Oppgaver og fasit til kapittel 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgaver og fasit til kapittel 6"

Transkript

1 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til Oppgaver til seksjon egn ut dobbeltintegralene a) d) e) f) g) xy dxdy der = [1, 2] [2, 4] (x + sin y) dxdy der = [, 1] [, π] x 2 e y dxdy der = [ 1, 1] [, 1] x cos(xy) dxdy der = [1, 2] [π, 2π] xye x2y dxdy der = [, 2] [1, 2] ln(xy) dxdy der = [1, e] [1, e] 1 1+x 2 y dxdy der = [1, 3] [, 1] 2. Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave Vis at enhver nedre trappesum til en funksjon f over et rektangel er mindre enn eller lik enhver øvre trappesum, dvs. at hvis Π 1 og Π 2 er to partisjoner av, så er N(Π 1 ) Ø(Π 2 ). Hint: La Π være en tredje partisjon som inneholder alle delepunkter i både Π 1 og Π 2, og vis at N(Π 1 ) N(Π) Ø(Π) Ø(Π 2 ) 4. Vis at f er integrerbar over hvis og bare hvis det for hver ɛ > finnes en partisjon Π slik at Ø(Π) N(Π) < ɛ. (Du kan få bruk for forrige oppgave) 5. Bevis setning (du kan få bruk for de to foregående oppgavene). 6. Vis at funksjonen f(x) = x 2 ikke er uniformt kontinuerlig på. 7. nta at f : er en kontinuerlig funksjon på et rektangel = [a, b] [c, d]. Vis at det finnes et punkt ( x, ȳ) i slik at f(x, y) dxdy = f( x, ȳ) der er arealet til. Dette kalles ofte middelverdisetningen for dobbeltintegraler.

2 2 Oppgaver til seksjon egn ut dobbeltintegralene a) x 2 y dxdy der = {(x, y): x 2 og y x} d) e) f) g) h) i) (x + 2xy) dxdy der = {(x, y): x 3 og x y 2x + 1} y dxdy der = {(x, y): 1 y 2 og y x y 2 } x cos y dxdy der = {(x, y): y π 2 og x sin y} e x2 dxdy der er området i første kvadrant avgrenset av x-aksen og linjene x = 1 og y = x. x 2 y dxdy der er området avgrenset av kurvene y = x 2 og y = x. x cos(x + y) dxdy der er trekanten med hjørner (, ), (π, ), (π, π). 1 dxdy der er området gitt ved y sin x og 1 y 2 x π 2. x dxdy der er området mellom kurvene y = ln x og y = x 1 e Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave Noen integraler er enklere å regne ut hvis vi bytter integrasjonsrekkefølgen. Løs disse integralene ved å utføre integrasjonene i motsatt rekkefølge. Hint: Lag en skisse over integrasjonsområdet før du prøver å bytte integrasjonsrekkefølgen. a) 1 π 2 1 [ 1 y ex2 [ π 2 x sin y y [ 1 x e x y 2 ] dx dy ] dy dx ] dy dx 4. Vis at verdien til f(x, y) dxdy ikke avhenger av hvilket rektangel vi bruker i definisjonen. 5. nta at 1 og 2 er to disjunkte mengder (dvs. at 1 2 = ), og at f er integrerbar over både 1 og 2. Vis at f(x, y) dxdy = 1 2 f(x, y) dxdy + 1 f(x, y) dxdy 2 Hint: Du kan bruke setning 6.1.2(ii).

3 3 Oppgaver til seksjon Løs integralet ved å bruke polarkoordinater: a) d) e) f) g) xy 2 dxdy der er området i første kvadrant som ligger innenfor sirkelen x 2 + y 2 = 9 (x 2 + y 2 ) dxdy der er området i første kvadrant som ligger innenfor sirkelen x 2 + y 2 = 25 og mellom linjene y = og y = x. e x2 +y 2 dxdy der er området mellom sirklene om origo med radier lik 1 og 4. xy dxdy der er området i første kvadrant avgrenset av x-aksen, linjen y = x og sirkelen x 2 + y 2 = 1 (x 2 y 2 ) dxdy der er området i tredje kvadrant som ligger mellom linjene y = 3 x, y = 3 3 x og innenfor sirkelen x 2 + y 2 = 1. 2 x2 y 2 dxdy der er den delen av sirkelen x 2 + y 2 1 som ligger i første kvadrant. ( x 2 + y 2) 3 2 dxdy der er sirkelen (x 1) 2 + y Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave La være sirkelskiven med sentrum i (1,) og radius 1. a) Vis at dersom f er en kontinuerlig funksjon definert på hele, så er f(x, y) dxdy = egn ut x2 + y 2 dxdy. π 2 π 2 2 cos θ f(cos θ, r sin θ)r dr dθ 4. Vi har en positiv kontinuerlig funksjon r : [α, β]. Et område består av de punktene i planet som har polarkoordinater (r, θ) slik at α θ β, r r(θ). Vis at arealet til er = 1 2 β α r(θ) 2 dθ Bruk denne formelen til å finne arealet til området avgrenset av kurven Lag en skisse av området. r(θ) = sin(2θ) θ [, π 2 ]

4 4 Oppgaver til seksjon Beregn volumet til området E når a) E = {(x, y, z): x 2, y 1, z x + y 2 } E = {(x, y, z): x 1, y x, z x 2 } E = {(x, y, z): 1 x 1, y 2, xy z 3 xy} d) E er området over xy-planet og under grafen z = 32 2x 2 2y 2 e) E er området som ligger under grafen z = x 2 y 2 og over sirkelskiven x 2 + y 2 1 f) E er området som ligger over xy-planet og under grafen z = 4 (x 2) 2 (y + 1) 2 2. En trekantet plate har hjørner i (, ), (1, ) og (1, 1) og tetthet f(x, y) = x. Finn massemiddelpunktet. 3. En plate dekker området = {(x, y) x 1, x 2 y 1} og har tetthet f(x, y) = xy. Finn massemiddelpunktet. 4. egn ut overflatearealet til en kule med radius. 5. Finn arealet til flaten z = x 2 y 2, x 2 + y Finn arealet av den delen av kjegleflaten z 2 = x 2 + y 2 som ligger mellom z = og z = Finn arealet av den delen av kuleflaten x 2 + y 2 + z 2 = 1 som ligger over sirkelen (x 1 2 )2 + y Vis at arealet til en flate r(r, θ) = r cos θ i + r sin θ j + f(r, θ) k der(r, θ) er (under passende betingelser) gitt ved 1 + ( ) 2 f + 1 r r 2 ( ) 2 f r drdθ θ 9. egn ut flatearealet T x2 ds når T er flaten gitt ved z = x 2 +y 2 det x 2 +y egn ut flateintegralet T xyz2 ds der T er den delen av sylinderflaten x 2 + y 2 = 4 der x, y og z egn ut flateintegralet T z2 ds når T er torusen r(u, v) = (5 + 3 cos u) cos v i + (5 + 3 cos u) sin v j + 3 sin u k u, v [, 2π]

5 5 Du kan få bruk for noen av regningene i eksempel En sylinderflate T har parametriseringen r(u, v) = u i + 5 cos v j + 5 sin v k, u [, 2], v [, 2π] Tegn en skisse av flaten og regn ut flateintegralet T x ds. 13. Forklar at en kule om origo med radius har parametriseringen r(θ, φ) = cos θ sin φ i + sin θ sin φ j + cos φ k, θ [, 2π], φ [, π] egn ut r θ r φ. egn også ut flateintegralet xy ds når T er den delen av T kuleflaten som ligger i første oktant (dvs. området der x, y, z ). 14. En avkortet kjegle T har parametriseringen r(u, v) = u cos v i + u sin v j + u k u [1, 2], v [, 2π] egn ut r. egn også ut flateintegralet T x2 z ds. u r v 15. Finn massemiddelpunktet til halvkulen x 2 + y 2 + z 2 = 1, z, når massetettheten er (Prøveeksamen i MT111, 24) (a) La T være området som ligger inni både sylinderen x 2 2x+y 2 = og kulen x 2 + y 2 + z 2 = 4. Finn volumet til T. ( Finn arealet av den delen av overflaten til T som ligger på kuleflaten x 2 + y 2 + z 2 = (Eksamen i MT111 13/8, 24) La D være det begrensede området i 3 som ligger over xy-planet og inni både paraboloiden z = 4 x 2 y 2 og sylinderen x 2 + y 2 = 1. a) Finn volumet til D. Finn arealet av den delen av randflaten til D som ligger på paraboloiden z = 4 x 2 y (Eksamen i MT111 13/6, 27) a) Vis at volumet til omådet avgrenset av planet 2x + 4y z = 4 og paraboloiden z = x 2 + y 2 er gitt ved ( V = 2x + 4y x 2 y ) dxdy der D er sirkelen med sentrum i (1, 2) og radius 3. egn ut V. D

6 6 19. (Eksamen i MT111 14/6, 26) er området i 3 avgrenset av paraboloiden z = x 2 + y 2 og planet z = 2x + 6y 6. a) Forklar at volumet til er V = (2x + 6y 6 x 2 y 2 ) dxdy der = {(x, y) 2 (x 1) 2 + (y 3) 2 4}. egn ut V. Vis at vektorfeltet er konservativt. egn ut G dr der C F(x, y, z) = y 2 z i + 2xyz j + xy 2 k G(x, y, z) = (y 2 z + z) i + 2xyz j + xy 2 k og der C er skjæringskurven til flatene z = x 2 + y 2 og z = 2x + 6y 6. Kurven er orientert mot klokken når du ser den ovenfra. Oppgaver til seksjon Bruk Greens teorem til å regne ut linjeintegralene. I alle tilfeller er kurven C positivt orientert. a) C (x2 + y) dx + x 2 y dy der C er omkretsen til kvadratet med hjørner i (, ), (2, ), (2, 2) og (, 2). C x2 y 3 dx + x 3 y 2 dy der C er omkretsen til trekanten med hjørner i (, ), (3, ), (3, 1) C (x2 y + y) dx + (xy + x) dy der C er omkretsen til trapeset med hjørner i (, ), (1, ), (1, 2) og (, 1) d) C (x2 y + xe x ) dx + (xy 3 + e sin y ) dy der C er omkretsen til området avgrenset av parabelen y = x 2 og linjestykket med endepunkter ( 1, 1) og (2, 4). 2. Kurven C er gitt ved r(t) = t sin(t) i + (2πt t 2 ) j, t [, 2π] Skisser kurven (f.eks. ved å bruke MTLB) og regn ut arealet til området den avgrenser. 3. Kurven C er gitt ved r(t) = sin 2t i + t cos t j, t [, π 2 ] Skisser kurven (f.eks. ved å bruke MTLB) og regn ut arealet til området avgrenset av kurven.

7 7 4. egn ut arealet avgrenset av kurven der a og b er to positive tall. r(t) = a cos 3 t i + b cos 3 t j, t [, 2π] 5. egn ut x dxdy der er området avgrenset av kurven r(t) = (t t 2 ) i + (t t 3 ) j, t [, 1] 6. egn ut y dxdy der er området avgrenset av kurven r(t) = sin t i + t 2 j, t [ π, π] 7. (Eksamen i MT111 13/6, 25) La D være området i 2 som består av punkter (x, y) som oppfyller ulikhetene x 2 + y 2 1 og y. La C være randen til D orientert mot urviseren. Finn verdien av kurveintegralet ( xy + ln(x 2 + 1) ) dx + ( 4x + e y2 + 3 arctan y ) dy C 8. (Eksamen i MT111 13/8, 24) La D være det begrensede området i 2 som er avgrenset av parabelen y = 1 x 2 og x-aksen. La C være den lukkede randkurven til D. Orienter C mot urviseren. a) egn ut kurveintegralet I = C y dx + x2 dy ved direkte utregning av kurveintegralet. egn ut I ved å beregne et dobbeltintegral f(x, y) dxdy av et passelig D skalarfelt f(x, y). 9. (Prøveeksamen i MT111, 24) La D være området i 2 bestemt av ulikhetene x, y og x y 2 x 2. a) Sett opp et dobbeltintegral som har verdi lik arealet til D og regn ut verdien av dette dobbeltintegralet. Beregn arealet av D ved å beregne linjeintegralet av et passelig vektorfelt langs randen til D. 1. (Eksamen i MT111 14/6, 24). a) La D være området av punkter (x, y) i 2 som oppfyller ulikhetene: x 2 + y 2 1, x, y og y x. Lag en skisse av området og beregn dobbeltintegralet I = D (x + y2 ) dxdy ved å innføre polarkoordinater. Beregn I ved å regne ut direkte et kurveintegral P dx+q dy av et passelig C vektorfelt F = P i+q j langs den stykkevis glatte kurven C som utgjør randen til D. 11. (Eksamen i MT111 13/6, 27) er rektanglet med hjørner i (1, 1), (3, 1), (3, 2), (1, 2), og C er omkretsen til orientert mot klokken. Finn F dr der C F(x, y) = (xy 2 y) i + (x 2 y + x) j 12. (Kontinuasjonseksamen i MT111, 26)

8 8 a) En ellipse har ligningen 9x 2 + 4y 2 18x + 16y = 11 Finn sentrum og halvaksene til ellipsen, og lag en skisse av ellipsen i koordinatsystemet. Vis at r(t) = (1 + 2 cos t) i + ( sin t) j, t [, 2π) er en parametrisering av ellipsen i a). egn ut F dr der C F(x, y) = y 2 i + x j og der C er ellipsen med positiv orientering. egn ut (1 2y) dxdy der er området avgrenset av ellipsen. 13. Det er en nær sammenheng mellom Greens teorem og teorien for konservative vektorfelt i seksjon 3.5. Bruk Greens teorem til å vise at dersom F(x, y) = P (x, y) i+ Q(x, y) j er et konservativt felt, så er F dr = for alle enkle, lukkede, stykkevis C glatte kurver C. Oppgaver til seksjon Vis at dersom 1, 2,..., m er delmengder av n med innhold null, så har også m innhold null. 2. I denne oppgaven er og B to delmengder av 2. a) Vis at ( B) B og ( B) B. Vis at dersom og B er Jordan-målbare, så er også B og B Jordanmålbare (du kan få bruk for resultatet i den forrige oppgaven). 3. nta at r : [a, b] er kontinuerlig funksjon. Vis at mengden av alle punkter med polarkoordinater (θ, r(θ)) der θ [a, b] har innhold. Oppgaver til seksjon Løs dobbeltintegralene ved å bruke den angitte substitusjonen. a) x2 dxdy der er området avgrenset av linjene y = x, y = x + 1, y = x, y = x + 2. Sett u = y x, v = y + x x dxdy der er parallellogrammet med hjørner (, ), (3, ), (1, 1), (4, 1). Sett u = x y, v = y. xy dxdy der er området begrenset av linjene y = x 2, y = x 2 + 2, y = 2x og y = 2x 2. Sett u = y x 2, v = y 2x.

9 9 2. Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave 1 uten å skifte variabel. 3. Løs dobbeltintegralet ved å bruke den angitte substitusjonen: a) xy dxdy der er området avgrenset av linjene x + 2y = 1, x + 2y = 3, x = y + 1, x = y + 4. Bruk substitusjonen u = x + 2y, v = x y (x 2 y 2 )e x+y dxdy der er kvadratet med hjørner (,), ( 1, 1), (1, 1), (, 2). Sett u = x + y, v = x y. (y 2 yx) dxdy der er området avgrenset av linjene y = x, y = 2x og kurvene y = 2 x, y = 1 x. Sett u = yx, v = y x. 4. Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave 3 uten å skifte variabel. 5. egn ut dobbeltintegralene. e x y a) x+y dxdy der er området avgrenset av linjene y = x, y = x + 5, y = x + 2 og y = x + 4. xy dxdy der er området avgrenset av linjene y = x, y = 2x og kurvene y = 1 x, y = 3 x. y dxdy der er området avgrenset av linjene y = x 2, y = 2x og kurvene y = 1 x, y = 2 2 x. 2 d) (3x 2y) dxdy der er parallellogrammet utspent av vektorene (2, 1) og (1, 3). e) x dxdy der er området avgrenset av parablene y = x2, y = x 2 + 4, y = (x 1) 2, y = (x 1) Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave 5 uten å skifte variabel. ( ) ( ) a c 7. La være parallellogrammet utspent av to vektorer og som ikke b d ( ) a c er parallelle, og la M være matrisen M = b d ( ) ( ) ( ) x u u a) Vis at avbildningen = T = M avbilder enhetskvadratet K utspent av e 1 og e 2 på y v v. Vis at for alle kontinuerlige funksjoner f er 1 1 f(x, y) dxdy = det M f(au + cv, bu + dv) dudv egn ut e2x 3y dxdy der er parallellogrammet utspent av ( ) 1. 3 ( 2 1 ) og

10 1 8. (Eksamen i MT111 13/6, 25) a) Gitt koordinatskiftet x = u cos v og y = 2u sin v. Beskriv linjen y = 2x i koordinatene u og v. La være området i første kvadrant av xy-planet som er begrenset av x-aksen, linjen y = 2x og ellipsen x 2 + y2 4 = 1. Finn arealet av. Finn arealet av flaten z = x 2 + y2 2, (x, y) (der er området beskrevet i a)). 9. (Eksamen i MT111 16/8, 27) er området i planet avgrenset av linjene y = x, y = 2x, y = x + 1, y = x + 3. Lag en skisse av og regn ut dobbeltintegralet x+y x dxdy I denne oppgaven skal vi se nærmere på en påstand fremsatt i beviset for setning nta at Π er en partisjon av rektanglet = [a, b] [c, d]: a = x < x 1 <... < x n 1 < x n = b c = y < y 1 <... < y m 1 < y m = d der alle x ene og y ene er rasjonale tall. Vis at det finnes en partisjon ˆΠ som inneholder alle delepunktene x i og y j i Π, men der alle delrektanglene ˆ ij er kvadrater av samme størrelse. (Hint: Del opp [a, b] og [c, d] i delintervaller med lengde 1 N der N er fellesnevneren til alle brøkene x, x 1,..., x n, y, y 1..., y m.) Oppgaver til seksjon egn ut e x2 y 2 dxdy der er området i første kavadrant mellom x-aksen og linjen y = x. 2. vgør om integralet x 2 +y 2 dxdy konvergerer eller divergerer. 3. vgør om integralet x dxdy konvergerer når er området i fjerde kvadrant mellom y-aksen funksjonsgrafen y = ln x 4. vgør om integralet xy dxdy konvergerer når er området i første kvadrant under funksjonsgrafen y = 1 x 5. egn ut integralet x 1+y dxdy der er området i første kvadrant som ligger 4 over funksjonsgrafen y = x La = {(x, y) 2 x 2 + y 2 1}. vgjør for hvilke verdier av p integralet 1 (x 2 +y 2 ) dxdy konvegerer, og regne ut verdien i disse tilfellene. p Oppgaver til seksjon Beregn trippelintegralet: a) xyz dxdydz når = [, 1] [, 1] [, 1]

11 d) e) (x + ye z ) dxdydz når = [ 1, 1] [, 1] [1, 2] zy cos(xy) dxdydz når = [1, 2] [π, 2π] [, 1] (x + y + z) dxdydz når = [, 1] [, 2] [, 3] ( y 3z) dxdydz når = [2, 3] [, 1] [ 1, 1] 2. Beregn trippelintegralet: a) (xy + z) dxdydz når = {(x, y, z): x 1, y 2, d) e) z x 2 y} z dxdydz når = {(x, y, z): x 2, y x, y 2 z xy} (x + y)z dxdydz når = {(x, y, z): y 4, x y, (3y 2 3z) dxdydz z 4} når er området avgrenset av koordinatplanene og planet 3x + 2y z = 6 xy dxdydz når er pyramiden med hjørner i (,, ), (1,, ) (, 1, ) og (,, 1). 3. Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave 1 (det kan ta tid!). 4. Bruk MTLB til å regne ut integralene i oppgave 2 (det kan ta tid!). 5. nta at er en rektangulær boks, og at f, g : er kontinuerlige funksjoner. Vis at (i) kf(x) dxdydz = k f(x) dxdydz for alle konstanter k (ii) (f(x) + g(x)) dxdydz = f(x) dxdydz + g(x) dxdydz (iii) (f(x) g(x)) dxdydz = f(x) dxdydz g(x) dxdydz Oppgaver til seksjon Bruk sylinderkoordinater til å beregne: a) x dxdydz når = {(x, y, z): x, y og x 2 + y 2 9, xy dxdydz z x2 + y 2 dxdydz og z 2} når = {(x, y, z): x 2 + y 2 1 og z 4 x y når = {(x, y, z): x 2 + (y 1) 2 1 og z 2}, 11

12 12 2. Bruk kulekoordinater til å beregne trippelintegralet: a) (x 2 + y 2 ) dxdydz når er kulen om origo med radius 1 x dxdydz når = {(x, y, z): x, y, z 1 2 og x 2 + y 2 + z 2 1} 1 dxdydz når = {(x, y, z): z 2 x 2 + y 2 1, 3y 2 x 2, x } 3. egn ut trippelintegralet. a) z dxdydz der er området over paraboloiden z = x2 + y 2 og under kuleflaten x 2 + y 2 + z 2 = 2. x dxdydz der = {(x, y, z) x2 + y 2 z 4}. e x 2 +y 2 +z 2 dxdydz der er kulen med sentrum i origo og radius 1. d) x2 + y 2 dxdydz der er området inni sylinderen x 2 + y 2 = 1, mellom xy-planet og flaten z = (x 2 + y 2 ) 3 2. e) (x2 +y 2 ) dxdydz der er området begrenset av sylinderen x 2 2x+y 2 = 1 og planene z = og z = 2. f) (x 3y + 4z) dxdydz der er parallellepipedet utspent av vektorene (1, 1, ), (2,, 3) og (,, 4). 4. La være parallellepipedet utspent av tre vektorer a 1 a 2 a 3, som ikke ligger i samme plan, og la M være matrisen M = a) Vis at avbildningen x y z = T K utspent av e 1, e 2 og e 3 på. u v w = M Vis at for alle kontinuerlige funksjoner f er f(x, y, z) dxdy = = det M u v w b 1 b 2 b 3 og a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 c 1 c 2 c 3 avbilder enhetskuben f(a 1 u+b 1 v+c 1 w, a 2 u+b 2 v+c 2 w, a 3 u+b 3 v+c 3 w) dudvdw egn ut (2x 3z) dxdy der er parallellogrammet utspent av og 1.,

13 13 5. (Eksamen i MT111 14/6, 24) La D være området som både ligger på innsiden av kjeglen z = x 2 + y 2 og på innsiden av kuleflaten x 2 + y 2 + z 2 = 1. Beregn D z dxdydz. 6. (Kontinuasjonseksamen i MT111 26) egn ut x2 + y 2 dxdydz der = {(x, y, z) 3 x 2 + y 2 + z 2 4}. 7. La være kulen med sentrum i origo og radius, og anta at a >. Vis at 1 4π3 dxdydz = x2 + y 2 + (z a) 2 3a Dette resultatet er viktig i fysikk der det kan brukes til å vise at gravitasjonskraften fra en homogen kule er den samme som om all massen var samlet i sentrum. 8. En begrenset mengde 3 har innhold null dersom det for enhver ɛ > finnes en endelig samling 1, 2,..., n av rektangulære bokser med sider parallelle med koordinataksene slik at n, og summen av volumene til 1, 2,..., n er mindre enn ɛ. Vis at hvis K er en lukket, begrenset delmengde av 3 og f : K er kontinuerlig, så har grafen til f innhold null. Oppgaver til seksjon Bruk et trippelintegral til å regne ut volumet til en kule med radius. 2. Finn volumet til det området som ligger under grafen z = e x+y og over trekanten med hjørner i (,, ), (1,, ) og ( 1 2, 1 2, ). 3. Finn volumet av den delen av kulen x 2 +y 2 +z 2 = 2 som ligger over kjegleflaten x z = 2 +y Finn volumet til området som ligger inni både sylinderen x 2 + y 2 = 1 og kulen x 2 + y 2 + z 2 = Finn volumet til ellipsoiden x2 a 2 u = x a, v = y b, w = z c. + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 ved å innføre nye variable 6. Finn massen til sylinderen x 2 + y 2 1, z 1, når tettheten er f(x, y, z) = 1 (x 2 +y 2 +z 2 ). 7. Finn massemiddelpunktet til området når tettheten er 1. = {(x, y, z) x 2 + y 2 z 4}

14 14 8. Vis at massemiddelpunktet til en homogen pyramide med hjørner i (,, ), (a,, ), (, b, ) og (,, er 1 4 (a, b,. 9. (Eksamen i MT111 13/6, 25) La D være det begrensede området i 3 som er gitt ved ulikhetene x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2. Finn volumet av D. 1. (Eksamen i MT111 16/8, 27) Finn volumet til området over xy-planet som ligger under kuleflaten x 2 + y 2 + z 2 = 1 og over kjegleflaten z 2 = 3x 2 + 3y (Prøveeksamen i MT111 V-6) er området i rommet avgrenset av flatene z = 6 x 2 y 2 og z = x 2 4x + y 2. a) Vis at integralet I = y dxdydz er lik S (6y 2x 2 y 2y 3 + 4xy) dxdy der S = {(x, y) 2 (x 1) 2 + y 2 4}. egn ut integralet i a). C er skjæringskurven mellom flatene z = 6 x 2 y 2 og z = x 2 4x + y 2, og den er orientert mot klokken sett ovenfra. Vis at C har parametriseringen r(t) = (1 + 2 cos t) i + 2 sin t j + (1 4 cos t) k og regn ut kurveintegralet F dr der F(x, y, z) = z i + y j + x k. C Fasit Seksjon a) 9, π 2 +2, 2 3 (e 1), d) 2 π, e) 1 8 Seksjon 6.2 ( e 8 e 4 4 ), f) 2(e 1), g) ( ) ln 2+ π 6 1. a) d) 1 6 e) e 1 2 f) 3 56 g) 3π 2 h) π2 8 i) e e a) e e 1 3 Seksjon a) π π(e16 e) d) 1 16 e) f) π 6 (2 2 1) g) π 8

15 15 Seksjon a) d) π e) f) 8π 2. x = 3 4, ȳ = x = 4 7, ȳ = π 2 5. π 6 ( ) 6. 2π. 7. π 2 9. π 12 ( ) π π sin φ, π u, 31 2π (,, 1 2 ) 16. a) 16 9 (3π 4), 8π a) 7π 2 π 6 (5 5 1) π π 24π Seksjon a) 4, , d) π π πab

16 π 3 24π 7. 2π 8. a) a) og a) og π a) Sentrum (1, 2), halvakser a = 2, b = 3 3π 3π Seksjon a) a) 11 27, e2 + 1, 3 4 ln a) ln 2 2 (1 e 5 ) 2 ln d) (e7 + e 7 2) e) 2 8. a) Beskrivelse av linjen: u = eller v = π 4 + kπ, der k Z, real = π 4 π 24 (5 5 1) 9. 2 Seksjon π 8 2. Divergerer 3. Konvergerer mot Divergerer 5. π 8 6. Konvergens for p > 1 mot π p 1 Seksjon a) 1 8 e2 e 1 d) 18 e) a) d) e) 1 12

17 17 Seksjon a) a) 8 15 π π 24 π a) 7π 12 8π(1 5 e ) d) π e) 3π f) π π 2 Seksjon π π π 3 (8 3 3) 5. 4πabc 3 6. π2 2 + π ln 2 7. (,, 8 3 ) 9. π 3 (2 3) 11.

Multippel integrasjon

Multippel integrasjon Innhold 6 Multippel integrasjon 3 6. Dobbeltintegraler over rektangler................ 4 6. Dobbeltintegraler over begrensede områder.......... 6 6.3 Dobbeltintegraler i polarkoordinater..............

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

Multippel integrasjon

Multippel integrasjon Innhold 6 Multippel integrasjon 3 6. Dobbeltintegraler over rektangler................ 3 6. Dobbeltintegraler over begrensede områder.......... 4 6.3 Dobbeltintegraler i polarkoordinater..............

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.4-3.6 Oppgaver til seksjon 3.4 1. Anta at f(x, y) = x 2 y 3 og r(t) = t 2 i + 3t j. Regn ut g (t) når g(t) = f(r(t)). 2. Anta at f(x, y) = x 2 e xy2 og r(t) = sin t i+cos

Detaljer

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B

Eksamensoppgaver og Matematikk 1B Eksamensoppgaver 7500 og 750 Matematikk B Samlet for SIF5005 Matematikk våren 00 Samlingen inneholder utvalgte oppgaver gitt i 7500 og 750 Matematikk B ved NTH/NTNU i tiden 993 997. Oppgaver eller punkter

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).

(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392). Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.

Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π. Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006 Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28. NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0

e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0 LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe

Detaljer

Løsning, Stokes setning

Løsning, Stokes setning Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

The full and long title of the presentation

The full and long title of the presentation The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen

Detaljer

Løsning IM

Løsning IM Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, våren 16 i Matematikk 3 Løsningsforslag Ellipsen vil skal finne er på standardform x a + y b 1 der a > b for styrelinjene er vertikale linjer. Formelen for styrelinjene er x

Detaljer

y = x y, y 2 x 2 = c,

y = x y, y 2 x 2 = c, TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 3. mai Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKSAMEN i MATEMATIKK 3 Onsdag 3. mai kl. 9 4 agnummer: V39A aglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.7-3.10 Oppgaver til seksjon 3.7 I oppgave 1 til 7 skal du avgjøre om feltet er konservativt og i så fall finne en potensialfunksjon. 1. F(x, ) = (x + x) i + x j. F(x,

Detaljer

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk

Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen IRF30014, høsten 15 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Eksamen IRF314, høsten 15 i Matematikk 3 øsningsforslag I denne oppgaven er det to løsningsforslag. Ett med asymptotene som gitt i oppgaveteksten. I dette første tilfellet blir tallene litt

Detaljer

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag

NTNU. MA1103 Flerdimensjonal analyse våren Maple/Matlab-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal analyse våren 2012 Maple/Matlab-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y

(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y

Detaljer

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag

Eksamen i MAT1100 H14: Løsningsforslag Eksamen i MAT H4: Løsningsforslag Oppgave. ( poeng) Dersom f(x, y) x sin(xy ), er f y lik: A) sin(xy ) + xy cos(xy ) B) x cos(xy ) C) x y cos(xy ) D) sin(xy ) + x y cos(xy ) E) cos(xy ) Riktig svar: C):

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07

Løsningsforslag til eksamen i MAT1110, 13/6-07 Løsningsforslag til eksamen i MAT, 3/6-7 Oppgaveteksten er gjengitt i kursiv Oppgave : a) Finn de stasjonære (kritiske) punktene til f(x, ) = x + 4x Løsning: Finner først de partiellderiverte: (x, ) x

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0

dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,

Detaljer

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft

Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene

Detaljer

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9

Ma Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.

Detaljer

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder

Prøve i R2 Integrasjonsmetoder Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.

Detaljer

Obligatorisk oppgåve 1

Obligatorisk oppgåve 1 FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.

Detaljer

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark)

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark) KANDIDATNUMME: EKAMEN EMNENAVN: Matematikk 3 EMNENUMME: EA32 EKAMENDATO: 8.desember 28 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANVALIG: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl.

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 4. juni 22 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærere: Hans Petter Hornæs. Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, Formelsamling. Oppgavesettet

Detaljer

Tegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3

Tegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3 Integral y x Vi har integralet e x dxdy yx y Tegn en skisse som tydelig iser integrasjonsområdet og grensene: Integrassjonsområdet bestemmes a øre og nedre grenser i integralene Integranten har ingen betydning

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).

Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15). Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss

Integralsatser: Green, Stokes og Gauss Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y

Detaljer

NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007

NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 2007 NY Eksamen i matematikk III, 5 studiepoeng. August 7 Oppgave a. Regn ut gradienten til funksjonen f(x, y) = x +y +xy. I hvilken retning øker f mest når x = og y =? b. Regn ut kurveintegralet f(x, y) ds

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag

Matte 3 (HiB) Tommy Odland. 5. mai Sammendrag Matte 3 (HiB) Tommy Odland 5. mai 2016 Sammendrag Dette heftet inneholder en rask oppsummering av Matte 3 (HiB), også kalt multivariabel kalkulus. Formålet er å gi studentene litt intuisjon rundt emnene.

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003

Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister 8. desember 2003 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 og AA6526 Elever og privatister Bokmål 8. desember 2003 Videregående kurs II Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Les opplysningene

Detaljer

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv

TMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.

Detaljer

Løsning, funksjoner av flere variable.

Løsning, funksjoner av flere variable. Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av

Detaljer

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut):

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): MA1103 vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 10M Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1. 2. 3. 4. 5.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle

Detaljer

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk.

F = x F 1 + y F 2 + z F 3 = y 2 z 2 + x 2. i j k F = xy 2 yz 2 zx 2 = i(0 ( 2yz)) j(2xz 0) + k(0 2xy) = 2yzi 2xzj 2xyk. TMA415 Matematikk 2 Vår 215 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 12 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling,

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,

Detaljer

Tillegg om flateintegraler

Tillegg om flateintegraler Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

Eksamen Ma 3 red.pensum 2006

Eksamen Ma 3 red.pensum 2006 Eksamen Ma B høst 6.nb Eksamen Ma red.pensum 6 Oppgave

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8

BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8 Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)

Detaljer

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formler.)

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formler.) KANDIDATNUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDATO: 25. mars 29 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl. forside

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100, H06 Løsningsforslag til eksamen i MAT, H6 DEL. poeng Hva er den partiellderiverte f z xyz cosxyz x sinyz + xyz cosyz xy cosyz x sinyz + xz cosyz cosyz xyz sinyz når fx, y, z = xz sinyz? Riktig svar b: x sinyz

Detaljer

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum Integrasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 5 Areal ved Riemann sum... 5 Areal ved trapesmetoden... 6 Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 8 Volum ved rotasjon...

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Løsning, Trippelintegraler

Løsning, Trippelintegraler Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer