=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11

Transkript

1 3.3 Oppgaver La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) ( 2) ( 1) 4 A a ( 1 ( b) ) C c ( d ) B A ( A B) C ( g ) A ( B C ) B A, (f) ( A B) C, (g) ( ) B b A B Kontroll at A I I A A, der A er en vilkårlig 2 `2 matrise, og identitetsmatrisen a11 a12 1 a a21 1 a a22 a11 a a a 0 a + 1 a 0 a + 1 a a a Tilsvarende for den motsatte rekkefølgen. I er Kontroller at A det( A) a21 a11 a a a11 a12 er den inverse til A a21 a22 a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a det( A) a a a a a a a a a a + a a a22 a12 a11 a12 a22 a11 a12 a21 a22a12 a12 a det( A) a21 a11 a21 a22 a21a11 a11a21 a21a12 + a11a

2 3.3.5 La A, B og C være som i oppgave a. Finn A, B og C. b. Finn ( A B) 1 og verifiser at ( ) A B B A. Gjelder dette generelt? a. La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c det( A) 4 3 ( 2) 10, det( B) 3+2 5, det ( C ) 2, så A, B og C b. 1 3 A B, så ( ) A B, mens B A Dette gjelder generelt, fordi A B B A A I A A A I a. Hva er matrisen til en rotasjon 90 om origo? b. Hva blir bildet av et punkt P(x,y) ved en slik rotasjon? c. Kontroller ved matrisemultiplikasjon at punktet P blir avbildet på seg selv, når rotasjonen anvendes 4 ganger etter hverandre. cos 90 sin a. Matrisen blir sin 90 cos b. c. 0 1 x y 1 0 y x Kontroller at matrisen til en rotasjon vinkelen α etterfulgt av en rotasjon vinkelen β er det sammen som matrisen til en rotasjon vinkelen α + β. 77

3 cos β sin β cosα sinα cos β cosα sin β sinα cos β sinα sin β cosα sin β cos β sinα cosα sin β cosα + cos β sinα sin β sinα + cos β cosα ( α + β ) sin ( α + β ) ( α + β ) cos( α + β ) cos sin Kontroller at den inverse av matrisen til en rotasjon vinkelen α er det samme som matrisen til en rotasjon vinkelen α. Hvis vi setter β α i forrige oppgave, får vi, får vi cos 0 sin Rot α Rot( α) Rot( α α) I sin 0 cos0 0 1 ( ) Finn matrisene til speiling om (a) y-aksen, (b) linja yx, (c) linja som danner 30 graders vinkel med x-aksen. a. y-aksen svarer til vinkelen α 90, og b. Linja yx svarer til vinkelen 45 c. S ( 30 ) ( ) ( ) ( ) α, og S ( 45 ) 1 3 cos 60 sin sin 60 cos(60 ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 180 sin S(90 ) sin 180 cos ( ) ( ) ( ) ( ) cos 90 sin sin 90 cos Finn matrisen i homogene koordinater til en rotasjon vinkelen θ om et vilkårlig punkt A(a,b) Først translaterer vi med vektoren (-a,-b), så roterer vi vinkelen θ om origo, og så translaterer vi med vektoren (a,b): 1 0 a cosθ sinθ a cosθ sinθ a 1 0 a sinθ cosθ 0 sinθ cosθ b cosθ sinθ a cosθ + b sinθ + a sinθ cosθ a sinθ b cosθ b

4 Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje gjennom (a,b) som danner vinkelen θ med den positive x-aksen. Først translaterer vi med vektoren (-a,-b), så speiler vi om linja gjennom origo som danner vinkelen θ med den positive x-aksen, og så translaterer vi med vektoren (a,b): 1 0 a cos 2θ sin 2θ a cos 2θ sin 2θ a 1 0 a sin 2θ cos 2θ 0 sin 2θ cos 2θ b cos 2θ sin 2θ a cos 2θ b sin 2θ + a sin 2θ cos 2θ a sin 2θ + b cos 2θ + b a. Linjene l og m går gjennom origo. Linja l danner vinkelen θ med x-aksen, og linja m danner vinkelen θ + α med x-aksen, slik at linjene danner vinkelen α hverandre. Sett opp matrisene til speilingene S l og S m om de to linjene. Finn så matrisen til sammensetningen av de to speilingene. Hva slags avbildning blir dette? b. Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje som går gjennom et punkt A(a,b) og danner vinkelen θ med den positive x-aksen. c. To parallelle linjer l og m danner vinkelen θ med den positive x-aksen. u er en vektor som står normalt på begge linjene og har startpunkt på l og endepunkt på m. Finn matrisen til sammensetningen av speiling om l med speiling om m. Hva slags avbildning blir dette? Finn matrisen i homogene koordinater til en homoteti med homotetifaktor t og homotetisenter i et vilkårlig punkt A(a,b). Først translaterer vi med vektoren (-a,-b), så bruker vi en homoteti med faktor t fra origo, og til slutt translaterer vi tilbake med vektoren (a,b): 1 0 a t a t 0 a 1 0 a t 0 t a + a 0 t b 0 t b 0 1 b 0 t t b + b a. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs den positive x-aksen en distanse d. Kontroller resultatet på et punkt, for eksempel (1,1) med d2. b. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs en rett linje gjennom origo som danner vinkelen θ med x-aksen og med translasjonsdistanse d. c. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon med speilakse bestemt ved en linje gjennom et punkt A(a,b) ) som danner vinkelen θ med x-aksen og med translasjonsdistanse d. 79

5 . a. Vi setter sammen en translasjon vektor (0,d) med en speiling om x-aksen: d 1 0 d 1 0 d d eller , Rekkefølgen spiller altså ikke noen rolle. Eksemplet: b. Vi roterer først vinkelen θ, speiler så om x-aksen med translasjonsvektor (d,0) og roterer så tilbake vinkelen θ : cosθ sinθ d cosθ sinθ 0 sinθ cosθ sinθ cosθ cosθ sinθ d cosθ cosθ sinθ 0 cos θ sin θ 2 sinθ cosθ d cosθ 2 2 sinθ cosθ d sinθ sinθ cosθ 0 2 sinθ cosθ sin θ cos θ d sinθ cos 2θ sin 2θ d cosθ sin 2θ cos 2θ d sinθ c. Her translaterer vi først med translasjonsvektor (-a,-b), deretter bruker avbildningen fra punkt b., og til slutt translaterer vi med vektoren (a,b): 1 0 a cos 2θ sin 2θ d cosθ 1 0 a sin 2θ cos 2θ d sinθ 0 1 b cos 2θ sin 2θ a + d cosθ 1 0 a sin 2θ cos 2θ b + d sinθ 0 1 b cos 2θ sin 2θ a + d cosθ a cos 2θ b sin 2θ sin 2θ cos 2θ b + d sinθ a sin 2θ + b cos 2θ

6 Sammensetningen av en translasjon vektoren ( c cos α, c sin ) α er da 1 0 c cosα cos 2α sin 2α a cos 2α + b sin 2α a 0 1 c sinα sin 2α cos 2α a sin 2α b cos 2α b cos 2α sin 2α a cos 2α + bsin 2α a + c cosα sin 2α cos 2α asin 2α bcos 2α b + csinα