Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Transkript

1 Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn Hallgren Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

2 Geometriske transformasjoner Fltting og endring av objekter modellert i egne koordinatsstemer Sette sammen objekter av delobjekter Endring av koordinatsstem Også kalt: Modelleringstransformasjoner Koordinattransformasjoner 2

3 Plan Basistransformasjonene Problem: Konstatere problem Løse problemet Basistransformasjonene på ntt Rotasjoner rundt vilkårlig akse Stoff for mer enn en dobbelttime 3

4 Geometriske transformasjoner Skalering Rotasjon Basistransformasjoner ranslasjon Skjærtransformasjoner Refleksjon 4

5 Skalering 2 3 Skalering relativt origo. Referansepunkt: origo 5

6 6 Skalering retningen i skalering retningen i skalering retningen i skalering På matriseform:

7 Rotasjon Rotasjonsvinkel: Rotasjon i planet om origo. Referansepunkt: origo 7

8 8 Rotasjon Ser på rotasjon av ett punkt: φ ρ ρ cos sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ

9 9 Rotasjon På matriseform: cos sin sin cos Rotasjon i --planet kan sees på som rotasjon om -aksen med konstant. I 3D blir da matriseformen: cos sin sin cos

10 Rotasjon På samme måte: rotasjon om -aksen: cos sin sin cos Rotasjon om -aksen: cos sin sin cos

11 Rotasjon Sklisk ombtting som grunnlag for rotasjonsmatrisene om - og -aksene: -> -> -> -> -> -> -> -> ->

12 Rotasjon Enhver rotasjon kan sees på som sammensatt av en rotasjon om hver av koordinataksene. 2

13 ranslasjon 3

14 4 ranslasjon På vektorform: + PROBLEM: lar seg ikke skrive på matriseform ved hjelp av en 33-matrise!!

15 Affine rom Ved hjelp av homogene koordinater: Hjelper oss å skille mellom de geometriske entitetene: punkt og vektorer Ordner opp med translasjons-problemet 5

16 Punkt og vektorer -Punkt er steder i rommet -Vektorer har lengde og retning men er IKKE stedfestet 6

17 Koordinatsstemer e Et koordinatsstem er et vektorrom spent ut av en basis bestående av tre ortonormale enhetsvektorer. e e For å kunne angi koordinater har vi i tillegg et origo 7

18 Vektorrom En mengde av vektorer med gldige operasjoner: addisjon skalar multiplikasjon og med følgende egenskaper: u + v v + u kommutativ u + v + w u + v + w assosiativ u + u nullvektor a + -a ß u + v ß u + ß v distributiv ß + µ u ß u + µ u distributiv ß µ u ß µ u assosiativ u u u v og w er vektorer. ß og µ er skalarer 8

19 Vektorrom og affine rom Vektorrom: Vektorrom av dimensjon n har en basis bestående av n lineært uavhengige vektorer: v v 2 v 3 v n Affine rom: For affine rom inngår i tillegg et referanse-punkt slik at basis blir: v v 2 v 3 v n P 9

20 Affine rom illeggsegenskap for affine rom: v P - Q punkt-punkt subtraksjon gir en vektor Q v + P vektor-punkt sum gir et punkt Begrepet koordinatsstem erstattes med begrepet frame 2

21 Affine rom Vektorer i det affine rommet: v v + 2v2 + K+ nvn + P med representasjonen : [ K ] v 2 n 2

22 Affine rom Punkt i det affine rommet: P v + 2v2 + K+ nvn + P med representasjonen : [ K ] p 2 n 22

23 Homogene koordinater Punkt: Vektorer: p v δ δ δ 23

24 24 Skalering retningen i skalering retningen i skalering retningen i skalering P S P S På matriseform med homogene koordinater:

25 Rotasjon Rotasjon av et punkt om - aksen : cos sin + sin cos 25

26 26 Rotasjon Om -aksen på matriseform i homogene koordinater: P R P R cos sin sin cos

27 27 Rotasjon Rotasjon om -aksen i homogene koordinater: P R P R cos sin sin cos Rotasjon om -aksen i homogene koordinater: P R P R cos sin sin cos

28 28 ranslasjon På matriseform i homogene koordinater: P P Vi har løst problemet!!

29 29 Egenskaper ved skalering Invers transformasjon: o skaleringer etter hverandre: S S res S S S S

30 Egenskaper ved rotasjon Invers transformasjon: Ri Ri i eller o rotasjoner om samme akse etter hverandre: R res Ri i 2 Ri R + 2 Ortogonalitet: R i R i 3

31 3 Egenskaper ved translasjon Invers transformasjon: o translasjoner etter hverandre: res + + +

32 Rotasjon om punkt utenfor origo Rotasjonsakse parallell med -aksen. ranslere slik at rotasjonsaksen faller langs -aksen 2. Rotere 3. ranslere tilbake 32

33 Konkatenering Sammenslåing av transformasjoner Eks.: punktet p gjennomgår transformasjonene A B og C i nevnte rekkefølge: p Ap p Bp BAp p Cp CBAp Resultattransformasjon: MCBA RANSFORMASJONENE KONKAENERES I MOSA REKKEFØLGE I FORHOLD IL REKKEFØLGEN DE UFØRES I 33

34 Rotasjon om vilkårlig akse Q P Rotere vinkelen ß om aksen gjennom punktene P og Q 34

35 Rotasjon om vilkårlig akse Plan:. ranslere slik at Q faller i origo 2. Svinge rotasjonsaksen inn i --planet 3. Svinge rotasjonsaksen slik at den faller sammen med -aksen 4. Rotere vinkelen ß om -aksen 5. Invers av 3 6. Invers av 2 7. Invers av 35

36 Rotasjon om vilkårlig akse Q P Retningsvinkler: og φ φ φ φ Q φ φ Steg - translasjon av rotasjonsaksen 36

37 37 Rotasjon om vilkårlig akse Nttig for fremtidig bruk - enhetsvektor i rotasjonsakseretningen: Q P u Vektor i retningen: Enhetsvektor: u u v

38 38 Rotasjon om vilkårlig akse cos cos cos Q P Q P Q P Q P Q P Q P u u u u φ φ φ + + retningskosinuser

39 39 Rotasjon om vilkårlig akse Q Steg 2 - svinge rotasjonsaksen inn i --planet v d γ Rotasjon : cos sin 2 2 γ γ γ R d d d +

40 Rotasjon om vilkårlig akse OBS! ϕ slik den er merket representere negativ rotasjonsretning d ϕ v sin ϕ v d cos ϕ v d Rotasjon : R ϕ Steg 3 - svinge rotasjonsaksen slik at den faller sammen med -aksen 4

41 4 Rotasjon om vilkårlig akse ransformasjonene for stegen og 2 blir etter dette: : 2 : d d d d R Steg Steg Q Q Q Q Q Q γ

42 42 Rotasjon om vilkårlig akse ransformasjonene for stegen 3 og 4 blir etter dette: cos sin sin cos : 4 : 3 ϕ R Steg d d R Steg

43 43 Rotasjon om vilkårlig akse Den fullstendige transformasjonen blir: Q Q Q Q Q Q R R R R R M γ ϕ ϕ γ

44 Basistransformasjonene Enhver kombinasjon av basistransformasjonene resulterer i en transformasjonsmatrise av formen: M Affine transformasjoner Affine transformasjoner bevarer parallellitet alle tre basistransformasjonene Stive transformasjoner bevarer i tillegg størrelse og vinkler rotasjon og translasjon 44

45 Skifte av koordinatsstem n u v Kjenner koordinatene i -sstemet. Søker koordinatene i uvn-sstemet: P uvn M uvn<- P 45

46 Skifte av koordinatsstem Ser på uvn-sstemet som et objekt skapt i sstemet med akser sammenfallende med sstemets akser ransformasjon til nåværende posisjon med matrisen M Referansen til et punkt i uvn-objektet i sin endelige posisjon referert til -sstem: [ ] som tilsvarer P Referansen til det samme punktet i sin opprinnelige posisjon i -sstemet: [ ] [ u v n ] som tilsvarer P uvn 46

47 Skifte av koordinatsstem Vi får: P M P uvn P uvn M - P M uvn<- M - Konklusjonen er: Matrisen for transformasjon av koordinater i -sstemet til koordinater i uvn-sstemet kommer fram av den transformasjonen som skal til for at uvn-sstemet flttes slik at dets akser faller sammen med -sstemets 47

48 Ortogonale matriser Definisjon av ortogonal matrise: M M eorem: En reell kvadratisk matrise er ortogonal hvis og bare hvis kolonnevektorene og radvektorene hver for seg danner ortonormale sstemer 48

49 49 Ortogonale matriser Rotasjonsmatrisen: Kan vise dette for rene rotasjonsmatriser generelt er ortogonal cos sin sin cos cos sin sin cos R R R R R R R

50 5 Ortogonale matriser [ ] [ ] [ ] Bgger matrisen : : - koordinatsstemet referet til Gitt et sstem av ortonormale enhetsvektorer med komponenter n n n v v v u u u M n n n n v v v v u u u u Dette koordinatsstemet kan være ett som er forankret på en intelligent måte i vårt objekt som skal roteres

51 Ortogonale matriser v Q u n P Rotere vinkelen ß om aksen gjennom punktene P og Q Vesentlig: En av enhetsvektorene legges langs rotasjonsaksen. De to andre enhetsvektorene kan velges fritt slik det er mest hensiktsmessig så lenge de tre danner et ortonormalt sstem 5

52 Ortogonale matriser Bruker matrisen på hver av deortonormale vektorene : Mu Mv Mn [ u u v u n u ] [ ] [ u v v v n v ] [ ] [ u n v n n n ] [ ] De ortogonale enhetsvektorene er rotert til å sammen med hver sin akse i - sstemet falle Rotasjonsaksen vil nå ligge langs en av koordinataksene langs -aksen dersom enhetsvektoren u ble lagt langs rotasjonsaksen 52

53 53 Ortogonale matriser [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dette tilfelle :det opprinnelige i fikk et ntt sstem av ortonormale enhetsvektorer Vi : -sstemet i hver av de normaliserte akseenhetsvektorene og bruker den på danner den inverse matrisen : Vi n n n n M v v v v M u u u u M n v u n v u n v u M Sstemet av ortonormale vektorer er tilbake på sin opprinnelige plass. Rotasjonen er fullført