Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Transkript

1 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag mai 2010

2 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey) Hva skal skal vi lære her? Eksamenskurs (eksempler: eksamensoppgaver) Motivasjon (hva skal vi med dette?) Forskningsbasert undervisning og veien videre Matematisk Deciphreringsskill Toppen av fjellet Hva skal vi ikke gjøre her? Detaljene (alle utregingene) Presisjonen

3 Program Motivasjon Matte 1 Integrasjon (7) Derivasjon (6) Anvendelser av derivasjon (7) Konservativt vektorfelt (1) Div/Curl Teoremer (forstå en likning) (11) Forskningsbasert undervisning (bruker jeg matte 2?) Flere eksamensoppgaver

4 Organisering Slik tenkte jeg vi skulle organisere oss: Tidspunkt i dag og i morgen: Pause (i dag bare en halvtime) (12-12:30) Eksamensoppgaver fra Eksperiment: Blodtilførsel (40min over hel) Er det noe dere bør passe på? Gå ut i pausene Drikk og spis

5 Matematikk 1 - litt repetisjon Derivasjon Derivasjon f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h Numerikk f (x) f (x ) f (x) 0.01

6 Matematikk 1 - litt repetisjon Integrasjon Integrasjon 1 0 f (x) dx = lim n n f i=1 ( ) i 1 n n Numerikk f (x) dx f i=1 ( i )

7 Matematikk 1 - litt repetisjon Fundamentalteoremet Fundamentalteoremet Flerdimensjonalt d f (x) dx dx d = f (x) f (x) dx dx = f (x) + C S V F(x, y, z) dv = F(x, y, z) da = S C F(x, y, z) da F(x, y, z) dr

8 Fysikk Maxwells likninger for elektromagnetisme E = ρ ɛ 0 B = 0 E = B t E B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0 t Her er E, B, ρ funksjoner av romtidkoordinatene x, y, z, t.

9 Fluidmekanikk Navier-Stoke s teorem ( ) v ρ t + v v = p + f + stuff

10 Notasjon Konstant / funksjon: a, f Vektor / vektorfunksjon: v, F Lengde på vektor: v Vektor; størrelse og retning: v = v v v =v n Vektorprodukt [1, 2, 3] [0, 4, 1] = = 11 Kryssprodukt: [1, 2, 3] [0, 4, 1] (se tavla) Enhetsvektorer: i = ˆx = [1, 0, 0], j = ŷ = [0, 1, 0] og k = ẑ = [0, 0, 1].

11 Flerdimensjonal integrasjon Hvordan integrere Ta det innerste integralet først, se på alle de andre variablene som konstanter (som π og 2). For eksempel Eksempel 2 x=1 3x + e y x 2 + sin(z) + cos(3xyz) dx = [ 3 2 x ey x 3 + sin(z)x + sin(3xyz) 1 ] 2 = 3yz x=1 3 2 (2 1) ey (2 2 1) + sin(z)( 2 1) + 1 3yz (sin(3 2yz) sin(3yz)) Mai 2008 Oppgave 4, og oppgave 5a.

12 Polar(sylinder)- og kulekoordinater Hvordan integrere nå? På formelarket finner vi dv = dx dy dz = r dr dθ dz = ρ 2 sin(φ) dρ dφ dθ hvor ρ er rho, φ er phi og θ er theta. Merk hvordan r og ρ 2 kompenserer for avstand til origo, og sin(φ) kompenserer for at horisontalsnitt av en kule er større midt på enn ved polene. (se side 830 i boka) Eksempel Mai 2008 Oppgave 1, og oppgave 3.

13 Fokus på å finne grensene Hvordan integrere nå? Skriv opp alle likningene som beskriver området. Tegn opp alle mulige skisser (z-x-planet, z-y-planet, z-r-planet, x-y-planet) Velg en variabel av gangen og skriv opp en dobbel ulikhet til denne. Når man har skrevet opp en dobbel ulikhet for en variabel har man brukt opp denne variabelen. Eksempel August 2008 Oppgave 6a (kun sette opp integralet)

14 Partiellderivert Definisjon av retningsderivert La r = [x, y, z] være en vektor, og vi skriver f (r) i stedet for f (x, y, z). Da blir den retningsderiverte i retning h Eksempel f (r + ɛh) f(r) Df r = lim. ɛ 0 ɛ Den retningsderiverte i y-retning (h = [0, 1, 0]) f (x, y + ɛ, z) f (x, y, z) f y r = lim. ɛ 0 ɛ

15 Jakobimatrise Derivert av en generell funksjon La f (x, y, z) = [u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)]. Da er den deriverte J f = u x u y u z v x v y v z w x w y w z (forutsatt at alle disse finnes og er kontinuerlige) Eksempel f (x, y, z) = [ x 2 y, sin(xyz), e yz] Kjerneregelen: J f g = J f J g Transformasjon: du dv dw = J f dx dy dz.

16 Jakobimatrise 2 Eksempler f (x, y, z) = x 2 + ze y J f = f = [2x, ze y, e y ] r(t) = [ t, t 2, 1 ] J r = dr dt = r t = [1, 2t, 0] T f (r(t)) = t 2 + 1e t2 J f r = df (r(t)) dt (hvor den siste kan regnes på to måter) = 2t + 2te t2

17 Nabla operator Huskeregelen nabla [ ] = x, y, z Huskeregelen nabla f (vektor ganger tall) Gradient F (prikkprodukt/vektorprodukt/indreprodukt) Divergens F (kryssprodukt) Curl Nabla ikke alltid som man forventer ( F) 2 F (se rottmann)

18 Tangentplan Anta at vi har en parametrisert flate R(u, v). Hva ligger på tangentplanet? Lineariserer vi i u-retning: R u -vektoren ligger i planet. Lineariserer vi i v-retning: R v -vektoren ligger i planet. Hva er da normalen til planet? n ds = ±R u R v du dv n = R u R v R u R v ds = R u R v du dv (dette fungerer naturligvis med u = x og v = y også) eksempel Eksamen mai 2008 oppgave 2 Eksamen august 2009 oppgave 2

19 Småsnacks Eksempel topp/bunnpunkt Eksamen august 2008 oppgave 7 Eksempel vanlig vektor-derivasjon Eksamen august 2009 oppgave 3a

20 Lagrange-multiplikator Metoden Maksimer/minimer funksjonen f på overflaten S: g(x, y, z) = 0. Da er (λ kalles lambda): f g også kjent som f = λ g Eksempel Eksamen mai 2008 oppgave 6 Eksamen mai 2009 oppgave 1 og 3

21 Tyngdepunkt (massefellespunkt) (gjennomsnittskoordinat) Likningene fra formelarket z = 1 M z dm Hvor M = dm er massen til hele, og dm er massen til en liten bit, f.eks: dm = δdv = λds = µds = µda. (δ kalles delta; λ kalles lambda; µ kalles my) Eksempel Eksamen august 2008 oppgave 1

22 Litt nærmere anvendelser Kilder Wikipedia: diffusion equation Google(scholar): diffusion cancer modelling

23 Vektorfelt Eksempel : F(x, y) = [cos(y), x sin(y)] Tilfeldigvis: F(a, b) = (x cos(y)) (a,b)

24 Konservativt vektorfelt La F være et vektorfelt. eks: [yz, xz, xy]. Teorem: De følgende utsagn er ekvivalente f = F for en eller annen funksjon f C F T ds = 0 for alle lukkede kurver C b a F T ds er den samme for alle kurver C fra a til b F n ds = 0 for alle pene områder A A F = 0 Her er Tds = r (t) ds r (t) dt dt = r (t) r (t) r (t) dt = r (t)dt. Eventuelt kan man i stedet for Tds skrive dr = dr dt dt = r (t)dt. Eksempel Eksamen mai 2009 Oppgave 2

25 Divergensteorem - hvordan forstå en likning Teoremet F n dσ = Hvor σ er sigma. Eventuelt: F da = Hvor S er overflaten til området T. S S T T F dv div F dv

26 Formular Hva består likningen av? (reduksjonisme) Sett sammen deler til små helheter Test likningen på eksempler Finn spesialtilfeller (hva er dette en generalisering av?) Finn eksempler på når den ikke fungerer Studer beviset

27 Superformel og eksempler Eksempel Eksamen mai 2008 Oppgave 5c Superformel La R(u, v) være en parametrisering av flaten. (Eksempel: R(u, v) = [ v sin(u), v cos(u), v 2 u 10] for 1 u 2 og 3 v 4.) n ds = ±R u R v du dv Fortsatt er n ds = da = n dσ. Eksempel Eksamen august 2008 Oppgave 4

28 Curl-Teoremet (Stoke s teorem) Teoremet C F T ds = F dr = C S S (curl F) n dσ F da Hvor kurven C omslutter flaten S (og er derfor lukket) Eksempel Eksamen august 2009 Oppgave 5b (på begge måter) En slags forklaring Del opp arealet S i småbiter. F da er arbeidet rundt en småbit. Arbeidet når vi tar en rundturen langs kurven C = summen

29 Formelark (en oppsummering) Dekomponering av akselerasjonsvektor: Gang med T, N e.g. mai 2005 oppgave 7a. Diskriminant: Tenk på fortegn til A og B. Flateintegral: Bruk heller ndσ = ±R u R v du dv Tyngdepunkt og treghetsmoment: dm er massen til en liten bit, m = dm er massen til hele figuren. R er avstanden til omdreiningslinjen. Vektoranalyse: Parametriser kurven/flaten din, ndσ nevnt over, Tds = dr = r (t)dt.

30 Ekstra eksempler Mer Div/Curl August 2008 Oppgave 5 August 2008 Oppgave 6b Mai 2009 Oppgave 5 Mai 2009 Oppgave 6b August 2009 Oppgave 5b

31 Slutt Takk for nå og lykke til på eksamen!