Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 10. september 2014"

Transkript

1 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 0. september 04 Oppgave. Bruk forrige oppgave ti å vise at hvis m er orienteringsreverserende, så er m en transasjon. (merk: forrige oppgave sa at ae isometrier er på formen t a ρ θ eer t a ρ θ s. Løsning. Først, egg merke ti at isometrier på den første formen er orienteringsbevarende (verken rotasjoner eer transasjoner endrer orientering. Så m må kunne skrives som m = t a ρ θ s. Vi viste også at Dermed er m = (t a ρ θ s(t a ρ θ s = t a ρ θ st a ρ θ s = t a sρ θ t a ρ θ s = t a sρ θ ρ θ t ρ θ ( as = t a st ρ θ ( as = t a t sρ θ ( as = t a+sρ θ ( a Litt forkaring. Første ikhet er bare å fjerne parenteser. I (* bruker vi, som vi ærte i forrige oppgave, at ρ θ s = sρ θ. I (** bruker vi at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a. I (*** bruker vi at ρ θ ρ θ = id, og i (**** bruker vi at t b s = st s( b. Ti sutt bruker vi at s = id. Vi står igjen med noe som bare er en transasjon. Oppgave. Gi en begrunnese for hver ikhet i utregningen ti sutt i beviset for Setning.4.

2 Løsning. Det vi har yst å vise er at t a s = t w s. La oss huske hva ae disse bokstavene betyr. Tidigere i beviset be det vist at en orienteringsreverserende isometri kan skrives på formen m = t a s, hvor s er en speiing om en inje. Her hjeper det vedig å tegne en tegning. La være injen utspent av vektoren v. Siden R er -dimensjona, er { v, v } en basis for R. Så vi kan skrive a = ( a v v + ( a v v def. La w = def ( a v v og w = ( a v v. La være inja { w + λ v λ R}. w a w v Se på iustrasjonen over. Den første påstanden i beviset er at s = t w s t w. I ord sier dette at å speie gjennom inja er det samme som først å fytte hee panet ned med vektoren w (sik at bir sendt på, refektere, og så transatere opp igjen. La { w, w } være standardbasis for R. Da er det ikke så gærnt å se fra tegningen at s er gitt som ( ( ( x x 0 +. x x

3 Men dette kan vi skrive om ti ( ( ( ( x x x x ( x 0 = s ( + s ( ( x ( x = s ( x ( 0 = t w s t w ( x. + ( 0 ( 0 + Så vi konkuderer med at s = t w s t w. Neste ikhet i beviset er s t w = t s. Husk at w er ortogona på, så å speie i vi sende w på w. Dermed har vi at s t w ( x = s ( x w = s ( x + w = t w s ( x. Her brukte vi at siden s sender origo på origo, så er s ineær. Siste ikheten i beviset er at t w t w t w = t a. Dette er åpenbart siden atid t a t b = t a+ b og a = w + w. Oppgave 3. Anta m er en isometri av panet som tar en inje på seg sev, m( =, og at m er en transasjon med en vektor a. Gi et geometrisk argument for at m enten er en speiing, en gidespeiing eer transasjonen t a. Løsning 3. For det første: a m være mt a. Da bir m = id, siden det ikke er noen transasjon angs injen enger. Så probemet bir nå: gitt at vi ska hode en he inje fast, hvordan kan vi da fytte rundt på panet? Vi vet at ae isometrier av panet enten er transasjoner, rotasjoner, speiinger eer gidespeiinger. m kan ikke være en transasjon, siden transasjoner ikke har fikspunkter, og m fikserer origo. m kan heer ikke være en rotasjon, siden den ska fiksere inja (det kunne muigens ha vært en rotasjon på 80, men da vie ikke m = id. m kan heer ikke være en gidespeiing, siden gidespeiinger ikke har fikspunkter. Vi konkuderer med at eneste muighet er at m er enten en speiing om inja eer identiteten. Med andre ord: siden m = mt a, er m = m t a. m = s eer id, så m er ik st a eer t a. Siden a enten er 0 eer en vektor parae med, er m ik enten identiteten, en speiing, eer en gidespeiing. Oppgave 4. Bruk Setning.4 ti å vise at sammensetningen av to rotasjoner om to forskjeige punkter er enten en rotasjon om et tredje punkt eer en transasjon. Når er det en transasjon? 3

4 Løsning 4. Å rotere om et punkt P er det samme som å først transatere P ti origo, rotere om origo, og så transatere tibake ti P. Dermed har vi at en rotasjon med θ grader om P, og så en rotasjon med θ grader om Q kan skrives som t P ρ θ t P t Q ρ θ t Q. Ved å gjentatte ganger bruke at t a ρ θ = ρ θ t ρ θ ( a, kan dette forenkes ti føgende uttrykk: t P ρθ (P +ρ θ (Q ρ θ+θ (Qρ θ+θ. Dette er en rotasjon hvis og bare hvis θ + θ 0 (mod π. Oppgave 5. Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om ikke paraee injer? Hva sags isometri er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Løsning 5. Første tifeet er enkest. For det første: setter vi sammen to orienteringsreverserende isometrier er resutatet orienteringsbevarende. I tiegg har sammensetningen et fikspunkt: de to injene møtes i ett punkt, og dette bir da et fikspunkt for speiingen. Vi vet fra tidigere at en orienteringsbevarende isometri med et fikspunkt er en rotasjon. Men vi kan si mer! Nå vet vi at sammensetningen er en rotasjon om et punkt, som vi ikegodt kan anta er origo, atså kan vi skrive den som ρ θ for en eer annen θ. Tegner vi en tegning som under ser vi da at dette bir en rotasjon med vinke dobbete av vinkeen meom injene. For å finne hviken s (X θ X vinke vi roterer med, er det nok å se hvor mye ett enket punkt bir rotert. Veg da dette punktet ti å igge på. Da ser vi at origo (der vinkeen θ igger er toppen i en ikebeint trekant med punktet X og s (X som hjørner. Siden deer trekanten i to, må vinkeen være θ. Ti sutt: hva er sammensetningen av to speiinger om paraee injer? Ka injene og. De igger da over hverandre i en avstand a. Vi kan anta 4

5 at den nederste injen er x-aksen. Da bir også s ( a = a. Legg merke ti at om er "øverst", så er s = t a s t a. Dermed er ss = st a st a = s t s( a t a = t s( a a = t a. Vi konkuderer med at en sammensetning av to speiinger er det samme som å transatere med en avstand det dobbete av avstanden meom injene. Oppgave 6. La være injen gjennom origo med retningsvektor (a, b (b > 0. Skriv standardmatrisen ti speiingen s. Løsning 6. Vi tar først for oss tifeet når er x-aksen. I det tifeet er bare speiingen gitt ved S = 0. 0 Så strategien bir å først rotere injen sik at den sammenfaer med x-aksen, og så bruke S, og så rotere tibake ti. Det er ett å se at matrisen M θ = a b. a + b b a tar x-aksen på injen, er ortogona og har determinant. Dermed er M θ en rotasjonsmatrise. Det er også greit å se at M θ = M θ = a b. a + b b a Vi regner dermed ut at speiingen gjennom injen er gitt ved M θ SM θ = a b ab a + b. ab b a PS: Om en sår opp på Wikipedia ser en at en forme for en sik speiing er gitt ved v x x v x, v v der v = (a, b. Men ved å se hva som skjer med enhetsvektorer er det ett å se at dette faktisk er samme forme. 5

6 Oppgave 7. Beskriv symmetrigruppene ti: a En ikebeint trekant. b En ikesidet trekant. c En parabe. d Et paraeogram. e En rombe. f Et rektange. g En eipse. Løsning 7. a En ikebeint trekant: Vi antar trekanten er ikebeint, men ikke side ikesidet. En sik trekant har bare to symmetrier: som atid identiteten, og speiing gjennom en høyde. b En ikesidet trekant: En ikesidet trekant er den trekanten med fest symmetrier. Vi kan rotere 0, og vi kan refektere om hvert hjørne. Ti sammen får vi seks symmetrier, den fue trekantgruppen D 3. c En parabe: En parabe har heer ikke mange symmetrier. I det enkeste tifeet er den gitt som y = x, og da ser vi at x x er en symmetri, som svarer ti speiing om y-aksen. Dette er da også den eneste symmetrien, og dette gjeder generet (ae paraber kan ved hjep av et koordinatskifte skrives om ti noe på formen y = x. d Et paraeogram: Vi antar paraeogrammet ikke er en rombe (det vi si, siden er av forskjeig engde. Vi kan også anta at vi ikke har et rektange. Men da er det ett å se at et paraeogram ikke har noen symmetrier. e En rombe: En rombe er et paraeogram hvor siden er ike ange. I dette tifeet er speiing ov: veg et hjørne, og spei gjennom injen som går gjennom to hjørner. Dette gir ti sammen fire symmetrier: identiteten, speiing i to nabohjørner hjørner, og sammensetningen av disse. f Et rektange: Hvis rektangeet ikke er et kvadrat, er det bare speiinger vi kan gjøre. Så svaret bir akkurat det samme som med romben. 6

7 g En eipse: En eipse har fire symmetrier, akkurat som rektangeet og romben. Grunnen ti dette er at ae tre har to symmetriakser. 7

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger

Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 2007 Løsninger Eksamen FY8104 Symmetri i fysikken Fredag 7. desember 007 Løsninger 1a En konjugasjonskasse i SO(3 består av ae rotasjoner med en gitt rotasjonsvinke α og vikårig rotasjonsakse. En konjugasjonskasse i

Detaljer

3.9 Symmetri GEOMETRI

3.9 Symmetri GEOMETRI rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse)

MEK Stabilitet og knekning av konstruksjoner. Høst Prosjektoppgave: Forslag til løsning (skisse) EK 50 tabiitet og knekning a konstruksjoner Høst 005 Prosjektoppgae: Forsag ti øsning (skisse). Hayman 0..005 - - Innedning Dette er kun en skisse ikke en fustendig rapport. Inndeingen i asnitt er bare

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag / fasit

Kortfattet løsningsforslag / fasit Kortfattet øsningsforsag / fasit Konteeksamen i FYS-MEK 1110 - Mekanikk / FYS-MEF 1110 - Mekanikk for MEF / FY-ME 100 Eksamensdag torsdag 18. august 005 (Versjon 19. august k 0840. En fei i øsningen av

Detaljer

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske.

Permanentmagneter - av stål med konstant magnetisme. Elektromagneter- består av en spole som må tilkoples en spenning for å bli magnetiske. 1 5.1 GEERELL MAGETSME - MAGETFELT Det skies meom to typer magnetisme: Permanentmagneter - av stå med konstant magnetisme. Eektromagneter- består av en spoe som må tikopes en spenning for å bi magnetiske.

Detaljer

Oppgave 1: Blanda drops

Oppgave 1: Blanda drops Fysikkprøve-0402-f.nb Oppgave : Banda drops a) En avgrenset mengde oksygen-gass HO 2 L ar temperaturen T = 300 K, trykket p = 0 kpa og voum V =0,00 m 3. Beregn massen ti den avgrensede gassen. Vi bruker

Detaljer

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene,

12.4 HORISONTALE SKIVER Virkemåte Generelt Vindlastene i skivebygg overføres fra ytterveggene til dekkekonstruksjonene, 112 B12 SKIVESYSTEM Oppsummering av punkt 12.3 Enke, reguære bygg kan håndregnes etter former som er utedet. Føgende betingeser må være oppfyt. - Ae vertikae avstivende deer må ha hovedaksene i - og y-retning

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 7 juni 016 Tid for eksamen: 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedegg: Formeark Tiatte

Detaljer

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering

DTL og universell utforming ikke godta diskriminering DISKRIMINERINGS- OG TILGJENGELIGHETSLOVEN UNIVERSELL UTFORMING ikke godta diskriminering DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL og universe utforming ikke godta diskriminering 1 DTL

Detaljer

Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon

Kjeglesnitt Harald Hanche-Olsen Versjon Kjegesnitt Hrd Hnche-Osen hnche@mth.ntnu.no Versjon 1.0 2013-01-25 Definisjon og grunneggende egenskper Et kjegesnitt er en pn kurve gitt v en styreinje, et brennpunkt B og et positivt t ε som vi ker eksentrisiteten

Detaljer

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig

Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftlig Innedning 1 Viktigheten av å kunne uttrykke seg skriftig Sik bir du bedre ti å skrive Det å skrive en oppgave er utfordrende og meningsfut. Når du skriver, egger du a din reevante kunnskap og forståese

Detaljer

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma).

Hall effekt. 3. Mål sammenhørende verdier mellom magnetfeltet og Hall-spenningen for to ulike kontrollstrømmer (I = 25 og 50 ma). FY1303 Eektrisitet og magnetisme nstitutt for fysikk, NTNU FY1303 Eektrisitet og magnetisme, høst 007 Laboratorieøvese 1 a effekt ensikt ensikten med øvesen er å gjøre seg kjent med a-effekten og måe denne

Detaljer

Musikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010

Musikkens fysikk. Johannes Skaar, NTNU. 9. januar 2010 Musikkens fysikk Johannes Skaar, NTNU 9. januar 2010 I aboppgavene i TFE40 Eektromagnetisme ager du en eektrisk gitar, der den vibrerende strengen setter i gang vibrasjoner på en magnet, som videre induserer

Detaljer

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005

Eksamen i MA-104 Geometri 27. mai 2005 Eksamen i M-0 Geometri 7 mai 00 Oppgave Gitt en firkant med hjørner :(,0), :(7,), :(,) og :(,) enne firkanten er motivet i en symmetrisk figur a) Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og

Detaljer

«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og følge med» Andreas, 6 år

«Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og følge med» Andreas, 6 år «Hvis noen er redde er det viktig å høre hva de har å si og føge med» Andreas, 6 år Meninger og tanker fra «Zippy-barn» om hva som er viktig for å ha det bra Utgiver: Voksne for Barn Redaksjonskomite:

Detaljer

forslag til lov om ikraftsetting av ny straffelov

forslag til lov om ikraftsetting av ny straffelov POLITIET Poitidirektortet Postboks 8051 Dep 0031 O so Vår refer(11ue 201404859 Dato 16.09.2014 H øring - forsag ti ov om ikraftsetting av ny straffeov Vi viser ti departementets høringsbrev 17. juni d.å.,

Detaljer

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT)

Papirprototyping. Opplegg for dagen. Hva er en prototyp (PT) Papirprototyping Oppegg for dagen 09:30-10:00: Om papirprototyping 10:00-10:15: Diskuter probemstiing 10:30-11:30: Lag PapirPT og tistandsdiagram for bruk i testen 12:00-13:30: Test PapirPT på andre (vi

Detaljer

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier

JEMISI(-TEKNISKE FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT BERGEN. Analyser av fett og tørrstoff Sammenlikning av analyseresultater ved 7 laboratorier FISKERIDIRE TORATETS FORSKNINGSINSTITUTT JEMISI(-TEKNISKE Anayser av fett og tørrstoff Sammenikning av anayseresutater ved 7 aboratorier ved Kåre Bakken og Gunnar Tertnes R.nr. 135/74 A. h. 44 BERGEN Anayser

Detaljer

fjorder på Vestlandet. av Kaare R. Gundersen

fjorder på Vestlandet. av Kaare R. Gundersen 1 fjorder på Vestandet 1961-1962 av Kaare R. Gundersen FISKERIDIREKTORATETS HAVI ORSKNINGSINSTITUTT De merkemetoder som be uteksperimentert for brising i 1958 og 1959 (Gundersen 1959, 1960) er kommet ti

Detaljer

Undersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk

Undersøkelse blant ungdom 15-24 år, april 2011 Solingsvaner og solariumsbruk Undersøkese bant ungdom 15-24 år, apri 2011 Soingsvaner og soariumsbruk Innedning Kreftforeningen har som ett av tre hovedmå å bidra ti at færre får kreft. De feste hudkrefttifeer (føfekkreft og annen

Detaljer

Sammen kan vi gjøre en forskjell. Her er inspirasjon som kan hjelpe deg med å komme igang!

Sammen kan vi gjøre en forskjell. Her er inspirasjon som kan hjelpe deg med å komme igang! Sammen kan vi gjøre en forskje. Her er inspirasjon som kan hjepe deg med å komme igang! HVA ER NICKELODEON S TOGETHER FOR GOOD? HVA ER PLAN INTERNATIONAL? Nickeodeon tror på at mennesker kan sammen gjøre

Detaljer

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = =

5.5.1 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger. Løsningsforslag + + = = til oppgavene i avsnitt 55 til oppgaver i avsnitt 55 551 Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger cos( u + v) sin( u + v) cosu sin u u+ v u = sin( u v) cos( u v) sin

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematisk-naturvitenskapeige fakutet Eksamen i: FYS140 Kvantefysikk Eksamensdag: 10. juni Tid for eksamen: 09.00 (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedegg: Ingen

Detaljer

16x H~~~ s=~ - ~?( fts- 2Ø9. N v-: {ps--l 'l 16- f8i. - fk&e 9-~. (ptj X. ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f. ~r Ttrt~ ' (?~ x \ \ ..' 50 - (;; tf - \ {~.

16x H~~~ s=~ - ~?( fts- 2Ø9. N v-: {ps--l 'l 16- f8i. - fk&e 9-~. (ptj X. ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f. ~r Ttrt~ ' (?~ x \ \ ..' 50 - (;; tf - \ {~. - \ {~. j, H~~~ Ko ~r Ttrt~ ' N v-: \ \ 16x..' 50 - (;; tf $O 70 x X i j i {ps-- ' 16- f8i s=~ - ~?( fts- 2Ø9 ~ 2ø;( UJJS : - Å-~ G-f (?~ x - fk&e 9-~. (ptj X DIREKTIV TIL DS Ved denne sendinga føger en

Detaljer

Økonomistyring for folkevalgte. Dan Lorentzen seniorrådgiver

Økonomistyring for folkevalgte. Dan Lorentzen seniorrådgiver Økonomistyring for fokevagte Dan Lorentzen seniorrådgiver Hva er økonomistyring????? Forbedre Panegge Kontroere Gjennomføre Økonomistyring Bevigningsstyring God økonomistyring = Gode hodninger Roeavkaring

Detaljer

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon

en forutsetning for god dyrevelferd og trygg matproduksjon TEMA: DYREHELSE REINE DYR en forutsetning for god dyreveferd og trygg matproduksjon Triveige dyr er reine og vestete. Hud og hårager er viktig i forsvaret mot skader og infeksjoner. Reint hårag er også

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Brukerundersøkelse for Aktivitetsskolen 2015/ 2016

Brukerundersøkelse for Aktivitetsskolen 2015/ 2016 Brukerundersøkese for Aktivitetsskoen 2015/ 2016 Fakta om undersøkesen - Undersøkesen be hodt høsten 2015 på bestiing fra (UDE) - Samtige kommunae barneskoer med AKS er med i undersøkesen (99 stk.) - 56%

Detaljer

Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger.

Når en kraft angriper et stykke material fører det til påkjenninger som betegnes spenninger. Side 1 av 8 Mekanisk spenning i materiaer Tenk på et tungt egeme som ska bæres av en konstruksjon. Konstruksjonens må tåe kraften som går fra asten ti underaget. Denne kraften virker på konstruksjonen

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013

FYSIKK-OLYMPIADEN 2012 2013 Norsk Fysikkærerforening Norsk Fysisk Seskaps faggruppe for underisning FYSIKK-OLYMPIADEN 0 0 Andre runde: 7/ 0 Skri øers: Nan, fødsesdao, e-posadresse og skoens nan Varighe: kokkeimer Hjepemider: Tabe

Detaljer

tli Fra tre- til stenkirke, Bø i Telemark H \~u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)~f en av grunnene til at man ønsket å bygge i sten i ,,.

tli Fra tre- til stenkirke, Bø i Telemark H \~u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)~f en av grunnene til at man ønsket å bygge i sten i ,,. ,,. Fra tre- ti stenkirke, Bø i Teemark H \u' 1-1 ( f«... 'RHU'S) 2 2 _...(g)f A.j:Jørgm H. Jensenius Med de siste års kirkebranner i Norge ser vi hvor forgjengeige særig trekirkene er. Kirkene har atid

Detaljer

Elisabeth fra Lier gikk ned 6 kilo

Elisabeth fra Lier gikk ned 6 kilo DRAMMEN SENTER GRATIS AVIS Treningssenter for vektreduksjon! 32 69 90 09 www.drammen.easyife.no 2 2016 UTGAVE 46 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Eisabeth fra Lier gikk ned 6 kio Og karte å egge om

Detaljer

MØTEPROTOKOLL 14/57 14/655 INNKJØPSSTRATEGI FOR INNKJØPSSAMARBEIDET INDRE ØSTFOLD 14/58 14/656 INDRE ØSTFOLD KOMMUNEREVISJON IKS -NY SELSKAPSAVTALE

MØTEPROTOKOLL 14/57 14/655 INNKJØPSSTRATEGI FOR INNKJØPSSAMARBEIDET INDRE ØSTFOLD 14/58 14/656 INDRE ØSTFOLD KOMMUNEREVISJON IKS -NY SELSKAPSAVTALE MØTEPROTOKOLL Kommunestyret Møtedato: Forfa: Varamedemmer: Andre: 22.09.2014 Tid: 18:30-21:15 Arne Sohaug (H), Inge Herman Rydand (KrF), Siri Dingstad Johansen (H) Aeksander Abotnes, Anne Karine Grarnen

Detaljer

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket

R l N G E R K S B A N E N Jernbaneverket R N G E R K S B A N E N Jernbaneverket Hovedpan. fase 1 har vi utredet prosjektet. Nå ska det ages en hovedpan for Ringeriksbanen. utgangspunket har vi kun fastpunktene Sandvika -Kroksund -Hønefoss for

Detaljer

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015

Geometri - MAT Innledning. Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 Geometri - MAT 2500 Jan Arthur Christophersen og Kristian Ranestad 11. august 2015 1 Innledning Dette kompendiet i Euklidsk plan- og romgeometri er satt sammen til bruk i kurset MAT 2500, og gir en innføring

Detaljer

Kjære. mamma og pappa. Jeg vil bare fortelle dere at det er mye vanskeligere å oppleve en skilsmisse enn det dere tror

Kjære. mamma og pappa. Jeg vil bare fortelle dere at det er mye vanskeligere å oppleve en skilsmisse enn det dere tror Kjære mamma og pappa Jeg vi bare fortee dere at det er mye vanskeigere å oppeve en skismisse enn det dere tror innhod Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 Utgiver: Voksne for

Detaljer

Har fått hjelp av Morten både til å gå ned 16 og 26 kilo

Har fått hjelp av Morten både til å gå ned 16 og 26 kilo Nye kurs starter nå! 2 2016 UTGAVE 12 Varig vektreduksjon og ivsstisendring Ring for å sikre deg pass! Har fått hjep av Morten både ti å gå ned 16 og 26 kio Jeg må bare berømme innehaveren av Kristiansand

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

Velkommen til barneidrett i IF Birkebeineren.

Velkommen til barneidrett i IF Birkebeineren. Vekommen ti barneidrett i IF Birkebeineren. Må for a barneidrett i IF Birkebeineren: IBK tibyr aktiviteter og idretter som gjør at fest muig barn finner ønsket tibud i kubben. Fest muig barn og unge er

Detaljer

24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0

24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0 24.10.1996 NHO-konferanse «Erfaringer etter ett år med anbud i rutegående trafikk» Ar19. 9/if/K02/900) O00! O0 1 A Ressursbruk og effektivisering i kommunesektoren NHO 24. okt 1996 I Samf.sjef Arid Bøhn

Detaljer

MØTEINNKALLING. Tillegg SAKLISTE HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING. Utvalg: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.

MØTEINNKALLING. Tillegg SAKLISTE HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING. Utvalg: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01. Utvag: Møtested: Kommunehuset Møtedato: 28.01.2014 Tid: k1830 MØTEINNKALLING HOVEDUTVALG FOR PLAN OG UTVIKLING Forfa bes medt i god tid sik at vararepresentant kan bi innkat. Forfa ska medes ti servicekontoret,

Detaljer

bankens informasjon til unge voksne

bankens informasjon til unge voksne På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 Finans Norge og Forbrukerombudet har utarbeidet dette heftet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken,

Detaljer

bankens informasjon til unge voksne

bankens informasjon til unge voksne På egne ben På egne ben bankens informasjon ti unge voksne 2 FNO og Forbrukerombudet har utarbeidet dette notatet som innehoder informasjon vi mener unge voksne i aderen 16 ti 25 år bør få av banken, uavhengig

Detaljer

Klosters fileteringsmaskin. Rapport fra besøk

Klosters fileteringsmaskin. Rapport fra besøk - FISKE I!REKTORATETS JEMIS -TE NIS E FORSKNINGSINSTITUTT Kosters fieteringsmaskin. Rapport fra besøk 27.7.1959 ved Einar Soa. A-ugust 1959; R~nr; 56/59. A. h. 44. BERGEN Konkusjon. Der er ikke tvi om

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

Blant de mange undersøkelser Håkon Christie har gjort i norske kirker er også

Blant de mange undersøkelser Håkon Christie har gjort i norske kirker er også Trp stavkirke Må g frhd i paneggingen JØRGEN H. JENSENIUS Bant de mange undersøkeser Håkn Christie har gjrt i nrske kirker er gså en undersøkese av Trp stavkirke (Christie 1981:116-145). Ved siden av ppmåing

Detaljer

www.wonderlandbeds.com Wonderland 332 Regulerbar seng Regulerbar seng Reglerbar säng Säätösänky Verstelbaar bed Das justierbare Bett Adjustable bed

www.wonderlandbeds.com Wonderland 332 Regulerbar seng Regulerbar seng Reglerbar säng Säätösänky Verstelbaar bed Das justierbare Bett Adjustable bed www.wonderandbeds.com Wonderand 332 DK SE FI NL DE GB Reguerbar seng Reguerbar seng Regerbar säng Säätösänky Verstebaar bed Das justierbare Bett Adjustabe bed Lykke ti med vaget av ditt nye Wonderandprodukt.

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det

Detaljer

KJM Radiokjemidelen

KJM Radiokjemidelen Patikke i boks - en dimensjon KJM 1060 - Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e:

Detaljer

Lineær uavhengighet og basis

Lineær uavhengighet og basis Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c

Detaljer

Et kvadrats symmetrier en motivasjon

Et kvadrats symmetrier en motivasjon Et kvadrats symmetrier en motivasjon ette avsnittet er ment som en introduksjon. Målet er å gi en motivasjon for den aksiomatiske innføringen av grupper. et gir også et første eksempel på en gruppe, og

Detaljer

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk

EKSAMEN. Emne: Fysikk og datateknikk EKSAMEN Emnekode: ITD11006 Emne: Fysikk og datateknikk Dato: 05. Mai 010 Eksamenstid: k 9:00 ti k 13:00 Hjepemider: 4 sider (A4) ( ark) med egne notater. Kakuator. Gruppebesvarese, som bir det ut på eksamensdagen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet NIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapeige akutet Eksamen i: FYS 13 - Svingninger og bøger Eksamensdag: 4. mars 6 Tid or eksamen: K. 9-1 Godkjente hjepemider: Øgrim og Lian (eer Ange og Lian):

Detaljer

Dommeren gikk ned 31 kilo på tre og en halv måned

Dommeren gikk ned 31 kilo på tre og en halv måned Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 29 www.easyife.no NARVIK RING 90 25 31 19 Dommeren gikk ned 31 kio på tre og en hav måned Nå bir det tøffere å ure meg. Med en ettere og mer mobi kropp,

Detaljer

KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR

KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR KJÆRE MAMMA OG PAPPA JEG VIL BARE FORTELLE DERE AT DET ER MYE VANSKELIGERE Å OPPLEVE EN SKILSMISSE ENN DET DERE TROR INNHOLD Et skismissebarn er et normat menneske med to hjem. Marthe, 15 UTGIVER: Voksne

Detaljer

Årsmelding 2014 fra Pasient- og brukerombudene i Aust-Agder og Vest-Agder

Årsmelding 2014 fra Pasient- og brukerombudene i Aust-Agder og Vest-Agder Pasient- og brukerombudet Vest-Agder Kommunene i Vest-Agder Deres ref-i Saksbehander: Ei Marie Gotteberg Direkte teefon: 37017491 js/bzl Vår ref; 15/2144-3 Dato: 10.02.2015 Årsmeding 2014 fra Pasient-

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1

Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter

Detaljer

Programvareløsninger for Lexmark Solutions Platform

Programvareløsninger for Lexmark Solutions Platform Lexmark Soutions Patform Programvareøsninger for Lexmark Soutions Patform Lexmark Soutions Patform er et rammeverk av programmer som er utformet av Lexmark med tanke på effektive og rimeige serverbaserte

Detaljer

skinne Tekster av ungdom som vet mye om livet

skinne Tekster av ungdom som vet mye om livet organisasjonen Voksne for barn Født ti å skinne Tekster av ungdom som vet mye om ivet innedning Men Hvorfor var det ingen som gjorde noe? Ingen som hjap deg, eer noen gang forkart at det kanskje ikke bare

Detaljer

/ Vask av eiendommer i Landbruksregisteret mot matrikkelen

/ Vask av eiendommer i Landbruksregisteret mot matrikkelen I Fykesmannen i Sør-Trøndeag Postboks 4710 Suppen, 7468 Trondheim Sentrabord: 73 19 90 00 Besøksadresse: E. C. Dahs g. 10 Saksbehander Trine Gevingås Landbruk og bygdeutviking Innvagsteefon Vår dato Vår

Detaljer

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006

Linjegeometri. Kristian Ranestad. 3. Januar 2006 3. Januar 2006 Konveksitet Hva er en konveks mengde med punkter? En punktmengde er konveks dersom alle linjestykkene med endepunkter i mengden er helt inneholdt i mengden. Eksempler: Et linjestykke (den

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side 1 Det matematis-naturvitensapeige fautet Esamen i: GE22 Esamensdag: 23. mars 21 Tid for esamen: 15.-17. Oppgavesettet er på 2 sider Vedegg: Sondediagram Tiatte hjepemider: Kauator

Detaljer

Møteinnkalling. Halden kommune. Utvalg: Vilt- og innlandsfiskenemnda Møtested:, Storgata 7, (Wielgården) Dato: 07.06.2016 Tidspunkt: 16:00

Møteinnkalling. Halden kommune. Utvalg: Vilt- og innlandsfiskenemnda Møtested:, Storgata 7, (Wielgården) Dato: 07.06.2016 Tidspunkt: 16:00 Haden kommune Møteinnkaing Utvag: Vit- og innandsfiskenemnda Møtested:, Storgata 7, (Wiegården) Dato: 07.06.2016 Tidspunkt: 16:00 Eventuet forfa må medes snarest på tf. 69 17 45 00 eer ti ps@haden.kommune.no.

Detaljer

.. -- Arlieideravisene er uten sammenligning dem pressegruppe i Norge som har fått sine trykkerier mest odelagt._ Av 16 delvis

.. -- Arlieideravisene er uten sammenligning dem pressegruppe i Norge som har fått sine trykkerier mest odelagt._ Av 16 delvis , frykkeristuasjond I ARBEIDERPRESSEN I... tiinc ti apresseko t.en Så angt det har v=ert muig på grunnag av de oppysninger som foreigger har jeg i tid.igere innstiinger ti ttpressekomiteentt gjort rede

Detaljer

i farvannene ved Bergen i årene

i farvannene ved Bergen i årene Undersøkeser av krabbe (Cancer pagurus L.) i farvannene ved Bergen i årene 1959-60 Av Kaare R. Gundersen FISKERIDIREKTORATETS HAVFORSKNINGSINSTITUTT Fisket etter krabbe drives hovedsakeig i tidsrommet

Detaljer

Foreldreskjema. Skjemaet skal leses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke blå eller sort kulepenn og skrive tydelig:

Foreldreskjema. Skjemaet skal leses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke blå eller sort kulepenn og skrive tydelig: Foredreskjema Skjemaet ska eses av en maskin. Derfor er det viktig å bruke bå eer sort kuepenn og skrive tydeig: I de små avkrysningsboksene setter du et kryss inni boksen for det svaret som du mener passer

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

SNO. Domfelte erklærte på stedet at han påanket dommen på grunn av Btraffutmålingen og feil ved lovanvendelsen. Om dette inneholder rettsboken

SNO. Domfelte erklærte på stedet at han påanket dommen på grunn av Btraffutmålingen og feil ved lovanvendelsen. Om dette inneholder rettsboken Titate har forkart at han i den senere tid stundom styrket seg med brennevin, men det synes ikke å ha skjedd i noen sterk grad. ' Som formidende omstendighet er det anført at titate ved et par anedninger

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

F I S K E R I R E T T L E D E R E N I B Ø.

F I S K E R I R E T T L E D E R E N I B Ø. Å R S M E L D N G 9 7 9 FR A ( F S K E R R E T T L E D E R E N B Ø. ;;..... - ',, (i. i 1. i.c ~v :{;.,: 4 ~ ~ ~. ~ 13." ;~ ~,/: !V;\f'' :7;.;~ ',.: 1. i. ~ ~ ~% ~ t { ~ i J..~; t t~~ :' -o

Detaljer

Forelesningsnotater MAT2500 høst 2010

Forelesningsnotater MAT2500 høst 2010 Forelesningsnotater MAT2500 høst 2010 Jan Christophersen 30. november 2010 Disse notatene er en supplement til læreboken Coxeter: Introduction to Geometry. De gir en alternative framstilling av og bevis

Detaljer

FISKERIDIREKTORATETS HAVFORSKNINGSINSTITUTT TOKTRAPPORT. FARTØY- "Johan Hjort" AVGANG Bergen, 22 april ANKOMST Bergen, 9 mai 1981

FISKERIDIREKTORATETS HAVFORSKNINGSINSTITUTT TOKTRAPPORT. FARTØY- Johan Hjort AVGANG Bergen, 22 april ANKOMST Bergen, 9 mai 1981 FISKERIDIREKTORATETS HAVFORSKNINGSINSTITUTT TOKTRAPPORT FARTØY- "Johan Hjort" AVGANG Bergen, 22 apri 1981 ANKOMST Bergen, 9 mai 1981 PERSONELL P. Bratand (ti 2/5-81), F. Mora, H. Myran, T. MØrk, R. Pettersen,

Detaljer

universell utforming og likestilling Detaljer som teller toalett og bad detaljer som teller

universell utforming og likestilling Detaljer som teller toalett og bad detaljer som teller universe utforming og ikestiing TOALETT OG BAD Detajer som teer toaett og bad detajer som teer 1 toaett og bad detajer som teer 1 Tigjengeig og brukbart for ae Tigang ti toaetter er nødvendig for å kunne

Detaljer

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere! Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25

Detaljer

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere!

Hege fra Løpsmarka ned 40 kilo på 9 måneder Og holder vekten ett år senere! Varig vektreduksjon og ivsstisendring! 3 2017 UTGAVE 28 www.easyife.no RING BODØ 90 25 31 19 Hege fra Løpsmarka ned 40 kio på 9 måneder Og hoder vekten ett år senere! FØR Nye kurs starter nå! Ring 90 25

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 3. oktober 2014 AD BC + BD CA + CD AB = 0.

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 3. oktober 2014 AD BC + BD CA + CD AB = 0. Oppgaver MT2500 Fredrik Meyer 3. oktober 2014 Oppgave 1. Vis at om,,, er kollineære, så er + + = 0. Løsning 1. Her mener vi altså med fortegnslengden til segmentet. For å gi en verdi til (etc.) må man

Detaljer

LÆRE FOR LIVET TEKSTER FRA BARN OG UNGE OM HVA SOM ER VIKTIG FOR Å HA DET BRA PÅ SKOLEN

LÆRE FOR LIVET TEKSTER FRA BARN OG UNGE OM HVA SOM ER VIKTIG FOR Å HA DET BRA PÅ SKOLEN LÆRE FOR LIVET TEKSTER FRA BARN OG UNGE OM HVA SOM ER VIKTIG FOR Å HA DET BRA PÅ SKOLEN INNHOLD DET ER VIKTIG MED ET GODT SKOLEMILJØ! DET BETYR AT ELEVENE TRIVES, HAR DET FINT RUNDT SEG. DET ER VIKTIG

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

MØTEPROTOKOLL 14/15 14/380 FORSLAG TIL ENDRING I REGIONALE OG FYLKESKRYSSENDE BUSSTILBUD I INDRE ØSTFOLD -HØRING

MØTEPROTOKOLL 14/15 14/380 FORSLAG TIL ENDRING I REGIONALE OG FYLKESKRYSSENDE BUSSTILBUD I INDRE ØSTFOLD -HØRING MØTEPROTOKOLL Edrerådet Møtedato: 07.05.2014 Tid: 09:00 Forfa: Varamedemmer: Andre: Behandede saker: Sak nr. Arkivsaknr. 14112 14/366 GODKJENNING A V PROTOKOLL 14/13 12/34 2. GANGSBEHANDLING- DETALJREGULERINGSPLAN

Detaljer

Digital kommunereform

Digital kommunereform Digita kommunereform Digitat samarbeid på tvers og på angs Per-Kaare Hoda, Leder Feesavdeingen, Evenes kommune Digitaisering i offentig sektor Enket sagt hander digitaisering i offentig sektor om å: Fornye,

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Fysikkolympiaden Norsk finale 2014

Fysikkolympiaden Norsk finale 2014 Norsk fysikkærerforenin Fysikkoympiaden Norsk finae 01 3. uttakinsrunde Freda 8. mars k. 09.00 ti 11.30 Hjepemider: Tabe/formesamin, ommerener o utdet formeark Oppavesettet består av 6 oppaver på sider

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

R2 - Vektorer i rommet

R2 - Vektorer i rommet R2 - Vektorer i rommet - 26.01.17 Del I - Uten hjelpemidler Løsningsskisser - versjon 31.01.17 Oppgave 1 Gitt vektorene u 1, 2, 3 og v 2, 1, 4. a) Regn ut u v b) Regn ut u v c) Regn ut w u t v d) Løs vektorligningen

Detaljer

I r m. ,., -- f mm. TVALG: Kommunestyret ADM-SAK: BLUE KW -. I P ETTER FVLZ F-SAK: 61/96, 77/96 FORSLAG TIL NYE VEDTEKTER FOR LOKALUTVALGENE I DØNNA

I r m. ,., -- f mm. TVALG: Kommunestyret ADM-SAK: BLUE KW -. I P ETTER FVLZ F-SAK: 61/96, 77/96 FORSLAG TIL NYE VEDTEKTER FOR LOKALUTVALGENE I DØNNA E4 I(),,) DØNNA KOMMUNE E LOKALUTVALGENE -»-, Sentraadminstrasjonen - KOMMUNESTYRET ac,"... - 14.10.96 ia. ; ', - i j ' MØTEBOK FOR DØNNA KOMIWUNE side 1 I r m :fbehandung: TIDLIGERE BEHAN ',., -- f mm

Detaljer

MO1006-EA BRUKSANVISNING MODUL 3173/3246. (Lys) Ladetider. Belysningsnivå (lysstyrke) 60 til 70 minutter (displayhvilemodus)

MO1006-EA BRUKSANVISNING MODUL 3173/3246. (Lys) Ladetider. Belysningsnivå (lysstyrke) 60 til 70 minutter (displayhvilemodus) MO1006-EA BRUKSAVISIG MODUL 3173/3246 Gratuerer med nytt ur! Funksjonene Sensoren i dette uret måer retning, barometrisk trykk, temperatur og høyde. Måeresutatene kommer frem i dispayet. Måefunksjonene

Detaljer

Bruksanvisning - modul 3425

Bruksanvisning - modul 3425 ASIO OMPUTER O., LT. 6-2, Hon-machi 1-chome Shibuya-ku, Tokyo 151-8543, Japan 3425 Modu Nr. 3425 Norsk Brukermanua 5 E Bi kjent med uret Gratuerer med nytt ur! u får størst utbytte av uret hvis du eser

Detaljer

Valg 2011. Hurdal Arbeiderparti

Valg 2011. Hurdal Arbeiderparti Vag 2011 Hurda Arbeiderparti Les dette før du bestemmer deg: Hurda Arbeiderparti har som overordnet føring at ae har ikt menneskeverd. Ae har ik rett ti utdanning, arbeid, boig og sosia trygghet. Derfor

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Mer om kvadratiske matriser

Mer om kvadratiske matriser Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

Veiledning for montasje av målerarrangement i TrønderEnergi Nett AS sitt område

Veiledning for montasje av målerarrangement i TrønderEnergi Nett AS sitt område Veiedning for montasje av måerarrangement i TrønderEnergi Nett AS sitt område RETNINGSINJER FOR MÅERINSTAASJON 1. GENERET 1.1 Formå Retningsinjer er aget for at instaatører og montører sa unne bygge anegg

Detaljer

;3i?;; f:ii gee"" W {WA} 32/ 3/bag""s1;$? 2001Lillestrøm. lfiosfief/cteuiafeew...flf<ll. Statens havarikommisj on for transport

;3i?;; f:ii gee W {WA} 32/ 3/bags1;$? 2001Lillestrøm. lfiosfief/cteuiafeew...flf<ll. Statens havarikommisj on for transport DET KONGELIGE NÆRINGS- OG HANDELSDEPARTEIEÅENTfM_, _ i Å Statens havarikommisj on for transport 2001Liestrøm V 3/bag""s1;$? W V* fiosfief/cteuiafeew...ff< Deres ref Vår ref Dato 200804241/T HP 06.01.2011

Detaljer

Fl S l(e RI DI RE l( TORATETS KJEMI S 1(-TE l(n IS l(e FORS l(n IN GS IN STI TUTT

Fl S l(e RI DI RE l( TORATETS KJEMI S 1(-TE l(n IS l(e FORS l(n IN GS IN STI TUTT F S (E RI DI RE ( TORATETS KJEMI S 1(-TE (N IS (E FORS (N IN GS IN STI TUTT K0~1ULEPROSJEKT - RAUF~LLA ved Oav Meand og Jon Aas R.nra 133 A. h.t: 35 BER GEN INNHOLD. SAMMENDRAG side 2. INNLEDNING t 3.

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer