Geometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved

Transkript

1 Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også ir. Vi tar med resultatene her, men hoer over bevisene der det ikke er noe forskjell. Vi begynner imidlertid med noen sesielle regneregler for vektorer i rommet, og som ikke nødvendigvis har noen aralleller i lanet. 5. Vektorer i R I mange tilfeller kan det være vanskelig å skille mellom unkter og vektorer i rommet, begge deler angis med -tuler av reelle tall. Imidlertid er det en forskjell å dem. Et unkt P i rommet eksisterer uavhengig av valg av koordinatsystem, vi trenger faktisk ikke bestemme oss for noe koordinatsystem i det hele tatt. Beskrivelsen som et -tuel derimot baserer seg å et valg av koordinatsystem, og beskriver unktets lassering i forhold til dette koordinatsystemet. En vektor v kan vi tenke å som en il i rommet. En il har en retning og en lengde, og begge disse størrelsene er uavhengig av valg av koordinatsystem. Når vi har bestemt oss for et koordinatsystem kan vi lassere en vektor (il) med sin start-ende i oriogo. Den andre enden av ila eker da å et unkt i rommet. Vektoren vil da bli gitt ved koordinatene til dette unktet, relativt til det valgte koordinatsystemet. Noen resultater og størrelser vil være avhengig av valg av koordinatsystem, mens andre vil ikke være det. En vanlig størrelse som er avhengig av valg av koordinatsystem, eller mer sesifikt valg av enhet å aksene, er lengden av en vektor v.når vi har valgt et koordinatsystem kan vi angi en vektor ved et -tuel v =(a,b,c). Lengder av vektoren finner vi ved å bruke Pythagoras setning. Definisjon 5... La v =(a,b,c) være en vektor i R. Lengden av v er gitt ved v =(v T v) = a + b + c Vi skal hovedsakelig være interessert i ortonormale koordinatsystem. Ortonormale koordinatsystem henger sammen med ortonormale basiser for R. I en ortonormal basis har basisvektorene lengde og de står normalt å hverandre. Standardbasisen {e,e,e } der e e e er et eksemel å en ortonormal basis. Fortrinnet til ortonormale basiser er at det er enkelt å beregne koordinatene til et unkt eller en vektor. En vektor v R har koordinater relativt til standardbasisen gitt ved skalarroduktet v i = v e i i =,, og tilsvarende for en vilkårlig annen ortonormal basis. Merk at det er vanlig å bruke notasjonen for standardbasisen i R. i = e j = e k = e Eksemel 5... Mengden B = {v,v,v } der v v 4, v danner en ortonormal basis for R. I mange tilfeller vil vi ha gitt en vektor (av lengde ), og vi ønsker å finne en ortonormal basis som involverer denne vektoren. I lanet har vi en enkel formel for å finne en vektor som står normalt å en annen vektor. I -rommet har vi også formler for dette.

2 Lemma 5... a b R c være en vektor med lengde, dvs. a + b + c =. Dersom (a,b) =(,) vil vektorene og w = v b a a + a + b ac bc (a + b ) ha lengde og stå normalt å hverandre og å u, det vil si Bevis. Ren utregning. v v = w w = u v = u w = v w = Eksemel 5... Hvis vi bruker formelen i lemmaet å får v w = Det finnes en vektor-konstruksjon som er helt sesiell for R, det såkalte kryssroduktet av to vektorer. Den viktigste egenskaen til dette roduktet er at den konstruerte vektoren står normalt å de to vi starter med. Dette kan vi selvfølgelig utnytte når vi skal konstruere ortonormale basiser. Definisjon 5... La v,w R være to vektorer. Vi definerer kryssroduktet v w av de to vektorene ved formelen v w = i j k v v v w w w =(v w v w )i +(v w v w )j +(v w v w )k v w v w v w v w v w v w Eksemel 5... Vi skal regne ut kryssroduktet v w for vektorene v =(,,) og w =(,,). Vi har v w = i j k = i j + 5k Eksemel La u =(,,), u =(,, ).Vi kan bruke kryssroduktet til å finne en tredje vektor u slik at de tre vektorne utgjør en basis. Utregning gir u u = i j k =(,,) Siden kryssroduktet er forskjellig fra vet vi også at de to vektorene er lineært uavhengig. Proosisjon Kryssroduktet har følgende egenskaer (u,v,w R,k R); i) Lineært i begge faktorer; ii) nti-kommutativt; iii) Ortogonalitet; iv) Selv-utslettende; (u + v) w = u w + v w u (v + w)=u v + u w (ku) v = u (kv)=k(u v) u v = v u u (u v)=v (u v)= u 4

3 v) Tilfredsstiller Jacobi-identiteten; u (v w)+v (w u)+w (u v)= Egenska iii) sier at kryssroduktet står normalt å de to vektorene som inngår i roduktet. Bevis. Følger direkte fra definisjonen. Eksemel Vi skal regne ut Jacobi-identiteten for vektorene u =(,,), u =(,,) og u =(a,b,c). Vi har som gir u u =(,,) u u =(,c, b) u u =(c,, a) (u u ) u =( b,a,) (u u ) u =(b,,) (u u ) u =(, a,) Vi ser at summen av de tre vektorene er. Det er verdt å merke seg at lengden av kryssroduktet er lik arealet av arallellogrammet utsent av de to vektorene som inngår. Dett er det lett å se dersom vi antar at den ene vektoren er (,,). Hvis den andre vektoren er gitt ved v =(v,v q,v ),så vil arealet av arallellogrammet være gitt ved v + v. Samtidig vil kryssroduktet av u og v være u v =(, v,v ), og lengdene stemmer overens. Formelen for den ortonormale basisen gitt i lemmaet over baserer seg å kryssroduktet. Vi a b c w = v, v b a a + a + b ac bc (a + b ) For standardbasisen har vi de svært vakre sammenhengene i j = k, j k = i, k i = j Eksemel 5... Vi kan bruke disse formelene sammen med linearitetsegenskaene til vektorroduktet til å forenkle utregninger: La u = i j, u = i + j k. Da har vi u u =(i j) (i + j k) = i i + i j i k j i j j + j k = + k + j + k + i = i + j + k Vi kan kombinere kryssrodukt og skalarrodukt i det som kalles trielroduktet. Definisjon Trielroduktet av tre vektorer u,v,w er definert ved [u,v,w]=(u v) w Ved å bruke definisjonen av kryssrodukt kan vi gi en fin formel for trielroduktet; Proosisjon 5... La (u,u,u ), v =(v,v,v ) og w =(w,w,w ) være tre vektorer i rommet. Da har vi at trielroduktet [u,v,w]= u u u v v v = det() w w w der er matrisen med søyler (eller rader) u,v,w. Bevis. Følger direkte fra formelene for kryss- og skalar-rodukt. Eksemel Vi skal regne ut trielroduktet av vektorene (,,), v =(,,) og w =(,,). Vi bruker formelen [u,v,w]= Lemma Vi har = (u v) w =(v w) (w v) u Bevis. Følger fra roosisjonen over siden to ombyttinger av rader i en determinant ikke forandrer verdien av determinanten. Det siste resultatet gir at vi kan bytte om rekkefølgen i trielroduktet uten å forandre verdien. Det eneste 5

4 vi må asse å er fortegnet. Reglen er at så lenge vi beholder rekkefølgen å faktorene, så endres ikke tegnet. Med rekkefølge mener vi rekkefølge i syklisk forstand, det vil si at, og gir samme rekkefølge, mens,, gir den motsatte rekkefølgen. Trielroduktet ofører seg ganske ent i forhold til å gange vektorene med en matrise. Proosisjon La være en -matrise. Da har vi [u,v,w]=det()[u,v,w] Bevis. Trielroduktet [u,v,w] er gitt ved determinanten til en matrise med de tre vektorene som sine søylevektorer. Men det er det samme som determinanten til matriseroduktet (uvw) Eksemel La være matrisen gitt ved v Vi skal regne ut trielroduktet [u,v,w] å to måter. Først beregner v = Det gir trielrodukt Så regner vi ut og [u,v,w]= det()= [u,v,w]= og roduktet blir igjen w =, = 4 = = 5. Ortogonale -matriser Ortogonale matriser er definert gjennom relasjonen T = Id. lle søylene i en ortogonal matrise har derfor lengde og de står normalt å hverandre, det vil si at skalar-roduktet mellom to forskjellige søyler er. Det er historiske grunner som ligger bak navnet ortogonal matrise. Siden søylene har lengde skulle man kanskje tenke seg at matrisene burde omtales som ortonormale. Men det gjør vi altså ikke. Vi skal liste o noen egenskaer ved ortogonale matriser som vi tidligere har gjennomgått, i tillegg til at det etter hvert kommer noen nye: - Produktet av to ortogonale matriser er en ortogonal matrise. - Determinanten til en ortogonal matrise er ±. - lle (de reelle) egenverdiene til en ortogonal n nmatrise har absoluttverdi. - La være en ortogonal -matrise med determinant det()=. Da har en egenvektor v med tilhørende egenverdi l =. Proosisjon 5... La være en ortogonal - matrise med determinant det() =. Da har en egenvektor v med tilhørende egenverdi l =. Bevis. Vi har c ( )=det( + I)=det( + T ) = det() det(i + T )=det() det( + I) = det() c ( ) Siden vi har antatt at det() = følger det at c ( ) =, som er ekvivalent med at l = er en egenverdi. Eksemel 5... La være den ortogonale matrisen Da er B v ) en egenvektor med egenverdi -. C

5 Proosisjon 5... La være en ortogonal matrise, og la v være en egenvektor med egenverdi ±. La W = v? være det ortogonale komlementet til v det vil si alle vektorer i rommet som stå normalt å v. Da har vi W = W. Bevis. La w ofylle w T v =. Da har vi (w) T v = w T T v = w T v = ±w T v = og det følger at v står normalt å v. Proosisjon 5... La være en ortogonal - matrise, og la v,w R. Da har vi Bevis. Vi har v w = v w v w =(v) T w = v T T w = v T w = v w Eksemel 5... Vi betrakter den ortogonale - matrisen B og de to vektorene Da har vi v = Videre har vi v = + 4, w = og med litt mer regning, C, w = v w = v w = som stemmer med resultatet over. + + C Proosisjon La v = være en vektor i R. Da er Householder-matrisen ortogonal. Q v = I vvt v T v Eksemel 5... Vi kan regne ut Householder-matrisen for v =(,,). Det () Q v = I + + Denne matrisen er åenbart ortogonal. Siden standardbasisen er en ortonormal basis kan vi skrive v =(v T e )e +(v T e )e +(v T e )e Det gir oss et direkte argument for følgende resultat: Lemma La v,w R. Da har vi at v = w hvis og bare hvis v T w T u for alle u R. Proosisjon 5... La være en ortogonal - matrise, og la v,w R. Da har vi v w =(det) (v w) Bevis. Det holder å vise at for alle x R. Vi har [v,w,x]=(det)(v w) x [v,w,x]=[v,w, x] = det()[v,w, x] = det()(v w) x = det()(v w) x = det()(v w) x Eksemel Vi betrakter igjen den ortogonale -matrisen B C 7

6 og de to vektorene Vi har v v w +, w = + 4 og det følger med litt regning at + v w + + Vi har også og derfor Bruker vi at (v det()= v w får vi det aktuelle resultatet Isometrier i R = I dette avsnittet skal vi se å isometrier i R. Slik som tilfellet var med de ortogonale matrisene i forrige avsnitt, vil også mange av definisjonene og resultatene i dette avsnittet ha klare analogier med tilsvarende definisjoner og resultater i R.Iså fall gjengir vi kun resultatene, uten å ta med bevisene. Definisjon 5... En avbildning m : R! R kalles en isometri (stiv bevegelse) hvis den bevarer avstander, dvs. for vilkårlig valgte unkter P,Q R så er P Q = m(p) m(q). En isometri som avbilder en delmengde F R å seg selv kalles en symmetri av F. Proosisjon 5... isometri. a) Identitetsavbildningen er en b) Dersom m,m : R! R er to isometrier, da er også sammensettingen av de to avbildningene en isometri. c) Dersom m er en isometri, så er også den inverse avbildningen m en isometri. Mengder som ofyller de tre unktene i roosisjonen kalles i matematikken for en grue. Lemma 5... La m : R! R være en avbildning av lanet å seg selv. Da er følgende utsagn om m ekvivalente: (a) vbildningen m er en isometri som fikserer origo. (b) vbildningen m er venstre-multilikasjon med en ortogonal matrise og derfor lineær. Siden en isometri avbilder R å seg selv, vil den r. definisjon være en symmetri av R. Symmetrier som bevarer origo, og som i henhold til resultatet over er gitt ved multilikasjon med en ortogonal matrise, kalles unkt-symmetrier. Vi skal i resten av kaitlet konsentrere oss om unkt-symmetrier, eller ekvivalent; ortogonale matriser. Det betyr at vi i hovedsak skal studere isometrier å formen m(x)=x der er en ortogonal -matrise. Vi deler isometriene (eller unkt-symmetriene) inn i to hovedgruer, orienterings-bevarende, med determinant og orienterings-reverserende med determinant -. Definisjon Mengden av ortgonale -matriser kalles den ortogonale grua og skrives O(). Inneholdt i O() ligger SO(), som er de ortogonale - matrisene med determinant. Teorem La m(x)=x være en unkt-symmetri definert ved en ortogonal -matrise. Da kan skrives som et rodukt av en rotasjon og en refleksjon. Bevis. Vi vet at en ortogonal matrise har determinant det()=±. Hvis det()=,så har vi tidligere vist at 8

7 har en egenvektor v med egenverdi, og at tar det ortogonale komlementet W = v? til denne vektoren å seg selv. Det betyr at restriktert til W så svarer til en orienteringsbevarende isometri av et lan, det vil si at svarer til en rotasjon av W. Dersom det()=, så har en egenvektor v med tilhørende egenverdi -. Matrisen avbilder det ortogonale komlementet v? til v å seg selv. Det gjør også Householder-matrisen Q v og dermed også roduktet av dem Q v Dette roduktet har determinant ( ) = og svarer til en rotasjon. Det betyr at kan skrives som et rodukt av denne rotasjonen og refleksjonen gitt ved Q v. Proosisjon 5... To refleksjoner gir en rotasjon om skjæringslinja mellom de to refleksjonslanene. Bevis. Siden refleksjoner er ortogonale matriser med determinant det() =, vil roduktet være en ortogonal matrise med determinant, altså en rotasjon. I tillegg vil denne avbildningen olagt fiksere snitett av de to refleksjonslanene, som dermed gir oss rotasjonsaksen. iii) Hvis F m er en linje, så er m en rotasjon. iv) Hvis F m er et unkt, så er m en sammensetting av en refleksjon og en rotasjon. Bevis. Resultatet er en osummering av ting vi har vist tidligere. Proosisjon Enhver unkt-symmetri kan skrives som et rodukt av eller refleksjoner. Bevis. På bakgrunn av hva vi har vist tidligere, holder det å vise at en vilkårlig rotasjon kan skrives som et rodukt av to refleksjoner. Vi betrakter en rotasjon med rotasjonsvinkel q. La v være rotasjonsaksen til rotasjonen, og velg en vektor w som står normalt å denne. La Q w være den ene refleksjonen. Vi vet at denne refleksjonen fikserer normallanet til w og derfor også v. La videre w være en vektor som står normalt å v og som danner en vinkel q med w, og la Q w være den andre refleksjonen. Vektoren v fikseres også av denne refleksjonen og v fikseres sesielt av begge de to refleksjonene. Nå kan vi bruke et tidligere resultat til å fastslå at rotasjonen om v er gitt ved q = q som var det vi ville ha. En ortogonal matrise som ofyller k = Id sies å ha endelig orden, i dette tilfellet orden k. F.eks. vil en refleksjon ha orden. Definisjon La m : R! R være en unktsymmetri. Et unkt P R som ved m avbildes å seg selv; m(p)=p, kalles et fiksunkt for m. Mengden av alle fiksunkter; F m = {P R m(p)=p} kalles fiksunktsmengden til m. Klassifikasjon av unkt-symmetrier i rommet blir litt forskjellig fra det lane tilfellet; Proosisjon La m : R! R være en unktsymmetri med fiksunktsmengde F m. Da har vi følgende karakterisering: i) Hvis F m = R,så er m identitetsavbildningen. ii) Hvis F m er et lan, så er m en refleksjon. 9

8 5.4 Ogaver med løsning Eksemel I denne ogaven har vi ogitt en Finn to andre vektorer v og w slik at de tre vektorene til sammen gir en basis for R. Løsning.. Metodevalg: For å finne v skal vi bruke formelen i Lemma 5.., mens w skal vi finne som kryssroduktet av u og v.. Regning: Vi har a = og b =. Det gir q a + b = + = og dermed v = Vektoren w finner vi w = (i j + k) (i + j) = (i i + i j j i j j + k i + k j = (k + k + j i) = ( i + j + Eksemel Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v =(,,) å v, den andre tar w =(,,) å w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonslanene. Løsning.. Metodevalg: Refleksjonslanene står normalt å de ogitte vektorene. Skjæringslinja mellom lanene vil derfor være definert av en vektor som står normalt å begge vektorene. Denne kan vi finne ved å ta kryssroduktet av de to vektorene.. Regning: Kryssroduktet er gitt ved v w =(j + k) (i + j) = j i + j j + k i + k j = k + + j i =(,, ) Skjæringslinja er linja langs vektoren (,, ). Eksemel La være matrisen gitt ved Finn fiksunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den reresenterer. Løsning.. Metodevalg: For å finne fiksunktene til en matrise,må vi løse v = v. Vi lar v =(x,y,z) og regner ut.. Regning: Vi skal x y x y z z Fiksunktmengden til er det samme som nullrommet til I, som x y = x y = 5 z Det betyr at hvis vi finner rangen til denne matrisen, så kan vi finne dimensjonen til nullrommet. Vi regner ut determinanten til matrisen 5 =( ) ( ) = 4 = som betyr at rangen er, og nullrommet derfor har dimensjon. Det betyr at uttrykker en sammensetting av en rotasjon og en refleksjon. 7

9 5.5 Ogaver Ogave. Regn ut lengden av vektorene: a) (,,) b) (,,) c) (,, ) Ogave. Finn en vektor som står normalt å den ogitte vektoren: a) (,,) b) (,,) c) (,,) d) (,, ) Ogave. Regn ut kryssroduktet v w for de ogitte vektorene: a) v =(,,) og w =(,, ) b) v =(,,) og w =(,, ) c) v =(,,) og w =(,, ) d) v =(,,) og w =(4,,7) Ogave 4. Regn ut kryssroduktet v w for de ogitte vektorene: a) v = i + j og w = i j b) v = i + k og w = j + k c) v = i + j + k og w = i j k d) v = i j + k og w = i j k Ogave 5. I hvert tilfelle har vi ogitt to vektorer, u og v. Finn en tredje vektor w slik at de tre vektorene til sammen danner en basis for R. og v og v og v og v Ogave. I denne ogaven har vi ogitt en vektor, u. Finn to andre vektorer v og w slik at de tre vektorene til sammen gir en basis for R. a) @ Ogave 7. Regn ut trielroduktet [u, v, w] i hvert tilfelle: a) v =, w = @, v w Ogave 8. La være matrisen gitt ved v = Regn ut [u,v,w], w 7

10 Ogave 9. La være matrisen gitt ved v = Regn ut [u,v,w], w Ogave. Vi har gitt en ortogonal matrise med det()=. Finn en vektor v slik at v = v. Ogave. Vi har gitt en ortogonal matrise med det()=. 5 5 Ogave 4. Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v =(,,) å v, den andre tar w =(,,) å w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonslanene. Ogave 5. Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v =(,,) å v, den andre tar w =(,, ) å w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonslanene. Ogave. La være matrisen gitt ved Finn fiksunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den reresenterer. Ogave 7. La være matrisen gitt ved Finn fiksunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den reresenterer. Finn en vektor v slik at v = v. Ogave. Regn ut Housholder-matrisen til den ogitte vektoren a) (,,) b) (,,) c) (,,) Ogave. La være matrisen gitt ved og Regn ut u v 7