Geometri i planet. Kapittel Geometrisk tolkning av lineære avbildninger

Transkript

1 Kaittel 4 Geometri i lanet I dette og det neste kaitlet skal vi studere vektorrom i og dimensjoner, dvs. R og R. Vi har valgt å kalle kaitlene geometri i lan eller rom fordi vi i utgangsanktet skal bruke den generelle teorien for vektorrom til å forstå geometrien i lanet og rommet. Mye av det vi gjør her vil være sentralt grunnlagsstoff nå vi siden skal studere symmetrier av geometriske objekter, f.eks. molekyler. et rett-vinklet koordinatsystem. Punktet P P(x,y ) å figuren har x-koordinat x og y-koordinat y. 4. Geometrisk tolkning av lineære avbildninger Vi starter med å studere vektorer i lanet. Vi vil etter hvert ha mer bruk for å ha god kunnska om romlige vektorer, men det er enklere å gi en innføring i teorien for vektorer i lanet, for så generalisere til vektorer i rommet. Som vi har sett tidligere bruker vi alltid notasjonen R for det reelle lanet. Normalt vil vi bruke samme notasjon for et unkt og en vektor. Når vi har bruk for begge deler samtidig vil det framgå av sammenhengen hva som er hva. Punkter i lanet vil vi da betegne med en stor bokstav, f.eks. P R, mens en vektor som oftes uttrykkes med en liten, boldface bokstav, v R. Begge deler sesifiseres med et ar av reelle tall (a,b). Tallene a og b er unktets eller vektorens koordinater. Standardbasisen {e,e } danner Figur 4.. Et rett-vinklet koordianatsystem. Standardbasises svarer til verdien å de to aksene. Vi skal se å hvordan vi kan tolke lineæravbildninger geometrisk. Relativt til standardbasisen vil en lineær oerator T : R R være gitt ved en -matrise der de to søylene utgjør bildene av de to basisvektorene e og e. Avbildningen er bestemt av disse to vektorene, så vi kan illustrerer avbildningen T ved å se å firkanten som er bildet av enhetskvadratet med hjørner (, ), (,), (,) og (,). (se figur) Figur 4.. En rotasjon og skalering 47

2 Alle invertible lineære oeratorer i lanet kan skrives som en sammensetning av elementære oerasjoner, gitt ved elementære matriser. Definisjon 4... Det finnes tre tyer elementære oerasjoner i lanet; q i) Skalering, med matrise X q (eller Y q q eller S q q ) for et reelt tall q 6 q og som forstørrer eller forminsker kvadratet i en eller to retninger. ii) Permutering, med matrise s som seiler kvadratet om linja y x. k i) Forskyvning, med matrise F k for et reelt tall k 6 som skyver øvre del av kvadratet, men beholder grunnlinjen. avbildes å origo, og bildet av de to enhetsvektorene e og e kaller vi f og f. Først må vi avklare om (f,f ) er orientert å samme måte som (e,e ). Hvis det ikke er tilfelle må vi multilisere med ermutasjonsmatrisen for å endre rekkefølgen å de to sidekantene. Deretter roterer vi firkanten tilbake slik at f ligger å x-aksen. Samtidig skalerer vi slik at f får lengde. Nå har vi kommet fram til en firkant hvor grunnlinjen er enhetsvektoren langs x-aksen. Nå gjør vi en forskyvning slik at f lasseres å y-aksen, og til slutt gjør vi en skalering i vertikal retning for å skikre at høyden å firkanten er. Vi skal gjennomføre denne rosessen å et eksemel. Figuren illustrerer bildet av enhetskvadratet etter multilikasjon med A f (,) f (,) Figur 4.. Forskyvning Det første vi ser er at f og f står i motsatt rekkefølge av e og e. Det betyr at vi må bytte dem rundt, som igjen betyr atvi må multilisere med ermutasjonsmatrisen. Det gir oss matrisen A og en figur hvor vi har seilet firkanten om y x; f (,) f (,) Figur 4.4. Horisontal skalering Proosisjon 4... En hver invertibel -matrise A kan skrives som et rodukt av elementære matriser. Bevis. Vi skal gi et geometrisk bevis for denne åstanden. Vi har allerede sett at enhetskvadratet avbildes å en firkant når vi multiliserer med A. rigo Vi lar hele tiden f i betegne bildet av den orinnelige f i. Neste ste er å rotere firkanten slik at den høyre sidekanten (sett fra origo) flyttes til x-aksen. Vinkelen mellom x-aksen og sidekanten er 4,så vi må rotere med 48

3 den motsatte vinkelen q og vi får 4. Det svarer til matrisen Vi vil gjerne at høyre sidekant skal ha lengde, så vi skalerer med en faktor. Det gir oss Figuren ser nå ut som f (,) f (, ) Vi følger å med å forskyve horisontalt slik at venstre sidekant faller sammen med y-aksen. Det svarer til å multilisere med matrisen, og vi får Til slutt skalerer vi med en faktor i vertikal retning; og vi ender o med enhetskvadratet f e Siden A bringer enhetskuben over i den skjeive firkanten og B bringer firkanten tilbake til enhetskuben burde det ikke være noen stor overraskelse at B A. Utregningen A B bekrefter denne åstanden. Vi har ved et geometrisk resonnement vist hvordan vi kan skrive en hver invertibel matrise som et rodukt av elementære matriser. Hvis vi i tillegg skal ta med ikkeinvertible matriser må vi føye en ny matrise til listen over elementære matriser. For å kunne redusere rangen til en matrise trenger vi en rojeksjon, f.eks. gitt ved Denne matrisen rojiserer vertikalt ned å x-aksen. Mer generelle rojeksjoner vil kunne skrives som en kombinasjon av denne rojeksjonen og assende rotasjoner og translasjoner. Eksemel 4... Lineæravbildningen gitt ved v v rojiserer en vilkårlig vektor normalt inn i underrommet {(t, t) t R}. Denne linja kan vi dreie til x-aksen ved en rotasjon med vinkel 4. Deretter rojiserer vi vertikalt å x-aksen, for så å dreie tilbake. Det gir oss den sammensatte matrisen f e 4. Stive bevegelser i lanet Den sammensatte oerasjonen for å bringe firkanten tilbake til enhetskvadratet er dermed gitt ved et rodukt av elementære matriser; B S F S r s 4 I I dette kaitlet skal vi se å en bestemt tye avbildninger av lanet inn i seg selv, kalt stive bevegelser. Noen slike avbildninger er lineære og derfor gitt ved en - matrise, men som vi snart skal se, har vi også bruk for en annen tye avbildninger, det som kalles translasjoner. Definisjon 4... En translasjon i lanet er en avbildning T a : R R gitt ved der a R. T a (x)x + a 49

4 Definisjon 4... En avbildning m : R R kalles en stiv bevegelse eller en isometri hvis den bevarer avstander, dvs. for vilkårlig valgte unkter P,Q R så er P Q m(p) m(q). En isometri som avbilder en delmengde F av lanet å seg selv kalles en symmetri av F. Ikke-trivielle translasjoner (dvs. der a 6 ) er ikke lineære siden vi har mens og dermed T a (x + y)x + y + a T a (x)+t a (y)x + a + y + a x + y + a T a (x)+t a (y) 6 T a (x + y) Avstander i lanet eller lengder av vektorer finner vi ved å bruke Pythagoras setning. Definisjon 4... La (a,b ) og (a,b ) være to unkter i lanet. Avstanden mellom unktene er gitt ved q (a,b ) (a,b ) (a a ) +(b b ) Lengden av en vektor svarer til avstanden fra vektorens koordinater til origo, dvs. vi setter (a,b )(,), a og lengden av v blir da b q v (a,b ) (a,b ) (,) a + b Dette kan vi også uttrykke ved matrisemultilikasjon. Eksemel 4... (,4) s (4) v v T v Får å studere figurer i lanet eller legemer i rommet, ser vi å avbildninger som ikke forandrer formen å figuren eller legemet. Slike avbildninger tilhører en klasse av avbildninger som kalles stive bevegelser. Eksemler å isometrier er rene forflytninger og rotasjoner. Eksemel 4... La T e være translasjonen gitt ved T e (x)x +(,) Da vil T e være en symmetri av x-aksen siden unkter (a,) å x-aksen vil avbildes å (a +,) som også ligger å x-aksen. Siden vi har får vi T a ;P 7 P + a T b (T a (P)) T a (P)+b (P + a)+b P +(a + b) og det følger at T b T a T a+b Summen av to translasjoner er en ny translasjon. I tillegg til translasjoner har vi to andre tyer av isometrier i lanet, og etter hvert skal vi se at alle isometrier kan skrives som sammensetninger av translasjoner og disse to. Definisjon I tillegg til translasjoner har vi to tyer av stive bevegelser i lanet; (i) Rotasjon: Rotasjon med en vinkel q 6 om et fast unkt P. (ii) Refleksjon: Refleksjon om en linje `. Proosisjon stiv bevegelse. a) Identitetsavbildningen er en b) Dersom m,m : R R er to stive bevegelser, da er også sammensettingen av de to avbildningene en stiv bevegelse. c) Dersom m er en stiv bevegelse, så er også den inverse avbildningen m en stiv bevegelse. Bevis. Alle unktene følger mer eller mindre direkte fra definisjonen av en stiv bevegelse. 5

5 Lemma La m : R R være en avbildning av lanet å seg selv. Da er følgende utsagn om m ekvivalente: (a) Avbildningen m er en isometri som fikserer origo. (b) Avbildningen m bevarer skalarrodukt, dvs. for alle P,Q R har vi m(p) m(q)p Q (c) Avbildningen m er venstre-multilikasjon med en ortogonal matrise og derfor lineær. Bevis. En isometri tilfredsstiller (m(p) m(q)) (m(p) m(q)) (P Q) (P Q) for alle vektorer P og Q. Setter vi Q og antar at m fikserer origo, dvs. m(q),så følger det at m(p) m(p)p P for alle P. Kombinasjon av disse to likhetene gir at (a) ) (b). Vi kan også vise at (b) ) (c). Anta at m bevarer skalarroduktet og la S {e,e } være standardbasisen for R. La A (m(e ),m(e )) være matrisen til m relativt til S. Egenskaen i (b) gir at A er en ortogonal matrise, og det samme vil være tilfelle for A. Sammensetningen A m vil bevare skalarroduktet, og i tillegg fiksere hvert basiselement. Det følger at A m er identiteten og derfor har vi A m(p)p, eller m(p)ap. Til slutt antar vi at (c) er sann og viser (a). Vi har m(p) m(q) (m(p) m(q)) T (m(p) m(q)) (AP AQ) T (AP AQ) (A(P Q)) T (A(P Q)) (P Q) T A T A(P Q) (P Q) T (P Q) P Q siden ortogonale matriser ofyller likheten A T A Id. I tillegg har vi at m()a. a b rtogonale -matriser A er definert c d gjennom relasjonen A T A Id, det vil si a b a c a + b ac + bd c d b d ac + bd c + d eller a + b c + d, ac + bd. Det gir at a + b og (c,d)±( b,a). Det betyr at alle ortogonale -matriser er å formen a b a b, eller b a b a Eksemel 4... La A Da har vi og søylene står normalt å hverandre. A er derfor en ortogonal matrise. Proosisjon Enhver isometri kan skrives som en sum av en ortogonal lineær oerator og en translasjon, dvs. m(x)ax + B Bevis. La b m(). Da har vi at T b (b) og T b m er en stiv bevegelse som holder origo i ro; T b m(). Fra Lemmaet får vi at eller at m(x)ax + b. T b m(x)ax Vi kan dele isometrier i lanet inn i to hovedgruer, orienterings-bevarende og orienteringsreverserende. Definisjon En stiv bevegelse m(x) Ax + b i lanet er orienterings-bevarende dersom det(a) og den er orienterings-reverserende dersom det(a). I raksis betyr ordningsbevarende at avbildningen beholder rekkefølgen å basis-vektorene når vi betrakter dem fra origo og følger en bestemt omløsordning, f.ek.s mot klokka. For en translasjon har vi at A er identitetsmatrisen, og den er derfor orienteringsbevarende. En rotasjon i lanet kan uttrykkes ved matrisen cosq sinq r q sinq cosq for en rotasjonsvinkel q [,) og det(r q ). Vi kan f.eks. sette q. Det gir r 5

6 å, og y-aksen, gitt som tar x-aksen, gitt ved ved å. Hvis vi setter sammen to rotasjoner med rotasjonsvinkler q og q vil vi gjerne at svaret skal bli en rotasjon med vinkel q + q. Det stemmer også analytisk ved å bruke formelene for cosinus og sinus til vinkelsummer; cosq sinq r q r q cosq sinq sinq cosq sinq cosq cos(q + q ) sin(q + q ) sin(q + q ) cos(q + q ) r q +q hvor vi har brukt at og cos(q + q )cosq cosq sinq sinq den også lineær. Vi har også refleksjoner om vilkårlige linjer gjennom origo. La y ax være en rett linje gjennom origo. Vi lukker ut et unkt (x,y) å linja med (x,y) ; Lemma Punktet P (, a ) + a + a ligger å linja y ax og P. Bevis. Vi har og y a a ax + a + a (, a ) + a + a s a ( + a ) +( + a ) sin(q + q )sinq cosq + cosq sinq Eksemel Rotasjon med en vinkel er gitt ved matrisen A Det gir f.eks. for A ; A som svarer til rotasjon med en vinkel. Refleksjoner vil alltid ofylle relasjonen r Id. I et assende valgt koordinatsystem kan vi skrive en refleksjon å formen r Denne ofyller r Id, og den har determinant lik -. Refleksjonen r a a avbilder å, som betyr at den reflekterer om b b x-aksen. Siden den er gitt ved matrise-multilikasjon er Siden unktet P (, a ) + a + a ligger å enhetssirkelen finnes det en entydig q mellom og ( inkludert, men ikke ) slik at P (cosq,sinq) Dermed kan vi gi en refleksjon om linja y ax ved først å rotere med en vinkel q (som bringer linja til x-aksen), så seile om x-aksen, og så rotere tilbake med vinkelen q. På matriseform får vi cosq sinq cosq sinq sinq cosq sinq cosq cos q sin q sinq cosq sinq cosq sin q cos q Bruker vi nå at og dermed cosq, sinq a + a + a cos q sin q a a, sinq cosq + a + a 5

7 får vi at refleksjonen om linja y ax er gitt ved a a +a +a a a +a +a Retningen å linja y ax er gitt ved en vektor (,a). Det a betyr at vektoren v står normalt å linja. Vi kan regne ut Householder-matrisen til denne vektoren. Q v I vvt v T v a a +a +a a a +a +a a a + a a Vi ser at de to matrisene blir det samme, men vi kommer fram til svaret å to forskjellige måter. Hvis vi setter sammen to refleksjoner, om forskjellige linjer, så vil determinanten til den sammensatte avbildningen være. Det følger av roduktformelen for determinanter og at ( )( ). Sammensetningen er fortsatt en stiv bevegelse og den er en lineær avbildning, altså er den en rotasjon. Proosisjon 4... La ` og ` være to linjer gjennom origo, og la q være vinkelen mellom dem. Da vil sammensetningen av de to rotasjonene svare til en rotasjon med vinkel q. Bevis. For enkelthets skyld lar vi ` være x-aksen, og ` er gitt ved y ax. Da vet vi fra det vi har gjort tidligere at seiling om linja ` er gitt ved matrisen a a +a +a a a +a +a a a + a a a Vi vet også at seiling om x-aksen er gitt ved matrisen Setter vi disse to sammen, først seiling om x-aksen, dernes om y ax,får vi å matriseform a a + a a a a a + a a a Fra argumentene over har vi at a a + a a a cos q sin q sinq cosq sinq cosq cos q sin q cosq sinq r sinq cosq q Denne matrisen gjenkjenner vi altså som en rotasjon med en vinkel q. Vi kan føre et mer geometrisk bevis for denne roosisjonen. ` q a Bevis. [Alternativt] La P være et vilkårlig unkt i lanet og la ` være linja gjennom origo og P (se figuren over). Vi kaller vinkelen mellom ` og ` for a. Det betyr at vinkelen mellom ` og ` er q + a. Refleksjon om ` bringer linja ` til en linje ` som har vinkel a med ` og q a med linja `. Refleksjon om ` bringer linja ` til en linje som har vinkel (q a) a q med linja `. Det betyr at sammensettingen tar en linje med vinkel q + a om ` til en linje med vinkel a q om `. Sammensettingen roterer derfor linja ` med en vinkel q + a (a q)q. Rotasjoner som matrise-multilikasjon svarer til at vi roterer om origo. Vi er interessert i å rotere om et vilkårlig unkt i lanet, eller reflektere om en vilkårlig linje. Måten vi fikser dette å er ved translasjon å flytte henholdsvis rotasjonssenter og seilings-linje til origo. Så gjennomfører vi rotasjonen og/eller refleksjonen, for så å flytte rotasjonssenteret tilbake til origo. Eksemel Vi skal se å avbildningen i lanet som roterer med vinkel q om unktet Q (,) (mot klokka). Vi flytter først rotasjonssenteret til origo med translasjonsavbildningen T (,). Deretter gjennomfører vi rotasjonen r, for så å flytte tilbake igjen ` ` P 5

8 med T (,). Dette gir T (,) r T (,) (x) (x )+ x + x + Vi kan formulere dette eksemelet mer generelt. Anta at vi skal rotere om et unkt Q, og rotasjonen er gitt ved multilikasjon med en matrise A. Vi starter med et vilkårlig unkt x. Vi flytter rotasjonssenteret til origo, og unktet x følger etter, beskrevet ved v Q. Nå er rotasjonssenteret origo, og rotasjon gir oss A(v Q)Av AQ Til slutt flytter vi origo tilbake til Q, og vi ender o med v Av AQ + Q Hvis vi setter sammen to rotasjoner med forskjellig rotasjonssenter viser det seg at vi ender o med en rotasjon med et tredje rotasjonssenter. Vi lar de to rotasjonene være gitt ved og v A v A Q + Q v A v A Q + Q Setter vi dem sammen, får vi v A (A v A Q + Q ) A Q + Q A A v A A Q + A Q A Q + Q Vi kan finne rotasjonssenteret til den sammensatte avbildningen ved å løse A A v A A Q + A Q A Q + Q v Det gir rotasjonssenter v (A A I) (A A Q A Q + A Q Q ) og rotasjonen er gitt ved matrisen A A. Hvis vi lar Q Q Q reduserer dette uttrykket seg til v Q. Hvis vi lar A A A får vi v A A v A A Q + A Q A Q + Q v Q + AQ AQ + Q v +(I A)(Q Q ) som betyr at i det tilfellet er den sammensatte bevegelsen en translasjon. En sesielt interessante tye isometrier er de som ofyller m k Id for et helt tall k. Det betyr at eller m k (x)a k k x +( A j )b x  j (A k k Id)x +( A j )b  j Dette skal gjelde for alle x. Sesielt skal det gjelde for x, som betyr at og derfor at også k (  j for alle x. Men det betyr at A j )b (A k Id)x A k Id Vi sier at matrisen A har endelig orden, i dette tilfellet orden k. Eksemel I det forrige eksemlet så vi å rotasjoner om (,) med rotasjonsvinkel. Vi kaller denne avbildningen S. Hvis vi skriver x (x,x ),får vi x x x + S( ) + x Det gir og S(S( S(S(S( og endelig x x x x x + )) S( x S(S(S(S( ))) x x x ) x + x + x + )))) x x x + x + x x + x som betyr at S 4 Id, og rotasjon med vinkelen har orden 4. x 54

9 Eksemel Vi skal se å en seiling R om linja x + y. Vi lukker et unkt å linja, f.eks. (,) (her kan vi faktisk velge et vilkårlig unkt å linja, svaret vil bli det samme uansett). Translasjon med (,) flytter linja til en linje gjennom origo. Deretter roterer vi linja med en vinkel q 4 og legger linja langs med x-aksen. Så reflekterer vi om x-aksen, og avslutter med å gjøre rotasjonen og translasjonen i motsatt retning av hva vi startet med. Det gir Nå har vi r ± 4 R T (,) r 4 ± r T 4 (,) og derfor r r 4 4 ± Men det gir R(x) + (x ) + x + x + Denne avbildningen ofyller R (x) ( x + x + + x )+ I tillegg ser vi at for unkter å seilingslinja, (x, x) så får vi x x R( ) + x x x x + x x Refleksjoner har altså orden. I det forrige eksemlet så vi at refleksjon om en linje avbilder unktene å linja å seg selv. Dette er en viktig egenska og har derfor følgelig få sitt eget navn. Definisjon 4... La m : R R være en stiv bevegelse i lanet. Et unkt i lanet som ved m avbildes å seg selv, m(p)p, kalles et fiksunkt for m. Mengden av alle fiksunkter; F m {P R m(p)p} kalles fiksunktsmengden til m. Fiksunktsmengden til en seiling S` om en linje ` er linja `; F S` `. Fiksunktsmengden til en rotasjon derimot er kun ett unkt, rotasjonssenteret. Translasjoner har ingen fiksunkter, siden T a (x)x + a x betyr at a. Avbildningen T kaller vi normalt ikke en translasjon siden det faktisk er identitetsavbildningen, og denne har hele lanet som sin fiksunktsmengde. Siden fiksunktsmengdene er vesensforskjellige for de forskjellige tyene av stive bevegelser, kan vi bruke denne egenskaen til å karakterisere dem. Det gir oss følgende resultat: Proosisjon 4... La m : R R være en stiv bevegelse i lanet med fiksunktsmengde F m. Da har vi følgende karakterisering: i) Hvis F m R,så er m identitetsavbildningen. ii) Hvis F m er en linje, så er m en seiling. iii) Hvis F m er et unkt, så er m en rotasjon. iv) Hvis F m / (den tomme mengden), så er m en translasjon. Bevis. Følger fra argumentet over og klassifikasjonen av stive bevegelser i lanet. Eksemel La m : R R være gitt ved m(x) x + Vi finner fiksunktene til m ved å løse likningen x + x 55

10 Vi omformer den til ( )x x som har løsning {(x,x ) R x + x }. Dette er en hel linje, så den stive bevegelsen er en seiling. 4. Symmetrier av lane figurer Vi har tidligerenevnt begreet symmetri av en mengde F i lanet. I dette kaitlet skal se litt nærmere å dette. Vi begynner med å reetere definisjonen. Definisjon 4... La F R være en mengde (endelig eller uendelig) av unkter i lanet. En stiv bevegelse m : R R kalles en symmetri av F dersom m(f)f. Mengden av symmetrier for F skriver vi som Sym(F), og vi bruker navnet symmetri-grue om denne mengden. Eksemel 4... La ` være en linje i lanet. Da vil translasjoner langs linja være symmetrier for linja. Det samme vil være tilfelle for seilinger om linja. Dette utgjør alle mulige symmetrier for linja, og er dermed en beskrivelse av Sym(`). Eksemel 4... La C være enhetskvadratet med hjørner (, ), (, ), (, ) og (, ). Symmetriene Sym(C) til C er gitt ved (i) Identitetsavbildningen (alltid en symmetri), (ii) Rotasjoner om midtunktet (, ) med en vinkel som er et helt multiel av, (iii) Seilinger om midtlinjene x og y (grønne linjer), dessuten diagonalene y x og y x (røde linjer). Symmetri-gruer har noen viktige, felles egenskaer. Proosisjon 4... La F R være en mengde av unkter i lanet med tilhørende symmetri-grue Sym(F). Da har vi a) Identitetsavbildningen er med i Sym(F). b) Dersom m,m : R R er to symmetrier av F, da er også sammensetningen av de to avbildningene en symmetri. c) Dersom en avbildning m er med i Sym(F), så er også den inverse avbildningen en symmetri. Bevis. Resultatet følger direkte fra et tilsvarende resultat for stive bevegelse. 4.4 Plane krystaller I krystaller danner molekylene et regelmessig mønster som gjentar seg i alle retninger. Det betyr at hele strukturen er bestemt av et lite utsnitt, som vi kaller et fundamentalomeråde eller en enhetscelle for krystallen. I dette kaitlet skal vi se å krystaller i lanet, som en forberedelse til det romlige studiet. Det er naturlig nok langt færre muligheter for å danne krystallinske strukturer i lanet enn i rommet. I rommet finnes det, mens det bare er 7 forskjellige i lanet. Plane krystaller kalles også for taetmønstre siden taeter også er bestemt av et lite utsnitt som gjentar seg i to retninger. Definisjon La M være en endelig mengde av unkter i lanet, og la a og b være to lineært uavhengige vektorer. Vi sier at mengden M {T na+mb (M) n,m Z} danner en krystallstruktur eller et gitter generert av mengden M. Eksemel Eksemel 4... Symmetriene til en sirkel er alle rotasjoner om sentrum av sirkelen, i tillegg til alle seilinger om en vilkårlig valgt diameter. 56

11 Et krystallmønster generert av de fire hjørnene i et kvadrat med en enhetscelle markert. Eksemel slik rotasjonssymmetri. Det betyr at vi kan finne et rotasjonssenter og en minste vinkel r slik at r(p) M for alle P M. La P M være et unkt i gitteret med minst avstand til rotasjonssenteret. Rotasjonssenteret kan være et unkt i gitteret, men det trenger ikke. Uansett vil P ale d. Symmetri betyr at r(p) også er et gitterunkt, og derfor må vi ha r(p) P > d. Vi kan bruke cosinus-setningen å trekanten med hjørner, P og r(p). Hvis vi setter P r(p),såvil r(p) P + cosq ( cosq) hvor q er rotasjonsvinkelen. Siden vi må ha Et krystallmønster generert av de seks hjørnene i en regulær sekskant med en enhetscelle markert. Det vil være mange muligheter for å velge en enhetscelle, men vi forsøker alltid å velge den så liten som mulig, det vil si at ingen av unktene i enhetscellen er translater av hverandre. Krystaller danner diskrete konfigurasjoner. Det betyr at vi ikke har noen ohoning av unkter i gitteret der avstanden mellom dem nærmer seg og det finnes derfor en minste avstand mellom to unkter. Proosisjon La M være en lan krystallstruktur. Da finnes det et ositivt tall d d(m ) slik at alle avstander i gitteret er større enn eller lik med d. Bevis. La d være den minste avstanden mellom to unkter i enhetscellen M. To vilkårlige unkter i gitteret er gitt ved T n a+m b(x) og T n a+m b(y) der x,y M. For hver differanse mellom unkter x og y i enhetscellen kan vi finne et gitterunkt med den minste avstanden til vektoren x y. Siden det kun finnes endelig antall ar av unkter i M vil det også finnes en nedre grense d for disse avstandene. Det betyr at avstanden mellom to vilkårlige unkter T n a+m b(x) T n a+m b(y) x y +(n n )a +(m m )b > d Pr. definisjon vil en krystallstruktur ha to translasjonssymmetrier, T a og T b. Strukturen kan også ha rotasjonssymmetrier, slik som i eksemlet over. Anta at vi har en r(p) P følger det at cosq eller cosq ale. Det betyr at rotasjonsvinkelen q. En annen konsekvens av at vi har en minste avstand i gitteret er at rotasjonsymmetrien må være endelig, det vil si at r k Id for et naturlig tall k. Hvis det ikke var tilfelle, ville vi hatt uendelig mange gitterunkter rundt rotasjonssenteret, i samme avstand fra senteret, noe som ikke er forenlig med en minste avstand mellom unktene. Proosisjon En rotasjonssymmetri r for et lant gitter må ha orden,,, 4 eller 6. Bevis. Det følger av argumentet over at rotasjonsvinkelen q må være større enn eller lik. Hvis r q, følger det at r ale 6. Tilfellet r 5 trenger litt særbehandling. La c være det minste translatet i M. Det betyr at c er minimal blant alle c slik at M + c M. La nå P M. Da har vi r (r (P + c)+c)p + c + r (c) M for alle P M. Hvis vi lar r være en rotasjon av orden 5får vi + r cos sin 4 5 sin 4 5 cos 4 5 cos sin 4 5 sin 4 5 cos Hvis vi bruker denneoeratoren å en vektor av lengde, f.eks. (,), får vi + r cos 4 ( ) 5 + sin

12 med (kvadratet av ) absoluttverdien; Det betyr at (cos ) +(sin 4 5 ) + cos ( 5) 5 < c + r (c) < c som gir oss en motsigelse siden c var antatt å gi det minste translatet. Eksemel I tillegg til de rene translasjonen, rotasjonene og refleksjonene kan vi sette sammen symmetrier. Det gir oss flere muligheter: i) Sammensetting av to translasjoner T a og T b gir oss en ny translasjon T a+b. ii) Sammensetting av to rotasjoner gir oss en ny rotasjon om et tredje rotasjonssenter. iii) Sammensetting av to refleksjoner gir oss en ny rotasjon med skjæringsunktet mellom de to refleksjonslinjene som rotasjonssenter. iv) Sammensetting av en translasjon T a og en rotasjon om unktet P gir oss en tilsvarende rotasjon om unktet P (A I) Aa, hvor rotasjonen er gitt ved matrisen A. Gjør vi rotasjonen først, vil sammensettingen være en tilsvarende rotasjon om unktet P +(A I) a. v) Translasjon og refleksjon gir oss en refleksjon om en ny linje, tilsvarende for motsatt rekkefølge. vi) En rotasjon satt sammen med en refleksjon gir oss en ny refleksjon, hvor refleksjonslinja er både flyttet og dreid. Et krystallmønster med rotasjonssymmetri av orden 6. Gitteret kan også ha refleksjonssymmetrier. Det innebærer at vi kan finne en linje ` slik at seiling om linja er en symmetri av M. Eksemel Til sammen finnes det 7 ulike symmetrikonfigurasjoner. Vi skal ikke gi noen full klassifikasjon her, men vi gir noen eksemler. I den generelle klassifikasjonen vil man naturlig stille o noen sørsmål i en standard rekkefølge. Det første er å avklare ordenen til rotasjons-symmetriene,,,, 4 eller 6. Dernest sjekker vi om det finnes refleksjons-symmetrier. Når det er avklart gjelder det åfå oversikt over sammenhengen mellom rotasjoner refleksjoner og translasjoner. Her dukker det o fenomener som: rotasjonssenter å eller utenfor refleksjons-linjer, glide-refleksjoner eller ordinære refleksjoner og glide-akser sammenfallende med refleksjons-linjer. Et krystallmønster med flere refleksjonssymmetrier 58

13 4.5 gaver med løsning Eksemel En lineær avbildning T : R R er gitt ved T (x,y)( x + y,x + y) a) Skriv o avbildningen å matriseform, x x T ( )A y y b) Forklar hvorfor T avbilder enhetskvadratet å firkanten med hjørner (,), (,), (, ) og ( +, + ). c) Finn et rodukt av elementære matriser som avbilder firkanten i b) å enhetskvadratet. d) Regn ut A ved å gange sammen roduktet i c). Løsning.. Metodevalg: Vi skal dekomonere den inverse til A ved en sekvens av elementære matriser, først en ermutasjon hvis nødvendig, dernest en rotasjon og eventuelt en horisontal skalering. Så en forskyvning og eventuelt en vertikal skalering.. Regning: Matrisen A er gitt ved (T ( ) T ( )) Hjørnene i firkanten er rett orientert, så vi trenger ikke noen ermutasjon. Vinkelen mellom x-aksen og ( q,) er 6 siden lengden av (,) er + + og cos 6. Rotasjon med en vinkel 6 er gitt ved Denne avbilder (,) å Horisontal skalering med sender å X og å. Neste skritt er en forskyvning som tar y-aksen. Den er gitt ved og vi får Det gir oss sammensetting (som gir A ); A Vi kan sjekke at svaret er riktig ved å regne ut inn å Eksemel Vi skal sette sammen to stive bevegelser. Den ene, T, er en rotasjon med en vinkel 4 om unktet (,), og den andre, T, er en refleksjon om linja y x. a) Skriv o formler å formen T i (v)a i v + b i for de to avbildningene. b) Regn ut komosisjonen T T, og finn fiksunktene. Bruk det til å avgjøre hva slags stiv bevegelse dette er. og (, ) å Løsning.. Metodevalg: Vi bruker formelene for rotasjon og refleksjon gitt i dette kaitlet i komendiet. 59

14 . Regning: For rotasjonen har vi cos T (x) 4 sin 4 sin 4 cos (x 4 x + Refleksjon om linja y x er gitt ved T (x) Sammensettingen blir da T (T (x)) x )+ x + x + Fiksunktene til denne funksjonen finner vi ved å sette T (T (x)) x. Det gir eller x + x x + Setter vi x (x,x ) såmå vi løse likningssettet ( )x + x x +( )x Vi kan gange den nederste likningen med gir likningen ( )x + x. Det som er samme likning som den første. Det betyr at vi har en hel fiks-linje, gitt ved ( + )x x Altså er komosisjonen en refleksjon om denne linja. 4.6 gaver gave. Skriv o matriseformen for rotasjonene: a) Med vinkel. b) Med vinkel. c) Med vinkel 4. d) Med vinkel 5. gave. Finn matriseformen til følgende stive bevegelser: a) Refleksjon om y-aksen. b) Refleksjon om linja y x. c) Refleksjon om linja y x. gave. Finn formelen for de stive bevegelsene: a) Refleksjon om linja y. b) Refleksjon om linja x + y. c) Refleksjon om linja y x +. gave 4. Finn formelen for de stive bevegelsene gitt som: a) Rotasjon om (,) med vinkel. b) Rotasjon om (,) med vinkel. c) Rotasjon om (,) med vinkel 6. d) Rotasjon om (,) med vinkel 4. gave 5. Finn formelen til følgende avbildninger: a) Refleksjon om linja y, deretter om linja y. b) Rotasjon med vinkel om unktet (,), deretter med vinkel om unktet (,). c) Refleksjon om linja y x, deretter refleksjon om linja y x. gave 6. Regn ut roduktet av en rotasjonsmatrise om origo og en refleksjon om x-aksen. gave 7. Hva blir den inverse til en rotasjon med vinkel q om origo? 6

15 I de neste ogavene har vi gitt en illustrasjon av bildet av enhetskvadratet ved en avbildning av lanet å seg selv. Gi en formel i hvert tilfelle for denne avbildningen. Hjørnet A er bildet av (,), mens hjørnet B er bildet av (,). gave 8. gave. m() A B A (,) og B (,). gave 9. B A A (,) og B (,). rigo er flyttet til m() (,). gave. Finn fiksunktene til avbildningen T (x) x + A A (,) og B (,). gave. B A A (,) og B (,). gave. B gave 4. Finn fiksunktene til avbildningen T (x) x gave 5. Finn fiksunktene til avbildningen T (x) x + gave 6. Finn fiksunktene til avbildningen T (x) x gave 7. En lineær avbildning T : R R er gitt ved T (x,y)( y,x) Skriv o avbildningen å matriseform, x x T ( )A x x B m() A (,) og B (,). rigo er flyttet til m() (,). A og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes å. gave 8. En lineær avbildning T : R R er gitt ved T (x,y)(x y,x + y) Skriv o avbildningen å matriseform, x x T ( )A x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes å. x 6

16 gave 9. En avbildning T : R R er gitt ved T (x,y)( + x, + y) Skriv o avbildningen å matriseform, x x T ( )A + b x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes å. gave. En avbildning T : R R er gitt ved x T (x,y)( + y, + x + y) Skriv o avbildningen å matriseform, x x T ( )A + b x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes å. I de neste ogavene skal vi finne et uttrykk for sammensettingen av to stive bevegelser, S og T. Skriv o formler å formen Ax + b for de to avbildningene og regn ut komosisjonsavbildningen T S. gave. La S være en translasjon med translat (,) og T en translasjon med translat (,). gave. La S være en translasjon med translat (,) og T en rotasjon om (,) med rotasjonsvinkel q. gave. La S være en rotasjon om unktet (,) med rotasjonsvinkel q og T en rotasjon om (,) med rotasjonsvinkel q. gave 4. La S være refleksjon om linja y x og T en rotasjon om (,) med rotasjonsvinkel q. gave 5. La S være en translasjon med translat (, ) og T refleksjon om linja y x. x 6