Forord. Kristiansand, 9. august 2007 Byrge Birkeland. MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forord. Kristiansand, 9. august 2007 Byrge Birkeland. MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland"

Transkript

1 Forord Dette kompendiet er skrevet for å kunne brukes i kurset M-132 Geometri, slik dette er definert i fagbeskrivelsen vedtatt våren Jeg har skrevet kompendiet i sin helhet, men har bygd videre på tidligere versjoner av kurset. Mye av stoffet i kapittel 1 bygger på Hans Erik orgersens og Trygve reiteigs kompendium Notater i Geometri [1]. Mye av stoffet i kapittel 5 bygger på Hans Erik orgersens kompendium Geometriemner [2], og jeg har brukt noe stoff fra Trygve reiteigs kompendium Projektiv geometri [3] i kapittel 6. Den viktigste forandringen i forhold til tidligere versjoner av kurset er at det er tatt med et kapittel om vektorregning. Nytt er også kapitlet om abri, og jeg har tatt med små kapitler om matriser og grupper. Øvingsoppgavene er for en stor del hentet fra kompendiene til reiteig og orgersen, og også fra lfsen og Hansens kompendium i Fo4 Vektorregning [4]. Dessuten er det gjengitt en rekke eksamensoppgaver fra de tidligere versjoner av geometri-kurset. Kompendiet vil bli foreligge både i papirversjon og i elektronisk versjon på internett. Den elektroniske versjonen vil inneholde lenker til løsningsforslag til de fleste av oppgavene, og innholdsfortegnelsen vil også fungere som lenker til de forskjellige avsnittene. Kristiansand, 9. august 2007 yrge irkeland M-132 Geometri 1 yrge irkeland

2 Innhold 1 Euklidsk geometri Grunnbegreper og notasjoner Punkt Linje Parallelle linjer, parallellaksiomet Stråle Lengder og avstander Linjestykke Vektor Trekant Vinkel Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn Firkant Polygoner Geometriske steder, sirkler og ellipser Isometrier og kongruens Isometrier og rette linjer Isometrier og parallellitet Isometrier og trekanter Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Normalen til en linje i et punkt på linja Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Halveringslinja for en vinkel Likesidet trekant lternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje ndre vinkler Likebeinte trekanter Oppgaver Elementære teoremer Toppvinkler Ytre vinkel i trekant Setningen om samsvarende vinkler Summen av vinklene i en trekant Vinklene i likebeinte trekanter Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Similariteter og formlikhet Setninger om similariteter Transversalsetningen Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold real...26 M-132 Geometri 2 yrge irkeland

3 1.7.1 realet av en trekant realet av et parallellogram realet av et trapes realet av et polygon Pythagoras setning Thabit ibn Qurras bevis Euklids bevis for Pythagoras setning Det omvendte av Pythagoras setning Oppgaver (Eksamen i grunnskolen 1993) Egenskaper ved sirkler Thales setning om periferivinkler Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen Trekant med gitt side og motstående vinkel Sirkelens omkrets og areal. realet av sirkelsektorer og -segmenter Et punkts potens med hensyn på. en sirkel Mellomproporsjonalen Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant Trigonometriske funksjoner real av sirkelsektor og sirkelsegment Noen egenskaper ved trekanter Omsirkelen til en trekant Sinussetningen osinussetningen eller den utvidede Pythagoras setning Herons formel for arealet av en trekant Innsirkelen til en trekant Høydene i en trekant Medianene i en trekant Egenskaper ved firkanter Varignons setning Sykliske firkanter Det gylne snitt Regulær tikant og femkant Papirformat Firkant og trekant med samme areal Oppgaver M-132 Geometri 3 yrge irkeland

4 (Eksamen i grunnskolen 1991) Tangentkonstruksjoner Lenker til løsningsforslag Eksamensoppgaver i euklidsk geometri ugust 2003, oppgave Mai 2002, oppgave Mai 2001, oppgave Mai 2005, oppgave Mai 2000, oppgave Mai 2000, oppgave Mai 1996, oppgave Mai 1999, oppgave Mai 2003, oppgave M-132 Geometri 4 yrge irkeland

5 Mai 2007, oppgave Mai 2007, oppgave Mai 1994, oppgave Mai 1996, oppgave Mai 1997, oppgave Mai 1999, oppgave Mai 2001, oppgave ugust 2003, oppgave Mai 2005, Oppgave Mai 2006, oppgave Mai 2006, oppgave September 2006, oppgave September 2006, oppgave September 2006, oppgave Lenker til løsningsforslag: Vektorer lgebraiske operasjoner på vektorer Eksempel Vektorprojeksjon og skalarprojeksjon Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag: Koordinatsystem Vektoroperasjoner og koordinater Oppgaver Lenker til løsningsforslag: Skalarproduktet av to vektorer Eksempel Eksempel Eksempel Koordinatformler for skalarproduktet Oppgaver M-132 Geometri 5 yrge irkeland

6 Lenker til løsningsforslag: Vektorproduktet Eksempel Trippelproduktet Eksempel Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag Ligningen for rette linjer og plan Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Oppgaver...68 M-132 Geometri 6 yrge irkeland

7 Lenker til løsningsforslag Matriser og geometri Matriseregning Kolonnevektorer Lineære avbildninger og matriser Matriser til noen kjente avbildninger Polarkoordinater Rotasjoner Speiling om en linje Homotetier Translasjoner og homogene koordinater Gliderefleksjoner Oppgaver Lenker til løsningsforslag Grupper i geometri Definisjoner Eksempel: Z Eksempel: Z n Eksempel: Symmetrigrupper Eksempel: Rotasjoner Oppgaver M-132 Geometri 7 yrge irkeland

8 4.2.8 Lenker til løsningsforslag Permutasjoner Eksempel Eksempel Den n-te dihedrale gruppen Eksempel: D Undergrupper Homomorfier og isomorfier Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag Isometrier og similariteter Fikspunkt og fikslinjer Fire typer av isometrier Speilinger om en rett linje Rotasjon om et punkt Translasjon Gliderefleksjon Klassifikasjon av isometrier Isometrier med fikspunkt Isometrier uten fikspunkt Oppgaver Fra Eksamen mai 2000, oppgave 3b Fra eksamen mai 1995, oppgave 2 b,c,d Eksamen i M mai Eksamensoppgave mai 1998, oppgave Symmetrigruppen til en plan begrenset figurer Oppgaver Eksamensoppgave mai 1997, oppgave M-132 Geometri 8 yrge irkeland

9 5.7.2 Eksamen mai 1998, oppgave Eksamen mai 1999, oppgave Eksamen mai 2001, oppgave Eksamen august 2003, oppgave Mai 2005, oppgave Mai 2007, Oppgave Lenker til løsningsforslag Klassifikasjon av similariteter Eksempel: Von Kochs snøflakkurve Oppgaver Lenker til løsningsforslag: andmønstre Symmetrigruppen r Symmetrigruppen r11m Symmetrigruppen r11g Symmetrigruppen r1m Symmetrigruppen r Symmetrigruppen r2mm Symmetrigruppen r2mg Oppgaver Dobbeltperiodiske mønstre, fliselegging Generelt parallellogramnett Rektangulært nett Sentrert rektangulært nett Kvadratisk nett Heksagonalt nett ndre emner om flislegging Oppgaver Tegning av tredimensjonale figurer Parallell-projeksjoner Sentralprojeksjon og perspektivtegning Perspektivtegning med ett fluktpunkt Perspektivtegning med to fikspunkt Perspektivtegning med tre fluktpunkt Oppgaver Eksamen mai 2007, oppgave Mai 2006, oppgave September 2006, oppgave Mai 2005, oppgave Innføring i abri Pek på - menyen Punkt-menyen M-132 Geometri 9 yrge irkeland

10 7.3 Linje-menyen Sirkel-menyen Konstruksjons-menyen Transformasjonsmenyen Makro-menyen Spørsmåls-menyen Menyen for numeriske størrelser og beregninger Diverse-menyen Format-menyen Øvingsoppgaver Trekant med medianer. abri-fil her. Løsning her Omsirkel med makro. abri-fil her. Løsningsforslag her Innsirkel med makro. abri-fil her. Løsningsforslag her Speilinger og translasjoner. abri-fil her. Løsningsforslag her Rotasjoner. abri-fil her. Løsningsforslag her Parallellforskyvninger. abri-fil her. Løsningsforslag her Flislegging med regulære sekskanter. abri-fil her. Løsningsforslag her Flislegging med regulære sekskanter, kvadrater og likesidede trekanter Det gylne snitt Ellipse M-132 Geometri 10 yrge irkeland

11 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han gikk ut fra noen får grunnbegreper og aksiomer, og beviste alle setninger ved hjelp av disse. I denne fremstillingen skal vi ikke forsøke å bygge opp geometri på denne måten. Vi velger en mer intuitiv tilnærming, og trekker også inn begreper som Euklid ikke hadde med. En artikkel om geometriens historie finner du for eksempel i Wikipedia: Du kan lese om Euklid i det norske nettleksikonet Wikipedia på følgende adresse: En liten artikkel på norsk om Euklids elementer finner du her: En større artikkel med hele Euklids elementer finner du her: Grunnbegreper og notasjoner Punkt Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning. Vi bruker vanligvis store bokstaver,,, som navn på punkter og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende. Hvor et punkt ligger i planet angis ofte ved hjelp av punktets koordinater i forhold et kartesisk koordinatsystem, et begrep som bygger på begrepene lengde, vinkel og parallellitet, som blir gjennomgått nedenfor. Se figuren til høyre Linje En (rett) linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning i begge retninger i én dimensjon. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l l, m, n.. Gitt to punkter og, da finnes det nøyaktig én linje som l, eller skrives bare linja gjennom og går gjennom og. Denne noteres av og til ( ) eller linja. Tre eller flere punkter som ligger på samme linje, sies å være kollineære. Tre eller flere linjer som går gjennom samme punkt, sies å være konkurrente. y 1 x P(x,y), og er kollineære m l n l, m og n er konkurrente Parallelle linjer, parallellaksiomet To linjer som ikke skjærer hverandre, sies å være parallelle. Vi skriver dette l m. I euklidsk geometri gjelder parallellaksiomet. Dette finnes i flere ekvivalente versjoner; her er én: Parallellaksiomet: Gitt en rett linje l og et punkt P utenfor som ikke ligger på l. Da finnes det nøyaktig én linje m som går gjennom P og som er parallell med l. M-132 Geometri 11 yrge irkeland

12 En annen versjon er at vinkelsummen i en trekant er 180 ; mer om dette nedenfor. Parallellaksiomet virker kanskje opplagt, men det er i en særstilling blant Euklids aksiomer. På 1800-tallet ble det bygd opp geometrier der P parallellaksiomet ikke gjelder, de ikke-euklidske geometriene, og m disse har vist seg meget nyttige, for eksempel i forbindelse med relativitetsteorien. Det finnes utallige artikler om ikke-euklidsk l geometri på internett, for eksempel: Parallellaksiomet Euclidean_geometry Stråle En stråle er del av linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis er et endepunkt på en stråle og er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra gjennom Lengder og avstander lle har en intuitiv forståelse av hva avstander og lengder er for noe. I matematikken kan vi definere en avstandsfunksjon i planet R som en funksjon d : R R R 0, der R 0 betyr mengden av reelle tall 0, altså en funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall d(p,q) avstanden mellom P og Q - til hvert par (P,Q) av punkter i planet. Funksjonen må ha følgende egenskaper: a. d ( PQ, ) 0 b. d ( PQ, ) = 0 hvis og bare hvis P = Q. c. d ( PQ, ) = d ( QP, ) d. d ( PQ, ) d ( PR, ) d ( RQ, ) mellom P og Q. + med likhet hvis og bare hvis R ligger på linjestykket PQ Tenk over hva disse kravene betyr: (i) sier at ingen avstander er negative. (ii) sier at to forskjellige punkter ikke kan ha avstanden 0, men ethvert punkt har avstanden 0 til seg selv. (iii) sier at avstanden fra P til Q er den samme som avstanden fra Q til P. (iv) sier stort sett at den korteste vei mellom to punkter P og Q er linjestykket PQ. Den kalles trekantulikheten, og sier mer presist at lengden av en side i en trekant er lik eller mindre enn summen av lengdene av de to andre sidene, med likhet bare hvis trekanten er degenerert, slik at det tredje hjørne ligger på den motstående sida Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje som er begrenset av to endepunkter og, nemlig den delen av linja gjennom og som ligger mellom og. Vi lar både betegne linjestykket fra til (eller fra til ) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom dets endepunkter. Det vil da framgå av sammenhengen hva som menes Vektor M-132 Geometri 12 yrge irkeland

13 En vektor kan vi i vårt geometrikurs oppfatte som et orientert linjestykke. Det betyr at av de to endepunktene på linjestykket, for eksempel og, er det ene utpekt som startpunkt og det andre som endepunkt. Vektoren fra til noteres. Vi identifiserer to vektorer og D hvis de er parallelle og like lange og har samme retning. Det betyr at hvis vi flytter D slik at faller sammen med, så vil D falle sammen med. Vektorbegrepet er imidlertid mye mer omfattende enn dette, og er et av de nyttigste begreper i matematikken og fysikken. Vi skal komme tilbake til vektorregning i et seinere kapittel. a+b Du kan definere summen av to vektorer ved b b a-b at + =, og differensen mellom to vektorer ved at =. Se figuren. a a Når du har en avstandsfunksjon, kan du definere produktet av et tall og en vektor: t =, der er et punkt på linja som er slik at = t, og slik at ligger på samme eller motsatt side av i forhold til etter som t>0 eller t<0. t=0 tilsvarer, og t=1 tilsvarer. 0<t<1 for punkter på linjestykket mellom og. Hvis vi har tre punkter, og som ikke ligger på linje, og P " er et vilkårlig punkt, kan vi trekke en parallell med gjennom P og en parallell gjennom P, jfr. figuren. Vi får da punkter og slik at P= " + ", der ligger på og ligger på. Det finnes da reelle tall x og y slik at P= x + y. " og " kalles da for " vektorkomponentene av vektoren P langs og, mens tallene x og y kalles for skalarkomponentene av vektoren P langs og. Vektorer angis også ofte i forhold til et kartesisk koordinatsystem, og koordinatene er differensen mellom koordinatene til endepunktet og startpunktet. Vektorsum og vektordifferens tilsvarer da sum og differens av koordinatene. Vi kommer tilbake til dette i kapitlet om vektorregning. P Trekant En trekant er bestemt ved tre punkter i planet, for eksempel, og, som kalles hjørnene i trekanten. Vi skriver eller trekanten. Linjestykkene,, og kalles sidene i trekanten. Sida kalles den motstående sida til, og noteres gjerne med samme bokstav a som hjørnet, men altså med liten bokstav. Sidene og kalles de hosliggende sidene til hjørnet. b c a Vinkel En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom og strålen fra O gjennom, skriver vi vinkelen O eller O. Strålene O og O kalles vinkelens vinkelbein. Hvis det bare er én vinkel med O v M-132 Geometri 13 yrge irkeland

14 33toppunkt i O, kan vi skrive O uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u,v, w, αβθ.,,, Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format. t to vinkler O og PD er like store, betyr at den ene vinkelen kan legges oppå den andre. Med andre ord: Hvis PD flyttes slik at P faller i O og P dekker strålen O, så vil strålen PD dekke strålen O. Det forutsetter at de to vinklene er orientert på samme måte, i motsatt fall må vi la strålen PD dekke O. Størrelsen av en vinkel måles på flere ulike måter. For et gitt punkt O i planet tenker man seg at planet deles i 360 like store vinkler, alle med O som felles toppunkt. Størrelsen av en slik vinkel defineres som 1 grad, eller 1. En rett vinkel er en vinkel på 90, som dekker et kvart omløp. Hvis, O og ligger på en rett linje, er O = 180, og O kalles en like vinkel, og er altså et halvt omløp. lternativt kan du definere størrelsen av O ved hjelp av begrepet lengde på følgende måte: Slå en sirkel med sentrum i O og radius r. Finn lengden b av den delen av sirkelbuen som ligger innenfor O. Forholdet b vil da være uavhengig av r, og bare avhengig av r vinkelen, og kan derfor tas som et mål for vinkelens størrelse. En vinkel som gir forholdet 1, kalles en radian. Siden lengden av en hel sirkel er 2π ganger radius, vil en hel omdreining tilsvare en vinkel på 2π, mens en rett vinkel er π og en like vinkel er π. Vinkler målt i 2 radianer kalles også absolutt vinkelmåling, fordi det ikke avhenger av det tilfeldige valget av 360 som antall grader i en hel omdreining. Dette henger for øvrig historisk sammen med at babylonerne antok at et år var 360 dager. Til gjengjeld bygger absolutt vinkelmåling på begrepet buelengde, som er relativt avanserte i forhold til elementær geometri. I elementær geometri brukes mest grader, men i matematikken for øvrig er det mest vanlig å måle vinkler i radianer. Vi har en rekke definisjoner som involverer vinkler: En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90. En stump vinkel er en som ligger mellom 90 og 180. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler. To vinkler hvis bein er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler. Spiss vinkel Stump vinkel Rett vinkel Like vinkel Nabovinkler Toppvinkler I en trekant kalles vinklene, og for indre vinkler, og noteres som regel bare, og. De indre vinklene i en trekant omtales ofte bare som vinklene i trekanten. Nabovinkelen til en vinkel i en trekant, kalles en ytre vinkel i trekanten. Når to linjer overskjæres av en tredje linje, oppstår 8 vinkler. Disse kan grupperes i fire sett av samsvarende vinkler. På figuren nedenfor er samsvarende vinkler markert med samme format på vinkelmerket. Indre vinkler Ytre vinkel Samsvarende vinkler m l M-132 Geometri 14 yrge irkeland

15 Når vinkelen mellom to rette linjer l og m er 90, sies l å være en normal til m, eller m er en normal til l. To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel sies å være komplementvinkler til hverandre. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, sies å være supplementvinkler til hverandre Komplementvinkler 90.0 m Normaler l Normaler Supplementvinkler Man inndeler også trekanter i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten: En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90. En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90. Ett rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående sida kalles hypotenusen. En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60, jfr. setning En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like. To av vinklene blir da også like. Spissvinklet trekant Stumpvinklet trekant Rettvinklet trekant Likesidet trekant Likebeint trekant Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn. Du kan definere summen av to vinkler med samme toppunkt: Hvis O og OD er to vinkler med samme toppunkt, flytter vi (jfr. avsnittet om isometrier nedenfor) den siste slik at vinkelbeinet O faller sammen med O. Punktet D vil da flyttes D til et punkt E, og vi kan forutsette at dette ligger EOD ikke dekker O Vi definerer da O+ OD = OE. Du E kan også definere differansen mellom en vinkel og en mindre v vinkel: Hvis O > OD, flytter vi den siste vinkelen slik v u-v at linja O dekker linja O og slik at OD flyttes til en stråle OF v F u som ligger innenfor O. Differansen O OD er da O definert som OF. Se figuren nedenfor. For vinkler som ikke har felles toppunkt, må vi først flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene får felles toppunkt før vi kan bruke definisjonen fra det tilfellet at de har felles toppunkt. Når vi har definert differensen mellom to vinkler, melder spørsmålet seg om hvordan vi skal forstå et mulig negativt fortegn på en vinkel eller hva det vil si at en vinkel er 0. Svaret er at vi setter O = 0, mens vi regner en vinkel O for å være positiv hvis strålen O må dreies i retning motsatt urviserne for å dekke O, negativ hvis den må dreies i samme retning som urviserne. Vi har da at O = O. Etter den definisjonen vil to stråler O og O 0,180 og en negativ i intervallet kunne definere to vinkler, en positiv i intervallet [ ] [ 0, 180 ], eller egentlig en hel rekke vinkler som skiller seg fra hverandre ved et helt u+v M-132 Geometri 15 yrge irkeland

16 multiplum av 360. I geometri underforstås det som regel at en vinkel ligger i intervallet [ 0,180 ] Firkant En firkant er bestemt av fire punkter, hjørnene i firkanten. Vi skriver for eksempel firkanten D eller D. Vanligvis forutsettes det at hjørnene i firkanter nummereres i positiv omløpsretning, altså mot urvisernes omløpsretning. Sidene i firkanten D er linjestykkene,, D og D. Vi forutsetter vanligvis at disse sidene ikke har andre felles punkter enn hjørnene. To sider kan altså ikke skjære hverandre. Linjestykkene og D kalles diagonalene i firkanten. Hvis to av sidene i en firkant er parallelle, kalles firkanten for et trapes. Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram. Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe. Hvis alle de indre vinklene i et parallellogram er rette, har vi et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat. Diagonaler Firkant Trapes Parallelogram Rombe Rektangel Kvadrat Polygoner Figurer med tre hjørner er trekanter, med fire hjørner er det firkanter. Dette kan selvsagt fortsettes: Figurer med fem hjørner er femkanter, figurer med seks hjørner er sekskanter osv. Generelt er en figur som definert ved hjelp av n hjørner en n-kant eller et polygon (av gresk poly=mange, gon=hjørne) eller en mangekant med n hjørner. Spesielt ser vi på regulære n- kanter. Det er en n-kant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store: O Regulære polygoner kan innskrives i en sirkel. Vi får en rekke med n kongruente likebeinte trekanter. Vinkelen ved sirkelens sentrum må være 360 n, og dermed blir de to andre vinklene 1 ( 360 ) n = 90 n. De indre vinklene i n-kanten blir dermed 180 n og de ytre vinklene 360 n. Det siste kan du også innse ved å tolke de ytre vinklene som retningsendringer fra å kommer fra en side til den neste: Etter n retningsendringer må du ha endret retning Geometriske steder, sirkler og ellipser Ved hjelp av begrepene avstand og lengde kan vi nå definere en rekke nye begreper, som bygger på begrepet åpent utsagn fra logikken. Et utsagn i logikken er en språklig eller matematisk formulert setning som enten er sann eller gal. Sannhetsverdien av et utsagn kan altså ikke være gjenstand for diskusjon: Det er fint vær i dag er derfor ikke et utsagn i denne forstand, mens 2>3 eller 2<3 eller 2 er mindre enn 3 er utsagn. La oss så si at vi har en mengde M i matematikken, og en språklig eller matematisk formulert setning S(x) som inneholder en størrelse x som i utgangspunktet ikke er et bestemt tall eller objekt, men som kan erstattes av et element fra mengden M. Hvis S(x) blir et utsagn hver gang vi erstatter x M-132 Geometri 16 yrge irkeland

17 med et element fra M, kalles S(x) for et åpent utsagn om elementene i mengden M. Vi kan da danne oss delmengder av M ved å se mengden av de x fra mengden M som er slik at S(x) er et sant utsagn eller mengden av de x fra mengden x som er slik at S(x) er et usant utsagn. Disse ( ) x Sx ( ). mengdene skrives hhv. { x Sx } og { } I geometri er som regel mengden M lik planet, og S(x) er en eller annen geometrisk egenskap, x Sx ( ) kalles ofte det geometriske ofte uttrykt ved hjelp av avstandsbegrepet. Mengden { } sted for de punkter som har egenskapen S. Ved hjelp av avstandsbegrepet kan vi nå definere det mest kjente geometriske stedet i geometrien, en sirkel: En sirkel med sentrum i punktet og med radius r er det geometriske stedet for de punktene som har avstanden r til eller r, = P R 2 dp (, ) = r. Sirkler tegnes som kjent med passer, der spissen settes i ( ) { } punktet og avstanden r utspennes av beina på passeren. Linjal og passer er de eneste to redskapene som er tillatt i klassisk euklidsk geometri. Det tilsvarer at punkter, rette linjer og sirkler er de fundamentale objektene. Vi tar med et annet kjent eksempel på geometrisk sted, en ellipse. En ellipse er det geometriske stedet for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en bestemt sum. Se figuren. Ellipser kan ikke konstrueres med passer og linjal r1 P r2 Q 1.2 Isometrier og kongruens En isometri eller kongruensavbildning er en avbildning (funksjon) ( P Q ) ( PQ) bevarer avstander. Det betyr at ( ) ( ) ϕ : R R som 2 2 d ϕ, ϕ = d, for alle punkter P,Q i planet. Du kan tenke på en isometri på følgende måte: Tenk på planet som et papirark som er ubegrenset i alle retninger (eller på et endelig papirark som er stort nok til å inneholde de figurene du er interessert i). Å bruke en isometri tilsvarer å flytte arket uten å strekke eller på annen måte deformere det. Men du kan snu arket. En plan figur er rett og slett en delmengde av planet. ϕ F = F, sies F 1 og F 2 å være Hvis ϕ er en isometri, og F 1 og F 2 er plane figurer slik at ( ) 1 2 kongruente, og vi skriver F1 F2. Etter modellen ovenfor kan du tenke deg at F 1 og F 2 ligger i hver sin kopi av planet. Så kan du flytte og eventuelt snu den ene kopien og legge den oppå den andre slik at figurene nøyaktig dekker hverandre. Sagt på en annen måte: Du kan klippe den ene figuren ut, og om nødvendig snu den, da vil den nøyaktig kunne dekke den andre figuren. Hvis du må snu den, kalles isometrien motsatt, ellers kalles den direkte. Hvis hjørnene i et polygon er regnet opp i ' rekkefølge mot urviserne, vil de tilsvarende hjørnene i et kongruent polygon bli regnet opp i samme rekkefølge hvis isometrien er direkte, ellers vil de bli regnet opp i Direkte isometri ' rekkefølge med urviserne. ' Kongruens er et sentralt begrep i elementær geometri. Vi har følgende fire setninger om kongruenser, som vi her skal godta uten noen form for bevis, dvs. vi skal se på dem som aksiomer i teorien. Motstatt isometri r1+r2=d, konstant " " " M-132 Geometri 17 yrge irkeland

18 1. (SSS side-side-side) Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er de kongruente. 2. (SVS side-vinkel-side) Hvis to sider og vinkelen mellom dem er like i to trekanter, så er trekantene kongruente. 3. (VSV vinkel-side-vinkel) Hvis to vinkler og den mellomliggende sida i to trekanter er like, så er trekantene kongruente. 4. (SSV side side vinkel) Hvis to sider og den motstående vinkelen til den lengste av sidene er like, så er trekantene kongruente. SSS Isometrier og rette linjer. Setning En isometri avbilder en rett linje på en rett linje og bevarer delingsforhold evis. La og være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket mellom og. Da d, = d( P, ) + d P,. La ϕ være en isometri, og la, og P være bildene av, er ( ) ( ) og P ved denne isometrien. Da er d( ', P' ) + d( P', ' ) = d( ϕ( ), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( ) ) =. d P, + d P, = d, = d ', ' ( ) ( ) ( ) ( ) Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket mellom og. Tilfellene at ligger mellom P og eller ligger mellom og P behandles på tilsvarende måte. Vi har også at hvis P= t ϕ = ', ϕ = ', ϕ P = P', vil P ' ' = t ' '. Det, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Isometrier og parallellitet Setning En isometri avbilder parallelle linjer på parallelle linjer evis: La l og m være parallelle linjer, og la l og m være bildene av l og m ved en isometri ϕ. Hvis l og m ikke er parallelle, finnes det et punkt som er felles for l og m. Men må ( ) ( ) være bildet av et punkt på l og på m, og ( ) ϕ( ) ϕ( ) =. Det strider mot at l og m er parallelle. SVS VSV d, = d, = d, = 0. Da må SSV Isometrier og trekanter Setning En isometri er entydig bestemt ved virkningen på en trekant. evis. La være en trekant som avbildes på en trekant ved en isometri ϕ. La P være et punkt. Da kan vi trekke en parallell med gjennom P som skjærer i og en parallell med gjennom P som skjærer i. Da er P" = " + ". Da finnes det reelle tall x og y slik at " = x og " = y. Men da må M-132 Geometri 18 " " yrge irkeland P

19 ' ' = x ' ' + y ' ', siden isometrier bevarer parallellitet og delingsforhold. Jeg minner om begrepet bijeksjon. En bijeksjon er en funksjon som er slik at alle elementer i er bildet av nøyaktig ett element i. Et annet ord for en bijeksjoner er en 1-1- korrespondanse, eller en avbildning som er både injektiv (1-1) og surjektiv (på). Setning En isometri er en bijeksjon evis. nta at isometrien ϕ er gitt ved at trekanten avbildes på trekantene. Da kan vi definere den inverse til ϕ ved at trekanten avbildes på. Da må ϕ være en bijeksjon. 1.3 Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Konstruksjonen går slik: Linjestykket er gitt. Du velger en passende radius i passeren litt mindre enn lengden og slår sirkler eller sirkelbuer fra og med denne radien. Da er D=D og =. P.g.a. SSS-kongruenssetningen ovenfor er da D. Da er D = D og dermed E E etter kongruenssetningen SVS. Da må E=E, og E = E. Siden summen av disse vinklene er 180. Må hver av dem være 90. Vi har dermed både at E=E og at E = 90. Men da er D midtnormalen på. Midtnormalen på er det geometriske sted for de punkter som har samme avstand fra og. D E Normalen til en linje i et punkt på linja Her har vi gitt en linje l og et punkt på linja. Vi starter med å velge en passende radius i passeren, og slår en sirkel eller to sirkelbuer med denne D radien, slik at vi får to punkter og slik at =. Så velger vi en annen større radius og slår sirkler eller sirkelbuer med denne radien fra og. Disse har to skjæringspunkt, og vi kaller det ene av dem D. Da er D=. Kongruenssetningen SSS gir da at D D. Siden D = D, og summen av dem er en like vinkel, må D være en rett vinkel. m l Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel med sentrum i P som har stor nok radius til å skjære linja l i to punkter og. Velg så en ny radius, og slå sirkler eller sirkelbuer fra og med denne radien. La skjæringspunktet på motsatt side av l i forhold til P være. Da er P normalen til l gjennom P. Dette kan begrunnes slik: Siden P=P og =, følger det av kongruenssetningen SSS at P P og dermed PD = P. La D være skjæringspunktet mellom P og l. Kongruenssetningen SVS gir da at D DP og derfor at DP = PD, Siden disse vinklene også er supplementvinkler, må de begge være P D l M-132 Geometri 19 yrge irkeland

20 rette vinkler. vstanden PD er for øvrig definert som avstanden fra punktet P til linja l. vstanden mellom to parallelle linjer er definert som avstanden fra et punkt på den ene linja til den andre linje Halveringslinja for en vinkel Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt O og med passende radius. La skjæringspunktene med vinkelbeina være og. Velg en radius som er O større enn halve avstanden mellom og, og slå sirkler fra og med denne radien. La skjæringspunktet være. Da er O halveringslinja for vinkelen. Dette kan begrunnes slik: Siden O=O og =, følger av kongruenssetningen SSS at O O. Da må O = O, og dette betyr at O er halveringslinja for vinkelen O. Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for de punkter som har samme avstand fra vinkelbeina Likesidet trekant Gitt et linjestykke. Du skal konstruere en likesidet trekant der dette linjestykket er en av sidene. Da bruker du lengden som radius og slår sirkler eller sirkelbuer med radius r og sentrum i og deretter i. Du får to skjæringspunkter og, og altså to mulige løsninger. Vinklene i en likesidet trekant må være 60, så du har altså samtidig en metode til å konstruere en vinkel på 60. ' lternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller en sirkelbue med sentrum i det gitte punktet. La være et av skjæringspunktene med linja m. Slå en sirkel eller sirkelbue med samme radius og sentrum i. Skjæringspunktet med den første sirkelen er. Slå en sirkel med sentrum i og samme radius. Skjæringspunktet med den første sirkelen er D. Halver vinkelen D ved hjelp av metoden som er gitt ovenfor, jfr. figuren til høyre. Da blir og D likesidet, og dermed blir = 60 og D = 60, E blir halveringslinje for D. Da må 1 E = = 90, så E blir en normal til linja m. 2 D E m ndre vinkler Ved hjelp av vinkelhalveringskonstruksjonen og konstruksjonen av en seksti graders vinkel kan du i prinsippet konstruere enhver vinkel som kan skrives som en endelig sum på formen a1 a2 a3 an 60 a n , der { a } i er en følge av ikke-negative hele tall. Nedenfor ser du eksempler. M-132 Geometri 20 yrge irkeland

21 Likebeinte trekanter Du får som regel oppgitt den sida som ikke er lik noen av de andre, og deretter høyden, eller lengden av de to like sidene eller de to like vinklene eller toppvinkelen: Likebeint trekant med oppgitt side og høyde Likebeint trekant med oppgitte sider Likebeint trekant med oppgitt side og hosliggende vinkel 1.4 Oppgaver Tegn et linjestykke, og oppreis midtnormalen på linjestykket Tegn en rett linje og merk av et punkt utenfor linja. Konstruer normalen fra punktet på linja Tegn en rett linje, og merk av et punkt på linja. Konstruer normalen på linja i punktet. Halver den rette vinkelen, så du får en vinkel på 45. Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 60 grader. Konstruer så vinkler på 30 grader, 15 grader, 75 grader Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja har lengde 3 cm, og de to like lange sidene er 5 cm. Konstruer så en likebeint trekant der grunnlinja er lengde 3 cm, og høyden er 4 cm. M-132 Geometri 21 yrge irkeland

22 1.4.6 Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og vinkelen ved grunnlinja er Konstruer så en likebeint trekant der toppvinkelen er 30 og de like lange sidene er 4 cm Ta for deg kongruenssetning SSV. Finn på et eksempel som viser at ordene til den lengste sida er nødvendige å ha med. 1.5 Elementære teoremer Nedenfor gjengir vi en del elementære setninger i euklidsk geometri. evisene gjør ikke krav på å være strenge i aksiomatisk forstand, så de kalles begrunnelser snarere enn bevis Toppvinkler Setning Toppvinkler er like evis. På tegningen er u+ v = 180 og v+ w= 180. Vi trekker fra, og får u v = 0 eller u = v. D w v u Ytre vinkel i trekant Setning En ytre vinkel i en trekant er større de to indre vinklene som ikke dens supplementvinkel. x evis. Vi ser på trekanten med den ytre vinkelen D. Vi finner midtpunktet E på, trekker linja E, og avsetter E=EF. E = EF som toppvinkler og dermed E EF etter kongruenssetningen SVS. Men da er E = EF. Siden D = F + FG, må D > F =. På tilsvarende måte vises at D >. E F D Denne setningen har som konsekvens setningen om samsvarende vinkler: G Setningen om samsvarende vinkler Setning La l og m være to linjer som overskjæres av en tredje linje n. Da er samsvarende vinkler like store hvis og bare hvis linjene l og m er parallelle. evis. n v u l m n v u l m M-132 Geometri 22 yrge irkeland

23 Hvis l og m skjærer hverandre i punktet, er u = en ytre vinkel i trekanten og derfor større enn v = ifølge forrige setning. Hvis u og v er like store, må derfor l og m være parallelle. nta så at de er parallelle, men u v. Vi kan da trekke en linje k gjennom slik at vinkelen mellom k og n er u. Da har vi i så fall to ulike paralleller med u gjennom. Det er umulig etter parallellaksiomet. Denne setningen kan brukes til å konstruere en parallell med en oppgitt linje gjennom et oppgitt punkt. Se figuren til høyre. Du starter med å trekke en linje m fra et vilkårlig punkt på den oppgitte linja og slår sirkler eller sirkelbuer med samme radius og sentrum i og P. Korden D i sirkelen omkring bruker vi så som radius i en sirkel med sentrum i skjæringspunktet F mellom m og sirkelen gjennom P. Da blir linja. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er E. Vi trekker så linja PE, som blir parallell med l. P D l F E m Summen av vinklene i en trekant Setning Summen av vinklene i en trekant er 180 evis. Vi trekker en parallell E med gjennom, jfr. figuren. = u og ED er samsvarende vinkler når linja D skjærer de to parallelle linjene og E og dermed like. E er toppvinkel til en vinkel som v er samsvarende med = v når linja skjærer de to parallelle linjene og E. Dermed er E = = v. Da er w u + + = + E+ ED = 180. v dette beviset følger også: Setning En ytre vinkel i en trekant er summen av de to andre vinklene. E v u v D Vinklene i likebeinte trekanter Setning Gitt et linjestykke. er grunnlinje (dvs. den sida som ikke er en av de to like lange sidene) i en likbeint trekant hvis og bare hvis =. evis. nta at er grunnlinja i den likebeinte trekanten, der =. La M være midtpunktet på Da er M M ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må M = M. Omvendt, anta at =. Vi konstruerer normalen fra på, og antar at skjæringspunktet er M. Da er M = M = 90. Etter kongruenssetningen VSV er da M M, og da må = Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Setning Hvis to vinkler har bein som er parvis parallelle eller står parvis normalt på hverandre, er de like. M M-132 Geometri 23 yrge irkeland

24 u v ' ' u v ' ' evis. De parallelle vinkelbeina peker enten i samme retning eller i motsatt retning. Setningen for parvis parallelle vinkelbein følger enkelt av setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer i tilfellet da vinkelbeina har samme retning. I tilfelle de har motsatt retning må du i tillegg bruke at toppvinkler er like store. Se figuren ovenfor. I det tilfellet at vinkelbeina står parvis normalt på hverandre, kan vi først bruke setning for parvis parallelle vinkelbein til om nødvendig å flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene har felles toppunkt. Etter det ser situasjonen ut som på figuren til høyre. Her er O+ O = 90 og O+ OD = 90. Subtraksjon gir O OD = 0 eller O= OD. 1.6 Similariteter og formlikhet En similaritet eller formlikhetsavbildning er en avbildning tall k>0 slik at ( ) ( ) (, ) (, ) ' ' E ϕ : D R R slik at det finnes et 2 2 d ϕ P ϕ Q = k d PQ, der d er avstandsfunksjonen. M.a.o. blir alle avstander multiplisert med et det samme positive tallet. To plane figurer sies å være formlike eller similære hvis den er bildet av den andre ved en similaritet. Den ene er da en forminsket eller forstørret utgave av den andre. Eller du kan oppfatte dem som samme figur i to ulike målestokker.eller: lle vinkler er like, og alle lengder er multiplisert med en konstant faktor. Prototypen på en similaritet er en homoteti (eller dilatasjon). En homoteti er bestemt et homotetisentrum O og en homotetifaktor k 0 slik at et punkt P avbildes på et punkt Q som ligger på strålen OP og slik at OQ= k OP. Se figuren til høyre, der homotetisenteret er O. Den originale figuren er lengst til høyre, deretter har vi en kopi med homotetifaktor 0,5 og deretter en kopi med homotetifaktor -0,7. Similariteter har mange av de samme egenskapene som isometrier, og bevisene for disse egenskapene er også svært like. Vi tar ikke med alle bevisene Setninger om similariteter Setning i. En similaritet avbilder en linje på en linje. ii. En similaritet avbilder parallelle linjer på parallelle linjer iii. En similaritet er entydig bestemt ved virkningen på en trekant iv. Enhver similaritet er en bijeksjon v. En similaritet bevarer vinkler evis for i.:la og være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket mellom og d, = d( P, ) + d P,. La ϕ være en similaritet med faktor k>0, og la,. Da er ( ) ( ) og P være bildene av, og P ved denne similariteten. Da er D v O u M-132 Geometri 24 yrge irkeland

25 ( ϕ ϕ ) ( ϕ( ) ϕ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) (, ) + (, ) = (, ) = ( ', ') d ', P' + d P', ' = d, P + d P, =. k d P k d P k d d Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket mellom og. Tilfellene at ligger mellom P og eller ligger mellom og P behandles på tilsvarende måte. Vi har også at hvis P= t ϕ = ', ϕ = ', ϕ P = P', vil P ' ' = t ' '. Det, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Transversalsetningen Setning 1.5.2: Transversalsetningen. To linjer l og m skjærer over en vinkel. Det ene vinkelbeinet skjærer l i og m i, det andre vinkelbeinet skjærer l i og m i Da gjelder følgende: l m ' = '. evis. Hvis l og m er parallelle, har ' og ' samme grunnlinje og samme høyde, avstanden mellom l og m. De må da ha samme areal. Derfor må også ' og ' ha samme areal. og ' har samme høyde, nemlig avstanden fra til. Forholdet mellom deres arealer må da være det samme som forholdet mellom deres grunnlinjer, altså. Pa samme måte har ' og ' samme høyde, og forholdet mellom deres arealer må være det samme som forholdet mellom deres grunnlinjer altså '. ( ) ( ) Men da må = = =. ' ' ' ' nta omvendt at ( ' ) ( ') ( ' ) ( ' ) ( ) ' ( ) =. Da har vi ( ) ' ( ) ( ) ( ) = = =. Da må ' ' ' ' =. Men er felles for disse to trekantene, så vi må også ha at =. Men disse to trekantene har felles grunnlinje, så for å få samme areal må disse to trekantene også ha samme høyde. Det betyr at avstandene fra og til l er de samme. Linjene l og m må da være parallelle. Transversalsetningen er fundamental i studiet av formlikhet. Her er et par konsekvenser: Setning To trekanter som har de samme vinkler, er formlike. ' ' '= =' ' ' ' '= evis. Vi kan flytte rundt på ' ' ' slik at faller sammen med eller faller sammen med eller faller sammen med. I hvert av tilfellene blir, ' ' hhv. ' ', hhv. ' ' Transversalsetning gir i hvert tilfelle: ' M-132 Geometri 25 yrge irkeland

26 =, = og =. Vi har da ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' at og ' ' ' er formlike. = =, og det betyr ' ' ' ' ' ' Legg merke til at dette er spesielt for trekanter, det gjelder ikke for polygoner med mer enn tre hjørner. For eksempel har ethvert rektangel de samme vinklene som et kvadrat, men de er ikke formlike Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold La oss si at du har et linjestykke som skal deles i et bestemt forhold, for eksempel 5:3. Da trekker du først en stråle gjennom eller og avsette 5+3=8 like deler langs dette stykket. Fra det siste punktet trekker du en linje til. Så trekker du en parallell med denne gjennom det femte delingspunktet. Skjæringspunktet med blir da det søkte punktet. Dette følger nå av transversalsetningen. m 1.7 real Når vi har definert en avstand, lengde og vinkel, kan vi definere arealet av et rektangel med sider b og h som bh. realet av andre plane figurer begrenset av rette linjestykker kan så beregnes ved hjelp av denne definisjonen. realet av en polygon skrives ofte ( ) realet av en trekant Gitt en rettvinklet trekant. Vi trekker en linje gjennom parallell med, og en linje gjennom parallell med. Linjene skjæres i D. Trekantene og D blir kongruente etter setningen om samsvarende vinkler, og kongruenssetning VSV. De to trekantene har da samme areal, som må være halvdelen av arealet av rektanglet D, altså 1 bh 2. Vi kan nå finne arealet av en vilkårlig trekant ved å dele den opp i to rettvinklede trekanter, se figuren nedenfor til høyre. I alle tilfelle blir arealet 1 g h 2, der g er lengden av en av sidene, mens h er høyden fra det motstående hjørnet realet av et parallellogram realet av et parallellogram er lengden av en av sidene ganger avstanden mellom denne og den siden som er parallell med denne. Det kan du se ved å nedfelle et par normaler og flytte en rettvinklet trekant slik at du kan sammenligne med arealet av et rektangel, jfr. figuren til høyre realet av et trapes realet av et trapes finnes også ved å rekke to normaler, slik at vi får fram et rektangel med side a og h, der a er den lengste av de parallelle sidene, og h er avstanden mellom disse. Da har vi et areal som er så mye større enn arealet av trapeset som arealet av de to skraverte trekantene på trekanten til høyre. Disse har til sammen et areal på D b real: b h h b h g D h b b h a h M-132 Geometri 26 yrge irkeland

27 1 ( b a) h 2 1 1, så arealet av trapeset er ( ) ( ) ah a b h= a+ b h realet av et polygon Ethvert polygon kan trianguleres, dvs. det kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer. 1.8 Pythagoras setning Setning 1.8.1: Pythagoras setning. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på hypotenusen. Denne setningen er eldre enn Pythagoras, og har røtter tilbake til det gamle Egypt og abylon, og det finnes utallige bevis for den. Det hører med til allmenndannelsen å kjenne til noen av bevisene. Det første beviset for setningen framgår av følgende figur: c a b Ideen i beviset er at det samme arealet kan dekkes av fire ganger den aktuelle trekanten, samt enten kvadratene på de to katetene eller kvadratet på hypotenusen. Pythagoras setning er kanskje den mest kjente av alle setninger i elementær geometri, og er også kanskje den mest brukte setningen i elementære geometrioppgaver. En eksamensoppgave i elementær euklidsk geometri er nærmest utenkelig Thabit ibn Qurras bevis Les om Thabit ibn Qurras her. Ideen er her at man dreier E 90 om E, og E DG 90 om G i negativ E F retning, og ser at det samme arealet som i figuren til venstre dekkes av kvadratene G på de to katetene, dekkes av kvadratet på hypotenusen i figuren til høyre. D F H D G M-132 Geometri 27 yrge irkeland

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag.

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. MA-132 Geometri Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen.. Kristiansand 2008 MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland MA-132 Geometri

Detaljer

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag.

MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. MA-132 Geometri Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen.. Kristiansand 2009 MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland MA-132 Geometri

Detaljer

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner

1 Euklidsk geometri. 1.1 Grunnbegreper og notasjoner 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI

INNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Geometri R1. Test, 1 Geometri

Geometri R1. Test, 1 Geometri Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6

Detaljer

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen

Test, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006

Eksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006 Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet

Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Mellomprosjekt i MAT4010: Trekanter i planet Anne Line Kjærgård, Cecilie Anine Thorsen og Marie Vaksvik Draagen 6. mai 2014 1 Innhold 1 Trekanter i plangeometri 3 2 Oppgavebeskrivelse 3 3 Generelle egenskaper

Detaljer

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.

MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006

Utsatt eksamen i MA-104 Geometri 27. september 2006 Utsatt eksamen i M-04 eometri 7 september 006 ppgave n bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten Sett ovenfra ser det omtrent

Detaljer

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel?

Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler. 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? Test, Geometri (1P) 2.1 Lengde og vinkler 1) Hvor mange grader er en rett vinkel? 90 120 180 2) Hva menes med en spiss vinkel? En vinkel som er større enn 90 En vinkel som er større enn 180 En vinkel som

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Generell trigonometri

Generell trigonometri 7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave

Detaljer

Geometri R1, Prøve 2 løsning

Geometri R1, Prøve 2 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1

Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1 Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri

Tangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2013 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Løsning eksamen R1 høsten 2009

Løsning eksamen R1 høsten 2009 Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed

Detaljer

Nøkkelspørsmål: Hvor lang er lengden + bredden i et rektangel sammenlignet med hele omkretsen?

Nøkkelspørsmål: Hvor lang er lengden + bredden i et rektangel sammenlignet med hele omkretsen? Omkrets For å finne omkretsen til en mangekant, må alle sidelengdene summeres. Omkrets måles i lengdeenheter. Elever forklarer ofte at omkrets er det er å måle hvor langt det er rundt en figur. Måleredskaper

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

MA2401 Geometri Vår 2018

MA2401 Geometri Vår 2018 MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 8.1 5 Vi skal vise følgende: hvis γ 1 = C(O 1, r 1 ) og γ 2 = C(O 2, r 2 ) er to sirkler som skjærer

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA NOTAT Postboks 133, 6851 SOGNDAL telefon 57676000 telefaks 57676100 TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA 4.05.0 PROSJEKTTITTEL TILGJENGE TAL

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

5.4 Konstruksjon med passer og linjal

5.4 Konstruksjon med passer og linjal 5.4 Konstruksjon med passer og linjal OPPGAVE 5.40 Analyse: Vi skal konstruere trekanten til høyre. Vi starter da med å konstruere en rettvinklet trekant med kateter lik 7 cm og 3 cm. Forlenger så hypotenusen

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7

5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7 til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer)

Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) 09/29/19 1/6 Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) Innføring i GeoGebra (2 uv-timer) GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram for skolebruk som forener geometri, algebra og funksjonslære. Programmet er utviklet

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.9 Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt Løsningsforslag. a. b. .9 til oppgavene i avsnitt.9.9. Regn ut (a) k ( i + j ), () ( i k ) ( j + 3k ), (c) ( i j + 3k ) ( 3i + j k ) a. k ( i + j ) = 0,0,,,0 = 0 + 0 + 0 = 0. ( i k ) ( j k ) ( ) + 3 =, 0, 0,,3 = 0 + 0 + 3 =

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: utvikle, og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning,

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................

Detaljer

Tessellering og mangekanter:

Tessellering og mangekanter: Tessellering og mangekanter: 1. Hva menes med et tessellering? 2. Hva mener vi når vi sier at en figur tessellerer? 3. Hva er en mangekant? 4. Hva menes en regulær mangekant? 5. Regulære mangekanter kan

Detaljer

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven

Fagdag 1 - R1. Torsdag Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Innledning Fagdag 1 - R1 Torsdag 26.08.09 Geometri og vektorregning Johansen og Ulven Den første fagdagen skal fokusere på vektorregning (kapittel 1), geometri (kapittel 6) og bruk av GeoGebra Jeg starter

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16

Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16 Årsplan i matematikk 5.klasse 2015/16 Emne/Innhold Uke Presisering Læremidler Kompetansemål Hele tall 34- Tall og algebra Multi s. 4-10 Multi 5a Kap 1 39 Bestemme tallverdien til sifrene i tall med opp

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013

Eksamen REA3022 R1, Våren 2013 Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet

Detaljer

Løsningsforslag uke 42

Løsningsforslag uke 42 Løsningsforslag uke 42 Oppgave 2 (Eksamen 2008). La,, være hjørnene i en trekant i planet, og la de motstående sidene ha lengdene a, b, c. Punktet D på linjen er slik at D står normalt på. La være det

Detaljer

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål.

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri har spilt en viktig rolle i matematikken. Emnet spiller en sentral rolle i skolematematikken. På den tredje internasjonale kongressen

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren.

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren. Geometri før Euklid og Euklids Elementene Mye av material ned er fra matematikk.no Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av

Detaljer

R1 eksamen høsten 2015 løsning

R1 eksamen høsten 2015 løsning R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2011

Eksamen REA3022 R1, Våren 2011 Eksamen REA30 R1, Våren 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) 500 8 er a) Vis at den deriverte til funksjonen

Detaljer

Geometri R1, Prøve 1 løsning

Geometri R1, Prøve 1 løsning Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i S. B ligger på sirkelperiferien og punktene Aog Cer skjæringspunkt mellom sirkelen med

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x

Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. x x x x Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene gitt ved f 3 6 4 a) f 3 6 6 6 b) g 5ln 3 3 Vi bruker kjerneregelen

Detaljer