Tegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3

Transkript

1 Integral y x Vi har integralet e x dxdy yx y Tegn en skisse som tydelig iser integrasjonsområdet og grensene: Integrassjonsområdet bestemmes a øre og nedre grenser i integralene Integranten har ingen betydning for grensene. Integrasjonsområdet er begrenset a x y skrålinjen y x, x ertikal linje i posisjon x, y x-aksen og y horisontal linje i høyde. Beregn dobbeltintegralet ed å skifte integrasjonsrekkefølge: y x e x x yx x yx x dxdy e x dydx e x y dx xe x dx e x x e e e yx y x y x y x x Når i bytter rekkefølgen integrer i først mhp y og holder x fast. y il da ha nedre grense y og øre y x.deretter integreres mhp x som har nedre grense x og øre x. x y Beregn dobbeltintegralet e y dydx ed å skifte integrasjonsrekkefølgen. xy x x y y xy y e y xy dydx e y dydx xe y xy dy e y y x y x y x y Tegn en gur som tydelig iser integrasjonsområdet og integrasjonsgrenser. e Området som i skal integrere oer ligger i.kadrant, oer den røde grafen og nedenfor linjen y. Integrasjonen utføres enklest ed å skifte integrasjonsrekkefølge slik at i først integrerer mht x og deretter mht y. La S ære området i xy-planet begrenset a linjen x + y og de to koordinataksene x og y. Beregn dobbeltintegralet ha substitusjonen u y x og y + x. Tegn gur som tydelig iser integrasjonsområdet S både i xy-planet og i u-planet. e y x y+x Ved substitusjon endres integrasjonsområdet fra S til G gitt ed: u y x og y + x x u y u x + y

2 Jakobi-determinanten er gitt ed: u y x y + x x u y +u J r u,,y u, x u x y u y Beregner dobbeltintegralett: e y x y+x e u S G u u u u J r u, dud e u G dud e u dud e u dud u e u u d e e d e e d e e e e e e e e Benytt Greens teorem tangentiell form : F T ds F dx + F dy F F A da xdy hor A er arealet a området som omsluttes a den lukkede kuren. G da til å ise en a Greens formler for areal: Benytt deretter denne formelen til å ise at arealet a et rektangel med grunnlinje a og høyde b er gitt ed ab. Beregner arealet a når:. Da har i: F T ds F dx + F dy da da da A F F Denne førstnente betingelsen kan oppfylles på uendlig mange måter. En løsning er : F F F F Igjen nnes uendlig mange løsninger som oppfyller disse to betingelsene. En løsning er : F x F Dette algte ektorfeltet oppfyller betingelsene F og F kontinuerlig derierbare i ethert punkt i et åpent område inneholdende og i Greens teorem og i får: A da da da dx + xdy xdy Plasserer rektanglet med nedre enstre hjørne i origo, sidekant med lengde a langs x-aksen og sidekant med lengde b langs y-aksen Vi får da: A da xdy xdy + xdy + xdy + xdy 4 x + ady + x + dy 4 ady a yb dy a dy a y yb y a b ab y Bruk formelen A da xdy ydx til å bestemme arealet omsluttet a den lukkede kuren com er sammensatt a de to kurene og gitt ed: : r t 4 sin t, t sin t t, : Den rette linja gitt ed y x Parameterframstillingen a de to kurene og : : r t 4 sin t, t sin t t, x 4 sin t dx 4 cos tdt y t sin t dy sin t + t cos t dt

3 : r t t, t t, 4 sin x t dx dt y t dy dt Arealet a området: A da xdy ydx xdy ydx + xdy ydx 4 sin t sin t + t cos t dt t sin t 4 cos tdt + tdt tdt 4 sin t sin t + t cos t t sin t 4 cos t dt + t t dt 8 sin t + 8t sin t cos t 8t sin t cos t dt + 8 sin tdt 4 sin tdt 4 cos t dt cos t dt t cos t dt t sin t t t sin 4 4 sin 4 t kjeglesnitt Figuren iser en kjegle agrenset a kjegleaten S og planet S gitt ed: S : z x + y S : z Bestem diergens og curl til det gitte ektorfeltet: Vi har gitt følgende ektorfelt: F x, y, z Projeksjonen a ektorfeltet ned i xy planet Diergens til et ektorfelt representert ed F er grensen a nettouks ut pr innitesimale olumenhet når olumet går mot null og er lik skalarproduktet mellom del-operator og F. dif F,, z F, F, F F + F + z F x + y + z z x + y + z x + y + z

4 url til et ektorfelt representert ed F er grensen a sirkulasjon pr enhetsareal når arealet går mot null og er lik kryssproduktet mellom del-operator og F. curlf F i j k,, z F, F, F z x y z,,,, z z y, z x z, y x Bruk Gauss` diergensteorem til å bestemme nettouksen a det gitte ektorfeltet ut a den lukkede aten S S S som omslutter hele kjegle-legemet. Nettouks a et ektorfelt representert ed F ut a en ate S er skalarproduktet a F og enhetsnormalektor n til aten integrert oer aten S. Når aten S er lukket, il nettouks a ektorfeltet ut a aten S ære skalarproduktet a F og enhetsnormalektor n til aten integrert oer den lukkede aten S. Når aten S er lukket og F har konyinuerlig partiell-deriert på og innenfor S, sier Gauss` teorem a nettouksen er diergens til F integrert oer det legemet V som er omsluttet a aten S. Φ s F nds F dv x + y + z dv xdv zdv rzθπ rzr θ rz rzr π rz ydv zdv x og y-leddene faller ut a symmetrigrunner zrdθdzdr rzθ θπ θ dzdr rzdzdr π rzr r r Bestem nettouks a det gitte ektorfeltet ut fra sideaten S a kjeglen: r r rz z dr π r r dr π zr La ære den lukkede kuren som fremkommer ed skjæring a sideaten S a kjeglen og planet y +z. La S ære den delen a aten y + z som er innenfor, ds har som rand. Kuren har positi omløpsretning mot klokka sett oenfra nedoer langs z-aksen. Videre har i gitt følgende ektorfelt: G y, x, Beregning a uksen ut a sideaten S i kjeglen kan beregnes direkte. Fluksen ut a den lukkede S aten er lik summen a uksen ut a toppaten S og uksen ut a sideaten S. Vi bestemmer derfor først uksen ut a toppatern S Ved nettouks ut a toppaten S, il enhetsnormalektor n ære lik,,. Derfor il uksen ut a toppaten ære gitt ed merk at i ikke kan benytte Gauss' lo her siden toppaten ikke er en lukket ate: Φ F nds x, y, z,, ds z ds ds ds π π s s s s s Nettouks ut a sideaten S : Benytter at uksen ut a den lukkede aten S er lik summen a uksen ut a toppaten S og uksen ut a sideaten S. Φ s Φ s + Φ s Φ s Φ s Φ s π π π Bestem kure-integralene F d r og G d r direkte uten bruk a Stokes teorem. Siden curl til F er lik nullektor, ds F representerer et konseratit ektorfelt, så il kure-integralet a F langs enher lukket kure ære lik null, ds: F d r Vi bestemmer curl til G for å undersøke horidt G representerer et konseratit ektorfelt, eentuelt til senere beregninger ha Stokes' teorem.

5 curlg G i j k z x y z x, z y, x y,, Siden curl til G er ulik null-ektor, bestemmer i en parameterisering a kuren til direkteberegning a sirkulasjonen a G. Vi bestemmer først projeksjonen a kuren og dermed også projeksjonen a aten S ned i xy-planet. Dette il ære til hjelp ed parameterisering a kuren, samt eentuelt til arealbestemmelse a den nente projeksjonen. z x + y y + z z x + y y x + y y 4x + 4y Projeksjon a ektorfelt G ned i xy planet y + y 4x + 4y 4x + y + y 4x + y + y 4x + y + y + 4x + y + 4 x y + x + y+ + Projeksjonen a kuren ned i xy-planet er altså en ellipse med sentrum i, og halakser.5 og Parametrisering a kuren : r t cos t, sin t, sin t d r sin t, cos t, cos t dt cos t, sin t, sin t z-komponenten i parametriseringa er gitt ed z y G uttrykt ed den gitte parametriseringa: G x, y, z y, x, G r t sin t +, cos t, Sirkulasjonen a G langs den lukkede kuren : G d r sin t +, cos t, sin t, cos t, cos t dt sin t cos t dt sin t sin t + cos t cos t dt

6 G d r π sin t cos t Bestem de samme kure-integralene dt π 4 F d r og π 4 9 π G d r ed bruk a Stokes teorem. Sirkulasjonen a F langs den lukked kuren er tidligere beregnet til siden F representerer et konseratit ektorfelt i oppgaen oer. Dette resultatet kan i også se a Stokes' teorem siden curl til F er lik null-ektor: F T ds F nds F d r ds ds F nds F d r S S S F nds S nds Til bestemmelse a sirkulasjonen a G langs den lukkede kuren, trenger i en skalarfunksjon f hor S er en niåate til f, en enhetsnormalektor og et uttrykk for projeksjonen a det innitesimale ate-elementet ds ned i xy-planet. Vi innfører følgende skalarfunksjon f: f x, y, z y + z Flaten S er da gitt ed iåaten f x, y, z. Gradienten til f il da ære normalektor til aten S. f f, f, f z,,, f f p,,,, f p n f f 5,, ds f f p da 5 da Sirkulasjonen til G langs den lukkede kuren ha Stoke`s teorem: I beregning a dette integralet benytter i at arealet a en ellipse med halakser a og b er gitt ed πab. G T ds G nds G d r ds ds G nds G d r G nds,, 5,, 5 da S S S da π 4 π 4 9 π Vi har gitt legemet T begrenset a de to paraboloideatene S og S gitt ed: S : z x + y og S : z x y + Kuren er skjæringskuren mellom de to paraboloideatene S og S. Videre har i gitt følgende ektorfelt: F xy, z, x Tegn en skisse a legemet T Bestem olumet a legemet T V dv x y + dz da z x y + x +y da T A x +y A x y + x + y da x + y da A A x + y r da θπ r r rdrdθ θπ r r drdθ A θ r θ r θπ 4 r4 r r dθ θπ r 4 dθ 4 π π θ θ

7 Diergens a det gitte ektorfeltet dif F,, z xy, z, x xy z z x y + + y url a det gitte ektorfeltet curlf F i j k,, z xy, z, x z x z z, z xy x, z xy,, x xy z x,, x Bestem glatt parametrisering a kuren z x + y z x y + x + y x y + x + y x + y Projeksjonen a skjæringskuren ned i xy-planet er derfor en sirkel med sentrum i origo og radius lik. Vi setter derfor x cost og y sint. Videre får i: z x + y cos t + sin t sin t + sin t + sin t En glatt parameterisering a kuren er derfor gitt ed: r t cos t, sin t, + sin t Bestem ed direkte beregning uten bruk a Stokes teorem følgende kureintegral: F d r hor den lukkede kuren gjennomløpes i retning mot klokka sett oenfra nedoer langs z-aksen. r t cos t, sin t, + sin t t, π d r sin t, cos t, sin t cos t dt F x, y, z xy, z, x F r t cos t sin t, + sin t, cos t F d r cos t sin t, + sin t, cos t sin t, cos t, sin t cos t dt cos t sin t + cos t + cos t sin t + sin t cos t dt cos t + sin t cos t dt tπ t Parametrisering cos t + sin t cos t dt sin t cos t tπ t Figuren under iser et atestykke S i første kadrant agrenset a randkuren som består a deler a grafen til ligningene y, x, y x, og y x.den lukkede kuren skal gjennomløpes i retning mot klokka positi retning Bestem en glatt parameterisering for hert a de re kurestykkene som den lukkede kuren er sammensatt a. Spesiser tydelig parameterinterall for hert a de re kurestykkene. Her a de re parameteriserte kurene skal gjennomløpes i positi retning for økende parametererdi, og parametererdien skal starte på for her a delkurene.

8 Området S og den lukkede kuren delt op i re del-kurer. I : r t t, x t y dx dt dy t, II : r t, t x y t dx dy dt t, III : r t t, t x t y t dx dt dy t, t IV : r t t, t x t y t dx dt dy dt t, Benytt denne Greens formel for arealberegning A ydx til å bestemme arealet a atestykket S. S A ydx ydx ydx ydx ydx S I II III IV ydx ydx III IV ydx ydx III IV 4 Dierentialligning t dt t dt t dt + t dt ln t + t t ln t + t t ln + ln + + ln Vi har gitt følgende partielle dierentialligning: Bestem den generelle løsningen. z xy + cos x z xy + cos x z dx xy + cos x dx z x y + sin x + F y z dy x y + sin x + F y dy z z x, y x y + y sin x + F y dy + G x z z x, y x y + y sin x + H y + G x z xy + cos x Bestem en partikulær løsning som oppfyller følgende tillegsbetingelser: z x, x og z π, y sin y z z x, y x y + y sin x + H y + G x z x, x x + sin x + H + G x x G x x H z z x, y x y + y sin x + H y + x H z π, y sin y π y + y sin π + H y + π H sin y H y sin y π y π + H z z x, y x y + y sin x + sin y π y π + H + x H x y + y sin x + sin y π y π + x 5 Del-Opperator Vis følgende egenskaper knyttet til del-opperatoren: ff f F +f F hor f er en skalarfunksjon og F er en ektorfunksjon.

9 ff,, z ff,, z f F, F, F,, z ff, ff, ff ff, ff, z ff f F + f F + f F F + f + f F + f F + f z F + f F + f F + f F z f, f, f z F, F, F + f,, z F, F, F ff f F + f F f z F + f F z Vis følgende egenskaper knyttet til del-opperatoren: r r r r,, z r r, r, z r, x +y +z, x +y +z z x +y +z x + y + z x, + y + z x, z + y + z x x + y + z, y x + y + z, z x + y + z xr, yr, zr r x, y, z r r