Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1060

Transkript

1 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 6

2 Innhold Dynamiske systemer 4. Diskrete dynamiske systemer Lukkede dynamiske systemer Oppgaver med løsning Oppgaver Matriseregning 4. Grunnleggende om matriser Kvadratiske matriser Determinant Lineære likningssytemer Spektralteori Oppgaver med løsning Oppgaver Lineære rom og avbildninger 4. Lineære rom Lineære avbildninger En anvendelse Oppgaver med løsning Oppgaver Geometri i planet Geometrisk tolkning av lineære avbildninger Stive bevegelser i planet Symmetrier av plane figurer Plane krystaller Oppgaver med løsning Oppgaver Geometri i rommet Vektorer i R Ortogonale -matriser Isometrier i R Oppgaver med løsning Oppgaver

3 6 Indreprodukt Et generelt indreproduktbegrep Eksempler på indreprodukt Dekomponering av vektorer ved indreprodukt Fourier-rekker Oppgaver med løsning Oppgaver Gruppeteori Symmetrigrupper Abstrakte grupper Den ortogonale gruppa O Symmetrier av molekyler Oppgaver med løsning Oppgaver Karakterer 9 8. Homomorfier av grupper Representasjoner Karakterer Oppgaver med løsning Oppgaver Oppgavesett Oppgavesett Oppgavesett Oppgavesett Oppgavesett Oppgavesett Oppgavesett Appendix 5. Bevis for Cayley-Hamilton-teoremet

4 Kapittel Dynamiske systemer Mange fenomener innen naturvitenskap kan beskrives med det som i matematisk teori kalles et dynamisk system. Felles for alle dynamiske systemer er at vi betrakter et sett av tilstander og en regel for hvordan systemet utvikler seg over tid, det vi kaller dynamikken til systemet. Vi skiller mellom to typer dynamiske systemer, gjennom hvordan de utvikler seg. Kontinuerlige systemer har en fast, kontinuerlig utvikling, f.eks. slik som verdens befolkning, nedbryting av et stoff i kroppen eller radioaktiv utstråling fra et radioaktivt materiale. Diskrete systemer utvikler seg skrittvis, f.eks. slik som størrelsen på en populasjon av dyr som stort sett føder barn på en bestemt tid på året. Da måler vi tilstanden, dvs. antall dyr i ulike årsklasser, ved et bestemt tidspunkt på året, og dynamikken forteller oss noe om endringene fra år til år.. Diskrete dynamiske systemer Vi kan illustrere et dynamisk system med en figur: Størrelsene som inngår i modellen får hver sin boks, mens dynamikken beskrives med piler mellom boksene. Et tall over pila indikerer hvor stor endringen fra en tilstand til en annen er. Eksempel... Vi betrakter et system bestående av 4 størrelser, s, s, s, s 4 :.. s.9 s 4.5 Systemet kan f.eks. beskrive en populasjon som vi deler inn i 4 klasser. Størrelsen s gir antall individer under..5 s s.8 år, størrelsen s er antall individer mellom og år, s antall mellom og år, og s 4 er eldre individer. Dynamikken beskriver hva som skjer med antallene ett år fram i tid. Pila fra s til s med tallet.9 over beskriver at 9% av alle i den laveste årsklassen overlever til neste år. Tilsvarende for pilene mellom s og s, og mellom s og s 4. Siden s 4 favner alle eldre årsklasser har vi en pil fra denne boksen inn i seg selv, hvor tallet forteller hvor stor andel som overlever til neste år. Pilene fra de tre størrelsene s, s og s 4 til s modellerer reproduksjon. Individene i klassen s føder barn og bidrar dermed at antallet i s øker. Reproduksjonsraten er her satt til.. Individene i klassen s har som vi ser mye høyere reproduksjonsrate, mens de gamle i s 4 ikke har noen reproduksjon.. De yngste i klassen s har heller ikke noen reproduksjon, og det går derfor ikke noen pil fra s til seg selv. Ved et bestemt tidspunkt, som vi setter til år n, har vi en fordeling av individer gitt ved s, s 7, s 5, og s 4. Dette setter vi inn i en tilstandsvektor v ; v,7,5, Ved å bruke tallene i diagrammet kan vi nå regne ut antallene i hver klasse i år n, gitt ved tilstandsvektoren v. v 89,9,56, Vi kan fortsette å regne ut v, v, osv., men det er mer hensiktsmessig å forenkle denne prosessen ved å introdusere begrepet matrise. En matrise A er en tabell som beskriver det som skjer i det dynamiske systemet. Siden matrisen skal beskrive hva som skjer fra ett år til det neste, kaller vi matrisen i dette tilfellet for en overgangsmatrise. Overgangsmatrisen tilordnet eksemplet 4

5 over er gitt ved A Vi kjenner igjen tallene fra diagrammet, men hvorfor står de akkurat sånn plassert i tabellen? En tabell har rader og søyler. Radene er horisontale og søylene er vertikale. Tallet som står i. rad og. søyle er det samme som står over pila i diagrammet fra klassen s til klassen s. Tilsvarende for de andre tallene. I de tilfellene vi ikke har en pil i diagrammet, setter vi inn en i matrisen. Før vi går videre skal vi introdusere et annet begrep, skalarprodukt eller prikkprodukt. Det vi kalte en tilstandsvektor er bare et spesialtilfelle av det generelle begrepet vektor. En vektor er et tall-tuppel v,v,...,v n, hvor prikkene og den siste indeksen n indikerer at vi kan ha vektorer av alle mulige lengder. De reelle tallene v, v, osv. som inngår i vektoren kalles for vektorens komponenter. For å regne ut prikkproduktet av vektorer må vektorene ha samme lengde, la oss kalle dem v v,v,...,v n og w w,w,...,w n. Definisjon... Prikkproduktet av to vektorer v v,v,...,v n og w w,w,...,w n er gitt ved v w v,v,...,v n w,w,...,w n v w + v w + + v n w n Eksempel... Anta at vi har 5 -kroner, 6 5-kroner og -kroner. Summen av hvor mange penger vi har er gitt ved et prikkprodukt. Vi lar v 5,6, være antallene i hver valør og w,5, verdiene av myntene. Samlet pengesum blir da v w 5,6,,5, Vi kan bruke prikkproduktet til å regne på utviklingen av tilstandene i det første eksemplet. Vi skal gjøre det ved å definere et produkt mellom en matrise og en vektor. Av rent historiske og også praktiske årsaker, så ønsker vi i mange tilfeller å skrive vektorer som søyler og ikke rader. Vi kaller dem da gjerne for søylevektorer. Vektoren v skriver vi som v v v. v n Hvis vi skriver vektoren horisontalt, v v,...,v n kaller vi vektoren for en radvektor. Helt generelt kaller vi det å bytte om rader og søyler i en matrise for transponering. Den transponerte av en radvektor er den tilsvarende søylevektoren og omvendt. Vi bruker notasjonen A v,...,v n T v v. v n Definisjon... La A være en matrise n rader og n søyler og v en søylevektor, gitt ved a a... a n v a a... a n v... a n a n... a nn, v Da er produktet mellom A og v gitt ved a v + a v + a n v n a v + a v + a n v n A v. a n v + a n v + a nn v n. v n Dvs. at hver rad i produktet er prikkproduktet mellom den tilsvarende raden i matrisen og vektoren. Vi kan gå tilbake til det første eksemplet og se hvordan vi kan uttrykke dynamikken ved et produkt. Tilstandsvektorene etter n,,... år er gitt ved å multiplisere forrige tilstandsvektor med matrisen A. v A v, v A v, osv. Det gir i vårt eksempel..5. v A v

6 og v A v Det siste uttrykket kan vi skrive litt om; v A v A A v A A v A v Ved å flytte på parantesene har vi uten videre introdusert en potens av en matrise, eller mer generelt et produkt av to matriser. Dette trenger en mer presis definisjon. Definisjon... La A og B være to matriser gitt ved a... a n b... b n A.., B.. a n... a nn b n... b nn Vi definerer matriseproduktet A B ved A B p,q a p b q + a p b q + + a pn b nq der A B p,q betyr det tallet som står i p-te rad og q- te søyle i matrisen A B. Dette tallet er altså gitt ved prikkproduktet av p-te rad i den venstre matrisen og q-te søyle i den høyre matrisen. Vær oppmerksom på at rekkefølgen av A og B i produktet A B er helt vesentlig. Generelt har vi at A B B A. Vi sier at matriseproduktet ikke er kommutativt. Kommutativitet er et annet ord for at faktorenes orden er likegylidg. Vi skal ikke bruke så mye krefter på regne ut matrise-produkter, det er mer hensiktsmessig å overlate det til en datamaskin. Eksempel... Vi kan se på potenser A k for ulike verdier av k og A gitt i det første eksempelet. I dette tilfellet har vi fått hjelp av en datamaskin, og vi finner med to riktige desimaler at A A Potensen A gir overgangsmatrisen for en -årsperiode. Vi kan bruke denne på aldersfordelingen v vi opprinnelig hadde. Det gir v A Som vi ser har det totale antallet individer økt, fra 4 til 56, og fordelingen mellom aldersgruppene har endret seg. Hvis vi regner ut hva som skjer etter enda ett år, så kommer vi til å se konturene av noe interessant. v A Tallene fortsetter å øke, fra totalt 56 etter år, til 69 etter år, dvs. en økning på 9%. Dersom vi gjør den samme beregningen mellom A og A, finner vi en økning på 8,4%. Forskjellen i økningen er ikke så stor, og dersom vi ser på enda høyere potenser av A, vil vi se at økningen stabiliserer seg på 8,4%. Men vi finner ettert hvert en enda dypere sammenheng. Antallet individer i hver aldersgruppe øker også med 8,4%. Hvis vi hadde gjort det samme med A og A, så ville vi ha fått tilnærmet samme resultat. Det betyr at vi har funnet en tilstandsvektor v som oppfyller A v,84 v For ordens skyld, så har vi at v 94,44,8,49 i hele. En slik vektor v med egenskapen A v λ v for et reelt kompleks tall λ kalles en egenvektor for matrisen A, og tallet λ,84 er den tilhørende egenverdien. Egenverdier kan i prinsippet anta alle reelle komplekse verdier, men noen verdier er mer spesielle enn andre, og har derfor gitt opphav til spesielle begreper. Definisjon..4. En egenvektor med tilhørende egenverdi λ for en overgangsmatrise som beskriver et dynamsisk system kalles en likevektstilstand for systemet. 6

7 En egenvektor omtales ofte som en stabil fordeling for systemet. Komponentene i egenvektoren endrer seg når vi multipliserer med matrisen, men forholdet mellom dem bevares. Uttrykket likevekt henspeiler på at når systemet er i denne tilstanden, så vil det ikke endre seg, og et system som ikke endrer seg har nådd en likevektstilstand. Vi skal se på et eksempel til. Eksempel..4. I dette eksemplet lar vi det dynamiske systemet være beskrevet av følgende figur:.7 s s.5. s.6.5 s 4.4 s 5 Den tilhørende overgangsmatrisen blir.7.5 P Denne overgangsmatrisen har en spesiell egenskap, nemlig at summen av tallene i hver kolonne er. Definisjon..5. En matrise med ikke-negative elementer og der summen av tallene i hver kolonne er kalles en stokastisk matrise. Ser vi på modellen så gjenkjenner vi dette ved at summen av ut-verdiene er i alle tilstander. Med andre ord, ingen ting kommer til eller fjernes fra systemet. Vi kan tenke på tallene i matrisen som sannsynligheter for at man beveger seg mellom de ulike tilstandene. Det er grunnen til at vi i dette tilfellet har kalt overgangsmatrisen for P, P for probability. Vi kan bruke en datamaskin til å regne ut høye potenser av P, og da ser vi noe interessant: P Alt i midten av matrisen blir. Vi kan illustrere P med en figur:.89 s s.64. s.8.6 s 4.6 s 5 Her har vi gjort det motsatte av det vi startet med å gjøre. Med utgangspunkt i en overgangsmatrise har vi laget en figur som gir oss nøyaktig samme informasjon. Hvis vi starter med en tilstandsvektor v så vil vi etter skritt ende med v P v.89. Dette kan vi tolke som at dersom vi starter i klassen s, så vil vi i 89% av tilfellene ende opp i klassen s etter skritt, og resten i klassen s 5. Vi ender aldri opp i de tre midterste klassene. Eksempelet viser at det er en - sammenheng mellom figurene med bokser og piler og den tilsvarende overgangsmatrisen. v n+ P v n, n Dersom vi skriver ut dette i detalj får vi en tredje måte å beskrive systemet. Vi skal bruke eksempel som illustrasjon av denne skrivemåten. Vi bruker her notasjonen v n,i for i-te koordinat i vektoren v n. Uttrykket v n+ P v n kan vi nå skrive som v n+, v n+, v n+, v n+, v n, +.5v n,.9v n,.8v n,.5v n, +.v n,4 v n, v n, v n, v n,4 7

8 som gir oss likningsettet v n+,.v n, +.5v n, v n+,.9v n, v n+,.8v n, v n+,4.5v n, +.v n,4 Dermed har vi tre ulike måter å presentere modellen. Alle måtene gir oss samme informasjon. Hvilken vi velger avhenger av hva vi skal bruke modellen til og hvordan vi skal bruke den.. Lukkede dynamiske systemer Vi skal se litt nøyere på en bestemt klasse av dynamiske systemer, som vi kaller lukkede systemer. Lukkede systemer modellerer prosesser som er isolert fra omgivelsene, i den forstand at ingenting kommer ut eller føres inn i systemet. Et eksempel kan være gassmolekylene i en lukket og isolert beholder. For en vektor v v,...,v n lar vi σv n v i i betegne komponentsummen til vektoren. Definisjon... Vi sier at et dynamisk system er lukket dersom komponentsummen til en tilstandsvektor ikke endres av dynamikken i systemet, dvs. dersom systemet er gitt ved en overgangsmatrise A og v er en tilstandsvektor, så er komponentsummene av v og Av like; σv σav Proposisjon... Dersom et dynamisk system er lukket vil den tilhørende overgangsmatrisen være en stokastisk matrise. Det omvendte er også tilfelle, det tilhørende dynamiske systemet til en stokastisk matrise er lukket. Bevis. La A være overgangsmatrisen til det dynamiske systemet, og la e j være vektoren med en -er i koordinat j og -er ellers. Da vil produktet Ae j være den j-te søylen i matrisen A. Siden komponentsummen til e j er σe i, må komponentsummen til hver søyle i A være, og matrisen er stokastisk. La A være en stokastisk matrise gitt ved a... a n A.. a n... a nn, der og la a, j + a, j + + a n, j v v. v n for alle j,...,n, være en tilstandsvektor. Da har vi og Av σav n j n a, v + + a,n v n. a n, v + + a n,n v n j og systemet er lukket. a j, v + + a j,n v n a j, v + + v + + v n σv n j, a j,n v n Proposisjon... Et hvert lukket system har en likevektstilstand. Bevis. La A a i j være den stokastiske overgangsmatrisen til det lukkede systemet. En likevektstilstand v må tilfredsstille et likningssytem a v + a v + + a n v n v a v + a v + + a n v n v a n v + a n v + + a nn v n v n Den siste likningen kan vi skrive som v n a n v + a n v + + a nn v n n n a i v + + a in v n i. i v + + v n v + + v n v n som betyr at den er overflødig. Dermed har vi n likninger med n ukjente, og ved å flytte høyresiden over til venstresiden får vi et homogent likningsystem. Vi skal siden se at slike systemer har ikke-trivielle løsninger. 8

9 Proposisjon..4. Egenverdien med størst absoluttverdi til en stokastisk matrise A er. Bevis. Vi skal siden se at en matrise og dens transponerte har de samme egenverdiene. Vi kan derfor anta at A har radsummer lik og ikke søylesummer. La v være en egenvektor for A med egenverdi λ. La v k max{ v, v,..., v n } være komponenten med størst absoluttverdi. Siden v har vi at v k >. Det følger nå at ved å bruke trekantulikheten og at elementene i A er positive: λ v k a k v + a k v + + a kn v n a k v + a k v + + a kn v n a k v k + a k v k + + a kn v k a k + a k + + a kn v k v k og det følger at λ. En konsekvens av dette resultatet er at dersom vi starter med en tilstandsvektor w v + m i b iv i der v er en likevektstilstand og v i er egenvektorer med egenverdi ulik, så vil og siden A n w n v + for λ <, så følger det at m i lim λ n n lim n An w v b i λ n i v i dvs. at vi ender opp i likevektstilstanden.. Oppgaver med løsning Eksempel... I en populasjon forekommer to forskjellige genvarianter A og B. Som et resultat av mutasjoner vil det skje endringer i antallet av de to genvariantene, gitt ved den dynamiske modellen y t+ y t,b.9. y t a Anta at på tidspunktet t så vil fordelingen mellom de to genvariantene være yt,a 6 4 Hva vil fordelingen være ved tiden t +? b Overgangen fra tilstanden ved tiden t til tilstanden ved tiden t + kan beskrives ved matrisemultiplikasjon med.9. Regn ut dette produktet. c En likevektstilstand for denne modellen finner vi ved å sette y t+ y t. Finn en likevektstilstand u y v slik at Løsning. og der u + v..9 y. y. Metodevalg: Vi skal multiplisere sammen matriser, eventuelt matriser og søylevektorer. De aktuelle formelene skrevet ut for -matriser er a a a a v v a v + a v a v + a v Og for to matriser: a a b b a a b b a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b 9

10 . Regning: Vi får Videre har vi En ekvivalent formulering av matriseproduktet.9 y y. er som likningssytemet u.9u v.u + v og samtidig u + v. Dette gir at u og v. Eksempel... En modell for en populasjonen består av tre klasser. Dynamikken i modellen er gitt som i illustrasjonen. så vil populasjonen holde seg konstant. Faktisk er det slik at dersom vi starter med tilstandsvektoren v a b c der a og b ikke begge er, så vil vi i det lange løp ende opp med en tilstandsvektor gitt ved v a + b 5 6 Forklar hvorfor det er slik. Løsning.. Metodevalg: Vi oversetter en boks-illustrasjon av et dynamisk system til en matrise M ved følgende oppskrift: Siden systemet har klasser, vil overgangsmatrisen være en -matrise. På plass i, j, dvs. i-te rad og j-te søyle, setter vi inn tallet som står ved pila som går fra tilstand j til tilstand i. Vi regner ut tilstandsvektorer med utgangspunkt i v ved å multiplisere med M; v M v osv. Dersom vi har en tilstandsvektor v med en stabil fordeling, dvs. at.8. T T v n+ M v n λv n for et reelt tall λ, så kan vi si noe om utviklingen av systemet. Dersom λ <, så vil v n i dette tilfellet. Dersom λ vil tilstanden holde seg konstant..9 Still opp den tilhørende overgangsmatrisen. Kan du tenke deg til hva som skjer i modellen i det lange løp? Vis at dersom utgangspunktet er en tilstandsvektor v T så vil populasjonen dø ut. Vis også at dersom utgangspunktet er v 5.. Regning: Vi bruker oppskriften over og finner at M Vi regner ut M Det betyr at vi har en stabil fordeling med λ.9, som betyr at populasjonen vil dø ut. Det neste eksempelet på en v gir oss M

11 som betyr at i dette tilfellet vil populasjonen holde seg konstant. I det siste eksemplet får vi.8. a b.8a + b.a..9 c.b +.9c I dette tilfellet ser vi at summen av de to første komponentene er konstant lik a + b og hvis vi skal ha.8a + b a og.a b så må vi ha a 5b. Dersom summen skal være konstant betyr det at a,b a+b 6 5,. Setter vi dette inn i utregningen får vi M 5a+b 6 a+b 6 c 5a+b 6 a+b 6 a+b 6 +.9c og den tredje koordinaten vil ha utviklingen c, a + b 6 +.9c, a + b 6 +.9a + b c, a + b 6 +.9a + b 6 + a + b c,... Bruker vi formelen for summen av en geometrisk rekke med første ledd a+b 6 og faktor.9 får vi at etter hvert så vil den siste komponenten nærme seg mot.4 Oppgaver Oppgave. En modell er gitt som i illustrasjonen..6.4 T T. Still opp den tilhørende overgangsmatrisen. Oppgave. Vi betrakter et system bestående av 4 størrelser, s, s, s, s 4 :.. s.4 s T s s. Still opp den tilhørende overgangsmatrisen. lim n.9n c + a+b a+b a + b 6 Oppgave. Gitt en overgangsmatrise.8.4. M Tegn et boksdiagram som svarer til denne overgangsmatrisen. Oppgave 4. Gitt en overgangsmatrise 4 4 M 4 4 Tegn et boksdiagram som svarer til denne overgangsmatrisen.

12 Oppgave 5. En dynamisk modell er gitt ved x n+ M x n der M er en -matrise gitt ved.8. M..8 og x i er en -søylevektor. a Gitt en tilstandsfordeling x n Hva blir x n+? b Regn ut M. c Vi finner likevektstilstander ved å sette y t+ y t. u Finn en slik likevektstilstand u slik at u Oppgave 7. En populasjon av øyenstikkere holder til i to dammer. Hver dag flytter % av øyenstikkerne i dam A seg til dam B, mens % av de i dam B flytter seg til dam A. Resten blir værende, og ingen forsvinner eller kommer til. Hvis vi lar a t betegne antall øyenstikkere i dam A på dag t og b t tilsvarende i dam B, så vil systemet kunne beskrives ved modellen at+ b t at La M være overgangsmatrisen i modellen over. Regn ut for hånd M og M. Hvis vi starter med v hva blir da v og v? Vi er interessert i å finne ut hva som skjer med fordelingen mellom de to dammene i det lange løp. Vil forløpet være avhengig av den opprinnelige tilstandsvektoren? b t u M u og der u + u. Oppgave 6. En dynamisk modell er gitt ved x n+ M x n der M er en -matrise gitt ved.8.. M og x i er en -søylevektor. a Gitt en tilstandsfordeling x n Oppgave 8. Vi studerer en populasjon av kvinner og deres risiko for å utvikle brystkreft. Vi deler populasjonen i tre grupper tilstander, friske, pasienter i tidlig stadium og pasienter i sent stadium. Hvert år vil.% av de friske kvinnene utvikle tidlig-stadium kreft. Resten forblir friske. Av pasientene i et tidlig stadium vil 65% blir friskmeldt i løpet av året, mens resten utvikler sykdommen til et sent stadium. Av kvinnene i den sene stadiet vil % ved hjelp av behandling bli brakt tilbake til en tidlig stadium tilstand, mens 9% forblir i det sene stadiet. Ingen går direkte fra et sent stadium av sykdommen til å bli frisk på et år. Modellen kan vi illustrere på denne måten.998. Friske.65. Tidlig stadium Hva blir x n+? b Regn ut M. Sent stadium.5 c Vi finner likevektstilstander ved å sette y t+ y t. Finn en slik likevektstilstand u slik at u M u og der u + u + u..9 Still opp den tilhørende overgangsmatrisen. Hvor stor andel vil etter hvert være i de ulike stadiene? Vil det være avhengig av hva som er utgangspunktet?

13 Oppgave 9. Vi skal se på en modell for aldersfordeling hos ferskvannsfisken gulabbor. Vi tenker oss at i en populasjon er det ingen av individene som blir mer enn 4 år. Kun 5% av -åringene overlever til de blir år, % overlever fra til år og 75% fra til 4. De to eldste klassene produserer nye fisker, henholdsvis og 5 i året pr. individ. Vi kan formulere modellen slik, der n k,t indikerer antall individer i aldersgruppe k ved tiden t. n,t+ n,t + 5n 4,t n,t+.5n,t n,t+.n,t n 4,t+.75n,t Skriv opp overgangsmatrisen P og tegn en figur som illustrerer modellen. Regn ut P. Dersom vi setter v 5 hva blir da v? Finn ut hvordan aldersfordelingen blir i det lange løp. Oppgave. En medisinsk preparat inntas gjennom munnen og absorberes til blodbanen via magesekken. La s t være mengden av preparatet i magen ved tiden t, og b t den mengden som er absorbert i blodet. For hvert tidsintervall er 5% av preparatet absorbert fra magesekken til blodbanen, og 8% av preparatet i blodbanen er metabolisert. Still opp en modell, inkludert figur, overgangsmatrise og likningssett. Analyser tidsforløpet av modellen. Oppgave. N studenter sitter rundt et rundt bord og spiller følgende spill: De bestemmer seg for hvert sitt tall < p j <, uten å fortelle de andre hva tallet er. Hver spiller har utdelt en kapital, verdsatt til. Ved hver runde i spillet skal spiller j gi personen til høyre en andel p j av den kapitalen hun på dette tidspunktet har til rådighet. Resten av kapitalen skal hun gi til personen på venstre side. Slik fortsetter spillet. På bakgrunn av det man stadig vekk mottar, er det om å gjøre å avdekke verdien på alle p j. Hvordan vil fordelingen av kapital rundt bordet være, basert på alle de individuelle p j -ene?

14 Kapittel Matriseregning Dette kapitlet er et rent teori-kapittel hvor vi går gjennom det vi trenger å kunne om matriseregning.. Grunnleggende om matriser Definisjon... En reell n m-matrise A er en tabell med n rader og m søyler. a... a m A.., a n... a nm der elementene a i j i matrisen er reelle tall. Vi bruker ofte den kortfattede skrivemåten A a i j Vi trenger ikke å begrense oss til reelle elementer i matrisen, hvis vi ønsker kan vi gjerne studere komplekse matriser, hvor elementene i matrisen er komplekse tall. Men vi velger å holde oss til reelle tall dersom ikke annet er angitt. En radvektor a,...,a m kan vi oppfatte som en m-matrise, og en søylevektor a. a n, som en n -matrise. Vi kan legge sammen to matriser av samme størrelse. Definisjon... La A og B være to reelle n m- matriser, A a i j og B b i j. Da er summen av dem gitt ved A + B a i j + b i j, som igjen er en reell n m- matrise. Vi kan også gange en matrise med et reelt tall c. Det gjør vi ved å gange alle elementene i matrisen med det samme tallet, c a i j ca i j. Vi kaller denne operasjonen for skalar multiplikasjon. Eksempel... La A og B Da har vi A + B Eksempel... La A være som i forrige eksempel. Da har vi A Vi kan også multiplisere en matrise med det reelle tallet. Det gir oss en matrise der alle elementene er. Vi kaller denne matrisen for -matrisen av størrelse m n. Eksempel... Null-matrisen av størrelse er gitt ved, Eksempel..4. Vi har 4

15 og + Eksempel..5. La A, B Proposisjon... La A, B og C være reelle n m- matriser. Da har vi at: i Addisjon av matriser er assosiativt, dvs, A + B +C A + B +C ii Addisjon av matriser er kommutativt, dvs, A + B B + A iii Null-matrisen er et -element, det vil si A + A iv Enhver matrise har en additiv invers, det vil si en matrise A A som oppfyller A + A. v Skalar multiplikasjon er assosiativt, dvs, cda cda vi Skalar multiplikasjon er distributiv over addisjon av matriser, dvs, være en -, henholdsvis -matrise. Da passer størrelsene slik at vi kan definere produktet A B, som blir en ny -matrise A B 5 5 hvor elementene framkommer slik; osv. Proposisjon..5. La A, B og C være reelle matriser av rett størrelse for de aktuelle formålene i denne proposisjonen. Da har vi at: i Matrise-multiplikasjon er assosiativt, dvs, A B C A B C og vii A A. c + da ca + da ca + B ca + cb ii Matrise-multiplikasjon er distributiv over addisjon, dvs, A + B C A C + B C og A B +C A B + A C Bevisene for alle disse påstandene er mer eller mindre trivielle og vi lar det være opp til leseren å skrive dem ut. Under forutsetning av at størrelsene passer sammen kan matriser multipliseres med hverandre. Definisjon..4. La A være en n p-matrise og B en p m-matrise, A a i j og B b i j. Da er produktet av dem gitt ved A B c i j hvor c i j p k a ik b k j og produktet er en n m-matrise. Denne definisjonen illustrerer vi best med et eksempel. Proposisjonen bevises ved å bruke definisjonene direkte og er utelatt. Eksempel..6. La matrisene A og B være som i forrige eksempel og la C Da har vi A B C

16 På den annen side har vi B C og dermed A B C som bekrefter punkt i i Proposisjonen.. Kvadratiske matriser Kvadratiske matriser, dvs. matriser av størrelse n n for et positivt heltall n, har mange gode egenskaper. Blant annet finnes det en identitetsmatrise, I eller I n dersom vi har behov for a angi størrelsen gitt ved n nmatrisen I n dvs. en diagonal matrise med -ere på hoveddiagonalen, og -er ellers. Identitetsmatrisen har mange av de samme egenskapene som tallet. F. eks. har vi for en kvadratisk n n-mtrise A at A I n I n A A. Det finnes en lang rekke kvadratiske matriser med egne navn. De har egne navn fordi de spiller sentrale roller i ulike sammenhenger. Definisjon... En kvadratisk matrise A sies å være øvre triangulær dersom alle elementene under hoveddiagonalen er. Matrisen er nedre triangulær dersom alle elementene over hoveddiagonalen er. En matrise som er både øvre og nedre triangulær dvs. alle elementer bortsatt fra på diagonalen er kalles en diagonal matrise. Eksempel... Matrisen A er et eksempel på en øvre triangulær matrise, mens B er et eksempel på en nedre triangulær matrise. Et eksempel på en diagonal matrise er D Alle tall bortsett fra har multiplikative inverser, dvs. det finnes et annet reelt tall som multiplisert med tallet gir oss. For eksempel er den inverse til. På samme måte kan kvadratiske matriser kan ha inverser. Senere skal vi se at dette ikke alltid er tilfelle, også for andre matriser enn -matrisen. Definisjon... La A være en kvadratisk n n- matrise. Anta at det finnes en annen n n-matrise B slik at A B B A I n. Da sier vi at B er den inverse matrisen til A, og vi skriver B A. Dersom det finnes en invers til A sier vi at matrisen A er invertibel. Vi skal ta for gitt at dersom det finnes en B slik at A B I, så vil også B A I. Eksempel... Matrisen A har invers A fordi A A Vi har også A A Lemma... La A være en invertibel n n-matrise. Da har vi at i Den inverse matrisen er entydig bestemt av A, ii A A 6

17 ii AB B A Bevis. For å bevise i antar vi at det finnes to inverser, B og B til A. Bruker vi den definerende egenskapen til den inverse matrisen, sammen med assosiativitet av matrise-multiplikasjon, får vi B B I n B A B B A B I n B B De to andre punktene følger nå fra entydigheten i i og ved definisjonen av den inverse. F.eks. er A definert ved at A A I Men vi har også at A A I. Entydigheten av inversen til A gir da at A A. Eksempel... Det er ikke alltid enkelt å regne ut inversen til en matrise. Senere skal vi se på noen forskjellige teknikker som vi kan benytte oss av. Men i noen tilfeller er det relativt enkelt å beregne inverser. Spesielt gjelder det for diagonale matriser. I det tilfellet kan vi bare invertere elementene på diagonalen under forutsetning av at disse er : D Grunnen er at produktet av to diagonale matriser er en diagonal matrise bestående av samplasserte elementer på diagonalen. Vi har tidligere definert begrepet transponering av en vektor. Vi kan utvide begrepet til å omfatte matriser generelt. Definisjon..4. Den transponerte til en matrise A, skrevet A T, finner vi ved å bytte om rader og søyler, dvs gir a... a m A.. a n... a nm a... a n A T.. a m... a mn Den transponerte til en n m-matrise er en m n- matrise. Eksempel..4. La A være -matrisen gitt ved A Da har vi at A T er en -matrise gitt ved A T Definisjon..5. En kvadratisk matrise A som er lik sin egen transponerte, kalles en symmetrisk matrise. Vi skriver denne betingelsen som A T A. Eksempel..5. Symmetriske matriser kan vi speile om hoveddiagonalen uten at de endrer seg. Et eksempel på en symmetrisk matrise er A Den transponerte av en matrise har noen egenskaper som minner om egenskapene til den inverse. Lemma..6. La A være en n n-matrise. Da har vi at ii A T T A ii AB T B T A T Bevis. Følger nokså direkte fra definisjonene av den transponerte og av matriseprodukt. Siden invertering og transponering deler noen egenskaper kan vi finne sammenhenger mellom dem. Definisjon..7. En invertibel kvadratisk matrise A som oppfyller A A T kalles en ortogonal matrise. Eksempel..6. Matrisen.8.6 A er ortogonal. Spesielt har vi I 7

18 Proposisjon..8. Produktet av to ortogonale matriser er en ortogonal matrise. Bevis. La A og B være to ortogonale matriser. Da har vi AB B A B T A T AB T Det er ikke tilfeldig at slike matriser kalles ortogonale, og vi skal siden komme tilbake til hvorfor. Her tar vi med en viktig egenskap; Proposisjon..9. Prikkproduktet av to forskjellige søyler i en ortogonal matrise er, mens prikkproduktet av en søyle med seg selv er. Bevis. Siden den inverse er den transponerte, så har vi A A T I n. Hvis vi kaller søylene i A for a,...,a n, så sier denne betingelsen at a i a j for i j, og a i a i. Det finnes metoder og formler for å regne ut den inverse til en matrise. Vi skal ikke gå inn på det i noen generalitet, men vi kan skrive opp formelen i - tilfellet. Eksempel..7. For en -matrise a a A a a har vi den inverse matrisen A a a a a a a a a under forutsetning av at a a a a. Hvis a a a a har ikke matrisen noen invers. Eksempel..8. Vi skal regne ut inversen til - matrisen A Vi bruker formelen over og får A 5 Matriseproduktet utgjør en slags generalisering av prikkproduktet. Det innebærer også at vi kan se på prikkproduktet som et matriseprodukt. La v og w være to søylevektorer, dvs. n -matriser. Da vil v T være en radvektor dvs. en n-matrise. Disse kan vi multiplisere sammen og få en -matrise. -matriser står i et --forhold til reelle tall og dette tallet er presis prikkproduktet mellom de to vektorene. v T w v,v,...,v p w w.. w p v w + +v p w p Det betyr at vi kan skrive prikkproduktet som et matriseprodukt; v w v T w Vi kan bruke denne formen for skalarprodukt til å skrive opp en stor klasse av ortogonale matriser, omtalt som Householder-transformasjoner. Householdertransformasjoner er oppkalt etter Alston Scott Householder, som introduserte denne konstruksjonen i 958; Definisjon... La v være en ikke-triviell n-vektor Ikke-triviell betyr at den er forskjellig fra -vektoren. Vi kaller matrisen Q v I vvt v T v for en Householder-transformasjon. Merk at telleren i brøken er en n n-matrise, mens nevneren er en - matrise som vi identifiserer med et tall. Proposisjon... Householder-transformasjonen Q v er en ortogonal matrise. Bevis. Vi har Samtidig har vi Q T v I T vvt v T v T I vvt v T v Q v Q v I vvt v T v I 4 vvt v T v + 4vvT v T v I siden vi har vvt v T v vvt vv T v T vv T v vt v v T v vvt v T v vvt v T v Vi ser av beviset at Householder-transformasjonen ikke bare er ortogonal, men den oppfyller i tillegg at Q v I. 8

19 Eksempel..9. La Da har vi v v T v og Q v Vi skal siden komme tilbake til en geometrisk tolkning av Housholder-transformasjonen. Definisjon... Vi definerer normen v til en vektor v v,v,...,v n ved v v + v + + v n Legg merke til likheten med det Pythagoreiske avstandsbegrepet. Vi kan bruke det vi har sagt over til å gi en alternativ definisjon av normen til en vektor; v v T v I det første kapitlet relaterte vi en kvadratisk matrise til et dynamisk system beskrevet ved en boks-modell. Vi skal se hvordan vi kan bruke teorien fra dette kapitlet på denne modellen. Eksempel... Vi har et dynamisk system beskrevet av følgende figur:.7 s s.5. s.6.5 s 4.4 s 5 Den tilhørende overgangsmatrisen er.7.5 P Det dynamiske systemet beskrevet av den transponerte matrisen P T er dannet fra systemet til P ved å snu alle piler; s.5.7 s. s.6.5 s 4.4 s 5 En konsekvens av dette er at symmetriske overgangsmatriser svarer til boks-diagram hvor verdien av pilene mellom to klasser er den samme i begge retninger. Den inverse til overgangsmatrisen til et dynamisk system er ikke så enkel å skrive opp, selv om den praktiske betydningen er ganske grei. Betydningen er at dersom vi først går et step med selve systemet, for så å gå et step med det inverse systemet, så ender vi opp nøyaktig med den fordeling som vi startet med. Vi kan se på dette i et eksempel. Eksempel... Vi betrakter det dynamiske systemet gitt ved s s s.5 Overgangsmatrisen et gitt ved P Vi kan regne ut den inverse matrisen, og finner at denne er gitt ved P Vi kan tegne opp systemet på en litt annen måte; Vi tar med alle pilene i P fra s, fortsetter med alle pilene i P til s og s ; 9

20 . s. s.4 s 4 s 4 6 s s Vi ser at dersom vi starter med s, så bringer P oss til.,.,.4. Den nye s. blir av P overført til s,s,., s. går til s,s,. og s.4 til s,s 4,.4. Til sammen gir det s,s + 4,.. +.4,. Vi observerer at den inverse matrisen har også søylesum lik, men det er ikke noen stokastisk matrise siden vi har negative elementer.. Determinant En nyttig anvendelse av matriser er ved løsning av lineære likningssystemer. Vi betrakter følgende problemstilling: Finn to tall x og y som har sum og differanse 4. Det er ikke så vanskelig å se at 8 og gir en løsning på problemet. Men det er ønskelig å ha en mer generell metode for å løse slike problemer. Vi begynner med å stille opp to likninger; x + y x y 4 Nå kan vi enten legge sammen likningene eller trekke de fra hverandre. I det første tilfellet får vi og i det andre tilfellet x 4, dvs. x y 6, dvs. y 8 som til sammen gir oss løsningen. Vi kan gå et skritt videre og se på et mer generelt likningssystem; a x + a y b a x + a y b For å løse dette kan vi f.eks. multiplisere den øverste likningen med a og den nederste med a og så trekke den øverste fra den nederste. Da forsvinner x-leddene og vi står igjen med likningen a a a a y a b a b Dersom a a a a kan vi løse denne likningen med hensyn på y. Hvis a a a a må vi i tillegg ha a b a b for at det fortsatt skal være mulig å løse likningen. La oss anta at a a a a. Da har vi y a b a b a a a a og vi kan regne ut x a b a b a a a a som gir oss en generell løsning av systemet. Vi kan alternativt angripe likningssytemet på en annen måte. Med vår kunnskap om matrisemultiplikasjon observerer vi at vi kan skrive likningssystemet som en matriselikning; a a x b a a y og løsningen kan vi skrive som x a a y a a a a a a b b Uttrykket på høyre side kjenner vi igjen som en invers matrise, og løsningen kan skrives som x a a b y a a b Hvis vi setter a a A, b a a får vi en likning med løsning Ax b b x A b b og x b x y Matrisen A kaller vi koeffisientmatrisen til likningssytemet. Et springende punkt for å finne en løsning av likningssystemet var betingelsen a a a a. Dette uttrykket er en viktig størrelse og har fått et eget navn;

21 Definisjon... La a a A a a være en -matrise. Da er determinanten til A gitt ved deta a a a a Eksempel... det Med denne definisjonen kan vi skrive opp den inverse til en -matrise A a i j på en alternativ form; Proposisjon... La A være en invertibel - matrise. Da har vi A a a deta a a Det er ikke bare -matriser som har determinanter, alle kvadratiske matriser har determinanter. For n større enn er det ikke like enkelt å regne ut determinanten til en matrise, men det finnes en grei rekursjonsformel. Først tar vi den formelle definisjonen eller Leiniz formel, som den også kalles. Definisjon... La a... a n.. a n... a nn være en n n-matrise. Da er determinanten til A gitt ved n deta a i,σi σ S n sgnσ i Her betyr S n mengden av alle ombyttinger eller permutasjoner av mengden {,,..., n} og sgnσ teller hvor mange ombyttinger av to elementer som trengs for å få til ombyttingen σ. Definisjonen sier altså at for å beregne determinanten til en matrise skal vi ta alle mulige kombinasjoner av å plukke ut ett element fra hver rad, og samtidig fra hver søyle, gange dem sammen, sette pluss eller minus foran avhengig av hvilken rekkefølge elementene er valgt ut, for så å legge alle disse produktene sammen. Eksempel... det a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Eksempel... det + + Vi har en alternativ definisjon Laplaces formel for determinanten, Proposisjon..4. La a... a n A.. a n... a nn være en n n-matrise. Da er determinanten til A gitt ved deta n j j deta j der A j er n n -matrisen som framkommer ved stryke første søyle og j-te rad i matrisen A, dvs. a a... a n... A j a j, a j,... a j,n... a j+, a j+,... a j+,n a n a n... a nn Siden vi har en enkel formel for determinanten til en -matrise, kan vi bruke denne formelen rekursivt til å beregne determinanten til større matriser. Merk at vi også har en alternativ notasjon for deteminanter. For a... a n A.. a n... a nn bruker vi de to ekvivalente skriveformene; a... a n deta.. a n... a nn

22 Eksempel..4. Vi skal regne ut determinanten til -matrisen A ved hjelp av rekursjonsformelen. Vi har deta + Det er noen nyttige regneregler knyttet til determinanter. Den kanskje aller viktigste er produktformelen deta B deta detb Vi skal ikke vise den her, det involverer en god del begreper som vi ikke vil ha bruk for til annet enn å bevise formelen. Men vi kan skrive ut formelen i - tilfellet; a a A b b, B a a b b Det gir at a b A B + a b a b + a b a b + a b a b + a b og deta B a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a b + a b a b + a b a b + a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b + a a b b a a a a b b b b deta detb Proposisjon..5. Determinanten til en matrise med en rad eller søyle av -er er. Bevis. Siden alle leddene som inngår i determinanten inneholder en faktor fra hver rad og hver søyle, vil i dette tilfelle alle leddene inneholde en faktor, og determinanten er derfor. Eksempel..5. det Proposisjon..6. Determinanten til en triangulær matrise er produktet av elementene på diagonalen. Bevis. Samtlige ledd som inngår i formelen for determinanten inneholder faktorer både fra oversiden og fra undersiden av diagonalen, bortsett fra ett. Det ene er produktet av elementene på diagonalen. I formelen inngår dette leddet alltid med positivt fortegn. Det følger at determinanten til identitetsmatrisen er, og determinanten til k I er k n. Eksempel..6. det 6 Proposisjon..7. La A være en n n-matrise. Da har vi detk A k n deta Bevis. Vi kan skrive k A ki A Dermed følger resultatet fra kommentaren etter proposisjonen over. Proposisjon..8. Determinanten til en matrise og dens transponerte er like. Bevis. Siden determinanten er satt sammen av alle produkter av ett element fra hver rad og hver søyle, kan vi bytte om rader og søyler og få de samme leddene. Fortegnene vi introduserer er laget slik at de ikke endrer seg om vi bytter om rader og søyler. Eksempel..7. Vi har det og for den transponerte det

23 Proposisjon..9. Bytter vi om to rader eller to søyler i en matrise skifter determinanten tegn. Bevis. Bytter vi om to rader eller to søyler vil alle leddene i determinanten bli de samme, men alle tegnene vil endre seg. Igjen bruker vi det at fortegnene er satt slik at determinanten ved denne prosessen vil skifte tegn. Eksempel..8. Vi har a a a a a a a a mens a a a a a a a a a a a a Eksempel..9. Vi har det mens det Proposisjon... Determinanten til den inverse matrisen er gitt ved deta deta Bevis. Siden vi har A A I følger det at Eksempel... La Da har vi deta deta deti A deta 5 mens determinanten til den inverse matrisen er 5 deta det Proposisjon... Determinanten til en ortogonal matrise er ±. Bevis. En ortogonal matrise er definert ved at A A T. Vi har vist at deta T deta og siden vi samtidig har at deta deta følger det at deta. Eksempel Lineære likningssytemer Vi har allerede vært borte i noen lineære likningssystemer og sett på hvordan vi kan løse dem. I dette kapitlet skal vi gjøre en litt mer grundig gjennomgang av det vi kommer til å trenge. Definisjon.4.. Et sett av lineære likninger a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b... a m x + a m x + + a mn x n b m kalles et lineært likningssystem i n variable. Dersom alle b i sier vi at likningssystemet er homogent. I motsatt fall er det inhomogent. Vi kan skrive et lineært likningssystem på matriseform; a... a n x b.... a m... a mn x n b m I hvilken grad vi kan finne løsninger til et lineært likningssystem avhenger av forholdet mellom antall ukjente og antall likninger. Vi tar utgagnspunkt i at løsningene x x,...,x n har n variable som vi kan velge fritt. Dette omtales ofte som at vi har n frihetsgrader eller n ukjente. Hver likning gir oss en begrensning på hvilke x vi kan velge, og reduserer dermed antall frihetsgrader med. Det betyr at med m likninger, så står vi igjen med n m frihetsgrader, under forutsetning av

24 at dette tallet er større enn eller lik. Et system som har flere likninger enn frihetsgrader sies å være overbestemt. Det systemet vil normalt ikke ha noen løsninger. Det motsatte tilfellet kalles et underbestemt system. Da har vi flere frihetsgrader enn likninger, og vi vil normal ha mange løsninger. Men et underbestemt system trenger ikke å ha noen løsninger. F.eks. vil systemet x + y + z x + y + z naturlig nok ikke ha noen løsninger, selv om vi har ukjente og kun likninger. På den annen side kan et tilsynelatende overbestemt system likevel ha løsninger hvis flere av likningene er like eller eventuelt summer av hverandre. F.eks. er ikke systemet x + y x y x + y 4 overbestemt, på tross av at vi har flere likninger enn ukjente. Den siste likningen x + y 4 kan skrives som ganger den første likningen pluss den andre. Det betyr at den siste likningen ikke gir oss noe mer informasjon om løsningen enn vi allerede har fra de to første likningene. Likningssystemet er derfor ekvivalent med et system med ukjente og likninger. Likningssystemer med like mange frihetsgrader som likninger kaller vi for kvadratiske likningssystemer. Kvadratiske likningssystemer kan være underbestemt, entydig bestemt eller overbestemt, avhengig av hvordan likningene ser ut. Entydig bestemt betyr at likningssystemet har en entydig løsning. Vi skriver systemet på matriseform; a... a n.. a n... a nn x. x n hvor koeffisientmatrisen a... a n A.. a n... a nn b. b m er en kvadratisk matrise. Det første springende punktet er hvorvidt A er invertibel. Proposisjon.4.. La Ax b være et likningsystem med n likninger og n ukjente, dvs. at A er en kvadratisk matrise. Dersom A er invertibel, så har likningssystemet en entydig løsning gitt ved x A b Ved å bruke produktformelen for determinanter følger det at en invertibel matrise må a determinant ulik. deta deta deti Faktisk er det motsatte også sant, uten at vi skal bevise det her. Proposisjon.4.. En kvadratisk matrise A er invertibel hvis og bare hvis determinanten deta. Det finnes mange ulike måter å løse lineære likningssystemer, innsettingsmetode, addisjonsmetode, Gauss- Jordan-eliminasjon for å nevne noen. I tillegg har alle regne-programmer egne kommandoer som løser likningssystemene for oss. Vi skal derfor ikke bruke noe tid på disse teknikkene. Vi skal heller se på et eksempel der vi bruker lineære likningssystemer til å løse et praktisk problem. Når man brenner metangass sammen med oksygen, vil sluttproduktene være karbondioksyd og vann, i tillegg til frigjort energi. Reaksjonslikningen for denne reaksjonen er CH 4 + O CO + H O Denne likningen er ikke balansert, dvs. den tar ikke hensyn til at antall atomer må være konstant i reaksjonen. Vår oppgave er å balansere likningen. La nå x, x, x og x 4 være antall molekyler som inngår i reaksjonen; x CH 4 + x O x CO + x 4 H O Vi teller opp antallene av de tre atomene, C, O og H som inngår i likningen og får x x x x + x 4 4x x 4 Vi kan rydde dette systemet for å få det på den generelle formen; x x x x x 4 4x x 4 4

25 Dette er et homogent likningssystem med likninger og 4 ukjente. Systemet er underbestemt og har mange løsninger. En av løsningene av systemet kan være x x, x x 4, som gir reaksjonslikningen En annen løsning vil være CH 4 + O CO + H O CH 4 + 6O CO + 6H O eller et hvilket som helst multiplum av den enkleste reaksjonslikningen. Selv om dette gir oss en frihetsgrad i løsningen er vi ikke så interessert i de andre løsningene i dette tilfellet, den enkle likningen gir oss alt vi trenger. I et matematisk språk vil vi si at løsningen utgjør en basis for løsningsrommet. Vi kommer tilbake til dette i neste kapittel. Vi avslutter dette kapitlet med en liten historisk kommentar. Kanskje litt overraskende, men determinanter ble altså oppfunnet lenge før matrisene. En form av determinanter, som et tall som avgjør om et likningssett har en entydig løsning, dukker opp i Kina allerede i det. århudre før vår tid. Gauss introduserte ordet determinant i 8, og i 8 formulerte, uavhengig av hverandre, Binet og Cauchy produktformelen for determinanter. Matriser ble først introdusert av Sylvester i Spektralteori Definisjon.5.. Gitt en kvadratisk n n-matrise A. En vektor v kalles en egenvektor for A dersom A v λ v for et reelt tall λ. Tallet λ kalles for den tilhørende egenverdien. En n n-matrise kan ha inntil n egenverdier. Anta at v er en egenvektor for en matrise A, med tilhørende egenverdi λ. Da har vi Av λv Alternativt kan vi skrive denne likningen som Av λv A λiv Egenvektorer er alltid antatt å være forskjellige fra - vektoren. Det betyr at likningssytemet A λ Iv skal ha en ikke-triviell løsning. Siden dette er et homogent likningsystem er det ekvivalent med at determinanten til koeffisientmatrisen er lik. Vi har i dette resonnementet kun antatt at λ er en egenverdi, uten å kjenne den noe nærmere. Vi betrakter derfor foreløpig λ som en ukjent og prøver å finne en løsning av likningen deta λi Dersom vi skriver dette ut ser vi at dette gir oss en polynomial likning i λ. Definisjon.5.. La A være en kvadratisk matrise, og la λ være en ukjent størrelse. Polynomet χ A λ deta λi kalles det karakteristiske polynomet til matrisen A, og røttene til polynomet er egenverdiene til matrisen. Vi skal regne ut denne determinanten, og da får vi bruk for et begrep til. Definisjon.5.. La A være en kvadratisk matrise; a... a n A.. a n... a nn Da er trasen også kalt sporet til A gitt som summen av diagonal-elementene tra a + a + + a nn For en -matrise er det enkelt å se at det karakteristiske polynomet kan skrives χ A λ λ traλ + deta Det faller direkte ut dersom vi skriver ut det karakteristiske polynomet på elementform. Vi har deta λi a λ a a λ a λ a + a λ + a a a a λ traλ + deta Eksempel.5.. Vi skal beregne egenverdiene til matrisen A 5

26 Vi har tra og deta. Det gir karakteristisk polynom χ A λ λ λ For å finne røttene bruker vi abc-formelen; λ ± 4 ± Egenverdiene blir λ og λ. For større matriser medfører det litt mer regning å finne egenverdiene. For å gi en formel i -tilfellet trenger vi en mellomregning. La A være en -matrise. Utregning gir tra tra a a + a a + a a a a a a a a Proposisjon.5.4. La A være en -matrise. Da har vi χ A λ λ + traλ + tra tra λ + deta Vi kan bruke det karakteristiske polynomet til å studere egenskaper ved ulike matriser. Proposisjon.5.5. La A være en invertibel n n- matrise, og v en egenvektor med tilhørende egenverdi λ. Da er v også egenvektor for A med egenverdi λ. Bevis. Vi har Av λv. Siden A er invertibel kan vi multiplisere med A på begge sider av likhetstegnet, og vi får v A λv. Deler vi begge sider med λ får vi A v λ v Proposisjon.5.6. En kvadratisk matrise og dens transponerte har de samme egenverdiene. Merk at de to matrisene har samme egenverdier, vi sier ikke noe om egenvektorene. Bevis. Siden en matrise og dens transponerte har samme determinant følger det at χ A T λ deta T λi deta T λi T deta T T λi T deta λi χ A λ Proposisjon.5.7. Alle de reelle egenverdiene til en ortogonal n n-matrise har absoluttverdi. Proposisjonen er riktig også for de komplekse egenverdiene, men det krever et litt mer involvert argument. Bevis. La v være en egenvektor for A med egenverdi λ. Da har vi på den ene side og på den andre side Av T Av v T A T Av v T v λv T λv λ v T v Siden v, så er v T v v + v + + v n og det følger at λ. Proposisjon.5.8. La A være en ortogonal - matrise med deta. Da tillater A en likevektstilstand, dvs. A har en egenvektor v med tilhørende egenverdi λ. Bevis. Vi har χ A deta I deta AA T deta deti A T deta deta I deta χ A Siden vi har antatt at deta følger det at χ A, som er ekvivalent med at λ er en egenverdi. Vi skal til slutt ta med et viktig resultat, det såkalte Cayley-Hamilton-teoremet. Resultatet sier at en matrise passer i sitt egen karakteristiske polynom. Teorem.5.9 Cayley-Hamilton. La A være en n n- matrise med karakteristisk polynom χ A. Da har vi χ A A Vi skal ikke bevise dette resultatet i sin fulle generalitet, vi nøyer oss med å se på et argument for - tilfellet. Bevis. For n. La a a A a a 6

27 Da har vi χ A A A tra A deta a + a a a a + a a a + a a a + a a a a + a a a + a a a a Vi kan bruke Cayley-Hamilton-teoremet til å regne ut den inverse til en -matrise. Vi har tidligere sett at vi har χ A λ λ + traλ og tra Dermed har vi at A I de neste kapitlene skal vi komme mer tilbake til teorien for egenverdier og egenvektorer og også se mer på hvordan det kan anvendes på mer anvendte problemer. Cayley-Hamilton gir at + tra tra λ + deta A + traa tra tra A + deta I Siden A er invertibel kan vi multiplisere likningen med A. Det gir A + traa tra tra I + detaa Og med litt enkel manipulasjon kommer vi fram til formelen A deta A traa+ tra tra I Eksempel.5.. Vi skal regne ut den inverse matrisen til A Vi har tidligere sett at deta. Dessuten ser vi lett at tra Videre har vi A 6 7 7

28 .6 Oppgaver med løsning Eksempel.6.. La A 4 Vis at A er invertibel og finn A. Regn ut det karakteristiske polynomet og finn egenverdiene til A. Løsning.. Metodevalg: For å avgjøre om A er invertibel regner vi ut determinanten etter formelen a a det a a a a a a Å vise at matrisen er invertibel er ekvivalent med å vise at determinanten er. Når vi har gjort det kan vi bruke formelen for den inverse til en -matrise; a a a a a a deta a a Vi har at tra a + a og dermed kan vi regne ut det karakteristiske polynomet etter formelen χ A λ λ traλ + deta For å finne egenverdiene setter vi χ A λ og løser med hensyn på λ ved å bruke abc-formelen.. Regning: deta 4 og matrisen er derfor invertibel. Videre har vi A deta 4 4 Trasen til A er gitt ved tra + 6 og vi har karakteristisk polynom χ A λ λ 6λ + Innsetting i abc-fomelen gir λ 6 ± 6 4 siden 4. ± Eksempel.6.. La A Vis at A er invertibel og finn A. Regn ut det karakteristiske polynomet og finn egenverdiene til A. Løsning.. Metodevalg: For å avgjøre om A er invertibel regner vi ut determinanten etter formelen det a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Å vise at matrisen er invertibel er ekvivalent med å vise at determinanten er. For åregne ut den inverse matrisen kan vi bruke formelen A deta A traa+ tra tra I Det betyr at vi trenger tra og tra. Disse må vi regne ut. Trasen er gitt ved summen av diagonalelementene. Den kan vi regne ut for A etter at vi har kvadrert matrisen. For å regne ut det karakteristiske polynomet til A bruker vi formelen eller alternativt χ A λ deta λi χ A λ λ + traλ tra tra λ + deta For å finne egenverdiene setter vi χ A λ og løser med hensyn på λ. Siden dette blir et.gradspolynom har vi ikke noen formel slik vi har for.gradspolynomer. Men hvis vi via andre metoder kan finne en av egenverdiene, så kan vi ved hjelp av polynomdivisjon redusere problemet til å løse en. gradslikning.. Regning: deta 4 8

29 og matrisen er derfor invertibel. Videre har vi A I Det betyr at tra + +, mens tra +. Det gir A I A + I I + A I A Dette kunne vi alternativt sett da vi regnet ut A og fant at denne var identitetsmatrisen. Pr. definisjon av den inverse sier dette at A er sin egen invers. Det karakteristiske polynomet er gitt ved χ A λ λ λ λ + λ λ + λ + For å finne røttene til dette.gradspolynomet observerer vi at siden A I, så vil vi for en egenvektor v med egenverdi λ ha v Iv A Av Aλv λ v som betyr at λ, det vil si at λ ±. Vi regner ut og finner at χ A og χ A. Det betyr at λ og λ + deler χ A λ. Polynomdivisjon gir da at og vi får χ A λ λ λ + λ + χ A λ λ λ + Det betyr at vi har to egenverdier, λ og λ. Eksempel.6.. La v Regn ut Householder-transformasjonen Q v tilordnet denne vektoren. Vis at Q v v v. La så w Vis at Q v w w. Vi skal se at disse resultatene ikke svarer til noen sære tilfeller. La derfor v være en vilkårlig vektor, og w en vektor som oppfyller v T w. Det betyr at de to vektorene stå normalt på hverandre. Vis at og at Løsning. Q v v v Q v w w. Metodevalg: Vi bruker den generelle formen for Householder-transformasjonen Q v I vvt v T v og regner ut. I det første tilfellet med innsatte tall, i det andre tilfellet med symboler. og. Regning: Vi har Det gir v T v 6 vv T 4 Q v 4 og dermed Q v v v Videre har vi Q v w w 9

30 Mer generelt har vi Q v v v vvt v v T v v v vvt v T v v v v og Q v w w vvt w v T v w vvt w v T v Eksempel.6.4. Vi har gitt et likningssystem x + 4y x + y 5 x y 4 w w Er systemet overbestemt, underbestemt eller bestemt? Dersom det er bestemt, finn et minimalt, ekvivalent likningssystem og regn ut determinanten til den tilhørende koeffisientmatrisen A. Regn også ut A, og bruk dette til å løse likningsystemet. Løsning.. Metodevalg: Et likningsystem med likninger og ukjente er ved første øyekast et overbestemt system, men dersom det finnes en eller flere overflødige likninger kan systemet gjerne være bestemt og til og med underbestemt. Dette må vi sjekke opp. Dersom systemet er bestemt vil det reduserte likningsystemet ha en invertibel koeffisientmatrise, og vi regner ut determinanten med den vanlige formelen for determinanten av en -matrise, deta a a a a Når det er på plass kan vi regne ut den inverse matrisen ved formelen A a a deta a a og til slutt løse likningsystemet ved å regne ut den tredje. Det betyr at den første likningen er overflødig. Likningsystemet reduserer seg til x + y 5 x y 4 som vi ikke kan redusere ytterligere. Koeffisientmatrisen tildette systemet er A som har determinant deta Høyresiden i likningen er gitt ved 5 b 4 Dermed får vi den inverse matrisen gitt ved A som gir oss løsningen x A 5 b 4 det vil si x og y..7 Oppgaver Oppgave. Utfør regneoperasjonene: a b 54 7 x A b. Regning: Først observerer vi at den første likningen er det samme som 6 ganger den andre pluss 8 ganger c

31 Oppgave. Utfør regneoperasjonene: a b c d Oppgave. La A c hvor c R er et reelt tall. Finn A, A og A 4. Ser du et mønster? Hva blir A n? Oppgave 4. og b La a La A B 4 Regn ut produktene A B og B A. og A B Regn ut produktet A B. Har produktet B A noen mening? c La og d La A B Regn ut produktene A B og B A. og Hva blir A B og B A. A B Oppgave 5. Regn ut determinantene: a 5 4 b c d Oppgave 6. Regn ut det karakteristiske polynomet og finn egenverdiene til matrisene: a b 4 8 c d

32 e Oppgave 7. Regn ut den inverse til matrisene: a b 4 8 c d e Oppgave 8. La A Vis at det karakteristiske polynomet er gitt ved χ A λ λ λ 5λ + 6 og finn egenverdiene til matrisen. Finn også A. Oppgave 9. Løs likningssystemene: a Oppgave. Vis at -matrisene cosθ sinθ R θ og S sinθ cosθ er ortogonale. Faktisk er det slik at alle ortogonale -matriser er på formen R θ eller på formen SR θ for passende valg av θ [,π. Oppgave. Vis at matrisene A og B 6 er ortogonale. Er produktene A, AB, BA og B også ortogonale? Oppgave. La A Vis at A er invertibel og finn A. Regn ut det karakteristiske polynomet og finn egenverdiene til A. Oppgave. La A Vis at A er invertibel og finn A. Regn ut det karakteristiske polynomet og finn egenverdiene til A. b c x + y 4 x y 5 4x + 8y 6 x + y x + y 5 x + y 7 Oppgave 4. La v Regn ut Householder-transformasjonen Q v tilordnet denne vektoren. Vis at Q v v v. La så w a b For reelle tall a,b R. Vis at Q v w w.

33 Oppgave 5. Vi har gitt et likningssystem x y z x + y + z x y z x z 4 Er systemet overbestemt, underbestemt eller bestemt?

34 Kapittel Lineære rom og avbildninger I dette kapitlet skal vi se på begrepene vektor og matrise inn i en mer generell setting. Vi skal definere begrepet vektorrom og se hvordan vi kan betrakte matriser som en måte å beskrive avbildninger mellom vektorrom, det som vi kaller lineære avbildninger.. Lineære rom Vi begynner med å se på begrepet vektorrom. Definisjon... Et reelt vektorrom V også kalt et lineært rom er en mengde med to operasjoner, addisjon, dvs. at for x,y V, så er summen x + y V, og skalar multiplikasjon, dvs. hvis x V og a R er et reelt tall, så er ax V. De to operasjonene må oppfylle betingelsene: i Addisjon er assosiativ, dvs. x + y + z x + y + z for alle x,y,z V. Elementene i et vektorrom kalles ofte for vektorer selv om de ikke ser ut som det vi vanligvis forbinder med vektorer, og de reelle tallene vi ganger med kalles skalarer. De vanligste vektorrommene vi kommer bort i vil være av hovedtyper. Den første er en geometrisk tolkjning av vektorrom. Eksempel... Mengden av vektorer i planet R eller rommet, R, skrevet som a,b R danner et vektorrom. Den generelle definisjonen har hentet sitt navn fra dette eksempelet. Addisjon og skalar multiplikasjon av vektorer i planet gjøres komponentvis, dvs. a,b + a,b a + a,b + b ca,b ca,cb som svarer til å legge sammen piler, med startpunktet for neste vektor i spissen av den forrige. ii Addisjon er kommutativ, dvs. x + y y + x for alle x,y V. iii Det finnes et nøytralt addidtivt element eller, slik at x + x for alle x V. iv Til alle elementer x V så finnes det et element x slik at x + x. Vi kaller elementet den additive inversen til x. v Skalar multiplikasjon er assosiativ, dvs. for alle reelle tall a,b R og x V, så er abx abx. vi Vi har x x for alle x V. vii De to operasjonene er distributive over hverandre, dvs. a + bx ax + bx og ax + y ax + ay for alle a,b R og x,y V. Skalar multiplikasjon beholder retningen på en vektor, men forandrer lengden, eventuelt snur pila dersom skalaren er et negativt tall. I det neste eksemplet fjerner vi oss fra den geometriske tolkingen av vektorer, men holder oss til en tilsvarende skriveform. Eksempel... For et vilkårlig helt tall n lar vi R n betegne mengde av alle n-tupler a a,a,...,a n med 4

35 komponentvis addisjon og skalar multiplikasjon, a,...,a n + b,...,b n a + b,...,a n + b n ca,...,a n ca,...,ca n -elementet er gitt ved n-tuplet med kun -er, dvs.,..., og det inverse elementet til a a,...,a n er gitt ved a a,..., a n. Mengden av reelle n-tupler R n danner dermed et vektorrom. Eksempel... I det tredje ekempelet lar vi vektorrommet V F I bestå av funksjoner definert på et intervall I R. Addisjon og skalar multiplikasjon er gitt som ordinær addisjon og multiplikasjon av funksjoner; f + gx f x + gx c f x c f x for alle f,g F I og c R og -elementet er konstantfunksjonen f x. Det er ikke alltid hensiktsmessig å se på alle mulige funksjoner på et intervall. Vi kan gjerne begrense oss til kontinuerlige funksjoner, eller betrakte en enda mer restriktert mengde. Eksempel..4. Mengden {ae x +be x a,b R} danner et vektorrom under addisjon og skalar multiplikasjon. Eksempel..5. La P {a + a x + + a n x n } der a i R for alle i og n er et ikke-negativt heltall. P betegner mengden av alle polynomer i x, med reelle koeffisienter. Mengden P danner et vektorrom under vanlig addisjon og skalar multiplikasjon. Definisjon... En lineær kombinasjon av elementer v,...,v r V er en sum for reelle tall a,...,a r. a v + + a r v r En hver lineær kombinasjon av vektorer i et vektorrom er selv et element i vektorrommet. Definisjon... En mengde av elementer V {v,...,v r } V i et vektorrom sies å være lineært uavhengig dersom a v + + a r v r betyr at alle a a r. I motsatt fall sier vi at mengden V er lineært avhengig. Dersom vi har at a v + + a r v r uten at alle a i, kaller vi ofte r-tuppelet a,...,a r for en lineær avhengighet for mengden V. Eksempel..6. La V være mengden V {,, } Da har vi og mengden er lineært avhengig. -tuplet,, gir oss en lineær avhengighet for mengden V. Eksempel..7. La T {sint,cost}. Hvis vi har asint + bcost som funksjoner, så betyr det at likningen også må stemme når vi setter inn verdier for t. Setter vi inn t får vi asin + bcos b og setter vi inn t π får vi asin π + bcos π a Det betyr at for at likheten skal være oppfyllt som en relasjon mellom funksjoner, så må vi ha a b og de to funksjonene er derfor lineært uavhengig. Vi er spesielt interessert i mengder som genererer vektorrommet. Definisjon..4. En mengde B {v,...,v r } V kalles en basis for V dersom mengden er lineært uavhengig og utspenner hele V, dvs. at for alle v V, så kan vi finne reelle tall a,...a r R slik at v a v + + a r v r Det er også mulig at basisen B kan bestå av uendelig mange elementer. Grunnen til at vi vil at en basis skal være lineært uavhengig er at vi vil at rommet skal være generert av så få elementer som mulig. En basis er en minimal mengde i den forstand at hvis vi fjerner et element fra basisen, så vil vektorrommet som basisen utspenner bli ekte redusert. For en lineært avhengig mengde er 5

36 det mulig å fjerne et element uten at mengden som utspennes endres. I eksemplet over vil mengden V {,, } utspenne hele R. For et vilkårlig element a R b kan vi f.eks. skrive a b b + a b Fjerner vi det siste elementet fra mengden har vi fortsatt nok vektorer til å spenne ut hele R. De to elementene, er lineært uavhengige og siden de samtidig utspenner hele R utgjør de en basis for R. Eksempel..8. La B {,, } være tre elementer i R. B er lineært uavhengig siden a + b + c a b c kun er mulig dersom a b c. Vi ser også at B utspenner hele R siden et vilkårlig element a b c a + b + c Eksempel..9. La B {,, } være en mengde av tre elementer i R. For å avgjøre om B er lineært uavhengig setter vi a +b +c a b + c a + b c a + c Det gir oss likningssettet a b + c a + b c a + c som har som eneste løsning a b c og mengden er derfor lineært uavhengig. Vi ser også at B utspenner hele R siden et vilkårlig element kan skrives som en lineær kombinasjon av de tre vektorene; x y u + u + u z hvor u x + y z u x y + z u x y + z La B være en endelig basis for et vektorrom V. Vi skal se at alle andre basiser for V har like mange elementer som B. Lemma..5. La B {v,...,v r } være en basis for et vektorrom V, og la W {w,...,w s } V, w j, være en mengde med flere elementer enn det er i basisen B. Da er mengden W lineært avhengig. I en litt annen versjon kalles dette lemmaet vanligvis for Steinitz erstatnings-resultat. Bevis. Anta at mengden W er lineært uavhengig. Siden B er en basis kan vi skrive w b v + + b r v r hvor ikke alle b j. Anta at vi har ordnet basiselementene slik at b. Da har vi v b w b b v b r b v r Det betyr at vi kan erstatte v med w i basisen B og det vil fortsatt være en basis. Vi gjentar denne prosedyren til vi har byttet ut alle v j med w j. Dette er mulig siden begge mengdene er lineært uavhengige. Vi ender opp med at {w,...,w r } danner en basis for V. Men det betyr at w r+ kan skrives som en lineær kombinasjon av w,...,w r, som strider mot antakelsen om at W er lineært uavhengig. Altså var antakelsen gal. Det følgende resultatet er en direkte konsekvens av Steinitz erstatnings-resultat: 6

37 Teorem..6. Gitt et vektorrom V og anta at B {v,...,v r } og B {w,...,w s } er to forskjellige basiser for V. Da har de to basisene like mange elementer, dvs. r s. Definisjon..7. La V være et vektorrom, og anta at B {v,...,v r } er en basis for V. Vi definerer dimensjonen til vektorrommet V til å være antall elementer r i basisen B. Siden alle basiser i henhold til Steinitz erstatnings-resultat må ha like mange elementer, er dimensjonen til V uavhengig av valg av basis B. Eksempel... Dimensjonen til R n er n. Dette kan vi se siden alle elementer i R n er på formen a,...,a n og a,...,a n n i a i e i der e i,,...,,,,..., er et n-tuppel med en - er på plass i og resten -er. Vi kaller S {e,...,e n } for standardbasisen for R n. At mengden er lineært uavhengig følger av at dersom så må alle a i. a,...,a n n i a i e i Det siste eksemplet viser at dimensjons-begrepet passer med vår intuitive oppfatning av dimensjon, planet R har dimensjon og rommet R har dimensjon. Et vektorrom trenger ikke å ha endelig dimensjon. Vi kan likevel skrive opp en basis, selv om denne mengden ikke er endelig. Eksempel... La P være vektorrommet av polynomer med reelle koeffisienter. Anta at dette rommet har endelig dimensjon, og at vi kan skrive opp en endelig basis for vektorrommet. La n være den høyeste graden av polynomene som inngår i basisen. Vi vet at et polynom av høyere grad enn n ikke kan skrives som en lineær kombinasjon av polynomer av grad mindre enn eller lik n, noe som ville bety at basisen ikke spenner ut hele rommet. Det er imidlertid et krav til en basis, og en endelig mengde av polynomer kan derfor ikke utgjøre en basis for P. Proposisjon..8. Mengden danner en basis for P. B {,x,x,x,...,} Bevis. Elementene i P er på formen a + a x + a x + + a n x n for et ikke-negativt tall n og a i R. Det betyr at B spenner ut hele P. Vi må også vise at B er lineært uavhengig. Anta det motsatte, det vil si at det finnes reelle tall a,a,...,a n slik at a + a x + a x + + a n x n Ingen ikke-trivielle polynomer av grad n kan ha mer enn n røtter. La x være et reelt tall som ikke er blant disse røttene. Det betyr at a + a x + a x + + a n x n og vår antagelse måtte i utgangspunktet ha vært feil. Dermed har vi vist at B er en basis for P. En delmengde av et vektorrom som selv er et vektorrom kalles et underrom. For å vise at en delmengde er et underrom holder det å vise at mengden er lukket under addisjon og skalar multiplikasjon, dvs. at dersom x,y V og a,b R er reelle tall, så er også ax+by V. Merk at dette ene kravet inneholder både lukkethet under addisjon sett a b og skalar multiplikasjon sett b. Definisjon..9. La V være et vektorrom, og la V {v,v,...} være en endelig eller uendelig delmengde av V. La W være det minste vektorrommet som inneholder V. Vi sier at mengden V genererer W, og vi skriver W v,v,... I dette tilfellet vil W utgjøre et underrom av V. Eksempel... La B {, } Da vil B utspenne et underrom W av R gitt ved W { a b a,b R} Eksempel... Mengden av polynomer av grad mindre enn eller lik n, som vi skriver P n, utgjør et underrom av vektorrommet av alle polynomer. Rommet er generert av monomene av grad mindre enn eller lik n; P n,x,x,x,...,x n 7

38 Gitt en matrise A. Mengden av søylevektorer i A utspenner et vektorrom som vi kaller søylerommet til A. Definisjon... La A være en matrise. Dimensjonen til søylerommet til A kalles rangen til matrisen, vi skriver med rga. Eksempel..4. Betrakt matrisen Søylerommet er utspent av vektorene,, som vi tidligere har sett er lineært uavhengig. Rangen til matrisen er derfor. Siden det er n søyler i en n n-matrise vil dimensjonen til søylerommet alltid være mindre enn eller lik n. Dersom søylene utgjør en lineært uavhengig mengde vil matrisen ha maksimal rang, det vil si n for en n n-matrise. Proposisjon... En n n-matrise A har maksimal rang hvis og bare hvis matrisen er invertibel. Bevis. Observer først at dersom en vektor w ligger i spennet av søylevektorene til A, så er det ekvivalent med at det finnes en annen vektor v slik at Av w. Anta at A er invertibel og w en vektor i søylerommet. Sett v A w. Da har vi Av AA w w Anta så at matrisen har maksimal rang. Det betyr at for en hver vektor w i søylerommet til A, så finnes det en vektor v slik at Av w. Siden A har maksimal rang, vil standardvektorene e i ligge i søylerommet til A. La v i oppfylle Av i e i, og la B være n n-matrisen med v i som sine søyler. Da vil AB I som viser at B A og A er invertibel.. Lineære avbildninger Vektorrom er karakterisert ved at de er lukket under addisjon og skalar multiplikasjon, og at de derfor inneholder -elementet og additive inverser. Når vi skal definere hva en avbildning mellom to vektorrom bør være, er det da naturlig å se på avbildninger som respekterer akkurat disse strukturene. Definisjon... La V og W være to vektorrom. En avbildning T : V W kalles en lineær avbildning dersom T ax + by at x + bt y for alle x,y V og a,b R. Dersom W V, så kaller vi avbildningen T : V V en lineær operator. Proposisjon... La V og W være to vektorrom og T : V W en lineær avbildning. Da har vi at T og T v T v. Bevis. Vi har og T T v T v T v + T v T v + v T SIden T v + T v og inverser er entydige, så følger resultatet i proposisjonen. Eksempel... En lineær avbildning T : R R må være på formen T x ax for et vilkårlig reellt tall a R. Eksempel... Avbildningen gitt ved T x,x x + x,x x er en lineær operator på R. Eksempel... Vi lar V være vektorrommet av alle deriverbare funksjoner på hele R. Derivasjon er en lineær operator på dette rommet, dvs. hvis vi setter D f x f x så har vi Da f x + bgx d a f x + bgx dx a f x + bg x ad f x + bdgx 8

39 Eksempel..4. La T cost, sint. Da virker derivasjonsoperatoren D som en lineær operator på T fordi vi har Dcost sint Dsint cost Vi betrakter lineæravbildningen T : R R gitt ved T x,x x + x,x x. La S være standardbasisen for R ; S {e,e } Da har vi at T e T,, T e T,, Dette kan vi sette opp i en matrise [T ] S Lineæravbildningen blir nå gitt ved matrisemultiplikasjon; x x x + x [T ] S x x x x Vi kommer til å bruke notasjonen [T ] om en matrise som representerer en lineæravbildning T. Vi sier at [T ] S er matriseformen til T relativt til basisen S. La A være en n n-matrise og definer avbildningen T : R n R n ved T v Av for en vektor v v,...,v n. Da har vi T av + bw Aav + bw aav + baw at v + bt w som viser at multiplikasjon med en matrise gir oss en lineæravbildning. Eksempel..5. La D være derivasjonsoperatoren slik vi har definert den tidligere. Vi skal se på D som en lineær operator D : T T hvor T cost,sint, med basis {cost,sint}. Siden Dcost cost sint Dsint cost + sint kan vi skrive hvor reflekterer at a [D] T b [D] T a b b a Dacost + bsint bcost asint Definisjon... La A være en n n-matrise og definer en lineæravbildning T : R n R n ved T v Av Rangen rgt er definert som rangen til matrisen A. Eksempel..6. Rangen til derivasjons-operatoren i forrige eksempel er, siden matrisen er invertibel og derfor har maksimal rang. Eksempel..7. Vi betrakter en lineæravbildning T : R R gitt ved T x,x,x x + x + x,x x + x,x + x Vi er interessert i å finne tripler x,x,x slik at T x,x,x,,. Det betyr at vi må løse likningssystemet x + x + x x x + x x + x Her observerer vi at den tredje likningen faktisk er summen av de to første, og derfor er overflødig. På den annen side gir den tredje likningen at x x og setter vi det inn i den første likningen, får vi x x x x + x x Samler vi disse opplysningene ser vi at Alle vektorer på formen T x, x, x,, x, x, x, x R utgjør et vektorrom, det såkalte nullrommet til avbildningen T. 9

40 Definisjon..4. La T : V W være en lineæravbildning. Mengden N T {v V T v } kalles nullrommet eller kjernen til T. Proposisjon..5. Nullrommet N T til T er et underrom av V. Bevis. La v,w N T, og a,b R. Da har vi T av + bw at v + bt w a + b som viser at nullrommet er et vektorrom. Eksempel..8. La T : R R være gitt ved der A er matrisen Vi har A A T v Av og ligger derfor i nullrommet til T. Faktisk vil denne vektoren danne en basis for nullrommet til T. Eksempel..9. La T : R R være gitt ved T v Av der A er matrisen A Dersom en vektor v v v ligger i nullrommet til T, betyr det at v + v + v Men vi har i et tidligere eksempel sett at søylevektorene til A er lineært uavhengig, som betyr at v v v og nullrommet bestå kun av nullvektoren. Proposisjon..6. La T : V V være en lineær avbildning gitt ved en kvadratisk matrise A; T v Av Da har vi at N T hvis og bare hvis A er invertibel. Bevis. Anta A er invertibel og la T v Av. Det betyr at v A. Anta så at N T. La v v,...,v n være en lineær avhengighet mellom søylene i A. Da har vi at Av. Siden nullrommet er trivielt betyr det at v som igjen betyr at A har maksimal rang, som igjen betyr at A er invertibel. Det er en nær sammenheng mellom rangen til en lineær avbildning og dimensjonen til nullrommet. Vi har sett at vi kan uttrykke lineære sammenhenger mellom søylene i en matrise ved n-tupler, slik som i et tidligere eksempel: Vektorene,, er lineært avhengig og vi har Setter vi de tre vektorene sammen i en -matrise så vil den lineære avhengigheten gi oss et en vektor i nullrommet; Dette gir oss en korrespondanse mellom nullvektorer og lineære avhengigheter mellom søylene i matrisen. Vi kan formulere dette i et generelt resultat: Teorem..7. En lineæravbildning T : R n R m er gitt ved T v Av for en m n-matrise A. Da har vi rgt + dimn T n 4

41 Bevis. La B {v,...,v r } være en basis for nullrommet til A. Vi kan utvide denne basisen til en basis for hele R n, B {v,...,v r,w r+,...,w n }. Vi skal vise at rgt n r. La u T v. Siden B er en basis for R n kan vi skrive og v a v + + a r v r + a r+ w r+ + + a n w n u T v a T v + + a r T v r + a r+ T w r+ + + a n T w n a r+ T w r+ + + a n T w n Det betyr at T w r+,...,t w n spenner ut T R n. Samtidig har vi at dersom a r+ T w r+ + + a n T w n T a r+ w r+ + + a n w n så ligger a r+ w r+ + + a n w n i nullrommet til A, dvs. a r+ w r+ + + a n w n a v + + a r v r Dermed kan vi skrive a v + + a r v r a r+ w r+ a n w n og siden B {v,...,v r,w r+,...,w n } er en basis for R n og derfor danner en lineært uavhengig mengde, så må vi ha a r+ a n og mengden {T w r+,...,t w n } er lineært uavhengig. Det følger at dimensjonen til T R n som er det samme som rangen til T, er n r. Vi har en litt mer generell formulering av dette resultatet. I stedet for å se på T : R n R m kan vi betrakte lineæravbildninger T : V W, hvor V er et endeligdimensjonalt vektorrom. Da ser resultatet ut som følger rgt + dimn T dimv Eksempel... La T : R R være gitt ved der A er matrisen A T v Av Søylerommet til A er generert av og nullrommet av Dermed har vi rgt + dimn T + n Eksempel... La P n være vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik n. La D : P n P n være derivasjonsoperatoren D f x f x. Vi vet at de eneste polynomene som deriveres på er konstantpolynomene. Det betyr at nullrommet til D har dimensjon, generert av f x C. Dimensjonen til P n er n + og det følger at rgt n. I forrige kapittel definerte vi egenvektorer og egenverdier for en matrise. Vi skal se at egenvektorer som svarer til forskjellige egenverdier danner lineært uavhengige mengder. Proposisjon..8. La T : R n R n være en lineæravbildning gitt ved T v Av for en n n-matrise A. La videre v,v,...,v r være egenvektorer for A svarende til ulike egenverdier λ,λ...,λ r. Da er mengden lineært uavhengig. {v,v...,v r } Bevis. La først r, og anta at a v + a v. Anta at det finnes en lineær avhengighet mellom de to vektorene, anta f.eks at a. Da kan vi skrive v a a v og siden v og v begge er egenvektorer får vi og samtidig T v λ v a a λ v T v T a a v a a T v a a λ v Det følger at a a λ a a λ 4

42 og siden λ λ så må a. Siden v følger det at også a, som gir oss en motsetning. Anta så at r og at vi har en lineær avhengighet a v + a v + a v Vi kan uten videre anta at a og ved å dele likningen på a kan vi like godt sette a til å være. Det gir v a v a v Bruker vi nå T på dette uttrykket får vi λ v a λ v a λ v Vi multipliserer uttrykket over med λ og trekker de to likningene fra hverandre. Det gir a λ λ v a λ λ v Dermed er vi tilbake i situasjonen med to egenvektorer og siden λ λ,λ λ følger det at koeffisientene a a, og vektorene er lineært uavhengige. For r > følger vi nå nøyaktig samme prosedyre. Vi har sett at en n n-matrise kan ha maksimalt n egenverdier. Anta nå at A har nøyaktig n egenverdier. Det betyr at vi kan finne n egenvektorer som utgjør en lineært uavhengig mengde. Siden vektorrommet vi opererer på i dette tilfellet er av dimensjon n betyr det at vi kan finne en basis av egenvektorer. Vi formulerer dette i en proposisjon. Proposisjon..9. La V være et n-dimensjonalt vektorrom. La T : V V være en lineæravbildning gitt ved T v Av for en n n-matrise A. Anta at A har n forskjellige egenverdier. Da finnes en basis for V av egenvektorer for A. Eksempel... La A være -matrisen A Det karakteristiske polynomet til A er gitt ved χ A λ λ λ + som gir egenverdier λ, λ, med tilhørende egenvektorer v, v Vi ser at mengden {v,v } er lineært uavhengig og danner en basis for R. Vi har tidligere sett at vektorrom kan bestå av funksjoner. I slike tilfeller er det naturlig å bruke betegnelsen egenfunksjoner i stedet for egenvektorer, men definisjonen er den samme. Definisjon... La V F I være et vektorrom av funksjoner, og T : V V en lineær operator på dette rommet. En ikke-triviell funksjon f som oppfyller T f λ f for et reelt tall λ kalles en egenfunksjon for operatoren. Eksempel... La V {ae x +be x a,b R} og la D : V V være derivasjonsoperatoren. Da er f x e x en egenfunksjon for D med egenverdi λ og f x e x en egenfunksjon med egenverdi λ. Eksempel..4. La T {sint,cost} og D : T T være Laplaceoperatoren i en dimensjon. Da er alle lineære kombinasjoner a sin x + b cos x egenfunksjoner for med egenverdi λ ; D asinx + bcosx Dacosx bsinx. En anvendelse asinx bcosx La P være en stokastisk matrise, med egenverdier λ > λ λ n og tilhørende egenvektorer v i. Anta at w er en tilstandsvektor. Vi kan skrive w som en lineærkombinasjon av egenvektorer; w v + v + + v m La σv,...,v m v + +v m. Vi skal vise at for i så har vi σv i Vi har at Pv i λ i v i og siden P er stokastisk så er j p i j for alle i. La v i v,...,v m. Da har vi og samtidig Det gir at σpv i m m j k p jk v k m j σpv i σλv i λσv i σv i λσv i og derfor v i siden λ. v k σv i 4

43 Definisjon... La v v,...,v n være en vektor i R n. Vi definerer Taxi-lengden v til v ved v n k v k La nå Ew v σv, som vi kan tenke på som systemets energi, og Sw v, som vi kan tenke på som entropien til systemet. Dersom vi drar denne analogien helt ut er det naturlig å knytte den nest største egenverdien λ til systemets temperatur gjennom formelen T P log λ Vi kan da skrive Vi kan regne ut egenverdiene ved å finne nullpunktene til det karakteristiske polynomet detp λi λ p + qλ + p q som gir λ og λ p q. De tilhørende egenvektorene er normert til taxi-lengde v q, p, p + q v, For en tilstandsvektor har vi x px qy w x + yv y + + q p v som gir at w v + v + + v m Ew v v + Sw v v + + v m Multiplikasjon med den stokastiske matrisen P gir Pw Pv + Pv + + Pv m og dermed eller som gir eller Ew v v + λ Sw v v + + λ m v m SPw λ Sw T P log Sw SPw SPw Sw SPw Sw Sw e T P e T P Dette kan vi tolke som at jo lavere temperatur, dvs. T p, så vil entropi-endringen også nærme seg. Det betyr at det ikke skjer noen endring i systemet. For høye temperaturer vil vi observere en stor endring i entropien, med andre ord systemet vil rask gå mot likevektstilstanden, hvor vi har den laveste entropien dvs. størst mulig uorden. Eksempel... Vi har gitt en stokastisk -matrise p q P p q og temperatur Ew x + y px qy Sw + q p T P log p q 4

44 .4 Oppgaver med løsning Eksempel.4.. La T : R R være gitt ved T x,x,x x x + x,x x,x x. a Vis at T er en lineæravbildning. b La S {e,e,e } være standardbasisen i R. Skriv opp en -matrise [T ] der søylene er gitt ved T e i for i,,. c Finn dimensjonen til nullrommet til T. d Regn ut rangen til [T ] ved å bruke dimensjonsformelen. Løsning.. Metodevalg: For å vise at vi har en lineæravbildning må vi regne ut T ax+by og vise at dett er det samme som at x + bt y. Dimensjonen til nullrommet finner vi ved å telle antall frihetsgrader i likningssettet T x.. Regning: a I første komponent har vi at ax + by ax + by + ax + by ax x + x + by y + y og tilsvarende for de andre komponentene. Vi skal løse [T ] T e T e T e T x,x,x x x + x,x x,x x dvs. likningssytemet,, x x + x x x x x Vi ser av de to siste likningene at x x og x x. Dette er oppfylt i den første likningen og vi har en frihetsgrad i nullrommet, det vil si at dimensjonen er. Rangen blir da i henhold til dimensjonsformelen rgt Eksempel.4.. La A være -matrisen A a Finn rangen til A. b Bruk dimensjonsformelen til å regne ut dimensjonen til nullrommet til A. c Forklar hvorfor er en egenverdi for A og finn en egenvektor med egenverdi. Løsning.. Metodevalg: Rangen til A finner vi ved å lete etter lineært uavhengige søylevektorer. Det kan vi så sette inn i dimensjonsformelen for å finne dimensjonen til nullrommet. Generelt har vi at elementer i nullrommet er det samme som egenvektorer med egenverdi.. Regning: Vi ser at de to første søylene er lineært uavhengig ved inspeksjon av den tredje komponenten som er i den ene vektoren og ikke i den andre. Det betyr at rangen er minst. Vi kan sjekke om vi har maksimal rang ved å regne ut determinanten. Den blir som betyr at rangen er. Dimensjonsformelen gir da at dimensjonen til nullrommet er. Det betyr at det er en ikke-triviell vektor i nullrommet, og denne er også en egenvektor med egenverdi. Vi løser og finner at A x y z x y z x 44

45 Eksempel.4.. La V være vektorrommet generert av funksjonene cosx,sinx,sin x,sinx, a Vis at funksjonene danner en lineært uavhengig mengde av funksjoner. b Hva er dimensjonen til V? c La D være derivasjonsoperatoren; D f x f x. Vis at D er en lineær operator på V, dvs. at D brukt på hver enkelt generator ligger i V. Løsning.. Metodevalg: Vi kan prøve å sette opp en lineær avhengighet acosx + bsinx + csin x + d sinx + e og så sette inn ulike verdier for x for langsom å tvinge alle koeffisientene til å bli. Når vi har gjort det kjenner vi antall lineære avhengigheter og vi kan da beregne dimensjonen. For å vise at operatoren er en lineær operator må vi vise at den passer inn i formelen i definisjonen og at den deriverer alle generatorene på elementer i vektorrommet.. Regning: Vi tar utgangspunkt i acosx + bsinx + csin x + d sinx + e Setter vi inn x får vi a+e. Setter vi inn x π får vi b+c+e. Setter vi inn x π får vi a + b + c 4 + d + e. Slik kan vi fortsette med ulike valg og vi ser etter hvert at eneste løsning er at alle koeffisientene er. Dimensjonen til rommet blir da 5. Derivasjon er en lineær operator siden f a f x + bgx a x x + b g x For elementene har vi Dcosx sinx Dsinx cosx Dsin x sinxcosx sinx Dsinx cosx sin x D.5 Oppgaver Oppgave. Vis at mengden danner et vektorrom. V {a,b, R a,b R} Oppgave. La V være mengden av funksjoner f x definert på intervallet [,] slik at f. Vis at mengden danner et vektorrom. Oppgave. La w være en søylevektor. Vis at mengden av søylevektorer v som oppfyller v T w danner et vektorrom. Oppgave 4. La V og V være underrom av R n. a Vis at V V også er et underrom av R n. b Vis ved et eksempel at V V ikke nødvendigvis er et underrom av R n. Oppgave 5. Skriv w som en lineær kombinasjon av v, v og v når: a b og v, v v, v w 4, w, v 5 Oppgave 6. Finnes det noen lineær avhengighet mellom vektorene a b v v, v, v 4, v

46 c v, v, v Oppgave 7. Balanser reaksjonslikningen Cu + H O + SO + O Cu OH 4 SO 4 Oppgave 8. Balanser reaksjonslikningen 7 6 PbN 6 +CrMn O Pb O 4 +Cr O + MnO + NO Oppgave 9. Vis at mengden {x,x,x } av polynomfunksjoner er lineært uavhengig. Oppgave. Forklar hvorfor mengden {sin x,cos x,} er lineært avhengig. Oppgave. Vis at {, } danner en basis for R. Oppgave. Vis at {, danner en basis for R. Oppgave. Vis at danner en basis for P., } {,x +,x + x + } Oppgave 4. Hva er dimensjonen til vektorrommet generert av,, Oppgave 5. Hva er dimensjonen til vektorrommet generert av cost,cos t,sin t, Oppgave 6. Finn rangen til matrisene: a b c Oppgave 7. Finn rangen til matrisene: a b c Oppgave 8. Avgjør om følgende avbildninger er lineære: a T x,y x,y,x y b T x,y xy,x + y c T x,y x,y, Oppgave 9. La a R være et reelt tall. Vis at evalueringsavbildningen ev a : P R gitt ved ev a f x f a er en lineær avbildning. Oppgave. La I [a,b] R være et lukket og begrenset intervall. La CI være mengden av kontinuerlige funksjoner definert på intervallet I. Vis at integrasjonsavbildningen : CI R gitt ved f x b a f xdx er en lineær avbildning. Oppgave. Regn ut nullrommet til matrisene: a 46

47 b Oppgave. Regn ut nullrommet til lineæravbildningene: a Vis at T er en lineæravbildning. b Et vilkårlig element i P kan skrives på formen f x ax + bx + c. Finn et uttrykk for T ax + bx + c. c Finn en egenfunksojn for operatoren T. a T x,y x y b T x,x,x x x,x x c T f x x f x f x, f x P Oppgave. Regn ut nullrommet til matrisen A og forklar hvorfor matrisen er invertibel. Oppgave 4. Vi har gitt en lineæravbildning T : V W. Vi vet at dimensjonen til nullrommet til T er 5 og rangen til T er. Hva er dimensjonen til V? Kan vi si noe om dimensjonen til W? Oppgave 5. Derivasjonsoperatoren D : P n P n har -dimensjonalt nullrom, generert av de konstante polynomene. Vi vet at dimensjonen til P n er n +. Hva er rangen til derivasjonsoperatoren i dette tilfellet? Oppgave 6. La A være en -matrise gitt ved A a Regn ut det karakteristiske polynomet til A og finn egenverdiene. b Finn egenvektorene til A og vis at de danner en basis for R. Oppgave 7. La A være en -matrise gitt ved A a Regn ut det karakteristiske polynomet til A og finn egenverdiene. b Finn egenvektorene til A. Danner de en basis for R? Oppgave 8. Vi har gitt en avbildning T : P P gitt ved f x x f x. 47

48 Kapittel 4 Geometri i planet I dette og det neste kapitlet skal vi studere vektorrom i og dimensjoner, dvs. R og R. Vi har valgt å kalle kapitlene geometri i plan eller rom fordi vi i utgangspanktet skal bruke den generelle teorien for vektorrom til å forstå geometrien i planet og rommet. Mye av det vi gjør her vil være sentralt grunnlagsstoff nå vi siden skal studere symmetrier av geometriske objekter, f.eks. molekyler. et rett-vinklet koordinatsystem. Punktet P Px,y på figuren har x-koordinat x og y-koordinat y. 4. Geometrisk tolkning av lineære avbildninger Vi starter med å studere vektorer i planet. Vi vil etter hvert ha mer bruk for å ha god kunnskap om romlige vektorer, men det er enklere å gi en innføring i teorien for vektorer i planet, for så generalisere til vektorer i rommet. Som vi har sett tidligere bruker vi alltid notasjonen R for det reelle planet. Normalt vil vi bruke samme notasjon for et punkt og en vektor. Når vi har bruk for begge deler samtidig vil det framgå av sammenhengen hva som er hva. Punkter i planet vil vi da betegne med en stor bokstav, f.eks. P R, mens en vektor som oftes uttrykkes med en liten, boldface bokstav, v R. Begge deler spesifiseres med et par av reelle tall a,b. Tallene a og b er punktets eller vektorens koordinater. Standardbasisen {e,e } danner Figur 4.. Et rett-vinklet koordianatsystem. Standardbasises svarer til verdien på de to aksene. Vi skal se på hvordan vi kan tolke lineæravbildninger geometrisk. Relativt til standardbasisen vil en lineær operator T : R R være gitt ved en -matrise der de to søylene utgjør bildene av de to basisvektorene e og e. Avbildningen er bestemt av disse to vektorene, så vi kan illustrerer avbildningen T ved å se på firkanten som er bildet av enhetskvadratet med hjørner,,,,, og,. se figur Figur 4.. En rotasjon og skalering 48

49 Alle invertible lineære operatorer i planet kan skrives som en sammensetning av elementære operasjoner, gitt ved elementære matriser. Definisjon 4... Det finnes tre typer elementære operasjoner i planet; q i Skalering, med matrise X q eller Y q q eller S q q for et reelt tall q q og som forstørrer eller forminsker kvadratet i en eller to retninger. ii Permutering, med matrise σ som speiler kvadratet om linja y x. k i Forskyvning, med matrise F k for et reelt tall k som skyver øvre del av kvadratet, men beholder grunnlinjen. avbildes på origo, og bildet av de to enhetsvektorene e og e kaller vi f og f. Først må vi avklare om f,f er orientert på samme måte som e,e. Hvis det ikke er tilfelle må vi multiplisere med permutasjonsmatrisen for å endre rekkefølgen på de to sidekantene. Deretter roterer vi firkanten tilbake slik at f ligger på x-aksen. Samtidig skalerer vi slik at f får lengde. Nå har vi kommet fram til en firkant hvor grunnlinjen er enhetsvektoren langs x-aksen. Nå gjør vi en forskyvning slik at f plasseres på y-aksen, og til slutt gjør vi en skalering i vertikal retning for å skikre at høyden på firkanten er. Vi skal gjennomføre denne prosessen på et eksempel. Figuren illustrerer bildet av enhetskvadratet etter multiplikasjon med A f, f, O Figur 4.. Forskyvning Det første vi ser er at f og f står i motsatt rekkefølge av e og e. Det betyr at vi må bytte dem rundt, som igjen betyr at vi må multiplisere med permutasjonsmatrisen. Det gir oss matrisen A og en figur hvor vi har speilet firkanten om y x; f, f, Figur 4.4. Horisontal skalering Proposisjon 4... En hver invertibel -matrise A kan skrives som et produkt av elementære matriser. Bevis. Vi skal gi et geometrisk bevis for denne påstanden. Vi har allerede sett at enhetskvadratet avbildes på en firkant når vi multipliserer med A. Origo O Vi lar hele tiden f i betegne bildet av den opprinnelige f i. Neste step er å rotere firkanten slik at den høyre sidekanten sett fra origo flyttes til x-aksen. Vinkelen mellom x-aksen og sidekanten er π 4, så vi må rotere med 49

50 den motsatte vinkelen θ π 4. Det svarer til matrisen og vi får Vi vil gjerne at høyre sidekant skal ha lengde, så vi skalerer med en faktor. Det gir oss Figuren ser nå ut som O f, f, Vi følger på med å forskyve horisontalt slik at venstre sidekant faller sammen med y-aksen. Det svarer til å multiplisere med matrisen, og vi får Til slutt skalerer vi med en faktor i vertikal retning; og vi ender opp med enhetskvadratet f e Siden A bringer enhetskuben over i den skjeive firkanten og B bringer firkanten tilbake til enhetskuben burde det ikke være noen stor overraskelse at B A. Utregningen A B bekrefter denne påstanden. Vi har ved et geometrisk resonnement vist hvordan vi kan skrive en hver invertibel matrise som et produkt av elementære matriser. Hvis vi i tillegg skal ta med ikkeinvertible matriser må vi føye en ny matrise til listen over elementære matriser. For å kunne redusere rangen til en matrise trenger vi en projeksjon, f.eks. gitt ved p Denne matrisen projiserer vertikalt ned på x-aksen. Mer generelle projeksjoner vil kunne skrives som en kombinasjon av denne projeksjonen og passende rotasjoner og translasjoner. Eksempel 4... Lineæravbildningen gitt ved v v projiserer en vilkårlig vektor normalt inn i underrommet {t, t t R}. Denne linja kan vi dreie til x-aksen ved en rotasjon med vinkel π 4. Deretter projiserer vi vertikalt på x-aksen, for så å dreie tilbake. Det gir oss den sammensatte matrisen O f e 4. Stive bevegelser i planet Den sammensatte operasjonen for å bringe firkanten tilbake til enhetskvadratet er dermed gitt ved et produkt av elementære matriser; B S F S ρ π σ 4 I I dette kapitlet skal vi se på en bestemt type avbildninger av planet inn i seg selv, kalt stive bevegelser. Noen slike avbildninger er lineære og derfor gitt ved en - matrise, men som vi snart skal se, har vi også bruk for en annen type avbildninger, det som kalles translasjoner. Definisjon 4... En translasjon i planet er en avbildning T a : R R gitt ved der a R. T a x x + a 5

51 Definisjon 4... En avbildning m : R R kalles en stiv bevegelse eller en isometri hvis den bevarer avstander, dvs. for vilkårlig valgte punkter P,Q R så er P Q mp mq. En isometri som avbilder en delmengde F av planet på seg selv kalles en symmetri av F. Ikke-trivielle translasjoner dvs. der a er ikke lineære siden vi har mens og dermed T a x + y x + y + a T a x + T a y x + a + y + a x + y + a T a x + T a y T a x + y Avstander i planet eller lengder av vektorer finner vi ved å bruke Pythagoras setning. Definisjon 4... La a,b og a,b være to punkter i planet. Avstanden mellom punktene er gitt ved a,b a,b a a + b b Lengden av en vektor svarer til avstanden fra vektorens koordinater til origo, dvs. vi setter a,b,, a og lengden av v blir da b v a,b a,b, a + b Dette kan vi også uttrykke ved matrisemultiplikasjon. Eksempel 4...,4 4 v v T v Får å studere figurer i planet eller legemer i rommet, ser vi på avbildninger som ikke forandrer formen på figuren eller legemet. Slike avbildninger tilhører en klasse av avbildninger som kalles stive bevegelser. Eksempler på isometrier er rene forflytninger og rotasjoner. Eksempel 4... La T e være translasjonen gitt ved T e x x +, Da vil T e være en symmetri av x-aksen siden punkter a, på x-aksen vil avbildes på a +, som også ligger på x-aksen. Siden vi har får vi T a ;P P + a T b T a P T a P + b P + a + b P + a + b og det følger at T b T a T a+b Summen av to translasjoner er en ny translasjon. I tillegg til translasjoner har vi to andre typer av isometrier i planet, og etter hvert skal vi se at alle isometrier kan skrives som sammensetninger av translasjoner og disse to. Definisjon I tillegg til translasjoner har vi to typer av stive bevegelser i planet; i Rotasjon: Rotasjon med en vinkel θ om et fast punkt P. ii Refleksjon: Refleksjon om en linje l. Proposisjon stiv bevegelse. a Identitetsavbildningen er en b Dersom m,m : R R er to stive bevegelser, da er også sammensettingen av de to avbildningene en stiv bevegelse. c Dersom m er en stiv bevegelse, så er også den inverse avbildningen m en stiv bevegelse. Bevis. Alle punktene følger mer eller mindre direkte fra definisjonen av en stiv bevegelse. 5

52 Lemma La m : R R være en avbildning av planet på seg selv. Da er følgende utsagn om m ekvivalente: a Avbildningen m er en isometri som fikserer origo. b Avbildningen m bevarer skalarprodukt, dvs. for alle P,Q R har vi mp mq P Q c Avbildningen m er venstre-multiplikasjon med en ortogonal matrise og derfor lineær. Bevis. En isometri tilfredsstiller mp mq mp mq P Q P Q for alle vektorer P og Q. Setter vi Q O og antar at m fikserer origo, dvs. mq O, så følger det at mp mp P P for alle P. Kombinasjon av disse to likhetene gir at a b. Vi kan også vise at b c. Anta at m bevarer skalarproduktet og la S {e,e } være standardbasisen for R. La A me,me være matrisen til m relativt til S. Egenskapen i b gir at A er en ortogonal matrise, og det samme vil være tilfelle for A. Sammensetningen A m vil bevare skalarproduktet, og i tillegg fiksere hvert basiselement. Det følger at A m er identiteten og derfor har vi A mp P, eller mp AP. Til slutt antar vi at c er sann og viser a. Vi har mp mq mp mq T mp mq AP AQ T AP AQ AP Q T AP Q P Q T A T AP Q P Q T P Q P Q siden ortogonale matriser oppfyller likheten A T A Id. I tillegg har vi at mo A O O. a b Ortogonale -matriser A er definert c d gjennom relasjonen A T A Id, det vil si a b a c a + b ac + bd c d b d ac + bd c + d eller a + b c + d, ac + bd. Det gir at a + b og c,d ± b,a. Det betyr at alle ortogonale -matriser er på formen a b a b, eller b a b a Eksempel 4... La A Da har vi og søylene står normalt på hverandre. A er derfor en ortogonal matrise. Proposisjon Enhver isometri kan skrives som en sum av en ortogonal lineær operator og en translasjon, dvs. mx Ax + B Bevis. La b m. Da har vi at T b b og T b m er en stiv bevegelse som holder origo i ro; T b m. Fra Lemmaet får vi at eller at mx Ax + b. T b mx Ax Vi kan dele isometrier i planet inn i to hovedgrupper, orienterings-bevarende og orienteringsreverserende. Definisjon En stiv bevegelse mx Ax + b i planet er orienterings-bevarende dersom deta og den er orienterings-reverserende dersom deta. I praksis betyr ordningsbevarende at avbildningen beholder rekkefølgen på basis-vektorene når vi betrakter dem fra origo og følger en bestemt omløpsordning, f.ek.s mot klokka. For en translasjon har vi at A er identitetsmatrisen, og den er derfor orienteringsbevarende. En rotasjon i planet kan uttrykkes ved matrisen cosθ sinθ ρ θ sinθ cosθ for en rotasjonsvinkel θ [,π og detρ θ. Vi kan f.eks. sette θ π. Det gir ρ π 5

53 på, og y-aksen, gitt som tar x-aksen, gitt ved ved på. Hvis vi setter sammen to rotasjoner med rotasjonsvinkler θ og θ vil vi gjerne at svaret skal bli en rotasjon med vinkel θ + θ. Det stemmer også analytisk ved å bruke formelene for cosinus og sinus til vinkelsummer; cosθ sinθ ρ θ ρ θ cosθ sinθ sinθ cosθ sinθ cosθ cosθ + θ sinθ + θ sinθ + θ cosθ + θ ρ θ +θ hvor vi har brukt at og cosθ + θ cosθ cosθ sinθ sinθ den også lineær. Vi har også refleksjoner om vilkårlige linjer gjennom origo. La y ax være en rett linje gjennom origo. Vi plukker ut et punkt x,y på linja med x,y ; Lemma Punktet P, a + a + a ligger på linja y ax og P. Bevis. Vi har og y a a ax + a + a, a + a + a a + a + + a sinθ + θ sinθ cosθ + cosθ sinθ Eksempel Rotasjon med en vinkel π er gitt ved matrisen A Det gir f.eks. for A ; A som svarer til rotasjon med en vinkel π. Refleksjoner vil alltid oppfylle relasjonen r Id. I et passende valgt koordinatsystem kan vi skrive en refleksjon på formen r Denne oppfyller r Id, og den har determinant lik -. Refleksjonen r a a avbilder på, som betyr at den reflekterer om b b x-aksen. Siden den er gitt ved matrise-multiplikasjon er Siden punktet P, a + a + a ligger på enhetssirkelen finnes det en entydig θ mellom og π inkludert, men ikke π slik at P cosθ,sinθ Dermed kan vi gi en refleksjon om linja y ax ved først å rotere med en vinkel θ som bringer linja til x-aksen, så speile om x-aksen, og så rotere tilbake med vinkelen θ. På matriseform får vi cosθ sinθ cosθ sinθ sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ sinθ cosθ sinθ cosθ sin θ cos θ Bruker vi nå at og dermed cosθ, sinθ a + a + a cos θ sin θ a a, sinθ cosθ + a + a 5

54 får vi at refleksjonen om linja y ax er gitt ved a +a a +a a a +a +a Retningen på linja y ax er gitt ved en vektor,a. Det a betyr at vektoren v står normalt på linja. Vi kan regne ut Householder-matrisen til denne vektoren. Q v I vvt v T v + a a +a a +a a a +a +a a a a Vi ser at de to matrisene blir det samme, men vi kommer fram til svaret på to forskjellige måter. Hvis vi setter sammen to refleksjoner, om forskjellige linjer, så vil determinanten til den sammensatte avbildningen være. Det følger av produktformelen for determinanter og at. Sammensetningen er fortsatt en stiv bevegelse og den er en lineær avbildning, altså er den en rotasjon. Proposisjon 4... La l og l være to linjer gjennom origo, og la θ være vinkelen mellom dem. Da vil sammensetningen av refleksjoner over de to linjene svare til en rotasjon med vinkel θ. Bevis. For enkelthets skyld lar vi l være x-aksen, og l er gitt ved y ax. Da vet vi fra det vi har gjort tidligere at speiling om linja l er gitt ved matrisen a a +a +a a a +a +a a a + a a a Vi vet også at speiling om x-aksen er gitt ved matrisen Setter vi disse to sammen, først speiling om x-aksen, dernes om y ax, får vi på matriseform a a + a a a a a + a a a Fra argumentene over har vi at a a + a a a cos θ sin θ sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ cosθ sinθ ρ sinθ cosθ θ Denne matrisen gjenkjenner vi altså som en rotasjon med en vinkel θ. Vi kan føre et mer geometrisk bevis for denne proposisjonen. l θ α O Bevis. [Alternativt] La P være et vilkårlig punkt i planet og la l være linja gjennom origo og P se figuren over. Vi kaller vinkelen mellom l og l for α. Det betyr at vinkelen mellom l og l er θ + α. Refleksjon om l bringer linja l til en linje l som har vinkel α med l og θ α med linja l. Refleksjon om l bringer linja l til en linje som har vinkel θ α α θ med linja l. Det betyr at sammensettingen tar en linje med vinkel θ + α om l til en linje med vinkel α θ om l. Sammensettingen roterer derfor linja l med en vinkel θ + α α θ θ. Rotasjoner som matrise-multiplikasjon svarer til at vi roterer om origo. Vi er interessert i å rotere om et vilkårlig punkt i planet, eller reflektere om en vilkårlig linje. Måten vi fikser dette på er ved translasjon å flytte henholdsvis rotasjonssenter og speilings-linje til origo. Så gjennomfører vi rotasjonen og/eller refleksjonen, for så å flytte rotasjonssenteret tilbake til origo. Eksempel Vi skal se på avbildningen i planet som roterer med vinkel θ π om punktet Q, mot klokka. Vi flytter først rotasjonssenteret til origo med translasjonsavbildningen T,. Deretter gjennomfører vi rotasjonen ρ π, for så å flytte tilbake igjen l l P 54

55 med T,. Dette gir T, ρ π T, x x + x + x + Vi kan formulere dette eksempelet mer generelt. Anta at vi skal rotere om et punkt Q, og rotasjonen er gitt ved multiplikasjon med en matrise A. Vi starter med et vilkårlig punkt x. Vi flytter rotasjonssenteret til origo, og punktet x følger etter, beskrevet ved v Q. Nå er rotasjonssenteret origo, og rotasjon gir oss Av Q Av AQ Til slutt flytter vi origo tilbake til Q, og vi ender opp med v Av AQ + Q Hvis vi setter sammen to rotasjoner med forskjellig rotasjonssenter viser det seg at vi ender opp med en rotasjon med et tredje rotasjonssenter. Vi lar de to rotasjonene være gitt ved og v A v A Q + Q v A v A Q + Q Setter vi dem sammen, får vi v A A v A Q + Q A Q + Q A A v A A Q + A Q A Q + Q Vi kan finne rotasjonssenteret til den sammensatte avbildningen ved å løse A A v A A Q + A Q A Q + Q v Det gir rotasjonssenter v A A I A A Q A Q + A Q Q og rotasjonen er gitt ved matrisen A A. Hvis vi lar Q Q Q reduserer dette uttrykket seg til v Q. Hvis vi lar A A A får vi v A A v A A Q + A Q A Q + Q v Q + AQ AQ + Q v + I AQ Q som betyr at i det tilfellet er den sammensatte bevegelsen en translasjon. En spesielt interessante type isometrier er de som oppfyller m k Id for et helt tall k. Det betyr at eller m k x A k k x + A j b x j A k k Idx + A j b j Dette skal gjelde for alle x. Spesielt skal det gjelde for x, som betyr at og derfor at også k j for alle x. Men det betyr at A j b A k Idx A k Id Vi sier at matrisen A har endelig orden, i dette tilfellet orden k. Eksempel I det forrige eksemplet så vi på rotasjoner om, med rotasjonsvinkel π. Vi kaller denne avbildningen S. Hvis vi skriver x x,x, får vi x x x + S + x Det gir og SS SSS og endelig x x x x x + S x SSSS x x x x x + x + x + x x + x + x + x x som betyr at S 4 Id, og rotasjon med vinkelen π har orden 4. x 55

56 Eksempel Vi skal se på en speiling R om linja x + y. Vi plukker et punkt på linja, f.eks., her kan vi faktisk velge et vilkårlig punkt på linja, svaret vil bli det samme uansett. Translasjon med, flytter linja til en linje gjennom origo. Deretter roterer vi linja med en vinkel θ π 4 og legger linja langs med x-aksen. Så reflekterer vi om x-aksen, og avslutter med å gjøre rotasjonen og translasjonen i motsatt retning av hva vi startet med. Det gir Nå har vi ρ ± π 4 R T, ρ π 4 ± ρ π T 4, og derfor ρ π ρ π 4 4 ± Men det gir Rx + x + x + x + Denne avbildningen oppfyller R x x + x + + x + I tillegg ser vi at for punkter på speilingslinja, x, x så får vi x x R + x x x x + x x Refleksjoner har altså orden. I det forrige eksemplet så vi at refleksjon om en linje avbilder punktene på linja på seg selv. Dette er en viktig egenskap og har derfor følgelig få sitt eget navn. Definisjon 4... La m : R R være en stiv bevegelse i planet. Et punkt i planet som ved m avbildes på seg selv, mp P, kalles et fikspunkt for m. Mengden av alle fikspunkter; F m {P R mp P} kalles fikspunktsmengden til m. Fikspunktsmengden til en speiling S l om en linje l er linja l; F Sl l. Fikspunktsmengden til en rotasjon derimot er kun ett punkt, rotasjonssenteret. Translasjoner har ingen fikspunkter, siden T a x x + a x betyr at a. Avbildningen T kaller vi normalt ikke en translasjon siden det faktisk er identitetsavbildningen, og denne har hele planet som sin fikspunktsmengde. Siden fikspunktsmengdene er vesensforskjellige for de forskjellige typene av stive bevegelser, kan vi bruke denne egenskapen til å karakterisere dem. Det gir oss følgende resultat: Proposisjon 4... La m : R R være en stiv bevegelse i planet med fikspunktsmengde F m. Da har vi følgende karakterisering: i Hvis F m R, så er m identitetsavbildningen. ii Hvis F m er en linje, så er m en speiling. iii Hvis F m er et punkt, så er m en rotasjon. iv Hvis F m / den tomme mengden, så er m en translasjon. Bevis. Følger fra argumentet over og klassifikasjonen av stive bevegelser i planet. Eksempel La m : R R være gitt ved mx x + Vi finner fikspunktene til m ved å løse likningen x + x 56

57 Vi omformer den til x x som har løsning {x,x R x + x }. Dette er en hel linje, så den stive bevegelsen er en speiling. 4. Symmetrier av plane figurer Vi har tidligerenevnt begrepet symmetri av en mengde F i planet. I dette kapitlet skal se litt nærmere på dette. Vi begynner med å repetere definisjonen. Definisjon 4... La F R være en mengde endelig eller uendelig av punkter i planet. En stiv bevegelse m : R R kalles en symmetri av F dersom mf F. Mengden av symmetrier for F skriver vi som SymF, og vi bruker navnet symmetri-gruppe om denne mengden. Eksempel 4... La l være en linje i planet. Da vil translasjoner langs linja være symmetrier for linja. Det samme vil være tilfelle for speilinger om linja. Dette utgjør alle mulige symmetrier for linja, og er dermed en beskrivelse av Syml. Eksempel 4... La C være enhetskvadratet med hjørner,,,,, og,. Symmetriene SymC til C er gitt ved i Identitetsavbildningen alltid en symmetri, ii Rotasjoner om midtpunktet, med en vinkel som er et helt multippel av π, iii Speilinger om midtlinjene x og y grønne linjer, dessuten diagonalene y x og y x røde linjer. Symmetri-grupper har noen viktige, felles egenskaper. Proposisjon 4... La F R være en mengde av punkter i planet med tilhørende symmetri-gruppe SymF. Da har vi a Identitetsavbildningen er med i SymF. b Dersom m,m : R R er to symmetrier av F, da er også sammensetningen av de to avbildningene en symmetri. c Dersom en avbildning m er med i SymF, så er også den inverse avbildningen en symmetri. Bevis. Resultatet følger direkte fra et tilsvarende resultat for stive bevegelse. 4.4 Plane krystaller I krystaller danner molekylene et regelmessig mønster som gjentar seg i alle retninger. Det betyr at hele strukturen er bestemt av et lite utsnitt, som vi kaller et fundamentalomeråde eller en enhetscelle for krystallen. I dette kapitlet skal vi se på krystaller i planet, som en forberedelse til det romlige studiet. Det er naturlig nok langt færre muligheter for å danne krystallinske strukturer i planet enn i rommet. I rommet finnes det, mens det bare er 7 forskjellige i planet. Plane krystaller kalles også for tapetmønstre siden tapeter også er bestemt av et lite utsnitt som gjentar seg i to retninger. Definisjon La M være en endelig mengde av punkter i planet, og la a og b være to lineært uavhengige vektorer. Vi sier at mengden M {T na+mb M n,m Z} danner en krystallstruktur eller et gitter generert av mengden M. Eksempel Eksempel 4... Symmetriene til en sirkel er alle rotasjoner om sentrum av sirkelen, i tillegg til alle speilinger om en vilkårlig valgt diameter. 57

58 Et krystallmønster generert av de fire hjørnene i et kvadrat med en enhetscelle markert. Eksempel Et krystallmønster generert av de seks hjørnene i en regulær sekskant med en enhetscelle markert. Det vil være mange muligheter for å velge en enhetscelle, men vi forsøker alltid å velge den så liten som mulig, det vil si at ingen av punktene i enhetscellen er translater av hverandre. Krystaller danner diskrete konfigurasjoner. Det betyr at vi ikke har noen opphopning av punkter i gitteret der avstanden mellom dem nærmer seg og det finnes derfor en minste avstand mellom to punkter. Proposisjon La M være en plan krystallstruktur. Da finnes det et positivt tall d dm slik at alle avstander i gitteret er større enn eller lik med d. Bevis. La d være den minste avstanden mellom to punkter i enhetscellen M. To vilkårlige punkter i gitteret er gitt ved T n a+m bx og T n a+m by der x,y M. For hver differanse mellom punkter x og y i enhetscellen kan vi finne et gitterpunkt med den minste avstanden til vektoren x y. Siden det kun finnes endelig antall par av punkter i M vil det også finnes en nedre grense d for disse avstandene. Det betyr at avstanden mellom to vilkårlige punkter T n a+m bx T n a+m by x y + n n a + m m b > d Pr. definisjon vil en krystallstruktur ha to translasjonssymmetrier, T a og T b. Strukturen kan også ha rotasjonssymmetrier, slik som i eksemplet over. Anta at vi har en slik rotasjonssymmetri. Det betyr at vi kan finne et rotasjonssenter O og en minste vinkel ρ slik at ρp M for alle P M. Vi lar O være origo i et koordinatsystem. Rotasjon om O vil da være en lineær avbildning. La c være det minste translatet i M. Med det mener vi at c er minimum blant alle c slik at M + c M. La P M. Da har vi P+c M, og også ρ P+c M. Videre har vi at ρ P + c c M, og endelig ρρ P + c c P + c ρc M siden ρ er lineær. Vi kan bruke cosinus-setningen på en trekant med hjørner,, c og ρc. Hvis vi setter c c, ρc,, så vil ρc c + cosθ cosθ hvor θ er rotasjonsvinkelen. Siden ρc c er et translat må vi ha ρc c og det følger at cosθ eller cosθ. Det betyr at rotasjonsvinkelen θ π. En annen konsekvens av at vi har en minste avstand i gitteret er at rotasjonsymmetrien må være endelig, det vil si at ρ k Id for et naturlig tall k. Hvis det ikke var tilfelle, ville vi hatt uendelig mange gitterpunkter rundt rotasjonssenteret, i samme avstand fra senteret, noe som ikke er forenlig med en minste avstand mellom punktene. Proposisjon En rotasjonssymmetri ρ for et plant gitter må ha orden,,, 4 eller 6. Bevis. Det følger av argumentet over at rotasjonsvinkelen θ må være større enn eller lik π. Hvis r θ π, følger det at r 6. Tilfellet r 5 trenger litt særbehandling. Igjen lar vi rotasjonssenteret være origo i koordinatsystemet og vi lar c være det minste translatet i M. La P M et vilkårlig punkt i gitteret. Da har vi ρ ρ P + c + c P + c + ρ c M for alle P M. Hvis vi lar ρ være en rotasjon av orden 5 får vi + ρ cos 4π + 5 sin 4π 5 sin 4π 5 cos 4π 5 cos 4π 5 + sin 4π 5 sin 4π 5 cos 4π 5 + Hvis vi bruker denne operatoren på en vektor av lengde, f.eks.,, får vi + ρ cos 4π 5 + sin 4π 5 58

59 med kvadratet av absoluttverdien; Det betyr at cos 4π sin 4π 5 + cos 4π < c + ρ c < c som gir oss en motsigelse siden c var antatt å gi det minste translatet. Eksempel I tillegg til de rene translasjonen, rotasjonene og refleksjonene kan vi sette sammen symmetrier. Det gir oss flere muligheter: i Sammensetting av to translasjoner T a og T b gir oss en ny translasjon T a+b. ii Sammensetting av to rotasjoner gir oss en ny rotasjon om et tredje rotasjonssenter. iii Sammensetting av to refleksjoner gir oss en ny rotasjon med skjæringspunktet mellom de to refleksjonslinjene som rotasjonssenter. iv Sammensetting av en translasjon T a og en rotasjon om punktet P gir oss en tilsvarende rotasjon om punktet P A I Aa, hvor rotasjonen er gitt ved matrisen A. Gjør vi rotasjonen først, vil sammensettingen være en tilsvarende rotasjon om punktet P + A I a. v Translasjon og refleksjon gir oss en refleksjon om en ny linje, tilsvarende for motsatt rekkefølge. vi En rotasjon satt sammen med en refleksjon gir oss en ny refleksjon, hvor refleksjonslinja er både flyttet og dreid. Et krystallmønster med rotasjonssymmetri av orden 6. Gitteret kan også ha refleksjonssymmetrier. Det innebærer at vi kan finne en linje l slik at speiling om linja er en symmetri av M. Eksempel Til sammen finnes det 7 ulike symmetrikonfigurasjoner. Vi skal ikke gi noen full klassifikasjon her, men vi gir noen eksempler. I den generelle klassifikasjonen vil man naturlig stille opp noen spørsmål i en standard rekkefølge. Det første er å avklare ordenen til rotasjons-symmetriene,,,, 4 eller 6. Dernest sjekker vi om det finnes refleksjons-symmetrier. Når det er avklart gjelder det å få oversikt over sammenhengen mellom rotasjoner refleksjoner og translasjoner. Her dukker det opp fenomener som: rotasjonssenter på eller utenfor refleksjons-linjer, glide-refleksjoner eller ordinære refleksjoner og glide-akser sammenfallende med refleksjons-linjer. Et krystallmønster med flere refleksjonssymmetrier 59

60 4.5 Oppgaver med løsning Eksempel En lineær avbildning T : R R er gitt ved T x,y x + y,x + y a Skriv opp avbildningen på matriseform, x x T A y y b Forklar hvorfor T avbilder enhetskvadratet på firkanten med hjørner,,,,, og +, +. c Finn et produkt av elementære matriser som avbilder firkanten i b på enhetskvadratet. d Regn ut A ved å gange sammen produktet i c. Løsning.. Metodevalg: Vi skal dekomponere den inverse til A ved en sekvens av elementære matriser, først en permutasjon hvis nødvendig, dernest en rotasjon og eventuelt en horisontal skalering. Så en forskyvning og eventuelt en vertikal skalering.. Regning: Matrisen A er gitt ved T T Hjørnene i firkanten er rett orientert, så vi trenger ikke noen permutasjon. Vinkelen mellom x-aksen og, er π 6 siden lengden av, er + + og cos π 6. Rotasjon med en vinkel π 6 er gitt ved Denne avbilder, på Horisontal skalering med sender på X og på. Neste skritt er en forskyvning som tar y-aksen. Den er gitt ved og vi får Det gir oss sammensetting som gir A ; A Vi kan sjekke at svaret er riktig ved å regne ut inn på Eksempel Vi skal sette sammen to stive bevegelser. Den ene, T, er en rotasjon med en vinkel π 4 om punktet,, og den andre, T, er en refleksjon om linja y x. a Skriv opp formler på formen T i v A i v + b i for de to avbildningene. b Regn ut komposisjonen T T, og finn fikspunktene. Bruk det til å avgjøre hva slags stiv bevegelse dette er. og, på Løsning.. Metodevalg: Vi bruker formelene for rotasjon og refleksjon gitt i dette kapitlet i kompendiet. 6

61 . Regning: For rotasjonen har vi cos π T x 4 sin π 4 sin π 4 cos π 4 x + x Refleksjon om linja y x er gitt ved T x Sammensettingen blir da T T x + x x + x + Fikspunktene til denne funksjonen finner vi ved å sette T T x x. Det gir eller x + x x + Setter vi x x,x så må vi løse likningssettet x + x x + x Vi kan gange den nederste likningen med. Det gir likningen x + x som er samme likning som den første. Det betyr at vi har en hel fiks-linje, gitt ved + x x Altså er komposisjonen en refleksjon om denne linja. 4.6 Oppgaver Oppgave. Skriv opp matriseformen for rotasjonene: a Med vinkel π. b Med vinkel π. c Med vinkel π 4. d Med vinkel 5π. Oppgave. Finn matriseformen til følgende stive bevegelser: a Refleksjon om y-aksen. b Refleksjon om linja y x. c Refleksjon om linja y x. Oppgave. Finn formelen for de stive bevegelsene: a Refleksjon om linja y. b Refleksjon om linja x + y. c Refleksjon om linja y x +. Oppgave 4. Finn formelen for de stive bevegelsene gitt som: a Rotasjon om, med vinkel π. b Rotasjon om, med vinkel π. c Rotasjon om, med vinkel π 6. d Rotasjon om, med vinkel 4π. Oppgave 5. Finn formelen til følgende avbildninger: a Refleksjon om linja y, deretter om linja y. b Rotasjon med vinkel π om punktet,, deretter med vinkel π om punktet,. c Refleksjon om linja y x, deretter refleksjon om linja y x. Oppgave 6. Regn ut produktet av en rotasjonsmatrise om origo og en refleksjon om x-aksen. Oppgave 7. Hva blir den inverse til en rotasjon med vinkel θ om origo? 6

62 I de neste oppgavene har vi gitt en illustrasjon av bildet av enhetskvadratet ved en avbildning av planet på seg selv. Gi en formel i hvert tilfelle for denne avbildningen. Hjørnet A er bildet av,, mens hjørnet B er bildet av,. Oppgave 8. Oppgave. mo A B O A, og B,. Oppgave 9. B A O A, og B,. Origo er flyttet til mo,. Oppgave. Finn fikspunktene til avbildningen T x x + A O A, og B,. Oppgave. B A O A, og B,. Oppgave. B Oppgave 4. Finn fikspunktene til avbildningen T x x Oppgave 5. Finn fikspunktene til avbildningen T x x + Oppgave 6. Finn fikspunktene til avbildningen T x x Oppgave 7. En lineær avbildning T : R R er gitt ved T x,y y,x Skriv opp avbildningen på matriseform, x x T A x x O B mo A, og B,. Origo er flyttet til mo,. A og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes på. Oppgave 8. En lineær avbildning T : R R er gitt ved T x,y x y,x + y Skriv opp avbildningen på matriseform, x x T A x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes på. x 6

63 Oppgave 9. En avbildning T : R R er gitt ved T x,y + x, + y Skriv opp avbildningen på matriseform, x x T A + b x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes på. Oppgave. En avbildning T : R R er gitt ved x T x,y + y, + x + y Skriv opp avbildningen på matriseform, x x T A + b x og beskriv firkanten som enhetskvadratet avbildes på. I de neste oppgavene skal vi finne et uttrykk for sammensettingen av to stive bevegelser, S og T. Skriv opp formler på formen Ax + b for de to avbildningene og regn ut komposisjonsavbildningen T S. Oppgave. La S være en translasjon med translat, og T en translasjon med translat,. Oppgave. La S være en translasjon med translat, og T en rotasjon om, med rotasjonsvinkel θ π. Oppgave. La S være en rotasjon om punktet, med rotasjonsvinkel θ π og T en rotasjon om, med rotasjonsvinkel θ π. Oppgave 4. La S være refleksjon om linja y x og T en rotasjon om, med rotasjonsvinkel θ π. Oppgave 5. La S være en translasjon med translat, og T refleksjon om linja y x. x 6

64 Kapittel 5 Geometri i rommet I dette kapitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kapittel er gyldig også i R. Vi tar med resultatene her, men hopper over bevisene der det ikke er noe forskjell. Vi begynner imidlertid med noen spesielle regneregler for vektorer i rommet, og som ikke nødvendigvis har noen paralleller i planet. 5. Vektorer i R I mange tilfeller kan det være vanskelig å skille mellom punkter og vektorer i rommet, begge deler angis med -tupler av reelle tall. Imidlertid er det en forskjell på dem. Et punkt P i rommet eksisterer uavhengig av valg av koordinatsystem, vi trenger faktisk ikke bestemme oss for noe koordinatsystem i det hele tatt. Beskrivelsen som et -tuppel derimot baserer seg på et valg av koordinatsystem, og beskriver punktets plassering i forhold til dette koordinatsystemet. En vektor v kan vi tenke på som en pil i rommet. En pil har en retning og en lengde, og begge disse størrelsene er uavhengig av valg av koordinatsystem. Når vi har bestemt oss for et koordinatsystem kan vi plassere en vektor pil med sin start-ende i oriogo. Den andre enden av pila peker da på et punkt i rommet. Vektoren vil da bli gitt ved koordinatene til dette punktet, relativt til det valgte koordinatsystemet. Noen resultater og størrelser vil være avhengig av valg av koordinatsystem, mens andre vil ikke være det. En vanlig størrelse som er avhengig av valg av koordinatsystem, eller mer spesifikt valg av enhet på aksene, er lengden av en vektor v. Når vi har valgt et koordinatsystem kan vi angi en vektor ved et -tuppel v a,b,c. Lengder av vektoren finner vi ved å bruke Pythagoras setning. Definisjon 5... La v a,b,c være en vektor i R. Lengden av v er gitt ved v v T v a + b + c Vi skal hovedsakelig være interessert i ortonormale koordinatsystem. Ortonormale koordinatsystem henger sammen med ortonormale basiser for R. I en ortonormal basis har basisvektorene lengde og de står normalt på hverandre. Standardbasisen {e,e,e } der e, e, e, er et eksempel på en ortonormal basis. Fortrinnet til ortonormale basiser er at det er enkelt å beregne koordinatene til et punkt eller en vektor. En vektor v R har koordinater relativt til standardbasisen gitt ved skalarproduktet v i v e i i,, og tilsvarende for en vilkårlig annen ortonormal basis. Merk at det er vanlig å bruke notasjonen for standardbasisen i R. i e j e k e Eksempel 5... Mengden B {v,v,v } der v, v 4, v danner en ortonormal basis for R. I mange tilfeller vil vi ha gitt en vektor av lengde, og vi ønsker å finne en ortonormal basis som involverer denne vektoren. I planet har vi en enkel formel for å finne en vektor som står normalt på en annen vektor. I -rommet har vi også formler for dette. 64

65 Lemma 5... La u a b R c være en vektor med lengde, dvs. a + b + c. Dersom a, b, vil vektorene og w v b a a + b ac bc a + b a + b ha lengde og stå normalt på hverandre og på u, det vil si Bevis. Ren utregning. v v w w u v u w v w Eksempel 5... Hvis vi bruker formelen i lemmaet på får vi u v, w Det finnes en vektor-konstruksjon som er helt spesiell for R, det såkalte kryssproduktet av to vektorer. Den viktigste egenskapen til dette produktet er at den konstruerte vektoren står normalt på de to vi starter med. Dette kan vi selvfølgelig utnytte når vi skal konstruere ortonormale basiser. Definisjon 5... La v,w R være to vektorer. Vi definerer kryssproduktet v w av de to vektorene ved formelen i j k v w v v v w w w v w v w i + v w v w j + v w v w k v w v w v w v w v w v w Eksempel 5... Vi skal regne ut kryssproduktet v w for vektorene v,, og w,,. Vi har i j k v w i j + 5k Eksempel La u,,, u,,. Vi kan bruke kryssproduktet til å finne en tredje vektor u slik at de tre vektorne utgjør en basis. Utregning gir i j k u u,, Siden kryssproduktet er forskjellig fra vet vi også at de to vektorene er lineært uavhengig. Proposisjon Kryssproduktet har følgende egenskaper u,v,w R, k R; i Lineært i begge faktorer; ii Anti-kommutativt; iii Ortogonalitet; iv Selv-utslettende; u + v w u w + v w u v + w u v + u w ku v u kv ku v u v v u u u v v u v u u 65

66 v Tilfredsstiller Jacobi-identiteten; u v w + v w u + w u v Egenskap iii sier at kryssproduktet står normalt på de to vektorene som inngår i produktet. Bevis. Følger direkte fra definisjonen. Eksempel Vi skal regne ut Jacobi-identiteten for vektorene u,,, u,, og u a,b,c. Vi har som gir u u,, u u,c, b u u c,, a u u u b,a, u u u b,, u u u, a, Vi ser at summen av de tre vektorene er. Det er verdt å merke seg at lengden av kryssproduktet er lik arealet av parallellogrammet utspent av de to vektorene som inngår. Dett er det lett å se dersom vi antar at den ene vektoren er u,,. Hvis den andre vektoren er gitt ved v v,v,v, så vil arealet av parallellogrammet være gitt ved v + v. Samtidig vil kryssproduktet av u og v være u v, v,v, og lengdene stemmer overens. Formelen for den ortonormale basisen gitt i lemmaet over baserer seg på kryssproduktet. Vi har u a b c w v u, v b a a + b ac bc a + b a + b For standardbasisen har vi de svært vakre sammenhengene i j k, j k i, k i j Eksempel Vi kan bruke disse formelene sammen med linearitetsegenskapene til vektorproduktet til å forenkle utregninger: La u i j, u i + j k. Da har vi u u i j i + j k i i + i j i k j i j j + j k + k + j + k + i i + j + k Vi kan kombinere kryssprodukt og skalarprodukt i det som kalles trippelproduktet. Definisjon Trippelproduktet av tre vektorer u,v,w er definert ved [u,v,w] u v w Ved å bruke definisjonen av kryssprodukt kan vi gi en fin formel for trippelproduktet; Proposisjon La u u,u,u, v v,v,v og w w,w,w være tre vektorer i rommet. Da har vi at trippelproduktet u u u [u,v,w] v v v w w w deta der A er matrisen med søyler eller rader u,v,w. Bevis. Følger direkte fra formelene for kryss- og skalar-produkt. Eksempel Vi skal regne ut trippelproduktet av vektorene u,,, v,, og w,,. Vi bruker formelen [u,v,w] Lemma Vi har u v w v w u w v u Bevis. Følger fra proposisjonen over siden to ombyttinger av rader i en determinant ikke forandrer verdien av determinanten. Det siste resultatet gir at vi kan bytte om rekkefølgen i trippelproduktet uten å forandre verdien. Det eneste 66

67 vi må passe på er fortegnet. Reglen er at så lenge vi beholder rekkefølgen på faktorene, så endres ikke tegnet. Med rekkefølge mener vi rekkefølge i syklisk forstand, det vil si at, og gir samme rekkefølge, mens,, gir den motsatte rekkefølgen. Trippelproduktet oppfører seg ganske pent i forhold til å gange vektorene med en matrise. Proposisjon La A være en -matrise. Da har vi [Au,Av,Aw] deta[u,v,w] Bevis. Trippelproduktet [Au,Av,Aw] er gitt ved determinanten til en matrise med de tre vektorene som sine søylevektorer. Men det er det samme som determinanten til matriseproduktet A u v w Eksempel La A være matrisen gitt ved A og u, v Vi skal regne ut trippelproduktet [Au,Av,Aw], w på to måter. Først beregner vi Au, Av, Aw Det gir trippelprodukt [Au,Av,Aw] 4 Så regner vi ut deta og [u,v,w] og produktet blir igjen Ortogonale -matriser Ortogonale matriser A er definert gjennom relasjonen A T A Id. Alle søylene i en ortogonal matrise har derfor lengde og de står normalt på hverandre, det vil si at skalar-produktet mellom to forskjellige søyler er. Det er historiske grunner som ligger bak navnet ortogonal matrise. Siden søylene har lengde skulle man kanskje tenke seg at matrisene burde omtales som ortonormale. Men det gjør vi altså ikke. Vi skal liste opp noen egenskaper ved ortogonale matriser som vi tidligere har gjennomgått, i tillegg til at det etter hvert kommer noen nye: - Produktet av to ortogonale matriser er en ortogonal matrise. - Determinanten til en ortogonal matrise er ±. - Alle de reelle egenverdiene til en ortogonal n nmatrise har absoluttverdi. - La A være en ortogonal -matrise med determinant deta. Da har A en egenvektor v med tilhørende egenverdi λ. Proposisjon 5... La A være en ortogonal - matrise med determinant deta. Da har A en egenvektor v med tilhørende egenverdi λ. Bevis. Vi har χ A deta + I deta + AA T deta deti + A T deta deta + I deta χ A Siden vi har antatt at deta følger det at χ A, som er ekvivalent med at λ er en egenverdi. Eksempel 5... La A være den ortogonale matrisen A Da er v en egenvektor med egenverdi -. 67

68 Proposisjon 5... La A være en ortogonal matrise, og la v være en egenvektor med egenverdi ±. La W v være det ortogonale komplementet til v det vil si alle vektorer i rommet som stå normalt på v. Da har vi A W W. Bevis. La w oppfylle w T v. Da har vi Aw T v w T A T v w T A v ±w T v og det følger at Av står normalt på v. Proposisjon 5... La A være en ortogonal - matrise, og la v,w R. Da har vi Bevis. Vi har Av Aw v w Av Aw Av T Aw v T A T Aw v T w v w Eksempel 5... Vi betrakter den ortogonale - matrisen A og de to vektorene Da har vi Av Videre har vi v , w og med litt mer regning,, Aw v w Av Aw som stemmer med resultatet over Proposisjon La v være en vektor i R. Da er Householder-matrisen ortogonal. Q v I vvt v T v Eksempel 5... Vi kan regne ut Householder-matrisen for v,,. Det gir Q v I + + Denne matrisen er åpenbart ortogonal. Siden standardbasisen er en ortonormal basis kan vi skrive v v T e e + v T e e + v T e e Det gir oss et direkte argument for følgende resultat: Lemma La v,w R. Da har vi at v w hvis og bare hvis v T u w T u for alle u R. Proposisjon La A være en ortogonal - matrise, og la v,w R. Da har vi Av Aw deta Av w Bevis. Det holder å vise at for alle x R. Vi har [Av,Aw,x] detaav w x [Av,Aw,x] [Av,Aw,AA x] deta[v,w,a x] detav w A x detaav w AA x detaav w x Eksempel Vi betrakter igjen den ortogonale -matrisen 6 A

69 og de to vektorene v, w Vi har + Av + 6, Aw og det følger med litt regning at Vi har også og derfor + 6 Av Aw v w Av w Bruker vi at 6 deta 6 får vi det aktuelle resultatet. 5. Isometrier i R I dette avsnittet skal vi se på isometrier i R. Slik som tilfellet var med de ortogonale matrisene i forrige avsnitt, vil også mange av definisjonene og resultatene i dette avsnittet ha klare analogier med tilsvarende definisjoner og resultater i R. I så fall gjengir vi kun resultatene, uten å ta med bevisene. Definisjon 5... En avbildning m : R R kalles en isometri stiv bevegelse hvis den bevarer avstander, dvs. for vilkårlig valgte punkter P,Q R så er P Q mp mq. En isometri som avbilder en delmengde F R på seg selv kalles en symmetri av F. 6 Proposisjon 5... isometri. a Identitetsavbildningen er en b Dersom m,m : R R er to isometrier, da er også sammensettingen av de to avbildningene en isometri. c Dersom m er en isometri, så er også den inverse avbildningen m en isometri. Mengder som oppfyller de tre punktene i proposisjonen kalles i matematikken for en gruppe. Lemma 5... La m : R R være en avbildning av planet på seg selv. Da er følgende utsagn om m ekvivalente: a Avbildningen m er en isometri som fikserer origo. b Avbildningen m er venstre-multiplikasjon med en ortogonal matrise og derfor lineær. Siden en isometri avbilder R på seg selv, vil den pr. definisjon være en symmetri av R. Symmetrier som bevarer origo, og som i henhold til resultatet over er gitt ved multiplikasjon med en ortogonal matrise, kalles punkt-symmetrier. Vi skal i resten av kapitlet konsentrere oss om punkt-symmetrier, eller ekvivalent; ortogonale matriser. Det betyr at vi i hovedsak skal studere isometrier på formen mx Ax der A er en ortogonal -matrise. Vi deler isometriene eller punkt-symmetriene inn i to hovedgrupper, orienterings-bevarende, med determinant og orienterings-reverserende med determinant -. Definisjon Mengden av ortgonale -matriser kalles den ortogonale gruppa og skrives O. Inneholdt i O ligger SO, som er de ortogonale - matrisene med determinant. Teorem La mx Ax være en punkt-symmetri definert ved en ortogonal -matrise A. Da kan A skrives som et produkt av en rotasjon og en refleksjon. Bevis. Vi vet at en ortogonal matrise har determinant deta ±. Hvis deta, så har vi tidligere vist at 69

70 A har en egenvektor v med egenverdi, og at A tar det ortogonale komplementet W v til denne vektoren på seg selv. Det betyr at restriktert til W så svarer A til en orienteringsbevarende isometri av et plan, det vil si at A svarer til en rotasjon av W. Dersom deta, så har A en egenvektor v med tilhørende egenverdi -. Matrisen A avbilder det ortogonale komplementet v til v på seg selv. Det gjør også Householder-matrisen Q v og dermed også produktet av dem A Q v Dette produktet har determinant og svarer til en rotasjon. Det betyr at A kan skrives som et produkt av denne rotasjonen og refleksjonen gitt ved Q v. Proposisjon To refleksjoner gir en rotasjon om skjæringslinja mellom de to refleksjonsplanene. Bevis. Siden refleksjoner er ortogonale matriser med determinant deta, vil produktet være en ortogonal matrise med determinant, altså en rotasjon. I tillegg vil denne avbildningen opplagt fiksere snitett av de to refleksjonsplanene, som dermed gir oss rotasjonsaksen. iii Hvis F m er en linje, så er m en rotasjon. iv Hvis F m er et punkt, så er m en sammensetting av en refleksjon og en rotasjon. Bevis. Resultatet er en oppsummering av ting vi har vist tidligere. Proposisjon Enhver punkt-symmetri kan skrives som et produkt av eller refleksjoner. Bevis. På bakgrunn av hva vi har vist tidligere, holder det å vise at en vilkårlig rotasjon kan skrives som et produkt av to refleksjoner. Vi betrakter en rotasjon med rotasjonsvinkel θ. La v være rotasjonsaksen til rotasjonen, og velg en vektor w som står normalt på denne. La Q w være den ene refleksjonen. Vi vet at denne refleksjonen fikserer normalplanet til w og derfor også v. La videre w være en vektor som står normalt på v og som danner en vinkel θ med w, og la Q w være den andre refleksjonen. Vektoren v fikseres også av denne refleksjonen og v fikseres spesielt av begge de to refleksjonene. Nå kan vi bruke et tidligere resultat til å fastslå at rotasjonen om v er gitt ved θ θ som var det vi ville ha. En ortogonal matrise som oppfyller A k Id sies å ha endelig orden, i dette tilfellet orden k. F.eks. vil en refleksjon ha orden. Definisjon La m : R R være en punktsymmetri. Et punkt P R som ved m avbildes på seg selv; mp P, kalles et fikspunkt for m. Mengden av alle fikspunkter; F m {P R mp P} kalles fikspunktsmengden til m. Klassifikasjon av punkt-symmetrier i rommet blir litt forskjellig fra det plane tilfellet; Proposisjon La m : R R være en punktsymmetri med fikspunktsmengde F m. Da har vi følgende karakterisering: i Hvis F m R, så er m identitetsavbildningen. ii Hvis F m er et plan, så er m en refleksjon. 7

71 5.4 Oppgaver med løsning Eksempel I denne oppgaven har vi oppgitt en vektor, u 6 Finn to andre vektorer v og w slik at de tre vektorene til sammen gir en basis for R. Løsning.. Metodevalg: For å finne v skal vi bruke formelen i Lemma 5.., mens w skal vi finne som kryssproduktet av u og v.. Regning: Vi har a 6 og b 6. Det gir a + b og dermed v Vektoren w finner vi ved 6 w i j + k i + j 6 i i + i j j i j j + k i + k j 6 k + k + j i 6 i + j + k 6 Eksempel Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v,, på v, den andre tar w,, på w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonsplanene. Løsning.. Metodevalg: Refleksjonsplanene står normalt på de oppgitte vektorene. Skjæringslinja mellom planene vil derfor være definert av en vektor som står normalt på begge vektorene. Denne kan vi finne ved å ta kryssproduktet av de to vektorene.. Regning: Kryssproduktet er gitt ved v w j + k i + j j i + j j + k i + k j k + + j i,, Skjæringslinja er linja langs vektoren,,. Eksempel La A være matrisen gitt ved A Finn fikspunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den representerer. Løsning.. Metodevalg: For å finne fikspunktene til en matrise A, må vi løse Av v. Vi lar v x,y,z og regner ut.. Regning: Vi skal løse likningssystemet x y x y z z Fikspunktmengden til A er det samme som nullrommet til A I, som gir x y z eller x y 5 z Det betyr at hvis vi finner rangen til denne matrisen, så kan vi finne dimensjonen til nullrommet. Vi regner ut determinanten til matrisen som betyr at rangen er, og nullrommet derfor har dimensjon. Det betyr at A uttrykker en sammensetting av en rotasjon og en refleksjon. 7

72 5.5 Oppgaver Oppgave. Regn ut lengden av vektorene: a,, b,, c,, Oppgave. Finn en vektor som står normalt på den oppgitte vektoren: a,, b,, c,, d,, Oppgave. Regn ut kryssproduktet v w for de oppgitte vektorene: a v,, og w,, b v,, og w,, c v,, og w,, d v,, og w 4,,7 Oppgave 4. Regn ut kryssproduktet v w for de oppgitte vektorene: a v i + j og w i j b v i + k og w j + k c v i + j + k og w i j k d v i j + k og w i j k Oppgave 5. I hvert tilfelle har vi oppgitt to vektorer, u og v. Finn en tredje vektor w slik at de tre vektorene til sammen danner en basis for R. a u og v b u og v c u og v d u og v Oppgave 6. I denne oppgaven har vi oppgitt en vektor, u. Finn to andre vektorer v og w slik at de tre vektorene til sammen gir en basis for R. a u b u c u Oppgave 7. Regn ut trippelproduktet [u, v, w] i hvert tilfelle: a b c u u u, v, v w w, v w Oppgave 8. La A være matrisen gitt ved A og u, v Regn ut trippelproduktet [Au,Av,Aw], w 7

73 Oppgave 9. La A være matrisen gitt ved A og u, v Regn ut trippelproduktet [Au,Av,Aw], w Oppgave. Vi har gitt en ortogonal matrise med deta. A 6 Finn en vektor v slik at Av v. Oppgave. Vi har gitt en ortogonal matrise med deta. A 5 5 Oppgave 4. Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v,, på v, den andre tar w,, på w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonsplanene. Oppgave 5. Vi har gitt to refleksjoner. Den ene tar v,, på v, den andre tar w,, på w. Finn skjæringslinja mellom de to refleksjonsplanene. Oppgave 6. La A være matrisen gitt ved A Finn fikspunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den representerer. Oppgave 7. La A være matrisen gitt ved A Finn fikspunktene til matrisen og bestem hva slags isometri den representerer. Finn en vektor v slik at Av v. Oppgave. Regn ut Housholder-matrisen til den oppgitte vektoren a,, b,, c,, Oppgave. La A være matrisen gitt ved A og Regn ut Au Av. u, v 7

74 Kapittel 6 Indreprodukt Skalarproduktet av vektorer er et nyttig verktøy. Vi har sett at det kan brukes til å regne ut lengder av vektorer og å fastslå om vektorer står vinkelrett på hverandre. I tillegg har det en veldig enkel form og er lett å regne ut. Det er derfor nærliggende å spørre seg om det er mulig å generalisere skalarproduktet til andre og mer kompliserte vektorrom enn R og R. I dette kapitlet skal vi se hvorden vi kan gjøre det. Måten vi skal gå fram på er å plukke ut de vesentlige egenskapene til skalarproduktet og introdusere et generelt begrep, et indreprodukt, som har akkurat disse egenskapene. Når et slikt generelt begrep er på plass kan vi prøve å finne ut hvilke egenskaper som følger av det generelle oppsettet, uten at vi baserer oss på egenskaper som er spsifikke for skalarproduktet. 6. Et generelt indreproduktbegrep Hvilke egenskaper ved skalarproduktet skal vi plukke ut, og opphøye til generelle betingelser? Det mest grunnleggende ved skalarproduktet er at input er to vektorer av samme lengde, mens output er et reelt tall. Dette lar vi være grunnlaget når vi generaliserer begrepet; til et par av elementer i et generelt vektorrom tilordner vi et reelt tall. Vi skriver det som v,w R hvor v,w V, og V er et generelt vektorrom. Vektorrom er lineære rom der av+bw V når v,w V og a,b R. Dette er en egenskap vi gjerne vil bruke, og på samme måte som at skalarproduktet er linært i hver variabel, skal også indreproduktet ha denne egenskapen. Siden skalarproduktet av en vektor med seg selv alltid er et ikke-negativt tall, og dette er en vesentlig side ved det at skalarproduktet gir oss lengder av vektorer, tar vi det med også. Den eneste vektoren som har lengde er -vektoren og det er også en viktig egenskap. Rekkefølgen på faktorene i skalproduktet er uvesentlig, siden v w w v og det ønsker vi også å bruke. Dermed ender vi opp med følgende generelle definisjon: Definisjon 6... La V være et reelt vektorrom. Et indreprodukt på V er en regel som til et hvert par av elementer i V tilordner et reelt tall; v,w R slik at følgende betingelser er oppfylt: i Indreproduktet er lineært i hver variabel, det vil si at au + bv,w a u,w + b v,w u,av + bw a u,v + b u,w ii Indreproduktet er symmetrisk, det vil si at u,v v,u iii Indreproduktet er positivt definit, det vil si at v,v med likhet hvis og bare hvis v. Det vanlige skalarproduktet oppfyller alle disse betingelsene og danner dermed et indreprodukt på R n. Før vi begynner å lete etter andre indreprodukt skal vi se på en del egenskaper som vi kjenner igjen fra skalaproduktet, men som vi nå kan vise gjelder på bakgrunn av den generelle definisjonen av et indreprodukt. Kravet om at indreproduktet skal være positivt definit, bygger på at skalarproduktet av en vektor med seg selv 74

75 gir oss kvadratet av lengden av vektoren. Vi begynner derfor med å generalisere begrepet lengde, til det som kalles normen til en vektor: Definisjon 6... La, : V V R være et indreprodukt på et generelt vektorrom V. Da kaller vi for normen til v V. v v,v Hvis v R, så er normen til v det samme som vanlig euklidsk lengde, gitt ved v + v + v. I alle de neste proposisjonene lar vi V være et generelt vektorrom og, : V V R et indreprodukt på V. Proposisjon 6... For alle u, v V gjelder Cauchy- Schwartz ulikhet; u,v u v Bevis. Dersom v er resultatet opplagt sant. Så vi antar v og lar λ u,v v R. Da har vi u λv u λ u,v + λ v u u,v u,v u,v + v v 4 v u u,v v u,v For skalarprodukt i R og R har vi formelen som sier at v,w v w cosθ der θ er vinklen mellom vektorene v og w. Siden cosθ alltid ligger mellom - og, kan vi bruke Cauchy- Schwartz ulikhet til å definere et abstrakt vinkelbegrep som passer sammen med det vanlige begrepet i planet eller rommet: Definisjon La u,v V være to elementer i et generelt vektorrom V. Da definerer vi vinkelen θ mellom u og v ved at cosθ u,v u v I analogi med skalarproduktet sier vi at to vektorer v,w V står normalt på hverandre eller er ortogonale dersom v,w. Det gir oss en Pythagoras setning for et hvert indreprodukt: Proposisjon Dersom to elementer v, w V i et vektorrom er ortogonale, så oppfyller de Pythagoras setning; v + w v + w Bevis. Vi har v + w v + w,v + w v + v,w + w v + w og det følger at u v u,v I tillegg til u-likhetene over har vi parallellogramloven. Den sier at kvadratsummen av sidekantene i et parallellogram er lik kvadratsummen av diagonalene. Proposisjon For alle v, w V gjelder trekantulikheten; v + w v + w Bevis. Vi har v + w v + w,v + w v + v,w + w v + v w + w v + w Proposisjon For alle v, w V gjelder parallellogram-loven; v + w + v w v + w 75

76 Bevis. Vi har v + w + v w v + v,w + w + v v,w + w v + w Et nært beslektet resultat til parallellogram-loven er den såkalte polariserings-identiteten; v,w 4 v + w v w 6. Eksempler på indreprodukt Det vanligste indreproduktet er selvfølgelig skalarproduktet på R n. Det er gitt ved v w v w + + v n w n for to vektorer v v,v,...,v n og w w,w,...,w n. Med vår generelle definisjon av et indreprodukt kan vi imidlertid finne mange andre varianter. For å bevise den neste proposisjonen trenger vi et hjelperesultat. Lemma 6... La A være en symmetrisk -matrise med to forskjellige egenverdier. La v og v være egenvektorer assosiert med hver sin egenverdi. Da har vi v v Bevis. Siden v T Av er en -matrise er den lik sin egen transponerte, og siden A T A følger det at Det betyr at v T Av v T Av T v T A T v v T Av v T Av v T Av λ v T v λ v T v Men nå har vi v T v v T v og det følger at λ λ v T v Siden λ λ følger resultatet. Proposisjon 6... La A være en symmetrisk - matrise med to positive egenverdier. Da beskriver et indreprodukt på R. x,y A x T Ay Siden vi bruker notasjonen, som en fellesbetegnelse for indreprodukt, hekter vi på en indeks for å markere ulike former for indreprodukter. I dette tilfellet hekter vi på en A siden matrisen A er en vesentlig del av definisjonen. Bevis. Linearitet og symmetri er nokså opplagt oppfylt, så det gjenstår å vise at indreproduktet er positivt definit. Et hvert element i R kan skrives som en lineærkombinasjon av egenvektorer for A, x v + v. Det gir x,x A x T Ax v T Av + v T Av + v T Av + v T Av λ v v + λ v T v + λ v T v + λ v v λ v + λ v siden egenverdiene er positive. Det betyr også at produktet er hvis og bare hvis v v. Eksempel 6... La A være -matrisen A Matrisen er symmetrisk med positive egenverdier λ og λ. Det betyr at, A gir et indreprodukt på R. Vi kan se at matrisen er positivt definit ved å betrakte utregningen v v,v v,v v v v + v v v + v v + v siden dette er en sum av kvadrater, og de er alltid ikkenegative. Produktet er også hvis og bare hvis vi har v v. Selv om vi vanligvis betrakter matriser som lineæravbildninger, kan vi også se på rommet av matriser som et vektorrom. Vi lar M n m R betegne mengden av n m- matriser med reelle elementer. Summen av to matriser er en ny matrise, og vi kan multiplisere matriser med et reelt tall. Det finnes en -matrise og multiplikasjon med - gir oss additivt inverse matriser. Det betyr at denne mengden oppfyller alle kravene til å være et vektorrom. 76

77 Vi skal definere et indreprodukt på dette vektorrommet. For to n m-matriser A og B definerer vi A,B n n tra T B Vi minner om at trasen til en kvadratisk matrise tra er summen av diagonalelementene til A; tra a + a + + a nn Merk at produktet A T B alltid vil være kvadratisk selv om A og B ikke er det. Proposisjon 6... La A og B være to n m-matriser. Da definerer A,B n n tra T B et indreprodukt på vektorrommet av n n-matriser, kalt Frobenius-indreproduktet. Bevis. Linearitet følger greit siden både matriseprodukt og trase er lineære operasjoner. La A a i j og B b i j. Da har vi og A T B kl a k b l + a k b l + + a kn b ln tra T B a b + a b + + a n b n + + a m b m + a m b m + + a mn b mn Produktet er åpenbart symmetrisk. Setter vi A B inn i formelen, får vi tra T A a + a + + a n + + a m + a m + + a mn Det er klart at denne summen av kvadrater alltid er positiv eller, og at den er hvis og bare hvis alle leddene er. Men det er det samme som å si at A. Vi kan også definere en helt annen type indreprodukt. La f x og gx være to integrerbare funksjoner definert på et intervall [a,b]. La b f x,gx f xgxdx a Proposisjon Produktet, definerer et indreprodukt. Bevis. Det er klart at produktet er lineært i hver variabel, og at det er symmetrisk. Vi har b f x, f x f x dx a fordi integranden er og av samme grunn så er produktet hvis og bare hvis f x, det vil si konstantfunksjonen lik. Eksempel 6... Vi lar V P, dvs. vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik. Et generelt element i V er på formen f x ax + b og vi kan regne ut indreproduktet f x, f x over intervallet [,] av to vilkårlige førstegradspolynomer. f x, f x a x + b a x + b dx a a x + a b + a b x + b b dx [ a a x + a b + a b x + b b x] a a + a b + a b + b b Vektorrommet P er -dimensjonalt og vi kan identifisere det med R gjennom korrespondansen ax + b a,b Denne sammenhengen kan vi trekke videre og betrakte indreproduktet på R gitt ved hvor A er matrisen x,y A x T Ay A Dette gir oss det samme indreproduktet som i eksemplet ovenfor. Vi kan overbevise oss om det ved å regne ut indreproduktet a,b,a,b A a b a b a a + a b + a b + b b som er identisk likt det vi fant i eksemplet over. 77

78 Eksempel 6... Vi holder oss til eksemplet gitt over, hvor V P og indreproduktet gitt ved integralet over intervallet [, ]. Polynomet f x har norm dx og indreproduktet av med et vilkårlig polynom gx ax + b er gitt ved,ax + b ax + bdx a + b Det betyr at hvis vi velger a og b slik at a+b, så vil dette indreproduktet være. Vi har altså at polynomene f x og gx ax a står normalt på hverandre. Vi kan også regne ut normen til gx; ax a ax a dx 4a x 4a x + a dx 4 a a + a a Dersom vi setter a får vi x. Det betyr at {, x } danner en ortonormal basis for P med dette indreproduktet. 6. Dekomponering av vektorer ved indreprodukt Vi kan utnytte ortogonalitetsegenskapene til indreproduktet til å dekomponere vektorer relativt til en ortonormal basis. La x V være et element i et vektorrom med et indreprodukt, og la {v,v,...,v m } være en ortonormal basis for dette vektorrommet. Da kan vi skrive x som en lineærkombinasjon av basisvektorene; x a v + a v + + a m v m Siden basisen er ortonormal får vi og derfor x,v j a j x x,v v + x,v v + + x,v m v m Dette kalles en dekomponering av vektoren x og leddene x,v j v j kalles komponentene til x. Vi kan gjøre den samme konstruksjonen i tilfellet av at V er uendeligdimensjonalt. Da kan vi finne komponentene på samme måte, men i det tilfellet vil summen over bli en uendelig rekke og vi kan ikke lenger være sikre på at et element i vektorrommet kan skrives som en sum av sine komponenter. Vi har et konvergensproblem. Vi skal komme litt tilbake til dette etter hvert. Det er ikke sikkert at vi alltid har en ortonormal basis tilgjengelig, men vi kan fortsatt dekomponere en vektor. Definisjon 6... Gitt to vektorer v og w. Vi definerer ortogonalprojeksjonen av v på w ved pr w v v w w w Eksempel 6... Ortogonalprojeksjonen av v,, på w,, er gitt ved pr w v,,,,,,,, Eksempel 6... La M være vektorrommet av - matriser med indreproduktet gitt ved A,B tra T B Vi skal finne en ortonormal basis for dette vektorrommet. Vi tar utgangspunkt i identitetsmatrisen. Vi har I,I tri T I tri For å få en basisvektor med norm, må vi derfor dele I med. Det gir oss den første basisvektoren m Vi går videre og ser på A Denne står normalt på m fordi vi har T m,a tr og den har norm A,A tr T 78

79 Vi setter m A Da er vi ferdig med de diagonale matrisene, og vi tar for oss B Vi regner ut m,b m,b så ortogonaliteten er i orden, og T B,B tr tr Vi setter Til slutt lar vi Vi regner ut og så vi setter m B C m,c m,c m,c T C,C tr tr m 4 C Dermed har vi en ortonormal basis gitt ved {m,m,m,m 4 } Hvis vi har gitt en vilkårlig matrise a b M c d så får vi m,m a b tr c d a + d Vi regner ut tilsvarende for de andre og finner Dermed kan vi skrive m,m a d m,m b + c m 4,M b c M a + dm + a dm 6.4 Fourier-rekker + b + cm + b cm 4 Vi betrakter vektorrommet uendelig-dimensjonalt utspent av funksjonene cosnωt og sinnωt for n,,,... Funksjonene er periodiske og alle har periode T π ω. Vi definerer et indreprodukt på dette rommet ved T f t,gt f tgtdt Vi har følgende utregninger: T cosnωt, cosnωtdt { if n T if n T sinnωt, sinnωtdt n T cosmωt,cosnωt cosmωtcosnωtdt { if n m T if n m T sinmωt,sinnωt sinmωtsinnωtdt { if n m T if n m 79

80 T cosmωt,sinnωt cosmωtsinnωtdt n Alle disse formelene kan bevises ved bruk av de generelle summeformelene for cosinus og sinus: cosx cosy cosx y + cosx + y sinx siny cosx y cosx + y sinx cosy sinx y + sinx + y Dette gir at T cosnωt og T sinnωt for n,,..., sammen med T danner en ortonormal basis for vektorrommet. La f t være en periodisk funksjon med periode T. Vi kan regne ut indreproduktet av denne funksjonen med basiselementene over, og kaller dem med en skaleringsfaktor for å gjøre det hele mer praktisk Vi kan danne rekka F a a n T cosnωt, f t b n T sinnωt, f t + n a n cosnωt + b n sinnωt De to følgene {a i } i og {b i} i kalles funksjonens Fourier-koeffisienter, og rekka kalles funksjonens Fourier-rekke. Vi skal se at Fourier-koeffisientene er entydig gitt av funksjonen. La F være som over. Da har vi F, T cosmωt a m cosmωt, T cosmωt T T a m T a m Hvis vi tar utgangspunkt i funksjonen f t får vi f t, T cosmωt T T a T m a m så får vi Fourier-rekka til f t gitt ved F a + n a n cosnωt + b n sinnωt Dersom funksjonen f er periodisk, kontinuerlig og har kontinuerlig derivert, så vil denne rekka konvergere mot f t. I så fall skriver vi f t a + n a n cosnωt + b n sinnωt Det vi har oppnådd med dette er å splitte opp en periodisk funksjon i enkle trigonometriske bestanddeler. Eksempel Vi skal finne Fourier-koeffisientene til sagtann-kurven gitt ved { t når t π f t π t når π t π Her er T π, og dermed ω π π. En enkel symmetribetraktning gir at b n π π f t sinntdt n,,... Vi beregner cosinus-koeffisientene: π a n π π t cosntdt + π t cosntdt π π hvis n hvis n og jevn hvis n er odde Dette gir 4 πn f t π + 4 cosk t k πk Eksempel Funksjonen f er gitt ved { når k π t kπ f t når kπ t k + π Vi skal finne Fourier-koeffisientene til denne funksjonen. Perioden er T π og derfor ω π. Det gir a π π og for n > ; a n π π π π π π π π π [sinnt n f t costdt cosdt + π π f t cosntdt cosnt dt + π ] π π π cosdt cosnt dt 8

81 Videre får vi for b n -koeffisientene: b n π π π π π π [ cosnt n Dette gir Fourier-rekke f t sinntdt sinnt dt + π π ] π n nπ sinnt dt + nπ f t + sinm + t m m + π + sint + π sint + sin5t Hvis vi tar med ledd og setter inn forskjellige verdier for t, så ser vi at denne funksjonen faktisk gir en god tilnærming av den opprinnelige funksjonen. Her er noen verdier f,9977 f.5,9746 f 4,9 Vi kan utnytte informasjonen i eksemplet til å beregne summen av en spesiell rekke. Hvis vi setter t π kjenner vi funksjonsverdien f π. På den annen side har vi at { sinm + π m jevn m odde Det betyr at vi har likheten eller + π π 4 Denne rekken ble for øvrig først oppdaget av James Gregory i 668, og kalles derfor for Gregory-rekken. 6.5 Oppgaver med løsning Eksempel La M være vektorrommet av - matriser utstyrt med indreproduktet A,B tra T B. La A, B a Regn ut normen til A, B og C. b Vis at A står normalt på B., C 4 4 c Verifiser at Pythagoras setning gjelder for triplet A, B,C. Løsning.. Metodevalg: Definisjonen av normen til en matrise A er A A,A, og to elementer i vektorrommet står normalt på hverandre dersom indreproduktet A,B. Pythagoras setning sier at dersom elementene A og B er ortogonale, så gjelder likheten A + B A + B Det betyr at vi må vise at A,B og at A + B C.. Regning: Vi har A tra T A tr 5 tr 6 B trb T B tr tr C trc T C tr 9 tr Det betyr at A + B C 8

82 Videre har vi A,B tra T B tr 6 tr 4 så A og B er ortogonale. Til slutt har vi at A + B C Eksempel Et indreproduktet på P er gitt ved La f x,gx f g + f g + f g f x + x, gx + x x a Regn ut normen til f x og gx. b Vis at f x og gx er ortogonale polynomer med dette indreproduktet. c La R være parallellogrammet utspent av f x og gx. Verifiser parallellogram-loven Løsning. f x + gx + f x gx i dette tilfellet. f x + gx. Metodevalg: Vi må regne ut f x, gx, f x + gx, f x gx og f x,gx og vise at alle formelene stemmer.. Regning: f x f + f + f gx g + g + g f x + gx f x gx og f x,gx f g + f g + f g + + Vi observerer at siden f x og gx står normalt på hverandre er de to diagonalene like lange. Parallellogramloven uttrykker i dette tilfellet eller 6.6 Oppgaver Oppgave. Et indreproduktet på P er gitt ved f x,gx f g + f g + f g. Regn ut f x,gx for a f x + x + x, gx 4 7x b f x 5 + x + x, gx + x 4x c f x + x, gx x x Oppgave. Regn ut u,v A for u, og v, når a A b A c A Oppgave. Vi setter u,v B Au Av. Finn B når vi har a A b A c A 8

83 Hint: B A T A Oppgave 4. La u,v, v,w og u,w 5. La videre u, v og w. Regn ut a u + v,v + w, b u w,u + v c u + v Oppgave 5. Bruk formelen A,B tra T B for to matriser A og B til å regne ut A,B når a A og B b A og B 5 8 c A og B Oppgave 6. La A. Finn to lineært uavhengige matriser B,C slik at indreproduktene B,A C,A. Oppgave 7. La u v 8 og u,v 9. Finn vinkelen mellom u og v. Oppgave 8. Vi bruker indreproduktet A,B tra T B på vektorrommet av -matriser. Vis at A, B, C b Finn en ortonormal basis for polynomer i P relativt til indreproduktet i a. Oppgave. La V være et endelig-dimensjonalt vektorrom med indreprodukt,. La P : V V være en lineæravbildning som oppfyller PPv Pv for alle v V. Anta videre at u,pv for alle v V og alle u som er slik at Pu. Vis at v Pv står normalt på Pv for alle v V. Oppgave. La u u,u og v v,v være to vektorer i R. Vis at det vektede euklidske indreproduktet u,v u v + u v tilfredsstiller kravene til et indreprodukt. Oppgave 4. La u,v R n og A en invertibel n n- matrise. Vis at u,v Au Av definerer et indreprodukt. Oppgave 5. La lineæravbildningen P : V V oppfylle Pv,v for alle v V. Vis at P er multiplikasjon med en matrise A med tra. oppfyller Pythagoras setning; A + B C Oppgave 9. Bruk Cauchy-Schwartz ulikhet til å vise at acosθ + bsinθ a + b Oppgave. La W V være et underrom av et endeligdimensjonalt vektorrom. Vis at W W Oppgave. La P være vektorrommet av polynomer av grad mindre enn eller lik. a Vis at f x,gx f g + f g+ f g danner et indreprodukt på P. 8

84 Kapittel 7 Gruppeteori Gruppeteori handler om å studere grupper, det vil si mengder med en velidg spesifikk, men likevel enkel, struktur. Den mest sentrale delen av definisjonen av en gruppe er en binær operasjon. En binær operasjon er regel som til to elementer i en gruppe tilordner et tredje element. Eksempler på slike operasjoner er vanlig addisjon og multiplikasjon. Gitt to tall, a og b, så kan finnes det et nytt tall a + b som er laget av de to andre. Tilsvarende vil også multiplikasjon gi oss et tredje tall, ab. Dette er to eksempler på gruppeoperasjoner på mengden Z av hele tall. Men grupper kan være så mye mer. Mengden av isometrier i planet utgjør også en gruppe, i det tilfellet er den binære gruppeoperasjonen sammensetting av isometrier. Felles for disse operasjonene er at de tilfredsstiller visse betingelser, som assosiativitet og eksistens av inverse elementer. Når vi skal lage en abstrakt versjon av disse konkrete eksemplene trekker vi ut et sett av vesentlige egenskaper som vi ønsker at all grupper skal ha. Grupper kan være endelige eller uendelige mengder og de kan ha en mer eller mindre kompleks struktur. Et eksempel på en gruppe med en enkel struktur er de hele tallene med addisjon som operasjon. En mye mer komplisert gruppestruktur er mengden av alle operasjoner på en Rubiks kube. Det finnes 4,5,,74,489,856, slike og det sier seg selv at det ikke er lett å få oversikt over strukturen av denne gruppa. Selv ikke de som er gode til å løse Rubiks kube har oversikt over denne strukturen, det holder å kjenne til noen sentrale elementer og deres rekkeføge for å løse kuben. Før vi går til den abstrakte definisjonen av grupper skal vi se nærmere på strukturen til noen grupper vi allerede har vært bort i, nemlig symmetrigruppene til plane og romlige legemer. 7. Symmetrigrupper Vi begynner med å se på et par eksempler på symmetrigrupper. Eksempel 7... Vi skal se på symmetriene til et kvadrat K med hjørner ±,±.,,,, K har opplagt en rotasjonssymmetri med vinkel π gitt ved matrisen ρ ρ π og dermed er også ρ og ρ rotasjonssymmetrier, mens ρ 4 Id. I tillegg kan vi finne fire refleksjoner; vi kan reflektere om koordinataksene såvel som om de to diagonalene. La µ være en refleksjon om x-aksen. Da vil ρµ være en refleksjon om diagonalen y x, mens ρ µ 84

85 er refleksjon om y-aksen og ρ µ beskriver en refleksjon om diagonalen y x. Det betyr at vi kan skrive de 8 symmetriene som Id,ρ,ρ,ρ, µ,ρµ,ρ µ,ρ µ Flere symmetrier finnes det faktisk ikke. Denne mengden av symmetrier kalles ofte for den dihedrale gruppa D 4. Vi sier gjerne at denne gruppa er generert av rotasjonen ρ og refleksjonen µ siden alle elementene kan skrives som produkter av disse to. Merk at rekkefølgen på ρ og µ er vesentlig, vi har nemlig at µρ ρ µ så µρ ρµ. Hvis vi samler alle disse opplysningene sammen kan vi skrive symmetrigruppa til kvadratet som D 4 ρ, µ ρ 4 µ Id, µρ ρ µ Den siste relasjonen betyr at dersom vi først roterer med en vinkel π og deretter speiler om x-aksen, er det det samme som å første speile om x-aksen og deretter rotere med en vinkel π π, altså en rotasjon motsatt vei. Eksempel 7... Vi kan gjøre tilsvarende som vi gjorde i ekempelet med kvadratet med en likesidet trekant T.,,, gitt ved ma- T har en rotasjonssymmetri med vinkel π trisen ρ ρ π Siden π π vil vi ha ρ Id, mens ρ gir en rotasjon med en vinkel 4π. Vi lar µ være refleksjon om y-aksen den blå aksen, gitt ved µ Da vil ρµ fiksere punktet, fordi ρµ Siden alle lineæravbildninger fikserer origo vil ρ µ fiksere linja gjennom, og origo den grønne linja. Tilsvarende vil ρ µ fiksere den røde linja. Det betyr at trekanten har symmetrier Id,ρ,ρ, µ,ρµ,ρ µ Denne mengden av symmetrier kalles ofte for den symmetriske gruppa S. Den er generert av rotasjonen ρ og refleksjonen µ siden alle elementene kan skrives som produkter av disse to. I tillegg har vi µρ Dermed kan vi skrive ρ µ S ρ, µ ρ µ Id, µρ ρ µ Notasjonen for grupper som vi har brukt i eksemplet er en standard måte å presentere grupper. Foran den vertikale midtstreken ramser vi opp generatorene til gruppa, mens til høyre for midtstreken setter vi inn et minimalt sett av relasjoner. Det betyr at elementene i S kan skrives som en eller annen sammensetting av generatorene, men hvor vi bruker relasjonene til å forenkle uttrykkene. Se f.eks. på uttrykket µ ρ 5 µ ρµ 4 Dette vil gi oss en symmetri av trekanten, men det finnes en mye enklere måte å skrive den på. For det første vet vi at ρ µ Id. Det kan vi utnytte til forenklingen: µ ρ 5 µ ρµ 4 µ ρ ρ µ µρµ ρ µρ 85

86 Disse to symmetriene har samme resultat siden f.eks. det å rotere en firkant fem ganger er det samme som å rotere to ganger. Ofte ønsker vi å samle generatorene sammen, og det kan vi også gjøre i dette tilfellet. Vi bruker relasjonen µρ ρ µ og får Det betyr at vi har ρ µρ ρ ρ µ ρµ µ ρ 5 µ ρµ 4 ρµ mens det µ Produktregelen for determinanter gir da at determinanten blir for alle symmetrier som inneholder en refleksjon, mens den er for de rene rotasjonene. Eksempel 7... Vi kan se på dette på en annen måte også. Hvis vi nummerer hjørnene på trekanten som, og så kan vi uttrykke rotasjonen ρ ved og µ ved, og hvor holdes i ro. Ser vi på uttrykket µ ρ 5 µ ρµ 4 så kan vi starte med og se hvor vi ender. Vi begynner fra høyre med 4 ganger µ, deretter en ρ, ganger µ, osv. Det gir oss og for hjørne ; Siden to hjørner ikke kan avbildes på samme hjørne betyr det at. Vi ender altså opp ned, og holdes i ro. Dette er det samme som det mye enklere uttrykket ρµ, som tar, og. Symmetriene til kvadratet og den likesidede trekanten består av rotasjoner og refleksjoner. Vi kan skille dem fra hverandre ved å se på determinanten til matrisene. I eksemplet med den likesidede trekanten har vi; detρ Et krystallmønster generert av de fire hjørnene i et kvadrat med en enhetscelle markert. Vi har allerede sett at enhetscellen har 8 symmetrier, 4 rotasjoner og 4 speilinger. I tillegg vil dette krystallmønstret ha translasjonssymmetrier. Dersom hjørnene i enhetscellen er gitt ved ±,± vil translasjonene T, og T, være symmetrier. Sammen vil de generere alle translasjonssymmetriene, gitt ved T n,m for vilkårlige hele tall m og n. Det gir oss symmetrier D 4 Z Symmetriene av enhetscellen kalles i denne sammenheng for punktsymmetrier. I det neste kapitlet skal vi lage et abstrakt rammeverk som beskriver det vi har sett på for symmetrigrupper. 7. Abstrakte grupper Vi går rett på og definerer en abstrakt gruppe. Definisjon 7... En gruppe G er en mengde utstyrt med en binær operasjon µ : G G G for enkelthet skyld skriver vi µg, h gh som oppfyller følgende betingelser: i Assossiativitet; g g g g g g, for alleg,g,g G 86

87 ii Eksistens av et enhetselement e G; eg ge g, for alleg G iii Eksistens av inverser; for alle g G så finnes et element g G slik at gg g g e. I den generelle definisjonen har vi skrevet gruppeoperasjonen som en multiplikasjon. I noen tilfeller er det mer naturlig å skrive operasjonen som en addisjon. Definisjon 7... En gruppe G sies å være abelsk oppkalt etter Niels Henrik Abel dersom for alle elementer g,h G så er gh hg. For abelske grupper skriver vi gjerne gruppeoperasjonen som g + h. Denmest berømte abelske gruppa er Z, de hele tallene med +-operasjon. Vanlig addisjon er assosiativ, enhetselementet er og inversen til et tall a er a. Men det finnes også andre enkle abelske grupper, de såkalte modulogruppene Z n med klokkeaddisjon. F.eks. har vi Z {,,,,4,5,6,7,8,9,,} hvor vi legger sammen slik vi legger sammen klokkeslett, hver gang vi kommer til begynner vi på nytt. + 4 er fortsatt 7, mens ikke er 7, men 5 7. Disse gruppene kalles også sykliske siden de er generert av ett element, f.eks. tallet ; +, + +, osv. Definisjon 7... La H G være en delmengde av en gruppe G som selv er en gruppe med den samme binære operasjonen som i G. Da sier vi at H er en undergruppe av G. Eksempel 7... Vi kan skrive opp noen eksempler på undergrupper av Z ; {,,4,6,8,} {,,6,9} er to undergrupper med henhodsvis 6 og 4 elementer. Definisjon Dersom gruppa G er en endelig mengde kaller vi antall elementer i G for ordenen til gruppa, og vi bruker notasjonen G for dette antallet. De sykliske gruppene Z n har orden n, mens Z har uendelig orden. Teorem 7..5 Lagrange. La H G være en undergruppe av en endelig gruppe G. Da vil ordenen til H dele ordenen til G. Bevis. For hvert element g G kan vi definere restklassen gh {gh h H}. Denne mengden har nøvendigvis like mange elementer som H. For to elementer g,g G har vi at enten så er g H g H eller g H g H /. Dette skyldes at dersom g g H, så kan vi skrive g g h eller gh g for en h H. Da følger det at g h gh h gh siden H er en gruppe. Restklassene deler hele G opp i delmengder med like mange elemneter i hver som det er i H. Ordenen til H må derfor gå opp i ordenen til G. I eksemplet over så vi på to undergrupper av Z. Den abelske gruppa Z har orden, og de to undergruppene hadde orden 6 og 4, som begge er tall som deler. Definisjon La G være en gruppe og g G et element. Det minste tallet d slik at g d e kalles ordenen til elementet g, og vi bruker notasjonen d g. Dersom det ikke finnes noen slik d sier vi at elementet har uendelig orden. I en abelsk gruppe hvor vi skriver operasjonen som +, vil orden til et element være det minste tallet d slik at d d hvor vi tenker på som enhetselementet i gruppa. F.eks. vil orden til elementene i Z være gitt ved Vi merker oss at alle elementer av orden nødvendigvis vil generere hele gruppa. F.eks. har vi 5+5, 5+5+5, , osv. Proposisjon La g G være et element i en endelig gruppe G. Da vil ordenen til g dele ordenen til G, Bevis. La H {e,g,g,...,g d } være undergruppa av G generert av g. Vi har g H og ved Lagranges teorem deler ordenen H ordenen til gruppa. Siden ordenen til elementet g er det samme som omrdenen til H følger resultatet. Vi ser at for gruppa Z er dette resultatet oppfyllt, alle ordenene deler. 87

88 7. Den ortogonale gruppa O Vi har tidligere studert ortogonale -matriser, men vi repeterer for orden skyld definisjonen. Definisjon 7... En -matrise A kalles ortogonal dersom A T A AA T Id. Identitetsmatrisen er opplagt ortogonal og det følger fra definisjonen at dersom A er ortogonal, så er også A A T ortogonal: A T T A T AA T T I T I Vi har også at komposisjonen av to ortogonale matriser er ortogonal: AB T AB B T A T AB B T A T AB B T IB B T B I Det betyr at de ortogonale matrisene tilfredsstiller alle kravene til å være en gruppe. Definisjon 7... Mengden av ortogonale - matriser danner en gruppe som vi kaller den ortogonale gruppa, O. Siden det finnes uendelig mange ortogonale - matriser kan det være interessant å telle antall frihetsgrader. For første søyle kan vi velge to koordinater fritt, mens den tredje vil være bestemt borsett fra at det vil være to muligheter av at søylevektoren skal ha lengde. For den neste søylen har vi en frihetsgrad færre, siden denne også skal stå normal på den første. Når de to første søylene er bestemt, så vil den siste søylen være bestemt, igjen opp til et lite antall tilfeller der vi bytter ut noen plusser og minuser. Det betyr at at vi har uendelig store frihetsgrader og en del tilfeller hvor vi kan velge fortegn. De ortogonale matrisene har som vi har sett tidligere, determinant ±. De med determinant har fått et eget navn. Definisjon 7... Delmengden av den ortogonale gruppa O som består av -matriser med determinant kalles den spesielle ortogonale gruppa, med standard notasjon SO. SO er også en gruppe, siden - Produktet av to matriser med determinant har determinant. - Inversen til en matrise med determinant har determinant. - Identitetsmatrisen har determinant. Ortogonale matriser med determinant beskriver isometrier, og det samme gjelder de med determinant -. Imidlertid vil de med determinant - vrenge et legeme. Vi kommer tilbake tildette i forbindelse med symmetrier av molekyler. Eksempel 7... Vi kan identifisere SO som symmetriene til en kuleflate. La S være kuleflaten gitt ved x + x + x, og la x,x,x S. La A SO være en ortogonal matrise med determinant. Da vil y,y,y A x x x også ha lengde, og derfor ligge på S, siden ortogonale matriser er bevarer lengder. Alle elementer i SO vil derfor være symmetrier. Enhetsvektorene i, j og k ligger alle på kuleflaten og en symmetri φ : S S må derfor avbilde dem på vektorer av lengde. I tillegg står de tre enhetsvektorene normalt på hverandre og siden symmetrier må bevare vinkler, må også bildene av dem stå normalt på hverandre. Det betyr at symmetrien φ kan uttrykkes som multiplikasjon med en matrise der søylene sår normalt på hverandre og har lengde. Når vi også tar med at en symmetri av kuleflaten må bevare orienteringen av enhetsvektorene, kommer vi fram til en hver symmetri kan representeres med et element i SO. Kuleflaten er det romlige objektet som er mest symmetrisk. Andre legemer vil normalt ha mye færre symmetrier, men som for kuleflaten kan vi oppfatte symmetrier som ortogonale matriser. Siden identiteten alltid er en symmetri, inversen til en symmetri av et legeme er en symmetri av legemet og sammensetting av to symmetrier gir en ny symmetri, så vil mengden av symmetrier til et romlig legeme alltid danne en undergruppe av SO. Vi har tidligere vist at en ortogonal -matrise A med determinant har en egenvektor v med egenverdi λ, det vil si at det finnes en vektor som fikseres av A. A uttrykker dermed en rotasjon med rotasjonsakse v. Vi skriver A ρ v,θ hvor v er rotasjonsaksen og θ er rotasjonsvinkelen. La Z α ρ e,α 88

89 være en rotasjon om z-aksen med vinkel α og Y β ρ e,β en rotasjon med en vinkel β om y-aksen. Vi skal se at vi kan skrive en vilkårlig rotasjon A ρ v,θ som et produkt av en Z α og en Y β. Vi begynner med å rotere rundt z-aksen til v ligger i xz-planet. Det er intuitivt opplagt at vi alltid kan få til det, men kan også se det analytisk: xz-planet kjennetegnes ved at y-koordinaten er. Rotasjoner om z-aksen er gitt ved matriser cosα sinα sinα cosα Hvis vi skriver v v,v,v får vi y-koordinaten til produktet Z α v gitt ved sinαv + cosαv som blir dersom vi velger α slik at sinα cosα v v og cosα dersom v. Det betyr at Z α har fraktet v til xz-planet og en rotasjon om y-aksen bringer resultatet videre til z-aksen. Det betyr at produktet antall ganger π. Husk at vi ikke kan se forskjell på en symmetri som er en rotasjon med vinkelen π og identiteten. Det viser seg, uten at vi skal gå inn på beviset her, at det kun finnes en begrenset liste av undergrupper av SO. Teorem Følgende liste gir en komplett beskrivelse av de endelige undergruppene av SO: i Endelige sykliske grupper C n for n, ii Dihedrale grupper D n for n, iii Symmetrigruppa til et tetraeder; A 4, iv Symmetrigruppa til en kube eller et oktaeder; S 4, v Symmetrigruppa til et dodekaeder eller et ikosaeder; A 5 For å illustrere teoremet kan vi se på figurer av de ulike legemene: Y β Z α tar rotasjonsaksen v til z-aksen. Vi kan fortsette med en rotasjon om z-aksen, Z θ for så å rotere z-aksen tilbake til v med Z α Y β Konklusjonen blir at en rotasjon med vinkel θ og akse v kan skrives som et produkt En 7-kantet pyramide har symmetrigruppe C 7 θ π 7. De eneste symmetriene er rotasjoner om sentralaksen. Z α Y β Z θ Y β Z α og vi har vist at SO er generert av Z α og Y β. Veldig mange legemer f.eks. molekyler kjennetegnes ved at de har kun endelig mange symmetrier. En kube terning har 4 symmetrier og et tetraeder har. Vi er derfor spesielt interessert i endelige undergrupper av O. For at en rotasjon skal ha endelig orden må vinkelen vi roterer med være et rasjonalt tall ganger π, dvs. θ nπ m, m,n Z Hvis vi antar at n og m ikke har noen felles faktorer, så vil m være det minste hele tallet slik at mθ er et helt Et 5-kantet prisme har rotasjonssymmetrier av orden 5, samt en rotasjon med vinkel π om en akse midt mellom de to 5-kantene. De to symmetriene er relatert til hverandre ved θ π µ µθ 5 π 5 der θ θ π er rotasjonen av orden 5 og µ er rotasjonen av orden. Det betyr at symmetrigruppa er den 5 dihedrale gruppa D 5 θ, µ θ 5 Id, µ Id, θ µ µθ 4 } 89

90 -. Det betyr at vi holder oss i gruppa O og at vi er interessert i endelige undergrupper. Elementene i symmetrigruppene vil være av ulike typer, eller eventuelt sammensettinger av dem. De tre typene er i Rotasjoner av endelig orden om en rotasjonsakse gjennom molekylet, Tetraederet har symmetrier generert av to rotasjoner av orden, men rundt hver sin akse. Hvis vi nummererer hjørnene i tetraederet med,, og 4, kan vi beskrive den ene rotasjonen, ρ, ved, mens 4 holdes i ro, og den andre, µ, ved 4 og holdes i ro. Både ρ og µ har orden, mens sammensettingen ρµ er gitt ved og 4 og har orden. Det samme gjelder for µρ. Setter vi α ρµ og β µρ kan vi skrive symmetrigruppa i dette tilfellet som ii Refleksjoner om et plan, iii Vrenge et molekyl, essensielt gitt ved Id, som for -matriser har determinant -. Her er noen eksempler på molekyler med ulike symmetrigrupper: ρ,α,β ρ α β Id, αρ ρβ,βρ ραβ,αβ βα Sulfur-hexafluorid, SF 6, har symmetrigruppe som en kube eller et oktaeder. En kube har 6 flater som hver er et kvadrat, noe som gir oss symmetrier. Vi har rotasjonsakser for rotasjoner av orden 4, samt 4 rotasjonsakser diagonalene for rotasjoner av orden. Hydrogenperoksyd, H O, har symmetrigruppe C. Xenon-tetrafluorid, XeF 4, med symmetrigruppe D 4. Dodekaederet består av 5-kanter og har derfor 5 6 symmetrier. 7.4 Symmetrier av molekyler Symmetrier av molekyler er stive isometrier, hvor vi inkluderer muligheten av å vrenge eller speile et molekyl, dvs. at vi aksepterer isometrier med determinant 9

91 7.5 Oppgaver med løsning Eksempel Beskriv symmetriene til svastikakorset Vi ser at tallene, 5, 7 og genererer hele gruppa, mens undergruppene er {,6} {,4,8} {,,6,9} {,,4,6,8,} 7.6 Oppgaver Løsning.. Metodevalg: Mulige symmetrier er rotasjoner og refleksjoner. Her er det bare å lete. Oppgave. Beskriv symmetriene til linjestykket L [,]. Oppgave. Beskriv symmetriene til den plane figuren. Regning: Figuren har en rotasjonssymmetri med vinkel π. Ingen refleksjoner. Eksempel a Finn alle generatorer til den sykliske gruppa Z. b Finn alle undergrupper til Z. Løsning.. Metodevalg: Generatorene til en abelsk gruppe G er et element a slik at G {,a,a,a,...,d a} hvor d er orden til gruppa. Undergrupper er delmengder av G som er lukket under addisjon.. Regning: Vi kan teste alle elementene i Z og se hva slags undergruppe de genererer. Vi skriver a for undergruppa generert av a: {} hvor de fire endepunktene har koordinater ±, og,±. Oppgave. Finn symmetriene til borden... E S E S E S E S E... Oppgave 4. Finn symmetriene til borden... A S S A S S A... Oppgave 5. Beskriv symmetriene til et rektangel med hjørner,,,,, og,. Oppgave 6. Bestem symmetriene til en likebeint trekant Z {,,4,6,8,} {,,6,9} 4 {,4,8} 5 {,5,,,8,,6,,4,9,,7} Z 6 {,6} 7 {,7,,9,4,,6,,8,,,5} Z 8 {,8,4} 9 {,9,6,} {,,8,6,4,} },,,9,8,7,6,5,4,,,} Z Oppgave 7. a Finn alle generatorer til den sykliske gruppa Z {,,}. b Finn alle undergrupper til Z. Oppgave 8. a Finn alle generatorer til den sykliske gruppa Z 8. b Finn alle undergrupper til Z 8. 9

92 Oppgave 9. a Finn alle generatorer til den sykliske gruppa Z 5. Oppgave 9. Finn alle symmetriene til Octachlorodirhenate anion,[mo Cl 8 ] 4 : b Finn alle undergrupper til Z 5. Oppgave. a Skriv opp generatorer og relasjoner for den symmetriske gruppa S. b Finn alle undergrupper til S. Oppgave. a Skriv opp generatorer og relasjoner for den dihedrale gruppa D 4. b Finn alle undergrupper til D 4. Oppgave. Finn alle symmetriene til Cobalt tetracarbonyl hydride, HCoCO 4 : Oppgave. Vis at det finnes to forskjellige grupper av orden 4. Oppgave. Vis at det kun finnes en gruppe av orden 5. Oppgave 4. Vis at det kun finnes en gruppe av orden p, når p er et primtall. Oppgave. Finn alle symmetriene til Fosforsyre, H PO 4 : Oppgave 5. Vis at det finnes tre forskjellige grupper av orden 6. Oppgave 6. Hva er ordenen til den ortogonale matrisen A Oppgave 7. La v R, og la Q v I vvt v T v være den tilsvarende Householder-matrisen. Hva er ordenen til Q v? Oppgave 8. Finn alle symmetriene til Tetrasulfurtetranitride, S 4 N 4 : 9