Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene
|
|
- Lise Rønningen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no. 1. Gi definisjonsområdet og verdiområdet til de følgende funksjonene. (a) Definisjonsområdet: De positive heltallene fra 1 til 92 SVARET: Verdiområdet: 92 antall med penger, de ulike lønnene tilsvarende de ulike lønnstrinn (b) f(x) = x. SV.: Definert i alle réelle tall Verdier: Alle ikke-negative réelle tall (c) f(x) = x + 2. SV.: Definert i alle réelle tall større enn eller lik 2. Verdier: Alle ikke-negative réelle tall. (d) f(x) = x + 2. SV.: Definert i alle ikke-negative réelle tall. Verdier: alle réelle tall større enn eller lik 2. (e) f(x) = 3 x+3 SV.: Definert i alle réelle tall untatt 3. Verdier: alle réelle tall untatt 0. (f) f(x) = 12x 3x 5 SV.: Definert i alle réelle tall untatt 5/3. Verdier: alle réelle tall untatt 4. 1
2 2. Danner de følgende reglene funksjoner? Hvis ikke, foreslå en måte å lage en funksjon av den. (a) En student i klassen idrettsaktivitet hun/han driver med SV.: Denne danner ingen funksjon, fordi man kan drive med flere ulike idrettsaktiviteter. En kunne lage en funksjon av det ved å si En student i klassen idrettsaktivitet hun/han bruker mest tid på (Det er mange andre måter og så.) (b) En student i klassen teamet sitt SV.: Denne er godt definert (altså, en funksjon). (c) Et réelt tall x et réelt tall y slik at y 3 = x SV.: Denne er en funksjon fordi hvert réelt tall har akkurat ei réel tredjerot. (d) Et réelt tall x et réelt tall y slik at y 4 = x SV.: Denne er ingen funksjon, fordi ethvert réelt tall annet enn 0 har to réelle fjerderøtter. Vi kan lage en funksjon av det akkurat som vi gjorde med kvadratrøtter: vi velger enten den positive eller den negative réelle fjerderota. 3. Hvor er de følgende funksjonene kontinuerlige? Obs: En funksjon er kontinuerlig i et punkt dersom det er ikke en sprang i grafen i det punktet. For eksempel, f(x) = 1/x er kontinuerlig i hvert x untatt x = 0, fordi grafen har ingen sprang annet enn i x = 0. (a) x 2 + 3x SV.: En polynomfunksjon, så kontinuerlig overalt. (b) 1 x 2 +1 SV.: Kontinuerlig overalt (selv om det har en x i nevneren!) (c) x2 2x+1 x+1 SV.: Kontinuerlig annet enn i x = Lineære funksjoner (a) Arealet A til en sirkel er proporsjonal med kvadraten av sirkelens radius r. Med andre ord, A = k r 2 for et réelt tall k. Hva er proporsjonalitetskonstanten k? 2
3 SV.: Proporsjonalitetskonstanten k er lik π 3, 141. Formelen er A = πr 2. (b) I tillegg til Celsius og Fahrenheit finnes det en annen måte å måle temperatur: Kelvinskalaen. Forholdet er slik: 273 C = 0K og en temperaturstigning på en kelvin er lik en på 1 C. (Merk at man snakker om en kelvin og ikke om en grad Kelvin, og man skriver for eksempel 24K og ikke 24 K.) Vis at temperaturmålingen i kelvin er er en lineær funksjon av den i Celsius. SV.: En måling på x grader Celsius tilsvarer x kelvin er. I symboler har vi at x C = (x + 273)K. Slik har vi skrevet x C som (ax + b)k der a = 1 og b = 273. Derfor er (kelvin er) per definisjon en lineær funksjon av (grader Celsius). En annen måte å gjøre det hadde vært å trekke grafen og legge merke til at det er ei rett linje. Obs: Siden oppgaven er av typen Vis at denne er en lineær funksjon, så er det viktig å trekke en konklusjon, altså, å avslutte ved å si noe som Siden funksjonen kann uttrykkes som ax+b der a og b er faste tall, da er det per definisjon en lineær funksjon. (c) En viss fagforening koster 300kr i månaden, og man betaler og så en innmeldingsavgift på 650kr. Vis at (pengene betalt til fagforeningen) er en lineær funksjon av (tiden man har vært medlem). SV.: Etter én måned har en medlem betalt 650kr + 300kr, etter to måneder etter tre måneder 650kr + 300kr + 300kr = 650kr kr, 650kr + 300kr + 300kr + 300kr = 650kr kr og så videre. Generelt, hvis vi skriver da har man betalt n = antall måneder man har vært medlem 650kr + (n 300kr) etter n måneder. Slik har vi uttrykket (pengene betalt til fagforeningen) som an + b der a = 300 og b = 650, så er det en lineær funksjon. 3
4 (d) Lag en lineær funksjon som tar verdiene i den følgende tabellen: Argument Verdi SV.: Siden funksjonen er lineær, vet vi at den kan uttrykkes på formen ax + b der a og b er faste tall. Disse a og b må vi beregne. Vi husker at a-en er stigningsforholdet til funksjonens graf. Derfor kan vi beregne det ved å ta to punkter (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på grafen og beregne y 2 y 1 x 2 x 1. Vi tar (x 1, y 1 ) = (0, 5) og (x 2, y 2 ) = (1, 12), som gir et noe enklere regnestykk en de fleste slike valg: a = = 7 1 = 7. Nå husker vi og så at f(0) = a 0 + b = b. Derfor er b = 5. For å oppsummere: f(x) = 7x + 5. (e) Menn som trener på gymmen opplyses om maksimum som pulsen skal stige til under trening: det beregnes ved å trekke mans alder fra 220. Vis at maksimumpulsen er en lineær funksjon av alderen. SV.: La oss skrive x for alderen. Da er maksimumpulsen lik 220 x = ( 1) x Slik har vi skrevet maksimumpulsen som ax + b, der a = 1 og b = 220. Derfor er maksimumpulsen en lineær funksjon av alderen. (f) La f(x) = ax + b være en generell lineær funksjon. For nesten alle 1 verdier av a og b, funksjonen har en invers. Regn ut inversen til en generell lineær funksjon f(x) = ax + b, når det er mulig. For hvilken a og b har f ingen invers? SV.: Hvis a 0 da har f en invers, som er gitt av f 1 (x) = x b a. Hvis a er null da er funksjonen konstant: f(x) = b for enhver x. Derfor kan ikke funksjonen ha en invers. 5. Annengradsfunksjoner 1 Nesten alle betyr alle untatt endelig mange. 4
5 (a) En parkeringsplass har formen av et rektangel: det er x meter på den korte siden og x + 2 på den lange. Vis at arealet til parkeringsplasset er en annegradfunksjon av x. SV.: Arealet er lik x(x+2)m 2 = (x 2 +2x)m 2, altså (ax 2 +bx+c)m 2 der a = 1, b = 2 og c = 0. Per definisjon er arealet derfor en annengradfunksjon av x. (b) Breiteig Venheim [BV2], side 103, oppgave 9.20, deler a og b. SV.: (a) En parabel som åpner nedover, skjærer y-aksen i 1, 5 har makspunkt i omtrent t = 2 og maksverdi omtrent y = 21. (b) Løs ligningen f(t) = 0. Den positive løsningen er omtrent 4, 2 sekunder. (c) Lag en annengradfunksjon som tar de følgende verdiene: Argument x Verdi f(x) SV.: Først skal vi lage en annengradfunksjon som forsvinner i x = 1 og x = 1. Dette gjør vi ved å gange sammen (x + 1) og (x 1). Vi får x 2 1. Den funksjonen vi leter etter blir en multipel av dette, ax 2 a. For å finne a-en, bruker vi en annen av de tilgjengelige verdiene. Den letteste å bruke er den i 0, som gir direkt at f(0) = 1 = a, så er a = 1. Funksjonen våre er da f(x) = x 2 1. (d) (Denne er litt mer utfordrende.) La f(x) = x 2 + 4x + 7. Omskriv uttrykket for f(x) i formen (x c) 2 + d der c og d er faste tall. Hvilken forme har grafen, lue eller kopp? Hvor er maksimum- eller minimumpunktet? (Se på Breiteig Venheim [BV2, side ] for hjelp og videre opplysninger.) SV.: For å gjøre dette generelt har vi oppskriften ) ) x 2 + bx + c = (x 2 + bx + b2 + (c b2 4 4 ( = x + 2) b 2 ) + (c b2 4 5
6 For oss er b = 4 og c = 7, så får vi ( f(x) = x 2 + 4x + 7 = x + 4x + 16 ) ( ) = (x + 2) Siden fortegnet til x 2 -leddet er positiv, så er grafen en kopp (eller et smile :-) ). Minimumpunktet er nådd i x = b/2, altså x = 2. Vi har f( 2) = 5 som minimalverdi. 6. Tredjegradfunksjoner: En betong søyle som skal bære en bom består av en kvadratisk søyle som måles x cm x cm 3x cm, sammen med en kule som sitter på toppen, som har diameter xcm. Regn ut volumen av betong i søylen som funksjon av x, sidelengden på bunnen. SV.: Volumen er summen av volumen til ( den kvadratiske søylen, som er 3x 3 cm 3, plus den til kulen, som er 4π x ) cm 3. Tilsammen blir det omtrent 3, 52x 3 cm (a) Regn ut asymptotene til grafene til den rasjonale funksjonen f(x) = x + 5 2x 6. SV.: Først, funksjonen er ikke definert i den x-en der 2x 6 = 0, altså x = 3. Ved å velge x nært nok til 3, så kan vi nå til en så stor eller stor negativ verdi av funksjonen som vi vil, så nærmer grafen seg til den loddrette linja x = 3. Derfor er x = 3 en loddrett asymptote. Siden funksjonen er definert i alle punkter unntatt x = 3, så er denne den eneste loddrett asymptote. Til gjengjeld, la oss se på hva som skjer når x blir veldig stor eller stor negativ. Vi har lim x x + 5 2x 6 = lim x x 2 6 x = 1 2. Tar vi lim-en i den negative retningen, da får vi samme svaret. Derfor er y = 1 en vannrett asymptote. 2 (b) Et team fra HiVe har fått beskjed om en interessant dagsseminar i Oslo. De er omtrent 50 stykker, så har bestemmt seg for å leie en buss med sjåfør for dagen. Prisen er 5000kr, samme hvor mange studenter blir med. Studentene skal spleise kosten. Det kan hende selvfølgelig at ikke alle blir med. Skriv s for antall med studenter som reiser med bussen. 6
7 i. Vis at transportkosten for hver av disse studentene er en rasjonal funksjon av s. ii. Hva skjer med prisen hver enkel student må betale når s er stor, og når s er liten? SV.: (i) Hvis totalkosten er 5000kr og det er spleist jevnt mellom deltagerne, så kan vi finne kosten for hver enkel student ved å dele 5000kr med antallet deltagerne. Hvis det er s deltagere, så betaler de 5000kr hver. Men 5000 er en (konstant) polynom, og s s er en (lineær) polynom i s. Derfor kan kosten for hver deltager uttrykkes som forhold av to polynomer. Per definisjon er det derfor en rasjonal funksjon av s. (ii) Når s er stor, så deltar mange studenter, så kosten for hver enkel av dem blir liten. (Matematisk sett: deler vi en konstant størrelse med noe stort, da får vi noe liten.) Når s er liten, da har vi færre deltagere, slik at de 5000kr må betales av færre stykker, så de må betale mer hver. (Matematisk sett: deler vi en konstant størrelse med noe liten, da får vi noe stort.) 8. Eksponentialfunksjoner. Enten (a) eller (b). (a) En dag får jeg halsebetegnelse når en bakterie vandrer inn. Jeg vet at slike vesener deler seg i to hvert tiende minutt, slik at antall bakterier fordobler seg hver 10 minutt. Hvis den første bakterien slår seg ned kl. 08:00, hvor mange bakterier finnes i halsen min kl. 12:00? (Vi betrakter helt ideale omstendigheter, der ingen bakterier dør og alle deler seg akkurat så ofte som de skal.) SV.: Kl. 8 til kl. 12 er fire timer, som er 24 ganger 10 minutter. Derfor fordobler antall med bakterier 24 ganger. Siden der var én på begynnelsen, så er det til slutt 2 24 = (b) La f(x) = 3 (1, 1487) x. Beregn fordoblingstiden til f(x). Nærmere presist, beregn tallet t slik at f(x + t) = 2f(x). Det holder med å gi det nærmeste heltallet. (Vink: 5 2 1, 1487.) SV.: Vi vil regne ut for hvilken t vi har f(x + t) = 2f(x). Siden 5 2 1, 1487, skal dette være nesten det samme som den t-en som 7
8 er slik at ( ) 5 x ( ) 5 t ( ) 5 x = 2 3 2, altså ( 5 2 ) t = 2. Men ( 5 2 ) 5 = 2, så er t = 5. Referanser [BV1] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 1, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, [BV2] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien Tønsberg Anne-Marit.L.Brun@hive.no, George.H.Hitching@hive.no 8
Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009
Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 21. august 2009 Blant disse oppgavene er følgende utvalgt for mappen: 1, 3(i) (iii) og (ix) (x), 5(viii) (ix),
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerFunksjoner, M1 høst 2007
Funksjoner, M1 høst 2007 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 10. september 2007 Innhold 1 Innføring 1 1.1 Entydighet............................. 3 1.2 Hvordan funksjoner presenteres.................
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerEksamen S1, Høsten 2013
Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45
DetaljerOppgaver. Innhold. Funksjoner Vg1P
Oppgaver Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 6 Modul 3. Mer om lineær vekst... 10 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 13 Modul 5. Andre funksjoner... 16 Polynomfunksjoner...
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori med oppgaver. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning. Dag 2: 09.00-11.45
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
Detaljer1P eksamen våren 2017 løsningsforslag
1P eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) Du har 15 L saft. Du skal helle saften over i
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerPrøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
DetaljerFunksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner R1
Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med
DetaljerHøgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014
Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 23. mai 2014 ORDINÆR EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 1 15 studiepoeng Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 7 sider (inkludert
DetaljerOppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6
Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene
DetaljerEKSAMEN. Tall og algebra, funksjoner 2
EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT12 Emne: Tall og algebra, funksjoner 2 Dato: 06/12/2012 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator Faglærer: Petter Løkkeberg Eksamensoppgaven: Oppgavesettet
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerHer er C en funksjon av F
Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 1 Stine M. Berge 05.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 05.07.19 1 / 23 Introduksjon Informasjon: https://wiki.math.ntnu.no/oppfrisk/2019/start
DetaljerOppfriskningskurs Sommer 2019
Oppfriskningskurs Sommer 2019 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 9 fra Øving 2 a) Er funksjonen f(x) = en-til-en? Hvorfor/hvorfor ikke? { 1 x hvis 0 x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerØving 2. Oppgave 1: Diverse algebra med føring. Oppgave 2: Ligningssystem som tekstoppgave. Oppgave 3: Grafgjenkjenning
Øving 2 Oppgave 1: Diverse algebra med føring Finn x som løser ligningene: a) x 2 + 9 = 25 b) x 2 = 2x + 8 c) 2x 2 + 12x = 32 d) x 1 = 1/x e) 2x 4 = x + 2 f) Gå gjennom føringen av oppgave a) og e) med
DetaljerForelesning 10 MA0003, Tirsdag 18/ Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:
Forelesning 0 MA000, Tirsdag 8/9-0 Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:.-. Asymptoter Definisjon. La f være en funksjon. Vi sier at linjen l() = a + b er en skrå asymptote for f dersom minst ett
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerLøsninger. Innhold. Funksjoner Vg1P
Løsninger Innhold Innhold... 1 Modul 1. Funksjonsbegrepet... Modul. Lineære funksjoner... 9 Modul 3. Mer om lineær vekst... 16 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 5 Modul 5. Andre funksjoner... 30 Polynomfunksjoner...
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerFagdag CAS-trening
Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i
DetaljerEksamen MAT1015 Matematikk 2P Va ren 2015
Eksamen MAT1015 Matematikk P Va ren 015 Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 C Tirsdag 10 C Onsdag 1 C Torsdag 5 C Fredag 6 C Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator
Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerKapittel 7. Funksjoner
Kapittel 7. Funksjoner Mål for kapittel 7: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne redegjøre for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler,
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1
Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerTMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven
TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.
Detaljer4 Funksjoner. Innhold
4 Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1T... 3 4.1 Funksjonsbegrepet... 4 Funksjoner representert ved formler... 5 Definisjonsmengde... 6 Funksjoner representert ved grafer og verditabeller...
DetaljerEksamen matematikk S1 løsning
Eksamen matematikk S1 løsning Oppgave 1 (3 poeng) Løs likningene a) 6 4 0 6 6 44 6 36 3 4 6 4 1 b) lg lg lg4 lg lg4 lg 10 10 lg4 4 8 0 4 4 8 6 4 må være større enn null fordi den opprinnelige likningen
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
Detaljerx 2 2 x 1 =±x 2 1=x 2 x 2 = y 3 x= y 3
Obligatorisk om funksjonar og deriverte Oppgåve f 3 f = ±, =R Funksjonen f er ein parabel med botnpunkt på (,y) = (0,3) og definisjonsmengda er difor heile tallinja. Sidan f = f er funksjonen symmeterisk
DetaljerTall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 15 L 150 dl Til sammen 150 dl med dl i hvert glass gir: 150 glass 75 glass Oppgave Vi
DetaljerOppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09
Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerKompetansemål - Funksjoner, Vg1P Modul 1: Funksjonsbegrepet Modul 2: Lineære funksjoner Modul 3: Mer om lineær vekst...
Funksjoner Innhold Kompetansemål - Funksjoner, Vg1P... 1 Modul 1: Funksjonsbegrepet... Modul : Lineære funksjoner... 6 Modul 3: Mer om lineær vekst... 1 Modul 4. Andregradsfunksjoner... 0 Modul 5: Andre
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle
Detaljer1. Hvis Knut er dobbelt så gammel som Per, Per er dobbelt så gammel som Henrik, og Henrik er 9 år yngre enn Knut, hvor gammel er da Per?
SETT 1 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvis Knut er dobbelt så gammel som Per, Per er dobbelt så gammel som Henrik, og Henrik er 9 år yngre enn Knut, hvor gammel er da Per? 3. 2. En bro
DetaljerHans Petter Hornæs,
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
DetaljerEksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik:
Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles
DetaljerProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4
Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2
DetaljerEksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerSammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f
Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»).
DetaljerANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN
ANNENGRADSLIGNINGER OG PARABELEN Espen B. Langeland realfagshjornet.wordpress.com espenbl@hotmail.com 9.mars 017 Dagens artikkel omhandler annengradsligninger, og deres grafer parabler. 1 Annengradsligninger
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerNår du har arbeidet deg gjennom dette kapittelet, er målet at du skal kunne
Funksjoner i praksis Innhold Kompetansemål Funksjoner i praksis, Vg2P... 1 Modul 1: Lineære funksjoner... 2 Modul 2: Andregradsfunksjoner... 8 Modul 3 Tredjegradsfunksjoner... 12 Modul 4: Potensfunksjoner...
Detaljer5 Matematiske modeller
Løsning til KONTROLLOPPGAVER 5 Matematiske modeller OPPGAVE 1 a) Endringen i lengden på lyset i løpet av de 100 minuttene er 12 cm 27 cm = 15 cm Endringen per minutt blir da 15 cm 0,15cm/ min 100 min Når
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerForsiden kommer her. 1
Forsiden kommer her. 1 Oppgave 1 Familien JULESEN består av mor, far, storebror Julian og to yngre brødre Julius og Josef. De er rimelig nok interessert i matematikk. (a) En dag leser Julian om Den assosiative
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 0003, onsdag 30. november 2005
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Løsningsforslag: Eksamen i Brukerkurs for informatikere MA 3, onsdag 3. november 5 Del Oppgave Funksjonen f(x) er
DetaljerLøsningsforslag for 2P våren 2015
Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig
Detaljer2P, Modellering Quiz fasit. Test, 3 Modellering
Test, 3 Modellering Innhold 3.1 Lineære modeller og lineær regresjon... 3. Modell for svingetiden til en pendel... 8 3.3 Potensfunksjon som modell... 8 3.4 Eksponentialfunksjon som modell... 18 3.5 Polynomfunksjoner
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45
DetaljerMatematikkkurs M0 Oppgaver
Matematikkkurs M0 Oppgaver Avdeling for Lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold. oktober 007 Brøk, desimaltall og prosent. Illustrer disse addisjonenen og subtraksjonene med papirark og bretting av rektangel
DetaljerDe hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.
Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
DetaljerEksamen S1, Hausten 2013
Eksamen S1, Hausten 013 Tid: timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, passar, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Funksjonen f er gjeve ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA0001)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag for eksamen i brukerkurs i matematikk A (MA1) Bokmål Tirsdag 1. desember 11 Tid: 9: 1: (4 timer)
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og
DetaljerKoordinatsystem med levende funksjoner trinn 90 minutter
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Koordinatsystem med levende funksjoner 8. - 10. trinn 90 minutter Koordinatsystem med levende funksjoner er et skoleprogram hvor elevene får fysisk og praktisk erfaring
DetaljerMatematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
Detaljer1P eksamen høsten Løsningsforslag
1P eksamen høsten 2017 - Løsningsforslag Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (2 poeng) En vare koster 640 kroner. Butikkeieren
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerMatematikk 1 (TMA4100)
Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet
DetaljerEksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Løsning
Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Oppgave 1 (4 poeng) Alle som går tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerKapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate
Kapittel 5. Areal, omkrets, volum og overflate Mål for kapittel 5: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse problem som gjelder lengde, vinkel, areal og volum Læringsmål Etter at
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
Detaljer