Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014
|
|
- Toril Amundsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier at hvis vi har en trekant ABC med sider a, b, c (a er den motsatte siden av hjørnet A, osv), så har vi at c = a + b ab cos(γ), hvor γ er vinkelen ACB. Vi skal sjekke at definisjonen vår stemmer for en vilkårlig trekant. Siden vinkler er bevart under isometrier og skaleringer, kan vi like gjerne anta at segmentet O e = (, 0) er en av sidene i trekanten. Vi kan så anta at den andre siden er y = (p, q). Da sier definisjonen vår at vinkelen mellom x og y er gitt ved ( ) cos p. p + q Vi skal regne ut sidene i trekanten 0, x, y. Vi får at, om vi velger A = (, 0), B = y og C = 0, at a = p + q, og at b = og at c = AB = x y = (p ) + q. Alt dette kan vi plugge inn i cosinus-setningen og få: V S = c = (p ) + q HS = a + b ab cos γ = p + q + ( )) p + q cos (cos p p + q = p + q + p + q p p + q = p + q + p.
2 Vi ser at venstreside er lik høyreside, så definisjone gir ihvertfall mening. Oppgave. Vis at d( x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. Vis at en funksjon m : E n E n som bevarer avstand nødvendigvis er injektiv. Altså holder det å kreve at en isometri er surjektiv. Løsning. Husk at avstanden mellom to vektorer x og y er definert som d( x, y) def = n (x i y i ). Her er altså x = (x,, x n ) og y = (y,, y n ). Så anta først at x = y. Det betyr at x i = y i for i =,, n. Så hvert ledd i summen er null, så summen er null, så kvadratroten er null, så d( x, y) = 0. Dette var ene retningen av implikasjonen. Andre retningen. Anta så at d( x, y) = 0. Vi skal vise at da må x = y. Hvis d( x, y) = 0, betyr det at i= n (x i y i ) = 0, i= siden vi alltid kan kvadrere begge sidene. Men x i, y i er relle tall, og kvadrater er alltid positive, så hvert ledd er 0. Det betyr at hvis ett ledd var positivt, ville summen også vært positiv. Vi konkluderer med at da må alle (x i y i ) = 0. Men dette betyr at x i = y i for alle i, så x = y. Oppgave. Vis at mengden av symmetrier av en delmengde F E n er en undergruppe av Isom n. Løsning. La oss første minne oss på noen definisjoner: Definition 0.. En gruppe er en mengde G sammen med en multiplikasjon (altså en funksjon som tar par av elementer fra G og produserer et nytt). Vi dropper stort sett og skriver gh i stedet for g h. Denne multiplikasjonen skal tilfredsstille følgende regler:. Assosiativitet: (gh)k = g(hk).. Identitetselement: Det skal finnes et nøytralt element, som vi kaller e. Denne tilfredsstiller for alle g G: eg = ge = g.
3 . Inverser: For hver g skal det finnes en invers. Det vil si et element g G slik at g g = gg = e. Eksempler på grupper: Heltallene, Z hvor multiplikasjonen er vanlig addisjon. De rasjonale tallene Q, hvor multiplikasjonen er vanlig multiplikasjon. Mengden av invertible n n-matriser. Dette er ekvivalent med å kreve at det M 0. Denne mengden kalles også GL n (R). Mengden av isometrier av E n = R n. En undergruppe H av en gruppe G er en delmengde av G slik at: Mengden er lukket under gruppeoperasjonen. Det vil si: hvis h, k H, så er også hk H. H skal inneholde identitetselementet, altså e H. H skal inneholde alle sine inverser. Det vil si, hvis h H, så skal også h H. Eksempler på undergrupper: La G = (Z, +). Da kan vi la H = {n n Z}. H består altså av alle multipler av to. Det er lett å se at summen av to partall er partall. I tillegg er 0 H, så H er en undergruppe av G. La G = GL n (R), altså mengden av invertible n n-matriser. La H = {M GL n (R) det M = }. H er altså mengden av invertible matriser med determinant. Det er lett å se at det er en undergruppe: hvis to matriser M, N har determinant, så har også MN determinant siden det(mn) = det M det N. I tillegg er I n H. La G = Isom n, mengden av isometrier av R n, og la H = {t a a R n }. H er altså mengden av translasjoner. Disse er alle isometrier (å flytte rundt på en ting endrer ikke avstand). Sammensetningen av to translasjoner er en translasjon: t a t b ( x) = t a ( x + b) = x + b + a = t a+ b ( x), så t a t b = t a+ b. I tillegg er t 0 = id, så identitetselementet er med i H. Så H er en (viktig) undergruppe av Isom n.
4 Husk at Isom n var mengden av avstandsbevarende bijeksjoner m : R n R n. Dette er en gruppe hvor multiplikasjonen er å sette sammen funksjoner. Hvis m, n er to avstandsbevarende bijeksjoner, så er mn gitt ved mn(x) def = m(n(x)). Nå kan vi begynne på selve oppgaven. La nå H := {m Isom n m(h) = H}. Først sjekker vi at hvis m, n H, så er også mn H. Men dette er lett: mn(h) = m(n(h)) n H = m(h) m H = H. At id H er også åpenbart. Identitetselementet flytter ingenting, så da flytter det heller ikke H, så id(h) = H. Så må vi vise at inverser er med i H. La m H. Vi vil vise at m (H) = H, altså at hvis h H, så er m (h) H. Vi må også vise andre veien, nemlig at hvis h H, så finnes h H med m (h ) = h. Men dette er det samme å si at hvis h H, så finnes h H med m(h) = h. Men dette er det samme som inklusjonen m(h) H, som vi allerede vet stemmer. Det var andre retningen. For den første, så må vi vise at hvis h H, så er m (h) H. Men dette er det samme å si at hvis h H, så er h m(h), men dette er det samme som inklusjonen H m(h). Vi konkluderer med at m (H) = H. Så H er en undergruppe. Oppgave 4. Trekanten med hjørner ( ) ( ) (0, ),,,, er likesidet med senter i (0, 0) (sjekk dette!). Skriv opp elementene i symmetrigruppen som ortogonale matriser. Gjør det samme for kvadratet med hjørner (, ), (, ), (, ), (, ). Løsning 4. Første punkt er selvsagt å tegne trekanten. Gjør dette. En likesidet trekanten har 6 symmetrier, og symmetrigruppen kalles ofte for D (noen kaller den for D 6 ). Vi har for det første identitetselementet. I tillegg kan vi speile trekanten om en linje fra hvert hjørne til midtpunktet på den motsatte siden (altså symmetrien som bevarer ett hjørne, men bytter om på to andre). Og vi kan rotere 0 mot venstre. Dette gir til sammen seks symmetrier, og oppgaven er å skrive opp matrisene til dem. 4
5 Vi begynner med rotasjonen. Husk at en rotasjonsmatrise R θ med vinkel θ kan skrives som R θ = cos θ sin θ. sin θ cos θ Her er θ = π, og for dem som kan sin trigonometri, ser vi da at R =. Vi regner da ut R, ved enten å bruke samme formel med vinkel θ = 4π, eller bare med å gange R med seg selv. I tillegg har vi en refleksjon S, som fikserer (0, ), men som bytter om de to andre punktene. Dette er bare å fiksere y-aksen og å sende e til e. Denne har matrise: 0. 0 Så langt har vi funnet 4 elementer. Vi får de to andre ved å regne ut SR og SR. Til sammmen får vi I = 0 R = 0 R = S = 0 0 SR = SR =. Dette er alle elementene i symmetrigruppen til trekanten. Vi kan sjekke at R = I og at RSR = S. Disse to relasjonene er nok til å beskrive gruppen helt. Vi sier at vi R, S R = I, RSR = S er en presentasjon av gruppen. Å finne symmetrigruppa til firkanten er litt enklere. Igjen består den av rotasjoner og speilinger, men nå er rotasjonene enklere å skrive opp. Den består av fire rotasjoner. Den første på 90. I tillegg har vi speilinger fra to av hjørnene (som fikserer motstående hjørner, men bytter om på de to andre), 5
6 og vi kan speile langs enten y-aksen eller x-aksen. Dette gir til sammen 8 symmetrier. Rotasjonene blir da: 0, 0, 0, Siden vi vet fra neste oppgave at D 4 er generert av rotasjoner og en vilkårlig speiling, holder det å skrive opp matrisen til én speiling, og så gange denne med hver av rotasjonene for å få alle elementene. Én speiling, er å reflektere gjennom y-aksen, og da kan vi bruke S som i forrige del av oppgaven. Nå må man bare regne ut SR, SR, SR, og så har vi alle elementene i gruppen. Oppgave 5. Vis at D n er generert av to elementer: én rotasjon på π n vilkårlig speiling. og en Løsning 5. Husk at D n er symmetrigruppen til en regulær n-kant. En symmetri må sende hjørner til hjørner. Kall hjørnene for v,, v n, skrevet i rekkefølge mot klokka. En symmetri kan ikke bytte om på den innbyrdes rekkefølgen på hjørnene, så betrakt v, v. La s være speilingen som fikserer v, men bytter om v og v n (og så videre). La m være en symmetri av n-kanten. Da vil v sendes til v k og v sendes til enten v k+ eller v k. Om det første skjer, må m være en rotasjon på πk m. Om det andre skjer, betrakt sm, sammensetningen av s og m. Nå vil v først sendes til v k og så til v k+ (her er indeksen modulo n). Og v sendes først til v k og så til v k++ = v k+. Så sm sender v, v til noe i samme rekkefølge, så dette må være en rotasjon, for eksempel r k+. Dermed er sm = r k+, så m = s r k+ = sr k+. Så m er sammensetningen av en speiling og en rotasjon. Vi konkluderer med at alle elementer i D n kan skrives som en sammensetning av en rotasjon og en speiling. Oppgave 6. Alle isometrier av planet R kan skrives på formen t a ρ θ eller t a ρ θ s, hvor s er en speiling. Skriv ρ θ t a, st a, sρ θ på en slik form. Løsning 6. Her holder det å skrive ut hva de forskjellige transformasjonene faktisk gjør. Vi starter med den første. La x R. ρ θ t a ( x) = ρ θ ( x + a) = ρ θ ( x) + ρ θ ( a) = t ρθ ( a)(ρ θ (x)) = t ρθ ( a)ρ θ (x). 6
7 Vi konkluderer med at ρ θ t a = t ρθ ( a)ρ θ. Hva skjer så med st a?. Siden s setter andrekoordinaten til vektorer til sitt negative, skriv a = (a, a ) T og x = (x, x ) T. Da er: st a (x) = s( x + a) = s( x) + s( a) = t s a (s( x)) = t s a s( x) = t s a ρ 0 s( x). Vi konkluderer med at st a = t s a ρ 0 s, hvor ρ 0 er å rotere null grader. Den siste er litt verre. Her hjelper det å tegne en tegning (gjør det!). Man burde da være i stand til å se at en speiling sender en vinkel θ til den negative vinkelen θ. Da kan man se at sρ θ (x) = ρ θ s(x), så vi konkluderer med at sρ θ = ρ θ s = t 0 ρ θs. 7
Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. september 2014
Oppgaver MAT2500 Fredrik Meyer 29. september 2014 Oppgave 1. La K være et tredimensjonalt konvekst polyeder. La K være mengden av hjørner, K mengden av kanter, og F K mengden av sideflater. To 3-dimensjonale
DetaljerOppgaver MAT2500 høst 2011
Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 9
MAT1100 - Grublegruppen Notat 9 Jørgen O. Lye Gruppeteori Oppvarmingseksempel La oss som vanlig ta en historisk vinkling. En klassisk måte grupper (som jeg straks skal denere) oppstod er gjennom å lete
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014
Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
Detaljer5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =
til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin
Detaljer=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
DetaljerVi viser denne ekvivalensen ved å vise begge implikasjoner. " "Anta at G virker trofast på X og anta at g, h G er slik at gx = hx for alle
TMA4150 Algebra Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Seksjon 16 2 Fasit: G 1 = {ρ 0, δ 2 } = G 3 = G P1 = G P3 G S1 = {ρ 0, µ 1 } = G S3 G m1 = {ρ 0, ρ 2, µ 1, µ
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
Detaljer5.7 Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt 5.7
til oppgaver i avsnitt 57 57 til oppgaver i avsnitt 57 Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri De er som regel enkle å løse Her
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
DetaljerOPPGAVER FOR FORUM
OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerTessellering og mangekanter:
Tessellering og mangekanter: 1. Hva menes med et tessellering? 2. Hva mener vi når vi sier at en figur tessellerer? 3. Hva er en mangekant? 4. Hva menes en regulær mangekant? 5. Regulære mangekanter kan
DetaljerMA2201/TMA4150 Vår 2018
MA2201/TMA4150 Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Seksjon 14 34 La G = n < og la H G være eneste undergruppe av G av orden m.
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 11
MAT1100 - Grublegruppen Notat 11 Jørgen O. Lye Matrisegrupper Den store gruppen vi skal se på er GL(n, K) = {inverterbare n n matriser med koesienter i K} Forkortelsen står for den generelle lineære gruppen
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerEksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005
Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og
DetaljerJulenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)
Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig
DetaljerGeometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015
Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerForelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling
Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn
DetaljerGeometri - MAT 2500. 1 Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012
Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 10. august 2012 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring
DetaljerInstitutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Oppgave 1
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Oppgave 1 Bokmål Gitt et linjestykke.
DetaljerEt kvadrats symmetrier en motivasjon
Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerEksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.
Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 10
MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Fjerde samling Runar Ile 1 Kroppsutvidelser og geometriske konstruksjoner 1.1 Hva har kroppsutvidelser med geometriproblemer å gjøre? Avsnitt 29: Kroppsutvidelser Stoff: Utvidelseskropper
DetaljerGeometri i rommet. Kapittel Vektorer i R 3. Lengden av v er gitt ved
Kaittel 5 Geometri i rommet I dette kaitlet skal vi konsentrere oss om isometrier i R. Det er stort sammenfall mellom teoriene i og dimensjoner, og mange av resultatene fra forrige kaittel er gyldig også
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri
QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi
DetaljerEksamen MA-104 Geometri, 22. mai 2006
Eksamen M-0 Geometri,. mai 006 Oppgave På svarark er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står
DetaljerGruppeteori. Kapittel Symmetrigrupper
Kaittel 7 Grueteori Grueteori handler om å studere gruer, det vil si mengder med en velidg sesifikk, men likevel enkel, struktur. Den mest sentrale delen av definisjonen av en grue er en binær oerasjon.
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerGeoGebraøvelser i geometri
GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 3. oktober 2014 AD BC + BD CA + CD AB = 0.
Oppgaver MT2500 Fredrik Meyer 3. oktober 2014 Oppgave 1. Vis at om,,, er kollineære, så er + + = 0. Løsning 1. Her mener vi altså med fortegnslengden til segmentet. For å gi en verdi til (etc.) må man
DetaljerEksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerKapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?
Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerGrupper de første egenskaper
Grupper de første egenskaper Definisjonen av en gruppe Da vi studerte symmetriene til et kvadrat, så vi at det var enkelte karakteristiske trekk ved symmetrier; De kunne settes sammen og de kunne inverteres.
DetaljerGENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type
Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.
DetaljerFASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009
FASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Avbildninger og symmetri. Caspar forlag, 2. utgave, 2009 Versjon 07.01.2011. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert
DetaljerGEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.
GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg
DetaljerNotat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerMA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerDirekte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).
Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker
DetaljerTangens, sinus og cosinus Arealformel for trekanter Trigonometri
Fasit Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger.....mangekanter og sirkler... 5.3 Formlikhet... 7.4 Pytagoras setning... 8.5 Areal... 9.6 Trigonometri 1... 10 Tangens, sinus og cosinus... 11 Arealformel
DetaljerEn gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill. Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017
En gruppeteoretisk analyse av vri- og flyttespill Alexander Lorenzo Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn som en del av programspesialiseringen Matematikk under Lektorprogrammet
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerNotasjon i rettingen:
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Dagfinn F. Vatne 901 38 621 EKSAMEN I ALGEBRA OG TALLTEORI (TMA4150) Bokmål Tillatte
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2015 2016. Finale 1. mars 2016 Oppgave 1. Fargelegg et 2016 1010-rutenett som et sjakkbrett, med rute (i, j) hvit når i + j er et partall og svart når i + j er et
DetaljerTDT4195 Bildeteknikk
TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til
DetaljerGeometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.
Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerLitt GRUPPETEORI for Fys4170
Litt GRUPPETEORI for Fys4170 GRUPPER: Ei gruppe G = {g i } er ei samling element med disse egenskapene: * multiplikasjon slik at g i g j G ; * et enhetselement g 0 = 1 slik at g i g 0 = g 0 g i = g i ;
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG GEOMETRI
INNHOLD GEOMETRI... 3 LINJE, STRÅLE OG LINJESTYKKE... 3 VINKEL... 3 STUMP, SPISS OG RETT VINKEL... 3 TOPPVINKLER... 4 NABOVINKLER... 4 SAMSVARENDE VINKLER... 4 OPPREISE EN NORMAL FRA ET PUNKT PÅ EN LINJE...
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 8.1 5 Vi skal vise følgende: hvis γ 1 = C(O 1, r 1 ) og γ 2 = C(O 2, r 2 ) er to sirkler som skjærer
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015
sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2
DetaljerOblig 1 - MAT2400. Fredrik Meyer
Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Påstand 1 a). Z 5 har fire generatorer og AutZ 5 ) Z 4 Bevis. Hvert ikke-null-element i Z 5 genererer en undergruppe. Siden 5 er et primtall, må denne undergruppen
Detaljer2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerForelesningsnotater MAT2500 høst 2010
Forelesningsnotater MAT2500 høst 2010 Jan Christophersen 30. november 2010 Disse notatene er en supplement til læreboken Coxeter: Introduction to Geometry. De gir en alternative framstilling av og bevis
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerRF5100 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen
RF5 Lineær algebra Løsningsforslag til prøveeksamen NITH 6. desember Oppgave (a) Jeg skal løse et system av tre ligninger med tre ukjente. Dette gjør jeg ved å utføre radoperasjoner på matrisen tilhørende
DetaljerGeometri i planet. Kapittel Geometrisk tolkning av lineære avbildninger
Kaittel 4 Geometri i lanet I dette og det neste kaitlet skal vi studere vektorrom i og dimensjoner, dvs. R og R. Vi har valgt å kalle kaitlene geometri i lan eller rom fordi vi i utgangsanktet skal bruke
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerEgenskaper til relasjoner på en mengde A.
Egenskaper til relasjoner på en mengde A. Refleksivitet Relasjonen er refleksiv hvis (a, a) R for alle a A. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er refleksiv hvis alle punktene i grafen har en sløyfe. 2)
DetaljerTest, 2 Geometri. 2.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger. 1T, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen
Test, Geometri Innhold.1 Grunnleggende begreper og sammenhenger... 1. Mangekanter og sirkler... 6.3 Formlikhet... 10.4 Pytagoras setning... 16.5 Areal... 1.6 Trigonometri 1... 7.7 Trigonometri... 35 Grete
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
DetaljerFørst litt repetisjon
Først litt repetisjon En relasjon er en mengde av verdipar, der første koordinaten a er fra mengden A og andrekoordinaten b er fra mengden B. Verdiparet beskriver en forbindelse (en relasjon) fra a til
Detaljer1 Geometri R2 Løsninger
1 Geometri R Løsninger Innhold 1.1 Vektorer... 1. Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 9 1.4 Vektorprodukt... 35 1.5 Linjer i rommet... 46 1.6 Plan i rommet... 55 1.7 Kuleflater...
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2008
Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerNoen løsningsforslag/fasitsvar
Kapittel 8 Noen løsningsforslag/fasitsvar Etter ønske fra kursdeltagerne suppleres heftet med fasit for noen av oppgavene. Der det er aktuelt, gir vi også mer utfyllende forslag til hvordan oppgaven kan
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 5.6 5 La ABC være en trekant, og la m A,m B og m C være midtnormalene på de
Detaljer