Prov i matematik Matematiska institutionen. Transformmetoder Julia Viro

Transkript

1 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 5--9 Skrivtid: 5. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application Maxpoäng för varje uppgift ges inom parentes. Betyggränserna: 8, 5, 3 poäng.. Lös differentialekvationen y +y = f(t)+δ(t ) med begynnelsevillkoren y() =, y () =. Kontrollera att lösningen är korrekt genom insättning i ekvationen. (3+)! "!!"#$ %#. Använd Z-transform för att bestämma en rekursionsekvation för talföljden x n = an b n a b, där a och b är rötterna till ekvationen z z =. (6) 3. Beräkna första och andra derivator för distributionen f(x) = x. (4) 4. Utveckla funktionen f(x) = arccos x, x < i Chebyshev-serie. (6) 4x( x) 5. Bestäm Fourierserien för udda -periodiska funktionen som ges av f(x) =, < x <. Vad är seriens summa i en godtycklig punkt x? Motivera! Beräkna summor k= ( ) k+ (k ) 3 och k= (k ) 6. (+++) 6. Lös randvillkorsproblemet: u tt = a u xx, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > 4x( x) u(x, ) =, < x < u t (x, ) =, < x <. 7. Låt f a (t) = a a + t, a >. Beräkna faltningen f a f a. Generalisera till fler än två faltningsfaktorer. Använd resultatet för att beräkna integralen Svar:. y(t) = (t sin t)h(t) (t sin(t ))H(t ) dx (x x + )(x + 4).. x n+ = x n+ + x n 3. f (x) = + (H(x + ) H(x) + H(x )), f (x) = (δ(x + ) δ(x) + δ(x )) 4. arccos x = 4 X T k+ (x) (k + ) k= 5. f(x) = 3 X sin(k )x 3 (k ) 3, X ( ) k+ (k ) 3 = 3 3, X (k ) 6 = 6 96 k= k= k= 6. u(x, t) = 3 X cos(a(k )t) 3 (k ) 3 sin(k )x k= 7. f a f a = f a +a, f a f an = f a + +a n, integralsvärde är 3 (6) (5++)

2 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro 4--3 Skrivtid: 9 4. Hjälpmedel: Appendix C. Formulae av A. Vretblads bok Fourier Analysis and Its Application och formel sin x = cos x Maxpoäng för varje uppgift ges inom parentes. Betyggränserna: 8, 5, 3 poäng.. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t) + y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = H(t) + δ(t ) under begynnelsevillkoret y() = y () =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen. Är systemet stabil?. Använd Laplacetransform för att bestämma en distribution f, som uppfyller ekvationen (H(t)t cos t) f(t) = δ(t) 3. Bestäm Fourierserien för periodisk funktion f(x) = x 3 x, x <. I vilka punkter konvergerar serien likformigt? Vad är seriens summa i punkten x = 5? Beräkna summan n 6. n= 4. Visa att funktioner sin x, sin x, sin 3x utgör ett ortonornerat system i L (, ). Bestäm den ortogonala projektionen av funktionen f(x) = x 3 x på det delrum av L (, ), som spänns upp av de tre funktionerna. 5. Lös randvillkorsproblemet: 6. Beräkna integralen u t = u xx + sin x, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = 8 sin 4x sin 6x, < x < (cos x ) dx 7. Bestäm en funktion, definierad på hela R, som uppfyller integralekvationen {, om a < x < b f(x y) dy = x [,] (x) + ( x) [,] (x), där [a,b](x) =, annars. Svar:. y(t) = ( cos t)h(t) + sin(t )H(t ). Systemet är instabilt. x 4. f(t) = δ + 3δ + 4H(t) sinh t X ( ) n sin nx 3. Fourierserien är 3 n n= 3, serien konvergerar likformigt för alla x, seriens summa i x = 5/ X är 3/8, n n= 6 = Svaret hämtas direkt från uppgift 3, projektionen är jo summan av de tre första termer i Fourierserien : 3 4 sin x + sin x sin 3x u(x, t) = ( e t ) sin x + 8e 6t sin 4x e 36t sin 6x f(x) = [,] (x).

3

4

5

6

7

8

9

10 Uppsala universitet Prov i matematik Matematiska institutionen Transformmetoder Julia Viro --8. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t)+y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = [,] (t) under begynnelsevillkoret y() =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen.. Använd operationskalkyl för att bestämma en lösning (y (t), y (t)) till systemet { H y + δ y = δ(t) δ y + δ y = 3 3. Bestäm Fourierserien för en periodisk signal f(x) : 3 f(x) x Visa att Fourierserien konvergerar likformigt. Beräkna effekten av signalen. 4. Lös randvillkorsproblemet (ryckt sträng): u xx = u tt, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = f(x), < x < u t (x, ) =, < x < f(x) x 5. Bestäm det polynom av grad högst 3 som utgör den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ). 6. Beräkna integralen f(x) = x + b. cos ax x + b dx, a >, b >. Tips: studera Fouriertransform av 7. Bestäm en funktion som löser integralekvationen e 4(x y) f(y) dy = e x. Svar:. y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). y (t) = δ(t) e t H(t), y (t) = e t H(t) 3. f(x) = 4 P ( ) k sin (k + )x k= (k + ), effekten är 4. u(x, t) = 4 P ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x k= (k + ) x e ab b 7.f(x) = 4 e 4x 3 3

11 4 LÖSNINGAR TILL --8. Ett dynamiskt system beskrivs med differentialekvationen y (t)+y(t) = x(t). Bestäm utsignal y(t) för insignal x(t) = [,] (t) under begynnelsevillkoret y() =. Kontrollera att svaret är korrekt genom insättning i ekvationen. Lösning: Detta är ett begynnelsevärdesproblem: { y, < t < (t) + y(t) =, annars y() = som löses med operationskalkyl (=Laplacetransform). Signalen y(t) ska vara lika med för t <. Låt ỹ(s) vara Laplacetransform till y(t). Då är sỹ(s) y() = sỹ(s) Laplacetransform till y (t). Den karakteristiska funktion [,] (t) [= H(t) H(t )] transformeras till e s e s = s e s. Hela begynnelsevärdesproblemet förvandlas till ekvation s Löser ut ỹ(s): ỹ(s) = e s s(s + ) e s s(s + ) = s(s + ) sỹ(s) + ỹ(s) = e s. s och förbereder den för inverstransform: e s s(s + ) = s ( s + e s s ). s + Från formelsamlingen hämtar man H(t) som en funktion med Laplacetransformen s och e t H(t) som en funktion med Laplacetransformen s +. Tidsfördröjning regel (L5) sager att det är ) : funktionen ( e (t ) )H(t ) som har Laplacetransformen e s ( s s + ( e t )H(t) t t H(t ) ( e (t ) )H(t ) L s s + e s ( L e s s s + Slutligen samlar man ihop allt och får signalen y(t) från ỹ(t): Till sist kontrollerar vi lösningen: y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). y (t) =e t H(t) + ( e t )H (t) e (t ) H(t ) ( e (t ) )H (t ) = e t H(t) + ( e t )δ(t) e (t ) H(t ) ( e (t ) )δ(t ) = e t H(t) e (t ) H(t ). Vi sätter in detta i ekvationen: y (t) + y(t) =e t H(t) e (t ) H(t ) + ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ) = H(t) H(t ) = [,] (t). Stämmer! Alternativ lösning (med impulssvaret): Hjälpekvationen k + k = δ transformeras till s k + k =. Härav k(s) = s + och impulssvaret är k(t) = e t. Lösningen till det ursprungliga ).

12 5 problemet är faltningen av impulssvaret och insignalen: y(t) =k [,] (t) = t e (t τ) { e t (e t ), < t < e t (e ), t > t [,](τ) dτ = e t e τ [,](τ) dτ = = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). Svar: y(t) = ( e t )H(t) ( e (t ) )H(t ). Använd operationskalkyl för att bestämma en lösning (y (t), y (t)) till systemet { H y + δ y = δ(t) δ y + δ y = Lösning: Vi subtraherar den andra ekvationen från den första: (H δ) y = δ och transformerar med Laplace: ( ) s ỹ (s) =. (Faltning förvandlas till produkten av transformerna.) Löser ut ỹ (s): ỹ (s) = s s = s och transformerar tillbaka: y (t) = δ(t) e t H(t). Nu tar vi hand om y (t). Vi transformerar den andra ekvationen i systemet: Alltså y (t) = e t H(t). ỹ (s) + sỹ (s) = ỹ (s) = ỹ(s) s = s. Svar: y (t) = δ(t) e t H(t), y (t) = e t H(t) 3. Bestäm Fourierserien för en periodisk signal f(x) : 3 f(x) x Visa att Fourierserien konvergerar likformigt. Beräkna effekten av signalen. Lösning: Uppenbarligen är signalen f(x) en udda funktion. Härav alla koefficienterna a n är lika med noll. Koefficienterna b n är b n = f(x) sin nx dx.

13 6 Integranden f(x) sin nx är en jämn funktion ty f(x) är udda och sin nx är udda. Alltså b n = f(x) sin nx dx = / f(x) sin nx dx + f(x) sin nx dx = / ( [ cos nx x n x sin nx dx + cos n n 4 n sin n = Fourierserien för f(x) är sin nx n / ] / ( x) sin nx dx = [ cos nx + ( x) n n sin n + cos n + n, n = k 4( ), (k + ) n = k +. f(x) 4 k= / nx ( )sin n sin n n ( ) k sin (k + )x (k + ). = Vi uppskattar absolutbeloppet av en term i summan på följande sätt: ( ) k sin (k + )x (k + ) (k + ) och ser att serien att Fourierserien k= (k + ) konvergerar, vilket medför (enligt Weierstrass majorantsats) 4 ( ) k sin (k + )x (k + ) konvergerar likformigt. Alltså k= Effekten av signalen f(x) är Eller: f(x) dx = f(x) = 4 3/ / x3 3 k= ( ) k sin (k + )x (k + ) för alla x. f(x) dx = / ( x)3 3 4 / / 3/ / x dx + = f (x) 3/ / ( 3 ] / ) = ( x) dx = ) = 4. x f(x) dx = [arean under grafen av f (x)] = 4 x dx = ( ) 3 3 =.

14 7 Svar: f(x) = 4 k= ( ) k sin (k + )x (k + ), effekten är 4. Lös randvillkorsproblemet (ryckt sträng): u xx = u tt, < x <, t > u(, t) = u(, t) =, t > u(x, ) = f(x), < x < u t (x, ) =, < x < f(x) x Lösning: Ekvationen och randvillkoren är homogena, alltså söker vi lösningen i formen u(x, t) = X(x)T (t). Härav X T = XT X eller X = T = λ. Randvillkoren u(, t) = u(, t) = T ger X() = X() =. Begynnelsevärddesproblemet för X(x) är { X + λx = X() = bx() = Icke-trivial lösning finns bara för λ n = n, n =,,.... Den är X n (x) = B n sin nx. Differentialekvation för T (t) är T + n T = som har den allmäna lösningen T n (t) = C n cos nt + D n sin nt. Vi samlar alla lösningar i serien u(x, t) = (a n cos nt + b n sin nt) sin nx. n= Koefficienterna a n, b n definieras av begynnelsevillkor u(x, ) = f(t), u t (x, ) =, < x <. f(x) = u(x, ) = a n sin nx. Serien i högra ledet är Fourierserien av en udda periodisk funktion som sammanfaller med f(x) i intervalet (, ): n= f(x) 3 x Fourierserien för denna funktion hämtas från uppgift 4 (eller beräknas på vanligt sätt): f(x) = 4, n = k Så a n = 4( ), (k + ) n = k +. k= Nu ska vi använda det sista villkoret u t (x, ) =. Sätter in t = : u t (x, t) = ( ) k sin (k + )x (k + ). ( na n sin nt + nb n cos nt) sin nx. n= = u t (x, ) = nb n sin nx. n=

15 8 Detta ger att alla koefficienterna b n är lika med noll. Slutligen, u(x, t) = a n cos nt sin nx = 4 ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x. (k + ) n= k= Svar: u(x, t) = 4 k= ( ) k cos((k + )t) sin (k + )x (k + ) 5. Bestäm det polynom av grad högst 3 som utgör den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ). Lösning: Betrakta det delrum av L (, ) som spänns upp av (de ortogonala) Legendre polynomen P, P, P, P 3. Den bästa approximationen till funktionen f(x) = x i rummet L (, ) är den ortogonala projektionen av f(x) = x på delrummet. Den ges av formeln proj {P,P,P,P 3}f(x) = Vi hämtar Legendre polynomen från tabellen: n=3 n= < f, P n > < P n, P n > P n. P (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x) och beräknar koefficienterna i summan: < x, P > = < x, P > = < x, P > = < x, P > = x dx = [ integrerar jämn funktion] = x x dx = [ integrerar udda funktion] = x dx = ( ) x (3x ) dx = [ integrerar jämn funktion] = ( ) x (5x3 3x) dx = [ integrerar udda funktion] =. 3x 3 x dx = 4 Avläser från tabellen < P, P >= och < P, P >= och stoppar in detta i formeln för 5 projektionen: proj {P,P,P,P 3} x = < x, P > < P, P > P + < x, P > < P, P > P = + /4 /5 (3x ) = 5 6 x Svar: 5 6 x + 3 6

16 9 6. Beräkna integralen f(x) = x + b. cos ax x + b dx, a >, b >. Tips: studera Fouriertransform av Lösning: Fouriertransformen av f(x) = ˆf(ω) = Integralen att beräkna är x + b är e iωx x + b dx = ˆf(ω) = ω=a cos ωx i sin ωx cos ωx x + b dx = x + b dx. b e bω = e ab. b ω=a Vid transformberäkning använder vi formler F och F5. Svar: e ab b 7. Bestäm en funktion som löser integralekvationen e 4(x y) f(y) dy = e x. Lösning: Vi tolkar integralen som faltningen av funktionerna g(x) = e 4x och f(x). Således löses ekvationen med Fouriertransform: Nu ska vi titta i tabellen: x x e x e 4x Transformerade ekvationen ser ut så här: ĝ(ω) ˆf(ω) = F[e x ](ω). F8 med A=/4 e ω F e ( ω ) ω ω/ / e ( ω 4 ) 6 ˆf(ω) = e ω Alltså ˆf(ω) = e 3ω 6 och funktionen f(x) framställs med hjälp av formel F8 (med A = 3/6): f(x) = 4 e 4x Svar: f(x) = 4 e 4x 3 3

17

18

19

20

21

22

23

24

25