Vektorvärda funktioner

Transkript

1 Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x 1. En kurva i rummet R 3 ges av en vektorvärd funktion r(t), t.ex. r(t) = (cos(t), sin(t), t), t R En tangentvektor till kurvan r(t) är r (t). Om r(t) beskriver läget för en partikel vid tiden t så är: Hastigheten v(t) = r (t). Accelerationen a(t) = r (t).

2 Vektorvärda funktioner En parametriserad ytan beskrivs av r(u, v), till exempel: r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) Om vi håller en av parametrarna fix, får vi en kurva. Tangentvektorer till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom att se på kurvan r(u, v 0 ), dess tangentvektor i punkten u 0 är r u(u 0, v 0 ). På samma sätt får vi den andra tangentvektorn, vi har två tangentvektorer r u(u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 ) En normalvektor n till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom vektorprodukten n = r u(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ). Med hjälp av normalvektorn kan vi skapa tangentplan.

3 Vektorvärda funktioner Exempel Bestäm tangentplanet till ytan r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

4 Skalärfält och vektorfält Här avser man funktioner som har som definitionsområde en del av rummet R 3, eller R 2. Ett skalärfält är en reellvärd funktion av tre variabler, f (x, y, z). Exempel på skalärfält är temperaturen i rummet. Ett vektorfält är en vektorvärd funktion av tre variabler. Ett exempel på ett vektorfält är hastigheten v(r) av en partikel i rummet. I allmänhet (när vi har kartesiska koordinatsystem) skrivs vektorfält här som A(r) = (A x (r), A y (r), A z (r)).

5 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

6 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

7 Vektorfält och fältlinjer Exempel Bestäm fältlinjerna till vektorfältet A(x, y) = (y, x). En linje y = y(x) är en fältlinje till vektorfältet A = (A x, A y ) om vektorerna (1, y (x)) och (A x, A y ) är parallella. Vilket gäller om y (x) 1 = A y A x y (x) = A y A x. Detta är en differentialekvation. Om vi kan lösa den, beror på fältet A. Lösningsmetod varierar också, metoder kan vara att separera variabler, eller att använda integrerande faktor

8 Derivering och integration av vektorvärda funktioner Om A(u) är ett vektorfält som beror på en variabel blir A (u) = da du = d du (A x, A y, A z ) = ( da x du, da y du, da z du ) Inget nytt.

9 Räkneregler För vektorvärda funktioner finns ett antal nya räkneregler Vid summa som vanligt. Skalärprodukt fungerar ju som en produkt och därmed får vi använda en produktregel. d da (A + B) = du du + db du, d da (A B) = du du B + A db du Med vektorprodukten är det viktigt att komma ihåg ordningen (v u = u v) d da (A B) = du du B + A db du. Och till sist, en version av produktregeln d (φa) = φda du du + dφ du A

10 Partiell derivering av vektorvärda funktioner Partiella derivator definieras på vanligt vis, och beräknas på sedvanligt vis: Vi har vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)): A u = ( A x u, A y u, A z u ) Räknereglerna fungerar som man förväntar sig. Även de blandade andraderivatorna kommer att bli lika om vektorfältet är snällt. 2 A u v = 2 A v u. Detta gäller då andraderivatorna av A är kontinuerliga.

11 Differentialer av vektorvärda funktioner Differentialen är en approximation av differensen A = A(u + du, v + dv) A(u, v) Differentialen definieras som (om A beror på 2 variabler) da = A A du + u v dv. Då gäller att A da om du och dv är små, och de partiella derivatorna av A är kontinuerliga. Det finns räkneregler för differentialer som påminner om de för derivator.

12 Differentialer av vektorvärda funktioner Exempel Bestäm differentialen till r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

13 Ortsvektordifferentialen Ortsvektorn r = OP kan ges i koordinater som (x, y, z). r P r r r P Förändringen r då vi går från P till punkten P med koordinater (x + dx, y + dy, z + dz) är r = r r = (dx, dy, dz). O Differentialen dr är (också) dr = (dx, dy, dz). Om r beskriver en kurva, så är dr en tangent om dx, dy, dz infinitesimala.

14 Integration av vektorvärda funktioner Vektorvärda funktioner kan integreras komponentvis, vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)) kan integreras över en mängd D i planet A(u, v)dudv = D ( = A x (u, v)dudv, D D ) A y (u, v)dudv, A z (u, v)dudv. D Exempel En kropp som befinner sig i enhetsklotet påverkas av kraften F(x, y, z) = ( y, x, 1). Bestäm den totala kraften som verkar på kroppen.