slik at en tredje denisjon kan ogsa brukes: F (!) Fff(t)g 1 p f(t) F ff(!)g 1 p f(t)e,i!t dt ; F (!)ei!t d! : Det er ogsa mulig a bruke frekvensen f i

Transkript

1 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR PETROLEUMSTEKNOLOGI OG ANVENDT GEOFYSIKK SIG445 Geofysisk Signalanalyse Lsningsforslag ving 1 Oppgave 1 Det som er viktig med denisjonen av Fourier og invers-fourier transformasjonene er at man far den opprinnelige funksjonen nar man invers-transformerer F (!). Vi vet at det er tilfellet for den vanlige denisjonen, som ble brukt i forelesningene. M.a.o. har man f(t) 1 f(t )e,i!t dt e i!t d! ; (1) hvor leddet i parentes er den vanlige Fourier transformasjonen. La oss bruke ennyvariable,t og,t. ogsa d,dt,ogvima forandre grenseverdiene til integralet i parenteser. Vi far da f(,) f(t) 1,Z +1 f(, )e i! d e,i! d! : () Vi kan denere funksjonen g som g() f(,). Dessuten kan vi bytte grenseverdiene til integralet i parenteser ved a gange integralet med. Vi far da Z g() 1 1 g( )e i! d e,i! d! : (3) Kaller vi integralet i parenteser for G(!), har vi en alternativ denisjon av Fourier transformasjonen. Likning (3) representerer da den nye invers-fourier transformasjonen, og vi ser at den oppfyller kravet om a fa tilbake den opprinnelige funksjonen g(t) ved a inverstransformere G(!). Det nnes enda ere mater a denere Fourier transformasjonen pa: Ligning (1) kan skrives igjen f(t) 1 p " 1 p f(t )e,i!t dt # e i!t d! ; (4) 1

2 slik at en tredje denisjon kan ogsa brukes: F (!) Fff(t)g 1 p f(t) F ff(!)g 1 p f(t)e,i!t dt ; F (!)ei!t d! : Det er ogsa mulig a bruke frekvensen f i stedet for angular frekvensen!. f! 1 og df d!, slik at den vanlige denisjonen kan omskrives F (f) Fff(t)g f(t)e,ift dt ; f(t) F ff(f)g F (f)eift df : Oppgave Vi denerer h(t) af(t) + bg(t) H(!) h(t)e,i!t dt (af(t)+bg(t)) e,i!t dt af(t)e,i!t dt + bg(t)e,i!t dt a f(t)e,i!t dt + b g(t)e,i!t dt af (!)+bg(!) Dette er opplagt, men like fullt viktig a merke seg Oppgave 3 Brukes Eulers formel, far vi x(t)e,i!t dt : x(t) cos(!t)dt, i x(t) sin(!t)dt :

3 x(t),cos(!t) og sin(!t) eralle reelle funksjoner av t, og vi har da: R(!) Re fx(!)g I(!) ImfX(!)g, Fra (5) og (6) kan vi ogsa regne ut R(,!) ogi(,!): Dermed er R(!) en like funksjon. R(,!) R(!) I(,!), +,I(!) x(t) cos(!t)dt (5) x(t) cos(,!t)dt x(t) cos(!t)dt x(t) sin(!t)dt (6) x(t) sin(,!t)dt x(t) sin(!t)dt Dermed er I(!) en odde funksjon. Konklusjonen er at, for et reelt signal (av og til bruker geofysikere komplekse signaler, men i Geofysisk Signalanalyse begrenser vi oss til reelle signaler), det reelle spektret ma vre like, og det imaginre spektret ma vre odde. I praksis betyr det at vi kjenner hele spektret sa lenge vi kjenner det for positive frekvenser. Pa den annen side ma en ikke glemme at spektret er komplekst, og beskrives da med to reelle funksjoner, R(!) og I(!), ikke bare en!!! I stedet for R(!) og I(!) kan vi ogsa bruke amplitudespektret, A(!), og fasespektret, '(!) (se neste oppggave). Oppgave 4 I det som flger er '(!) denert k. Vi kan skrive x(t) 1 1 '(!) k, A(!) X(!)e i!t d!, X(!) er reel X(!) cos(!t)d! + i X(!) sin(!t)d! : (7) 3

4 Hvis X(!) er reell, representerer det andre leddet den imaginre delen av x(t), som ma vre null, siden signalet vart er reelt. da og utsagnet B er oppfyllt. x(,t) 1 x(t) ; Siden x(,t) x(t)kan vi skrive X(!) cos(,!t)d! (8) x(t)e,i!t dt: (9) x(,t)e,i!t dt: Vi kan ta en variablebytte,t. Da har vi d,dt, og vi far,z x()e i! d +1 x()e i! d Integrasjonsvariablen kan kalles t istedet for (navnet til integrasjonsvariablen har ingen betydning. Vi kunne godt kalt den for u ogsa ). _ Da far vi x(t)ei!t dt: (1) Adderer vi na ligningene (9) og (1) kommer vi fram til x(t) cos(!t)dt; som viser at X(!) er reelt. Utsagnet A er da oppfyllt. Dette kan ogsa bevises pa en annen mate: Hvis x(t) erenlike funksjon kan vi skrive x(t), x(,t) : Setter vi (7) i denne ligningen, og bruker vi cos(,!t) cos(!t) og sin(,!t), sin(!t), far vi X(!) sin(!t)d! : (11) Da kan (7) skrives x(t) 1 4 X(!) cos(!t)d! (1)

5 La oss kalle det imaginre spektret og det reelle spektret for henholdsvis R(!) og I(!). Fra (11) har vi og fra (1), siden x(t) er reel, I(!) sin(!t)d! ; (13) Ganger vi (13) med i, og adderer vi (14), far vi I(!) cos(!t)d! ; (14) I(!)ei!t d! ; (15) som viser at i(t) er null, hvor i(t) er den inverse Fourier transformasjonen av I(!). Dette viser ar I(!) ernull. Med andre ord er X(!) reelt. Vi kan na si at de to utsagnene er ekvivalente. Dette beviser en viktig egenskap til signalene med null fase spektrum: Disse ma vre symmetriske i tid, med t som symmetriakse. Et eksempel pa signal med null fase spektrum er Rickerwavelet. 5