For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008"

Transkript

1 ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi Hom A (B, A) som en B-algebra via multilikasjonen av b B med u Hom A (B, A) definert ved (bu)(b ) = u(bb ) for alle b i B. 1.2 Adjunksjon av en rot til et olynom. La B være en A-algebra og la f(t) = T n b 1 T n ( 1) n b n være et olynom med koeffisienter i B. Sett der ξ er klassen til T modulo f. B[ξ] = B[T]/(f) 1.3 Proosisjon. Vi har at B[ξ] er en fri B-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 og vi har en slitting f(t) = (T ξ)g(t) over B[ξ][T]. For hvert element c C og hver A-algebra homomorfi ϕ : B C har vi at ϕ kan utvides til en A-algebra homomorfi slik at ψ(ξ) = c, hvis og bare hvis ψ : B[ξ] C (ϕf)(t) := T n ϕ(b 1 )T n ( 1) n ϕ(b n ) = (T c)h(t) i C[T], det vil si, c er en rot i (ϕf)(t). Når c er en rot i (ϕf)(t) vil h(t) = (ϕg)(t) og homomorfien ψ er entydig bestemt av c. Bevis. Alle åstandene i roosisjonen følger umiddelbart av definisjonen av restklasseringen B[T]/(f). 1 Tyeset by AMS-TEX

2 1.4 Definisjon. La : B[ξ] B være den B-lineære homomorfien definert av { 1 for i = n 1 (ξ i ) = 0 for 0 i < n Lemma. (Thoru) Avbildningen av B[ξ]-moduler Hom A (B, A) B B[ξ] Hom A (B[ξ], A) som avbilder u f til fu er en isomorfi. Sesielt vil Hom A (A[ξ], A) være en fri A[ξ]-modul med basis. Bevis. La v : B[ξ] A være A-lineær. Vi skal vise at det finnes entydige homomorfier u 0, u 1,..., u n 1 i Hom A (B, A) slik at u 0 ξ 0 + u 1 ξ u n 1 ξ n 1 avbildes å v. Det vil si v(bξ i ) = u 0 (bξ i ) + u 1 (bξ i+1 ) + + u n 1 (bξ i+n 1 ) for alle b i B og i = 0, 1,..., n 1. Setter vi suksessivt i til 0, 1,..., n 1 får vi først v(b) = u n 1 (b) som bestemmer u n 1 entydig. Deretter får vi v(bξ i ) u n i 1 (b) uttrykket ved verdiene til u n i,..., u n 1 å elementer i B. Derfor får vi, rekursivt etter i, bestemt u n 1, u n 2,..., u 0 entydig slik at v = u 0 +ξu 1 + +ξ n 1 u n 1. Vi har dermed vist at avbildningen i lemmaet er surjektiv. Av entydigheten av u 0, u 1,..., u n 1 følger det at den også er injektiv. 2. Adjunksjon av røtter og lineær rekursjon 2.1 Notasjon. La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 2.2 Setning. Det er en bijektiv korresondanse mellom A-modul homomorfier u : A[ξ] A og løsninger a 0, a 1,... av den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Korresondansen tilordner til u sekvensen a 0 = u(ξ 0 ), a 1 = u(ξ), a 2 = u(ξ 2 ),.... Bevis. En A-modul homomorfi u : A[ξ] A svarer til en A-modul homomorfi v : A[T] A som er null å idealet generert av (T), det vil si, som er null å elementene T i (T n c 1 T n 1 + +( 1) n c n ) for i = 0, 1,.... Med andre ord svarer v til en sekvens a 0 = v(t 0 ), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... av elementer i A slik at v(t i+n c 1 T i+n ( 1) n c n T i ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Dette viser setningen. 2

3 3.1 Notasjon. La A være en ring og la 3. Slitting algebraer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. For hver A-algebra ϕ : A B betrakter vi (T) som et olynom i B[T] via ϕ, det vil si, vi skriver (ϕ)(t) = T n ϕ(c n ) + + ( 1) n ϕ(c n ) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T). 3.2 Definisjon. La 1 d n. En d te slitting algebra for (T) over A er en A- algebra som reresenterer den kontravariante funktoren fra A-algebraer til mengder som til en A-algebra homomorfi ϕ : A B tilordner slittinger (ϕ)(t) := T n ϕ(c 1 )T n ( 1) n ϕ(c n ) = (T b 1 ) (T b d )g(t) i B[T] der b 1,..., b d er en sekvens av røtter i B. En A-algebra homomorfi ψ : B C avbilder en slik slitting til ((ψϕ))(t) = (T ψ(b 1 )) (T ψ(b d )(ψg)(t). Røttene ξ 1,..., ξ d i den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) av (T) over en slitting algebra kalles universelle røtter. Når d = n kaller vi en slitting algebra en total slitting algebra. 3.3 Setning. For hvert d finnes det en d te slitting algebra. En slitting algebra er generert som A-algebra av de universelle røttene ξ 1,..., ξ d, og som A-modul er den fri av rang n! (n d)! generert av elementene ξ h 1 1 ξh 2 2 ξh d d med 0 h i n i for i = 1,..., d. (3.3.1) Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 har vi ved adjunksjon av en rot til (T) i Proosisjon 1.3 at A[ξ 1 ] = A[T]/() er en første slitting algebra med klassen ξ 1 til T modulo (T) som universell rot, og A[ξ 1 ] har egenskaene i setningen. Ved induksjonshyotesen har vi at det finnes en (d 1) ste slitting algebra A [ξ 2,..., ξ d ] for 1 (T) = (T) T ξ 1 over A = A[ξ] som er fri som A -modul med basis ξ h 2 2 ξh d d der 0 h i n i for i = 2,..., d. Det er klart at A [ξ 2,..., ξ d ] = A[ξ 1,..., ξ d ] har A-modul basen (3.3.1). Det gjenstår å vise at A[ξ 1,..., ξ d ] er en d te slitting algebra. La ϕ : A B være en A-algebra homomorfi og la (ϕ)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t) 3

4 være en slitting av (ϕ)(t) over B[T]. Ved tilfellet d = 1 finnes det en entydig A-algebra homomorfi ϕ : A B slik at ϕ (ξ 1 ) = b 1. Vi har at koeffisientene til 1 (T) = (T) T ξ 1 avbildes ved ϕ å de tilsvarende koeffisientene til g (T) := (T b 2 ) (T b d )g(t). Ettersom A [ξ 2,..., ξ d ] er en (d 1) te slitting algebra for 1 (T) over A får vi en entydig A -algebra homomorfi ψ : A [ξ 2,..., ξ d ] B slik at ψ(ξ i ) = b i for i = 2,..., d. Derfor avbilder ψ de universelle røttene ξ 1,..., ξ d til b 1,..., b d resektive, og derfor gir den universelle slittingen (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) (T) slittingen (ϕf)(t) = (T b 1 ) (T b d )g(t). 3.4 Alternativ konstruksjon av den totale slitting algebraen. Betegn med A[T 1,..., T n ] olynomringen over A i de variable T 1,..., T n og la c i (T 1,..., T n ) være de elementære symmetriske funksjonene for i = 1,..., n. Da vil restklasseringen A[ξ 1,..., ξ n ] til olynomringen A[T 1,..., T n ] modulo idealet generert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n være en n te slitting algebra for (T) over A, der klassene ξ 1,..., ξ n til T 1,..., T n resektive, modulo dette idealet er de universelle røttene. Den universelle slittingen (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n = (T ξ 1 ) (T ξ n ) over A[ξ 1,..., ξ n ] er indusert av slittingen (T T 1 ) (T T n ) = T n c 1 (T,..., T n )T n ( 1) n c n (T 1,..., T n ). Alle åstandene er klare. 3.5 Lemma. La : A[ξ 1,..., ξ d ] A være den A-lineære avbildningen definert ved (ξ h 1 1 ξh d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. Da er sammensetningen av de A[ξ 1,..., ξ i 1 ]-lineære avbildningene definert ved for i = 1,..., d. Bevis. Dette er helt klart. i : A[ξ 1,..., ξ i ] A[ξ 1,..., ξ i 1 ] { i (ξ h i 1 om hi = n i i ) = 0 om 0 h i < n i 4

5 3.6 Setning. (Thoru) La A[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for olynomet (T). Da vil A[ξ 1,..., ξ d ]-modul homomorfien Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) som avbilder u f til fu være en isomorfi. Med andre ord, Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A) er en fri A[ξ 1,..., ξ d ]-modul med basis. Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 er setningen Lemma 1.5 med B = A. Anta at setningen gjelder for d 1. Vi har da en isomorfi av A[ξ 1,..., ξ d 1 ]-moduler Hom A (A, A) A A[ξ 1,..., ξ d 1 ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.1) Av Lemma 1.5 med B = A[ξ 1,..., ξ d 1 ] får vi en isomorfi av B[ξ d]-moduler Hom A (A[ξ 1,..., ξ d 1 ], A) A[ξ1,...,ξ d 1 ] A[ξ 1,..., ξ d ] Hom A (A[ξ 1,..., ξ d ], A). (3.6.2) Tensorierer vi begge sidene av (3.6.1) med A[ξ 1,..., ξ d ] over A[ξ 1,..., ξ d 1 ] og bruker (3.6.2) følger isomorfien i setningen av Lemma Residuer 4.1 Notasjon. En Laurent rekke er en formell otensrekke + b 2 T 2 + b 1 T + b 0 + b 1 T + b 2 T 2 + i ositive og negative otenser av T med koeffisienter i en ring. La g i = + g i,2 T 2 + g i,1 T + g i,0 + g i, 1 T være Laurent rekker for i = 1,..., d. Vi setter Res(g 1,..., g d ) = det. La g 1, 1 g 1, 2... g 1, d g 2, 1 g 2, 2... g 2, d. + g i, 2 T g d, 1 g d, 2... g d, d (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. Vi definerer elementer s i i A for alle heltall i ved 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n T n = s 0 + s 1 T + s 2 T 2 +. Da vil T i (T) = T i n 1 1 c 1 T + + ( 1) n c n = T i n (1 + s 1 T T + s 2 + ). (4.1.1) T 2 n 5.

6 4.2 Lemma. Vi har at Res(g 1,..., g d ) er multilineær og alternerende i g 1,..., g d og den er null om minst en av g i ene er en otensrekke i T. Videre har vi s h1 n+1 s h1 n+2... s h1 n+d Res( T h 1 hd T s h2 n+1 s h2 n+2... s h2 n+d,..., ) = det s hd n+1 s hd n+2... s hd n+d Bevis. Påstandene følger umiddelbart av definisjonen å Res og av formelen (4.1.1) T for i (T). 4.3 Proosisjon. Sett Da vil for i = 1, 2,.... Res( T n C i =. s 1 s 2... s i 1 s i s 0 s 1... s i 2 s i s 0 s 1. n i+1 T,..., ) = det(c i ) = c i Bevis. Den første likheten i roosisjonen følger umiddelbart av formelen i Lemma 4.2. For å vise den andre utvikler vi determinanten til etter første søyle. Vi får at s i s 1 s 2... s i 1 s i s i 1 s 0 s 1... s i 2 s i s s0 s i det(c 1 )s i ( 1) i det(c i )s 0 = 0 for i = 0, 1,.... Det vil si 1 = (1 det(c 1 )T + det(c 2 )T 2 )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ), som gir det(c i ) = c i for alle heltall i. 4.4 Setning. Sett R(T h 1 1 T h d n ) = Res( T h 1,..., T h d ). Vi har (1) (2) R(T h 1 1 T h d d ) = { 1 om hi = n i for i = 1,..., d 0 ellers, når 0 h i n i for i = 1,..., d. R(T n 1 1 T n d d T j1 T ji ) = R(T1 n T n i+1 i ) om j i i for i = 1,..., i og i d 0 ellers, når 0 < j 1 < j 2 < < j i d. 6

7 Bevis. Betingelsene 0 h i n i for i = 1,..., d betyr at d d-matrisen (s hi n+j) som definerer R(T h 1 1 T h d d ) er øvre triangulær. Når h i = n i for i = 1,..., d har den 1 = s 0 å diagonalen, og om h j < n j for noe j har den en null å diagonalen i rad j. Påstand (1) følger at dette. For å vise åstand (2) merker vi oss først at matrisen som definerer residuen R(T h 1 1 T h d d T j 1 T ji ) har s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen unntatt i radene j 1,..., j i der den har s 1 å diagonalen, s 0 til venstre om diagonalen, og nuller til venstre om s 0. Sesielt er determinanten til matrisen som definerer R(T h 1 1 T h d d T 1 T i ) lik det(c i ). Videre er det(c i ) = R(T1 n Tn i+1 k ) så vi har vist første delene av (2). Om j h h for noe h har vi j h 1 < j h 1. Da har rekke j h 1 elementet s 0 å diagonalen og nuller til venstre om diagonalen, det vil si, den er lik rekke j h. Vi har derfor vist åstand (2). 5.1 Notasjon. Som tidligere lar vi Slitting algebraer og residuer (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n være et olynom med koeffisienter i A. La A[T 1,..., T n ] være olynomringen over A i de n uavhengige variable T 1,..., T n. Vi identifiserer A[T 1,..., T n ] med tensor roduktet n A A[T] å den naturlige måten. De elementære symmetriske funsjonene i de variable T 1,..., T n betegner vi med c 1 (T 1,..., T n ),...c n (T 1,..., T n ). Avbildningen R : n A[T] A A definert ved ( f1 R (f 1 f n ) = Res,..., f ) n er da den samme som avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A definert ved ( f1 R (f 1 (T 1 ) f n (T n )) = Res,..., f ) n for alle f 1 (T),..., f(n(t) i A[T]. 7

8 5.2 Setning. Avbildningen R : A[T 1,..., T n ] A forsvinner å idealet genert av elementene c i (T 1,..., T n ) c i for i = 1,..., n. Det vil si, den induserer en avbildning A[ξ 1,..., ξ n ] A å den fullstendige slitting algebraen for olynomet (T) som avbilder elementet f 1 (ξ 1 ) f n (ξ n ) til Res( f 1,..., f n ). Bevis. Av lineariteten til Res rekker det å vise at R forsvinner å elementene å formen T h 1 1 T h n n (c i(t 1,..., T n ) c i ) = 0 for alle h 1,..., h n og i = 1,..., n. For hvert olynom f(t) i A[T] kan vi skrive f(t) = q(t)(t) + r(t) i A[T] med r(t) av grad strikt mindre enn n. Bruker vi dette for T 1,..., T n følger det av lineariteten av Res at vi kan anta at h i < n for i = 1,..., n. Ettersom Res er alternerende i de variable T 1,..., T n og c i (T 1,..., T n ) er symmetrisk i de samme variablene kan vi anta at n 1 h 1 > h 2 > > h n 0, det vil si h i = n i for i = 1,..., n. Av Setning 4.4 følger det at det eneste leddet i T h 1 1 T h n n c i(t 1,..., T n ) som gir bidrag når vi bruker Res er T n 1 1 Tn 0T 1 T i, og dette bidraget er c i. 5.3 Korollar. Setter vi sammen avbildningen A[ξ 1,..., ξ n ] A med avbildningen A[ξ 1,..., ξ d ] A[ξ 1,..., ξ n ] vi får ved multilikasjon med ξ n d 1 d+1 ξ n d 2 d+2 ξn 0 får vi den A-lineære avbildningen : A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i Lemma 3.5. Sesielt vil (f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d )) = Res( f 1,..., f d ) for alle f 1 (T),..., f d (T) i A[T]. Bevis. Per definisjon avbilder sammensetningen A[ξ 1,..., ξ d ] A definert i korollaret f 1 (ξ 1 ) f d (ξ d ) til Res( f 1,..., f d, T n d 1, T n d 2,..., T0 ) som klart er lik Res( f 1,..., f d ). At sammensetningen er følger av at den, ved Setning 4.4 (1), har samme verdier som å elementene ξ h 1 1 ξh d d når 0 h i n i for i = 1,..., d, og disse elementene danner en A-modul basis for A[ξ 1,..., ξ d ]. 8

9 FORELESNINGEN For æresdoktoratet i Bergen 28 august Takk (1) Vanskelig å være originell. (2) Bedre i Bergen. Ble interessert i matematikk. (3) I dag, takk for grunnen til at jeg er her. 2. Innledning Alle kjenner lineære rekursjoner sesielt Fibonacci tallene som tilfredsstiller rekursjonen og a 0 = a 1 = 1. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21 a i+2 a i+1 a i = 0 for i = 0, 1,... Alle geometre kjenner Schubert regning. Sesielt roblemet med å finne antallet linjer som skjærer fire linjer i rommet. Emnet for min hovedogave i Bergen var lineære rekursjoner og halve min Ph.D. avhandling handlet om Schubert regning. Sesielt de siste årene har jeg beskjeftiget meg mye med Schubert regning. Sist jeg var i Bergen snakket jeg om studiet av lineære rekursjoner ved Matematisk Institutt i Bergen å 60 tallet. I forbindelse med foredraget odaget jeg at det i mange situasjoner er fordelaktig å betrakte lineære rekursjoner fra en litt annen synsvinkel enn den vanlige. Da jeg skulle forberede dette foredraget odaget jeg, til min store glede, at dette synsunktet leder til en generalisering av lineære rekursjonene som er helt analog med formalismen for Schubert regning. Jeg skal nu skissere hvordan dette gjøres. 3. Lineære rekursjoner og adjunksjon av røtter La A være en ring og la være et olynom med koeffisienter i A. (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n 9 Tyeset by AMS-TEX

10 Adjunksjon av en rot til. La A[ξ] = A[T]/() være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A-modulo, der ξ er restklassen til T. Da er (ξ) = 0 og A[ξ] en fri A-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1. En A-lineær homomorfi u : A[ξ] A er bestemt av en A-lineær homomorfi v : A[T] A som er null å elementene T i (T) for i = 0, 1,.... Det vil si, den er bestemt av en sekvens av elementer i A som tilfredsstiller a 0 = v(1), a 1 = v(t), a 2 = v(t 2 ),... v(t i (T n c 1 T n ( 1) n c n ) = a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,.... Vi ser at Løsninger a 0, a 1,... til den lineære rekursjonen a i+n c 1 a i+n ( 1) n c n a i = 0 for i = 0, 1,... svarer til A-lineære homomorfier u : A[ξ] A. Til den fundamentale løsningen til den linære rekursjonen 0, 0,..., 0, 1, a n, a n+1,... svarer homomorfien bestemt av : A[ξ] A { 0 når 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 får i = n 1. Vi får 0, 0,..., 1, a n, a n+1, = (ξ 0 ), (ξ 1 ),..., (ξ n 1 ), (ξ n ), (ξ n+1 ),

11 Omnummerering. Vi ser at det kan være raktisk å omnummererer fundamentalsekvensen ved å sette (ξ i ) = s i n+1 for i = 0, 1,... så sekvensen blir 0, 0,..., 0, 1, s 1, s 2,... og tilfredsstiller rekursjonen s i+1 c 1 s i + + ( 1) n c n s i n+1 = 0 for i = 0, 1,.... Dette er det samme som at elementene s 0 = 1, s 1, s 2,... er den entydige løsningen til ligningen 1 = (1 c 1 T + c 2 T 2 + ( 1) n c n T n )(s 0 + s 1 T + s 2 T 2 + ). Merk. En fordel ved å betrakte lineære rekursjoner som lineære avbildninger er at vi kan forklare hvorfor er fundamental å følgende måte: Hom A (A[ξ], A) er en fri A[ξ]-modul med basis. 4. Analogi med geometrien La P n 1 være det rojetktive rommet av dimensjon n 1. Vi kan se dette som rommet av linjer i det n-dimensjonale rommet F 1 E. Rommet P n 1 har en kohomologiring H (P n 1 ). Dette er en fri Z-modul med basis 1, ξ,..., ξ n 1 der ξ er klassen til et hyerlan i P n 1. Her er ξ n = 0 og vi har en naturlig Gysin homomorfi : H (P n 1 ) Z bestemt av { 0 0 i < n 1 (ξ i ) = 1 i = n 1. Bemerkning. Vi ser at vi er i samme situasjon som for lineære rekursjoner når A = Z og (T) = T n. I en mer generell situasjon når E er en lokalt fri modul av rang n over et rom S med bivariant teori og vi betrakter Proj(E) får vi A = H (S) og olynomet blir (T) = T n c 1 (E)T n ( 1) n c n (E). I geometrien går man lenger og studerer flag mangfoldigheter Flag 2 (E) som arametriserer flag F 1 F 2 E der E er et fast rom av dimensjon n og F 1 og F 2 er underrom av E med dim(f i ) = i. Mangfoldigheten Flag 2 (E) har også en kohomolgiring H (Flag 2 (E)). Denne får vi som følger: 11

12 Sett ξ 1 = ξ og og la 1 (T) = (T) T ξ 1 = T n T ξ 1 Z[ξ 1, ξ 2 ] = Z[ξ 1 ][T]/( 1 ) være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i Z[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at Z[ξ 1, ξ 2 ] er en fri Z-module med basis Videre har vi en Z[ξ 1 ]-lineær avbildning bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. 2 : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z[ξ 1 ] 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2. Sammen med den Z-lineære avbildningen Z[ξ 1 ] Z ovenfor får vi en Z-lineær avbildning : Z[ξ 1, ξ 2 ] Z bestemt av Vi har en naturlig isomorfi (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. Z[ξ 1, ξ 2 ] H (Flag 2 (E)). Avbildningen svarer til Gysin homomorfien H (Flag 2 (E)) Z. 5. Itererte lineære rekursjoner Vi vender nu tilbake til den mer generelle situasjonen med en ring A og et olynom (T) = T n c 1 T n ( 1) n c n med koeffisienter i A. Som ovenfor setter vi ξ 1 = ξ og 1 (T) = (T) T ξ 1 og vi lar A[ξ 1, ξ 2 ] = A[ξ 1 ][T]/( 1 ) 12

13 være restklasseringen av olynomer med koeffisienter i A[ξ 1 ] modulo 1 (T), der ξ 2 er restklassen til T. Vi har at A[ξ 1, ξ 2 ] er en fri A-module med basis Videre har vi en A[ξ 1 ]-lineær homomorfi bestemt av ξ h 1 1 ξh 2 2 for 0 h i n i. : A[ξ 1, ξ 2 ] A 2 (ξ i 2 ) = { 0 0 i < n 2 1 i = n 2 som sammensatt med den A-lineære homomorfien A[ξ 1 ] = A[ξ] A ovenfor gir en A-lineær homomorfi : A[ξ 1, ξ 2 ] A bestemt av (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = { 1 om hi = n i 0 ellers, når 0 h i n i. I analogi med resultatet ovenfor har vi: Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) er en fri A[ξ 1, ξ 2 ]-modul med basis. Til hvert element u i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) svarer en 2-dimensjonal sekvens u(ξ h 1 1 ξh 2 2 ) for h 1, h 2, = 0, 1,.... For har vi det vakre resultatet: (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) = det s h1 n+1 s h1 n+2 s h2 n+1 s h2 n+2. Forslag. Resultatene ovenfor antyder at det er naturlig å kalle sekvensene som svarer til elementene i Hom A (A[ξ 1, ξ 2 ], A) for løsninger til den itererte lineære rekursjonen gitt av (T), og at svarer til fundamentalsekvensen. 13

14 h 2, h s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 h 2, h 1 s 2 s 1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s (ξ h 1 ξ h 2 2 ) for den lineære rekursjonen med olynom x3 x 2 x 1 h 2 \ h

15 6. Forbindelse med Schubert regning Schubert varieteter. La Grass 2 (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer 2-dimensjonale underrom av E. Vi har en naturlig avbildning Q E Flag 2 (E) Grass 2 (E) som avbilder flagget F 1 F 2 E til F 2 E. Dette gir en inklusjon som svarer til inklusjonen H (Grass 2 (E)) H (Flag 2 (E)) Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] A[ξ 1, ξ 2 ] der c 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og c 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 ξ 2. Vi fikserer underrom 0 A 1 A 2 E av E og lar Ω(A 1, A 2 ) være varieteten i Grass 2 (E) av underrom Q E slik at dim(q A i ) i for i = 1, 2. Eksemel. Om dim(a 1 ) = 2 svarer A 1 til en linje L 1 i P n 1 og Ω(A 1, E) svarer til de Q E slik at dim(q A 1 ) 1, det vil si Q svarer til en linje L i P n 1 som skjærer L 1. Problemet med fire linjer i rommet svarer til å finne antall unkter i Ω(L 1 ) Ω(L 2 ) Ω(L 3 ) Ω(L 4 ). Schubert cykler. Når dim(a i ) = a i lar vi Ω(a 1, a 2 ) være klassen til Ω(A 1, A 2 ) i H (Grass 2 (E)). Klassene Ω(a 1, a 2 ) for 1 a 1 < a 2 n kalles Schubert sykler og danner en Z-modul basis for H (Grass 2 (E)) og regning med disse klassene kalles Schubert regning. Eksemel. Problemet med de fine linjene er å finne Ω(2, 4) 4 når n = 4. Definer s 0 (ξ 1, ξ 2 ) = 1, s 1 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2, s 2 (ξ 1, ξ 2 ) = ξ ξ 1ξ 2 + ξ 2 2,... ved ligningen 1 = (1 c 1 (ξ 1, ξ 2 )T + c 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 )(1 + s 1 (ξ 1, ξ 2 )T + s 2 (ξ 1, ξ 2 )T 2 ) i Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )][T]. Da har vi følgende fundamentale formel kalt Giambellis formel: Ω(a 1, a 2 ) =. s n 2 a 1 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a1 +2(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +1(ξ 1,ξ 2 ) s n 2 a2 +2(ξ 1,ξ 2 ) 15

16 Eksemel. La n = 4. Vi får Ω(2, 4) = s 1(ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) 0 s 0 (ξ 1,ξ 2 ) = s 1 (ξ 1 ξ 2 ) = ξ 1 + ξ 2 og Ω(1, 2) = = ξ1 2ξ2 2 = klassen til et unkt ågrass2 (E). Vi får s 2(ξ 1,ξ 2 ) s 3 (ξ 1,ξ 2 ) s 1 (ξ 1,ξ 2 ) s 2 (ξ 1,ξ 2 ) Ω(2, 4) 4 = (ξ 1 + ξ 2 ) 4 = 4ξ 3 1ξ 2 + 6ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2 = 4(ξ 3 1ξ 2 + ξ 2 1ξ ξ 1 ξ 3 2) + 2ξ 2 1ξ 2 2 = 2, siden 1 (T) = T 3 + ξ 1 T 2 + ξ 2 1 T + ξ3 1 har roten ξ 2. Bemerkning. Vi ser at Schubert regning svarer til itererte lineære rekursjoner i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1, ξ 2 ), c 2 (ξ 1, ξ 2 )] og (T) = (T ξ 1 )(T ξ 2 ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh 2 2 ) til Ω(a 1, a 2 ) når h i = n a i. 7. Generalisering av arameterrom La Flag d (E) være flag mangfoldigheten som arametriserer flag F 1 F 2 F d E av underrom av E med dim(f i ) = i. Da vil Flag 1 (E) = P n 1. Videre lar vi Grass d (E) være Grassmann mangfoldigheten som arametriserer d-dimensjonale underrom Q E av E. Fikser underrom 0 A 1 A 2 A d E av E og sett dim(a i ) = a i. Vi lar Ω(A 1,..., A i ) være Schubert varieteten i Grass d (E) som arametriserer de underrommene Q E av dimensjon d som tilfredsstiller betingelsene dim(q A j ) j for j = 1,..., i. Merk. (1) dim(flag d (E)) = n 1 + n n d. (2) dim(grass d (E)) = d(n d). (3) dim(ω(a 1,..., A k )) = (d i)(n d) + a a a i i. 8. Generalisering av kohomologi Mangfoldighetene Flag d (E) og Grass d (E) har kohomologiringer H (Flag d (E)), resektive, H (Grass d (E)). Sett dim(a j ) = a j for j = 1,..., i. Undervarieteten Ω(A 1,..., A k ) definerer en klasse Ω(a 1,..., a i ) i H (Grass d (E)). Når i = d vil klassene Ω(a 1,..., a d ) for 0 < a 1 < < a d n 16

17 danne en Z-modul basis for H (Grass d (E)). Regning med klassene Ω(a 1,..., a d ) kalles Schubert regning. La Z[ξ 1,..., ξ d ] være en d te slitting algebra for T n og definer elementer og i Z[ξ 1,..., ξ d ] ved og c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d ) s 0 (ξ 1,..., ξ d ) = 1, s 1 (ξ 1,..., ξ d ), s 2 (ξ 1,..., ξ d ),... q(t) := (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T d c d (ξ 1,..., ξ d ) 1 = (1 c 1 (ξ 1,..., ξ d )T + + ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d )T d ) Vi har kanoniske isomorfier og (1 + s 1 (ξ 1,..., ξ d )T + s 2 (ξ 1,..., ξ d )T 2 + ). Z[ξ 1,..., ξ d ] H (Flag d (E)) A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] H (Grass d (E)). Den naturlige avbildningen Flag d (E) Grass d (E) som avbilder et flag F 1 F 2 F d E til F d E gir en kanonisk avbildning Denne svarer til inklusjonen Vi har Giambelli s formel: Ω(a 1,..., a i ) = Res( T n a 1 La H (Grass d (E)) H (Flag d (E)). Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] Z[ξ 1,..., ξ d ]. q,..., T n a i q ) = E G Q s n d a1 +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d a1 +i(ξ 1,...,ξ d ) s n d ai +1(ξ 1,...,ξ d )... s n d ai +i(ξ 1,...,ξ d ) være den universelle kvotienten å G = Grass d (E) og la Flag i (Q) være flag mangfoldiheten som arametriserer flag F 1 F 2 F i Q der rk(f i ) = i. Videre lar vi Flag(A 1,..., A i ) betegne undermangfoldigheten av Flag i (Q) som tilfredsstiller F 1 F 2 F i A 1 A 2 A i. 17.

18 Merk. (1) dim(flag i (Q)) = d(n d) + d 1 + d d i. (2) dim(flag(a 1,..., A i )) = (d i)(n d) + a a a i i. Med A := Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] har vi at A[ξ 1,..., ξ i ] er en i te slitting algebra for olynomet q(t) = (T ξ 1 ) (T ξ d ) = T d c 1 (ξ 1,..., ξ d )T k ( 1) d c d (ξ 1,..., ξ d ). Vi har en kanonisk isomorfi A[ξ 1,..., ξ i ] H (Flag i (Q)). Strukturavbildningen Flag i (Q) Grass d (E) gir en Gysin avbildning og denne svarer til avbildningen får vi Setter vi H (Flag i (Q)) H (Grass d (E)) : A[ξ 1,..., ξ i ] A. h j = n a j Ω(a 1,..., a i k) = (ξ n a 1 1 ξ n a i i ) = (ξ h 1 1 ξh i i ). Konklusjon. Vi ser at Schubert regning svarer til i te itererte lineære rekursjon i tilfellet A = Z[c 1 (ξ 1,..., ξ d ),..., c d (ξ 1,..., ξ d )] og (T) = (T ξ 1 ) (T ξ d ). Da svarer (ξ h 1 1 ξh i i ) til Ω(a 1,..., a i ) når h j = n a j for j = 1,..., i. 18

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1

Detaljer

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen

Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter. Eivind Eriksen Konneksjoner og monodromi for en klasse moduler over simple kurvesingulariteter Eivind Eriksen 22. mai 2000 Innhold Forord 2 Innledning 6 1 Teorien 7 1.1 Konstruksjonene........................... 7 1.2

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

Permutasjoner og symmetriske grupper

Permutasjoner og symmetriske grupper 4. Del Permutasjoner og symmetriske grupper Verbet permutere kommer av det latinske verbet permutare og betyr å bytte om, og ombyttinger,elleraltsåpermutasjoner,ernoevikjennerfradagliglivet.imatematikker

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er

Notat i MA2201. Vegard Hagen. 27. mai 2012. La S være en mengde og la f, g, h : S S. Da er Notat i MA2201 Vegard Hagen 27. mai 2012 Del I - grupper og undergrupper Seksjon 2 - Binære Operasjoner En binær operasjon på en mengde S er en funksjonsavbildning S S S. (a, b) S S betegner vi elementet

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Hva forskes det på i matematikk i Norge idag?

Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? En populærvitenskapelig oversikt Geir Ellingsrud UiO 18. september 2014 Advarsel! Størrelsesorden NFR evaluerte matematisk forskning i Norge i 2011 ved de

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.

Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14. Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov Notater for gymnaset Del av et prosjekt år 2000 støttet av: Carl Tryggers Stifelse og Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon 2 Januar 2001 Matematiska Institutionen

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01

TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER. John Rognes 20.03.01 TOPOLOGISKE MODULÆRE FORMER John Rognes 20.03.01 Gruppoider Grafer, små kategorier og gruppoider. En graf, eller en liten pre-kategori, består av en mengde objekter O, en mengde morfismer M og to funksjoner

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans

Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Matematikk påbygging

Matematikk påbygging Høgskolen i Østfold Matematikk påbygging Omfang: 1 år 60 studiepoeng Påbyggingsstudium Godkjent Av Dato: 14.08.04 Endret av Dato: Innholdsfortegnelse INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 MÅLGRUPPE OG OPPTAKSKRAV...

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:

Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

LO118D Forelesning 6 (DM)

LO118D Forelesning 6 (DM) LO118D Forelesning 6 (DM) Rekurrensrelasjoner 10.09.2007 1 Rekurrensrelasjoner Rekurrensrelasjoner En rekurrensrelasjon definerer det n-te elementet i en følge i forhold til de foregående elementene. Følgen

Detaljer

Divide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015

Divide-and-Conquer. Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Divide-and-Conquer Lars Vidar Magnusson 13.1.2015 Kapittel 4 Maximum sub-array problemet Matrix multiplikasjon Analyse av divide-and-conquer algoritmer ved hjelp av substitusjonsmetoden Divide-and-Conquer

Detaljer

Frankering og computer-nettverk

Frankering og computer-nettverk 318 Frankering og computer-nettverk Øystein J. Rødseth Universitetet i Bergen Beskrivelse av oppgaven. I denne oppgaven vil du bruke kombinatorikk, tallteori og muligens også litt analyse. Oppgaven er

Detaljer

Det finnes ingen rettferdige valg!

Det finnes ingen rettferdige valg! Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Derivasjon ekstremverdier Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 6. september 20 Kapittel 3.. Hyperbolske funksjoner 3 Hyperbolske funksjoner Definisjon (Grunndefinisjoner)

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 3: Ukeoppgaver fra kapittel 2 & 3 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 31. januar 2008 Oppgave 2.7 - Horners metode (a) 7216 8 : 7 8+2 58

Detaljer

Rekursiv programmering

Rekursiv programmering Rekursiv programmering Babushka-dukker En russisk Babushkadukke er en sekvens av like dukker inne i hverandre, som kan åpnes Hver gang en dukke åpnes er det en mindre utgave av dukken inni, inntil man

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

N-dronningproblemet Obligatorisk oppgave 1 I120, H-2000

N-dronningproblemet Obligatorisk oppgave 1 I120, H-2000 N-dronningproblemet Obligatorisk oppgave 1 I120, H-2000 Innleveringsfrist : Mandag, 2. Oktober, kl.10:00 Besvarelsen legges i arkivskapet på UA i skuff merket I120 Innhold: utskrift av godt dokumentert

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015

Matematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015 Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet

Detaljer

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes 1 * Tractatus-modeller og begreps-rammer. * Morten Rognes 1998 * 2 Forord Det følgende arbeid er basert på notater som forfatteren gjorde i 1983. Disse notatene ble liggende uten å bli bearbeidet helt

Detaljer

Matriser og vektorrom

Matriser og vektorrom Matriser og vektorrom Dan Laksov & Roy Skjelnes Notater for et gymnaskurs Skrevet som en del av et prosjekt år 2000-2006 støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon VII-II Juli 2009 Matematiska

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og

Detaljer

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går

STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den

Detaljer

Matriser og Kvadratiske Former

Matriser og Kvadratiske Former Eivind Eriksen Matriser og Kvadratiske Former 15 mars 2012 Handelshøyskolen BI Innhold 1 Matriser og vektorer 1 11 Matriser 1 12 Matriseaddisjon 2 13 Matrisesubtraksjon 3 14 Skalarmultiplikasjon 3 15

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)

1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) . Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.

Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe. Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det

Detaljer

Selvsimilære Fraktaler

Selvsimilære Fraktaler Selvsimilære Fraktaler Geir Arne Hjelle Høsten 2001 N T N U Norges Teknisk Naturvitenskapelige Universitet Institutt for Matematiske Fag Forord There is no permanent place in the world for ugly mathematics

Detaljer

v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995

Løsningsforslag eksamen STE 6038 Geometrisk modellering 9/8 1995 Løsningsforslag eksamen STE 638 Geometrisk modellering 9/8 995. a) Vi skal bestemme hvilke av avbildningene/transformasjonene som er homeomorfier. f 4 6 Determinanten til matrisen er lik, dvs at den har

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 30. august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Ved NTNU: Doktorgrad i Matematikk 2012, Siv.ing. Industriell

Detaljer

Forelesning 1. Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer. Dag Normann - 14. januar 2008. Vi som skal undervise. Hva er diskret matematikk?

Forelesning 1. Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer. Dag Normann - 14. januar 2008. Vi som skal undervise. Hva er diskret matematikk? Forelesning 1 Algoritmer, pseudokoder og kontrollstrukturer Dag Normann - 14. januar 2008 Vi som skal undervise Dag Normann Roger Antonsen Christian Schaal Robin Bjørnetun Jacobsen http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/mat1030/v08/

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe

Forord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Rom forskning. - det finnes kulere rom enn verdensrommet. Hvilken fasong har universet?

Rom forskning. - det finnes kulere rom enn verdensrommet. Hvilken fasong har universet? Rom forskning Af: Bjørn Ian Dundas Matematisk Institutt Universitetet i Bergen email: dundas@math.uib.no - det finnes kulere rom enn verdensrommet den) vil jeg avslutte med å snakke om sfærespekteret.

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5

<kode> Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Grunnleggende matematikk for ingeniører Side 1 av 5 Emnebeskrivelse 1 Emnenavn og kode Grunnleggende matematikk for ingeniører 2 Studiepoeng 10 studiepoeng 3 Innledning Dette er det ene av

Detaljer

En studentassistents perspektiv på ε δ

En studentassistents perspektiv på ε δ En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2014 2015 1. runde. Sponset av. Uke 46, 2014

Norsk informatikkolympiade 2014 2015 1. runde. Sponset av. Uke 46, 2014 Norsk informatikkolympiade 014 015 1. runde Sponset av Uke 46, 014 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler.

Detaljer

INF1820 2013-04-12 INF1820. Arne Skjærholt INF1820. Dagens språk: Russisk. dyes yataya l yektsiya. Arne Skjærholt. десятая лекция

INF1820 2013-04-12 INF1820. Arne Skjærholt INF1820. Dagens språk: Russisk. dyes yataya l yektsiya. Arne Skjærholt. десятая лекция Arne Skjærholt десятая лекция Dagens språk: Russisk. dyes yataya l yektsiya Arne Skjærholt десятая лекция N,Σ,R,S Nå er vi tilbake i de formelle, regelbaserte modellene igjen, og en kontekstfri grammatikk

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

4.7 EMNEBESKRIVELSER I MATEMATIKK

4.7 EMNEBESKRIVELSER I MATEMATIKK SIDE 309 MA0001 Brukerkurs i matematikk A Mathematical Methods A Faglærer: Førsteamanuensis Øyvind Bakke Anbefalte forkunnskaper: Undervisningen bygger på matematikkunnskaper tilsvarende 2MX fra videregående

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...

ESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei... ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg

Detaljer