Forelesningsplan M 117
|
|
- Alexander Bø
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Forelesningsplan M 117 Innledning Kan du gi et eksempel på et fenomen eller en prosess som er lineær? Har du eksempel på ikke-lineære fenomen? Hva er henholdsvis en ordinær (ODL) og en partiell differensialligning (PDL)? Hva bestemmer ligningens orden? Hva er et system av differensialligninger? Hva er forskjellen på en lineær og en ikke-lineær differensialligning? Navngi noen sentrale personer fra differensialligningenes historie. Hva var deres bidrag? Hvorfor er differensialligninger det naturlige språk for fysiske lover? (Jmf. Newtons andre lov: Summen av kreftene = masse * akselerasjon.) Hva er typiske bruksområder for differensialligninger i dag? Hva er sammenhengen mellom retningsfeltet fra, og løsningen av, en 1. ordens ODL? Læreboken formulerer følgende fundamentale spørsmål som angår entydighet og eksistens av løsninger av initialverdiproblem: - Har initialverdiproblemet alltid en løsning? - Kan initialverdiproblemet ha flere løsninger? - Vil en løsning være gyldig for alle t, eller bare i et intervall omkring startpunktet? Hva er en separabel ligning? Kan du formulere et praktisk/fysisk problem v.hj.a. differensialligninger selv? 1. forelesning Kap. 2.8 Eksakte ligninger og integrerende faktorer. 1
2 Hva er definisjonen for en eksakt ligning? Er alle differensialligninger eksakte? Det står riktignok ingenting om det i pensumboken, men hvorfor er navnet eksakt ligning beskrivende? Hva er en integrerende faktor? 2. forelesning Kap. 2.9 Homogene ligninger. Kap Eksistens- og entydighetsteoremet. Kap. 3.1 Homogene ligninger med konstante koeffisienter. Hva er definisjonen (i kap. 2.9) på en homogen ligning? Hva er løsningsmetoden? Hva sier teoremet for eksistens- og entydighet? Hvorfor er dette teoremet viktig? Hva er Picard iterasjon? Hvorfor er en slik metode som skapt for en datamaskin? Hva er definisjonen (i kap. 3.1) på en homogen/inhomogen ligning? Hva er den karakteristiske ligningen (for en andre ordens ODL med konstante koeffisienter)? Hva er hensikten med initialkrav? Hva avgjør hvor mange slike krav vi må stille? Hvor mange, og hvilke, initialkrav må gis i et andre ordens initialverdiproblem? Hvorfor? 2
3 3. forelesning Kap. 3.2 Fundamentale løsninger av lineære homogene ligninger. Hva sier superposisjonsprinsippet? Hvorfor gjelder det ikke for en (lineær) inhomogen ligning? Hvorfor gjelder det ikke for en ikke-lineær ligning? Hva er Wronskien (Wronski-determinanten)? Hva er sammenhengen mellom Wronskien og den generelle løsningen? Hva inneholder den generelle løsningen av en ODL? Hva er et fundamentalt sett av løsninger? Hva er sammenhengen mellom et fundamentalsett av løsninger og den generelle løsningen av en ligning? 4. forelesning Kap. 3.3 Lineær uavhengighet og Wronskien. Kap. 3.4 Komplekse røtter av den karakteristiske ligningen. Kap. 3.5 Multiple røtter; reduksjon av orden. Hva betyr det at to funksjoner er lineært uavhengige? Hva er sammenhengen mellom lineær uavhengighet og Wronskien? Og hva er sammenhengen mellom de to begrepene over og det fundamentale løsningssettet for en 2. ordens homogen ODL? Kan du bestemme Wronskien til et løsningssett uten å kjenne løsningene? I følge algebraens fundamental teorem har en n-te grads ligning alltid n løsninger (røtter) 3
4 i det komplekse plan når vi teller multiple røtter. Hva kan du i tillegg si om komplekse røtter dersom en ligning har reelle koeffisienter? Hva er Eulers formel? Hvordan brukes formelen (i forbindelse med den karakteristiske ligningen)? Gitt komplekse røtter av den karakteristiske ligningen. Hvorfor har demping/forsterking av samme styrke samme virkning på svingefrekvensen? Hvor mange lineært uavhengige løsninger gir den karakteristiske ligningen når den har multiple røtter? Hva menes med reduksjon av orden? Hvordan brukes denne metoden? 5. forelesning Kap. 3.6 Inhomogene ligninger; Metoden med ubestemte koeffisienter. Hva er henholdsvis en homogen og en partikulær løsning? Hva er metoden med ubestemte koeffisienter? Hvilken type løsning (generell, homogen eller partikulær) finner en ved hjelp av den? Når kan vi forvente at metoden fungerer? Hva tror du ligger i å bruke intelligent gjetning for å bestemme løsningen av en differensialligning? 6. forelesning Kap. 3.7 Variasjon av parametre. (Alternativ til metoden i kap. 3.6.) Kap. 5.1 Potensrekker. 4
5 Hva er metoden med variasjon av parametre? Hva er likhetene/forskjellene med metoden med ubestemte koeffisienter? Dersom du får gitt et problem hvor du kan bruke metoden med variasjon av parametre, bør du da først forsøke å løse problemet med intelligent gjetning? Gitt en potensrekke. Hva betyr det at rekken - divergerer/konvergerer/konvergerer absolutt? - har konvergensradius L? Hva er definisjonen på Taylorrekken til en funksjon f(x)? I M100 har du lært ulike metoder for å avgjøre om en bestemt rekke konvergerer, for eksempel forholdstesten. Hvilke andre metoder har du lært å bruke? (Hvis svart er ingen, bør du gå tilbake og friske opp M100 pensum!) 7. forelesning Kap. 5.2 Rekkeløsninger nær et ordinært punkt, del I. Kap. 5.3 Rekkeløsninger nær et ordinært punkt, del II. Definer et ordinært/singulært punkt. Hva er en rekursjonsligning? Hva er matematisk induksjon? For en n te ordens ODL, hvor mange ukjente koeffisienter a 0, a 1,... vil det være i rekursjonsligningen? Hva bestemmer verdien av disse koeffisientene? Hva betyr det at en funksjon er analytisk i et punkt? Når dette begrepet er innført, hva er definisjonen på et ordinært/singulært punkt? 5
6 8. forelesning Kap. 5.4 Regulære singulære punkt. Kap. 6.1 Definisjon av Laplace-transformasjonen. Gi definisjonen av et uekte integral og forklar hva det vil si at integralet konverger? Definer et regulært/irregulært singulært punkt. Definer Laplace-transformen til f(t). Hva er motivasjonen for å løse differensialligninger ved hjelp av en slik metode? 9. forelesning Kap. 6.2 Løsning av initialverdiproblem. Kap. 6.3 Heaviside-funksjonen. Laplace-transformasjon av en ODL gir hvilken type ligning? Når en har funnet løsningen av den transformerte ligningen, hvordan finner en løsningen av den opprinnelige ODL en? Hva er det prinsipielt største problemet med å bruke Laplacetransformasjoner og hvordan kan vi omgå problemet? Hvorfor kan u 2 (t) (Heaviside-funksjonen) forstås som en bryter som er av for t < 2, og på for t 2? Hva er sammenhengen mellom funksjonen f(t), og translasjonen g(t) = u 2 (t)f(t 2)? 6
7 10. forelesning 6.4 Differensialligninger med diskontinuerlig driv. 6.5 Dirac delta-funksjonen. Gå tilbake til eksemplet på resonans. Hva blir den resulterende svingningen (løsningen) hvis drivet forandres fra F (t) = 1 cos t til F (t) = (1 u π 9π/2(t)) 1 cos t? π Definer Dirac delta-funksjonen. Når u 2 (t) kan forstås som en bryter som er av for t < 2, og på for t 2, hva er det tilsvarende bildet for δ(t 2)? 11. forelesning 6.6 Konvolusjonsintegralet. 7.1 Innledning (System av 1. ordens lineære ligninger). Hva er et konvolusjonsintegral? Kan du gi en tolkning av det? Hvorfor er det av spesiell interesse i forbindelse med (invers) Laplace-transformasjon? En n te ordens differensialligning kan skrives som et system av hvor mange første ordens differensialligninger? Hvorfor? 7
8 Hva sikrer eksistens og entydighet for et første ordens system? Definer et - lineært/ikke-lineært - homogent/inhomogent system. På hvilke måter er eksistens- og entydighetsteoremet for et lineært system sterkere enn for et ikke-lineært? 12. forelesning 7.4 Grunnleggende teori for første ordens lineære system. Hva er det karakteristiske polynomet til en matrise? Hvordan finner du egenverdier og egenvektorer til en matrise? Hva forstås med et fundamentalt sett av løsninger og en generell løsning for første ordens lineære system? Hvilke likheter er det mellom et slikt system og en enkelt første ordens differensialligning (jmf. lineært uavhengige løsninger, generell løsning, Wronskien)? 13. forelesning 7.5 Homogene lineære system med konstante koeffisienter. Hvor kommer egenverdier og egenvektorer inn i forbindelse med løsning av homogene lineære system med konstante koeffisienter? Hva forstås med faseplan og -portrett? Definer et hermittisk system. 8
9 Hva kan du si om egenverdier og -vektorer for et slikt system? Hva er et sadelpunkt og en node i faseplanet? Hvilke tre tilfeller av egenverdier kan en ha for et ikke-hermittisk system? 14. forelesning 7.6 Komplekse egenverdier. Hvis et system har totalt to komplekse egenverdier, hva vet du om disse, og de tilhørende egenvektorene? Når en løsning er gitt ved to slike komplekse egenverdier og egenvektorer, hva blir løsningen på reell form? Hva er et spiralpunkt i faseplanet, og hva er et senter? 15. forelesning 7.7 Multiple egenverdier. Hva betyr det at en egenverdi har multiplisitet k? Hvordan finner man en løsning nummer to når en egenverdi med multiplisitet 2, og den tilhørende egenvektoren, er kjent? Hva er en uegentlig node? 9
10 16. forelesning 7.8 Fundmental matriser. Hva er en fundamental matrise? Hva er den spesielle fundamental matrisen? Hvorfor kan det være ønskelig å transformere koblede til ukoblede system? Hvordan gjøres det? Hva er matrise-eksponensialen? 17. forelesning 7.9 Inhomogene lineære system. Hvordan brukes metodene med ubestemte koeffisienter og variasjon av parametre for system av ligninger? 18. forelesning 9.1 Faseplanet: Lineære system. 10
11 Hva er et kritisk punkt? Hvilke typer kritiske punkt er det for et andre ordens lineært homogent system? Hvorfor kan ikke to ulike trajektorier i faseplanet krysse/tangere hverandre? Hvorfor må et andre ordens lineært homogent system, hvis kritiske punkt er en egentlig node, være ukoblet? 19. forelesning 9.2 Autonome system og stabilitet. Hva er en autonom ligning/et autonomt system? Hvorfor er det et godt navn? Gjør rede for definisjonen av stabilitet/instabilitet i dette avsnittet. 20. forelesning 9.3 Nesten-lineære system. Hva er et isolert kritisk punkt? Definer et nesten-lineært system. Hvordan kan et hvert kritisk punkt (x 0, y 0 ) transformeres til origo? Forklar sammenhengen mellom kritiske punkt og stabilitetsegenskaper for nesten lineære system relativt lineære system. 11
12 Hva er en separatrise? Hva er et tiltrekningsområde? 21. forelesning 9.4 Konkurrerende arter. Hva bestemmer stabile/ustabile bestander i en modell for konkurrerende arter? 22. forelesning 9.5 Rovdyr-byttedyr ligninger. Hva er forskjellen på rovdyr-byttedyr modellen i dette avsnittet og modellen for konkurrerende arter i forrige avsnitt? Sammenlign de matematiske uttrykkene og gjør rede for effektene og vekselvirkningene som er til stede mellom artene. La oss si at vi har som en modell som beskriver dynamikken mellom reve- og musebestand. Hva blir resultatet hvis en tillater intens revejakt i en periode der begge bestander er økende? 12
13 23. forelesning 10.1 Separasjonsmetoden; Varmeledning. Forklar hvorfor varmeligningen gir en rimelig beskrivelse av temperaturutvikling ved varmeledning. Hva er forskjellen på en initial- og en randbetingelse? Hvor mange betingelser av hver sort kreves for å løse en varmeligning? Hvorfor? Er varmeligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på varmeligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? Hva forstås med egenverdier og egenfunksjoner i den forbindelse? 24. forelesning 10.2 Fourier-rekker. Hva er den generelle formen til en Fourier-rekke? Hvorfor forutsetter en slik utvikling at funksjonen som skal representeres er periodisk? Definer indreprodukt og ortogonalitet. Hvordan bestemmes koeffisientene a 0, a 1,... og b 0, b 1,... i Fourier-rekken til en funksjon f(x) med periode 2L? 13
14 25. forelesning 10.3 Fourier konvergensteoremet Jamne og odde funksjoner. Definer stykkevis kontinuerlig. Hvorfor er konvergensteoremet fundamentalt når en representerer en løsning ved hjelp av en Fourier-rekke? Hva konvergerer Fourier-rekken til funksjonen f(x) mot i punkt der funksjonen er diskontinuerlig? Hva er Gibbs fenomen? Hva er en odde og hva er en jamn funksjon? Hvorfor er egenskapene odde/jamn av spesiell interesse i forbindelse med Fourier-rekker? Hva kan du si om en funksjon som er beskrevet ved en ren sinus- eller ren cosinus-rekke? 26. forelesning 10.5 Andre varmeledningsproblem. Hvorfor holder det ofte å ta med bare de par-tre første leddene i (den uendelige) Fourierrekken som representerer løsningen av et varmeledningsproblem? Hvordan kan en redusere et problem med inhomogene randverdier til et med homogene? Hvorfor svarer randbetingelsen u x (0, t) = 0 til at endepunktet x = 0 er isolert? 14
15 27. forelesning 10.6 Bølgeligningen. Forklar hvorfor bølgeligningen gir en rimelig beskrivelse av svingning av en elastisk streng. Hvor mange initial- og randbetingelser kreves for å løse en bølgeligning? Hvorfor? Er bølgeligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på bølgeligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? Hva er en naturlig frekvens, en naturlig mode og en bølgelengde? 28. forelesning 10.7 Laplace-ligningen. Hvorfor kan Laplace-ligningen (pålagt randkrav) sies å beskrive tidsuavhengige løsninger av varme- og bølgeligningen? Hva er et Dirichlet og et Neumann krav? Hvor mange randbetingelser kreves for å løse en Laplace ligning? Hvorfor? Og hvorfor snakker en ikke om initialbetingelser her (virkelig på siden av pensum)? Er Laplace ligningen lineær/ikke-lineær homogen/inhomogen? Hvilke to typer ordinære differensialligninger får en ved å bruke separasjonsmetoden på Laplace ligningen (som er en partiell differensialligning)? Hvilken form får generelt løsningen? 15
UNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske
Detaljers 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) 1 s 2 e s. s 2 (s 2 + 1) = 1 s 2 1 s s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D eksamen 8 august Løsningsforslag a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der ut) er Heaviside-funksjonen f t) = L {F s)} = ut ) g
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerEmne 11 Differensiallikninger
Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi
DetaljerLøsningsforslag, Ma-2610, 18. februar 2004
Løsningsforslag, Ma-60, 8. februar 004 For sensor og kandidater.. Lineær uavhengighet Avgjør hvorvidt de følgende funksjonene er lineært uavhengige på den reelle tallinja: f(x) x g(x) 3x h(x) 5x 8x Svaralternativ
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerDifferensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen
DetaljerEKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:
. EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall
DetaljerTMA4123M regnet oppgavene 2 7, mens TMA4125N regnet oppgavene 1 6. s 2 Y + Y = (s 2 + 1)Y = 1 s 2 (1 e s ) e s = 1 s s2 s 2 e s.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA43/5 Matematikk 4M/N, 8 august, Løsningsforslag TMA43M regnet oppgavene 7, mens TMA45N regnet oppgavene 6 a) Andre forskyvningsteorem side 35 i læreboken) gir at der
Detaljery(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerLøsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/4N øsningsforslag Alexander undervold Mai 22 Oppgave a Den Fouriertransformerte
DetaljerOversikt over Matematikk 1
1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet
DetaljerSENSORVEILEDNING. Emnenavn: Matematikk 2. Dato:
SENSORVEILEDNING Emnekode: IRF2004 Emnenavn: Matematikk 2 Eksamensform: Skriftlig Dato: 26..8 Faglærer(e): Tore August Kro Eventuelt: Dette er revidert versjon av sensorveiledningen. Denne sensorveiledningen
DetaljerMAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2000, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M7 - Matematiske metodar Mandag 29. mai 2, kl. 9-5 Løysingsforslag: a Singulære punkt svarer til nullpunkta for x 2, dvs. x = og x =. Rekkeutvikler om x = : yx = a n x n y x = na n x n
Detaljer(s + 1) s(s 2 +2s+2) : 1 2 s s + 2 = 1 2. s 2 + 2s cos(t π) e (t π) sin(t π) e (t π)) u(t π)
NTNU Institutt for matematiske fag Eksamen i TMA4 Matematikk 4K og MA5 Kompl. f.teori med diff.likninger.8.4 Løsningsforslag Laplace-transformasjon av initialverdiproblemet gir y + y + y ut π), y), y )
DetaljerOptimal kontrollteori
Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
DetaljerTMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 1. november 2013 Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise hva
Detaljer13.1 Fourierrekker-Oppsummering
3. Fourierrekker-Oppsummering Fourierrekken til en periodisk funksjon f med periode = L er gitt ved F f (x) = a + a n cos(nωx) + b n sin(nωx) der x D (konvergensområdet) a = / / f(x) dx = L b n = f(x)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4110/TMA4115 Calculus 3 Faglig kontakt under eksamen: Markus Szymik Tlf: 411 16 793 Eksamensdato: August 2018 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerDagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling
Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerEksamen i TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/N
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA423/TMA425 Matematikk 4M/N Bokmål Mandag 2.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11 Modellering og beregninger Eksamensdag: Mandag 1 Desember 218 Tid for eksamen: 9: 13: Oppgavesettet er på 5 sider
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerEksamen i TMA4122 Matematikk 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Yura Lyubarskii: mobil 9647362 Anne Kværnø: mobil 92663824 Eksamen i TMA422 Matematikk
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 16 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MATEMATIKK 4N, 19.12.2003 Oppgave 1 a) Vis at den Laplacetransformerte av f(t) = 2te t
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerTidligere eksamensoppgaver
Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir
DetaljerNumerisk løsning av PDL
Numerisk løsning av PDL Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 6. November 2007 Problem og framgangsmåte Fram til nå har vi sett på ordinære
DetaljerKonvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
Detaljer0.1 Kort introduksjon til komplekse tall
Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
DetaljerEksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
DetaljerViktig informasjon. Taylorrekker
Viktig informasjon Fredag 15 desember 2017 Kl09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator I dette oppgavesettet har du mulighet til å svare med digital
DetaljerLøsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y
DetaljerEKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Fredag 4. desember 2009 løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator
DetaljerLineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig.
Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig. (If you need an English version, please notify me. Nils) Jeg har blitt gjort oppmerksom på at forelesningsplanen
DetaljerMål og innhold i Matte 1
Mål og innhold i Institutt for matematiske fag 15. november 2013 på Målet med denne oversikten er at vi skal se hvor vi er i pensum, og at du skal kunne finne hva du kan/ikke kan. Jeg vil i tillegg vise
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Høst 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y
DetaljerEksamensoppgave i TMA4135 Matematikk 4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA435 Matematikk 4D Faglig kontakt under eksamen: Helge Holden a, Gard Spreemann b Tlf: a 92038625, b 93838503 Eksamensdato: 2. desember 204 Eksamenstid
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 8. juni 07 Tid for eksamen: 09.00 3.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT-INF360
DetaljerEksamensoppgave i TMA4122,TMA4123,TMA4125,TMA4130 Matematikk 4N/M
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA422,TMA423,TMA425,TMA430 Matematikk 4N/M Faglig kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen Tlf: 46432506 Eksamensdato: 9. august 207 Eksamenstid (fra til):
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 10 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 10 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Antideriverte. 2 Differensiallikninger
DetaljerLøsningsforslag MAT 120B, høsten 2001
Løsningsforslag MAT B, høsten Sett A = ( ) (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til A ( ) λ =, e = ( λ =, e = ) (b) Finn matrisen e ta og den generelle løsningen på initialverdiproblemet Ẋ = AX, X()
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA-109 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik
EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerAnvendelser av potensrekker
Anvendelser av potensrekker Forelest: 6 Okt, 2004 Vi kan bare skrape på toppen av isfjellet som er anvendelsene av potensrekker En spesielt viktig anvendelse er innenfor enhver form for differensialligninger
DetaljerComputers in Technology Education
Computers in Technology Education Beregningsorientert matematikk ved Høgskolen i Oslo Skisse til samlet innhold i MAT1 og MAT2 JOHN HAUGAN Både NTNU og UiO har en god del repetisjon av videregående skoles
DetaljerTMA4135 Matematikk 4D Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA435 Matematikk 4D Høst 04 Eksamen. desember 04 Integralet er en konvolusjon, så vi har Laplace-transformasjon gir yt) y cos)t)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT111 Prøveeksamen Eksamensdag: 5. juni 21. Tid for eksamen: 1. 13.3. Oppgavesettet er på 9 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4130/35 Matematikk 4N/4D Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø a, Kurusch Ebrahimi-Fard b, Xu Wang c Tlf: a 92 66 38 24, b 96 91 19 85, c 94 43 03
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
Detaljer2 Fourierrekker TMA4125 våren 2019
Fourierrekker TMA45 våren 9 I M lærte du at mange glatte funksjoner kan skrives som en potensrekke. En mye større klasse av funksjoner kan skrives som rekker av sinus- cosinusfunksjoner. Komplekse funksjoner
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998
Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerFasit MAT102 juni 2016
Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerSTE6146 Signalbehandling =-WUDQVIRUPHQ
TE6146 ignalbehandling =-WUDQVIRUPHQ,QWURGXNVMRQ Fourier-transformen er et meget nyttig verktøy for diskrete signaler og systemer Fourier-transformen konvergerer ikke for alle følger Trenger mere generelt
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 6
MAT00 - Grublegruppen Notat 6 Jørgen O. Lye Vektorrom og indreprodukt Vektorrom Vi trenger å si litt om vektorrom og indreprodukt for å formulere Fourierrekker. Denisjonen av vektorrom kan man tenke på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-IN1105 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I MATEMATIKK 4N/D (TMA4125 TMA4130 TMA4135) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 8 EKSAMEN I MATEMATIKK N/D (TMA25 TMA3 TMA35 3. August 27 LØSNINGSFORSLAG Oppgave a Løsning: fouriersinusrekken til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerViktig informasjon. 1.1 Taylorrekker. Hva er Taylor-polynomet av grad om for funksjonen? Velg ett alternativ
Viktig informasjon MAT-INF1100 - Modellering og beregninger Mandag 10. desember 2018 Kl.09:00-13:00 (4 timer) Tillatte hjelpemiddel: Formelsamling (deles ut på eksamen), Gyldig kalkulator. I dette oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x
Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
Detaljer