Heldagsprøve 3MX - Onsdag

Transkript

1 m HD V Oppgave 1 Heldagsprøve MX - Onsdag.. Løsningsskisse 1) cos 1 k l 6 k 6 l L,, 7, ) cos sin 1 sin sin sin 1 sin 1 sin 1.61 k.61 l.61 m.61 n L.61,. b) 1) cos sin d sin ) I 1 d cos 1 1 Substitusjon: u du d du d d u du 1 1 u du 1 lnu C 1 ln C I 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln ln 1 ln ln ln ln ln c) 1) f cos 1 ) f t cos t cos t sin t 6sint cos t f d) 1) Geometrisk rekke med a 1 sin og k cos Konvergens fordi 1 k 1(1cos 1 for alle verdier av i definisjonsmengden.) ) Sum: S a 1 sin 1k 1cos sin Som gir ligningen: 1 1cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 11 cos 1 cos cos cos 1 cos cos 1 (utenfor definisjonsmengden) cos 1 cos 1 k l L ) Ser på sin 1cos 1cos 1cos 1 cos 1cos 1cos 1cos Dette går mot når går mot. Kunne faktisk løst ) enklere med 1 cos 1 cos 1 direkte. Oppgave f 1cos sin cos sin f sin 1sin cos sin cos c) Graf: Y1Xcos(X). Angi også Window av hd_m_v_ls.te

2 m HD V b) Ser av grafen at topp-punktet er mellom. og 1etsted. f cos sin Greiest å bruke Solver i lommeregner: Ycos(X)-Xsin(X) CATALOG,solve(Y,X,.7,{.,1}) som gir: a.86 Ser av grafen at vendepunktet er mellom og etsted. f sin cos Greiest å bruke Solver i lommeregner: Y-sin(X)-Xcos(X) CATALOG,solve(Y,X,.,{,}) som gir: b.9 (Sntaks: solve(funksjon som skal være, variabel, gjetting, intervall det skal søkes i).) Alternativ: Grafe f og f, og finne nullpunktene grafisk. d) Areal cosd fnint(xcos(x),x,,/).71 Har man tid kan man bruke delvis integrasjon med u cos og v : cosd sin sin d sin cos C sin cos C Areal sin cos sin cos sin cos Oppgave Normalvektor til planet er lik retningsvektor for linjen: n r 1,1, 1 OP OA t r,, 1 t1,1,1 Altså vektorfremstilling:,,z,, 1 t1,1,1 og parameterfremstilling: t t z 1 t b) Skjæringspunkt,,z både på linje og plan: t t 1 t 1 t t Vektor fra origo til skjæringspunkt:,, 1 1,1, 1 1, 1, 8 c) Vanlig lærebokmetode: (som faktisk ikke står i m boken, men som er nevnt i m-boken...) Avstanden er lengden av en vektor som går fra et punkt på linjen C,,z til B,,6 og står normalt på linjen: Skalarprodukt:,,6 z1,1,1 Da,,z er på linjen kan vi sette inn fra parameterfremstillingen: t, t,6 1 t1,1, 1 t,t,7 t1,1,1 t t 7 t t t Vi finner C,,1 8, 17, 1 CB 8 17,,6 1, 17, 19 1,17,19 Avstanden blir: CB En annen variant: av hd_m_v_ls.te

3 m HD V AB,,7 og AB 7 7 C på linjen n slik at CB n.(abc danner da en rettvinklet trekant.) Da er AC projeksjonen av AB på linjen: ABcos der er vinkelen mellom AB og AC. AC AB r,,71,1,1 r Finner da CB med Pthagoras: AC AB AC Oppgave f7. 8 sin [timer] b) f ma [timer] Dette skjer når sin k 1. k k6., altså på dag c) Likevektslinje: l 1.1 Periode gitt av:.17 T 6. T.17 d) f.8cos cos e) f 66.1cos [timer/dag] Dagens lengde avtar med.1 timer pr. døgn på dag nr. 66. (eller:.1 6.8[min/dag].8 6. [sek/dag] ) Oppgave X 1 PX p Lages enklest ved å legge inn på lommeregner: Y1 ^X*e ^(-)/X! (eller Y1poissonpdf(,X) ) seq(x,x,,1)sto L1 seq(y1,x,,1) STO L Tabellen ligger da i STAT,EDIT... b) PX.1 c) PX 1 PX d) Forventning: EX p 1 p Varians: VarX p 1 p Utregning tar vi med lommeregner: 1-Var Stats L1,L gir: og: e) Enkleste her er å regne på det motsatte; sannsnligheten for at han ikke får haik Pikke haik Pingen bil passereren bil passerer og stopper ikketo biler passerer og stopper ikke... p p11 p p1 p p1 p...p11 p 1 1 p1 p 1 p.9 Regnes enklest ut med: Y.9^X seq(y,x,,1) STO L Pikke haik 1 p.9 sum(l*l).8187 av hd_m_v_ls.te

4 m HD V Phaik 1 Pikke haik Oppgave 6 f A 1. 1d b) V f d d d Oppgave 7 r t cost t sin t,sint t cost ( cost,sint t sin t,t cost, en slags Arkimedes-spiral lagt utenpå en sirkel.) X 1T cos(t)tsin(t) X T sin(t)-tcos(t) Window bør også angis, spesielt: T min ogt ma Få tdelig frem at kurven ikke stopper på negativ -akse! b) -akse: sin t t cost Vi ser både fra graf og ved innsetting at t gir, 1, altså punktet 1,. Det andre punktet på -aksen lar seg ikke løse eksakt, så gå f.eks. tilbake til vanlige rektangulære koordinater, legg inn Y1sin(X)-Xcos(X) og finn nullpunkter grafisk med CALC,:zero. Vi får da X.99, altså for t.9. Dette gir: cos.9.9sin.9,sin.9.9cos.9.6, Altså er det andre punktet.6, c) Tangentvektoren er: r t sin t sin t t cost,cost cost t sin t t cost,tsin t tcost,sint Parallell med -akse når -komponenten til r t er : tcost t cost t t t Obs: t ikke aktuelt, da dette bare gir -vektoren, av hd_m_v_ls.te

5 m HD V t gir: cos t sin,sin gir: cos,1,altsåp,1 cos sin,sin cos,1 altså Q,1 d) l r t dt r t tcos t sin t t som gir: l tdt t av hd_m_v_ls.te