EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: MAT-1003 Dato: Tirsdag 15. desember 2015 Tid: Kl 15:00 19:00 Sted: Åsgårdvegen 9

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabeller, Rottmanns formelsamling, godkjent kalkulator, 2 A4 ark med egne notater (fire sider) Oppgavesettet er på 3 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Kristoffer Rypdal Telefon: NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladd sammen med besvarelsen

2 Bokmålversjon Oppgave I (a) La F(x, y) = cos x i + sin y j. Finn en skalar potensialfunksjon φ(x, y) slik at F = φ. Anta mer generelt at F(x, y) = A(x)i+B(y)j, der A(x) og B(x) er integrerbare funksjoner. Vis at den fullstendige løsningen er φ(x, y) = der c er en vilkårlig konstant. x A(x ) dx + y B(y ) dy + c, (b) Anta F(x, y) = D(y)i + E(x)j, der D(y) og E(x) er integrerbare funksjoner. Vis at det eksisterer en potensialfunksjon hvis D(y) = cy + a og E(x) = cx + b, der a, b og c er reelle konstanter. Hva blir potensialet φ(x, y)? (c) (Litt vanskelig.) Vis at formen D(y) = cy + a, E(x) = cx + b, (1) er nødvendig for at det skal eksistere et potensial. Hint: Start med likningene x = D(y), y = E(x), og vis at D(y) og E(x) må ha formen i likning (1). (d) R er området i R 2 som er avgrenset av de parametriserte kurvene C 1 : x 1 (t) = t i+t j, og C 2 : x 2 (t) = t i+t 2 j for t [, 1]. Beregn linjeintegralet av F(x, y) = (cy+a)i+(cx+b)j langs kurvene C 1 og C 2. Forklar hvorfor de to integralene blir like. (e) Beregn arealet av området R mellom de to kurvene og integralet av funksjonen f(x, y) = xy på R. Gjør beregningene ved å betrakte R både som et område av Type I og som Type II. Oppgave 2 X(s, t) R 3, der (s, t) D R 2, beskriver ei flate S parametrisert ved x = s + t, y = s t, z = s, der D = {(s, t) s 2 + t 2 1}. (a) Skriv flata på formen z = f(x, y) og finn f(x, y). Innfør nye parametre u = s+t, v = s t, og anta at den reparametriserte flata har formen Y(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), der (u, v) D. 1

3 Finn x(u, v), y(u, v), og z(u, v) samt området D. (b) Finn tangentene T s og T t og normalen N til flata S. Hva slags flate er S? (c) Finn arealet av S ved å bruke parametriseringa og utføre et flateintegral. Oppgave 3 La F(x, y, z) = ( yi + xj)/(x 2 + y 2 ) + k være et vektorfelt definert i området D som er hele R 3 med unntak av z-aksen. (a) Vis ved utregning at F = for alle (x, y, z) D. (b) Innfør sylindriske koordinater x = r cos θ, y = r sin θ, z = z og vis at linjeintegralet av F langs en kurve C fra punktet P 1 = (r 1, θ 1, z 1 ) til punktet P 2 = (r 2, θ 2, z 2 ) er gitt ved θ2 I c = F ds = dθ. (2) C θ 1 (c) La C A være en lukket kurve som ikke omslutter z-aksen, og C B en lukket kurve som omslutter z-aksen. Beregn I CA og I CB. (d) Stokes teorem har formen F ds = F ds. Beskriv betingelsene for at C S teoremet skal være gyldig. Hvordan forklarer du at I CA I CB? 2

4 EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-13 Dato: Tirsdag 15. desember 215 Tid: Kl 15: 19: Sted: Åsgårdvegen 9 Lovlige hjelpemiddel : Pedersen et al.: Teknisk formelsamling med tabellar, Rottmanns formelsamling, godkjend kalkulator, 2 A4 ark med egne notat (fire sider) Oppgåvesettet er på 3 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Kristoffer Rypdal Telefon: NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med oppgåvesvaret

5 Nynorsk versjon Oppgåve I (a) Lat F(x, y) = cos x i + sin y j. Finn ein skalar potensialfunksjon φ(x, y) slik at F = φ. Anta meir generelt at F(x, y) = A(x)i + B(y)j, der A(x) og B(x) er integrerbare funksjonar. Syn at den fullstendige løysinga er φ(x, y) = der c er ein vilkårlig konstant. x A(x ) dx + y B(y ) dy + c, (b) Gå ut frå at F(x, y) = D(y)i + E(x)j, der D(y) og E(x) er integrerbare funksjonar. Syn at det finst ein potensialfunksjon hvis D(y) = cy + a og E(x) = cx + b, der a, b og c er reelle konstantar. Kva blir potensialet φ(x, y)? (c) (Litt vanskeleg.) Syn at forma D(y) = cy + a, E(x) = cx + b, (3) er naudsynt for at det skal finnes eit potensial. Hint: Start med likningane x = D(y), y = E(x), og syn at D(y) og E(x) må ha forma i likning (1). (d) R er området i R 2 som er avgrensa av dei parametriserte kurvene C 1 : x 1 (t) = t i+t j, og C 2 : x 2 (t) = t i+t 2 j for t [, 1]. Rekn ut linjeintegralet av F(x, y) = (cy+a)i+(cx+b)j langs med kurvene C 1 og C 2. Forklar kvifor dei to integrala blir like. (e) Rekn ut arealet av området R mellom dei to kurvene og integralet av funksjonen f(x, y) = xy på R. Gjer utrekningene ved å sjå på R både som eit område av Type I og som Type II. Oppgåve 2 X(s, t) R 3, der (s, t) D R 2, skildrar ei flate S parametrisert ved x = s + t, y = s t, z = s, der D = {(s, t) s 2 + t 2 1}. (a) Skriv flata på formen z = f(x, y) og finn f(x, y). Innfør nye parametre u = s+t, v = s t, og gå ut frå at den reparametriserte flata har forma Y(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), der (u, v) D. 3

6 Finn x(u, v), y(u, v), og z(u, v) samt området D. (b) Finn tangentane T s og T t og normalen N til flata S. Kva slags flate er S? (c) Finn arealet av S ved å bruke parametriseringa og utføra eit flateintegral. Oppgåve 3 Lat F(x, y, z) = ( yi + xj)/(x 2 + y 2 ) + k vera eit vektorfelt definert i området D som er heile R 3 med unntak av z-aksen. (a) Vis ved utrekning at F = for alle (x, y, z) D. (b) Innfør sylindriske koordinatar x = r cos θ, y = r sin θ, z = z og syn at linjeintegralet av F langs ei kurve C fra punktet P 1 = (r 1, θ 1, z 1 ) til punktet P 2 = (r 2, θ 2, z 2 ) er gjeve ved θ2 I c = F ds = dθ. (4) C θ 1 (c) La C A vera ei lukka kurve som ikke omgjev z-aksen, og C B ei lukka kurve som omgjev z-aksen. Rekn ut I CA og I CB. (d) Stoke sitt teorem har forma F ds = F ds. Skildra føresetnadene for at C S teoremet skal vera gyldig. Korleis forklarer du at I CA I CB? 4