Matematik, LTH Kontinuerliga system vt Formelsamling. q t. + j = k. u t. (Allmännare ρ 2 u. t2 Svängningar i gaser (ljud) t 2 c2 2 u

Transkript

1 Matematik, LH Kontinuerliga system vt 7 Formelsamling Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej heller anges förutsättningar för formlernas giltighet. Fysikaliska modeller Kontinuitetsekvationen Diffusion q t + j = k. Värmeledning j = D u, u t D Δu = k. u (Allmännare (D u = k. t j = λ u, u t a Δu = a λ k dq = ρ c du, där a = λ ρ c. u (Allmännare ρ c (λ u = k. t Elektrostatisk potential Svängande sträng och membran Δu = ρ ε ε. u t c Δu = f ρ Longitudinella svängningar där c = S ρ. (Allmännare ρ u (S u = f. t Svängningar i gaser (ljud u t c u x = f ρ l där c = α ρ l, S = α u x. u = p p p (tryckstörning, u t c Δu = där c = γ p ρ. För svängningar i gaser (ljud gäller efter linjärisering att p γ t + v ṽ x =, ṽ v t + p p ρ x =, p = γ ρ. där p = p p p och ṽ = v v.

2 Vektoranalys Gauss formel Stokes formel Greens formel I Greens formel II S u dv = u ds = u ds. S u v dv = u dr. (u Δv v Δu dv = Laplaceoperatorn i cylindriska koordinater Δ = r u v n ds u Δv dv. ( u v n v u ds. n r r r + r θ + z = = r + r r + r θ + z. Laplaceoperatorn i sfäriska koordinater Δ = r r r + r Λ = r r r r + r Λ = = r + r r + r Λ, Λ = sin(θ θ sin(θ θ + sin (θ φ, Λ = s ( s s + s φ om s = cos(θ, (θ polardistans, < θ < π, φ longitud, φ < π. Ortogonalutvecklingar (u v = u(x v(x w(x dx, I u = (u u. Om (φ j φ k =, j k, så u = c k (u φ k med c k (u = (φ k u, där ρ k = (φ k φ k. Parseval ρ k (u v = (φ k u (φ k v = ρ k c k (u c k (v. ρ k Sturm-Liouville Speciella funktioner Gammafunktionen och Betafunktionen Γ(z = B(p, q = Au = ( (p u + q u. w t z e t dt, Γ(z + = z Γ(z, Γ(n + = n!, Γ(/ = π, Γ(p Γ(q Γ(p + q.

3 Felfunktion/Error function Besselfunktioner e ir sin(θ = erf(x = π x J n (z = π J n (r e inθ, π π ( z ν J ν (z = Bessels differentialekvation e y dy, e i(z sin(θ nθ dθ, k= k! Γ(k+ν+ n heltal, e y dy = u + r u + (λ ν u = π. k ( z, ν,,... 4 har den allmänna lösningen a J ν ( λ r + b Y ν ( λ r om λ >, a r ν + b r ν om λ =, ν, a + b ln(r om λ = ν =. Normuttryck R ( r J ν R α R νk r dr = (J ν+(α νk = R (J ν(α νk. Nollställen till Besselfunktioner J n (x, J n (α nk =. k\n ,45 3,83 5,36 6,38 7,588 8,77 9,936,86,5 3,354 4,475 5,5 7,6 8,47 9,76,65,339 3,589 4,8 6,38 7,4 8, ,654,73,6 3,5 4,37 5,7 7,4 8,88 9,554,87,47 4,79 3,34 4,796 6,3 7,66 8,98,3,64,945 4,34 5,59 5 4,93 6,47 7,96 9,49,87,8 3,586 4,935 6,67 7,584 8, ,7 9,66,7,583 4,9 5,43 6,8 8,9 9,546 3,885 3, 7,,76 4,7 5,748 7,99 8,67 3,34 3,43 3,796 34,54 35,5 8 4,35 5,94 7,4 8,98 3,37 3,8 33,33 34,637 36,6 37,4 38,76 9 7,493 9,47 3,569 3,65 33,537 34,989 36,4 37,839 39,4 4,68 4,4 3,635 3,9 33,76 35,9 36,699 38,6 39,63 4,3 4,444 43,844 45,3 r Nollställen till J n(x, J n(α nk =. k\n ,,84 3,54 4, 5,37 6,46 7,5 8,578 9,647,7,77 3,83 5,33 6,76 8,5 9,8,5,735,93 4,5 5,87 6, ,6 8,536 9,969,346,68 3,987 5,68 6,59 7,774 9,5,3 4,73,76 3,7 4,586 5,964 7,33 8,637 9,94,9,5 3,76 5 3,34 4,864 6,347 7,789 9,96,575,93 3,68 4,587 5,89 7,8 6 6,47 8,5 9,53,97,4 3,84 5,84 6,545 7,889 9,9 3, ,66,64,67 4,45 5,59 7, 8,4 9,79 3,55 3,55 33,84 8,76 4,3 5,86 7,3 8,768 3,3 3,68 33,5 34,397 35,764 37,8 9 5,94 7,457 8,978 3,47 3,938 33,385 34,83 36,4 37,6 39, 4,37

4 Sfäriska Besselfunktioner Differentialekvationen har den allmänna lösningen u + ( z u + λ l(l + z u = a j l ( λ z + b y l ( λ z om λ >, a z l + b z l a + b ln(z z om λ =, l /, om λ =, l = /, där Speciellt är j l (z = π π z J l+/(z, y l (z = z Y l+/(z. j (z = sin(z sin(z z cos(z, j (z = z z, y (z = cos(z cos(z + z sin(z, y (z = z z. Legendrefunktioner Legendrepolynom t (P l är ortogonala i L (I, I = (,. Legendres differentialekvation d ( dx har allmänna lösningen ( x du dx där Q l ej är begränsad i (, och Rekursionsformel för Legendrepolynom: + l(l + u =, l =,,,... a P l (x + b Q l (x P l (x = l l! Dl (x l. P (x =, P (x = x, P l+ (x = l + l + x P l(x l l + P l (x. Associerade Legrendreekvationen har allmänna lösningen d ( dx ( x du dx m u + l(l + u = x a P m l (x + b Qm l (x där Q m l ej är begränsad och P m l = ( x m/ D m P l (x.

5 Greenfunktioner Fundamentallösningar till Laplaceoperatorn ( ΔK = δ Poissonkärnor K (x = π ln x i R, K (x = 4π x i R 3. P(r, θ = π r + r r cos(θ (enhetscirkeln, P(x, y = π y x + y (halvplanet y >. Greenfunktion för Dirichlets problem Δ x G(x, α = δ α (x, x, G(x, α =, Om Δu = f i, u = g på så u(x = G(x, α f (α dv α x. Konjugerade punkter med avseende på cirkeln (sfären x = ρ α α = ρ, x α = α ρ x α då x = ρ. G n α (x, α g(α ds α. Värmeledning Vågutbredning d Alembert G(x, t = e x /4at, x R, t >, 4πat G a G =, x R, t >, t x G(x, = δ(x, x R. u(x, t = (g(x ct + g(x + ct + c g(x = u(x,, h(x = u t (x,. x+ct x ct h(y dy, Karakteristikor { a u xx + a u xy + a u yy + F(x, y, u, u x, u y =, a dy a dxdy + a dx =.

6 Fouriertransformer Ff (ω = ˆf (ω = + e iωt f (t dt, (F ˆf (t = f (t = e iωt ˆf (ω dω. π Parsevals formel + f (tg(t dt = π + ˆf (ωĝ(ω dω. F ( λ f (t + μ g(t λ ˆf (ω + μ ĝ(ω ( ω ( f (at a ˆf a (3 f (t t e it ω ˆf (ω (4 e iω t f (t ˆf (ω ω (5 f (t iω ˆf (ω (6 t f (t i d dωˆf (ω (7 f g(t ˆf (ω ĝ(ω (8 δ(t (9 π δ(ω ( e t θ(t + iω ( e t + ω ( + t π e ω (3 e t π e ω /4 (4 θ(t + θ(t sin(ω ω (5 θ(t i P( + π δ(ω ω θ(t = {, t >, t <, θ (t = δ(t, f (t δ(t = f ( δ(t, f (t δ (t = f ( δ (t f ( δ(t.

7 Laplacetransformer Lf (s = L II f (s = f (t = πi σ+i σ i Ff (ω = L II f (iω, L I f = L II (θ f. e st f (t dt, α < Re s < β, s = σ + iω, e st F(s ds, α < σ < β, L II (6 λ f (t + μ g(t λ F(s + μ G(s (7 f (at ( s a F a (8 f (t t e t s F(s (9 e at f (t F(s a ( f (t s F(s ( t f (t d ds F(s ( f g(t F(s G(s (3 θ(t f (t s L II (θ f (s f ( (4 δ(t (5 θ(t s, σ > (6 θ(t s, σ < (7 t k e at θ(t k!, (s a k+ σ > Re(a b (8 sin(bt θ(t s + b, σ > s (9 cos(bt θ(t s + b, σ > (3 e t π e s /4 (3 t α Γ(α θ(t, Re(α >, Re(s > sα a e a /4t (3 4π t 3/ θ(t e a s (33 πt e a /4t θ(t e a s s

8 Fourierserier f (t = c k = k= c k e ikωt = c + { ak = c k + c k, e ikωt f (t dt, a k cos kωt + b k sin kωt, ω = π, k= a k = b k = c k = (a k ib k, cos(kωt f (t dt, sin(kωt f (t dt, b k = i(c k c k, c k = (a k + ib k. Parsevals formel f (t dt = k= c k, f (tg(t dt = k= c k (f c k (g, f (t dt = c + ( a k + b k. k= Halvutvecklingar Cosinusserie f (x = c + α k = L c = L L L k= Sinusserie ( kπ α k cos L x, f (x = ( kπ f (x cos L x dx, f (x dx. β k = L k= L ( kπ β k sin L x ( kπ f (x sin L x dx, Några trigonometriska formler cos(α + β = cos(α cos(β sin(α sin(β, sin(α + β = sin(α cos(β + cos(α sin(β, cos(α + cos(β = cos ( α + β cos(α cos(β = sin ( α + β sin(α + sin(β = sin(α sin(β = sin ( α + β cos ( α + β (α β cos, (α β sin, (α β cos, (α β sin, a cos(α + b sin(α = c cos(α γ, c = a + b, tan(γ = b/a.