Løsningsskisse eksamen 3MX

Transkript

1 Løsningsskisse eksamen 3MX.6.6 Ikke sjekket, kan være feil. a) f 5tan 5 sincos 5 cos cos Eller: f 5tan 5tan 5 tan 5tan 5 (Produktregel) b) g u 3, u cos g 3u sin 3 cos sin (Kjerneregel. Kan multipliseres ut, men faktorform antagelig ok.) c) sin cosd sin d (Kan bruke delvis to ganger, men mindre arbeid ved å bruke omformingen sin sincos!) cos C cos C 4 Eller substitusjon: u du,u sin,u cos Som gir: u D sin D (Første svaret kan omformes til det samme: cos C 4 4 sin C sin C 4 sin D) d).4.6cos.8,, 4 cos.8.4 cos k k L,8 e))...,geometriskrekke. 4 8 ) a,k,s a k f) r,, ) ) A r d d 4 8 ft 3.5sint a) Amplitude: 3.5, Likevektslinje: 7.5 Periode: T T Faseforskvning gitt av: t b) ft 3.5sint ,.4, eller av 5 3m_eksamen_v6_ls.te

2 c) ) vt f t 3.5cost 4.7 (kjerneregel) 735cost 4.7 ) v ma v 735 cm/s 7.35 m/s d) at v t 735 sint sint 4. 7 [cm/s ] a ma a 54m/s 3.5 a) Dette er et tilfeldig utvalg og gjennomsnittet og det empiriske standardavviket i dette utvalget er forventningsrette estimatorer for forventningen og standardavviket i populasjonen av alle barn det er mulig å velge et tilfeldig barn fra. (Det burde vært angitt hva man velger blandt, populasjonen er udefinert! Alle barn i løpet av et år? år? Alle som var der akkurat nå? Alle barn i Oslo?) Legg hele tabellen i L og bruk -Var Stats L Det gir: Estimat for forventet fødselsvekt: X X Standardfeilen, estimat for for standardavviket i populasjonen: S ("Standardfeilen til estimatet"???? Merkelig ordbruk, dette er ikke standard-avvik eller standard-feil i utvalget eller til estimatoren, men et eget estimat for standardavviket i populasjonen!) b) Konfidensnivå: K.9 z.9 gitt av: z.9 K.95 z (Tabell eller Invorm(.95)) P.645 S n P.645 S n X.645 S n S n.9 Konfidensintervall: KI S,.645 S n n 33, , (Denne beregningen forutsetter at fødselsvekten i utgangspunktet er tilnærmet normalfordelt. n 5 er ikke nok når vi må estimere standardavviket i populasjonen, hvis fordelingen avviker me fra en normalfordeling. (Skjev, haler, usmmetrisk, flere topper...)) c) Y : Antall med lav fødselsvekt blandt tilfeldig utvalgte. (Av alle mulige barn som kan bli født på dette skehuset over en lengre tidsperiode?) av 5 3m_eksamen_v6_ls.te

3 PY Blir for store tall for binompdf() og binomcdf()! Må derfor tilnærme med normalfordeling. np.5 5 og n p er begge over 5, så normaltilnærmingen bør bli bra, selv om p.. Forventning: np 5 Standardavvik: np p PY A n5,7., d A.5 PZ A5 n,, zdz A.55 A A Denne sannsnligheten skal være.5, slik at: A5.5 A5.5 A A A Vi kan altså være 95% sikre på at antall undervektige ikke blir større enn Alternativ I a) e e e Riktig verdi: e (ifølge lommeregner) Hvert ledd i rekken er mindre enn en geometrisk rekke med k.5 så rekken konvergerer når.5. Verdiene ser altså ut til å komme nærmere og nærmere den riktige verdien når antall ledd øker. Utregning av 5 ledd med Lommeregner: sum(seq(.5 ^X/X!,X,,5)) gir ganske riktig.64877! b) e d e e d e e C e C.5 e d.5 e.5 e.5e c) d 3 d 3 4 C e d Altså riktig tilnærming med gjeldende siffer. d) e t dt er en kjenning da det forekommer i standardnormalfordelingen n,, e, bortsett fra at vi må gjøre et variabelskifte til t. Det vi gjør i denne oppgaven antder altså hvordan lommeregnere og datamaskiner kan beregne slike integral numerisk. (Selv om det finnes bedre algoritmer enn Talor-rekker...).5 e t.5 dt t t4 dt.5 t t3 t Lommeregner: fnint(e ^(-X ^),X,,.5) gir , altså riktig med 3 gjeldende siffer. 3 av 5 3m_eksamen_v6_ls.te

4 e) Tilsvarende: e t dt fnint(e ^(-X ^),X,,) gir !?! Grunnen til at dette ikke stemmer er at Talorrekken ikke konvergerer fort nok når t blir for stor og 3 ledd blir derfor for lite til å få noe fornuftig svar. Rekken hopper som man ser me opp og ned før den stabiliserer seg! 3 Alternativ a) f Y/X-.999 ^X MATH, fmin(y,x,,5) gir bunnpunktet 3.,.68 (Eventuelt: Grafe og bruke CALC, 3:minimum ) b) Sannsnlighet for at en tilfeldig utvalgt person har skdommen: p. X :Antallskeavetutvalgpå Resonnement: PX PX p.999 da p er sannsnligheten for at personer er friske, etter multiplikasjonsregelen, når hver persons tilstand er uavhengig av de andre personene i utvalget. Eller: X binomisk fordelt: PX..999 PX c) X :Antall analser i en gruppe på personer. Vi har sannsnlighetsmodellen: X PX p EX p d) Y :Totalt antall analser i alle gruppene, d.v.s grupper, altså er Y X i.(obs:feilåsiaty X!) Et poeng her, gruppene er avhengige av hverandre, men formelen for forventning forutsetter ikke uavhengighet! (Det gjør derimot tilsvarende formel for varians/standardavvik...) EY EX X...X EX 4 av 5 3m_eksamen_v6_ls.te

5 e) EY f For å minimalisere forventet antall analser må 3., altså 35 grupper med 3 i hver Forventet antall analser: f r t at cost,at sin t at cost,tsin t a) OP r a cos,a sin a,p a, b) Produktregel på begge koordinatene gir: r t acost t sin t,sint t cost r acos sin,sin cos a, a,a c) Vektoren r a,a er en tangentvektor til kurven i P, og derfor en retningsvektor for tangenten T. Hvis R er et punkt på tangenten har vi: OR OP s r ("Går" til R fra O via punktet P.), a, sa,a (Vektorform) a a s a s (Parameterform med parameter s.) d) Betingelse for Q: a a s s a a Da får vi: a 4 a Q,4 a e) A POQ gh a4 a 4 3 a A sirkel r a 4 3 a 5 av 5 3m_eksamen_v6_ls.te