Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever. Nynorsk/Bokmål

Transkript

1 Eksamen AA654 Matematikk 3MX Elevar/Elever Nynorsk/Bokmål

2 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar Sjå gjeldande reglar. Ingen På første side av svararket skal du skrive namn og type på den lommereknaren du har brukt på eksamen. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Før inn nødvendig mellomrekning. Skriv forklaring der dette er påkravd, for å vise kva du har gjort. Grafar og bruk av grafisk lommereknar: Rettleiing om vurderinga: Ved opne oppgåveformuleringar bør du forklare kvifor du har valt di tolking av oppgåva og ditt val av løysingsstrategi. Hugs å oppgi eventuelle kjelder. Oppgi dei lommereknarfunksjonane du har brukt. Det er ikkje nødvendig å oppgi alle tastetrykka. Hugs å skrive målestokk og einingar på aksane når du teiknar grafar i svaret. Du treng ikkje føre inn tabell over utrekna funksjonsverdiar dersom det ikkje er spurt spesielt etter det i oppgåva. Ved grafisk løysing på lommereknar er det tilstrekkeleg at du skisserer forma på kurva i svaret. På skissa skal svaret markerast tydeleg. Karakteren blir fastsett etter ei heilskapleg vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser grunnleggjande dugleikar kan bruke hjelpemiddel gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan bruke fagkunnskap i nye situasjonar vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side av 14

3 Oppgåve 1 a) Deriver funksjonen f 3 sin b) Deriver funksjonen g tan c) Finn integralet e d d) Løys likninga 1 cos sin ved rekning. e) Finn ved rekning botnpunktet på grafen til funksjonen f ln f) Ein spesiell terning har 3 sider med éin prikk, sider med to prikkar og 1 side med tre prikkar. La X vere talet på prikkar i eit terningkast. 1) Set opp ei sannsynsfordeling for X. Bestem forventningsverdien til X. ) Bestem standardavviket til X. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 3 av 14

4 Oppgåve Ein periodisk funksjon er gitt ved f cos a) Teikn grafen til f for -verdiar mellom 0 og. b) Bruk grafen og finn likevektslinja, amplituden og perioden for denne funksjonen. c) Forklar at parameteren. Skriv f f Asin c d d) Bruk mellom anna formelen for sin( u v) uttrykket. på forma på uttrykket i c) og vis at dette gir det opphavlege Oppgåve 3 Det er anteke at sannsynet for å overleve ein spesiell type operasjon er lik 0,9. a) Kva er sannsynet for at nøyaktig 16 av 0 pasientar vil overleve denne operasjonen? Kva er den sannsynsfordelinga du bruker her, kalla? Kva for føresetnader ligg til grunn for at du kan bruke denne fordelinga? Når vi ser på eit tilstrekkeleg stort tal pasientar, er denne fordelinga tilnærma lik normalfordelinga. Vi ser no på 00 pasientar. b) Vis at 180 og 4,4 for denne fordelinga. c) Kva er sannsynet for at færre enn 168 av 00 pasientar vil overleve operasjonen? d) Kva er sannsynet for at talet på overlevande pasientar er mellom 168 og 186? Ein kirurg stiller spørsmål ved om sannsynet for å overleve operasjonen er 0,9. Han bestemmer seg derfor for å gjere ei utvalsundersøking for å sjekke om det stemmer. Årleg blir det gjort fleire tusen slike operasjonar. Kirurgen ser på 90 tilfeldig valde operasjonar av denne typen. Av desse var det 63 av pasientane som overlevde. e) Finn eit estimat for den delen som overlevde operasjonen. Rekn ut standardfeilen. f) Vi tenkjer oss at p er sannsynet for å overleve operasjonen. Set opp eit 95 % konfidensintervall for p. Kva kan du seie om p etter at du har sett opp dette intervallet? Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 4 av 14

5 Oppgåve 4 Du skal svare på anten alternativ I eller alternativ II. Dei to alternativa er likeverdige ved vurderinga. (Dersom svaret inneheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I Sentra A, B og C i dei tre sirklane i figuren nedanfor ligg på ei rett linje. Likningane til dei to ytste sirklane er gitt ved 1 y 15 5 og 4 y a) Skriv ned koordinatane til sentra A og C, og finn AC og AC. b) Kva er radien til den midtarste sirkelen? c) Finn likninga til den midtarste sirkelen. d) Ei rett linje går gjennom B og står vinkelrett på linja gjennom A og C. Finn skjeringspunkta mellom denne linja og den midtarste sirkelen. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 5 av 14

6 Alternativ II Trekanttal kan illustrerast som talet på prikkar som dannar ein trekantfigur. Figur 1 viser dei tre første trekanttala a 1, a og a 3. Summen av trekanttala dannar rekkja Figur 1 a) Forklar at a Kva slags rekkje er dette? b) Finn eit uttrykk for a n. c) Bruk lommereknaren til å finne summen av dei 10 første trekanttala. For å finne ein formel for S n, kan vi starte med å sjå på S a S a1 a S3 a1 a a S a a a a d) Bruk mønsteret ovanfor til å skrive opp eit tilsvarande uttrykk for S n. Finn S 14 ved å bruke dette uttrykket. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 6 av 14

7 Oppgåve 5 PARTIKKELRØRSLE Ein partikkel følgjer ei bane vist på figuren nedanfor. Posisjonen til partikkelen er gitt ved r ( t) sin t, sin t, 8 cost På figuren er fartsvektoren v( t) og akselerasjonsvektoren a( t) teikna inn i eit punkt på bana. a) Finn ved rekning posisjonen til partikkelen når t 0 og t. 4 b) Finn eventuelle fellespunkt mellom kurva og y-planet., t 0, a( t) v( t) c) Vis at r( t) 8. Undersøk om r( t) v( t). Kva slags bane følgjer partikkelen? d) Bestem farts- og akselerasjonsvektoren til partikkelen når e) Finn v(t) til partikkelen. Kommenter svaret. t. 4 Vinkelen mellom eit plan og ei kurve er den minste vinkelen mellom planet og tangenten til kurva i skjeringspunktet mellom kurva og planet. Tangenten har same retning som fartsvektoren i punktet. f) Finn vinkelen mellom partikkelbana og y-planet når partikkelen passerer dette planet første gong. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 7 av 14

8 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer Se gjeldende regler. Ingen På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd, for å vise hva du har gjort. Grafer og bruk av grafisk lommeregner: Veiledning om vurderingen: Ved åpne oppgaveformuleringer bør du forklare hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder. Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 8 av 14

9 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f 3 sin b) Deriver funksjonen g tan c) Finn integralet e d d) Løs likningen 1 cos sin ved regning. e) Finn ved regning bunnpunktet på grafen til funksjonen f ln f) En spesiell terning har 3 sider med én prikk, sider med to prikker og 1 side med tre prikker. La X være antall prikker i et terningkast. 1) Sett opp en sannsynlighetsfordeling for X. Bestem forventningsverdien til X. ) Bestem standardavviket til X. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 9 av 14

10 Oppgave En periodisk funksjon er gitt ved f cos a) Tegn grafen til f for -verdier mellom 0 og. b) Bruk grafen og finn likevektslinja, amplituden og perioden for denne funksjonen. c) Forklar at parameteren. Skriv f f Asin c d på formen d) Bruk blant annet formelen for sin( u v) uttrykket. på uttrykket i c) og vis at dette gir det opprinnelige Oppgave 3 Sannsynligheten for å overleve en spesiell type operasjon er antatt å være lik 0,9. a) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 16 av 0 pasienter vil overleve denne operasjonen? Hva kalles sannsynlighetsfordelingen du bruker her? Hvilke forutsetninger ligger til grunn for at du kan bruke denne fordelingen? Når vi ser på et tilstrekkelig stort antall pasienter, er denne fordelingen tilnærmet lik normalfordelingen. Vi ser nå på 00 pasienter. b) Vis at 180 og 4,4 for denne fordelingen. c) Hva er sannsynligheten for at færre enn 168 av 00 pasienter vil overleve operasjonen? d) Hva er sannsynligheten for at antall overlevende pasienter er mellom 168 og 186? En kirurg stiller spørsmål ved om sannsynligheten for å overleve operasjonen er 0,9. Han bestemmer seg derfor for å gjøre en utvalgsundersøkelse for å sjekke om det stemmer. Årlig foretas det flere tusen slike operasjoner. Kirurgen ser på 90 tilfeldig valgte operasjoner av denne typen. Av disse var det 63 av pasientene som overlevde. e) Finn et estimat for andelen som overlevde operasjonen. Regn ut standardfeilen. f) Vi tenker oss at p er sannsynligheten for å overleve operasjonen. Sett opp et 95 % konfidensintervall for p. Hva kan du si om p etter at du har satt opp dette intervallet? Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 10 av 14

11 Oppgave 4 Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen. (Dersom besvarelsen inneholder deler av begge, vil bare det du har skrevet på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I Sentrene A, B og C i de tre sirklene i figuren nedenfor ligger på en rett linje. Likningene til de to ytterste sirklene er gitt ved 1 y 15 5 og 4 y a) Skriv ned koordinatene til sentrene A og C, og finn AC og AC. b) Hva er radien til den midterste sirkelen? c) Finn likningen til den midterste sirkelen. d) En rett linje går gjennom B og står vinkelrett på linja gjennom A og C. Finn skjæringspunktene mellom denne linja og den midterste sirkelen. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 11 av 14

12 Alternativ II Trekanttall kan illustreres som antall prikker som danner en trekantfigur. Figur 1 viser de tre første trekanttallene a 1, a og a 3. Summen av trekanttallene danner rekka Figur 1 a) Forklar at a Hva slags rekke er dette? b) Finn et uttrykk for a n. c) Bruk lommeregneren til å finne summen av de 10 første trekanttallene. For å finne en formel for S n, kan vi starte med å se på S a S a1 a S3 a1 a a S a a a a d) Bruk mønsteret ovenfor til å skrive opp et tilsvarende uttrykk for S n. Finn S 14 ved å bruke dette uttrykket. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 1 av 14

13 Oppgave 5 PARTIKKELBEVEGELSE En partikkel følger en bane vist på figuren nedenfor. Posisjonen til partikkelen er gitt ved r ( t) sin t, sin t, 8 cost På figuren er fartsvektoren v( t) og akselerasjonsvektoren a( t) tegnet inn i et punkt på banen. a) Finn ved regning posisjonen til partikkelen når t 0 og t. 4 b) Finn eventuelle fellespunkter mellom kurva og y-planet., t 0, a( t) v( t) c) Vis at r( t) 8. Undersøk om r( t) v( t). Hva slags bane følger partikkelen? d) Bestem farts- og akselerasjonsvektoren til partikkelen når e) Finn v(t) til partikkelen. Kommenter svaret. t. 4 Vinkelen mellom et plan og en kurve er den minste vinkelen mellom planet og tangenten til kurva i skjæringspunktet mellom kurva og planet. Tangenten har samme retning som fartsvektoren i punktet. f) Finn vinkelen mellom partikkelbanen og y-planet når partikkelen passerer dette planet første gang. Eksamen, AA654 Matematikk 3MX Side 13 av 14

14 Kolstadgata 1 Postboks 94 Tøyen 0608 OSLO Telefon Telefaks