EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes Berner Larsen Lisa Lorentzen Vigdis Petersen Vedlegg: Formelliste EKSAMEN I FAG SIF55 MATEMATIKK Bokmål Fredag. mai Tid: 9: 4: Hjelpemidler: B - Typegodkjent kalkulator med tomt minne. - Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller i uke 5. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så mye tekst og mellomregning at resonnementet kommer tydelig frem. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave La T være legemet i første oktant begrenset av koordinatplanene x =,y =, z = og planet x + y + z 3 =. Hvilke(t) av integralene nedenfor gir volumet av T? (i) 3 z 3 y z 3 dx dy dz (ii) 3 x 3 ( x y) dz dx dy (iii) x 3 ( x y) dz dy dx (iv) x 3 ( x y)dy dx Oppgave Finn og klassifiser de kritiske punktene til funksjonen f(x, y) =x 3 3xy + y.

2 SIF55 Matematikk Side av 3 Oppgave 3 Et plant legeme R i første kvadrant er avgrenset av hyperblene x y =, x y =, xy = og xy =. Innfør nye variable u = x y og v = xy, og bruk dette til å finne massen m = δda til R når massetettheten δ er proporsjonal med kvadratet av avstanden til origo (proporsjonalitetsfaktor k). R Oppgave 4 I et punkt P (x,y,z )påflatenz = x y er tangentplanet parallelt med planet z =4x y. FinnP og ligningen for dette tangentplanet. Oppgave 5 La R væredetplaneområdet i første kvadrant som er begrenset av x-aksen, y-aksen og kurven x 3/ + y 3 +5xy =, randen inkludert. Finn største og minste verdi av funksjonen f(x, y) = xy over området R. Oppgave 6 Kurven er gitt ved r(t) = cost i + cost j +sint k for t π. a) Bestem følgende størrelser i et vilkårlig punkt på kurven : enhetstangentvektoren T krumningen κ b) Vis at er skjæringskurven mellom en kuleflate og et plan. Bestem sentrum og radius i sirkelen.

3 SIF55 Matematikk Side 3 av 3 z Oppgave 7 I denne oppgaven kan du få bruk for at cos 4 θdθ= 3θ sin θ cos θ + 4 cos3 θ sin θ +. La T være legemet begrenset av paraboloidene z = x + y og z = (x ) y. x y a) Vis at projeksjonen av T i xy-planet er en sirkelskive, og finn volumet av T. b) La S være den delen av overflaten til T som ligger på paraboloiden z = (x ) y, og la S være den delen som ligger på paraboloiden z = x +y.både S og S er orientert slik at enhetsnormalen n har positiv z-komponent. La videre vektorfeltet F være gitt ved F = y i + z j + x k. Finn fluksen til F gjennom flatene S og S, det vil si, beregn flateintegralene F n ds og F n ds. S S c) Vektorfeltet G er gitt ved G = e sin z i + x j y k. Beregn kurveintegralet (linjeintegralet) G dr (= G T ds) der er skjæringskurven mellom de to paraboloidene, orientert mot urviseren sett ovenfra. Hint: Kurven ligger i et plan.

4 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Lisa Lorentzen Vedlegg: Formelliste EKSAMEN I FAG SIF55/7 MATEMATIKK /A Bokmål Tirsdag. august Tid: 9: 4: Hjelpemidler: B - Typegodkjent kalkulator med tomt minne. - Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensurfrist:. september. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så mye tekst og mellomregning at resonnementet kommer tydelig frem. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave Gitt vektorfeltet F = x i + xyj + k. For hvert av alternativene (i) (iii) nedenfor angi med ja eller nei om det er lik fluksen F n ds til F ut gjennom kuleflaten S med senter i origo og radius a>: (i) π a a r a r 3r cos θdzdrdθ iii) π π a S (ii) a π π 3ρ sin ϕ cos θdρdϕdθ 3ρ 3 sin ϕ cos θdθdϕdρ

5 SIF55/7 Matematikk /A Side av 3 Oppgave Gitt vektorfeltet F(x, y) =(e y + ye x +x)i +(xe y + e x +)j. a) Vis at F er et konservativt vektorfelt. Bestem en potensialfunksjon for F, det vil si, bestem en funksjon f(x, y) slik at f = F. b) Beregn arbeidet W = F T ds (= F dr) som F utfører ved å bevege en partikkel fra punktet (, ) til punktet (,e 4π ) langs kurven : r(t) =e t sin ti + e t cos tj, t 4π. c) Samme spørsmål som i b), men med vektorfeltet F erstattet med G(x, y) =y i x j. Oppgave 3 En flate z = f(x, y) i rommet har tangentplan z =x 3y +5 i punktet (,, 4). Finn den retningsderiverte til f i punktet (, ) i retningen i + j. La L være skjæringslinjen mellom tangentplanet i (,, 4) og planet y = x. Finn vinkelen som L danner med xy-planet. Oppgave 4 Finn de høyeste og laveste punktene (det vil si, de med størst og minst z- koordinat) på skjæringskurven mellom flatene x + y = og ln( xy) (x + y ) z =. Oppgave 5 La R være området i xy-planet begrenset av kurven y = e x og de rette linjene x =,x =ogy =. Beregn dobbeltintegralet x y da. R

6 SIF55/7 Matematikk /A Side 3 av 3 Oppgave 6 La være sirkelen x + y =, orientert mot urviseren. La videre f(x, y) = y x og g(x, y) = x + y x + y. Vis at f(x, y) dx + g(x, y) dy =π ved å regne ut linjeintegralet direkte. La R være området begrenset av sirkelen. Forklar hva som er galt med følgende resonnement, og hvorfor: Ved Greens teorem har vi f(x, y) dx + g(x, y) dy = R ( g x f ) da =. y Oppgave 7 Legemet T er avgrenset av flatene S : z =4y +5 og S : z = x +(y +). a) Finn y-koordinaten til sentroiden (tyngdepunktet) til T når T har massetetthet δ(x, y, z) =. b) La være skjæringskurven mellom S og S, orientert mot urviseren sett ovenfra. Beregn linjeintegralet F T ds (= F dr) der F(x, y, z) = y i + y z 3 j +(x + y 6 ) k. z x y

7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Vedlegg: Formelliste Faglig kontakt under eksamen: Harald Hanche-Olsen Lisa Lorentzen Vigdis Petersen Hjelpemidler: B EKSAMEN I FAG SIF55 MATEMATIKK Bokmål Mandag 4. mai Tid: 9: 4: Typegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller i uke 5. Oppgave skal besvares uten begrunnelse. Alle andre svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Svar tatt rett fra kalkulator godtas ikke som fullgode svar. Oppgave z 4 z x 4 4 y x 4 4 y A B Hvilken av de 6 ligningene nedenfor har graf som vist i figur A? Hvilken av de 6 ligningene nedenfor har graf som vist i figur B? (i) x + y z = (iv) x y z = (ii) x y + z = (v) x + y z = (iii) x + y + z = (vi) x y + z =

8 SIF55 Matematikk 5 4 Side av 3 Oppgave Bruk Lagranges metode til å finne største mulige verdi for funksjonen f(x, y, z) =xyz når (x, y, z) skal ligge på ellipsoiden x a + y b + z c =. Her er a, b og c gitte positive konstanter. Oppgave 3 Et fly reiser gjennom øvre luftlag der temperaturen i (x, y, z) ert (x, y, z). Finn temperaturendringen per minutt rundt flyet ved et tidspunkt der T x =, T y =, T z = 4 målt i /km, når flyets fart er km/h og det flyr i retningen 7, 5,. Oppgave 4 Finn en normalvektor til flaten S : xz yz +cosxy = i punktet (,, ). Vis at tangenten til kurven x =lnt, y = t ln t, z = t for <t< i punktet (,, ) ligger i tangentplanet til S i punktet (,, ). Oppgave 5 En planlagt kirke har form som en sirkulær sylinder x + y =8 som står på xy planet med tak z = x 5 + y for x + y 4. a) Beregn kirkerommets volum V. b) Valg av takbelegg er avhengig av hvor bratt taket er. Kan det brukes et belegg som tåler en helning på maksimalt 6 med horisontalplanet? Oppgave 6 Et legeme T er satt sammen av to kompakte deler A og B. DelA er en rett sirkulær kjegle med høyde 4, grunnflateradius og massetetthet / 3.DelB er en halvkule med radius og massetetthet 4 / 3. Delene er festet sammen som vist påfiguren.lap betegne toppunktet i spissen av A. Finn avstanden mellom P og tyngdepunktet til T. P A B

9 SIF55 Matematikk 5 4 Side 3 av 3 Oppgave 7 La vektorfeltet F =(x +cosyz)i arctan y j + ( + z +y ) k være gitt. a) Beregn div F. b) Bestem fluksen F n ds opp gjennom den delen S av flaten z = e x y derz. S Oppgave 8 La vektorfeltet G = zi + x 4 y j +( x y )k være gitt, og la S være den delen av skrueflaten gitt i sylinderkoordinater ved z = θ der r og θ π, ogvistpå figuren nedenfor. Bruk Stokes teorem til å beregne curl G n ds der normalvektoren n på S peker oppover. S z y x

10 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Vedlegg: Formelliste Faglig kontakt under eksamen: Harald Krogstad Dag Olav Kjellemo Hjelpemidler: B EKSAMEN I FAG SIF55 MATEMATIKK Bokmål Onsdag 8. august Tid: 9: 4: Typegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller. september. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Svar tatt rett fra kalkulator godtas ikke som fullgode svar. Oppgave Funksjonen f er definert ved f(x, y) =x 3 y + xy +4y. a) Finn og klassifiser de kritiske punktene til f. b) Finn største og minste verdi for f(x, y) påområdet gitt ved x y x. Er disse verdiene også maksimumogminimumforf(x, y) i hele planet? Oppgave En flate S er gitt ved x + y +4z =6. La T være tangentplanet til S i et punkt (a, b, c) på S. Finn ligningen for T. Punktene (a, b, c) på S som er slik at punktet (,, 4) ligger på T, danner en kurve. Hvilken kurve?

11 SIF55 Matematikk 8 8 Side av 3 Oppgave 3 Finn volumet til legemet avgrenset av flaten gitt i kulekoordinater ved ρ = cos ϕ. 3 Oppgave 4 Beregn trippelintegralet 4 x x sin z dy dz dx z 4 ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen for x og z. Oppgave 5 Undersøk om funksjonen definert ved x 4 x y for (x, y) (, ), f(x, y) = x 4 + y for (x, y) =(, ), er kontinuerlig i origo. Undersøk videre om de partiellderiverte f x (, ) og f y (, ) eksisterer.

12 SIF55 Matematikk 8 8 Side 3 av 3 Oppgave 6 Vektorfeltet F er gitt ved F(x, y, z) =x 3 z i + y 3 z j +(x + y ) k. La legemet T være halvkulen gitt ved x + y + z, z. La S være overflaten til T,oglan være utadrettet enhetsnormal til S. a) Finn div F, ogbestem F n ds. S b) La S være den krumme delen av S, ogbestem F n ds. S Oppgave 7 Bestem de deriverbare funksjonene f og g slik at vektorfeltet gitt ved F(x, y, z) =z cos x i + zg(y) j + ( f(x)+y ) k er konservativt og (,,) F T ds =6. Oppgave 8 La (,,) F(x, y, z) =yz i (xz +3x ) j, la S være den delen av paraboloiden x +x + y + z =3som ligger over planet x + z =,ogla være skjæringskurven mellom planet og paraboloiden. Kontroller at Stokes teorem holder for F og S ved å beregne begge integralene F T ds og (curl F) n ds der T og n er riktig valgt. S 3