FYS1120 Elektromagnetisme
|
|
- Kaja Sørensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FY112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 1 Oppgave 1 a i Her er alternativ 1 riktig. Hvis massetettheten er F, vil et linjestykke med lengde dl ha masse F dl. Den totale massen er summen av massene til hvert linjestykke, altså lik C F dl. ii Her er alternativ 4 riktig, C F dl. Alternativt kan alternativ 1 godkjennes, men bare dersom F hele tiden er parallell med med kurven C. b Dersom F og F er konstanter kan de tas utenfor integraltegnet. Integralet av et vektorielt linjeelement rundt en lukket kurve er alltid null. Dette kan forstås ved å tenke på integralet som en sum av små forflytninger dl. ummen av alle disse er den totale forflytningen fra startpunktet, og siden kurven ender opp i samme punkt som den startet er den totale forflytningen, og derfor integralet, lik null. Derfor vil alternativene 2 og 4 være lik null for den lukkede kurven C 1. For den åpne kurven C 2 vil alle integralene 1-4 generelt være forskjellige fra null. Det er ett unntak: Hvis F står normalt på en viss retning (hvilken?, vil det siste integralet bli null. dl dl dl dl C 1 C 2 c Også her er alternativene 2 og 4 riktige for den lukkede flaten, og begge kan bevises ved hjelp av divergensteoremet: s F d = v ( Fdv. At alternativ 4 er lik null er enkelt å bevise: I dette tilfellet er F en konstant så integranden F, og derav integralet, er lik null. 1
2 For å bevise 2 konstruerer vi en konstant vektor F ut fra F : ett F = F ˆx. Ved hjelp av divergensteoremet kan vi skrive ˆx F d = v ( Fdv = siden integranden F = (F er en konstant. Altså, x-komponenten av integralet 2 er null. Vi kan gjenta for y og -komponentene, og får da F d = når F er en konstant. MEN: Egentlig trenger vi ikke være så formelle når vi skal begrunne hvorfor integralene 2 og 4 er null for torusen, siden den er så symmetrisk: Ved å ta henholdsvis F eller F ut av integralet, gjenstår det å vise at I = d er null. Hvis vi lar -aksen være aksen til torusen, finner vi fra symmetri at -komponenten til I er null. For hvis denne komponenten I > kunne vi speilet torusen om horisontalplanet og fått I < på tross av at en slik speiloperasjon ikke endrer torusen. Tilsvarende kan vi bruke rotasjonssymmetrien rundt -aksen til å argumentere for at I ikke kan ha en x- eller y-komponent. Da må I =. Integralene 1 og 3 blir henholdsvis F og F. For den åpne kjeglen, blir ingen av integralene null generelt sett. Vi får henholdsvis resultatene F, F, F og F. Her er er arealet til kjegleflaten, og er en vektor som peker rett oppover (eller nedover, avhengig av valg av flatenormalen og med lik arealet av kjeglen projesert ned på horisontalplanet. Vi får altså et unntak: Det siste resultatet F blir null hvis F er horisontalt rettet. d For en lukket flate er det alltid to normaler i hvert punkt på flaten, en innoverpekende og en utoverpekende, men konvensjonen er at det alltid er den utoverpekende flatenormalen som benyttes. e Overflatenormalen til flaten innenfor en kurve er definert av positivt definert omløpsretning rundt kurven. Her brukes standard høyrehåndsregel: La fingrene peke langs omløpsretningen, flatenormalen peker da i tommelens retning. For kurven C 1 står flatenormalen ut av arket. Oppgave 2 a i Fluksen av et vektorfelt gjennom en flate er definert som Fluks = F d, (1 og beskriver hvor mye av F som strømmer gjennom. For eksempel, hvis F beskriver strømningen av vann, beskriver fluksen den totale vannmengden som strømmer gjennom per tidsenhet. 2
3 ii Divergensen er definert som div F = lim v F d, (2 v hvor volumet v er et infinitesimalt lite volum, og er flaten til v. Fra definisjonen ser vi at divergensen er fluksen ut/inn av volumet delt på volumet. I kartesiske koordinater har divergensen et enkelt uttrykk: div F = F = F x x + F y y + F, (3 ( hvor er definert som = x, y,. Divergensen angir kildeegenskapene til F, altså i hvor stor grad F sprer seg vekk fra eller imot et punkt. En kilde har positiv divergens mens et sluk har negativ divergens. MERK : Det er kun i kartesiske koordinater at gradienten og divergensen kan uttrykkes som henholdsvis F og F med definert som ovenfor. For eksempel, i kulekoordinater er gradienten til F gitt av F = F r ˆr + 1 F r sin θ ϕ ˆϕ + 1 F r θ ˆθ, (4 og det er dermed lett å tro at definisjonen = rˆr + 1 r sin θ følgende divergens F: ϕ ˆϕ + 1 r θ ˆθ leder til F r r + 1 F ϕ r sin θ ϕ + 1 F θ r θ. (5 Dette er ikke et riktig resultat. Den faktiske divergensen kan utledes enten ved å ta utgangspunkt i den koordinatuavhengige definisjonen (2, eller ved å sette opp en koordinattransformasjon mellom kartesiske koordinater og kulekoordinater (vi skal ikke gjøre dette. En finner da div F = 1 r 2 (r 2 F r r + 1 F ϕ r sin θ ϕ + 1 r sin θ (sin θf θ, (6 θ som jo er ulikt det første uttrykket. Det er viktig å være klar over dette punket. I oppgave- og eksamenssammenheng anbefales det derfor å hente uttrykket for gradient, divergens og curl i sylinder- og kulekoordinater fra formelsamlingen. iii x-komponenten av curlen til F er definert som (curl F x = lim C F dl, (7 der er et flateelement som er normalt på x-aksen og C er den lukkede kurven som omslutter dette flateelementet. Tilsvarende definisjoner gjelder også for y- og -komponentene, hvor defineres som flateelementer normalt på henholdsvis y- og -aksen. Curlen til et vektorfelt beskriver i hvilken grad feltet sirkulerer rundt et punkt. Dette står i kontrast til divergensen, som beskriver hvor mye feltet strømmer ut fra et punkt. 3
4 I kartesiske koordinater har curlen et enkelt uttrykk: curl F = F (8 Curl i sylinder og kulekoordinater har en mer komplisert form og finnes i formelsamlingen. iv For konservative felt er kurveintegralet C F dl lik null for hvilken som helst lukket kurve C. Ved hjelp av tokes teorem kan en vise at F =. Et konservativt felt F kan skrives ved hjelp av en enkelt skalar størrelse f slik at F = f. Fysisk, dersom F beskriver et kraftfelt på et legeme, vil det at F er konservativt bety at arbeidet når man flytter legemet rundt en lukket kurve er null. b i Divergensteoremet sier ( Fdv = F d, (9 v hvor er den lukkede flaten som omslutter volumet v. Altså sier divergensteoremet at den totale fluksen ut av volumet er lik summen av alle kilder og sluk inne i volumet. ii tokes teorem sier ( F d = C F dl, (1 hvor er flaten som er omsluttet av kurven C. tokes teorem sier at sirkulasjonen rundt kurven, C F dl, er lik summen av alle virvlinger i flaten. Et mentalt bilde av tokes teorem kan dannes ved å forestille seg mange malstrømmer (virvlinger på havet (definert av flaten : Den totale sirkulasjon rundt kysten er da summen av virvlingene til alle malstrømmene! Oppgave 3 a i Ved å benytte oss av definisjonen av divergens i kartesiske eller kulekoordinater finner vi F = 3. Et infinitesimalt volum i kulekoordinater er dv = r 2 sin θdrdθdϕ slik at v ( Fdv = = 3 R 2π π R = 4πR 3. r 2 dr π 3r 2 sin θdϕdθdr 2π sin θdθ dϕ Her kan man innse hva svaret blir uten å regne ut integralet. iden divergensen er konstant lik 3 over hele volumet, må nødvendigvis svaret bli 3 ganger volumet til kulen, som blir 4πR 3 : ( Fdv = 3 dv = 4πR 3. (12 v v ii Overflate-elementet til et kuleskall med radius R er d = R 2 sin θdθdϕˆr. Derav (11 4
5 finner man v ( Fdv = = F d 2π π = R 3 2π = 4πR 3. (Rˆr (R 2 sin θdθdϕˆr π dϕ sin θdθ (13 varet er åpenbart også her, siden F er konstant over flaten lik F = Rˆr. Ettersom F og d peker i samme retning må svaret bli R ganger overflaten til kulen, og igjen finner vi svaret 4πR 3 : F d = R d = 4πR 3. (14 b i Her vil linjeintegralet langs det første linjestykket (, (a, være lik null fordi integranden er lik null (y =, samt at ŷ-komponenten av F er ortogonal på linjestykket. Derfor holder det å integrere fra (a, til (a, b slik at I = F dl C 1 = b (a 2 y + 2ady = 1 2 a2 b 2 + 2ab. (15 ii Her er det rette linjestykket fra (x, y til (x + dx, y + dy beskrevet av vektoren dl = dxˆx + dyŷ. Derav finner vi F dl = F x dx + F y dy = (xy 2 + 2ydx + (x 2 y + 2xdy. (16 For å integrere dette, parametriserer vi kurven som x(t = at og y(t = bt, der t løper fra til 1. Dette gir I = F dl C 2 = = 1 1 (xy 2 + 2y dx dt dt + (x2 y + 2x dy dt dt (ab 2 t 3 + 2btadt + = 1 2 a2 b 2 + 2ab. 1 (a 2 bt 3 + 2atbdt (17 iii Disse integralene har like verdier fordi F er et konservativt felt: ( Fy F = x F x ẑ y = (2xy 2xy ẑ =. (18 5
6 y (a, b (, (a, x For et konservativt felt er det bare start- og sluttpunktet på integrasjonen som spiller noen rolle for linjeintegralet. Dette er et generelt resultat: Vi kan tenke oss en lukket kurve C som består av to kurver C 1 og C 2. Når vi reverserer retningen på den ene kurven (slik det er gjort i figuren finner vi C F dl = C 1 F dl C 2 F dl = slik at F dl = C 1 F dl. C 2 (19 Oppgave 4 a Ladningene deres må ha motsett fortegn for at de skal tiltrekke hverandre. iden metall er strømførende, så vil kulene lade ut hvis de berører hverandre. Hvis de har nøyaktig like mye ladning, vil de bli nøytrale etter berøringen. Hvis de ikke har like mye ladning, vil overskuddet fordele seg likt mellom dem, og de vil frastøte hverandre litt. b Gravitasjonskraften som virker på Levi er F g = mg. tørrelsen av den elektriske kraften som virker på han, hvis han har ladning q, er F e = q E, der E er det elektriske feltet. For å overvinne gravitasjonen må minst F e = F g, dvs q E = mg. Løser vi for q får vi q = mg/e = 5.2 C. Videre har vi fått oppgitt at det elektriske feltet peker inn mot jorden, samtidig som den elektriske kraften må peke ut for å motvirke gravitasjonen. Derfor er q negativ: q = 5.2 C. (2 c I et observasjonspunkt mellom ladningene har feltet fra Q 1 og feltet fra Q 2 motsatt retning. Punktet der de eksakt nuller hverandre ut, blir midt mellom ladningene (pga. symmetri. Altså i x = a/2. Ingen andre steder i rommet vil de eksakt nulle hverandre ut. Det er nemlig bare på x-aksen at de to feltene vil være rettet langs samme linje. d Først merker vi oss at mellom ladningene vil begge feltene ha samme retning. å vi kan utelukke dette området. For x < vil feltet fra Q 1 = 4Q være sterkere enn feltet fra Q 1 = Q, siden Q 2 både er nærmere og større i absoluttverdi. å anta x > a. Vi finner x-komponenten av E i punktet x vha. Coulombs lov og superposisjon: E = 1 ( 4Q 4πɛ x 2 + Q (x a 2. (21 Feltet blir null hvis 4 x 2 = 1 (x a 2, (22 6
7 dvs. som gir 2 x = 1 x a, (23 x = 2a. (24 Dette er det eneste punktet der E =. Hvis nemlig observasjonspunktet ikke er på x-aksen, vil feltene fra de to ladningene ikke være langs samme linje. Oppgave 5 a Potensialet er gitt av V ( = 1 ρ s d 4πɛ disk R, (25 der R er avstanden fra ladningselementet til observasjonspunktet og d et overflateelement. Fra figuren under ser vi at d = 2πrdr og R 2 = r Derivasjon gir 2RdR = 2rdr så vi kan uttrykke V ( = 2πρ s 4πɛ = ρ s 2ɛ a rdr R 2 +a 2 RdR R = ρ s 2ɛ ( 2 + a 2. (26 d = 2πrdr 2 + r 2 dr r a b Det elektriske feltet er gitt av E = V. Her er E = (,, E pga. symmetrien i oppgaven. Vi regner ut direkte E = V ( = ρ s ( 2ɛ 2 + a 2 = ρ s 2ɛ ( 1, for >. 2 + a 2 (27 7
8 På vektorform skriver vi E = ρ ( s 1 ẑ. (28 2ɛ 2 + a 2 c Vi ser at / 2 + a 2 går mot null når. Derav ( 1 ρ s E( = lim 2ɛ ẑ = ρ s ẑ, ( a 2 2ɛ som er likt feltet fra en uendelig stor, plan flate med ladningstetthet ρ s. En alternativ måte å sjekke samme grense på er å la a. d Vi bruker den oppgitte tilnærmelsen ( 1/2 2 + a = 1 + a a 2 2, (3 når a/ er en liten størrelse. Bruker vi at den totale ladningen til flaten er Q s = ρ s πa 2 finner vi E = ρ [ ( s a 2 ] 2ɛ 2 2 ẑ = ρ s a 2 4ɛ 2 ẑ (31 = Q s 4πɛ 2 ẑ. Dette uttrykket ser ut som Coulombs lov. Dette skyldes at vi befinner oss i grensen hvor vi er veldig langt unna disken i forhold til dens radius, som gjør at disken ser ut som en punktladning. e kisse av E : E( Oppgave 6 Ved hjelp av superposisjon innser vi at vi kan finne svaret ved å trekke svaret i oppgave 3b fra svaret i oppgave 3c: ( 1 ẑ 2 + a 2 E = ρ s ẑ ρ s 2ɛ 2ɛ = ρ s 2ɛ ( a ẑ. 2 8
9 Oppgave 7 a Linjeladningstettheten er Q = Q πa, (33 siden ladningen er jevnt fordelt over halvsirkelen, og lengden av halvsirkelen er πa. Med en positivt ladet halvsirkel vil feltet i origo peke i negativ y-retning. Det vil ikke være noen x-komponent på grunn av symmetri. Dvs. at bidraget til en x-komponent fra et linjeelement ved posisjonen φ vil kanselleres eksakt av bidraget fra π φ. Vi finner så størrelsen til det elektriske feltet. Bidraget til det elektriske feltet fra et linjeelement med lengde dl = adφ på halvsirkelen har størrelse de = de = dq 4πɛ a 2, (34 etter Coulombs lov, der dq = Q dl. Vi lar linjeelementets posisjon være ved en vinkel φ, da er y-komponenten til feltet de y = de sin φ. (35 Vi trenger så bare å summere alle bidragene til E y, da x-komponenten forsvinner i denne summeringen. Vi får E y = de y = π sin φ Q adφ 4πɛ a 2 = Q 4πɛ a [ cos φ]π }{{} =2 = Q 2πɛ a = Q 2π 2 ɛ a 2. (36 Altså: E = Q 2π 2 ŷ. (37 ɛ a2 b En skisse av ladningsfordeling er en sinuskurve i intervallet [, π], med toppunkt Q/2a.: Q (φ Q 2a π 2 φ 9
10 Ladningen til et linjeelement dl langs halvsirkelen er dq = Q (φ dl, der φ er posisjonen til linjeelementet. Total ladning er da π Q (φdl = Q (φadφ = Qa π 2a sin φdφ (38 Altså er Q fortsatt den totale ladningen. = Q 2 [ cos φ]π = Q. c Vi følger samme resonnementet som i a. I stedet for en konstant Q har vi nå en vinkelavhengig linjeladningstetthet. Det samme resonnementet gjelder fortsatt, fordi vi har fortsatt speilsymmetri om y-aksen. Vi får E y = de y = sin φde π (39 = sin φ Q (φadφ 4πɛ a 2. Vi setter inn for Q (φ og rydder litt: E y = Q 8πɛ a 2 π sin 2 φ dφ }{{} = cos(2φ = Q [ φ 8πɛ a sin(2φ = Q 16ɛ a 2. ] π (4 Dvs. E = Q ŷ. (41 16ɛ a2 Vi ser at forholdet mellom denne feltstyrken og den fra a er E c = 2π2 E a (42 å feltstyrken fra den ikke-uniforme linjeladningstettheten er større enn fra den uniforme. Dette er fordi det er større ladningstetthet nær φ = π/2 for den ikke-uniforme tettheten, og det er her bidraget til det elektriske feltet er størst også. 1
TFE4120 Elektromagnetisme
NTNU IET, IME-fakultetet, Norge teknisk-naturitenskapelige uniersitet TFE412 Elektromagnetisme Løsningsforslag repetisjonsøing Oppgae 1 a) i) Her er alternati 1) riktig. His massetettheten er F, il et
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerLøsningsforslag til øving 3
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektrisitet og magnetisme Vår 2007 Veiledning uke 5 Løsningsforslag til øving 4 Oppgave a) Vi benytter oss av tipsene gitt i oppgaveteksten og tar utgangspunkt
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerMandag qq 4πε 0 r 2 ˆr F = Elektrisk felt fra punktladning q (følger av definisjonen kraft pr ladningsenhet ): F dl
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 6 Mandag 05.02.07 Oppsummering til nå, og møte med Maxwell-ligning nr 1 Coulombs lov (empirisk lov for kraft mellom to
DetaljerElektrisk potensial/potensiell energi
Elektrisk potensial/potensiell energi. Figuren viser et uniformt elektrisk felt E heltrukne linjer. Langs hvilken stiplet linje endrer potensialet seg ikke? A. B. C. 3 D. 4 E. Det endrer seg langs alle
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1
FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 22. august 2016 I FYS1120-undervisningen legg vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 10. mars kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2006 Midtsemesterprøve fredag 10. mars kl 0830 1130. Løsningsforslag 1) A. (Andel som svarte riktig: 83%) Det
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: 10. oktober 2016 Tid for eksamen: 10.00 13.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8
LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r
DetaljerTirsdag E = F q. q 4πε 0 r 2 ˆr E = E j = 1 4πε 0. 2 j. r 1. r n
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 3 Tirsdag 15.01.07 Elektrisk felt [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.5; LHL 19.4; DJG 2.1.3] = kraft pr ladningsenhet
DetaljerOnsdag og fredag
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 4 Onsdag 21.01.09 og fredag 23.01.09 Elektrisk felt fra punktladning [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.6; LHL 19.5;
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2
FYS1120 Elektromagnetisme - Ukesoppgavesett 2 7. september 2016 I FYS1120-undervisningen legger vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene
DetaljerOppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.
NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For
Detaljer1. En tynn stav med lengde L har uniform ladning λ per lengdeenhet. Hvor mye ladning dq er det på en liten lengde dx av staven?
Ladet stav 1 En tynn stav med lengde L har uniform ladning per lengdeenhet Hvor mye ladning d er det på en liten lengde d av staven? A /d B d C 2 d D d/ E L d Løsning: Med linjeladning (dvs ladning per
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPEIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 ØSNINGSFOSAG TI EKSAMEN I FY1003 EEKTISITET OG MAGNETISME
DetaljerMandag Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2007, uke 4 Mandag 22.01.07 Elektriske feltlinjer [FGT 22.2; YF 21.6; TM 21.5; F 21.6; LHL 19.6; DJG 2.2.1] gir en visuell framstilling
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4155
DetaljerObligatorisk oppgåve 1
FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214 Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/.
DetaljerVektorkalkulus Introduksjonsforelesninger
Vektorkalkulus Introduksjonsforelesninger Jørgen Eriksson Midtbø og Henrik Andersen veinsson 19. september 217 Dette er et forelesningsnotat i ordets strengeste forstand: Et notat som brukes til å forelese.
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerMidtsemesterprøve fredag 11. mars kl
Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og magnetisme TFY4155 Elektromagnetisme Vår 2005 Midtsemesterprøve fredag 11. mars kl 1030 1330. Løsningsforslag 1) B. Newtons 3. lov: Kraft = motkraft. (Andel
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVESITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS1120 Elektromagnetisme Eksamensdag: 29. November 2016 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 3 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FYS112 Elektromagnetisme Løsningsforslag til ukesoppgave 2 Oppgave 1 a) Gauss lov sier at den elektriske fluksen Φ er lik den totale ladningen
DetaljerMatematikk 4, ALM304V Løsningsforslag eksamen mars da 1 er arealet av en sirkel med radius 2. F = y x = t t r = t t v = r = t t
Oppgave r( t) v( t) dt t dt, t dt, t dt t +, t +, t +. d d d a( t) v '( t) t, t, t,6 t,t dt dt dt F ma m t t Gitt en hastighetsvektor v( t) t, t, t.,6, Oppgave Greens setning: δq δ P I ( Pdx + Qdy) ( )
DetaljerLøsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 27. Veiledning: 29. september kl 12:15 15:. Løsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Oppgave 1 a) C. Elektrisk
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTOMAGNETISME
Detaljer= (2 6y) da. = πa 2 3
TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerOnsdag og fredag
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2009, uke 7 Onsdag 11.02.09 og fredag 13.02.09 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Gauss
DetaljerTirsdag r r
Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 6 Tirsdag 05.02.08 Gauss lov [FGT 23.2; YF 22.3; TM 22.2, 22.6; AF 25.4; LHL 19.7; DJG 2.2.1] Fra forrige uke; Gauss
Detaljer(t) = [ 2 cos t, 2 sin t, 0] = 4. Da z = 2(1 + t) blir kurva C en helix/ei skruelinje på denne flata (se fig side 392).
Ma - Løsningsforslag til uke 5 i 7 Eks. mai 994 oppgave Romkurva er parametrisert for t [, π] ved r (t) = [ + cos t, + sin t, + t ] Hastighets- og akselerasjonsvektorene blir v = r (t) = [ sin t, cos t,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 3. juni 2009 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY003 ELEKTRISITET
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerVektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme
Vektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme Johannes kaar, NTNU 4. januar 2010 1 Integraler og notasjon Linjeintegral Et linjeintegral a et ektorfelt A oer en kure C skrier i C A d l. Når kuren er lukket tegner
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 29. mai 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for elektroniske systemer Side 1 av 6 Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 29. mai 2017 Oppgave 1 a) Start med å tegne figur! Tegn inn en Gauss-flate
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen
DetaljerKap. 22. Gauss lov. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov. Elektrisk ledere. Integralform og differensialform
Kap. 22. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. E-felt fra Coulombs lov: E k q r 2 r E k n q r n 2 0n r 0n dq E k r 2 r tot.
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerRandkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Onsdag 17. august 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 KONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Mandag 4. desember 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 4. desember
DetaljerMAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPEIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 ØSNINGSFORSAG TI EKSAMEN I TFY4155 EEKTROMAGNETISME
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Trond Digernes 75957 Berner Larsen 7 59 5 5 Lisa Lorenten 7 59 5 8 Vigdis Petersen 75965 ide av Vedlegg: Formelliste IF55 Matematikk ide av Oppgave Et plant
DetaljerSIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =
SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004
Løsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 13. mai 2004 Oppgae 1 a) Speilladningsmetoden gir at potensialet for z > 0 er summen a potensialet pga ladningen Q i posisjon z = h og potensialet pga en speillanding
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v = ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v = ω 2 y 2 +ω 2 x 2 = ωr, r = x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 = x 2 +y
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerLøsningsforslag til øving
1 FY1002/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 2012. Løsningsforslag til øving 11-2012 Oppgave 1 a) Forplantning i z-retning betyr at E og B begge ligger i xy-planet. La oss for eksempel
DetaljerLøsningsforslag til prøveeksamen i MAT 1110, våren 2006
Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT, våren 6 Oppgave : a) Vi har C 5 3 II+( )I a + 3a 3a III+I 3 II 3 3 3 3 a + 3a 3a 3 a + 3a 3a III+II I+( ))II 3 3 3 a + 3a 3a 3 3 3 a + 3a 4 3 3a a + 3a 4 3 3a b)
DetaljerEksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Oppgave 1. Fra ligningen Eksamen, høsten 14 i Matematikk 3 Løsningsforslag x 2 64 y2 36 1 finner vi a 64 8 og b 36 6. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a 2 + b 2 64 + 36 1 1. Dermed er fokuspunktene
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerGauss lov. Kap. 22. Gauss lov. Gauss lov skjematisk. Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform
Kap. 5..6 Kap.. Gauss lov Vi skal se på: Fluksen til elektrisk felt E Gauss lov Integralform og differensialform Elektrisk ledere. Efelt fra Coulombs lov: q E k r r E k n q r n n r n dq E k r r tot. ladn.
Detaljery = x y, y 2 x 2 = c,
TMA415 Matematikk Vår 17 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 9 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA3 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Mats Ehrnstrøm Tlf: 735 97 44 Eksamensdato: 22. mai 28 Eksamenstid (fra til): 9: 3: Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerOverflateladningstetthet på metalloverflate
0.0.08: Rettet opp feil i oppgave 4 og løsningsforslag til oppgave 8b. Overflateladningstetthet på metalloverflate. Ei metallkule med diameter 0.0 m har ei netto ladning på 0.50 nc. Hvor stort er det elektriske
Detaljer5 z ds = x 2 +4y 2 4
TMA45 Matematikk 2 Vår 25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
DetaljerTMA Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv
TMA15 - Tanker omkring innlevering 3 fra en studentassistents perspektiv April 7, 15 Mesteparten av dere har klart denne øvingen langt bedre enn de to forregående øvingene selv om denne var hakket vanskeligere.
Detaljer(1 + x 2 + y 2 ) 2 = 1 x2 + y 2. (1 + x 2 + y 2 ) 2, x 2y
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk vår 9 Løsningsforslag til eksamen.5.9 Gitt f(, y) = + +y. a) Vi regner ut f = f y = + + y ( + + y ) = + + y
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo FYS1120 Elektromagnetisme J. Skaar: Øvingsoppgaver til midtveiseksamen (med fasit) Her er 46 flervalgsoppgaver som kanskje kan være nyttige
DetaljerEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME Tirsdag 31. mai 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME FY1003
DetaljerFelttur 2016 Elektromagnetisme
Felttur 2016 Elektromagnetisme August Geelmuyden Universitetet i Oslo Teori I. Påvirkning uten berøring Når to objekter påvirker hverandre uten å være i berøring er det ofte naturlig å introdusere konseptet
DetaljerEksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 8. juni 2007 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTISITET OG MAGNETISME I TFY4155
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter Ingen
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: 11.12.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: Tillatte hjelpemidler: KRAFT I og II Hall del 2 Kraft sportssenter
Detaljerdx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I
DetaljerIntegralsatser: Green, Stokes og Gauss
Kapittel 7 Integralsatser: Green, tokes og Gauss Oppgave 1 Vi har gitt strømfeltet v ωyi+ωxj der ω er en konstant. a) trømfarten: v ω 2 y 2 +ω 2 x 2 ωr, r x 2 +y 2. Langs sirkelen r 2 x 2 +y 2 er r konstant
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTROMAGNETISME Fredag 11. august 2006 kl
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 KONTNUASJONSEKSAMEN TFY4155 ELEKTOMAGNETSME Fredag 11.
DetaljerFlervalgsoppgaver. Gruppeøving 1 Elektrisitet og magnetisme
Gruppeøving Elektrisitet og magnetisme Flervalgsoppgaver Ei svært tynn sirkulær skive av kobber har radius R = 000 m og tykkelse d = 00 mm Hva er total masse? A 0560 kg B 0580 kg C 0630 kg D 0650 kg E
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl K. Rottmann: Matematisk formelsamling (eller tilsvarende).
NOGES TEKNSK- NATUVTENSKAPELGE UNVESTET NSTTUTT FO FYSKK Side 1 av 5 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 EKSAMEN FY1003 ELEKTSTET OG MAGNETSME Mandag 17. desember
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 17. desember 2007 kl
NOGES TEKNISK- NATUVITENSKAPELIGE UNIVESITET INSTITUTT FO FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 45 45 55 33 LØSNINGSFOSLAG TIL EKSAMEN I FY1003 ELEKTISITET OG
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SIF 4012 ELEKTROMAGNETISME (SIF 4012 FYSIKK 2) Mandag 29. juli kl
Side av 9 NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng LØSNINGSFORSLAG TIL KONTINUASJONSEKSAMEN I FAG SIF 4 ELEKTROMAGNETISME
DetaljerMa Flerdimensjonal Analyse II Øving 9
Ma23 - Flerdimensjonal Analyse II Øving 9 Øistein Søvik 2.3.22 Oppgaver 4.5 Evaluate the triple integrals over the indicated region. Be alert for simplifications and auspicious orders of integration 3.
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 7 15.1.3: Siden vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = yi + xj må feltlinjene tilfredstille differensiallikningen eller y = x y, ( ) 1 2 y2 = x.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 10.
TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 015. Løsningsforslag til øving 10. Oppgave A B C D 1 x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 1 x 13 x 14 x 15 x 16 x 17 x 18 x 9 x 0 x 1) Glass-staven
DetaljerKurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft
Kapittel 6 Kurve-, flate- og volumintegraler, beregning av trykkraft Oppgave 1 Vi skal regne ut kurveintegralet λ v dr langs kurven λ: y x3 når 1 x 2 og v xyi+x 2 j. Vi kan parametrisere med x som parameter,
DetaljerEKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME I Mandag 5. desember 2005 kl
NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng Telefon: 73 59 36 63 / 41 43 39 30 EKSAMEN FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerPunktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].
Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen
DetaljerVelkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse
Velkommen til MA1103 Flerdimensjonal analyse Foreleser: 14. januar 2013 Kursinformasjon Nettside: wiki.math.ntnu.no/ma1103/2013v/start Foreleser: (mariusi@math.ntnu.no) Start emne i epost med MA1103 Treffetid:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNVERTETET OLO Det matematisk-naturitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys1120 Eksamensdag: Onsdag 12. desember 2018 Tid for eksamen: 0900 1300 Oppgaesettet er på: 5 sider Vedlegg: Formelark Tilatte hjelpemidler
Detaljer