Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Transkript

1 15. mars 2011

2 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler vi området i biter {Ω i } n i=1, danner produktet av størrelsen av hver bit med verdien av funksjonen på den lille biten, og summerer over alle områdene: n f (Ω i ) Ω i i=1 Integralet er grenseverdien for summen når alle bitene er tilstrekkelig små. Ω f

3 Integrasjonsområder For et 1-dimensjonalt område er størrelsen gitt ved en lengde. Et intervall [a, b] i R. Lengden til [x i 1, x i ] er (x i x i 1 ). En kurve C = r([a, b]) = {r(t) t [a, b]} R N med parametrisering r : [a, b] R N. Lengden av veien fra r(x i 1 ) til r(x i ) er ca. r(x i ) r(x i 1 ).

4 Integrasjonsområder For et 2-dimensjonalt område er størrelsen gitt ved et areal. Et rektangel R = [a, b] [c, d] i R 2. Arealet til [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] er (y j y j 1 )(x i x i 1 ). En parametrisert flate T = r(r) = {r(u, v) (u, v) R} R 3 med parametrisering r : R R 3. Arealet til flatebiten med hjørner r(x i, y j ), r(x i 1, y j ), r(x i, y j 1 ) og r(x i 1, y j 1 ) er ca. (r(x i, y j ) r(x i 1, y j )) (r(x i, y j ) r(x i, y j 1 ))

5 Integrasjonsområder Andre områder med areal: Et type I område A i R 2, der a x b og φ 1 (x) y φ 2 (x), for kontinuerlige φ 1, φ 2 : [a, b] R. Et type II område A i R 2, der c y d og ψ 1 (y) x ψ 2 (y), for kontinuerlige ψ 1, ψ 2 : [c, d] R. Et Jordan-målbart område A R 2.

6 Skalar- og vektorfelt Integranden er i utgangspunktet et skalarfelt, dvs. en funksjon f : R N R. For passende integrasjonsområder Ω R N kan også integrere et vektorfelt F: R N R N, ved å tilordne et skalarfelt f : R N R. For en parametrisert kurve C R N lar vi f (r(t)) = F(r(t)) r (t). Dette er lengden av komponenten av F(r(t)) i retning r (t), ganger lengden r (t).

7 Enkeltintegraler Riemann-integral b a f (x) dx Linjeintegral av skalarfelt C f ds (mhp. buelengde s) Linjeintegral av vektorfelt C F dr (orientert langs parametriseringen r)

8 Riemann-integral Betrakt en partisjon {x i } n i=0 av [a, b] og en pen funksjon f : [a, b] R. Riemann-integralet er grensen for Riemann-summene n f (x i )(x i x i 1 ) i=1 kan beregnes vha. den anti-deriverte b a f (x) dt sats = der F (x) = f (x) for alle x. b a f (x) dx [ ] x=b F (x) = F (b) F (a) x=a

9 Linjeintegral av skalarfelt Betrakt en partisjon {t i } n i=0 av [a, b], en pen parametrisering r : [a, b] R N og en pen funksjon f : R N R. Grensen for Riemann-summene n f (r(t i )) r(t i ) r(t i 1 ) i=1 definerer linjeintegralet [ds = r (t) dt] C f ds def = b a b a f (r(t)) r (t) dt f (r(t)) r (t) dt der C = r([a, b]). Kan beregnes ved å antiderivere f (r(t))r (t).

10 Lengde av en kurve Buelengden til C er gitt ved integralet lengde(c) = C 1 ds = b der C = r([a, b]). Hvis r(t) = (t, f (t)) er dette b a a 1 + f (t) 2 dt r (t) dt

11 Linjeintegral av vektorfelt Grensen for Riemann-summene n F(r(t i )) (r(t i ) r(t i 1 )) i=1 definerer linjeintegralet [dr = r (t) dt] C F dr def = b a b a F(r(t)) r (t) dt F(r(t)) r (t) dt der C = r([a, b]). Kan beregnes ved å antiderivere F(r(t)) r (t).

12 Konservative felt = gradientfelt Når vektorfeltet F = φ er gradienten til et skalarfelt φ: R N R (F er konservativt), og C er en kurve fra a til b, er C φ dr sats = [ ] x=b φ(x) = φ(b) φ(a) x=a Hvis a = b (så C er en lukket kurve) er dette integralet 0.

13 Dobbeltintegraler Riemann-integral R f (x, y) dxdy Flateintegral av skalarfelt T f ds (mhp. flateareal S)

14 Riemann-integral Betrakt partisjoner {x i } n i=0 av [a, b] og {y j} m j=0 av [c, d], og en pen funksjon f : R = [a, b] [c, d] R. Grensen for Riemann-summene n m f (x i, y j )(x i x i 1 )(y j y j 1 ) f (x, y) dxdy i=1 j=1 kan beregnes som itererte integraler R f (x, y) dxdy = b a ( d c ) f (x, y) dy dx = d c R ( b a ) f (x, y) dx dy

15 Type I og Type II områder For A av type I er f (x, y) dxdy = A For A av type II er f (x, y) dxdy = A b ( y=φ 2 (x) f (x, y) dy ) dx a y=φ 1 (x) d ( x=ψ 2 (y) f (x, y) dx ) dy c x=ψ 1 (y)

16 Polarkoordinater Hvis transformasjonen T: R 2 R 2 gitt ved T(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) (polarkoordinater) tar det pene området D R 2 injektivt til A = T(D) R 2 er f (x, y) dxdy = f (r cos θ, r sin θ)r drdθ A [dxdy = r drdθ] D

17 Flateintegral av skalarfelt Betrakt partisjoner {u i } n i=0 av [a, b] og {v j} m j=0 av [c, d], en pen parametrisering r : R = [a, b] [c, d] R N og en pen funksjon f : R N R. Grensen for Riemann-summene n i=1 j=1 m f (r(u i, v j )) (r(u i, v j ) r(u i 1, v j )) (r(u i, v j ) r(u i, v j 1 )) definerer flateintegralet [ds = r u r u dudv]. T f ds def = R f (r(u, v)) r u r u dudv der T = r(r). Kan beregnes ved å integrere iterativt.

18 Areal av en flate Flatearealet til T er gitt ved integralet areal(t ) = 1 ds = R T R r u r u dudv der T = r(r). Hvis r(u, v) = (u, v, f (u, v)) er dette 1 + ( f ) 2 ( f ) 2 + dudv u v

19 Greens teorem La den enkle, lukkede kurven C være den positivt orienterte randen til et begrenset område R R 2. La F = (P, Q) være et pent vektorfelt på R. Da er C P dx + Q dy sats = R ( Q x P ) dxdy y

20 Linjeintegralet i Greens teorem Hvis r(t) = (x(t), y(t)) parametriserer C for t [a, b], er P dx + Q dy def = F dr C = C b [dx = x (t)dt og dy = y (t)] a (P(x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)) dt

21 Bruk av Greens teorem Hvis C er lukket, Q P x og y er enklere enn P og Q, og R har en grei beskrivelse som et type I eller type II område, kan ( Q F dr = x P ) dxdy y C godt beregnes ved dobbeltintegralet til høyre. Hvis C har en grei parametrisering r(t) = (x(t), y(t)), og skalarfeltet f (x, y) kan uttrykkes på formen f = Q/ x P/ y, kan f dxdy = P dx + Q dy beregnes ved linjeintegralet til høyre. R R C

22 Videre bruk av Greens teorem Hvis R er et begrenset område med R = C p C n, der C p er positivt orientert slik at R ligger på venstre side og C n er negativt orientert slik at R ligger på høyre side, er ( Q R x P ) dxdy = F dr F dr y C p C n og F dr = C p F dr + C n R ( Q x P ) dxdy y Hvis vektorfeltet F er konservativt, eller mer generelt lukket ( P/ y = Q/ x), er dobbeltintegralet 0 og F dr = F dr C p C n

23 Skifte av variable Hvis den pene transformasjonen T: R 2 R 2 tar (u, v) D til (x, y) = T(u, v), har Jacobi-determinant det T = (x, y) (u, v) = x y u v x y v u overalt ulik 0, og tar det pene området D injektivt til A = T(D) er f (x, y) dxdy = f (T(u, v)) det T (u, v) dudv A D

24 Uegentlige integraler Hvis A R 2 er ubegrenset og f : A R er kontinuerlig og ikke-negativ defineres det uegentlige integralet f (x, y) dxdy = lim f (x, y) dxdy A n A K n der A K n = {(x, y) A x n, y n}.