Eksamensoppgåver V06/ Eksamensoppgaver V06. Matematikk (AA)

Transkript

1 Eksamensoppgåver V06/ Eksamensoppgaver V06 Matematikk (AA) Fagkode AA6514 AA6515 AA6516 AA654/AA656 AA657 AA6534 AA6535 AA6536 AA6544/AA6546 AA6547 Fagnavn: Matematikk MX E Matematikk MX med IKT E Matematikk MX P Matematikk 3MX E+P Matematikk 3MX med IKT E Matematikk MZ E Matematikk MZ med IKT E Matematikk MZ P Matematikk 3MZ E+P Matematikk 3MZ med IKT E ( E = Elevar/Elever. P = Privatistar/Privatister )

2 Førebuing/Forberedelse Fag: AA6514 Matematikk MX Dato: 1. juni 006 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål.

3 Nynorsk Informasjon til førebuingsdelen Førebuingstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: 1 dag Sjå rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen Ta med deg utlevert skriftleg materiale om førebuingsdelen til eksamen. To A4-sider med eigne notat frå arbeidet i førebuingsdelen kan takast med til eksamen. Notatarket skal ikkje leverast inn saman med oppgåvesvaret. Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side av 7

4 FØREBUING TIL EI AV OPPGÅVENE TIL EKSAMEN I MATEMATIKK MX Oppgåva vil ta utgangspunkt i mellom anna desse læreplanmåla: Elevene skal 6b kunne behandle ordnede utvalg med og uten tilbakelegning, uordnede utvalg uten tilbakelegning, og kunne bruke dette til å beregne sannsynligheter 6c kunne regne med binomiske og hypergeometriske sannsynligheter LOTTO Lotto er eit talspel som går ut på å velje ut 7 vinnartal av i alt 34 tal. Dei som arrangerer spelet, trekkjer ut 7 vinnartal og 3 tilleggstal. Lotto har 5 premiegrupper: 1. premie: 7 vinnartal. premie: 6 vinnartal pluss minst eitt tilleggstal 3. premie: 6 vinnartal 4. premie: 5 vinnartal 5. premie: 4 vinnartal pluss minst eitt tilleggstal For å finne sannsynet for å få 7 rette kan vi bruke formlane for hypergeometriske forsøk. Vi tenkjer oss at dei 34 tala består av 7 vinnartal og 7 tapartal. Vi skal finne sannsynet for å få 7 vinnartal og 0 tapartal P ( 7 rette) = = 0, Oppgåve Finn P ( 6 rette) og P ( 5rette) på tilsvarande måte. Fasit: P 6 rette = 0, P 5 rette = 0,00137 ( ) ( ) Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side 3 av 7

5 For å finne sannsynet for. og 5. premie må vi tenkje litt annleis. Vi tenkjer oss at dei 34 tala består av 7 vinnartal, 3 tilleggstal og 4 tapartal.. premie består av at vi skal velje 6 vinnartal og 1 tilleggstal P ( 6 rette+1 tilleggstall) = 0, For å vinne 5. premie er det tre moglegheiter. P P P rette+1 tilleggstall = 0, ( ) rette+ tilleggstall = 0, ( ) rette+3 tilleggstall = 0, ( ) Vi får altså at P(5. premie) 0,0054+0, , ,0059 Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side 4 av 7

6 Bokmål Informasjon til forberedelsesdelen Forberedelsestid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: 1 dag Se rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen Ta med deg utlevert skriftlig materiale om forberedelsesdelen til eksamen. To A4-sider med egne notater fra arbeidet i forberedelsesdelen kan tas med til eksamen. Notatarket skal ikke leveres inn sammen med oppgavesvaret. Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side 5 av 7

7 FORBEREDELSE TIL EN AV OPPGAVENE TIL EKSAMEN I MATEMATIKK MX Oppgaven vil ta utgangspunkt i blant annet disse læreplanmålene: Elevene skal 6b kunne behandle ordnede utvalg med og uten tilbakelegning, uordnede utvalg uten tilbakelegning, og kunne bruke dette til å beregne sannsynligheter 6c kunne regne med binomiske og hypergeometriske sannsynligheter LOTTO Lotto er et tallspill som går ut på å velge ut 7 vinnertall av i alt 34 tall. De som arrangerer spillet, trekker ut 7 vinnertall og 3 tilleggstall. Lotto har 5 premiegrupper: 1. premie: 7 vinnertall. premie: 6 vinnertall pluss minst ett tilleggstall 3. premie: 6 vinnertall 4. premie: 5 vinnertall 5. premie: 4 vinnertall pluss minst ett tilleggstall For å finne sannsynligheten for å få 7 rette kan vi bruke formlene for hypergeometriske forsøk. Vi tenker oss at de 34 tallene består av 7 vinnertall og 7 tapertall. Vi skal finne sannsynligheten for å få 7 vinnertall og 0 tapertall P ( 7 rette) = = 0, Oppgave Finn P ( 6 rette) og P ( 5rette) på tilsvarende måte. Fasit: P 6 rette = 0, ( ) ( ) P 5 rette = 0,00137 Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side 6 av 7

8 For å finne sannsynligheten for. og 5. premie må vi tenke litt annerledes. Vi tenker oss at de 34 tallene består av 7 vinnertall, 3 tilleggstall og 4 tapertall.. premie består av at vi skal velge 6 vinnertall og 1 tilleggstall P ( 6 rette+1 tilleggstall) = 0, For å vinne 5. premie er det tre muligheter. P P P rette+1 tilleggstall = 0, ( ) rette+ tilleggstall = 0, ( ) rette+3 tilleggstall = 0, ( ) Vi får altså at P(5. premie) 0,0054+0, , ,0059 Førebuing/Forberedelse AA6514 Matematikk MX elev Side 7 av 7

9 Eksamen Fag: AA6514 Matematikk MX Eksamensdato:. juni 006 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål.

10 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar Sjå rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen På første side av svararket skal du skrive namn og type på den lommereknaren du har brukt på eksamen. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Før inn nødvendig mellomrekning. Skriv forklaring der dette er påkravd, for å vise kva du har gjort. Ved opne oppgåveformuleringar bør du grunngi kvifor du har valt di tolking av oppgåva og ditt val av løysingsstrategi. Hugs å gi opp eventuelle kjelder. Grafar og bruk av grafisk lommereknar: Gi opp dei lommereknarfunksjonane du har brukt. Det er ikkje nødvendig å gi opp alle tastetrykka. Hugs å skrive målestokk og einingar på aksane når du teiknar grafar i svaret. Du treng ikkje føre inn tabell over utrekna funksjonsverdiar dersom det ikkje er spurt spesielt etter det i oppgåva. Ved grafisk løysing på lommereknar er det tilstrekkeleg at du skisserer forma på kurva i svaret. På skissa skal svaret markerast tydeleg. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side av 17

11 Rettleiing om vurderinga: Karakteren blir fastsett etter ei heilskapleg vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser grunnleggjande ferdigheiter kan bruke hjelpemiddel gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan anvende fagkunnskap i nye situasjonar vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 3 av 17

12 OPPGÅVE 1 I heile oppgåve 1 skal du for kvart delspørsmål velje mellom alternativ I og alternativ II. Du skal berre rekne eitt av alternativa, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor utteljing som alternativ I. a) Løys likninga ved rekning: Anten I x 1 = x 3 eller II ( x) ln 5ln x + 6 = 0 b) Løys likninga ved rekning: Anten I tan x,1 x = 0, 360 eller II 4 cos x 3 sin x 0 x = 0, 360 c) Løys ulikskapen: Anten I x 3 x + 8 < 0 eller II 3x + 1 x Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 4 av 17

13 d) Deriver funksjonen: Anten I 4 1 f( x) e x + = eller II gx ( ) = x + 4x e) Bruk derivasjon til å bestemme koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til funksjonen gitt ved: Anten I f( x) = x + 4x 3 eller II 3 gx ( ) = x 3x + 4 f) Bestem integralet ved rekning: Anten I 3 1 (x 3 x) dx eller II ln ln x x (e e ) dx Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 5 av 17

14 OPPGÅVE Ein trekant ABC er plassert i eit koordinatsystem som vist på figuren. a) Skriv opp koordinatane til AB, BC. AC og M 1 er midtpunktet på sida AB, og M er midtpunktet på AC. b) Vis ved rekning at koordinatane til punktet er, 0 og til punktet M er 1,. Vi kallar skjeringspunktet mellom CM1 og BM for S. M ( ) Ein metode for å finne koordinatane til S består i å skrive CS på to måtar. To ulike vegar frå C til S gir CS = k CM 1 og CS = CB + t BM Dette gir oss følgjande vektorlikning: k CM = CB + t BM 1 c) Set inn koordinatane til CM 1, CB og BM, og vis at vektorlikninga kan skrivast som 7t k, 4k = 3, 4 + t d) Løys vektorlikninga, og vis at k = og 3 e) Bestem CS og koordinatane til punktet S. t =. 3 1 M 3 er midtpunktet på BC. f) Undersøk om AM 3 går gjennom punktet S. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 6 av 17

15 OPPGÅVE 3 Styrken på den lyden hørselen vår registrerer, blir kalla lydnivået L og blir målt i desibel (db). Lydeffekten I er den fysiske effekten og blir målt i watt per kvadratmeter (W/m ). Samanhengen mellom lydnivået og lydeffekten er gitt ved formelen L = 10 lg I + 10 I eit rom er det to straumaggregat. For aggregat A er lydeffekten målt til W/m, og aggregat B har ein lydeffekt på 10 W/m ,6 10 a) Bestem lydnivået L til kvart av dei to aggregata. For å bestemme det samla lydnivået til fleire lydkjelder, summerer vi først lydeffekten til kvar av kjeldene. Deretter finn vi lydnivået til den samla lydeffekten. b) Bestem lydnivået L når begge aggregata er på. For å redusere støyen i rommet blir aggregat A erstatta med eit nytt og meir støysvakt aggregat C med eit lydnivå på 65 db. c) Bestem lydeffekten I til aggregat C. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 7 av 17

16 OPPGÅVE 4 Ein båt startar i punktet A 6,0 km vest for eit fyr i B. Båten går med ein nordaustleg kurs som dannar vinkelen 37 med linja gjennom A og B. Sjå figuren ovanfor. a) Kva er den minste avstanden mellom båten og fyret? b) Forklar at båten vil vere 5,0 km frå fyret to gonger. Kor langt har båten gått frå A når han er 5,0 km frå fyret første gong? Båten bruker 5 minutt frå han er 5,0 km frå fyret første gong, til han er 5,0 km frå fyret andre gong. c) Kva er båten sin fart målt i km/h? Ein annan båt startar også i A. Han held ein nordaustleg kurs som dannar vinkelen v med linja gjennom A og B. d) Kor stor må vinkelen vere for at båten skal vere 7,0 km frå fyret når han har kjørt 10,0 km? Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 8 av 17

17 OPPGÅVE 5 (med førebuing) Eit idrettslag har laga eit spel dei kallar MINILOTTO. Når ein spelar MINILOTTO, merkjer ein av 4 tal frå og med 1 til og med 9. Premiane blir utrekna ved at ein trekkjer ut 4 vinnartal og tilleggstal. Følgjande uttrekk gir gevinst: 1. premie: Ein spelar har 4 rette vinnartal.. premie: Ein spelar har 3 rette vinnartal og 1 tilleggstal. 3. premie: Ein spelar har 3 rette vinnartal. 4. premie: Ein spelar har rette vinnartal og minst 1 tilleggstal. a) Vis at sannsynet for å vinne 1. premie i MINILOTTO er 0, b) Rekn ut sannsynet for å vinne 3. premie i MINILOTTO. c) Kva er sannsynet for å få. premie i MINILOTTO? d) Finn sannsynet for å få 4. premie i MINILOTTO. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 9 av 17

18 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer Se rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen På første side av svararket skal du skrive navn og type på den lommeregneren du har brukt på eksamen. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd, for å vise hva du har gjort. Ved åpne oppgaveformuleringer bør du begrunne hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder. Grafer og bruk av grafisk lommeregner: Oppgi de lommeregnerfunksjonene du har brukt. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 10 av 17

19 Veiledning om vurderingen: Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 11 av 17

20 OPPGAVE 1 I hele oppgave 1 skal du for hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II. Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I. a) Løs ligningen ved regning: Enten I x 1 = x 3 eller II ( x) ln 5ln x + 6 = 0 b) Løs ligningen ved regning: Enten I tan x,1 x = 0, 360 eller II 4 cos x 3 sin x 0 x = 0, 360 c) Løs ulikheten: Enten I x 3 x + 8 < 0 eller II 3x + 1 x Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 1 av 17

21 d) Deriver funksjonen: Enten I 4 1 f( x) e x + = eller II gx ( ) = x + 4x e) Bruk derivasjon til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til funksjonen gitt ved: Enten I f( x) = x + 4x 3 eller II 3 gx ( ) = x 3x + 4 f) Bestem integralet ved regning: Enten I 3 1 (x 3 x) dx eller II ln ln x x (e e ) dx Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 13 av 17

22 OPPGAVE En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. a) Skriv opp koordinatene til AB, BC. AC og M 1 er midtpunktet på siden AB, og midtpunktet på AC. M er b) Vis ved regning at koordinatene til punktet er, 0 og til punktet M er 1,. Vi kaller skjæringspunktet mellom CM1 og BM for S. M ( ) En metode for å finne koordinatene til S består i å skrive CS på to måter. To ulike veier fra C til S gir CS = k CM 1 og CS = CB + t BM Dette gir oss følgende vektorligning: k CM = CB + t BM 1 c) Sett inn koordinatene til CM 1, 7t k, 4k = 3, 4 + t d) Løs vektorligningen, og vis at 1 CB og BM, og vis at vektorligningen kan skrives som k = og 3 e) Bestem CS og koordinatene til punktet S. t =. 3 M 3 er midtpunktet på BC. f) Undersøk om AM 3 går gjennom punktet S. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 14 av 17

23 OPPGAVE 3 Styrken på den lyden hørselen vår registrerer, kalles lydnivået L og måles i desibel (db). Lydeffekten I er den fysiske effekten og måles i watt per kvadratmeter (W/m ). Sammenhengen mellom lydnivået og lydeffekten er gitt ved formelen L = 10 lg I + 10 I et rom er det to strømaggregater. For aggregat A er lydeffekten målt til og aggregat B har en lydeffekt på W/m. -5 1,6 10 W/m, a) Bestem lydnivået L til hvert av de to aggregatene. For å bestemme det samlede lydnivået til flere lydkilder, summerer vi først lydeffekten til hver av kildene. Deretter finner vi lydnivået til den samlede lydeffekten. b) Bestem lydnivået L når begge aggregatene er på. For å redusere støyen i rommet blir aggregat A erstattet med et nytt og mer støysvakt aggregat C med et lydnivå på 65 db. c) Bestem lydeffekten I til aggregat C. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 15 av 17

24 OPPGAVE 4 En båt starter i punktet A 6,0 km vest for et fyr i B. Båten går med en nordøstlig kurs som danner vinkelen 37 med linja gjennom A og B. Se figuren ovenfor. a) Hva er den minste avstanden mellom båten og fyret? b) Forklar at båten vil være 5,0 km fra fyret to ganger. Hvor langt har båten gått fra A når den er 5,0 km fra fyret første gang? Båten bruker 5 minutter fra den er 5,0 km fra fyret første gang, til den er 5,0 km fra fyret andre gang. c) Hva er båtens fart målt i km/h? En annen båt starter også i A. Den holder en nordøstlig kurs som danner vinkelen v med linja gjennom A og B. d) Hvor stor må vinkelen være for at båten skal være 7,0 km fra fyret når den har kjørt 10,0 km? Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 16 av 17

25 OPPGAVE 5 (med forberedelse) Et idrettslag har laget et spill de kaller MINILOTTO. Når en spiller MINILOTTO, merker en av 4 tall fra og med 1 til og med 9. Premiene beregnes ved at en trekker ut 4 vinnertall og tilleggstall. Følgende uttrekk gir gevinst: 1. premie: En spiller har 4 rette vinnertall.. premie: En spiller har 3 rette vinnertall og 1 tilleggstall. 3. premie: En spiller har 3 rette vinnertall. 4. premie: En spiller har rette vinnertall og minst 1 tilleggstall. a) Vis at sannsynligheten for å vinne 1. premie i MINILOTTO er 0, b) Regn ut sannsynligheten for å vinne 3. premie i MINILOTTO. c) Hva er sannsynligheten for å få. premie i MINILOTTO? d) Finn sannsynligheten for å få 4. premie i MINILOTTO. Eksamen AA6514 Matematikk MX elev Side 17 av 17

26 Førebuing/Forberedelse Fag: AA6515 Matematikk MX med ikt Dato: 1. juni 006 Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elever Bokmål

27 Bokmål Informasjon til forberedelsesdelen Forberedelsestid: Hjelpemidler: Vedlegg: Andre opplysninger: 1 dag Se rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen Ta med deg utlevert skriftlig materiale om forberedelsesdelen til del II av eksamen. (Korr. mai 006) Forberedelse AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side av 4

28 FORBEREDELSE TIL EN AV OPPGAVENE TIL EKSAMEN I MATEMATIKK MX MED IKT Oppgaven vil ta utgangspunkt i blant annet disse læreplanmålene: Elevene skal 6b kunne behandle ordnede utvalg med og uten tilbakelegning, uordnede utvalg uten tilbakelegning, og kunne bruke dette til å beregne sannsynligheter 6c kunne regne med binomiske og hypergeometriske sannsynligheter LOTTO Lotto er et tallspill som går ut på å velge ut 7 vinnertall av i alt 34 tall. De som arrangerer spillet, trekker ut 7 vinnertall og 3 tilleggstall. Lotto har 5 premiegrupper: 1. premie: 7 vinnertall. premie: 6 vinnertall pluss minst ett tilleggstall 3. premie: 6 vinnertall 4. premie: 5 vinnertall 5. premie: 4 vinnertall pluss minst ett tilleggstall For å finne sannsynligheten for å få 7 rette kan vi bruke formlene for hypergeometriske forsøk. Vi tenker oss at de 34 tallene består av 7 vinnertall og 7 tapertall. Vi skal finne sannsynligheten for å få 7 vinnertall og 0 tapertall P ( 7 rette) = = 0, Oppgave Finn P ( 6 rette) og P ( 5rette) på tilsvarende måte. Fasit: P 6 rette = 0, P 5 rette = 0,00137 ( ) ( ) Forberedelse AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 3 av 4

29 For å finne sannsynligheten for. og 5. premie må vi tenke litt annerledes. Vi tenker oss at de 34 tallene består av 7 vinnertall, 3 tilleggstall og 4 tapertall.. premie består av at vi skal velge 6 vinnertall og 1 tilleggstall P ( 6 rette+1 tilleggstall) = 0, For å vinne 5. premie er det tre muligheter. P P P rette+1 tilleggstall = 0, ( ) rette+ tilleggstall = 0, ( ) rette+3 tilleggstall = 0, ( ) Vi får altså at P(5. premie) 0,0054+0, , ,0059 Forberedelse AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 4 av 4

30 Eksamen Fag: AA6515 Matematikk MX med ikt Eksamensdato:. juni 006 Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elever Bokmål

31 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler Del I: Hjelpemidler Del II: Vedlegg: Andre opplysninger: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer: Del I: 1,5 timer og Del II: 3,5 timer Formelsamling i matematikk. Formelsamlingen må ikke inneholde egne notater. Alle hjelpemidler er tillatt uten ekstern kommunikasjon. NB: Det er ikke anledning til å samarbeide, eller benytte interne datanettverk og ekstern kommunikasjon. Ingen På første side av svararket i Del II skal du skrive navn på lommeregner, dataprogram, applikasjoner eller andre tekniske hjelpemidler du har brukt til eksamen. Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Om oppgaven krever en bestemt løsningsmetode, vil også en alternativ metode kunne gi noe uttelling. Før inn nødvendig mellomregning. Skriv forklaring der dette er påkrevd, for å vise hva du har gjort. Grafer og bruk av tekniske hjelpemidler: Ved åpne oppgaveformuleringer bør du begrunne hvorfor du har valgt din tolkning av oppgaven og ditt valg av løsningsstrategi. Husk å oppgi eventuelle kilder. Oppgi hvordan du har brukt de tekniske hjelpemidlene. Det er ikke nødvendig å oppgi alle tastetrykkene. Husk å skrive målestokk og enheter på aksene når du tegner grafer i besvarelsen. Du trenger ikke føre inn tabell over utregnede funksjonsverdier dersom det ikke er spurt spesielt etter det i oppgaven. Ved grafisk løsning på datamaskin eller lommeregner er det tilstrekkelig at du skisserer kurvens form i besvarelsen. På skissen skal svaret markeres tydelig. Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side av 10

32 Veiledning om vurderingen: Karakteren fastsettes etter en helhetlig vurdering. Det betyr at sensor vurderer i hvilken grad du viser grunnleggende ferdigheter kan bruke hjelpemidler gjennomfører logiske resonnementer ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan anvende fagkunnskap i nye situasjoner vurderer om svar er rimelige forklarer framgangsmåter og begrunner svar skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger, benevninger, tabeller og grafiske framstillinger Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 3 av 10

33 DEL I OPPGAVE 1 I hele oppgave 1 skal du for hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II. Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I. a) Løs ligningen: Enten I x 1 = x 3 eller II ( x) ln 5ln x + 6 = 0 b) Løs ulikheten: Enten I x 3 x + 8 < 0 eller II 3x + 1 x c) Deriver funksjonen: Enten I 4 1 f( x) e x + = eller II gx ( ) = x + 4x Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 4 av 10

34 d) Enten I Funksjonen g er gitt ved 3 1 gx ( ) = x e x 1) Deriver funksjonen g som et produkt. ) Deriver funksjonen g som en brøk. eller II Funksjonen f er gitt ved x 1 f( x ) = 4 x e 1) Deriver funksjonen f som et produkt. ) Deriver funksjonen f som en brøk. e) Enten I Funksjonen f er gitt ved f( x) = x 8x + 6 1) Finn f (x). ) Bestem f (), og forklar hva svaret betyr for grafen til f. 3) Lag en skisse av grafen til f, og bruk grafen til å avgjøre når f vokser og når f avtar. eller II Funksjonen g er gitt ved 3 gx ( ) = x 6x + 9x. 1) Finn g ( x) ) Lag en skisse av grafen til g. 3) Bruk grafen i ) til å avgjøre når g vokser og når g avtar. Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 5 av 10

35 f) Bestem integralet: Enten I 3 1 (x 3 x) dx eller II ln ln x x (e e ) dx g) Enten I Vis at tan x 1 (cos x) = x 0,90 cos x eller II Gitt ligningen ( x) cos sin x = 1 Vis at sin x =1 eller sin x = 0 Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 6 av 10

36 DEL II OPPGAVE En trekant ABC er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. a) Skriv opp koordinatene til AB, BC. AC og M 1 er midtpunktet på siden AB, og midtpunktet på AC. M er b) Vis ved regning at koordinatene til punktet er, 0 og til punktet M er 1,. Vi kaller skjæringspunktet mellom CM1 og BM for S. M ( ) En metode for å finne koordinatene til S består i å skrive CS på to måter. To ulike veier fra C til S gir CS = k CM 1 og CS = CB + t BM Dette gir oss følgende vektorligning: k CM = CB + t BM 1 c) Sett inn koordinatene til CM 1, 7t k, 4k = 3, 4 + t d) Løs vektorligningen, og vis at 1 CB og BM, og vis at vektorligningen kan skrives som k = og 3 e) Bestem CS og koordinatene til punktet S. t =. 3 M 3 er midtpunktet på BC. f) Undersøk om AM 3 går gjennom punktet S. Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 7 av 10

37 OPPGAVE 3 Styrken på den lyden hørselen vår registrerer, kalles lydnivået L og måles i desibel (db). Lydeffekten I er den fysiske effekten og måles i watt per kvadratmeter (W/m ). Sammenhengen mellom lydnivået og lydeffekten er gitt ved formelen L = 10 lg I + 10 I et rom er det to strømaggregater. For aggregat A er lydeffekten målt til og aggregat B har en lydeffekt på W/m. -5 1,6 10 W/m, a) Bestem lydnivået L til hvert av de to aggregatene. For å bestemme det samlede lydnivået til flere lydkilder, summerer vi først lydeffekten til hver av kildene. Deretter finner vi lydnivået til den samlede lydeffekten. b) Bestem lydnivået L når begge aggregatene er på. For å redusere støyen i rommet blir aggregat A erstattet med et nytt og mer støysvakt aggregat C med et lydnivå på 65 db. c) Bestem lydeffekten I til aggregat C. Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 8 av 10

38 OPPGAVE 4 En båt starter i punktet A 6,0 km vest for et fyr i B. Båten går med en nordøstlig kurs som danner vinkelen 37 med linja gjennom A og B. Se figuren ovenfor. a) Hva er den minste avstanden mellom båten og fyret? b) Forklar at båten vil være 5,0 km fra fyret to ganger. Hvor langt har båten gått fra A når den er 5,0 km fra fyret første gang? Båten bruker 5 minutter fra den er 5,0 km fra fyret første gang, til den er 5,0 km fra fyret andre gang. c) Hva er båtens fart målt i km/h? En annen båt starter også i A. Den holder en nordøstlig kurs som danner vinkelen v med linja gjennom A og B. d) Hvor stor må vinkelen være for at båten skal være 7,0 km fra fyret når den har kjørt 10,0 km? Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 9 av 10

39 OPPGAVE 5 (med forberedelse) Et idrettslag har laget et spill de kaller MINILOTTO. Når en spiller MINILOTTO, merker en av 4 tall fra og med 1 til og med 9. Premiene beregnes ved at en trekker ut 4 vinnertall og tilleggstall. Følgende uttrekk gir gevinst: 1. premie: En spiller har 4 rette vinnertall.. premie: En spiller har 3 rette vinnertall og 1 tilleggstall. 3. premie: En spiller har 3 rette vinnertall. 4. premie: En spiller har rette vinnertall og minst 1 tilleggstall. a) Vis at sannsynligheten for å vinne 1. premie i MINILOTTO er 0, b) Regn ut sannsynligheten for å vinne 3. premie i MINILOTTO. c) Hva er sannsynligheten for å få. premie i MINILOTTO? d) Finn sannsynligheten for å få 4. premie i MINILOTTO. Eksamen AA6515 Matematikk MX med ikt elev Side 10 av 10

40 Eksamen Fag: AA6516 Matematikk MX Eksamensdato: 3. mai 006 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål.

41 Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar Sjå rundskriv Utdanningsdirektoratet UDir Ingen På første side av svararket skal du skrive namn og type på den lommereknaren du har brukt på eksamen. Der oppgåveteksten ikkje seier noko anna, kan du fritt velje framgangsmåte. Om oppgåva krev ein bestemt løysingsmetode, vil også ein alternativ metode kunne gi noko utteljing. Før inn nødvendig mellomrekning. Skriv forklaring der dette er påkravd, for å vise kva du har gjort. Ved opne oppgåveformuleringar bør du grunngi kvifor du har valt di tolking av oppgåva og ditt val av løysingsstrategi. Hugs å gi opp eventuelle kjelder. Grafar og bruk av grafisk lommereknar: Gi opp dei lommereknarfunksjonane du har brukt. Det er ikkje nødvendig å gi opp alle tastetrykka. Hugs å skrive målestokk og einingar på aksane når du teiknar grafar i svaret. Du treng ikkje føre inn tabell over utrekna funksjonsverdiar dersom det ikkje er spurt spesielt etter det i oppgåva. Ved grafisk løysing på lommereknar er det tilstrekkeleg at du skisserer forma på kurva i svaret. På skissa skal svaret markerast tydeleg. Eksamen AA6516 Matematikk MX privatist Side av 11

42 Rettleiing om vurderinga: Karakteren blir fastsett etter ei heilskapleg vurdering. Det betyr at sensor vurderer i kva grad du viser grunnleggjande ferdigheiter kan bruke hjelpemiddel gjennomfører logiske resonnement ser samanhengar i faget, er oppfinnsam og kan anvende fagkunnskap i nye situasjonar vurderer om svar er rimelege forklarer framgangsmåtar og grunngir svar skriv oversiktleg og er nøyaktig med utrekningar, nemningar, tabellar og grafiske framstillingar. Eksamen AA6516 Matematikk MX privatist Side 3 av 11

43 OPPGÅVE 1 I heile oppgåve 1 skal du for kvart delspørsmål velje mellom alternativ I og alternativ II. Du skal berre rekne eitt av alternativa, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor utteljing som alternativ I. a) Løys likninga ved rekning: Anten I ln x + ln x = 6 eller II 3x x = 0 b) Løys likninga ved rekning: Anten I sin 0,3 x = x 0,360 eller II (tan ) 4 tan 3 0 x x + = x 0,360 c) Deriver funksjonen: Anten I eller II f( x) = 3x 4x g(x) =5e x x d) Deriver funksjonen: Anten I ( ) h x eller II k ( x) = 3lnx x + 1 = ln x e) Bestem integralet ved rekning. Tolk svaret grafisk. Anten I ( x + x ) 1 1 1dx x x eller II ( ) 1 e e dx f) Anten I I trekanten ABC er AB = 3,, AC =, 6 og A = 9,5. 1) Finn arealet av trekanten. ) Finn lengda av BC. eller II Sidene i ei trekanta tomt er 47 m, 4 m og 63 m. Bestem arealet av tomta. Eksamen AA6516 Matematikk MX privatist Side 4 av 11

44 OPPGÅVE Produksjonen av eple målt i kilogram i eit større område er gitt ved funksjonen ( ) ( ) 3 f x = x 5 x x 0,5 der x er talet på dagar frå produksjonen startar. a) Bruk kjerneregelen, og vis at f x = 5 x 5 4x. Bruk den deriverte, og avgjer når produksjonen er størst. b) Når minkar produksjonen raskast? ( ) ( ) ( ) c) Teikn grafen til f. Marker svara i a) og b) på grafen. 5 ( ) d) Bestem f x dx. Kva fortel svaret oss? 0 OPPGÅVE 3 Figuren viser ein halvsirkel med radius r og sentrum plassert i origo i eit koordinatsystem. P og Q er skjeringspunkta mellom x-aksen og sirkelperiferien. Vi lar R vere eit vilkårleg punkt på sirkelperiferien. a) Forklar at koordinatane til Q er ( r, 0), og finn koordinatane til punktet P. Forklar at RO = r. b) Forklar at vi kan skrive RP = RO + OP og RQ = RO OP c) Bruk resultata frå a) og b), og vis at RP RQ. d) Forklar kva resultatet i c) betyr geometrisk. Eksamen AA6516 Matematikk MX privatist Side 5 av 11