TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

Transkript

1 TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner

2 Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt

3 Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

4 Funksjoner ii) I R! R n Kurve i planet eller rommet: r(t) =(r 1 (t),r 2 (t)) eller r(t) =(r 1 (t),r 2 (t),r 3 (t))

5 Funksjoner iii) D R 2! R 3 Flate i rommet: r(t) =(r 1 (s, t),r 2 (s, t),r 3 (s, t))

6 Funksjoner iv) D R n! R n Vektorfelt: F (x, y) =(F 1 (x, y),f 2 (x, y)) eller F (x, y, z) =(F 1 (x, y, z),f 2 (x, y, z),f 3 (x, y, z))

7 Reelle funksjoner f(x,y) Representasjoner kartesiske koordinater polarkoordinater vilkårlige koordinater

8 Oppgave 4 Reelle funksjoner f(x,y) Beregn trippelintegralet Representasjoner Polarkoordinater Z 2 4Z x 2 Z x sin 2z z 4 dy dz dx 0 8/ ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen for x og z. Oppgave 5 Undersøk om funksjonen definert ved 8 < x 4 x 2 y 2 for (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) = x : 4 + y 2 0 for (x, y) = (0, 0), er kontinuerlig i origo. Undersøk videre om de partiellderiverte f x (0, 0) og f y (0, 0) eksisterer.

9 Reelle funksjoner f(x,y) da = dx dy = rdrd = Operasjoner: Integrasjon Derivasjon D(x, y) D(u, v) du du dv, D v f(x, y) =rf(x, y) v, v =1

10 Reelle funksjoner f(x,y) Operasjoner Integrasjon [i Polarkoordinater] 13/ Oppgave 7 La a være et positivt tall, og la R a være sirkelskiven med senter i (0,a) og radius a. a) Vis, for eksempel ved å bruke polarkoordinater, at ZZ R a (x 2 + y 2 ) da = 3 2 a4. (Oppgitt formel: R sin n x dx = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 n b) Finn verdien av linjeintegralet I R sin n 2 x dx.)

11 Reelle funksjoner f(x,y) Operasjoner Integrasjon [Variabelsubstitusjon] 12/ Oppgave 3 Et plant legeme R iførstekvadranteravgrensetavhyperblene x 2 y 2 =1, x 2 y 2 =2, xy = 1 2 og xy =1. Innfør nye variable u = x 2 y 2 og v = xy, og bruk dette til åfinnemassen m = δ da til R når massetettheten δ er proporsjonal med kvadratet av avstanden til origo (proporsjonalitetsfaktor k). R

12 13/ Reelle funksjoner f(x,y) Operasjoner Derivasjon Oppgave34 Beregn trippelintegralet Temperaturen i en metallplate i xy-planet varierer fra punkt til punkt og er gitt ved T = f(x, y), der Z 2 4Z x 2 Z x = y og dy z = x Finn ved ådet bytte varmeste om integrasjonsrekkefølgen punktet (eventuelt de forvarmeste x og z. punktene) på ellipsen 8/ Oppgave 5 Undersøk om funksjonen definert ved 8 < x 4 x 2 y 2 for (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) = x : 4 + y 2 0 for (x, y) = (0, 0), er kontinuerlig i origo. Undersøk videre om de partiellderiverte f x (0, 0) og f y (0, 0) eksisterer.

13 Reelle funksjoner f(x,y) Annet Grafer z = f(x, y), Nivåkurver {(x, y): f(x, y) =c}?rf Taylor, tangentplan f(x + h, y + k) =f(x, y)+hf x (x, y)+kf y (x, y)+r(x, y; h, k) z = f(x 0,y 0 )+(x x 0 )f x (x 0,y 0 )+(y y 0 )f y (x 0,y 0 )

14 12/ Reelle funksjoner f(x,y) Annet Tangentplan Oppgave 4 IetpunktP 0 (x 0,y 0,z 0 )påflatenz = x 2 y 2 er tangentplanet parallelt med planet z =4x 2y. FinnP 0 og ligningen for dette tangentplanet. 1/ Oppgave 3 En flate z = f(x, y) i rommet har tangentplan z =2x 3y +5 ipunktet(1, 1, 4). Finn den retningsderiverte til f ipunktet(1, 1) i retningen i + j. La L være skjæringslinjen mellom tangentplanet i (1, 1, 4) og planet y = x. Finnvinkelensom L danner med xy-planet.

15 Reelle funksjoner f(x,y) Annet Kritiske punkter: rf =0 f xx f yy f 2 xy > 0medf xx < 0 =) lok.maks. f xx f yy f 2 xy > 0medf xx > 0 =) lok.min. f xx f yy f 2 xy < 0 =) sadelpunkt Minimering ved bibetingelser (Lagrange) min f når g = c og rg 6= 0 =) rf = rg

16 12/ Reelle funksjoner f(x,y) Annet Minimering Oppgave 2 Finn og klassifiser de kritiske punktene til funksjonen 13/ f(x, y) =x 3 3xy y2. Oppgave 3 Temperaturen i en metallplate i xy-planet varierer fra punkt til punkt og er gitt ved T = f(x, = = x. Finn det varmeste punktet (eventuelt de varmeste punktene) på ellipsen x y2 =1.

17 Reelle funksjoner f(x,y,z) Representasjoner Kartesiske koordinater Sylindriske koordinater Sfæriske koordinater Vilkårlige koordinater

18 Reelle funksjoner f(x,y,z) Operasjoner Integrasjon Derivasjon dv = dx dy dz = rdrd dz = 2 sin( ) d d d = D(x, y, z) D(u, v, w) du dv dw rf =(f x,f y,f z ), D v f = rf v, v =1 rf?{(x, y, z): f(x, y, z) =c}

19 Reelle funksjoner f(x,y,z) 1 0 =2 cos '. Operasjoner Integrasjon 8/ SIF5005 Matematikk Oppgave 3 Finn volumet 3 til legemet avgrenset Oppgaveav 3 flaten gitt i kulekoordinater ved =2 2 2 cos '. 1 0 Finn volumet til legemet avgrenset av flaten gitt i kulekoordinate 2 1 =2 cos '. 1 Oppgave 4 Beregn trippelintegralet 0 Z 2 0 4Z x 2 Z x 0 0 sin 2z z 4 ved å bytte om integrasjonsrekkefølgen for x og z. dy dz dx Oppgave 5 Oppgave 4 Undersøk om funksjonen definert ved 8 <x 4 x 2 y for (x, y) 6= (0, 0), Beregn trippelintegralet Z 2 0 4Z x 2 Z x 0 0 sin 2z dy dz dx z 4

20 Funksjoner ii) I R! R n Kurve i planet eller rommet: r(t) =(r 1 (t),r 2 (t)) eller r(t) =(r 1 (t),r 2 (t),r 3 (t))

21 Kurver Representasjoner Parametrisk, eksplisitt, implisitt Parametrisering ved buelengde TNB-fremstilling (krumming, torsjon) s(t) = Z t t 0 ṙ( ) d, ṙ( ) = r dr1 (t) dt 2 + dr2 (t) dt 2... Buelengdemål: ds = ṙ(t) dt

22 Kurver Representasjoner TNB-fremstilling (krumming, torsjon) T = dr ds = dr dt dt ds = ṙ(t) ṙ(t) N = dt/dt dt/dt = dt/ds dt/ds = 1 apple dt ds B = T N med db ds = N =) = db ds N

23 Kurver Operasjoner Kurveintegraler Lengde Z C Z b a fds= f(r(t)) ṙ(t) dt Z L(C) = ds C Masse M(C) = Z C ds

24 Kurver Operasjoner Kurveintegraler 12/ Oppgave 6 Kurven C er gitt ved r(t) = 2cost i + 2cost j +2sint k for 0 t 2π. a) Bestem følgende størrelser i et vilkårlig punkt på kurven C: enhetstangentvektoren T krumningen κ b) Vis at C er skjæringskurven mellom en kuleflate og et plan. Bestem sentrum og radius i sirkelen C.

25 Funksjoner iii) D R 2! R 3 Flate i rommet r(s, t) =(r 1 (s, t),r 2 (s, t),r 3 (s, t)) med enhetsnormal n = ± r s r t r s r t

26 Flater Representasjoner parametrisk eksplisitt implisitt (s, t) 7! (r 1 (s, t),r 2 (s, t),r 3 (s, t)) z = f(x, y) f(x, y, z) =c Ax + By + Cz = D plan? (A, B, C) Operasjoner: Flateintegral ZZ ZZ fd = f(r(s, t)) r s r t ds dt, S D S = {r(s, t): (s, t) 2 D}

27 Flater geometrisk eksempel med kurve og nivåflate 14/ Oppgave 4 Finn en normalvektor til flaten S : xz 2 yz + cos xy =1 i punktet (0, 0, 1). Vis at tangenten til kurven x = ln t, y = t ln t, z = t for 0 <t<1 i punktet (0, 0, 1) ligger i tangentplanet til S i punktet (0, 0, 1).

28 Flater Operasjoner Flateintegral 13/ Oppgave 4 En flate S (se figuren til høyre) har parameterfremstilling z r(u, v) =(u cos v)i +(u sin v)j + vk, (u, v) 2 D der D er trekanten i uv-planet med hjørner i (0, 0), (1, 0) og (1, 2). Finn arealet av S. x y

29 Funksjoner iv) D R n! R n Vektorfelt: F (x, y) =(F 1 (x, y),f 2 (x, y)) eller F (x, y, z) =(F 1 (x, y, z),f 2 (x, y, z),f 3 (x, y, z))

30 Vektorfelt Operasjoner div F = r F curl F 2 F: R2! R 2 curl F = r F = i j z F 1 F 2 F 3

31 Vektorfelt Operasjoner Fluks R 2 : R 3 : F nds Green = F nd Div = ZZ D ZZZ V divf da divf dv

32 Vektorfelt 8/ Oppgave 6 Operasjoner Fluks: divergensteoremet Vektorfeltet F er gitt ved F(x, y, z) =x 3 z i + y 3 z j +(x 2 + y 2 ) k. La legemet T være halvkulen gitt ved x 2 + y 2 + z 2 apple 1, z 0. La S være overflaten til T, og la n være utadrettet enhetsnormal til S. a) Finn div F, og bestem RR F n ds. S b) La S 1 være den krumme delen av S, og bestem RR F n ds. S 1

33 Vektorfelt Operasjoner Sirkulasjon R 2 : R 3 : F Tds Green = F Tds Stokes = ZZ ZZ D V curlf da curlf nd Husk: n (opp gjennom legemet) bestemmer orienteringen av randen i Stokes teorem.

34 Konservative vektorfelt Potensialfunksjon: f; rf = F Z Hvis så, gjelder F dr = f(b) f(a) =konst. C B A for enhver kurve fra A til B; integralet er veiuavhengig. Z def. F dr veiuavh. () F konservativt C thm. () F = rf thm. () curl F =0 I et (enkelt) (vei)sammenhengende område

35 Vektorfelt 13/ Operasjoner Sirkulasjon: Greens teorem Oppgave 7 La a være et positivt tall, og la R a være sirkelskiven med senter i (0,a) og radius a. a) Vis, for eksempel ved å bruke polarkoordinater, at ZZ R a (x 2 + y 2 ) da = 3 2 a4. (Oppgitt formel: R sin n x dx = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 n R sin n 2 x dx.) b) Finn verdien av linjeintegralet I C (e x y 3 ) dx +(x 3 e y ) dy der C er sirkelen med senter i (0, 1) og radius 1, orientert mot urviseren. apple apple

36 8/ RR Vektorfelt Sirkulasjon: konservative felt og Stokes teorem RR Oppgave 7 Bestem de deriverbare funksjonene f og g slik at vektorfeltet gitt ved F(x, y, z) =z cos x i + zg(y) j + f(x)+y 2 k er konservativt og Z (0,0,2) F T ds =6. Oppgave 8 La (0,0,0) F(x, y, z) =yz i (xz +3x 2 ) j, la S være den delen av paraboloiden x 2 +2x + y 2 + z =3som ligger over planet 2x + z = 2, og la C være skjæringskurven mellom planet og paraboloiden. Kontroller at Stokes teorem holder for F og S ved å beregne begge integralene I ZZ F T ds og (curl F) n ds C der T og n er riktig valgt. S

37 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ C : ( x 2 +2x + y 2 + z =3, 2x + z =2, () ( x 2 + y 2 =1, z =2 2z, Kurven C kjennetegnes altså av at 5 (x, y, z) =(x, y, 2 2x) 4 3 og x 2 + y 2 =1. 2 En passende parameterisering er derfor: r(t) = (cos t. sin t, 2 2 cos t) D 0 apple t apple 2 D = {(x, y): x 2 + y 2 apple 1}

38 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ Tds= ṙ(t) ṙ(t) dt =ṙ(t) dt =( ṙ(t) sin t, cos t, 2sint) dt I Med vår parameterisering får vi derfor: C F Tds= = = Z 2 0 Z 2 0 F ṙ(t) dt sin t(2 2 cos t)( sin t) +( cos t(2 2 cos t) 3 cos 2 t) cos t dt Z 2 0 = 2 Z 2 0 2(sin 2 t + cos 2 t) + 2 cos t sin 2 t cos 3 t) {z } 2 -per. med middelv. 0 dt = 4 dt

39 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ Nå til del 2 av oppgaven, flateintegralet. En mulighet er at betrakte den krumme flaten som en del av en nivåflate: g(x, y, z) =x 2 +2x + y 2 + z =3 I så fall er: n = ± rg rg = ±(2x +2, 2y, 1) rg Ettersom vi valt positiv (moturs) orientering på kurven C, finner vi med høyrehåndsregelen at n må peke uppover, d v s det skal være plusstegn i uttrykket for n.

40 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ Ettersom d = rg, der p er ortogonal rg p da mot skyggedomenen D, følger p = (0,0,1), og nd = rg rg p da g z=1 = rgda Et alternativ er at parameterisere flaten S med hjelp av ligningen x 2 +2x + y 2 + z =3: S : (x, y, 3 2x x 2 y 2 ), 0 apple x 2 + y 2 apple 1 eller S : (r cos, r sin, 3 2r cos r 2 ), 0 apple r apple 1, 0 apple apple 2.

41 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ Begge disse alternativ ger samme resultat som metoden med funksjonen g, og man får: ~r x ~r y = ~r r ~r = rg =(2x +2, 2y, 1) I hvert fall vet vi nu at: nd = ~r x ~r y r x ~r y r x ~r y da =(2x +2, 2y, 1) da Videre er F (x, y, z) =(yz, xz 3x 2, 0) og curl F = i j z yz xz 3x 2 0 =(x, y, 6x 2z)

42 Løsningsskisse, oppgave 8 8/ ZZ S Med hjelp av ligningen x 2 +2x + y 2 + z =3 (se * nedenfor), som gjelder på flaten S, får vi nå: curlf nd = = = = ZZ ZZ ZZ D D D Z 2 Z 1 0 (x, y, 6x 2z) (2x +2, 2y, 1) da 2(x 2 + y 2 ) 2(2x + z) da 2r 2 2(3 r 2 ) da 0 (4r 2 6)rdrd =2 r 4 3r = 4

43 Lykke til!