Vektorvärda funktioner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Vektorvärda funktioner"

Transkript

1 Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x 1. En kurva i rummet R 3 ges av en vektorvärd funktion r(t), t.ex. r(t) = (cos(t), sin(t), t), t R En tangentvektor till kurvan r(t) är r (t). Om r(t) beskriver läget för en partikel vid tiden t så är: Hastigheten v(t) = r (t). Accelerationen a(t) = r (t).

2 Vektorvärda funktioner En parametriserad ytan beskrivs av r(u, v), till exempel: r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) Om vi håller en av parametrarna fix, får vi en kurva. Tangentvektorer till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom att se på kurvan r(u, v 0 ), dess tangentvektor i punkten u 0 är r u(u 0, v 0 ). På samma sätt får vi den andra tangentvektorn, vi har två tangentvektorer r u(u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 ) En normalvektor n till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom vektorprodukten n = r u(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ). Med hjälp av normalvektorn kan vi skapa tangentplan.

3 Vektorvärda funktioner Exempel Bestäm tangentplanet till ytan r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

4 Skalärfält och vektorfält Här avser man funktioner som har som definitionsområde en del av rummet R 3, eller R 2. Ett skalärfält är en reellvärd funktion av tre variabler, f (x, y, z). Exempel på skalärfält är temperaturen i rummet. Ett vektorfält är en vektorvärd funktion av tre variabler. Ett exempel på ett vektorfält är hastigheten v(r) av en partikel i rummet. I allmänhet (när vi har kartesiska koordinatsystem) skrivs vektorfält här som A(r) = (A x (r), A y (r), A z (r)).

5 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

6 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

7 Vektorfält och fältlinjer Exempel Bestäm fältlinjerna till vektorfältet A(x, y) = (y, x). En linje y = y(x) är en fältlinje till vektorfältet A = (A x, A y ) om vektorerna (1, y (x)) och (A x, A y ) är parallella. Vilket gäller om y (x) 1 = A y A x y (x) = A y A x. Detta är en differentialekvation. Om vi kan lösa den, beror på fältet A. Lösningsmetod varierar också, metoder kan vara att separera variabler, eller att använda integrerande faktor

8 Derivering och integration av vektorvärda funktioner Om A(u) är ett vektorfält som beror på en variabel blir A (u) = da du = d du (A x, A y, A z ) = ( da x du, da y du, da z du ) Inget nytt.

9 Räkneregler För vektorvärda funktioner finns ett antal nya räkneregler Vid summa som vanligt. Skalärprodukt fungerar ju som en produkt och därmed får vi använda en produktregel. d da (A + B) = du du + db du, d da (A B) = du du B + A db du Med vektorprodukten är det viktigt att komma ihåg ordningen (v u = u v) d da (A B) = du du B + A db du. Och till sist, en version av produktregeln d (φa) = φda du du + dφ du A

10 Partiell derivering av vektorvärda funktioner Partiella derivator definieras på vanligt vis, och beräknas på sedvanligt vis: Vi har vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)): A u = ( A x u, A y u, A z u ) Räknereglerna fungerar som man förväntar sig. Även de blandade andraderivatorna kommer att bli lika om vektorfältet är snällt. 2 A u v = 2 A v u. Detta gäller då andraderivatorna av A är kontinuerliga.

11 Differentialer av vektorvärda funktioner Differentialen är en approximation av differensen A = A(u + du, v + dv) A(u, v) Differentialen definieras som (om A beror på 2 variabler) da = A A du + u v dv. Då gäller att A da om du och dv är små, och de partiella derivatorna av A är kontinuerliga. Det finns räkneregler för differentialer som påminner om de för derivator.

12 Differentialer av vektorvärda funktioner Exempel Bestäm differentialen till r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

13 Ortsvektordifferentialen Ortsvektorn r = OP kan ges i koordinater som (x, y, z). r P r r r P Förändringen r då vi går från P till punkten P med koordinater (x + dx, y + dy, z + dz) är r = r r = (dx, dy, dz). O Differentialen dr är (också) dr = (dx, dy, dz). Om r beskriver en kurva, så är dr en tangent om dx, dy, dz infinitesimala.

14 Integration av vektorvärda funktioner Vektorvärda funktioner kan integreras komponentvis, vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)) kan integreras över en mängd D i planet A(u, v)dudv = D ( = A x (u, v)dudv, D D ) A y (u, v)dudv, A z (u, v)dudv. D Exempel En kropp som befinner sig i enhetsklotet påverkas av kraften F(x, y, z) = ( y, x, 1). Bestäm den totala kraften som verkar på kroppen.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android.

Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android. Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android. SVENSKA/NORSK Version 1.0.1 Step 1. Ladda ner mobilapplikationen. Ladda ner från Apple Appstore eller Google Play. Sök på Broadlink eller

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Vektorvaluerte funksjoner

Vektorvaluerte funksjoner Versjon per 8.09.05. Parametriserte kurver Vektorvaluerte funksjoner Hans Petter Hornæs Forelesningsnotat til Matematikk 0 ved HiG, høst 005. Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som

Detaljer

MidtSkandia. Helgeland. Helgeland.

MidtSkandia. Helgeland. Helgeland. MidtSkandia MidtSkandia är ett gränsorgan som jobbar för att undanröja gränshinder mellan Nordland och Västerbotten och bidrar till gemensamma utvecklingsprojekt i både Västerbotten och Nordland, speciellt

Detaljer

FIRST LEGO League. Härnösand 2011. Laggabraxxarna. Lagdeltakere:

FIRST LEGO League. Härnösand 2011. Laggabraxxarna. Lagdeltakere: FIRST LEGO League Härnösand 2011 Presentasjon av laget Laggabraxxarna Vi kommer fra Timrå Snittalderen på våre deltakere er 1 år Laget består av 0 jenter og 0 gutter. Vi representerer Laggarbergs skola

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

FLEXIT SL4. Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist. Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist 94278-06 2013-04

FLEXIT SL4. Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist. Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist 94278-06 2013-04 FLEXIT SL4 94278-06 2013-04 ART.NR.: 98737 98739 Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist ! Før man foretar service eller vedlikehold,

Detaljer

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå

Detaljer

Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

75191 Språkleken. Rekommenderas från 4 år och uppåt.

75191 Språkleken. Rekommenderas från 4 år och uppåt. 75191 Språkleken Syftet med detta spel är att skapa kommunikations situationer där barnen måste lära sig att använda beskrivande ord och på detta sätt utveckla sitt språk och språkförståelse. Inlärningsdelar:

Detaljer

Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark

Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Vestviken Kollektivtrafikk Tønsberg, 27.01.12 Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Spørsmål DVT8 Fråga angående "Konkurransebetingelser

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45

3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45 3.2. VEKTOR IDENTITETAR 45 (φa) = φ a + φ a, (3.16) (φa) = φ a + φ a, (3.17) (a b) = a b + b a, +a ( b)+b ( a), (3.18) (a b) = b a a b, (3.19) (a b) = a b b a a b + b a, (3.20) ( a) = a 2 a, (3.21) φ =

Detaljer

Innhold HamboHus 7.0.5 Uttrykk

Innhold HamboHus 7.0.5 Uttrykk INNHOLD 1 HamboHus 7.0.5 Uttrykk Side 1 av 28 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus 7.0.5 Uttrykk 2 HamboHus 7.0.5 Uttrykk Side 2 av 28 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus 7.0.5 Uttrykk 3 "" " " " " " " "" " ""

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

INNHOLD. Eksamen R1 vår 2008 - Hele oppgavesettet Eksamen R1 vår 2009 - Hele oppgavesettet. Side. Oppgave 1 vår 2008 1

INNHOLD. Eksamen R1 vår 2008 - Hele oppgavesettet Eksamen R1 vår 2009 - Hele oppgavesettet. Side. Oppgave 1 vår 2008 1 INNHOLD Eksamen R1 vår 2008 - Hele oppgavesettet Eksamen R1 vår 2009 - Hele oppgavesettet Side Oppgave 1 vår 2008 1 Oppgave 1a vår 2008 2 Teori oppgave 1a Vår 2008 2 Derivasjonsreglene 2 Derivasjon av

Detaljer

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

NEO BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE USER GUIDE

NEO BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE USER GUIDE NEO BRUKSANVISNING KÄYTTÖOHJE USER GUIDE NO/DK: side 1 8 SV: sida 9 16 FI: sivu 17 24 GB/AU: page 25 32 1 5 2 3 4 6 7 1 Indikator for dagsenking 2 Ønsket Temperatur 3 Indikator for varmeavgivelse 4 Indikator

Detaljer

Kapitaldekningsregler for kredittinstitusjoner og holdingselskaper i finanskonsern

Kapitaldekningsregler for kredittinstitusjoner og holdingselskaper i finanskonsern Regelverket i Danmark og Sverige 1. Danmark Kapitaldekningsregler for kredittinstitusjoner og holdingselskaper i finanskonsern Kapitaldekningsreglene i Danmark innebærer at pengeinstitutter (banker) ved

Detaljer

Videoanalys med digitalkamera Av: Conny Modig Västerhöjdsgymnasiet i Skövde. Tallet e

Videoanalys med digitalkamera Av: Conny Modig Västerhöjdsgymnasiet i Skövde. Tallet e NR 1-2012 18. årgang Trenger vi farger på lommeregneren? Av: Tor Andersen og Kjell Skajaa Videoanalys med digitalkamera Av: Conny Modig Västerhöjdsgymnasiet i Skövde NYHET! Skandinaviske OPPLÆRINGSHEFTER

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Alfons og Albert Ett delprojekt inom Interreg IIIA-projektet Ord utan gränser 2004-2006

Alfons og Albert Ett delprojekt inom Interreg IIIA-projektet Ord utan gränser 2004-2006 Alfons og Albert Ett delprojekt inom Interreg IIIA-projektet Ord utan gränser 2004-2006 Bakgrund Gode leseferdigheter er viktigere enn noensinne. Høytlesning og språkleker i førskolealderen er viktige

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk

Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Kristian Etienne Einarsrud 1 Vektorer, grunnleggende matematikk og bevegelse 1.1 Introduksjon Fysikk er en vitenskap som har som mål å beskrive verden rundt

Detaljer

408-084. Bruksanvisning för fjärrströmbrytare Bruksanvisning for fjernstrømbryter

408-084. Bruksanvisning för fjärrströmbrytare Bruksanvisning for fjernstrømbryter 408-084 Bruksanvisning för fjärrströmbrytare Bruksanvisning for fjernstrømbryter SE - Bruksanvisning i original NO - Bruksanvisning (Oversettelse av original bruksanvisning) PL - Instrukcja obsługi (Tłumaczenie

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MEK1100 Differensiallikninger Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning i formel 3-4 spesielle

Detaljer

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette?

0, 12. 1) Sett opp ei uendelig rekke som viser hvor stor del av bløtkaka som er spist av gjestene. Hva slags rekke er dette? OPPGAVE 1 a) Deriver funksjonen f( x) = 5x tanx b) Deriver funksjonen ( ) 3 g( x) = x + cosx c) Bestem integralet (sin x cos x) dx d) Løs ligningen ved regning π,4,6cos x = 1,8, 1 4 x e) I et selskap blir

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER

EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER EKSAMENSSAMARBEIDENDE FORKURSINSTITUSJONER Forkurs for ingeniørutdanning og maritim høgskoleutdanning Universitetet i Stavanger, Universitetet i Tromsø, Høgskolen i Buskerud, Høgskulen i Sogn og Fjordane,

Detaljer

Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x

Detaljer

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum Integrasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 5 Areal ved Riemann sum... 5 Areal ved trapesmetoden... 6 Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 8 Volum ved rotasjon...

Detaljer

MA0003-8. forelesning

MA0003-8. forelesning Implisitt derivasjon og 31. august 2009 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2 Outline Implisitt derivasjon 1 Implisitt derivasjon 2

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA

Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA Løsningsforslag Eksamen 2MX - AA6516-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 13, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

Behandling og vedligeholdelse. Behandling og vedlikehold. Behandling och underhåll. Træ/alu Tre/aluminium Trä/alu

Behandling og vedligeholdelse. Behandling og vedlikehold. Behandling och underhåll. Træ/alu Tre/aluminium Trä/alu Behandling og vedligeholdelse Behandling og vedlikehold Behandling och underhåll Træ/alu Tre/aluminium Trä/alu VIGTIG! Start med at læse denne vejledning! VIKTIG! Start med å lese denne veiledningen! VIKTIGT!

Detaljer

R1 99901-20052010 SWING

R1 99901-20052010 SWING R1 99901-20052010 SWING A B C D E F G x 9 K3-08001 Ø12x60 x 15 K3-04030 Ø10 (Ø20) 9 K3-06003 Ø10x60 x 11 H2-20505 x 11 H2-20506 x 12 K3-04095 A16 (Ø26) H I J K L M x 11 R1-63500 M16x40 0 22,5 x 1 H3-35920

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt)

EKSAMENSOPPGÅVE. Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling og 2 eigne A4-ark (4 sider totalt) EKSAMENSOPPGÅVE/EKSAMENSOPPGAVE EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1003 Kalkulus 3 Dato: Tirsdag 17. 1.013 Tid: Kl 09:00 13:00 Stad: Åsgårdveien 9 Tilletne hjelpemiddel: Godkjend kalkulator og formelsamling

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

2013-03-11. Insamling och analys av kvantitativa data"

2013-03-11. Insamling och analys av kvantitativa data Insamling och analys av kvantitativa data" - Innehållsanalyser och enkäter. Exempel från forskningen. " " " "Anders Olof Larsson" " "a.o.larsson@media.uio.no" " "andersoloflarsson.se" 1 Disposition" Analysenheter,

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

INSEKTSGARDIN ROLLO FÖR FÖNSTER

INSEKTSGARDIN ROLLO FÖR FÖNSTER INSEKTSGARDIN ROLLO FÖR FÖNSTER lundbergs.com Ø3, Ø4 mm Tejp teip, ca. 30 mm bred Ph 2 1x RHP304 (1x) RHP422 (1x) RHP421 (1x) RHP302 (2x) 3,5x28 (8x) RHP411 (1x) RHA655 (2x) RHP581 (1x) RHP332 (2x) RHP582

Detaljer

SL4. Monteringsveiledning. Monteringsanvisning. Rotorkassett / Rotorrem og børstelist. Rotorkassett / Rotorrem och borstlist 94278-07 2014-09

SL4. Monteringsveiledning. Monteringsanvisning. Rotorkassett / Rotorrem og børstelist. Rotorkassett / Rotorrem och borstlist 94278-07 2014-09 94278-07 2014-09 SL4 Monteringsveiledning Rotorkassett / Rotorrem og børstelist Monteringsanvisning Rotorkassett / Rotorrem och borstlist ART.NR.: 98737 98739 ! Før man foretar service eller vedlikehold,

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Periodeplan. For 3-og 4 åringene JANUAR TIL JUNI 2015. Skyttelveien Barnehage AS Skyttelveien 2 3057 Solbergelva Tlf: 32 87 07 50 www.skyttelveien.

Periodeplan. For 3-og 4 åringene JANUAR TIL JUNI 2015. Skyttelveien Barnehage AS Skyttelveien 2 3057 Solbergelva Tlf: 32 87 07 50 www.skyttelveien. Periodeplan For 3-og 4 åringene JANUAR TIL JUNI 2015 Skyttelveien Barnehage AS Skyttelveien 2 3057 Solbergelva Tlf: 32 87 07 50 www.skyttelveien.no Periodeplan for januar til juni 2015 Da er igjen på tide

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

MAT3010. Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3. Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime.

MAT3010. Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3. Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime. MAT3010 Rapport - skoleprosjekt Gruppe R 3 Figur 1: Slik kan en elev oppfatte lærerens skriblerier på tavlen under en mattetime. Any fool can know. The point is to understand. Albert Einstein Av: Randi

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Lektion 14. Repetition

Lektion 14. Repetition Lektion 4 Repetition Naturlige eksponentialfunktion 7 6 5 4 y y=sin().5 6 4 4 6.5 y=tan() 5.5.5 y 5 y=arcsin().5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Naturlige logaritmefunktion 4 6 8 Standardfunktioner (cos(), sin())

Detaljer

Instituttrapport for studieåret 2014-2015

Instituttrapport for studieåret 2014-2015 Instituttrapport for studieåret 2014-2015 Instituttets navn: MEK Instituttrapporten baserer seg på følgende programrapporter (studieprogrammenes navn): Maskin, Elektronikk og IT og Bioteknologi og Kjemi

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Instruction manual. Babyfix ECE R44 / 04. Babyfix babysete. For barn som veier opp til 13 kilo.

Instruction manual. Babyfix ECE R44 / 04. Babyfix babysete. For barn som veier opp til 13 kilo. Instruction manual Babyfix Babyfix babysete For barn som veier opp til 13 kilo. Tested Testet and og godkjent approved i according henhold til to ECE R44 / 04 Viktig informasjon Takk for at du har valgt

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Aperio. Trådløse lesere til ARX og RX adgangssystemer

Aperio. Trådløse lesere til ARX og RX adgangssystemer Aperio Trådløse lesere til ARX og RX adgangssystemer 1 2 Aperioleser med trådløs teknologi skaper nye muligheter. Mange bygg og virksomheter har i dag behov for å øke sikkerheten på sine innvendige dører.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler På Del 1 av eksamen kan du få bruk for formlene nedenfor Binomisk fordeling: ( ) n k P X k p (1 p k ) n k Antall uavhengige forsøk er n X er antall ganger A inntreffer p i hvert

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i AA6526 Matematikk 3MX - 5. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er

Detaljer

Artic vinkelkapad. Hylla / Hylle / Hylde. Hylla / Hylle / Hylde. Hyllfäste / Hyllefeste

Artic vinkelkapad. Hylla / Hylle / Hylde. Hylla / Hylle / Hylde. Hyllfäste / Hyllefeste 1 Hylla lämplig för montering av styrskena Hylle som passer for installasjon av styreskinne Hylder egnet til montering af styreskinner Vattenpass/Vater/ Vaterpas Börja med att montera inredningen Inredningen

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Här är Petter Northugs specialbyggda husbil

Här är Petter Northugs specialbyggda husbil Här är Petter Northugs specialbyggda husbil Här är Petter Northugs nya, ultrabekväma, vapen i jakten på nya guld. Och tro det eller ej: Det är svenskt. - Petter tycker den är superbra, säger pappa John

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Kompendium for LEI102 Matematikk. Petter N. Sæterdal 28. oktober 2015. Kompendium for matematikk LEI102 side 1/49

Kompendium for LEI102 Matematikk. Petter N. Sæterdal 28. oktober 2015. Kompendium for matematikk LEI102 side 1/49 Kompendium for LEI102 Matematikk Petter N. Sæterdal 28. oktober 2015 Kompendium for matematikk LEI102 side 1/49 Forord Dette kompendiet er skrevet for studentene på linjen "Landmåling og eiendomsdesign"

Detaljer