Fra denne avsetter vi vinkelen v/ på samme side som B og oppreiser midtnormalen m på B i begge retninger F er skjæringspunktet mellom kjæringspunktet mellom normalen og vinkelbeinet er F og vi har F G F Videre har vi B og FB = v så er rotasjon vinkelen v om F c er en direkte isometri og den kan ikke ha noe fikspunkt: Hvis ( X ) = X må ( X ) = ( X ) så X måtte være et fikspunkt for translasjonen som er umulig ltså er en translasjon ' = gir = ' M-13 Geometri 8

9 til oppgavene i avsnitt Eksamen i M-104 7mai 005 a egn en trekant BC der C = 90 Konstruer innsirkelen til trekanten og kall sentrum i denne for I Nedfell normalene fra I på hver av de tre sidene Kall fotpunktene for normalene for hhv (på BC) B (på C) og C (på B) b Vis at IB = 135 Vi skal se på følgende isometrier: B C er speilinger om linjene hhv I BI og CI B BC C er speilinger om sidene B BC og C i trekanten B C er rotasjoner hhv om B om B og C om C Bruk positiv omløpsretning på alle rotasjonene c Hvordan kan rotasjonen kan skrives som et produkt av to speilinger der er den ene av dem? d e på symmetrien B ( anvendes først) Har denne symmetrien fikspunkt og i så fall hvilket? Hva slags symmetri er det? Uttrykk symmetrien på en enkel måte e Uttrykk C C som en enkel isometri f Vis at B = B Uttrykk også denne isometrien på en enkel måte g La være isomorfien B C Vis at B er et fikspunkt for Hvordan virker? a b ( ) IB = IC ' + C ' IB = B = B = ( C) ( ) = = c er rotasjon om og kan settes sammen av to speilinger om akser gjennom som danner vinkelen / med hverandre Vi kan sette = B eller = C d I er fikspunkt for både og B og dermed for sammensetningen B B er dermed en direkte isometri med I som fikspunkt og er dermed en rotasjon omkring I M-13 Geometri 9

10 til oppgavene i avsnitt 55 Ifølge b er vinkelen fra ' s speilakse til B ' s speilakse 135 så rotasjonen B har rotasjonsvinkel 135 = 70 eller ekvivalent 90 i negativ retning B er rotasjon 90 om I e C er produktet av to speilinger om akser gjennom C som danner vinkelen 1 C = 45 med hverandre: C = C C = BC C Da er C C = C C C = C C C er altså speiling om C f På samme måte som = B = C er B = BB = BBC Da må = = = 90 B B B B B I g B ' IC CI' gir B ' = IB' IC ' B gir ' = C ' og C ' I = IB ' C C B lt i alt har vi B ' ' C ' B ' så B er et fikspunkt for B C er dermed en direkte isometri med et fikspunkt og dermed en rotasjon Videre B C ser vi at C C C B C " B" der C ligger på B og B ligger på C otasjonsvinkelen er derfor 180 B C er rotasjon 180 om B 5514 Eksamensoppgave mai 1998 oppgave Gitt et punkt i planet og en linje l som ikke går gjennom Normalen fra på l skjærer l i G v l = l er rotasjon om en vinkel v nta at ( ) ' v a Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: ( l l ') B = v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten BC er det tegnet tre likesidede trekanter C ' B B' C og CB ' b Vis for eksempel ved å se på en rotasjon om med rotasjonsvinkel v = 60 at CC ' BB ' C ' C BB ' = 60 Kall skjæringspunktet mellom C C og BB for F Vis = og at ( ) at omsirkelen til C ' B går gjennom F F kalles trekantens Fermatpunkt c Vis at FC = 10 og at firkanten FCB er syklisk (dvs at den har en omsirkel) Hvorfor er også CFB = 10 og firkanten B CF også syklisk? nta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene C ' B B' C og CB ' er P Q og henholdsvis d Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er PQ likesidet? a De to markerte vinklene med toppunkt i hhv og H har vinkelbein som står parvis normalt på hverandre og er dermed like M-13 Geometri 10

11 til oppgavene i avsnitt 55 b Når figuren roteres 60 om vil C avbildes på B og C vil avbildes på B Derfor vil CC avbildes på B B Disse må derfor være like lange siden rotasjoner er isometrier Det C ' C BB ' = 60 Vi kan så ta utgangspunkt i 60 rotasjoner følger da av oppgave a) at ( ) om B og C og bevise at =C C og ( B B ) ( C C) ' ' = ' ' = 60 Dermed er FB + C ' B = 180 og det betyr at C ' BF er syklisk eller ekvivalent at F ligger på omsirkelen til C ' B c FC = FB ' + B ' FC = = 10 og B ' C + FC = 180 så FCB ' er også syklisk t B' CF er syklisk vises på samme måte d Vi ser på omsirklene til B' CF og C ' BF Disse har sentrum i hhv Q og P og begge går gjennom F og B FB blir derfor en felles korde og må derfor stå normalt på linja gjennom sentrene jfr standardkonstruksjonen for midtnormalen på et linjestykke ilsvarende blir P ' og Q CC ' iden BB og CC danner en vinkel på 60 med hverandre vil også sidene i PQ gjøre det ifølge oppg a) Derfor er PQ likesidet M-13 Geometri 11

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009

FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1 Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013

TMA4105 Matematikk 2 vår 2013 TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon

Detaljer

Løsningsforslag uke 42

Løsningsforslag uke 42 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 2 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel B. a Da ABC er 90, blir AC + 8. Siden CAE er 90, blir CE + 8 7. b Vinkelen mellom CE og grunnflata blir vinkel ACE. tan ACE som gir at vinkelen blir

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2008

Løsning eksamen R1 våren 2008 Løsning eksamen R våren 008 Oppgave a) f ( ) ln f ( ) ( ) ln (ln ) ln ln b) c) d) e) ( 4 6) : ( ) 4 6 6 0 64 ( 8) ( 8) 8 8 8 6 lim lim lim 8 8 6 8 ( 8) 8 lg( y ) lg y lg lg lg y lg y lg lg y lg lg y y

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Geometri QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Kapittel.3 3. For eksempel: a) b) c) d) 1 e) Kapittel.4 6. 7. Denne oppgaven kan det være greit å vente med til etter

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag.

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. MA-132 Geometri Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen.. Kristiansand 2009 MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland MA-132 Geometri

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 3 Løsningsforslag Øving 7 9.4.5 La A = (,, 3) og B = (,, ). Finn vektorrepresentasjonen til

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Geometri - MAT 2500. 1 Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012

Geometri - MAT 2500. 1 Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012 Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007

Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 2007 Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave Desember 007 REA30 Matematikk R Programfag Nynorsk/Bokmål Del Oppgave a) Deriver funksjonene ) ln ) g x f x x x 3e x b) Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

Detaljer

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA NOTAT Postboks 133, 6851 SOGNDAL telefon 57676000 telefaks 57676100 TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA 4.05.0 PROSJEKTTITTEL TILGJENGE TAL

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

6 IKT i geometriundervisningen

6 IKT i geometriundervisningen 6 IKT i geometriundervisningen Matematikk som fag står i en særstilling når det gjelder databehandling. Prinsippene som ligger til grunn for datamaskinenes virkemåte kan oppfattes som matematikk. I norsk

Detaljer

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål.

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri har spilt en viktig rolle i matematikken. Emnet spiller en sentral rolle i skolematematikken. På den tredje internasjonale kongressen

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik. Tips til veiledning: Oppgave 1 På figuren er ABCD et kvadrat, mens ABE er en likesidet trekant. Da er ÐAED lik A 10 B 1,5 C 15 D 0 E,5 Skriv på alle kjente vinkler og marker vinkelen dere skal finne på figuren. Marker alle

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1

R1 - Eksamen H Løsningsskisser. Del 1 Oppgave R - Eksamen H0-30..00 Løsningsskisser Del ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x 3 u, u x g x 3 u x 3x x P 3 6 6 6 6 0 Trenger ikke polynomdivisjon, kan faktorisere direkte: x x

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2015 2016. Finale 1. mars 2016 Oppgave 1. Fargelegg et 2016 1010-rutenett som et sjakkbrett, med rute (i, j) hvit når i + j er et partall og svart når i + j er et

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen

RF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende

Detaljer

Arbeidsoppgaver i vektorregning

Arbeidsoppgaver i vektorregning Arbeidsoppgaver i vektorregning Fagdag 17.03.2016 Løsningsskisser! God arbeidsinnsats på disse oppgavene vil som vanlig gi stor gevinst på prøven 18.03.16! Hva man bør kunne etter å ha gjort disse arbeidsoppgavene:

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Forord. Kristiansand, 9. august 2007 Byrge Birkeland. MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland

Forord. Kristiansand, 9. august 2007 Byrge Birkeland. MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland Forord Dette kompendiet er skrevet for å kunne brukes i kurset M-132 Geometri, slik dette er definert i fagbeskrivelsen vedtatt våren 2007. Jeg har skrevet kompendiet i sin helhet, men har bygd videre

Detaljer

Heldagsprøve R Thora Storms vgs.

Heldagsprøve R Thora Storms vgs. R1 HD V01 Heldagsprøve R1-6.04.1 - Thora Storms vgs. Løsningsskisser Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) fp 0. 01p 4 0. 7p 3. 1 f p 0. 01 4p 3 0. 7 0. 084p 3 0. 7 ) gx x 1 x

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

M1_01. Funksjonene f og g er definert ved f( x)= x 1. g( f( x)) er da lik. b ( x + 3) d ( x + 2) e x MA M1 Side 1

M1_01. Funksjonene f og g er definert ved f( x)= x 1. g( f( x)) er da lik. b ( x + 3) d ( x + 2) e x MA M1 Side 1 Funksjonene f og g er efinert ve f( )= 1 og g ( ) = ( +3). M1_01 g( f( )) er a lik a ( 1)( + 3) b ( + 3) 1 c ( ) ( + ) e + 8 MA13001 M1 Sie 1 En funksjon f er efinert ve: M1_0 f( )= 1 hvis < 1 f( )= +1

Detaljer

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene I TIMSS 95 var elever i siste klasse på videregående skole den eldste populasjonen som ble testet. I matematikk ble det laget to oppgavetyper: en for elever

Detaljer

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole

Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega Introduksjon til kjeglesnitt Forfatter: Eduard Ortega 1 Introduksjon Et kjeglesnitt er en todimensjonal figur som beskrives ved skjæringen mellom et plan og en rett, sirkulær kjegle. Alle kjeglesnitt kan

Detaljer

Mal for vurderingsbidrag

Mal for vurderingsbidrag Mal for vurderingsbidrag Fag: Matematikk Tema: Geometri og målinger Trinn: 9, lita gruppe. ----------------------------------------------------- Skole: Lunner ungdomsskole Lærernavn: Sigrid Heier E-postadresse:

Detaljer