Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Transkript

1 Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009

2 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler framstilles ganske likt med MAT1100, men vi har litt andre type og tolkninger. I kompediet i MEK1100 er kurveintegraler diskutert kort i kap. 6. I år foreleser vi stoffet fyldigere og sammen med kap. 4. Litt numerisk vinkling. Fysisk inspirerte utledninger av viktige derivasjonsoperatorer Mye av stoffet er lagt ut som tillegg til kompediet. Alt som er på lysark finnes enten i tillegg eller kompendium.

3 ... Struktur 1 Kurver 2 Utvikling av kurveintegral av skalarprodukt. Utgangspunkt i diskretisering Midtpunktmetode formuleres og egenskaper diskuteres Relasjon til vanlig integral Notasjoner 3 Fluksintegral 4 Trykkintegral 5 Sirkulasjon og nettofluks 6 Divergens 7 Virvling

4 Kurver Uttrykt som likning R 2 : f (x, y) = 0, (1) R 3 : f (x, y, z) = 0 definerer plan, f (x, y, z) = 0 og g(x, y, z) = 0 skjæring av to plan; dvs. kurve Uttrykt ved parameterisering r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, (2) t er parameter og x(t), y(t) og z(t) er skalarfunksjoner av t. Mange valg og tolkninger for t.

5 ... Spesialtilfelle, x som parameter r(x) = xi + y(x)j + z(x)k. Spesialtilfelle, y som parameter r(y) = x(y)i + yj + z(y)k.

6 Rett linje Likning Parmeterisering ax + by + c = 0, x(t)i + y(t)j = r(t) = r 0 + vt = (x 0 + v x t)i + (y 0 + v y t)j Må ha (hvorfor?) v normal på ai + bj og ax 0 + by 0 + c = 0. Stor valgfrihet, untatt hvis feks. r=posisjon og t=tid.

7 Derivering av r(t) dr dt = lim r(t+ t) r(t) t 0 t ( x(t+ t) x(t) t = lim t 0 = x (t)i + y (t)j + z (t)k, der x er det samme som dx dt. dr dt er tangent til kurven i + y(t+ t) y(t) t Hvis r= posisjonsvektor og t=tid er dr dt =hastighet ) j + z(t+ t) z(t) t k (3)

8 y dr dt r/ t x r/ t og dr/dt. Lengde av derivert avhenger av enheter/skalering.

9 Kurvegeometri Differensial dr = dr dt dt = x dti + y dtj + z dtk = dxi + dyj + dzk Buelengdedifferensial ds = dr dt dt = dr = dx 2 + dy 2 + dz 2 = dvs. og enhetstangent (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 dt s (t) = dr dt (x = ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2, (4) t = 1 dr s (t) dt.

10 Enhetsnormal i R 2 N = dr dt k = y i x j. Fordi N = dr dt = s (t) er enhetsnormalen n er også enhetsnormal n = N s (t) = y i x j s = (t) y i x j (x ) 2 + (y ) 2.

11 NYTT TEMA Kurveintegraler

12 Definisjon Akkumulering (summering) av en størrelse lang en kurve Viktig tilfelle Akkumulering av arbeid på partikkel langs en kurve Arbeid Arbeid = kraft ganger vei, benevning J = N m W = F s Vektorform; bare komponent av F langs vei gjør arbeid. W = F r (5) Uttrykk gjelder for F=konstant og rettlinjet vei. Hva er arbeid når F(r) og veien er en kurve?.

13 Diskretiseringer (eksempler) y polygon r n y tangenter r(t 5 ) C C r(t 1 ) r(t 2 ) r 1 x x Ide: Estimerer arbeid ved at W = F r brukes på hvert rett linjestykke med passende konstant verdi for F.

14 Bruk av tangenter Parameterisering: r(t), t [a, b] n delintervaller: [0, h], [h, 2h],..,[(n 1)h, nh] der h = (b a)/n Midtpunkt i intervall i : t i = (i 1 2 )h Hvert intervall tilnærmet kurvebit r i = r (t i )h r(t i h) r(t i 1 2 h) På hvert intervall F F(r(t i )) = F i Arbeid på intervall i: F i r i Estimat av totalt arbeid W(n) = n F i r i = n i=1 i=1 F(r(t i )) dr(t i) dt h

15 Konvergens W(n) avhenger av diskretisering både type og oppløsning (h). Dersom alle fornuftige diskretiseringer gir W(n) som nærmet seg den samme verdi når h 0 ville denne verdien være en fornuftig definisjon av arbeid.

16 Eksempel y C x r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j (6) Et lite program som beregner W(n) gir n W(n) Ser ut til å nærme seg når h 0.

17 Relasjon til ordinært integral Definerer vanlig funksjon : g(t) = F(r(t)) r (t) Da følger W(n) = n i=1 F(r(t i )) dr (t i ) h = dt n g(t i )h, (7) i=1 som svarer til midtpunktmetoden (MAT-INF1100) for W = b a g(t)dt. (8) Grenseverdien for (7), når n blir stor, må da svare til integralet i (8).

18 Midtpunktmetode for 1 2 π 0 g(t)dt for n = 7 g(t) 0 t π t

19 Integrasjon i formel Innsetting r = cos ti + sintj, t [0, π 2 ] F = 1 4 (x y)i + (1 2 x y2 )j b g(t)dt = a = 1 2 π π 0 =... F(r(t)) r (t)dt ( 1 4 (cos t sint)( sint) + (1 2 cos t sin2 t)cos t ) dt = π Stemmer med numerisk beregnet W(n).

20 Feilestimat for midtpunktmetode Feil for enkelt intervall E i = t i h t i 1 2 h g(t)dt g(t i )h MAT-INF1100 og tillegg til kompendium K en konstant, M maksimum av g Viktig: feil proposjonal med h 3 E i Kh 3 M, (9) Total feil b a g(t)dt n g(t i )h bkh2 M (10) i=1

21 Kurveintegral Definsjon W = b a F(r(t)) dr(t) dt. (11) dt r dt = dr parameteruavhengig notasjon W = F dr, (12) C Komponenter F = F x i + F y j og dr = dxi + dyj W = F dr = (F x dx + F y dy) = F x dx + C C C C F y dy. (13)

22 ... NB Det er viktig å huske at feks. C F x(x, y)dx ikke kan integreres ved å antiderivere med hensyn på x og sette inn endepunktene i C. Både x og y vil variere langs C. Dette blir tydelig hvis vi innfører parameteren t i integralene C C b F x dx = F x (x(t), y(t))x (t)dt, F y dy = a b a F y (x(t), y(t))y (t)dt.

23 Feilestimat til senere C F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, (14) dt der C er kurvebiten parameterisert over intervallet [ˆt 1 2 h,ˆt + 1 2h] og R er begrenset av en konstant ganger ekstremverdiene av d2 (F dr dt 2 dt ) på dette intervallet.

24 Når F er en gradient Anta det eksisterer en β(x, y, z) slik at Kurveintegralet blir b a F = β. F(r(t)) dr(t) b dt = dt a β(r(t)) dr(t) dt. dt Kjederegelen gir β(r(t)) r (t) = dβ(r(t)) dt og b a F(r(t)) dr(t) b dt = dt a Integralet er uavhengig av veien. dβ(r(t)) dt = β(r(b)) β(r(a)). dt

25 ... Vi skrive utregningen mer direkte ved dβ = β dr: β dr = dβ = β b β a, (15) C C Analogi til analysens fundamentalteorem d c f (x)dx = f (d) f (c).

26 Potensiell energi Dersom F er et kraftfelt vil β svare til minus den potensielle energien: V = F. Endringen i potensiell energi er da lik minus det arbeidet som kraften F utfører langs C V b V a = F dr. Hvis arbeidet går til kinetiske energi vil summen av potensiell og kinetisk energi holde seg konstant. C

27 NYTT TEMA Fluks- og trykkintegraler

28 Volumstrøm Hastighet v. Volumstrøm, per tid, gjennom flatelement normalt v, med areal dσ Benevning for dq 3 er m 3 / s. dq 3 = ± v dσ, Når flatenormal, n, danner vinkel med v er det bare normalkomponent, v n, som gir volumstrøm dq 3 = v ndσ, Tilsvarende massestrøm er ρv ndσ, der ρ er spesifikk masse. For en hel flate må fluksen integreres(summeres) over flaten flateintegral som gjennomgåes siden.

29 2D variant: volumstrøm i skiver Studerer skiver med grunnflate i xy-planet og konstant tykkelse B i z-retning. Hastighet v(x, y) uniform i z retning. Grunnflate begrenset av kurve, C, i xy-planet r(t) = x(t)i + y(t)j. dr langs C sideflatesegment med areal dσ = B dr = Bds Volumstrøm dq 3 = v ndσ = v nbds, 2D fluksbegrep: Volumstrøm per tid og per tykkelse med benevning m 2 / s. dq = dq 3 B = v nds,

30 Geometrisk tolkning av 2D fluks (a) v n = (v n)n (b) v n ds n v s v ds n v dt v h = v n dt Segment, lengde ds, av skive sett ovenfra. Siden segmentet er lite ser det ut som en rett linje (a): Dekomponering av hastigheten (b): Skraverte område: volumstrøm ut i tiden dt. Arealet er hds = ds v n dt.

31 Kurveintegralet for fluks dq summert over sidekant svarende til kurve C i xy-planet Q = v nds (16) Parameterisering r(t), innsetting ds = s dt Q = v(r(t)) n(t)s (t)dt C C Har fra før n = N/s ns = N = r k = y i x j Q = v nds = (v x y v y x )dt = (v x dy v y dx). (17) C C Må passe på at kurven gjennomløpes slik at n peker mot høyre, sett ovenfra.* C

32 Trykkintegral langs kontur Trykk: kraft per flate, rettet normalt inn mot flaten. På flatesegment dσ, med enhetsnormal n, blir kraften df = pndσ. (18) Trykk har benevning N/ m 2. Trykk-kraft på flate flateintegral Igjen: ser på sidekanter av skive med tykkelse B. Da er dσ = Bds og df 2 = df/b = pndσ/b = pnds, der df 2 har bevevning N/ m dvs. kraft per lengde. Summert langs profil definert ved kurve c i x, y-planet F 2 = pnds. (19) C

33 ... Dekomponering F 2 = F x i + F y j. F 2 = pns (t)dt = p(y i x j)dt = i dvs C C F x = C pdy, F y = C C pdx pdy + j C pdx. Nok en gang: må huske at både x og y varierer langs C; generelt er det feil å antiderivere p mhp. y og x. (20)

34 Eksempel, trykk på dam y g p = p 0 x dr n v = 0 x = b(y) y = H Likevekt hydrostatisk trykk: p = p 0 ρgy (tas bare for gitt nå) Ex H08: finn kraften på profilen når. b(y) = αy 2

35 ... Bruker y som parameter Dette gir r(y) = b(y)i + yj = αy 2 i + yj. F x = p(y)dy = C = p 0 H 1 2 ρgh2, 0 H (p 0 ρgy)dy = [ p 0 y 1 2 ρgy2] 0 H F y = C p(y)dx = C p(y) dx dy dy = 0 H (p 0 ρgy)b (y)dy = 0 H (p 0 ρgy)2αydy = = [ α(p 0 y ρgy3 ) ] 0 H = α ( p 0 H ρgh3).

36 NYTT TEMA Nettofluks, sirkulasjon divergens og virvling

37 Sirkulasjon Sirkulasjon for en lukket kurve, λ Γ = v dr, (21) som har mening både i to og tre dimensjoner. integrasjonen omkring lukket kurve Omløpsretning må defineres I R 2 er omløpsretning vanligvis mot urviserne sett ovenfra (fra positive z verdier λ (21) er samme type integral som arbeidsintegralet, med F erstattet med v.

38 Volumfluks ut av et lukket område Volumfluksen per tykkelse og tid ut av en lukket skive Q = v nds. (22) λ er skivens omriss i xy-planet n er rettet ut av området ds regnes positiv Q > 0 nettostrøm ut av området Q < 0 nettostrøm inn i området λ

39 Divergens av vektorfelt λ snøres sammen til punkt, r 0 Q 0. Hva med netto relativ utstrømning? Q A = 1 v nds, A der A er arealet omsluttet av λ. λ snøres sammen til r 0 både Q og A 0 Divergens definert som grenseverdi Skalarfeltet v er divergensen λ Q v(r 0 ) = lim A 0 A. (23)

40 ... 1 Eksisterer grensen i det hele tatt? 2 Dersom den eksisterer er det klart den avhenger av feltet v og posisjonen r 0, men er det likegyldig hvordan vi snører sammen kurven λ? 3 Er det en mer direkte relasjon mellom vektorfeltet v og skalarfeltet v? 4 Hvorfor bruker vi den spesielle notasjonen? 1 og 2 kan besvares med ja når vi har gjennomgått integralsatsene. 3 skal vi besvare ved å se på grensen for enkle kurver λ 4 besvares fra resultat i 3

41 Utstrømning av et rektangel v y n = j λ 2 n = i λ 1 h (x 0, y 0 ) v x λ 3 h n = i n = j Rektangel λ med enhetsnormaler og oppdeling, areal A = h 2. Vi lar område 0 ved h 0. Det fokuseres først på fluks gjennom λ 1 : Q 1. λ 4

42 Bruk av numerisk integrasjonsformel Q 1 = v ids = λ 1 y h y h v x (x h, y)dy 2 Når h er liten kan vi kanskje bruke midtpunktmetoden? F dr = F(r(ˆt)) dr(ˆt ) h + Rh 3, dt C gir her Q 1 = hv x (x h, y 0) + R 1 h 3 der R 1 er begrenset av M = 1 24 max 2 v x y 2 på λ 1 Vi kan ignorere feilledd R 1 h 3, hvorfor?

43 ... Skal finne Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 h 2. Bidrag fra feilledd i Q 1 i siste brøk er R 1 h 3 h 2 = hr 1, som 0 når h 0. Feilledd kan sløyfes for alle fire sider (λ i, i = 1, 2, 3, 4). Deler opp Q lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 Q 2 + Q 4 h 0 h 2 + lim h 0 h 2. Dvs. tar λ 1 + λ 3 (parallelle med y-aksen) og λ 2 + λ 4 (parallelle med x-aksen) hver for seg.

44 n = i λ 3 λ 2 h v y n = j (x 0, y 0 ) λ 1 v x n = i h n = j λ 4 y h 1 Q 3 = v ( i)ds = v x (x 0 2 h, y)dy hv x(x 0 1 h, y)h. 2 λ 3 y h

45 Q 1 + Q 3 lim h 0 h 2 = lim h 0 = v x(x 0, y 0 ) x ( vx (x h, y 0) v x (x h, y ) 0) Dividert differanse svarer til midtpunktformelen for den deriverte. Q 1 + Q 3 kan leses som: fluks ut λ 1 - fluks inn λ 3, der fortegn kommer fra retning på n. h

46 Samme behandling av Q 2 + Q 4 Q 2 = Q 4 = Midtpunktformel v jds = λ 2 Q 2 + Q 4 lim h 0 h 2 = lim h 0 x h x h v y (x, y h)dx, x h v ( j)ds = v y (x, y h)dx. x λ h = v y(x 0, y 0 ) y ( vy (x 0, y h) v y(x 0, y h) ) h

47 Divergensen Q v = lim h 0 A = lim Q 1 + Q 3 + Q 2 + Q 4 h 0 Grenseovergang derivasjonsoperator Uttrykk for divergens (spørsmal 3) h 2 = v x(x 0, y 0 ) x v = v x x + v y y + v y(x 0, y 0 ). y

48 Hvorfor notasjon v (spørsmål 4)? Skrivemåten v er motivert av den formelle regningen ( v = i x + j ) (v x i + v y j) y Tilsvarende i 3D: = i i v x x + j i v x y + i j v y x + j j v y y = v x x + v y y. Divergensen av v = v x i + v y j + v z k er v = v x x + v y y + v z z

49 Hvorfor er divergens viktig? Divergens er utstrømning/innstrømning til et punkt. Begrep er helt avgjørende for å forstå og beskrive oppførsel av væskestrøm. Divergens er viktig i andre sammenhenger enn væskestrøm Fluksregnskap for små rektangler (bokser, celler), med feks. midtpunktmetode for integraler langs sideflatene, er viktige i konstruksjon av modeller for feks. dynamikk i hav og atmosfære.

50 Virvlingen til et 2D vektorfelt Som for relativ utstrømning ser vi på grenseovergangen Γ lim A 0 A = lim 1 v dr. (24) A 0 A For å slippe å gjenta utregningene innfører vi den roterte hastighet ṽ = v y i v x j = v k. v dr = (v x dx + v y dy) = ( ṽ y dx + ṽ x dy) = ṽ nds, λ Tidligere resultater gir λ λ λ Γ lim A 0 A = ṽ x x + ṽ y y = v y x v x y. (25) Siste uttrykket representerer størrelsen av virvlingen λ

51 Virvlingen, notasjon og utregning Virvlingensvektoren i 2D i j k v = x y 0 v x v y 0 = Formell determinant i analogi med kryssprodukt Vi kan skrive 1 lim v dr = k v. A 0 A λ Eller si at for små A er v dr Ak v. λ Disse uttrykkene blir generalisert og skjerpet senere ( vy x v ) x k. (26) y

52 Virvlingensvektoren i 3D A = = i j k x y z A x A y A z ( ) ( ) ( ) A z y Ay A z i + x z Az A x j + y x Ax y k. (27)