1 FAKTA OM FOURIERTRANSFORMEN

Transkript

1 FAKTA OM FOURIERTRANSFORMEN K=Kreyszig,9.utgave. FT = fouriertransform. KharetlangtkaittelomLalacetransformen,menerknaogufullstendigÂFT. (x;!) kan vêre tid/vinkelfrekvens eller lengde/romfrekvens (romfrekvens = b lgetall). Hatt (^) eller bokstaven F betegner FT-en av funksjonen f (x) ; <x<: ^f (!) =Ff (!) ; <!<: Det er raktisk  skrive F for ^f! f: f = F ^f : DeÖnisjon av FT i K. lign. 6 og 7, s. 59: ^f (!) = f (x) e i!x dx () f (x) = ^f (!) e i!x d!: () Linearitet KTheorem2,s.52: F (af + bg) =af (f)+bf (g) ; a; b vilkârlige konstanter () Regnesjekk ^f () = f (x)dx () f () = ^f (!)d!: (2) FT av FT Hvis ^f(!) er en FT og g (x) = ^f (x), <x<, vil ^g (!) =f (!) : (3) Forskyvningsregel K, Team Project 4, s. 528: (a) Funksjonen g (x) =f (x x ) har FT ^g (!) =e i!x ^f (!) : (b) FT-en ^g (!) = ^f (!! ) kommer fra funksjonen g (x) =e i! x f (x) :

2 (4) Derivasjonsregel K, Theorem 3, s. 522: (a) For f (x) vil F df (!) =F (f )(!) =i! dx ^f (!) : (b) Hvis ^f er FT-en til f; vil df ( ix) f (x) =F (x) : d! (5) Konvolusjon K, Theorem 4, s. 523: La Da vil g (x) =(h f)(x) = h (x ) f ()d: ^g (!) =F (h f)(!) = ^h (!) ^f (!) : og Sjekk at h f = f h! Ioerasjonenf! h f g (x) = ^g (!) e i!x d! = ^h (!) ^f (!) e i!x d!: reresenterer îh î etölter. Dette Ölteret er lineêrt siden h (af + bg) =a (h f)+b (h g) (sjekk!), og det er ogsâ translasjonsinvariant, dvs. (h f) x = h f x ; der f x betegner funksjonen f (x x ). Innenfor en mer generell ramme viser det seg at alle lineêre og translasjonsinvariante Öltre lar seg reresentere ved en konvolusjon. Dermed kan en beregne resultatet via fouriertransformen, og dette er den aller viktigste anvendelsen av FT (Figur ). Isignalbehandlingkallesh (x) for imulsresonsen og ^h (!) for transferfunksjonen til Ölteret. (6) Like og odde funksjoner f like () ^f like f odde () ^f odde. 2

3 (7) Strekking og komrimering Hvis g (x) =af (ax) for a>, vil ^g (!) = ^f! a : Se Ögur 2. Deltafunksjonen Deltafunksjonen, (x), erensâkaltgeneralisert funksjon. K, s. 24 ñ 242, viser hvordan (x) kan ofattes som grense av en f lge funksjoner. Det er vanlig  îdeönereî (x) ved ; x = (x) = ellers ; (x)dx =; men dette er kun en mâte  tenke seg (x) Â, og ikke en matematisk deönisjon. Den viktigste egenskaen til (x) er eller mer generelt, (x x ) f (x)dx = (x) f (x)dx = f () ; (x x) f (x)dx = f (x ) ; som angir hvordan vi bruker -funksjonen i et integral ( ofattes som en like funksjon!). FT til -funksjonen: ^ (!) = FT-en til funksjonen er konstanten =! Konvolusjon med -funksjonen: dvs. ( f)(x) = (x) e i!x dx = e i! = : (x ) f ()d = f (x) ; f = f: Konvolusjon med -funksjonen gir samme funksjon! 3

4 Fouriertransformer Funksjoner Figure : Figuren illustrerer hvordan konvolusjonsöltre behandles ved hjel av fouriertransformen. For store signaler er dette enormt regningsbesarende (Figuren mangler foran ^h (!) ^f (!)) Funksjonen ae - ax a=/2 a= a= x Fouriertransformen ω Figure 2: NÂr funksjonen strekkes ut, trykkes fouriertransformen sammen, og omvendt! 4

5 2 TILLEGG Fouriertransformen til e x2 =2 K. Tabell III, s. 53, formel nr. 5. Hvis g (x) =e x2 =2,vilg tilfredsstille di.ligningen g (x)+xg (x) =: Da mâ vi ogsâ ha, ved  bruke derivasjonsreglene; =F (g + xg)(!) =F (g d^g (!) + i ( ixg)) = i!^g (!)+i d! ; med andre ord, ^g tilfredsstiller samme di.ligning som g, Dermed mâ Vi Önner A ved  bruke Regel : g () = = d^g (!) d! +!^g (!) =: ^g (!) =Ae!2 =2 : ^g (!)d! = (Jfr. gaussfordelingen i statistikk!). Alts er F e x2 =2 (!) =e!2 =2 : Ae!2 =2 d! = A: Parsevals Teorem Akkurat som for fourierrekker Öns det et Parsevals Teorem (ogsâ kalt Parsevals Identitet) som knytter integralet av jf (x)j 2 til fouriertransformen. Med vâr deönisjon av fouriertransform er resultatet enkelt: jf (x)j 2 dx = ^f (!) 2 d!: Beviset bruker at fouriertransformen til funksjonen f ( x) er lik ^f (!): Z f ( x)e i!x dx = N lar vi g (x) =f ( x) og benytter f rst at (g f)()= = g ( ) f ()d f ( ( ))f ()d = f ( x) e i!x dx s= x = 5 Z f ()f ()d = f (s) e i!s ds = ^f (!): jf (x)j 2 dx:

6 Videre har vi fra deönisjonen av konvolusjon (Regel 5): (g f)()= ^g (!) ^f (!)d! = ^f (!) ^f (!)d! = ^f (!) 2 d!; som dermed beviser Parsevals Teorem. IKreyszigs. 52kalles R ^f (!) 2 d! for den totale energien, ogenergifordelingen ^f (!) kalles sektret. Hvis I (t) er str mstyrken som funksjon av tiden t over en motstand R, erutvikletvarmee ekt RI (t) 2.Totalutvikletvarmeenergiblirf lgelig R I (t) 2 dt: If lgeparsevalsteoremkandennealternativtuttrykkessometintegraloverenergifordelingen (sektret), R ^I (!) 2 d!: Numerisk fouriertransform Numerisk vil det bare vêre mulig  beregne fouriertransformen ^f (!) = f (x) e i!x dx; for et endelig antall!-er, og med en numerisk tilnêrmelse til integralet. Denne oerasjonen bestâr av áere steg. 2 Begrense funksjonen til et endelig intervall Hvis ikke funksjonen vi har allerede er begrenset til et endelig intervall, kaer vi den ute  endene slik at den f.eks. blir lik utenfor [ L L] (kaer ikke brâtt, men legger den îentî inn til, jfr. Gibbs fenomen). Fouriertransform fra fourierkoe sienter Med f begrenset til intervallet [ L L] kan vi skrive ^f (!) = Z L L f (x) e i!x dx: () Hvis nâ funksjonen hadde vêrt 2L-eriodisk, ville de komlekse fourierkoe sientene vêre c n = Z L f (x) e i n L x dx = 2L L 2L ^f n : (2) L 6

7 Med andre ord, ^f n r 2 = L L c n;n= ; ; ; ; 2; : Fourierkoe sientene gir oss dermed FT i unktene! = n=l; og unktene ligger tettere jo st rre L er. Numerisk beregning av fourierkoe sienter Anta nâ at f er 2L-eriodisk. Vi deler intervallet [; 2L] o i N biter av lengde 2L=N og lager en tilnêrmelse til integralet i lign. 2: c n = 2L Z 2L 2L 2L N = N N X k= f (x) e i n L x dx N X k= f f 2L N k 2L N k e i n L ( 2L k) N (3) e i N nk : Formelen gir oss en numerisk beregning av c n ; n = ; ; ; ; 2;,mendetventer oss en overraskelse hvis vi r ver  beregne c N. For n = N blir eksonensialfunksjonen i summen e i N Nk = e ik = for alle hele tall k. Alts gir beregningen at c N = c,noesomnaturligvisblirheltfeil!sjekkâsammemâte at n = N gir c N = c. Generelt blir summen i lign. 3 uforandret om vi legger et helt antall N til n. Dermedvilviforn =; ; ;N ha c ;c ;c 2 ; ;c 3 ;c 2 ;c : Fourierkoe sientene m tes ved n = N=2,og vi fâr ingen informasjon om fourierkoe sienter for jnj >N=2. ForÂÖnnec n for st rre n, mâvilageenönereinndeling,dvs. ken! For fouriertransformen betyr dette at vi kun fâr vite noe om ^f for j!j N L 2 : (4) Merk at 2L=N = x er avstanden mellom mâleunktene (samlingsunktene) avf (x) i beregningen. Denne avstanden blir ofte kalt samlingsintervallet, ogfrekvensbegrensningen ilign.4,! N = x ; kalles for Nyquistfrekvensen (Ingeni rer bruker ofte frekvens =!= istedetforvinkelfrekvens,!, ogdablir N = x ). 7

8 Diskret fouriertransform (DFT) N skriver vi X k = f 2L N k, k =; ;N, mens ^X n, n =; ;N, erresultatet fra beregningen i lign. 3. Da fâr vi ^X n = N N X k= X k e ink=n ;n=; ;N : (5) Det er en god velse  sjekke at vi ogsâ har en omvendt formel, X k = N X n= (Kneet stâr nederst  s. 524 i K). ^X n e ink=n ;k=; ;N : (6) Ligning 5 kalles diskret FT (DFT), og lign. 6 er den inverse DFT (IDFT). Fast Fourier Transform (FFT) Fast Fourier Transform er en smart algoritme for  beregne DFT og IDFT (K. s. 526). For et tilfeldig eksemel med N = 248  min tilfeldige PC, tok en direkte beregning av lign. 5 i MATLAB ca. 8 sekunder (dobbel l kke), mens Xhatt = t(x); beregnet ganger (!), feide unna Â.47s. Rett nok er MATLAB utstyrt med FFTW, Fastest FT in the West,ogmedotimalisert,komilertkode,mendettevarioverkant. Det er altsâ ikke sesielt smart  rogrammere lign. 5 selv! Nesten alle raktiske anvendelser av fouriertransformen dreier seg om  bruke FFT. L sning av varmeledningsligningen Vi bruker fourierrekker til  l se roblemer over endelige omrâder, mens vi trenger fouriertransformen nâr omrâdene er uendelige. Vi skal se  varmeledning i en lang stav. Anta at staven, for raktiske formâl, rekker fra x = til +. Nedenfor antar vi ogsâ at c 2 =,slikatligningenfortemeratureni staven blir La oss igjen betrakte startverdiroblemet u t = u xx ; (7) x ; t: u (x; ) = f (x) : (8) 8

9 Fouriertransformen av u (x; t) mh. x (altsâ ikke mh. t!) skrives ^u (!; t) = u (x; t) e i!x dx, u (x; t) = ^u (!; t) e i!x d!: Vi b r anta at f ikke er for stor nâr jxj!,mendetteerstrengttattikken dvendig for formelen som vi Önner til slutt. NÂr vi setter inn den inverse fouriertransformen og bytter rekkef lgen  integralet og derivasjonen, fâr vi =u t (x; t) u xx (x; t) (!; t) e (!; t) e 2 = ^ut (!; t) (i!) 2 ^u (!; t) e i!x d!: Dermed blir ^u t (!; t) (i!) 2 ^u (!; (!; t)+!2^u (!; t) =: Idenne(ordinÊre)di.ligningener! bare  ofatte som en arameter, og den generelle l sningen blir ^u (!; t) =A (!) e!2t : Hvis vi nâ trekker inn startbetingelsen ved t =, u (x; ) = f (x), serviata (!) netto mâ vêre fouriertransformen til f (x), og dermed fâr vi umiddelbart fouriertransformen til l sningen, ^u (!; t) = ^f (!) e!2t : (9) Selve l sningen blir u (x; t) = ^f (!) e!2t e i!x d!: () Fouriertransformen til u er et rodukt av ^f og e!2t,ogdeternêrliggendeâtenkeâ konvolusjon. Hvis funksjonen g (x; t) har fouriertransform vil u (x; t) = e!2t = ; () f (x s) g (s; t)ds (2) (Sjekk denne formelen under deönisjonen av konvolusjon!). Ovenfor har vi allerede bevist at F e x2 =2 (!) =e!2 =2 ; og dette kan vi benytte for  Önne g (x; t): g (x; t) = = 4 t ex 2! e!2 t e i!x d!!=s= 2t = Z x 2t 2! = 4 t e x2 4t : e s2 =2 e i sx 2t ds 2t 9

10 t= t=. t=.3 t=.6 t=.5 t= Figure 3: Dimensjonsl s fundamentall sning for noen verdier av (dimensjonsl s) tid, t. Funksjonen g (x; t) = 4 t e x2 4t ; <x<; < t; er sesiell: R (i) g (x; t)dx = for alle t>; (ii) lim t! ^g (!; t) == for alle!; (iii) R lim t! g (x; t) = (x) ; (iv) f (x s) g (s; t)ds! f (x) ; t! (v) g t = g xx for alle t>: Egenska (i) f lger lett fra R e x2 dx =.Egenska(ii) f lger fra fouriertransformen til g, angittilign.. Egenska(iii) forteller at familien fg (x; t)g t> av funksjoner konvergerer mot -funksjonen, noe som for vrig ogsâ stemmer med (ii). Dettekommerav at g (x; t) for smâ t blir meget smal og siss, mens integralet forblir. Egenska (v) kan vises direkte ved  derivere g (x; t), mendeterenklereâsedetfra F (g t g (i!)2 ^g =! ^g +! 2^g =: Figur 3 viser hvordan g ser ut for noen verdier av t. Hvis vi ofatter g som en gaussfordeling, ker standardavviket med tiden, = 2t. (3)

11 Lign. 2 kan tilnêrmes som u (x; t) = = = X n= f (x s) g (s; t)ds f (s) g (x s; t)ds f (n s) g (x n s; t) s: (4) Dette viser at vi kan îbygge oî l sningen for alle rimelige f vha. g. Derfor kaller vi g for fundamentall sningen. I fagb ker vil en ofte Önne formuleringer som sier at g (x; t) er l sningen av varmeledningsligningen for t> nâr u (x; ) = f (x) = (x). Herreresenterer (x) îen enhet varmemengdeî som slies l s i x =(ved t =). I ligning 4 reresenterer îf (n s) sîenvarmeulsin s som sres utover i f lge fundamentall sningen etter hvert som tiden gâr. Konstruksjonen er et eksemel fra en klasse avanserte metoder for artielle di.ligninger som ikke har mye til felles med searasjon av variable. Innenfor denne teorien kalles g for en Greenfunksjon. For  beregne l sningen numerisk, bruker en alltid FFT. Denne koden ble brukt til  lage Ög. 4: N = 496; Deltax = /N; [xs,s] = NewScene(Deltax); % Gir oss f(x) for <x<. % Riktig lassering av fundamentall sningen  x-vektoren f r FT: x = N*Deltax*(mod( /2 + (:(N-))/N, ) - /2); tval = [....]; % t-verdier for = :4 end t = tval(); g = (/sqrt(4*i*t))*ex( -x.*x/(4*t)); % Fundamentall sning % L sning vha FFT. Deltax = normering, % írealí fordi ifft(fft) blir definert komleks i Matlab sol = Deltax*real( ifft( fft(g).*fft(s) ) ); sublot(4,,) lot(xs,s,xs,sol,írí,ílinewidthí,) legend(íu(x,)í,[ít = í num2str(t)]) Kommentar til koden: Mens fundamentall sningen g (x; t) er den samme, vil ^g (!;t) variere med deönisjonen av FT. Ved  bruke g (x; t) ikodenistedetfor^g (!; t),slierviâbekymre oss for dette. Men normeringen av l sningen mâ vêre riktig, derfor multilikasjon med Deltax. MerkogsÂatfundamentall sningenerdeönertâintervallet[ :5 :5].

12 u(x,) t = e u(x,) t = e u(x,) t = u(x,) t = Figure 4: L sning av varmeledningsligningen for en irregulêr startverdifordeling, u (x; ) = f (x). Vedt = 6 har det ikke skjedd mye, men allerede ved t = 3 har alle detaljene forsvunnet. Den totale varmemengden er bevart, sâ arealet under den blâ og de r de fordelingene er det samme. 2