For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008"

Transkript

1 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en B-algebra via multilikasjonen av b B med u Hom A (B, A) definert ved (bu)(b ) = u(bb ) for alle b i B. 1.2 Adjunksjon av en rot til et olynom. La B være en A-algebra og la f(t) = T n b 1 T n ( 1) n b n være et olynom med koeffisienter i B. Sett der ξ er klassen til T modulo f. B[ξ] = B[T]/(f) 1.3 Proosisjon. Vi har at B[ξ] er en fri B-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 og vi har en slitting f(t) = (T ξ)g(t) over B[ξ][T]. For hvert element c C og hver A-algebra homomorfi ϕ : B C har vi at ϕ kan utvides til en A-algebra homomorfi slik at ψ(ξ) = c, hvis og bare hvis ψ : B[ξ] C (ϕf)(t) := T n ϕ(b 1 )T n ( 1) n ϕ(b n ) = (T c)h(t) i C[T], det vil si, c er en rot i (ϕf)(t). Når c er en rot i (ϕf)(t) vil h(t) = (ϕg)(t) og homomorfien ψ er entydig bestemt av c. Bevis. Alle åstandene i roosisjonen følger umiddelbart av definisjonen av restklasseringen B[T]/(f). 1 Tyeset by AMS-TEX

2 1.4 Definisjon. La : B[ξ] B være den B-lineære homomorfien definert av { 1 for i = n 1 (ξ i ) = 0 for 0 i < n Lemma. (Thoru) Avbildningen av B[ξ]-moduler Hom A (B, A) B B[ξ] Hom A (B[ξ], A) som avbilder u f til fu er en isomorfi. Sesielt vil Hom A (A[ξ], A) være en fri A[ξ]-modul med basis. Bevis. La v : B[ξ] A være A-lineær. Vi skal vise at det finnes entydige homomorfier u 0, u 1,..., u n 1 i Hom A (B, A) slik at u 0 ξ 0 + u 1 ξ u n 1 ξ n 1 avbildes å v. Det vil si v(bξ i ) = u 0 (bξ i ) + u 1 (bξ i+1 ) + + u n 1 (bξ i+n 1 ) for alle b i B og i = 0, 1,..., n 1. Setter vi suksessivt i til 0, 1,..., n 1 får vi først v(b) = u n 1 (b) som bestemmer u n 1 entydig. Deretter får vi v(bξ i ) u n i 1 (b) uttrykket ved verdiene til u n i,..., u n 1 å elementer i B. Derfor får vi, rekursivt etter i, bestemt u n 1, u n 2,..., u 0 entydig slik at v = u 0 +ξu 1 + +ξ n 1 u n 1. Vi har dermed vist at avbildningen i lemmaet er surjektiv. Av entydigheten av u 0, u 1,..., u n 1 følger det at den også er injektiv. 2. Adjunksjon av røtter og lineær rekursjon 2.1 Notasjon. La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 2.2 Setning. Det er en bijektiv korresondanse mellom A-modul homomorfier u : A[ξ] A og løsninger a 0, a 1,... av den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Korresondansen tilordner til u sekvensen a 0 = u(ξ 0 ), a 1 = u(ξ), a 2 = u(ξ 2 ),.... Bevis. En A-modul homomorfi u : A[ξ] A svarer til en A-modul homomorfi v : A[T] A som er null å idealet generert av (T), det vil si, som er null å elementene T i (T n c 1 T n 1 + +( 1) n c n ) for i = 0, 1,.... Med andre ord svarer v til en sekvens a 0 = v(t 0 ), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... av elementer i A slik at v(t i+n c 1 T i+n ( 1) n c n T i ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Dette viser setningen. 2

3 3.1 Notasjon. La A være en ring og la 3. Slitting algebraer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. For hver A-algebra ϕ : A B betrakter vi (T) som et olynom i B[T] via ϕ, det vil si, vi skriver (ϕ)(t) = T n ϕ(c n ) + + ( 1) n ϕ(c n ) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T). 3.2 Definisjon. La 1 d n. En d te slitting algebra for (T) over A er en A- algebra som reresenterer den kontravariante funktoren fra A-algebraer til mengder som til en A-algebra homomorfi ϕ : A B tilordner slittinger (ϕ)(t) := T n ϕ(c 1 )T n ( 1) n ϕ(c n ) = (T b 1 ) (T b d )g(t) i B[T] der b 1,..., b d er en sekvens av røtter i B. En A-algebra homomorfi ψ : B C avbilder en slik slitting til ((ψϕ))(t) = (T ψ(b 1 )) (T ψ(b d )(ψg)(t). Røttene ξ 1,..., ξ d i den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) av (T) over en slitting algebra kalles universelle røtter. Når d = n kaller vi en slitting algebra en total slitting algebra. 3.3 Setning. For hvert d finnes det en d te slitting algebra. En slitting algebra er generert som A-algebra av de universelle røttene ξ 1,..., ξ d, og som A-modul er den fri av rang n! (n d)! generert av elementene ξ h 1 1 ξh 2 2 ξh d d med 0 h i n i for i = 1,..., d. (3.3.1) Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 har vi ved adjunksjon av en rot til (T) i Proosisjon 1.3 at A[ξ 1 ] = A[T]/() er en første slitting algebra med klassen ξ 1 til T modulo (T) som universell rot, og A[ξ 1 ] har egenskaene i setningen. Ved induksjonshyotesen har vi at det finnes en (d 1) ste slitting algebra A [ξ 2,..., ξ d ] for 1 (T) = (T) T ξ 1 over A = A[ξ] som er fri som A -modul med basis ξ h 2 2 ξh d d der 0 h i n i for i = 2,..., d. Det er klart at A [ξ 2,..., ξ d ] = A[ξ 1,..., ξ d ] har A-modul basen (3.3.1). Det gjenstår å vise at A[ξ 1,..., ξ d ] er en d te slitting algebra. La ϕ : A B være en A-algebra homomorfi og la (ϕ)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t) 3

4 være en slitting av (ϕ)(t) over B[T]. Ved tilfellet d = 1 finnes det en entydig A-algebra homomorfi ϕ : A B slik at ϕ (ξ 1 ) = b 1. Vi har at koeffisientene til 1 (T) = (T) T ξ 1 avbildes ved ϕ å de tilsvarende koeffisientene til g (T) := (T b 2 ) (T b d )g(t). Ettersom A [ξ 2,..., ξ d ] er en (d 1) te slitting algebra for 1 (T) over A får vi en entydig A -algebra homomorfi ψ : A [ξ 2,..., ξ d ] B slik at ψ(ξ i ) = b i for i = 2,..., d. Derfor avbilder ψ de universelle røttene ξ 1,..., ξ d til b 1,..., b d resektive, og derfor gir den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) slittingen (ϕf)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t). 3.4 Alternativ konstruksjon av den totale slitting algebraen. Betegn med A[T 1,..., T n ] olynomringen over A i de variable T 1,..., T n og la c i (T 1,..., T n ) være de elementære symmetriske funksjonene for i = 1,..., n. Da vil restklasseringen A[ξ 1,..., ξ n ] til olynomringen A[T 1,..., T n ] modulo idealet generert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n være en n te slitting algebra for (T) over A, der klassene ξ 1,..., ξ n til T 1,..., T n resektive, modulo dette idealet er de universelle røttene. Den universelle slittingen (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T ξ 1 ) (T ξ n ) over A[ξ 1,..., ξ n ] er indusert av slittingen (T T 1 ) (T T n ) = T n c 1 (T,..., T n )T n ( 1) n c n (T 1,..., T n ). Alle åstandene er klare. 3.5 Lemma. La : A[ξ 1,..., ξ d ] A være den A-lineære avbildningen definert ved (ξ h 1 1 ξh d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. Da er sammensetningen av de A[ξ 1,..., ξ i 1 ]-lineære avbildningene definert ved for i = 1,..., d. Bevis. Dette er helt klart. i : A[ξ 1,..., ξ i ] A[ξ 1,..., ξ i 1 ] { i (ξ h i 1 om hi = n i i ) = 0 om 0 h i < n i 4

5 3.6 Setning. (Thoru) La A[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for olynomet (T). Da vil A[ξ 1,..., ξ d ]-modul homomorfien Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) som avbilder u f til fu være en isomorfi. Med andre ord, Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) er en fri A[ξ 1,..., ξ d ]-modul med basis. Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 er setningen Lemma 1.5 med B = A. Anta at setningen gjelder for d 1. Vi har da en isomorfi av A[ξ 1,..., ξ d 1 ]-moduler Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d 1 ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.1) Av Lemma 1.5 med B = A[ξ 1,..., ξ d 1 ] får vi en isomorfi av B[ξ d]-moduler Hom A (A[ξ 1,..., ξ d 1 ], A) A[ξ1,...,ξ d 1 ] A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.2) Tensorierer vi begge sidene av (3.6.1) med A[ξ 1,..., ξ d ] over A[ξ 1,..., ξ d 1 ] og bruker (3.6.2) følger isomorfien i setningen av Lemma Residuer 4.1 Notasjon. En Laurent rekke er en formell otensrekke + b 2 T 2 + b 1 T + b 0 + b 1 T + b 2 T 2 + i ositive og negative otenser av T med koeffisienter i en ring. La g i = + g i,2 T 2 + g i,1 T + g i,0 + g i, 1 T være Laurent rekker for i = 1,..., d. Vi setter Res(g 1,..., g d ) = det. La g 1, 1 g 1, 2... g 1, d g 2, 1 g 2, 2... g 2, d. + g i, 2 T g d, 1 g d, 2... g d, d (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. Vi definerer elementer s i i A for alle heltall i ved 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n T n = s 0 + s 1 T + s 2 T 2 +. Da vil T i (T) = T i n 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n = T i n (1 + s 1 T T + s 2 + ). (4.1.1) T 2 n 5.

6 4.2 Lemma. Vi har at Res(g 1,..., g d ) er multilineær og alternerende i g 1,..., g d og den er null om minst en av g i ene er en otensrekke i T. Videre har vi s h1 n+1 s h1 n+2... s h1 n+d Res( T h 1 hd T s h2 n+1 s h2 n+2... s h2 n+d,..., ) = det s hd n+1 s hd n+2... s hd n+d Bevis. Påstandene følger umiddelbart av definisjonen å Res og av formelen (4.1.1) T for i (T). 4.3 Proosisjon. Sett Da vil for i = 1, 2,.... Res( T n C i =. s 1 s 2... s i 1 s i s 0 s 1... s i 2 s i s 0 s 1. n i+1 T,..., ) = det(c i ) = c i Bevis. Den første likheten i roosisjonen følger umiddelbart av formelen i Lemma 4.2. For å vise den andre utvikler vi determinanten til etter første søyle. Vi får at s i s 1 s 2... s i 1 s i s i 1 s 0 s 1... s i 2 s i s s0 s i det(c 1 )s i ( 1) i det(c i )s 0 = 0 for i = 0, 1,.... Det vil si 1 = (1 det(c 1 )T + det(c 2 )T 2 )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ), som gir det(c i ) = c i for alle heltall i. 4.4 Setning. Sett R(T h 1 1 T h d n ) = Res( T h 1,..., T h d ). Vi har (1) (2) R(T h 1 1 T h d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. R(T n 1 1 T n d d T j1 T ji ) = R(T1 n T n i+1 i ) om j i i for i = 1,..., i og i d 0 ellers, når 0 < j 1 < j 2 < < j i d. 6

7 Bevis. Betingelsene 0 h i n i for i = 1,..., d betyr at d d-matrisen (s hi n+j) som definerer R(T h 1 1 T h d d ) er øvre triangulær. Når h i = n i for i = 1,..., d har den 1 = s 0 å diagonalen, og om h j < n j for noe j har den en null å diagonalen i rad j. Påstand (1) følger at dette. For å vise åstand (2) merker vi oss først at matrisen som definerer residuen R(T h 1 1 T h d d T j 1 T ji ) har s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen unntatt i radene j 1,..., j i der den har s 1 å diagonalen, s 0 til venstre om diagonalen, og nuller til venstre om s 0. Sesielt er determinanten til matrisen som definerer R(T h 1 1 T h d d T 1 T i ) lik det(c i ). Videre er det(c i ) = R(T1 n Tn i+1 k ) så vi har vist første delene av (2). Om j h h for noe h har vi j h 1 < j h 1. Da har rekke j h 1 elementet s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen, det vil si, den er lik rekke j h. Vi har derfor vist åstand (2). 5.1 Notasjon. Som tidligere lar vi Slitting algebraer og residuer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. La A[T 1,..., T n ] være olynomringen over A i de n uavhengige variable T 1,..., T n. Vi identifiserer A[T 1,..., T n ] med tensor roduktet n A A[T] å den naturlige måten. De elementære symmetriske funsjonene i de variable T 1,..., T n betegner vi med c 1 (T 1,..., T n ),...c n (T 1,..., T n ). Avbildningen R : n A[T] A A definert ved ( f1 R (f 1 f n ) = Res,..., f ) n er da den samme som avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A definert ved ( f1 R (f 1 (T 1 ) f n (T n )) = Res,..., f ) n for alle f 1 (T),..., f(n(t) i A[T]. 7

8 5.2 Setning. Avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A forsvinner å idealet genert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n. Det vil si, den induserer en avbildning A[ξ 1,..., ξ n ] A å den fullstendige slitting algebraen for olynomet (T) som avbilder elementet f 1 (ξ 1 ) f n (ξ n ) til Res( f 1,..., f n ). Bevis. Av lineariteten til Res rekker det å vise at R forsvinner å elementene å formen T h 1 1 T h n n (c i(t 1,..., T n ) c i ) = 0 for alle h 1,..., h n og i = 1,..., n. For hvert olynom f(t) i A[T] kan vi skrive f(t) = q(t)(t) + r(t) i A[T] med r(t) av grad strikt mindre enn n. Bruker vi dette for T 1,..., T n følger det av lineariteten av Res at vi kan anta at h i < n for i = 1,..., n. Ettersom Res er alternerende i de variable T 1,..., T n og c i (T 1,..., T n ) er symmetrisk i de samme variablene kan vi anta at n 1 h 1 > h 2 > > h n 0, det vil si h i = n i for i = 1,..., n. Av Setning 4.4 følger det at det eneste leddet i T h 1 1 T h n n c i(t 1,..., T n ) som gir bidrag når vi bruker Res er T n 1 1 Tn 0T 1 T i, og dette bidraget er c i. 5.3 Korollar. Setter vi sammen avbildningen A[ξ 1,..., ξ n ] A med avbildningen A[ξ 1,..., ξ d ] A[ξ 1,..., ξ n ] vi får ved multilikasjon med ξ n d 1 d+1 ξ n d 2 d+2 ξn 0 får vi den A-lineære avbildningen : A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i Lemma 3.5. Sesielt vil (f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d )) = Res( f 1,..., f d ) for alle f 1 (T),..., f d (T) i A[T]. Bevis. Per definisjon avbilder sammensetningen A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i korollaret f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d ) til Res( f 1,..., f d, T n d 1, T n d 2,..., T0 ) som klart er lik Res( f 1,..., f d ). At sammensetningen er følger av at den, ved Setning 4.4 (1), har samme verdier som å elementene ξ h 1 1 ξh d d når 0 h i n i for i = 1,..., d, og disse elementene danner en A-modul basis for A[ξ 1,..., ξ d ]. 8

9 FORELESNINGEN For æresdoktoratet i Bergen 28 august Takk (1) Vanskelig å være originell. (2) Bedre i Bergen. Ble interessert i matematikk. (3) I dag, takk for grunnen til at jeg er her. 2. Innledning Alle kjenner lineære rekursjoner sesielt Fibonacci tallene som tilfredsstiller rekursjonen og a 0 = a 1 = 1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21 a i+2 a i+1 a i = 0 for i = 0, 1,... Alle geometre kjenner Schubert regning. Sesielt roblemet med å finne antallet linjer som skjærer fire linjer i rommet. Emnet for min hovedogave i Bergen var lineære rekursjoner og halve min Ph.D. avhandling handlet om Schubert regning. Sesielt de siste årene har jeg beskjeftiget meg mye med Schubert regning. Sist jeg var i Bergen snakket jeg om studiet av lineære rekursjoner ved Matematisk Institutt i Bergen å 60 tallet. I forbindelse med foredraget odaget jeg at det i mange situasjoner er fordelaktig å betrakte lineære rekursjoner fra en litt annen synsvinkel enn den vanlige. Da jeg skulle forberede dette foredraget odaget jeg, til min store glede, at dette synsunktet leder til en generalisering av lineære rekursjonene som er helt analog med formalismen for Schubert regning. Jeg skal nu skissere hvordan dette gjøres. 3. Lineære rekursjoner og adjunksjon av røtter La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 9 Tyeset by AMS-TEX

10 Adjunksjon av en rot til. La A[ξ] = A[T]/() være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A-modulo, der ξ er restklassen til T. Da er (ξ) = 0 og A[ξ] en fri A-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1. En A-lineær homomorfi u : A[ξ] A er bestemt av en A-lineær homomorfi v : A[T] A som er null å elementene T i (T) for i = 0, 1,.... Det vil si, den er bestemt av en sekvens av elementer i A som tilfredsstiller a 0 = v(1), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... v(t i (T n c 1 T n ( 1) n c n ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Vi ser at Løsninger a 0, a 1,... til den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,... svarer til A-lineære homomorfier u : A[ξ] A. Til den fundamentale løsningen til den linære rekursjonen 0, 0,..., 0, 1, a n, a n+1,... svarer homomorfien bestemt av : A[ξ] A { 0 når 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 får i = n 1. Vi får 0, 0,..., 1, a n, a n+1, = (ξ 0 ), (ξ 1 ),..., (ξ n 1 ), (ξ n ), (ξ n+1 ),

11 Omnummerering. Vi ser at det kan være raktisk å omnummererer fundamentalsekvensen ved å sette (ξ i ) = s i n+1 for i = 0, 1,... så sekvensen blir 0, 0,..., 0, 1, s 1, s 2,... og tilfredsstiller rekursjonen s i+1 c 1 s i + + ( 1) n c n s i n+1 = 0 for i = 0, 1,.... Dette er det samme som at elementene s 0 = 1, s 1, s 2,... er den entydige løsningen til ligningen 1 = (1 c 1 T + c 2 T 2 + ( 1) n c n T n )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ). Merk. En fordel ved å betrakte lineære rekursjoner som lineære avbildninger er at vi kan forklare hvorfor er fundamental å følgende måte: Hom A (A[ξ], A) er en fri A[ξ]-modul med basis. 4. Analogi med geometrien La P n 1 være det rojetktive rommet av dimensjon n 1. Vi kan se dette som rommet av linjer i det n-dimensjonale rommet F 1 E. Rommet P n 1 har en kohomologiring H (P n 1 ). Dette er en fri Z-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 der ξ er klassen til et hyerlan i P n 1. Her er ξ n = 0 og vi har en naturlig Gysin homomorfi : H (P n 1 ) Z bestemt av { 0 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 i = n 1. Bemerkning. Vi ser at vi er i samme situasjon som for lineære rekursjoner når A = Z og (T) = T n. I en mer generell situasjon når E er en lokalt fri modul av rang n over et rom S med bivariant teori og vi betrakter Proj(E) får vi A = H (S) og olynomet blir (T) = T n c 1 (E)T n ( 1) n c n (E). I geometrien går man lenger og studerer flag mangfoldigheter Flag 2 (E) som arametriserer flag F 1 F 2 E der E er et fast rom av dimensjon n og F 1 og F 2 er underrom av E med dim(f i ) = i. Mangfoldigheten Flag 2 (E) har også en kohomolgiring H (Flag 2 (E)). Denne får vi som følger: 11

12 Sett ξ 1 = ξ og og la 1 (T) = (T) T ξ 1 = T n T ξ 1 Z[ξ 1, ξ 2 ] = Z[ξ 1 ][T]/( 1 ) være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i Z[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at Z[ξ 1, ξ 2 ] er en fri Z-module med basis Videre har vi en Z[ξ 1 ]-lineær avbildning bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. 2 : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z[ξ 1 ] 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2. Sammen med den Z-lineære avbildningen Z[ξ 1 ] Z ovenfor får vi en Z-lineær avbildning : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z bestemt av Vi har en naturlig isomorfi (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. Z[ξ 1, ξ 2 ] H (Flag 2 (E)). Avbildningen svarer til Gysin homomorfien H (Flag 2 (E)) Z. 5. Itererte lineære rekursjoner Vi vender nu tilbake til den mer generelle situasjonen med en ring A og et olynom (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n med koeffisienter i A. Som ovenfor setter vi ξ 1 = ξ og 1 (T) = (T) T ξ 1 og vi lar A[ξ 1, ξ 2 ] = A[ξ 1 ][T]/( 1 ) 12

13 være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at A[ξ 1, ξ 2 ] er en fri A-module med basis Videre har vi en A[ξ 1 ]-lineær homomorfi bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. : A[ξ 1, ξ 2 ] A 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2 som sammensatt med den A-lineære homomorfien A[ξ 1 ] = A[ξ] A ovenfor gir en A-lineær homomorfi : A[ξ 1, ξ 2 ] A bestemt av (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. I analogi med resultatet ovenfor har vi: Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) er en fri A[ξ 1, ξ 2 ]-modul med basis. Til hvert element u i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) svarer en 2-dimensjonal sekvens u(ξ h 1 1 ξh 2 2 ) for h 1, h 2, = 0, 1,.... For har vi det vakre resultatet: (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = det s h1 n+1 s h1 n+2 s h2 n+1 s h2 n+2. Forslag. Resultatene ovenfor antyder at det er naturlig å kalle sekvensene som svarer til elementene i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) for løsninger til den itererte lineære rekursjonen gitt av (T), og at svarer til fundamentalsekvensen. 13

14 h 2, h s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 h 2, h 1 s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s (ξ h 1 ξ h 2 2 ) for den lineære rekursjonen med olynom x3 x 2 x 1 h 2 \ h

15 6. Forbindelse med Schubert regning Schubert varieteter. La Grass 2 (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer 2-dimensjonale underrom av E. Vi har en naturlig avbildning Q E Flag 2 (E) Grass 2 (E) som avbilder flagget F 1 F 2 E til F 2 E. Dette gir en inklusjon som svarer til inklusjonen H (Grass 2 (E)) H (Flag 2 (E)) Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] A[ξ 1, ξ 2 ] der c 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og c 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 ξ 2. Vi fikserer underrom 0 A 1 A 2 E av E og lar Ω(A 1, A 2 ) være varieteten i Grass 2 (E) av underrom Q E slik at dim(q A i ) i for i = 1, 2. Eksemel. Om dim(a 1 ) = 2 svarer A 1 til en linje L 1 i P n 1 og Ω(A 1, E) svarer til de Q E slik at dim(q A 1 ) 1, det vil si Q svarer til en linje L i P n 1 som skjærer L 1. Problemet med fire linjer i rommet svarer til å finne antall unkter i Ω(L 1 ) Ω(L 2 ) Ω(L 3 ) Ω(L 4 ). Schubert cykler. Når dim(a i ) = a i lar vi Ω(a 1, a 2 ) være klassen til Ω(A 1, A 2 ) i H (Grass 2 (E)). Klassene Ω(a 1, a 2 ) for 1 a 1 < a 2 n kalles Schubert sykler og danner en Z-modul basis for H (Grass 2 (E)) og regning med disse klassene kalles Schubert regning. Eksemel. Problemet med de fine linjene er å finne Ω(2, 4) 4 når n = 4. Definer s 0 (ξ 1, ξ 2 ) = 1, s 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2, s 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ ξ 1ξ 2 + ξ 2 2,... ved ligningen 1 = (1 c 1 (ξ 1, ξ 2 )T + c 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 )(1 + s 1 (ξ 1, ξ 2 )T + s 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 ) i Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )][T]. Da har vi følgende fundamentale formel kalt Giambellis formel: Ω(a 1, a 2 ) =. s n 2 a 1 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a1 +2(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +2(ξ 1,ξ 2 ) 15

16 Eksemel. La n = 4. Vi får Ω(2, 4) = s 1(ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) 0 s 0 (ξ 1,ξ 2 ) = s 1 (ξ 1 ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og Ω(1, 2) = = ξ1 2ξ2 2 = klassen til et unkt ågrass2 (E). Vi får s 2(ξ 1,ξ 2 ) s 3 (ξ 1,ξ 2 ) s 1 (ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) Ω(2, 4) 4 = (ξ 1 + ξ 2 ) 4 = 4ξ 3 1ξ 2 + 6ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2 = 4(ξ 3 1ξ 2 + ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2) + 2ξ 2 1ξ 2 2 = 2, siden 1 (T) = T 3 + ξ 1 T 2 + ξ 2 1 T + ξ3 1 har roten ξ 2. Bemerkning. Vi ser at Schubert regning svarer til itererte lineære rekursjoner i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] og (T) = (T ξ 1 )(T ξ 2 ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) til Ω(a 1, a 2 ) når h i = n a i. 7. Generalisering av arameterrom La Flag d (E) være flag mangfoldigheten som arametriserer flag F 1 F 2 F d E av underrom av E med dim(f i ) = i. Da vil Flag 1 (E) = P n 1. Videre lar vi Grass d (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer d-dimensjonale underrom Q E av E. Fikser underrom 0 A 1 A 2 A d E av E og sett dim(a i ) = a i. Vi lar Ω(A 1,..., A i ) være Schubert varieteten i Grass d (E) som arametriserer de underrommene Q E av dimensjon d som tilfredsstiller betingelsene dim(q A j ) j for j = 1,..., i. Merk. (1) dim(flag d (E)) = n 1 + n n d. (2) dim(grass d (E)) = d(n d). (3) dim(ω(a 1,..., A k )) = (d i)(n d) + a a a i i. 8. Generalisering av kohomologi Mangfoldighetene Flag d (E) og Grass d (E) har kohomologiringer H (Flag d (E)), resektive, H (Grass d (E)). Sett dim(a j ) = a j for j = 1,..., i. Undervarieteten Ω(A 1,..., A k ) definerer en klasse Ω(a 1,..., a i ) i H (Grass d (E)). Når i = d vil klassene Ω(a 1,..., a d ) for 0 < a 1 < < a d n 16

17 danne en Z-modul basis for H (Grass d (E)). Regning med klassene Ω(a 1,..., a d ) kalles Schubert regning. La Z[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for T n og definer elementer og i Z[ξ 1,..., ξ d ] ved og c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d ) s 0 (ξ 1,..., ξ d ) = 1, s 1 (ξ 1,..., ξ d ), s 2 (ξ 1,..., ξ d ),... q(t) := (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T d c d (ξ 1,..., ξ d ) 1 = (1 c 1 (ξ 1,..., ξ d )T + + ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d )T d ) Vi har kanoniske isomorfier og (1 + s 1 (ξ 1,..., ξ d )T + s 2 (ξ 1,..., ξ d )T 2 + ). Z[ξ 1,..., ξ d ] H (Flag d (E)) A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] H (Grass d (E)). Den naturlige avbildningen Flag d (E) Grass d (E) som avbilder et flag F 1 F 2 F d E til F d E gir en kanonisk avbildning Denne svarer til inklusjonen Vi har Giambelli s formel: Ω(a 1,..., a i ) = Res( T n a 1 La H (Grass d (E)) H (Flag d (E)). Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] Z[ξ 1,..., ξ d ]. q,..., T n a i q ) = E G Q s n d a1 +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d a1 +i(ξ 1,...,ξ d ) s n d ai +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d ai +i(ξ 1,...,ξ d ) være den universelle kvotienten å G = Grass d (E) og la Flag i (Q) være flag mangfoldiheten som arametriserer flag F 1 F 2 F i Q der rk(f i ) = i. Videre lar vi Flag(A 1,..., A i ) betegne undermangfoldigheten av Flag i (Q) som tilfredsstiller F 1 F 2 F i A 1 A 2 A i. 17.

18 Merk. (1) dim(flag i (Q)) = d(n d) + d 1 + d d i. (2) dim(flag(a 1,..., A i )) = (d i)(n d) + a a a i i. Med A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] har vi at A[ξ 1,..., ξ i ] er en i te slitting algebra for olynomet q(t) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T k ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d ). Vi har en kanonisk isomorfi A[ξ 1,..., ξ i ] H (Flag i (Q)). Strukturavbildningen Flag i (Q) Grass d (E) gir en Gysin avbildning og denne svarer til avbildningen får vi Setter vi H (Flag i (Q)) H (Grass d (E)) : A[ξ 1,..., ξ i ] A. h j = n a j Ω(a 1,..., a i k) = (ξ n a 1 1 ξ n a i i ) = (ξ h 1 1 ξh i i ). Konklusjon. Vi ser at Schubert regning svarer til i te itererte lineære rekursjon i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] og (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh i i ) til Ω(a 1,..., a i ) når h j = n a j for j = 1,..., i. 18

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen

Detaljer

Geometri på ikke-kommutative algebraer

Geometri på ikke-kommutative algebraer Geometri på ikke-kommutative algebraer Ski og matematikk 2011 Rondablikk Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo January 4, 2012 Algebraiske varieteter k = k (f.eks. C), S = k[x 1,..., x n ] Affint algebraisk

Detaljer

Forelesning 4 torsdag den 28. august

Forelesning 4 torsdag den 28. august Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2007-2008 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter Eivind Eriksen 22. mai 2000 Innhold Forord 2 Innledning 6 1 Teorien 7 1.1 Konstruksjonene........................... 7 1.2

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

En rekke av definisjoner i algebra

En rekke av definisjoner i algebra En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom

Lineær algebra. 0.1 Vektorrom Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver.

Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver. Geometri i ekstensjonsrom til vektorbunter på kurver george.h.hitching@hive.no 14. september 2010 1 Mye av dette er samarbeid med Insong Choe (Konkuk Univ., Seoul). La C være en kompleks projektiv glatt

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper 4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker

Detaljer

Forelesning 6 torsdag den 4. september

Forelesning 6 torsdag den 4. september Forelesning 6 torsdag den 4. september 1.13 Varianter av induksjon Merknad 1.13.1. Det finnes mange varianter av induksjon. Noen av disse kalles noen ganger sterk induksjon, men vi skal ikke benytte denne

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen

Detaljer

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006 3. Januar 2006 Konveksitet Hva er en konveks mengde med punkter? En punktmengde er konveks dersom alle linjestykkene med endepunkter i mengden er helt inneholdt i mengden. Eksempler: Et linjestykke (den

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Hva forskes det på i matematikk i Norge idag?

Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? En populærvitenskapelig oversikt Geir Ellingsrud UiO 18. september 2014 Advarsel! Størrelsesorden NFR evaluerte matematisk forskning i Norge i 2011 ved de

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MNF130 VÅREN 2010 OPPGAVE 1 p q p p q p q T T F T T Sannhetstabell: T F F F F F T T T T F F T T T Siden proposisjonene p q og p q har samme sannhetsverdier (for alle sannhetsverdier

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0

Dette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0 Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på

Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Kap. 7 Innledning Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på Symmetriske matriser. Disse matrisene har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering. Kvadratiske

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet

10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag

Matematikk for IT. Prøve 1. Onsdag 18. september Løsningsforslag Matematikk for IT Prøve 1 Onsdag 18. september 2013 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Er 26 11 (mod 3)? Begrunn svaret. Dette spørsmålet betyr: Gir 26 : 3 samme rest som 11 : 3? Vi ser at 26 : 3 gir rest 2,

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 10

MAT Grublegruppen Notat 10 MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

INF3170 Forelesning 2

INF3170 Forelesning 2 INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994

KLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994 KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Velkommen til MAT1030!

Velkommen til MAT1030! MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Velkommen til MAT1030! 13. januar 2009 (Sist oppdatert:

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 1: Algoritmer, pseudokoder, kontrollstrukturer Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:44) Velkommen

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01 TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER John Rognes 20.03.01 Gruppoider Grafer, små kategorier og gruppoider. En graf, eller en liten pre-kategori, består av en mengde objekter O, en mengde morfismer M og to funksjoner

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer