Vektorvärda funktioner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Vektorvärda funktioner"

Transkript

1 Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x 1. En kurva i rummet R 3 ges av en vektorvärd funktion r(t), t.ex. r(t) = (cos(t), sin(t), t), t R En tangentvektor till kurvan r(t) är r (t). Om r(t) beskriver läget för en partikel vid tiden t så är: Hastigheten v(t) = r (t). Accelerationen a(t) = r (t).

2 Vektorvärda funktioner En parametriserad ytan beskrivs av r(u, v), till exempel: r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) Om vi håller en av parametrarna fix, får vi en kurva. Tangentvektorer till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom att se på kurvan r(u, v 0 ), dess tangentvektor i punkten u 0 är r u(u 0, v 0 ). På samma sätt får vi den andra tangentvektorn, vi har två tangentvektorer r u(u 0, v 0 ), r v (u 0, v 0 ) En normalvektor n till ytan i punkten (u 0, v 0 ) får vi genom vektorprodukten n = r u(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ). Med hjälp av normalvektorn kan vi skapa tangentplan.

3 Vektorvärda funktioner Exempel Bestäm tangentplanet till ytan r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

4 Skalärfält och vektorfält Här avser man funktioner som har som definitionsområde en del av rummet R 3, eller R 2. Ett skalärfält är en reellvärd funktion av tre variabler, f (x, y, z). Exempel på skalärfält är temperaturen i rummet. Ett vektorfält är en vektorvärd funktion av tre variabler. Ett exempel på ett vektorfält är hastigheten v(r) av en partikel i rummet. I allmänhet (när vi har kartesiska koordinatsystem) skrivs vektorfält här som A(r) = (A x (r), A y (r), A z (r)).

5 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

6 Vektorfält och fältlinjer Ett vektorfält kan visualiseras genom att i några valda punkter rita ut vektorerna. Vektorfältet A = ( y, x) En fältlinje till ett vektorfält A(P), är en kurva r(p) vars tangenter i varje punkt P på kurvan är parallella med vektorfältet.

7 Vektorfält och fältlinjer Exempel Bestäm fältlinjerna till vektorfältet A(x, y) = (y, x). En linje y = y(x) är en fältlinje till vektorfältet A = (A x, A y ) om vektorerna (1, y (x)) och (A x, A y ) är parallella. Vilket gäller om y (x) 1 = A y A x y (x) = A y A x. Detta är en differentialekvation. Om vi kan lösa den, beror på fältet A. Lösningsmetod varierar också, metoder kan vara att separera variabler, eller att använda integrerande faktor

8 Derivering och integration av vektorvärda funktioner Om A(u) är ett vektorfält som beror på en variabel blir A (u) = da du = d du (A x, A y, A z ) = ( da x du, da y du, da z du ) Inget nytt.

9 Räkneregler För vektorvärda funktioner finns ett antal nya räkneregler Vid summa som vanligt. Skalärprodukt fungerar ju som en produkt och därmed får vi använda en produktregel. d da (A + B) = du du + db du, d da (A B) = du du B + A db du Med vektorprodukten är det viktigt att komma ihåg ordningen (v u = u v) d da (A B) = du du B + A db du. Och till sist, en version av produktregeln d (φa) = φda du du + dφ du A

10 Partiell derivering av vektorvärda funktioner Partiella derivator definieras på vanligt vis, och beräknas på sedvanligt vis: Vi har vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)): A u = ( A x u, A y u, A z u ) Räknereglerna fungerar som man förväntar sig. Även de blandade andraderivatorna kommer att bli lika om vektorfältet är snällt. 2 A u v = 2 A v u. Detta gäller då andraderivatorna av A är kontinuerliga.

11 Differentialer av vektorvärda funktioner Differentialen är en approximation av differensen A = A(u + du, v + dv) A(u, v) Differentialen definieras som (om A beror på 2 variabler) da = A A du + u v dv. Då gäller att A da om du och dv är små, och de partiella derivatorna av A är kontinuerliga. Det finns räkneregler för differentialer som påminner om de för derivator.

12 Differentialer av vektorvärda funktioner Exempel Bestäm differentialen till r(u, v) = (cos(u), sin(u), v) i punkten där (u, v) = ( π 2, 1).

13 Ortsvektordifferentialen Ortsvektorn r = OP kan ges i koordinater som (x, y, z). r P r r r P Förändringen r då vi går från P till punkten P med koordinater (x + dx, y + dy, z + dz) är r = r r = (dx, dy, dz). O Differentialen dr är (också) dr = (dx, dy, dz). Om r beskriver en kurva, så är dr en tangent om dx, dy, dz infinitesimala.

14 Integration av vektorvärda funktioner Vektorvärda funktioner kan integreras komponentvis, vektorfältet A(u, v) = (A x (u, v), A y (u, v), A z (u, v)) kan integreras över en mängd D i planet A(u, v)dudv = D ( = A x (u, v)dudv, D D ) A y (u, v)dudv, A z (u, v)dudv. D Exempel En kropp som befinner sig i enhetsklotet påverkas av kraften F(x, y, z) = ( y, x, 1). Bestäm den totala kraften som verkar på kroppen.

w 2 3w i = 2iw, där i är den imaginära enheten. Uppgift 2=Kontrollskrivning 2 (2p). Varför är matrisen

w 2 3w i = 2iw, där i är den imaginära enheten. Uppgift 2=Kontrollskrivning 2 (2p). Varför är matrisen Tentamensskrivning, kompletteringskurs i matematik, 5B4, den 0 april 00, klockan 9.00-4.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. et är två sidor med uppgifter. För betyget 3 räcker det med sammanlagt 6 poäng, för

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien

Detaljer

Løsning, Stokes setning

Løsning, Stokes setning Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k

Detaljer

Allmän relativitetsteori och Einsteins ekvationer

Allmän relativitetsteori och Einsteins ekvationer April 26, 2013 Speciell relativitetsteori 1905 Låt S och S vara två observatörer som rör sig med hastigheten v i förhållande till varandra längs x-axeln. Låt (t, x) and (t, x ) vara koordinatsystemen som

Detaljer

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner

TMA Representasjoner. Funksjoner. Operasjoner TMA 4105 Representasjoner Funksjoner Operasjoner Funksjoner f : D R m! f(d) R n reelle funksjoner kurver flater vektorfelt Funksjoner i) f : D R n! R reell funksjon av n variabler, f(x), f(x,y) eller f(x,y,z)

Detaljer

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen.

Oppgavesettet har 10 punkter 1, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. NTNU Institutt for matematiske fag SIF55 Matematikk 2 4. mai 999 Løsningsforslag Oppgavesettet har punkter, 2ab, 3ab, 4ab, 5abc som teller likt ved bedømmelsen. i alternativ (3, ii alternativ (2. 2 a For

Detaljer

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.

. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet. MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 14: Enkel linjär regression Anna Lindgren 21+22 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F14: Regression 1/21 Hypotesprövning Olika metoder

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING 11, TMA4105, V2008. x = r cos θ, y = r sin θ, z = 2r for 0 θ 2π, 2 2r 6. i j k. 5 r dr dθ = 8 LØNINGFORLAG TIL ØVING, TMA45, V8 Oppgave 4.5.9. Parametrisering: x = r cos θ, y = r sin θ, z = r for θ π, r 6. r(r, θ) = r cos θ, r sin θ, r. N = r r r θ = cos θ sin θ = r cos θ, r sin θ, r. r sin θ r

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA415 Matematikk 2 Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 14 1.4.5: Vi skal finne fluksen ut overflaten til den solide ballen B med sentrum = (2,, 3) og radius r = 3, av vektorfeltet F = x 2 i + y 2

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag

SIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver

Detaljer

Løsningsforslag eksamen R2

Løsningsforslag eksamen R2 Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e

Detaljer

Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android.

Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android. Komma igång med e-control mobilapplikation för ios och Android. SVENSKA/NORSK Version 1.0.1 Step 1. Ladda ner mobilapplikationen. Ladda ner från Apple Appstore eller Google Play. Sök på Broadlink eller

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)

Detaljer

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering

MA1103. Partiellderivert, derivert og linearisering MA1103 4/2 2013 Partiellderivert, derivert og linearisering Partiellderivert i en koordinatretning: Tenk på alle de andre variablene som konstanter. f : A R n R m, a = (a 1,..., a n ) A f 1 f x 1 (a)...

Detaljer

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2

dx = 1 1 )dx = 3 y= x . Tangentplanet til hyperboloiden i (2, 1, 3) er derfor gitt ved x 2, y 1, z 3 = 0 x 2 + 2(y 1) 2 (z 3) = 0 x + 2y 2z 3 = 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA415 Matematikk vår 9 øsningsforslag til eksamen 15. august 9 1 Treghetsmoment med hensyn på x-aksen er gitt ved x [ ] y I

Detaljer

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016

TMA4105. Notat om skalarfelt. Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 TMA4105 Notat om skalarfelt Ulrik Skre Fjordholm 15. april 2016 Innhold 1 Grenseverdier og kontinuitet 2 2 Derivasjon av skalarfelt 5 2.1 Partiellderivert og gradient..................................

Detaljer

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD

R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD Løsningsskisser Oppgave Løs differensialligningene: a) y x cosx b) y yx x c) y y x a) Eksakt DL, løses direkte: y cosx x y cosx x dx sin x 2 x2 C b) Lineær: y xy x (Kan løse

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:

Detaljer

LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT

LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT HØGSKOLEN I GJØVIK MATEMATIKK 30, HØSTEN 2004 LINEÆRE APPROKSIMASJONER TIL f, KJERNE- REGELEN, GRADIENT OG RETNINGSDERIVERT v/ Hans Engenes, august 2004 En variabel: Hvis f er en én-variabel-funksjon og

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,

Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2, Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 8-12/2 Fasit til utvalgte oppgaver MAT, uka 8-/ Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no February, Oppgave 3.3.6 Vi har funksjonen fx, y, z xyz og kurven Vi ser at rt e t, e t, t, t. vt e t, e t, vt e t + e t + frt t. e

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2

EKSAMEN I FAG SIF5005 MATEMATIKK 2 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 3 Faglig kontakt under eksamen: Trond Digernes 7359357 Berner Larsen 73 59 35 5 Lisa Lorentzen 73 59 35 48 Vigdis Petersen

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

Løsningsskisse eksamen 3MX

Løsningsskisse eksamen 3MX Løsningsskisse eksamen 3MX.6.6 Ikke sjekket, kan være feil. a) f 5tan 5 sincos 5 cos cos Eller: f 5tan 5tan 5 tan 5tan 5 (Produktregel) b) g u 3, u cos g 3u sin 3 cos sin (Kjerneregel. Kan multipliseres

Detaljer

Obligatorisk oppgave 2

Obligatorisk oppgave 2 MEK Obligatorisk oppgave 2 Nicolai Kristen Solheim Obligatorisk oppgave 2 Oppgave a) Vi kan beregne vektorfluksen Q = F ndσ gjennom en kuleflate σ gitt vektorfeltet σ F = xi + 2y + z j + z + x 2 k. Ved

Detaljer

R1 - Funksjoner 2. Løsningsskisser. Alle oppgaver skal gjøres ved regning! Oppgave 1. Oppgave 2. Kapittel

R1 - Funksjoner 2. Løsningsskisser. Alle oppgaver skal gjøres ved regning! Oppgave 1. Oppgave 2. Kapittel R1 - Funksjoner 2 04.02.2014 Alle oppgaver skal gjøres ved regning! Løsningsskisser Oppgave 1 Løs ligningene: a) 3 x 5 b) ln 2x 1 ln x 3 0 c) ln 3e x 2 2x a) ln 3 x ln 5 x ln 3 ln 5 x ln 5 ln 3 1. 47 b)

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

MidtSkandia. Helgeland. Helgeland.

MidtSkandia. Helgeland. Helgeland. MidtSkandia MidtSkandia är ett gränsorgan som jobbar för att undanröja gränshinder mellan Nordland och Västerbotten och bidrar till gemensamma utvecklingsprojekt i både Västerbotten och Nordland, speciellt

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =

Detaljer

R2 - Eksamen Løsningsskisser

R2 - Eksamen Løsningsskisser R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:

Detaljer

FIRST LEGO League. Härnösand 2011. Laggabraxxarna. Lagdeltakere:

FIRST LEGO League. Härnösand 2011. Laggabraxxarna. Lagdeltakere: FIRST LEGO League Härnösand 2011 Presentasjon av laget Laggabraxxarna Vi kommer fra Timrå Snittalderen på våre deltakere er 1 år Laget består av 0 jenter og 0 gutter. Vi representerer Laggarbergs skola

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010

Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske

Detaljer

HELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon )

HELDAGSPRØVE. Fredag 9 Mai Løsningsskisse (versjon ) HELDAGSPRØVE Oppgave Fredag 9 Mai 4 Løsningsskisse (versjon 4.5.8) a) Deriver funksjonen fx cosx Kjerneregel: fu cosu, u x f x sinu x x sinx b) Bestem integralet x lnx dx Delvis integrasjon: u x u x 4

Detaljer

R2 Eksamen høsten 2014 ( )

R2 Eksamen høsten 2014 ( ) R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Vektorvaluerte funksjoner

Vektorvaluerte funksjoner Versjon per 8.09.05. Parametriserte kurver Vektorvaluerte funksjoner Hans Petter Hornæs Forelesningsnotat til Matematikk 0 ved HiG, høst 005. Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som

Detaljer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer

2 Vektorer. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning,

Detaljer

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)

n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c) Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3.

Vi regner først ut de nødvendige partiellderiverte for å se om vektorfeltet er konservativt. z = 2z, F 2 F 2 z = 2y, F 3. x = 2x, F 3. TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 Alle oppgavenummer refererer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete

Detaljer

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.

f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >. MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 12, Hypotesprövning Anna Lindgren 14+15 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F12: Hypotestest 1/17 Konfidensintervall Ett konfidensintervall

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

EKSAMEN i MATEMATIKK 30

EKSAMEN i MATEMATIKK 30 Eksamen i Matematikk 3 1. desember 1999 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi EKAMEN i MATEMATIKK 3 1 desember 1999 kl. 9 14 Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen

Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten

Detaljer

Tillegg om flateintegraler

Tillegg om flateintegraler Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den

Detaljer

Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark

Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Vestviken Kollektivtrafikk Tønsberg, 27.01.12 Svar til spørsmål I forbindelse med «Anskaffelse Display Vestfold og Telemark Spørsmål DVT8 Fråga angående "Konkurransebetingelser

Detaljer

Heldagsprøve 3MX - Onsdag

Heldagsprøve 3MX - Onsdag m HD V Oppgave 1 Heldagsprøve MX - Onsdag.. Løsningsskisse 1) cos 1 k l 6 k 6 l L,, 7, 11 6 6 6 6 ) cos sin 1 sin sin sin 1 sin 1 sin 1.61 k.61 l.61 m.61 n L.61,. b) 1) cos sin d sin ) I 1 d cos 1 1 Substitusjon:

Detaljer

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger

Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, øst 2013 Forelesning 7 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, øst 2013, Forelesning 7 Derivasjon Denne uken skal vi begynne på tema 2 om derivasjon. I dagens forelesning skal vi se på

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza

Detaljer

Eksamen i V139A Matematikk 30

Eksamen i V139A Matematikk 30 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Eksamen i V139A Matematikk 3 21. desember 21 9. 14. Fagnummer: V139A Faglærer: Hans Petter Hornæs Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator ottmanns formelsamling

Detaljer

FLEXIT SL4. Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist. Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist 94278-06 2013-04

FLEXIT SL4. Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist. Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist 94278-06 2013-04 FLEXIT SL4 94278-06 2013-04 ART.NR.: 98737 98739 Monteringsveiledning Rotorkassett Rotorrem og børstelist Monteringsanvisning Rotorkassett Rotorrem och borstlist ! Før man foretar service eller vedlikehold,

Detaljer

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark)

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og formelark) KANDIDATNUMME: EKAMEN EMNENAVN: Matematikk 3 EMNENUMME: EA32 EKAMENDATO: 8.desember 28 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANVALIG: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl.

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7

Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i. kapittel 1.6 og 1.7 Løsningsskisser og kommentarer til endel oppgaver i 155 kapittel 1.6 og 1.7 a) 12:00: u og v har samme retning: u v u v cos0 2 3 1 6 b) 09:30: Hver time er 30. Lilleviser (u) midt mellom 09 og 10! Altså

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.

Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator. Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111

Løsningsforslag til Eksamen i MAT111 Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse

Detaljer

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010

MAT mars mars mars 2010 MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag Forelesning Vi har tidligere integrert funksjoner langs x-aksen, og vi har integrert funksjoner i flere variable over begrensede områder i xy-planet. I denne forelesningen skal

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,

Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,

Detaljer

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater

Detaljer

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Kinematikk i to og tre dimensjoner Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:

Detaljer

Oppgaver og fasit til kapittel 6

Oppgaver og fasit til kapittel 6 1 Oppgaver og fasit til kapittel 6 Mange av oppgavene i dette kapitlet brukes for første gang, og det er sannsynligvis flere fasitfeil enn normalt. Finner du en feil, så send en melding til lindstro@math.uio.no.

Detaljer

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),...

dx k dt н x 1,..., x n f 1,...,f n н- н f k (x 1,..., x n ), k =1,2,...,n, нн d X = f( X). X = (t),.. x 1 = 1 (t), x 2 = 2 (t),... - ( ) - 3 579 : - - : - / : : 3 4 579-4 5 9 3 9 4 3 5 5 6 3 33 34 3 35 4 36 39 c - ( ) 3 c 3 - - ( ) - ( - ) - - - ( ) - - ( - ) ( t) - dx k = f k (x x n ) k = n () dt x x n f f n - d X = f( X) dt f k

Detaljer

R2 eksamen våren ( )

R2 eksamen våren ( ) R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling

Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kurveintegraler, fluks, sirkulasjon, divergens, virvling Kap 4 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Kurveintegraler

Detaljer

Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formler.)

EKSAMEN. 3. klassene, ingenørutdanning. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formler.) KANDIDATNUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDATO: 25. mars 29 KLAE: 3. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANTALL IDE UTLEVET: 5 (innkl. forside

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2

3 x = 27 x ln 3 = ln 27 ln 27 x = ln 3 x = 3. 10 x2 = 10 x log(10 x2 ) = log(10 x ) x 2 = x x(x 1)=0 x = 0 x = 1. x +3=2 4 oppgave. a..i) 3 x = 7 x ln 3 = ln 7 ln 7 x = ln 3 x = 3. a..ii) 0 x = 0 x log(0 x ) = log(0 x ) x = x x(x )=0 x = 0 x =.3 a..i) Kvadrerer x +3= x +3= x = Setterikkeprøve,forjegseratsvareterriktig,menhuskåsetteprøvepå

Detaljer

Oppgaver og fasit til seksjon

Oppgaver og fasit til seksjon 1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.7-3.10 Oppgaver til seksjon 3.7 I oppgave 1 til 7 skal du avgjøre om feltet er konservativt og i så fall finne en potensialfunksjon. 1. F(x, ) = (x + x) i + x j. F(x,

Detaljer

75191 Språkleken. Rekommenderas från 4 år och uppåt.

75191 Språkleken. Rekommenderas från 4 år och uppåt. 75191 Språkleken Syftet med detta spel är att skapa kommunikations situationer där barnen måste lära sig att använda beskrivande ord och på detta sätt utveckla sitt språk och språkförståelse. Inlärningsdelar:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Fasit, Kap : Derivasjon 2.

Fasit, Kap : Derivasjon 2. Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe

Detaljer

Hva nå? Dialogkonferanse leder - Regionalt akuttmedisinsk kompetansesenter Helse Vest. Seksjonsoverlege Olav Eielsen

Hva nå? Dialogkonferanse leder - Regionalt akuttmedisinsk kompetansesenter Helse Vest. Seksjonsoverlege Olav Eielsen Hva nå? Dialogkonferanse 08.12.08 Seksjonsoverlege Olav Eielsen leder - Regionalt akuttmedisinsk kompetansesenter Helse Vest Hva har Stortinget vedtatt før? Ot.prp. nr. 26 1988-89 1. Medisinsk nødrneldetjeneste

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.

Detaljer

Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014

Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014 Eksamen i TMA4190 Mangfoldigheter fredag 30 mai, 2014 LØYSINGSFORSLAG Oppgåve 1 å sette Vi definerer funksjonane F : R 4 R 2 og G : R 2 R 4 ved F : (x, y, z, w) (u, v) = (xy, zw) G : (u, v) (u, u 2, v,

Detaljer

Tirsdag E = F q. q 4πε 0 r 2 ˆr E = E j = 1 4πε 0. 2 j. r 1. r n

Tirsdag E = F q. q 4πε 0 r 2 ˆr E = E j = 1 4πε 0. 2 j. r 1. r n Institutt for fysikk, NTNU TFY4155/FY1003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008, uke 3 Tirsdag 15.01.07 Elektrisk felt [FGT 22.1; YF 21.4; TM 21.4; AF 21.5; LHL 19.4; DJG 2.1.3] = kraft pr ladningsenhet

Detaljer

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011

Integraler. John Rognes. 15. mars 2011 15. mars 2011 forener geometrisk målbare områder Ω og skalarfelt f : Ω R definert på disse områdene. Vi danner produktet f (Ω) Ω av verdien f (Ω) av funksjonen og størrelsen Ω av området. Mer presist deler

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut):

Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): MA1103 vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 10M Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1. 2. 3. 4. 5.

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer