Övningar till Matematisk analys IV Erik Svensson

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Övningar till Matematisk analys IV Erik Svensson L 1. Avgör om fx, y) 1 + x + y )e x y förekommande fall största/minsta värdet. har något största eller minsta värde på R och ange i L. Bestäm de värden som funktionen fx, y) 1 + 6x + y)e x y antar på mängden x, y Har funktionen fx, y) x + y )e x+y något största eller minsta värde på mängden y x? Bestäm också största/minsta värdet om det existerar. L 4. Avgör om funktionen fx, y) x y + xy 6xy har något största eller minsta värde på x, y, och ange i förekommande fall största/minsta värdet. L 5. Avgör om funktionen fx, y) 3x 4 1xy + y 6 har något största eller minsta värde på R och ange i förekommande fall största/minsta värdet. 6. Avgör om funktionen fx, y) xy + y )e x har något största eller minsta värde på x och ange i förekommande fall största/minsta värdet. L 7. Avgör om fx, y) x + y har något största eller minsta värde på mängden x 3 + 3x y + y 3 6, x, y x, och bestäm i förekommande fall största/minsta värdet. L 8. Avgör om funktionen fx, y) xy har något största eller minsta värde på mängden x 3 +3xy+8y 3, x, y och ange i förekommande fall största/minsta värdet. L 9. Låt vara mängden x 3 y + 4xy 3 5, x 1. Motivera att är obegränsad. Motivera att funktionen fx, y) xy har ett största men inget minsta värde på. Bestäm största värdet och ange var största värdet antas. 1. Avgör om fx, y) x + y har något största eller minsta värde då x 3 + 3x y + 3xy + y 3 1 och ange i förekommande fall största/minsta värdet. 11. Avgör om funktionen fx, y, z) 3x + 4y + 5z )e x y z har något största eller minsta värde på R 3 och ange i förekommande fall största/minsta värdet. 1. Avgör om funktionen fx, y, z) x + y + z har något största eller minsta värde då x, y, z) och ange i förekommande fall största/minsta värdet om a) är mängden x + y + z + xyz 4, b) är mängden x + y + z + xyz 4, x, y, z. 13. Avgör om funktionen fx, y, z) x+y+z har något största eller minsta värde på mängden xy+yz 1, xz + yz 4, x >, y >, z > och ange i förekommande fall största/minsta värdet. 1

2 L 14. Beräkna kurvintegralen ) xey 1 + x ) dx + x + ey 1 + x dy där är kvartscirkeln x + y 1, x, y från punkten 1, ) till punkten, 1). L 15. Beräkna kurvintegralen y4 x 3 y +1) dx+4xy 3 +) dy där är kurvan y 1 x 4 ) 1/4 från punkten 1, ) till punkten, 1). L 16. Beräkna kurvintegralen y y ) dx + xy 1 + y dy där är halvcirkeln x + y 1, y från punkten 1, ) till punkten 1, ). L 17. Beräkna kurvintegralen x 1 + x + y + y) y dx x + y dy där är kurvan y sin πx, x 1, från punkten, ) till punkten 1, ). L 18. Betrakta vektorfältet Fx, y) 5x 4 y 11 + y + x, 11x 5 y 1 + xy + 3y ), x, y) R. Bestäm en potentialfunktion till F på R eller visa att en sådan potentialfunktion inte finns. Beräkna också kurvintegralen F dr där är kurvan x t 1 + t 4, y 4t t 4 ), t Visa att kurvintegralen 3x y + x) dx + x 3 y + 4y 3 ) dy är oberoende av vägen för kurvor i R. Vad blir kurvintegralens värde om är någon kurva från punkten 1, ) till punkten, 1)? L. Beräkna kurvintegralen där är kurvan y x 1) ) 1/4 L 1. Beräkna kurvintegralen y x + 3y dx + x x + 3y dy från punkten 1, 1) till punkten 3, 1). y x + xy + y dx + x x + xy + y dy där är vägen genom tredje, andra och första kvadranten längs kurvan x 4 + y 4 16 från punkten, ) till punkten, ).. Några optimeringsproblem för kurvintegraler i planet. a) Bestäm supremumvärdet av de värden som kurvintegralen x y + 3 y3 ) dx + x + 4xy) dy kan anta om är en enkel sluten positivt orienterad styckvis-c 1 -kurva i planet.

3 b) Bestäm supremumvärdet av de värden som kurvintegralen x + y dx x + y dy kan anta om är en enkel sluten positivt orienterad styckvis-c 1 -kurva i planet. c) Bestäm supremumvärdet av de värden som kurvintegralen x 3 y dx + x y dy kan anta om är en C 1 -funktionskurva y fx) från punkten, ) till punkten 1, 1). Ange också i vart och ett av de tre fallen om supremumvärdet antas eller ej. 3. Låt x fu, v), y gu, v) vara en C 1 -bijektion mellan en C 1 -kurva Γ i uv-planet och en C 1 -kurva i xy-planet. En kurvintegral längs i xy-planet, P x, y) dx + Qx, y) dy, där funktionerna P och Q är kontinuerliga på, kan då också skrivas som en kurvintegral längs Γ i uv-planet. vs för lämpliga funktioner R och S gäller att P x, y) dx + Qx, y) dy Ru, v) du + Su, v) dv. Ange R och S, uttryckta i P, Q, f och g, så att ovanstående likhet alltid gäller. L 4. Bestäm arean av den del av konytan z x ) + y som är innanför cylinderytan x + y 1. L 5. Bestäm arean av den del av cylinderytan x + z 1 som är innanför cylinderytan x + y Bestäm arean av den del av ytan z 1 x y där z >. 7. Låt R och r vara givna konstanter sådana att R > r >. Bestäm arean av den torus bilring) som på parameterform fås genom sambanden x R + r cos v) cos u, y R + r cos v) sin u, z r sin v då u π, v π. 8. Bestäm arean av den del av planet z 1 + x + y som ligger innanför konytan z x + 1y. L 9. Beräkna ytintegralen F N ds där är klotytan x + y + z 1, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F xz, x, x y 8 ). 3. Beräkna ytintegralen F N ds där är begränsningsytan till kuben x 1, y 1, z 1, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F x, y, z ). Beräkna ytintegralen dels direkt och dels med hjälp av Gauss sats. L 31. Beräkna ytintegralen F N ds där är den del av ytan x + y + z 4 där z, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F yz, x y, x + x z + z). L 3. Beräkna ytintegralen F N ds där är den del av klotytan x + y + z 4 där z 1, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F x 3 + ze y, y z, x ). Γ 3

4 33. Beräkna ytintegralen F N ds där är den del av ytan z x + y ) 1 där 1 z, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F x 3, y 3, x z). 34. Beräkna ytintegralen F N ds där är den del av ytan x + y ) + z 4 1 där z, N är den utåtriktade enhetsnormalen till och F x 3, y 3, 1). 35. a) Visa att grad u) grad v) rot u grad v) för alla u, v C. b) Beräkna ytintegralen grad u) grad v)) N ds där är den del ytan x + y ) + z 4 1 där z, N är den utåtriktade enhetsnormalen till, u x + y + z 3 och v x + y + z. L 36. Sätt r x + y + z och betrakta vektorfältet x Fx, y, z) r 3, y r 3, z ) r 3 definierat då x, y, z),, ). Visa att div Fx, y, z) för alla x, y, z),, ). Beräkna också ytintegralen F N ds där är den del av ytan x +y +z 4 1 där z och N är den utåtriktade enhetsnormalen till. 37. I denna uppgift införs ett vanligt alternativt skrivsätt för ytintegraler. a) Låt vara en orienterbar C 1 -yta i R 3, låt vektorerna Nx, y, z), x, y, z), vara enhetsnormalvektorerna till ena sidan av, samt låt P x, y, z), Qx, y, z), Rx, y, z)) vara ett vektorfält som är kontinuerligt på. Visa att om x, y, z) ru, v), u, v) är en parameterframställning P, Q, R) N ds att av så gäller för ytintegralen dy, z) P, Q, R) N ds ± P ru, v)) du, v) dz, x) y) + Qru, v)) + Rru, v))dx, du, v) du, v) ) du dv, där plustecknet gäller om enhetsnormalvektorerna Nru, v)), u, v) har samma riktning som normalvektorerna r 1u, v) r u, v), u, v), och minustecknet gäller om de är motsatt riktade. På grund av utseendet av högerledet i likheten ovan så används även skrivsättet P x, y, z) dy dz + Qx, y, z) dz dx + Rx, y, z) dx dy för ytintegralen P, Q, R) N ds. b) Beräkna ytintegralen x + y) dy dz + y + z) dz dx + z x) dx dy där är plana ytan x + y + z 1, x, y, z med uppåtriktad normalriktnig. c) Beräkna ytintegralen x + y + z) dx dy där är ytan z x + y, z 1 med utåtriktad normalriktning. L 38. Beräkna kurvintegralen y dx z dy + x3 dz där är skärningskurvan mellan cylindern x + y 1 och planet x + y + z 1 och :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. 39. Betrakta kurvintegralen y dx + z dy + x dz där är skärningskurvan mellan ytorna z xy och x + y 1 och :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. Beräkna kurvintegralen dels direkt från definitionen genom att införa en lämplig parametrisering av samt dels med hjälp av Stokes sats. L 4. Beräkna kurvintegralen yz dx + xz + x3 ) dy + xy dz där är skärningskurvan mellan halvklotytan z 1 x y och cylinderytan 3x + y 1 och :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. 4

5 L 41. Beräkna kurvintegralen x + z 3 ) dx + xy + yz) dy + 3xz + y ) dz där är skärningskurvan mellan ytan z 5 x + 1) 4 y + ) 4 ) 1/ och cylinderytan x + y 1 samt :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. L 4. Beräkna kurvintegralen x z dx y z dy +z 3 dz där är skärningskurvan mellan planet z 1+x+y och ytan z x + 4y och :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. L 43. Beräkna kurvintegralen y3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz där är den del av skärningskurvan mellan funktionsytan z x 4 + y 4 och cylinderytan 3x + 4y 4 som ligger i området x och :s riktning är sådan att y växer då x, y, z) genomlöper i dess riktning. L 44. Bestäm en potentialfunktion till vektorfältet Fx, y, z) e x ln z + y 3, 3xy + z, ex z + y ) i området z >, eller visa att en sådan potentialfunktion inte finns. Beräkna också kurvintegralen F dr där F är givna vektorfältet och är kurvan x t3, y t, z e t, t Betrakta vektorfältet Fx, y, z) y z 3 + xy, xyz 3 + x + z, 3xy z + yz + 3z + x), x, y, z) R 3. Bestäm en potentialfunktion till F på R 3, eller visa att en sådan potentialfunktion inte finns. Beräkna också kurvintegralen F dr där är kurvan x 1 + t, y 1 + t 4, z 1 + t ), t 1. L 46. Bestäm supremumvärdet av de värden som kurvintegralen 6xy +z 3 ) dx+11z 1xy ) dy 6x y dz kan anta om är en enkel sluten kurva på planet x + y + z 1 och :s omloppsriktning är sådan att :s projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning. 47. Betrakta kurvintegralen y5 dx + x 5 dy + 5xyz dz för kurvor. Visa att kurvintegralen inte är oberoende av vägen för kurvor i R 3. Visa att kurvintegralen dock är oberoende av vägen för kurvor på paraboloiden z x + y förslagsvis genom att visa att kurvintegralen är för varje enkel sluten kurva på paraboloiden. Bestäm också kurvintegralens värde då är en kurva på paraboloiden z x + y från punkten 1,, 1) på paraboloiden till punkten 1, 1, ) på paraboloiden. L 48. Betrakta kurvintegralen 4x y + xyz + z + y) dx + 4xy x z x + z) dy + xz dz för kurvor. Visa att kurvintegralen inte är oberoende av vägen för kurvor i R 3. Visa att kurvintegralen dock är oberoende av vägen för kurvor på cylinderytan x + y 1 förslagsvis genom att visa att kurvintegralen är för varje enkel sluten kurva på cylinderytan. För en godtycklig punkt a, b, c) på cylinderytan x + y 1 beräkna också kurvintegralens värde uttryckt i a, b och c då är en kurva på cylinderytan x + y 1 från punkten 1,, ) på cylinderytan till punkten a, b, c) på cylinderytan. 49. I denna uppgift visas att divergenssatsen och Stokes sats båda är generaliseringar av Greens formel. a) Låt R vara en öppen begränsad mängd sådan att dess randkurva Γ C 1. Låt vidare Γ ha riktning så att området hela tiden ligger till vänster då Γ genomlöps i sin riktning. Visa att om x ϕu), y ψu) är en parametrisering av Γ med angiven riktning så är ψ u), ϕ u)) för varje parametervärde u en vektor som är vinkelrät mot Γ och riktad ut från. 5

6 b) Låt och Γ vara som i a) och låt P x, y) och Qx, y) vara funktioner som är C 1 på Γ. Låt V R 3 vara mängden x, y), < z < 1 dvs V är en rät cylinder med bottenyta och höjd 1), och sätt Fx, y, z) Qx, y), P x, y), ) då x, y) Γ, z R. Visa att om divergenssatsen tillämpas på vektorfältet F och området V så fås att P x, y) dx + Qx, y) dy Q 1x, y) P x, y)) dxdy, Γ vilket är Greens formel i planet. ivergenssatsen är alltså en generalisering av Greens formel i planet. c) Låt och Γ vara som i a) samt låt P x, y) och Qx, y) vara som i b). Låt R 3 vara ytan x, y), z, och sätt Fx, y, z) P x, y), Qx, y), ) då x, y) Γ, z R. Visa att om Stokes sats tillämpas på vektorfältet F och ytan så fås att P x, y) dx + Qx, y) dy Q 1x, y) P x, y)) dxdy, Γ vilket igen är Greens formel i planet. Även Stokes sats är alltså en generalisering av Greens formel i planet. 5. Låt F vara ett givet C -vektorfält i R 3. Visa att rotrot F) grad div F) F. Operatorn är Laplacianen, dvs.) 51. Låt K R 3 vara en begränsad öppen mängd och låt n vara den utåtriktade enhetsnormalen till K begränsningsytan till K). Visa under tillräckliga regularitetsantaganden att f g n g f n ) ds f g g f) dx dy dz. K Här betecknar ϕ riktningsderivatan av funktionen ϕ i riktningen n. Beteckningen är vanlig i n fysikaliska tillämpningar.) L 5. Låt K R 3 vara en begränsad öppen enkelt sammanhängande mängd med C 1 -rand och låt F och G vara vektorfält som är C 1 i K och kontinuerliga på K. Antag att F G och att F G i K samt att F N G N på där N är den utåtriktade enhetsnormalen till. Visa att F G i hela K. K 6

7 Svar till övningarna 1. Största värdet e 1/, minsta värde saknas.. ], 6e 9/36 ]. 3. Största värdet 8e, minsta värdet. 4. Största värde saknas, minsta värdet Största värde saknas, minsta värdet Största värde saknas, minsta värdet 4e. 7. Största värdet, minsta värdet 3 1/3. 8. Största värdet, minsta värdet. 9. Största värdet 1 51/. 1. Största värde saknas, minsta värdet 11/ Största värdet 5e 3/4, minsta värdet 5 e 1/. 1. a) Största och minsta värde saknas, b) Största värdet 3, minsta värdet. 13. Största värde saknas, minsta värdet e 1 + π π Potential ϕx, y) x 5 y 11 + xy + x + y 3, Potential ϕx, y) x 3 y + y 4 + x, 1.. 3π. 1. 5π 4.. a) 9 π 4, antas. b) π, antas ej. c) 3, antas. 3. Ru, v) P fu, v), gu, v))f 1u, v) + Qfu, v), gu, v))g 1u, v), Su, v) P fu, v), gu, v))f u, v) + Qfu, v), gu, v))g u, v). 7

8 4. π π ). 7. 4π Rr π. 9. 4π π π π π π b) π. 36. π. 37. b) 3, c) π π. 39. π. 4. 6π π π π Potential ϕx, y, z) e x ln z + xy 3 + yz, e Ej potential men nästan), π a 3 b + ab 3 + ac. 8

9 Lösningar till de med L markerade övningarna 1. Vi har att < fx, y) 1 + x + y )e x y och att polära koordinater x r cos θ, y r sin θ) 1 + r cos θ + r sin θ)e r 1 + 3r )e r för alla x, y) R 1 + 3r )e r då r x + y, vilket visar att f har ett största värde på R men att f saknar minsta värde på R. Eftersom R saknar rand så antar f sitt största värde på R i en stationär punkt. erivering ger att f 1x, y) xx + y )e x y, f x, y) y1 x y )e x y. vs f 1x, y) f x, y) xx + y ), y1 x y ). Första ekvationen ger x eller x + y. Första alternativet x insatt i den andra ekvationen ger y1 y ), som har lösningarna y, y 1 och y 1. Andra alternativet x + y ger x y ), vilket också) uppfyller den andra ekvationen. e stationära ) punkterna ) till f är alltså 1, ),, och, 1 1. Vi har att f, ) 1 och f, f, 1 e 1/. Eftersom e 1/ / e > / ) 3 > 1 så följer ) att f:s största värde på R är e 1/ och att största värdet antas 1 i punkterna, och, 1.. Låt beteckna mängden x, y 1. För alla x, y) gäller att < fx, y) 1 + 6x + y)e x y 3 + 6x)e x, och 3 + 6x)e x då x. et följer att f har ett största men inget minsta värde på och vidare följer om M betecknar f:s största värde på att f på antar värdena i intervallet ],M]. et återstår att bestämma M. Stationära punkter i det inre av. f 1x, y) x + y))e x y, f x, y) y1 + 6x + y))e x y. f 1 f ger x, y) 7/9, 1/6) som ligger i det inre av. f7/9, 1/6) 6e 9/36. f:s betende på randen av. a) Randkurvan x, y. ax) fx, ) 1 + 6x)e x studeras då x. a x) 5 6x))e x. b) Randkurvan x, y 1. x 5/6 a x) + ax) 6e 5/6. bx) fx, 1) 3e x)e x studeras då x. b x) 3e 1 1 x))e x. x 1/ b x) + bx) 6e 3/. 9

10 c) Randkurvan x, y 1. cy) f, y) 1 + y)e y studeras då y 1. c y) 1 y y )e y. y 1/ 1 c y) + cy) e 1/4. et följer att M max 6e 9/36, 6e 5/6, 6e 3/, e 1/4 ) 6e 9/ Stationära punkter. f 1x, y) xy + y 6y yx + y 3), f x, y) x + 4xy 6x xx + 4y 6). f 1x, y) f x, y) ger fyra möjliga fall: fallet y, x ger punkten x, y), ); fallet y, x + 4y 6 ger punkten x, y) 6, ); fallet x + y 3, x ger punkten x, y), 3); fallet x + y 3, x + 4y 6 ger punkten x, y), 1). e stationära punkterna är alltså, ), 6, ),, 3) och, 1). Motsvarande funktionsvärden är f, ), f6, ), f, 3) och f, 1) 4. Största/minsta värde på x, y. Låt vara mängden x, y. När det gäller ett eventuellt största värde på, notera t.ex att t, t) för alla t och att ft, t) 3t 3 6t då t. Funktionen f saknar alltså största värde på. När det gäller ett eventuellt minsta värdet på, notera att fx, y) kan skrivas fx, y) xyx + y 6), och låt 1 vara den del av där x + y 6 samt låt vara den del av där x + y > 6 På mängden 1 som är kompakt har f som är kontinuerlig ett minsta värde, och detta minsta värde är negativt eftersom t.ex 1, 1) 1 och f1, 1) 3 <. På mängden gäller f. Minsta värdet av f på mängden 1 är alltså även minsta värde till f på hela mängden. Funktionen f har alltså ett minsta värde på. På hela randen till området är f noll. Funktionen f:s minsta värde på, som vi vet är negativt, kan alltså inte antas på randen till, utan kan enbart antas någonstans i det inre av, och alltså är f stationär där minsta värdet i antas. en enda inre punkt i där funktionen f är stationär är enligt ovan punkten, 1). Funktionen f:s minsta värde på är alltså f, 1) 4 och minsta värdet i antas i punkten, 1) enbart). 5. Stationära punkter f 1x, y) 1x 3 1y, f x, y) 1x + 1y 5. f 1x, y) ger y x 3 som insatt i f x, y) ger x x 15 som har lösningarna x, x 1 och x 1. e stationära punkterna är alltså, ), 1, 1) och 1, 1). Motsvarande funktionsvärden är f, ), f 1, 1) 7 och f1, 1) 7. Största/minsta värde fx, ) 3x 4 då x visar att f saknar största värde på R. Vi visar nu att f har ett minsta värde på R genom att med polära koordinater x r cos θ, y r sin θ visa att fx, y) då r x + y. Vi har att fr cos θ, r sin θ) 3r 4 cos 4 θ 1r cos θ sin θ + r 6 sin 6 θ 3r 4 cos 4 θ 1r + r 6 sin 6 θ om r 1) 3r 4 cos 4 θ 1r + r 4 sin 6 θ ty cos 4 θ cos 6 θ för varje θ R) 3r 4 cos 6 θ 1r + r 4 sin 6 θ r 4 3 cos 6 θ + sin 6 θ) 1r > r 4 cos 6 θ + sin 6 θ) 1r 1

11 ty cos θ 1 eller sin θ 1 för varje θ R) r 4 1 ) 6 1r 1 8 r4 1r. vs vi har att fr cos θ, r sin θ) 1 8 r4 1r för alla r 1. Eftersom 1 8 r4 1r då r x + y har vi visat att fx, y) då r x + y. Funktionen f har alltså ett minsta värde på R. Alla punkter i R är inre punkter. Varje punkt där minsta värdet antas är därför en punkt där f är stationär. Tillsammans med beräkningen ovan av de stationära punkterna till f och motsvarande funktionsvärden visar det att minsta värdet av f R är 7 och att minsta värdet antas i punkterna 1, 1) och 1, 1)). 7. Sätt gx, y) x 3 + 3x y + y 3 6 och låt vara mängden gx, y), x, y x. Vi börjar med att motivera att f har ett största och ett minsta värde i. Mängden är kompakt, se nedan. Funktionen fx, y) x + y är kontinuerlig i hela R och således speciellt kontinuerlig i. et följer därför av sats om kontinuerliga funktioner att f har ett största och ett minsta värde i. Att verkligen är kompakt kan fås såhär. Funktionen gx, y) är kontinuerlig i hela R, och alltså är mängden E {x, y) R gx, y) } sluten. Mängden F {x, y) R x, y x} är också sluten, och eftersom E F och snitt av slutna mängder alltid är en sluten mängd är mängden sluten. Vidare har vi att x, y) x 3 + 3x y + y 3 6, x, y x x 3 6, y 3 6, x, y x 6 1/3, y 3 1/3, och alltså är även begränsad. Mängden är således både sluten och begränsad och alltså kompakt. Vi bestämmer nu största och minsta värdet av f i. Enligt teorin för optimering med bivillkor gäller att varje punkt där största eller minsta värdet antas finns med bland punkterna i 1), ) och 3) nedan. 1) Punkter x, y) sådana att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende. erivering ger fx, y) 1, 1) och gx, y) 3x + xy, x + y ). Enligt teorin för determinanter är två vektorer i R linjärt beroende om och endast om deras determinant är. et följer att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende 1 1 x + xy x + y 1 x + y ) 1 x + xy) yy x) y eller y x. Av y och gx, y) fås x 3 6, dvs x 6 1/3. Punkten 6 1/3, ) ligger inte i. Av y x och gx, y) fås x 3 + 3x 3 + x 3 6, dvs x 1, vilket med y x ger y 1. Punkten 1, 1) ligger i. et finns således exakt en punkt i där fx, y) och gx, y) är linjärt beroende och det är punkten 1, 1). Motsvarande funktionsvärde är f1, 1). ) Ändpunkter relativa randpunkter) till kurvan. I ändpunkter till gäller x eller y x. Insättning av x i gx, y) ger y 3 6, dvs y 3 1/3. Punkten, 3 1/3) är alltså en ändpunkt till kurvan. Funktionsvärdet där är f, 3 1/3) 3 1/3. Insättning av x y i gx, y) ger 8y 3 +1y 3 +y 3 6, dvs y ) 3 1/3. 11 Punkten 3 1/3 11), 3 ) ) 1/3 är alltså en också en ändpunkt till kurvan. Funktionsvärde där är f 3 1/3 11), 3 ) ) 1/ /3. 11) 11

12 3) Punkter x, y) sådana att någon av fx, y) och gx, y) ej existerar. Sådana punkter finns ej. Av 1), ) och 3) framgår att största värdet av f i är max, 3 1/3, ) ) 81 1/3 11 av f i är min, 3 1/3, ) ) 81 1/3 11. Vi har att , ) 3 1/ , 81 ) ) 1/ och att minsta värdet Således har f största värde och minsta värde 3 1/3 i. Största värdet antas i punkten 1, 1) och minsta värdet antas i punkten, 3 1/3). 8. Sätt gx, y) x 3 + 3xy + 8y 3 och låt vara mängden gx, y), x, y. Motivering av att f har ett största och ett minsta värde på. et är klart att fx, y) för alla x, y), och eftersom 1/3, ) och f 1/3, ), har f ett minsta värde på och minsta värdet är. Vi motiverar nu att f också har ett största värde på. Funktionen g är kontinuerlig på hela R och alltså är mängden gx, y) sluten. Mängden är snittet mellan denna mängd och den slutna mängden x, y, och alltså är sluten. Vidare har vi att x, y) x 3 + 3xy + 8y 3, x, y, varav dels följer att x 3, x x 1/3, och dels följer att 8y 3, y y ) 11 1/3. 4 Mängden är alltså även begränsad. Eftersom är både sluten och begränsad är kompakt. en givna funktionen f är kontinuerlig på hela R och speciellt kontinuerlig på. Eftersom en funktion som är kontinuerlig på en kompakt mängd alltid har ett största och ett minsta värde) på mängden, så följer att f har ett största och ett minsta värde) på. Bestämning av största värdet på. Enligt teorin för optimering med bivillkor gäller att varje punkt där största värdet antas finns med bland punkterna i 1), ) och 3) nedan. 1) Punkter x, y) sådana att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende. erivering ger fx, y) y, x) och gx, y) 3x + y, x + 8y ). Enligt teorin för determinanter är två vektorer i R linjärt beroende om och endast om deras determinant är. et följer att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende y x x + y x + 8y xy + 8y 3 x 3 + xy) x 3 8y 3 x y. Insättning av x y i gx, y) ger 8y 3 + 3y 11, en ekvation som uppenbarligen löses av y 1. ivision av 8y 3 + 3y 11 med y 1 ger kvoten 8y + 11y + 11, ett polynom som saknar reella nollställen. Lösningen y 1 är alltså den enda reella lösnigen till ekvationen 8y 3 + 3y 11. Av y 1 fås x y 1 en erhållna punkten, 1) ligger i, och är alltså den enda punkt i där fx, y) och gx, y) är linjärt beroende. Motsvarande funktionsvärde är f, 1). ) Ändpunkter relativa randpunkter) till kurvan. I ändpunkter till kurvan är x eller y. Insättning av x i gx, y) ger att 8y 3 y ) 11 1/3, 4 insättning av y i gx, y) ger att x 3 x 1/3. Kurvan har alltså två ändpunkter och det är punkterna, ) ) 11 1/3 4 och 1/3, ). Funktionsvärdet i båda dessa 1

13 punkter är. 3) Punkter x, y) sådana att någon av fx, y) och gx, y) ej existerar. Sådana punkter finns ej. Av 1), ) och 3) framgår att största värdet av f på är. 9. Sätt gx, y) x 3 y + 4xy 3 5 och låt vara mängden gx, y), x 1. Varje tredjegradsekvation har minst en reell rot. För varje x 1 finns det således minst ett reellt tal y sådant att x 3 y + 4xy 3 5. Låt y x vara ett sådant tal. å gäller att x, y x ) för varje x 1, och alltså är obegränsad. Notera att x 3 y + 4xy 3 5 xy 5 x +4y, och eftersom fx, y) xy har vi att fx, y) 5 x + 4y för alla x, y). 1) Av 1) följer dels att fx, y) > för alla x, y), och dels att fx, y) då x, y) i. Obs att x, y) i är möjligt eftersom är obegränsad.) Funktionen f saknar således minsta värde i mängden. Notera vidare att 1, 1) och att f1, 1) 1. Låt E vara den del av där x + 4y 5. å är E kompakt visas nedan), och eftersom f är kontinuerlig i E f är kontinuerlig överallt) har f ett största värde i E, enligt sats om kontinuerliga funktioner. Eftersom 1, 1) E är största värdet av f i E större eller lika med f1, 1) 1. Av 1) följer att fx, y) < 1 för alla x, y) \ E. Största värdet av f i E är alltså största värde till f i hela. Funktionen f har således ett största värde i mängden. et återstår dock att visa att E är kompakt. Låt M 1 vara mängden gx, y), låt M vara mängden x 1 och låt M 3 vara mängden x + 4y 5. å är E M 1 M M 3. Mängden M 1 är sluten eftersom g är kontinuerlig. Mängderna M och M 3 är uppenbarligen också slutna. Följakligen är E sluten eftersom snitt av slutna mängder alltid är en sluten mängd. Mängden E är också begränsad eftersom M 3 och M 3 är begränsad. Mängden E är således både sluten och begränsad och därmed kompakt. Vi bestämmer nu största värdet av f i. Enligt teorin för optimering med bivillkor gäller att varje punkt där största värdet antas finns med bland punkterna i 1), ) och 3) nedan. 1) Punkter x, y) sådana att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende. erivering ger fx, y) y, x) och gx, y) 3x + 4y 3, x 3 + 1xy ). Enligt teorin för determinanter är två vektorer i R linjärt beroende om och endast om deras determinant är. et följer att fx, y) och gx, y) är linjärt beroende y x 3x + 4y 3 x 3 + 1xy yx 3 + 1xy ) x3x + 4y 3 ) xy4y x ). För alla x, y) har vi att x 1, och eftersom x 1 och x 3 y + 4xy 3 5 medför att y > har vi också att y > för alla x, y). Sambandet xy4y x ) tillsammans med x, y) ger alltså x y som enda möjlighet. Insättning av x y i gx, y) ger 16y 4 5, vilket med y > 13

14 ger y 1 51/4. Av y 1 51/4 fås x y 5 1/4. en erhållna punkten 5 1/4, 1 51/4) ligger i, och är alltså den enda punkt i där fx, y) och gx, y) är linjärt beroende. Motsvarande funktionsvärde är f 5 1/4, 1 51/4) 1 51/. ) Ändpunkter relativa randpunkter) till kurvan. I ändpunkter till kurvan är x 1. Insättning av x 1 i gx, y) ger att y + 4y 3 5 som har en lösning y 1, och eftersom y + 4y 3 är en strängt växande funktion av y då y R är det också den enda reella lösningen. Kurvan har alltså en ändpunkt och det är punkten 1, 1). Motsvarande funktionsvärde är f1, 1) 1. 3) Punkter x, y) sådana att någon av fx, y) och gx, y) ej existerar. Sådana punkter finns ej. Av 1), ) och 3) framgår att största värdet av f i är max 1 51/, 1) 1 51/ och att största värdet antas i punkten 5 1/4, 1 51/4). 14. Sätt P x, y) xey 1 + x ) och Qx, y) x + ey 1 + x. Låt 1 vara y-axeln från punkten, ) till punkten, 1), låt vara x-axeln från punkten, ) till punkten 1, ) och låt vara området x + y 1, x, y. Greens formel ger att P dx + Q dy + P dx + Q dy + P dx + Q dy Q 1 P ) dxdy. 1 Men Vi får att P dx + Q dy P dx + Q dy och Q 1 P P dx + Q dy P dx + Q dy P dx + Q dy + 1 En parametrisering av 1 är x, y t, t 1, och den ger att 1 P dx + Q dy En parametrisering av är x t, y, t 1, och den ger att P dx + Q dy 1 1 dxdy. 1) e t dt [ e t] 1 e 1. ) [ t 1 + t ) dt t ] ) Vidare har vi att ), 3) och 4) insatt i 1) ger att dxdy area) π 4. 4) P dx + Q dy e 1 + π Sätt P x, y) y 4 x 3 y + 1 och Qx, y) 4xy

15 Låt 1 vara y-axeln från punkten, ) till punkten, 1), låt vara x-axeln från punkten, ) till punkten 1, ), och låt vara området y 1 x 4) 1/4, x 1. Greens formel ger att P dx + Q dy + P dx + Q dy + P dx + Q dy Q 1 P ) dxdy. 1 Men 1 P dx + Q dy 1 P dx + Q dy och Q 1 P x 3. Vi får att P dx + Q dy P dx + Q dy P dx + Q dy + 1 En parametrisering av 1 är x, y t, t 1, och den ger att 1 P dx + Q dy En parametrisering av är x t, y, t 1, och den ger att P dx + Q dy 1 1 x 3 dxdy. 1) dt. ) dt 1. 3) Vidare har vi att x 3 dxdy x 4 ) 1/4 ) x 3 dy dx 1 [x 3 y ] y1 x 4 ) 1/4 y x 3 1 x 4) [ 1/4 dx 1 1 x 4 ) ] 5/ ) dx 4) ), 3) och 4) insatt i 1) ger att P dx + Q dy Sätt P x, y) y y och Qx, y) xy 1 + y. Låt Γ vara x-axeln från punkten 1, ) till punkten 1, ), och låt vara området x + y 1, y. Greens formel ger att P dx + Q dy + P dx + Q dy Q 1 P ) dxdy. Γ Men P dx + Q dy P dx + Q dy och Q 1 P 1. Vi får att P dx + Q dy En parametrisering av Γ är x t, y, 1 t 1, och den ger att och Γ Γ P dx + Q dy ) och 3) insatt i 1) ger att P dx + Q dy + π. P dx + Q dy + dxdy. 1) 1 1 dt, ) dxdy area) π. 3) 15

16 17. Sätt P x, y) x 1 + x + y + y y och Qx, y) 1 + x + y. Låt Γ vara x-axeln från punkten, ) till punkten 1, ), och låt vara området y sin πx, x 1. Greens formel ger att P dx + Q dy + P dx + Q dy Q 1 P ) dxdy. Γ Men P dx + Q dy P dx + Q dy och Q 1 P y. Vi får att P dx + Q dy P dx + Q dy + y dxdy. 1) Γ En parametrisering av Γ är x t, y, t 1, och den ger att 1 P dx + Q dy t1 + t ) 1/ dt [ 1 + t ) 1/] 1 1 ) Vidare har vi att Γ 1 y dxdy 1 sin πx dx 1 sin πx 1 ) y dy dx 1 1 cos πx) dx 1 ) och 3) insatt i 1) ger att P dx + Q dy 1. [y ] ) ysin πx dx y [ x 1 π sin πx ] En eventuell potentialfunktion ϕ till F på R är en funktion ϕ på R sådan att Fx, y) ϕx, y) för alla x, y) R, dvs sådan att ϕ xx, y) 5x 4 y 11 + y + x 1) ϕ yx, y) 11x 5 y 1 + y + xy + 3y ) för alla x, y) R. Vi undersöker nu om det finns en funktion ϕ som upppfyller både 1) och ). Integration av ekvation 1) med avseende på x ger att för någon funktion ψy), och 3) insatt i ) ger att ϕx, y) x 5 y 11 + xy + x + ψy) 3) 11x 5 y 1 + xy + ψ y) 11x 5 y 1 + y + xy + 3y, vilket är uppfyllt om ψy) y 3 +konstant). Både 1) och ) är alltså uppfyllda om ϕx, y) x 5 y 11 + xy + x + y 3, 4) et finns alltså potentialfunktion till F på R. Funktionen ϕ i 4) är enligt räkningarna ovan en sådan funktion. Eftersom det angivna vektorfältet F har en potentialfunktion ϕ på R så gäller att F dr ϕ:s slutpunkt) ϕ:s startpunkt) för varje kurva i planet. en angivna kurvan går från punkten, ) till punkten 1, 1), och för den kurvan gäller alltså att F dr ϕ1, 1) ϕ, ) ) 16

17 . Sätt y x P x, y) x och Qx, y) + 3y x + 3y. P och Q liksom deras derivator är väldefinierade utanför origo. erivering ger att Q 1 P. Greens formel kan alltså användas för att byta integrationsväg. Låt 1 vara räta linjen från punkten 1, 1) till punkten 3, 1). Låt vidare a vara den positivt genomlupna ellipsen x + 3y a för något tal a > så litet att a ligger innanför 1. Låt slutligen vara området mellan a och 1. På som inte innehåller origo kan vi använda Greens formel och få att P dx + Q dy + P dx + Q dy P dx + Q dy Q 1 P ) dxdy. 1 a vs vi har att P dx + Q dy P dx + Q dy 1 P dx + Q dy. a Parametriseringen x t, y 1, 1 t 3 av 1 ger 3 [ 1 1 P dx + Q dy 1 1 t + 3 dt 3 arctan t ] )) 1 π arctan 3 arctan π )) π 6 3 Parametriseringen x a cos t, y a sin t, t < π av a ger 3 et följer att a P dx + Q dy π a 3 sin t a P dx + Q dy a sin t) + a cos t a π 3 π π 3 3. ) a 3 cos t dt 1 π dt Sätt Vi har att P y x + xy + y, Q x x + xy + y. P y Q x y x x + xy + y ). etta innebär att vektorfältet har en potential i varje enkelt sammanhängande område som ej omfattar origo. Origo är vektorfältets enda singulära punkt.) Speciellt är kurvintegralen över varje enkel sluten kurva som ej innesluter origo noll. Låt 1 vara vägen genom första, andra och tredje kvadranten längs ellipsen x + xy + y 1 från punkten 1, ) till punkten, 1/ ), låt vara räta linjen från punkten, 1/ ) till punkten, ), och låt 3 vara räta linjen från punkten, ) till punkten 1, ). 1 3 är en enkel sluten kurva som ej innesluter origo, och alltså gäller enligt ovan att P dx + Q dy + P dx + Q dy + 1 P dx + Q dy + P dx + Q dy. 3 Vi har att x + xy + y x + y) + y och alltså är x + xy + y 1 uppfyllt om x + y cos θ, y sin θ x cos θ sin θ, y sin θ. Vidare har vi att cos θ sin θ 1, sin θ, θ < π θ, samt att cos θ sin θ, sin θ 1/, θ < π θ 5π/4. En parameterframställnig av 1 är alltså x cos θ sin θ, y sin θ, θ 5π/4. Vi får att 1 P dx + Q dy 5π/4 sin θ ) cos θ sin θ sin θ cos θ) + cos θ) dθ

18 På är x konstant, och alltså är P dx + Q dy 5π/4 På 3 är y konstant, och alltså är P dx + Q dy 3 3 sin θ + cos θ) dθ 5π 4. Vi har alltså att P dx + Q dy 5π/4 5π/4. y x + xy + y dx + x x dy. + xy + y y x + xy + y dx + x x dy. + xy + y 4. Om betecknar mängden x + y 1 är sökt area ) ) 1 + z x + z y x y dxdy dxdy x ) + y x ) + y Anmärkning: Ovan har vi använt att en ellipsskiva dxdy area ) π 1 1 π. x a + y 1 där a, b > b har area πab, vilket lätt kan visas med dubbelintegration: x ) area a + y b 1 dxdy x a + y b 1 Gör substitutionen u x a, v y dx, y). Substitutionens funktionaldeterminant b du, v) ab.) ab dudv ab areau + v 1) πab. u +v 1 5. tan x + y 1 är en rät cirkulär cylinderyta obegränsat lång åt båda hållen) med radien 1 och z-axeln som centrumlinje. tan x + z 1 är en rät cirkulär cylinderyta obegränsat lång åt båda hållen) med radien 1 och y-axeln som centrumlinje. Låt A 1 vara arean av den del av cylinderytan x + z 1 som är innanför cylinderytan x + y 1 och låt A vara arean av den del av ytan z 1 x som är innanför cylinderytan x + y 1. Eftersom x + z 1 z ± 1 x så har vi att A 1 A. Sambandet z 1 x ger att z x x, 1 x Vi får att sökt area A 1 A z y och x +y x ) dy dx 1 x 1 x ) z x ) + z y 1 + x 1 x 1. 1 x 1 + ) z x ) + z 1 y dxdy dxdy x +y 1 1 x [ ] y 1 y 1 x 1 x y 1 x ) 1 dx dx

19 9. Låt V beteckna mängden x + y + z 1. å är F N ds divergenssatsen) 1 x y ) z dz dxdy 1 x y 3 x r cos θ, y r sin θ) 3 x +y 1 V F dxdydz x +y 1 r 1 θ<π V z dxdydz 1 x y ) 3/ dxdy 1 r ) 3/ rdrdθ 4π 1 1 r ) 3/ rdr 4π [ 1 ] r ) 5/ 4π 15. Anmärkning: Trippelintegralen ovan kan också beräknas genom att använda sfäriskt polära koordinater. 31. Låt σ vara ytan x + y, z och låt n vara den nedåtriktade enhetsnormalen till σ. Låt vara mängden x + y + z 4, z. Enligt divergenssatsen gäller då att F N ds + F n ds F dxdydz. 1) σ En parametrisering av σ är x u, y v, z, u +v. Med r x, y, z) gäller då att r u, v, ), r 1 1,, ), r, 1, ) och r 1 r,, 1). Eftersom ytnormalen r 1 r till σ pekar uppåt i den införda parametriseringen får vi att F n ds yz, x y, x + x z + z) n ds Vidare har vi att σ, u v, u ),, 1) dudv u +v σ u +v inför polära koordinater, u ρ cos θ, v ρ sin θ) ρ cos θ ρ dρdθ ρ θ<π F dxdydz dxdydz ρ 3 dρ 4 π u dudv cos θ) dθ π. ) x +y 4 z 4 ) dxdy dz 4 areax + y z 4 ) dz π ) och 3) insatt i 1) ger att 4 F N ds 8π 4 + π. 5 z 4 ) dz π [z 15 ] 4 z5 8π ) 3. Låt σ vara ytan x + y 3, z 1 och låt n vara den uppåtriktade enhetsnormalen till σ. Låt vara mängden x + y + z 4, z 1. Enligt divergenssatsen gäller då att F N ds + F n ds F dxdydz. 1) σ En parametrisering av σ är x u, y v, z 1, u +v 3. Med r x, y, z) gäller då att r u, v, 1), r 1 1,, ), r, 1, ) och r 1 r,, 1). Eftersom ytnormalen r 1 r till σ pekar uppåt i den införda parametriseringen får vi att F n ds x 3 + ze y, y z, x ) n ds σ σ 19

20 Vidare har vi att + u 3 + e v, v 3 +, u ),, 1) dudv u dudv u +v 3 u +v 3 ρ 3 θ<π inför polära koordinater, u ρ cos θ, v ρ sin θ) ρ cos θ ρ dρdθ F dxdydz ρ 3 dρ π cos θ) dθ 9π 4. ) 3x + 3y ) dxdydz ) x + y ) dxdy dz x +y 4 z inför polära koordinater, x ρ cos θ, y ρ sin θ) 1 ) 1 3 ρ ρ dρdθ dz 3 π ρ 4 z θ<π 3π 1 ) och 3) insatt i 1) ger att 36. erivering ger att Med hjälp av detta får vi sedan att 4 z ) dz 3π 1 F N ds 459π 1 9π 4 873π. 4 z ) ρ 3 dρ dz 16 8z + z 4 ) dz 459π 1. 3) r x x + y + z ) 1/ 1 x x + y + z ) 1/ x x r. ) x 1 r 3 x 3r r 1 r 3 x 3r x x r 3 x r 6 r r 6 r 3x r 5. På grund av symmetri gäller vidare att ) y y r 3 r 3y r 5 och z ) z r 3 r 3z r 5. Vi får att div Fx, y, z) ) x x r 3 + ) y y r 3 + ) z z r 3 r 3x r 5 + r 3y r 5 + r 3z r 5 3r 3 x + y + z ) r 5 3r 3r r 5. Alltså gäller att div Fx, y, z) för alla x, y, z),, ). Låt nu 1 vara den del av klotytan x + y + z 1 där z och låt N 1 vara den inåtriktade enhetsnormalen till 1. Eftersom ytan också kan skrivas z 1 x y ) 1/4, x + y 1, och ytan 1 också kan skrivas z 1 x y ) 1/, x + y 1, skär ytorna och 1 båda xy-planet längs cirkeln x + y 1 och ytan 1 ligger innanför ytan. Låt vara det slutna område som begränsas av ytorna och 1, dvs låt vara området 1 x y ) 1/ z 1 x y ) 1/4, x + y 1. Eftersom,, ) / kan vi tillämpa divergenssatsen på vektorfältet F i området och få att F N ds + F N 1 ds divfx, y, z) dxdydz. 1

21 Enligt ovan har vi vidare att div Fx, y, z) för alla x, y, z),, ), och vi får att F N ds F N 1 ds. 1 1) tintegralen i högerledet av 1) är enkel att beräkna. Om x, y, z) är en punkt på en klotyta med medelpunkt i origo så är vektorn från origo till punkten, dvs vektorn x, y, z), en normalvektor till klotytan i punkten. vs x r, y r, z ) där r x + y r + z ) är en inåtriktad enhetsnormalvektor till klotytan i punkten x, y, z) på klotytan. Halvklotytan 1 har medelpunkt i origo och på 1 gäller att r x + y + z 1, och alltså har vi att N 1 x, y, z) samt att F x, y, z) på 1. Vi får att F N 1 x, y, z) x, y, z) ) x + y + z ) 1 på 1, och alltså att F N 1 ds 1) ds ds area ) π 1 π. ) I ) har vi använt att ett klot med radien a har arean 4πa. Av 1) och ) följer att F N ds π. 38. Låt σ vara den del av planet x + y + z 1 som ligger innanför cylindern x + y 1, låt N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till σ och låt vara projektionen av σ på xy-planet. är området x + y 1 i xy-planet eftersom är projektionen av på xy-planet). En parametrisering av σ är x u, y v, z 1 u v, u + v 1. Med r u, v, 1 u v) har vi att r 1 1,, 1), r, 1, ) och r 1 r 1,, 1), och vi noterar att ytnormalen r 1 r till σ pekar uppåt i den införda parametriseringen. Med dessa beteckningar får vi att y dx z dy + x 3 dz σ enligt Stokes sats) y, z, x 3 ) ) N ds 1, 3x, ) N ds enligt den införda parametriseringen av σ) + 1, 3u, ) 1,, 1) dudv 6u + 1) dudv u +v 1 u +v 1 inför polära koordinater u ρ cos θ, v ρ sin θ) 6ρ cos θ + 1)ρ dρdθ 6ρ 3 cos θ + ρ) dρdθ ρ 1 ρ 1 θ<π θ<π π 1 ) π 3 6ρ 3 cos θ + ρ) dρ dθ cos θ + ) 1 dθ π 3 1 ) cos θ ) dθ π σ 3 4 cos θ ) dθ 5π. Anmärkning: Kurvan i denna uppgift kan ges en relativt enkel parametrisering, en parametrisering är x cos t, y sin t, z 1 cos t sin t, t π, och med hjälp av den parametriseringen kan givna kurvintegralen relativt enkelt även beräknas direkt från definitionen. 1

22 4. Låt beteckna den del av halvklotytan z 1 x y för vilken 3x + y 1 och låt N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till. å är yz dx + xz + x 3 ) dy + xy dz Stokes sats) yz, xz + x 3, xy)) N ds,, 3x ) N ds En parameterframställning av är x u, y v, z 1 u v, 3u + v 1. ru, v) u, v, 1 u v ) ger r u 1 1,, 1 u v ), u r, 1, 1 u v ), r 1 r u 1 u v, v 1 u v, 1), och r 1 r pekar uppåt.) 1 6 3u +v 1 r 1 θ<π,, 3u u ) 1 u v, 3 u dudv 3u +v 1 u 1 3 s, v 1 t, 1 6 s +t 1 v, 1) dudv 1 u v du, v) ds, t) 1 6 ) s dsdt s r cos θ, t r sin θ) r cos θ r drdθ 1 1 r 3 dr 6 π 1 1 cos θ) dθ π irekt beräkning av kurvintegralen är inte så enkelt så vi försöker använda Stokes sats för att beräkna kurvintegralen. Låt beteckna den del av ytan z 5 x + 1) 4 y + ) 4 ) 1/ för vilken x + y 1 och låt N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till. En parameterframställning av är x u, y v, z 5 u + 1) 4 v + ) 4 ) 1/, u + v 1. Med r u, v, 5 u + 1) 4 v + ) 4 ) har vi att r u + 1) 3 ) 1 1,,, r v + ) 3 ) 5 u + 1) 4 v + ) 4 ) 1/, 1, 5 u + 1) 4 v + ) 4 ) 1/ och r 1 r u + 1) 3 5 u + 1) 4 v + ) 4 ), v + 1) 3 ) 1/ 5 u + 1) 4 v + ) 4 ), 1, 1/ och vi noterar att ytnormalen r 1 r till pekar uppåt i den införda parametriseringen. Med dessa beteckningar får vi att x + z 3 ) dx + xy + yz) dy + 3xz + y ) dz enligt Stokes sats)

23 +,, v ) u +v 1 r 1 θ<π x + z 3, xy + yz, 3xz + y ) ) N ds σ,, y ) N ds σ enligt den införda parameterframställningen av ) r sin θ rdrdθ ) 5 u + 1) 4 v + ) 4 ), 1 1/ u + 1) 3 5 u + 1) 4 v + ) 4 ), v + ) 3 1/ u +v 1 v dudv inför polära koordinater u r cos θ, v r sin θ.) 1 r 3 dr π sin θ dθ 1 r 3 dr π dudv 1 1 ) cos θ dθ π Låt σ vara den del av planet z 1 + x + y som ligger innanför ytan z x + 4y, låt vara projektionen av σ på xy-planet och låt N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till σ. Om x, y, z) så gäller 1 + x + y x + 4y, som ger 1 + x + y) x + 4y 1 + x + y + x + y + xy x + 4y x xy x + 3y y 1 x y + 1)) y + 1) + 3y y 1 x y 1) + y 4y x y 1) + y 1) 4 är alltså området x y 1) + y 1) 4 i xy-planet eftersom är projektionen av på xy-planet). En parametrisering av σ är x u, y v, z 1+u+v, u, v). Med r u, v, 1+u+v) har vi att r 1 1,, 1), r, 1, 1) och r 1 r 1, 1, 1), och vi noterar att ytnormalen r 1 r till σ pekar uppåt i den införda parametriseringen. Med dessa beteckningar får vi att x z dx y z dy + z 3 dz σ enligt Stokes sats) x z, y z, z 3 ) ) N ds y, x, ) N ds σ enligt den införda parametriseringen av σ) + v, u, ) 1, 1, 1) dudv u + v ) dudv Gör variabelsubstitutionen s u v 1, t v 1) u s + 1 t +, v 1 t + 1. Substitutionens funktionaldeterminant är du, v) ds, t) 1.) 3

24 s + 1 ) 1 ) ) 1 t + + t + 1 dsdt s +t 4 1 s + t + st + 4s + 3 t + 5) dsdt 1 s +t 4 1 på grund av symmetri) s +t 4 s + t + 5) dsdt Inför polära koordinater s ρ cos θ, t ρ sin θ.) ρ θ<π ρ + 5)ρ dρdθ π ρ 3 + 5ρ) dρ 14π. 43. Vi beräknar kurvintegralen genom att använda Stokes sats. Kurvan är inte en sluten kurva. För att kunna använda Stokes sats måste vi därför först på lämpligt sätt komplettera till en sluten kurva. Vi gör på följande sätt. Skärningspunkterna mellan kurvan och planet x är de x, y, z) för vilka x, z x 4 + y 4 och 3x + 4y 4, dvs punkterna, 1, 1) och, 1, 1). Låt 1 vara skärningskurvan mellan funktionsytan z x 4 + y 4 och planet x från punkten, 1, 1) till punkten, 1, 1), dvs parabeln z y, x från punkten, 1, 1) till punkten, 1, 1) Låt också vara den del av funktionsytan z x 4 + y 4 där 3x + 4y 4, x. Kurvan 1 ) är då en sluten kurva vars projektion på xy-planet har positiv omloppsriktning, och 1 ) är randkurvan till ytan. En parametrisering av ytan är x u, y v, z u 4 + v 4, 3u + 4v 4, u. Med ru, v) u, v, u 4 + v 4 ) får vi att r 1u, v) 1,, u 3 ), r u, v), 1, u4 + v 4 r 1u, v) r u, v) v 3 ) u4 + v 4 u3 u4 + v,, v 3 ) 4 u4 + v, 1, 4 och vi noterar att ytnormalen r 1u, v) r u, v) till pekar uppåt i den införda parametriseringen. Låt vidare N vara den uppåtriktade enhetsnormalen till. Med dessa beteckningar har vi att y 3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz y 3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz 1) 1 y 3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz 1) Enligt Stokes sats.) och y 3 + z, x 3 y 3 + x + 3z, 1z 4 + xz + 6yz )) N ds,, 3x y 3 + x + 3y ) N ds Enligt den införda parametriseringen av.) 4

25 +,, 3u v 3 + u + 3v ) u3 3u +4v 4,u u4 + v,, v 3 ) 4 u4 + v, 1 dudv 4 3u v 3 + u + 3v ) dudv 3u +4v 4,u Eftersom 3u v 3 är udda i v och området 3u + 4v 4, u är symmetriskt kring v.) 3u +4v 4,u u + 3v ) dudv Gör substitutionen s 3 u, t v u 3 s, v t, substitutionens funktionaldeterminant du,v) ds,t) 3, och 3u + 4v 4, u övergår i s + t 1, s.) 8 3 s +t 1,s s +t 1,s 4 3 s + 3t ) 3 dsdt s dsdt + 3 s +t 1,s t dsdt Eftersom t är jämn i s och området s + t 1 är symmetriskt kring s.) s +t 1,s s +t 1,s s dsdt s +t 1 t dsdt s dsdt + 3 t dsdt s +t 1 Eftersom området s + t 1 är symmetriskt i s och t.) s +t 1,s s +t 1,s s dsdt s dsdt + s +t 1 s +t 1 1 s + t ) dsdt s + t ) dsdt Inför polära koordinater s r cos θ, t r sin θ.) 8 3 r 1 π θ< π [ 1 3 r3 ] 1 3 r cos θ) r dr dθ + π r dr cos θ dθ + 3 π π [ ] π sin θ + 3 π π r 1 θ<π 1 r r dr dθ r 3 dr [ ] r π En parametrisering av 1 är x, y t, z t, 1 t 1, och den ger att 1 y 3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz ) t 4 ) 1 + 1t 8 + 6t 3 ) t ) 1 dt t t 4 ) dt 1 5

26 Eftersom t 9 är udda i t och 15t 4 är jämn i t och intervallet 1 t 1 är symmetriskt kring t.) Av 1) och ) följer att t 4 dt 1 15t 4 dt 1 3t 4 dt [6t 5] 1 6 y 3 + z ) dx + x 3 y 3 + x + 3z ) dy + 1z 4 + xz + 6yz) dz π π För att undersöka om det finns en potential ϕx, y, z) studerar vi systemet ϕ x ϕ y e x ln z + y 3 3xy + z ϕ z ex z + y Första ekvationen ger ϕx, y, z) e x ln z + xy 3 + ψy, z) där ψy, z) är en godtycklig funktion av y, z). Tillsammans med andra ekvationen fås sedan att ϕx, y, z) e x ln z + xy 3 + yz + ωz) där ωz) är en godtycklig funktion av z. Till slut ger sista ekvationen att ϕx, y, z) e x ln z + xy 3 + yz + C där C är en godtycklig konstant. Givna vektorfältet F är således ett potentialfält och alltså gäller att F dr ϕ1, 1, e) ϕ,, 1) e e e Låt σ vara den del av planet x + y + z 1 som ligger innanför, låt vara projektionen av σ på xy-planet och låt n vara den uppåtriktade enhetsnormalen till σ. En parametrisering av σ är x u, y v, z 1 u v, u, v). Med r x, y, z) har vi att r u, v, 1 u v), r 1 1,, 1), r, 1, 1) och r 1 r 1, 1, 1) och vi noterar att ytnormalen r 1 r till σ pekar uppåt i den införda parametriseringen. Med dessa beteckningar får vi att 6xy + z 3 ) dx + 11z 1xy ) dy 6x y dz σ σ enligt Stokes sats) 6xy + z 3, 11z 1xy, 6x y) ) n ds 6x 11, 1xy + 3z, 1y 1xy) n ds Men enligt den införda parametriseringen av σ) + 6u 11, 1uv + 31 u v), 1v 1uv) 1, 1, 1) dudv 11 6u 1v + 31 u v) ) dudv. 11 6u 1v + 31 u v) 8 3u + 6uv 9v 6u 6v 8 3u v + 1) + 3 v + 1) 9v 6v 5 3u v + 1) 6v 1v 6

27 et följer att 1 3u v + 1) 6v + 1). 6xy + z 3 ) dx + 11z 1xy ) dy 6x y) dz 1 3u v + 1) 6v + 1) ) dudv. Eftersom är en godtycklig enkel sluten positivt orienterad kurva på planet x + y + z 1 är den ovan införda mängden en godtycklig begränsad öppen enkelt sammanhängande delmängd av planet. Av ovanstående resonemang och räkningar följer därför att det givna problemet är ekvivalent med att bestämma supremumvärdet av alla de värden som dubbelintegralen 1 3u v + 1) 6v + 1) ) dudv. 1) kan anta då varierar över alla begränsade öppna enkelt sammanhängande delmängder av uv-planet. Men dubbelintegralen 1) blir uppenbarligen maximal då är mängden 1 3u v+1) 6v+1) > 3u v+1) +6v+1) < 1. Eftersom mängden 3u v+1) +6v+1) < 1 är begränsad öppen och enkelt sammanhängande följer att värdet av dubbelintegralen 1) för detta är det sökta supremumvärdet. Vi beräknar nu supremumvärdet. För att göra det gör vi först variabelsubstitutionen s 3u v+1), t 6v + 1), som ger att ds, t) du, v) 3, du, v) ds, t) 1 ds,t) du,v) 1 3. Efter gjord variabelsubstitution får vi alltså enligt formeln för variabelsubstitution i dubbelintegral att det sökta supremumvärdet 1 s t 1 ) 3 dudv s +t 1 Övergång till polära koordinater ger sedan dubbelintegralen 1 3 ρ 1 θ<π vilket alltså är det sökta supremumvärdet. 1 ρ )ρ dρdθ π 3 1 ρ ρ 3 ) dρ π 1, 48. Sätt F 4x y + xyz + z + y, 4xy x z x + z, xz ), så att den givna kurvintegralen är F dr. Eftersom R 3 är en öppen, bågvis och enkelt sammanhängande mängd är F dr oberoende av vägen för kurvor i R 3 precis om F i hela R 3. I en öppen bågvis men ej enkelt sammanhängande mängd är F i mängden ett nödvändigt men ej tillräckligt villkor för kurvintgralens oberoende av vägen.) Beräkning ger att F 1,, 3 ) 4x y + xyz + z + y, 4xy x z x + z, xz ) x 1, xy, 4x + 8xy 3xz ),, ), och alltså är kurvintegralen F dr inte oberoende av vägen för kurvor i R3. Vi visar nu att kurvintegralen F dr är oberoende av vägen för kurvor på cylinderytan x + y 1 genom att visa att F dr för varje enkel sluten kurva på cylinderytan. Vi gör det genom att använda Stokes sats. Gradienten av x + y, dvs vektorn x, y, ), är en normalvektor till cylinderytan x + y 1 i en punkt x, y, z) på cylinderytan. enna normalvektor är utåtriktad 7

28 och har längd i varje punkt x, y, z) på cylinderytan x + y 1. en utåtriktade enhetsnormalvektorn till cylinderytan x + y 1 i en punkt x, y, z) på cylinderytan är alltså N x, y, ). För denna utåtriktade enhetsnormalvektor får vi att F) N x 1, xy, 4x + 8xy 3xz ) x, y, ) 1) x 3 x + xy xx + y 1) i varje punkt x, y, z) på cylinderytan x + y 1. Låt nu vara en enkel sluten kurva på cylinderytan x + y 1. Vi får två fall. Fall 1. Kurvan omsluter inte cylinderaxeln z-axeln). Låt vara den del av cylinderytan som omsluter. å är ± F dr F) N ds enligt Stokes sats och 1). Plus- respektive minustecknet gäller om har positiv respektive negativ orientering i förhållande till och N. Således är F dr i detta fall. Fall. Kurvan omsluter cylinderaxeln z-axeln). Låt Γ vara cirkeln x + y 1 med riktning moturs i xy-planet. För godtyckligt reellt tal a låt vidare Γ a vara cirkeln x + y 1, z a med riktning sådan att projektionen av Γ a på xy-planet har riktning moturs. å är kurvan Γ a en kurva på cylinderytan x + y 1, kurvan Γ a omsluter cylinderaxeln och det gäller att F dr Γ a 4x y + xyz + z + y) dx + 4xy x z x + z) dy + xz dz Γ a ) 4x y + xya + a + y) dx + 4xy x a x + a) dy Γ x +y 1 Enligt Greens formel.) 4y xa 1 4x + xa + 1) ) dxdy x +y 1 4x + y ) 3xa ) dxdy Eftersom 3xa är udda i x och området x + y 1 är symmetriskt kring x.) 4x + y ) ) dxdy r 1 θ<π x +y 1 Inför polära koordinater x r cos θ, y r sin θ.) 4r ) 1 r dr dθ π 4r 3 r) dr π [r 4 r ] 1 för godtyckligt reellt tal a. Låt nu talet a vara sådant att kurvan Γ a helt ligger nedanför kurvan på cylinderytan om a är tillräckligt stort och negativt gäller det säkert), och låt vara den del av cylinderytan x + y 1 som ligger mellan de båda kurvorna och Γ a. å gäller att ± F dr + F dr F) N ds 3) Γ a enligt Stokes sats. Plus- respektive minustecknet gäller om har positiv respektive negativ orientering i förhållande till och N. Tillsammans visar 1), ) och 3) att F dr även i detta fall. 8

29 Av fall 1 och fall följer att F dr för varje enkel sluten kurva på cylinderytan, och således att kurvintegralen F dr är oberoende av vägen för kurvor på cylinderytan x + y 1. Vi beräknar nu värdet av kurvintegralen F dr då är en kurva på cylinderytan x + y 1 från punkten 1,, ) på cylinderytan till en punkt a, b, c) på cylinderytan. Låt Ia, b, c) beteckna detta värde. Vi beräknar Ia, b, c) genom att beräkna värdet av kurvintegralen F dr för någon lämplig väg på cylinderytan från punkten 1,, ) på cylinderytan till punkten a, b, c) på cylinderytan. Vilken sådan kurva vi väljer spelar ingen roll eftersom F dr enligt första delen av uppgiften har samma värde för varje sådan kurva. Eftersom punkten a, b, c) är en punkt på cylinderytan x + y 1 och alltså a +b 1 är a cos t och b sin t för något tal t [, π[. Låt 1 vara cirkelbågen x cos t, y sin t, z, t t, och låt vara räta linjen x a, y b, z t, t [, t ] från punkten a, b, ) till punkten a, b, c). å är 1 en kurva på cylinderytan x + y 1 från punkten 1,, ) på cylinderytan till punkten a, b, c) på cylinderytan, och med hjälp av denna kurva får vi att Ia, b, c) F dr F dr + F dr 1 1 4x y + xyz + z + y) dx + 4xy x z x + z) dy + xz dz 1 + 4x y + xyz + z + y) dx + 4xy x z x + z) dy + xz dz t 4 cos t sin t + sin t) sin t) + 4 cos t sin t cos t) cos t ) c dt + at dt t 8 cos t sin t cos t + sin t) ) dt + ac Använd att 8 cos t sin t cos t + sin t) cos t sin t) 1 sin t 1 cos 4t.) t cos 4t) dt + ac [ 14 ] t sin 4t + ac 1 4 sin 4t + ac Använd att sin 4t cos t sin t cos t sin t) cos t sin t 4 cos 3 t sin t 4 cos t sin 3 t.) cos 3 t sin t + cos t sin 3 t + ac a 3 b + ab 3 + ac. 5. Sätt H F G. å gäller enligt angivna förutsättningar i) H C 1 K), H CK ) ii) H i K iii) H i K iv) H N på. Eftersom mängden K är en öppen enkelt sammanhängande mängd och H C 1 K) följer av ii) att kurvintegralen H dr är oberoende av vägen för kurvor Γ i K. efiniera funktionen ϕ i K genom att sätta Γ ϕx, y, z) 9 x,y,z) a,b,c) H dr 1)