Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger"

Transkript

1 Oppgaver: Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger Oppgaver fra kapitlet Lærebok: ,7.--7, 7.-, 7., 7., 7.7 Oppgavesamling: 7.00, 7.0, 7.09, 7., 7.9, 7., 7.0, 7.0, Stokastisk variabel: Verdi av gevinst: X Som er i utfallsrommet 0,0,00,00,00 Sannsynlighetsmodell: p() PX 00 p PX 0 PX PX 0 PX 00 X 00 X 00 p00 p00 p og 7.0: 9 EX p VarX 9.9 p som kan forenkles til: p 9.9 (Se side 78!) Utregningene gjør vi med lommeregner: {0,0,00,00,00} STOL {9/000,/0,/00,/00} STO L og -Var Stats L,L gir: 9.9 (EX ) 7. (VarX 7. 07) 7.0: Pris pr. lodd: 0 kroner Overskudd ved kjøp av et lodd: Y X 0 a) y p() EY ypy av 0 fordelinger.te

2 VarX 0. p som kan forenkles til: p 0. (Se side 78!) b) EY EX 0 EX VarY VarX 0 VarX 07 7.: Z X a) Oppgaven mener vel X og ikke Y her... Kan bruke modellen over, bare bytte ut X : 0,0,00,00,00 med Z : 0,00,00,00,00 og gjøre det samme som i 7.0 og 7.0 om igjen. Men, det er for mye arbeid, når man isteden kan gjøre: b) EZ EX EX VarZ VarX VarX VarX 08 c) Husk at prisen pr. lodd er 0 kroner (oppgave 7.0) Da får vi en ny stokastisk variabel: Forventet gevinst ved kjøp av ett lodd: Z 0 med forventning EZ 0 EZ Dette betyr at loddkjøpere i gjennomsnitt vil tape 0 øre pr. lodd. Selger de alle loddene vil de derfor tjene: X: Antall AP-velgere i utvalg på n 0. Utfallsrom (definisjonsmengde): 0,,,...,0 Y: Antall SV-velgere i utvalg på n 0. Utfallsrom som X X og Y: Binomiske, da: Enkelteksperiment(delforsøk) (n ) med to utfall AP eller ikke AP Uavhengige. (Egentlig ikke, men "stor" by, så binomisk god tilnærming til hypergeometrisk fordeling.) Observerer antall suksesser. (suksessap) Fordelinger: PX b n p p n 0 PY y b y y n y p y p ny 0 y (binompdf(0,0.,) y (binompdf(0,0.,y) 0 a) PX b binompdf(0,0.,) c) PY b y binompdf(0,0.,) 0.87 Ekstra eksempel: Sannsynligheten for at vi vi får mellom og AP-velgere: PX,, PX X X PX PX PX (disjunkte!) binompdf(0,0.,)binompdf(0,0.,)binompdf(0,0.,) av 0 fordelinger.te

3 Hvis det er mange ledd, kan man bruke den andre funksjonen på DISTR,A:binomcdf( (ccumulativsum) binomcdf(0,0.,) regner ut alle sannsynlighetene opp til og med (0,,,,,) og binomcdf(0,0.,) regner ut alle sannsynlighetene opp til og med (0,,), så dermed får vi differansen (,,) som: binomcdf(0,0.,)-binomcdf(0,0.,) : EX np (binomisk) 0 0. (Antall AP-velgere man vil få i gjennomsnitt med gjentatte utvalg) VarX np p VarX.. Hvis fordelingen ikke hadde vært binomisk, kunne man regnet det ut manuelt: (Gjør dette bare for å illustrere hvordan man bruker lommeregneren) b() Denne tabellen (sannsynlighetsmodellen) kan man legge i L og L: binomdf(0,0.) STOL (binompdf med bare n 0 og p 0. genererer en liste med alle sannsynlighetene!) EX 0 0 b Lommeregner: Enten sum(l*l) eller STAT,CALC,-Var Stats L,L som gir: (gjennomsnitt/forventning) (standardavvik) AP: X,p 0.. SV: Y,q 0. Z: X Y Obs: n 00, ikke 0 i denne oppfølgingsoppgaven. EX np VarX np p EY nq VarY nq q EZ EX Y EX EY (Kan alltid brukes.) VarZ VarX Y VarX VarY Kan ikke brukes, da X og Y er avhengige av hverandre! av 0 fordelinger.te

4 Ser at Z er binomisk fordelt med p z Altså: VarZ np z p z (VarZ VarX Y VarX VarY gir 9 0 som altså er feil fordi X og Y er avhengige av hverandre.) 7.- Antall : X 0,, binomisk med n,p altså b b0 b 8 b I tabelll: 0 b() (binompdf(,/) gir {0.9,0.78,0.078} Sum øyne: Y,,,,,7,8,9,0,, Denne må settes sammen av et annet eksperiment, som er uniformt. (alle utfall like sannsynlige) Tenker oss at terningene er ordnet, f.eks. en rød og en blå terning. Da blir utfallsrommet U,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Her kan vi få på en måte (,), på to måter ((,) og (,)), på tre måter ((,), (,),(,)) o.s.v. Altså: y py 7.: EX np VarX np p ( VarX 0.7) 8 8 EY ypy (Ikke uventet, fordelingen er jo helt symmetrisk...) Vary y y 7 py som kan forenkles til: y y py 7 (Se side 78!) Men, dette gjøres selvfølgelig enklere ved å legge modellen i L og L og bruke -Var Stats, {,,,,,7,8,9,0,,} STOL og {,,,,,,,,,,}/ STOL som gir: 7... av 0 fordelinger.te

5 .98 som gir VarY Pengestykker: X 0,,, binomisk b Terning: Y,,,,,, uniformt uy Prisen kunden må betale: Z X 00Y EX np VarX np p EY yuy VarY y. uy Tar Y med lommeregner: {,,,,,} STO L og {,,,,,}/ STO L og -Var Stats L,L gir: som gir VarY (egentlig EZ E X 00Y EX 00EY VarZ Var X 00Y 000 VarX 00 VarY EZ 0 er hva kundene i gjennomsnitt må betale for en sykkel, hvis mange kunder er med på dette salget. 7. Fra 7. og har vi: EX VarX 8 EY 7 VarY Z X 00Y EZ E X 00Y Setningen VaraX by c a VarX b VarY gjelder bare hvis X og Y er uavhengige! 7.7 X binomisk med n 00 deleksperiment der P 0. (mark eller ikke). Antar at antallet vi plukker ut de 00 eplene fra er så stort at vi kan tilnærme hypergeometrisk fordeling med binomisk fordeling. b binompdf(00,0.,) a) EX np VarX np p VarX b) ) PX b binompdf(00,0.,)0.08 ) P X P.77 X.77 P0 X 0 binomcdf(9)-binomcdf(0)0. ) P X P.77 X.77 P X binomcdf()-binomcdf()0.9 av 0 fordelinger.te

6 Dette illustrerer noe som er vanlig ved symmetriske, klokkeformede fordelinger uten lange haler: Ca. / av fordelingen ligger mellom forventningenett standardavvik. Ca. 9% av fordelingen ligger mellom forventningento standardavvik. Dette gjelder for såkalte normalfordelinger. (Neste kapittel) Men det gjelder også for mange andre fordelinger som er tilnærmet lik en normalfordeling, som f.eks. binomiske fordelinger der n er rimelig stor og p ikke er altfor liten eller altfor stor a) Da alle p måp b) PX p p7 p c) Feil i oppgave. Skulle antagelig stått: "... eller flere drops i en pose...mindre enn..." (Slik det står blir sannsynligheten null! Kan ikke skje!) Anvender: PA B PAB PB PX X PX PX Binomiske delforsøk, enten rette eller galt, n, uavhengighet. U 0,,,...,, Kari: X, suksess-sannsynlighet p k 0., b k binompdf(,0.,) Jonas: Y, suksess-sannsynlighet p j 0., b j y y 0. y 0. y binompdf(,0.,) a) EX np k 0..0 VarX np k p k EY np y 0. 9 VarY np j p j y.. 90 b) Legger i lommeregner: {0,,,,,,,7,8,9,0,,,,,} STO L binompdf(,0.) STO L binompdf(,0.) STO L STATPLOT : Type histogram,xlist:l, Ylist L og STATPLOT : Type histogram, Xlist: L, Ylist L gir da histogrammene. Har ikke histogram i denne tekstbehandleren, så jeg bruker punkter isteden: y Altså like, men forskjøvet i forhold til hverandre. av 0 fordelinger.te

7 7.09 Antall X fiskersomersmittetietutvalgpån 0 med suksess-sannsynlighet p 0.. Binomisk fordelt: b) PX b a) EX np 0 0. VarX np p c) ) PX 0 b binomcdf(0,0.,) 0.87 ) PX PX ) P X b binomcdf(0,0.,)-binomcdf(0,0.,) 0.97 d) binompdf(0,0.) STO L Kan da se på listen med STAT,EDIT: {0.,0.70,0.8,...,E-0} e) V er fordelt binomisk med b v n n PV PV binomcdf(n,0.,) Prøver binomcdf(n,0.,) med forskjellige n til vi finner en passende verdi: n 0 : 0. (allerede regnet ut) n 0 : 0.70 n 0 : 0. n : 0. n : 0.9 n : Skål: N 00, A 0, N A 0 Utvalg: n 0, X antall nøtter av type A a) Hypergeometrisk fordeling: h A N n NA n Kan tilnærme (se siste halvdel av oppgaven) med binomisk fordeling da n 0 er relativt liten i forhold til N 00. Da har vi b binompdf(0,0.,) b) og e) Hypergeometrisk er dessverre ikke med i fordelingene på lommeregneren på DISTR. (geometpdf er noe annet!) Så, det greieste er å legge inn som funksjon: Y(0 ncr X)*(0 ncr (0-X))/(00 ncr 0) Da kan vi regne ut sannsynligheter med Y(0), Y() o.s.v. og generere hele tabellen med: seq(y,x,0,0) STO L og {0,,,,,,,7,8,9,0} STO L Binomisk: binompdf(0,0.) STO L Vi får da tabellene i fasiten. c) og f) Hypergeometrisk: -Var stats L,L gir: 7 av 0 fordelinger.te

8 EX VarX. Finnes en formel her også, som er en modifikasjon av formlene for binomisk (se oppgave 7.0!) EX n A N VarX Nn n A A n N N Leddet Nn sier en del om hvor god tilnærmingen er, den bør ikke være så langt unna. n Legg merke til at p A Nn gir np p altså helt likt binomisk bortsett fra det første leddet! N n Binomisk: EX np 0 0. np p d) og f) STATPLOT med hypergeometrisk med L og L, og binomisk med L og L gir omtrent dette: y La oss først se på utfallene av farver i ordnet rekkefølge (før vi går løs på kronene): Lurt å sette opp et tre-diagram! Ser at vi får et tre med 8 muligheter. (Minus fordi vi ikke kan trekke gule!) U S,SS,H,S,G,H,S,H,H,H,G,G,S,G,H Sannsynlighetsmodellen blir: utfall S,S S,H S,G H,S H,H H,G G,S G,H sannsynlighet Da blir sannsynlighetsmodellen for X : X SS.SH,HS HH.SG,GS HG,GH px Bør sjekke at summen av alle blir! EX p VarX EX p p EX Legg {,.,,.,} i L og {,,,,}/ i L og bruk -Var Stats. Ikke noe poeng å regne ut eksakte brøker manuelt. d) som a), b) og c) med litt andre tall for sannsynlighetene. Gidder ikke ta dette. 8 av 0 fordelinger.te

9 7. a) Fordi summen av alle sannsynlighetene er. b) Se fasit. Dette er den såkalte kumulative (akkumulerte/summerte) fordelingen, altså 0 p c) PX PX d) EX p VarX. p p (Kan legge fordelingen i L og L og bruke -Var Stats.) VarX e) f) Fordelingen blir: Y py Utfallsrommet er definisjonsmengden for Y, altså {00,0,00,00} g) Somid) Bruker lommeregner med {00,0,00,00} i L og {0.,0.,0.,0.} i L. -Var Stats L,L gir: EY. VarY 70. VarY Tolkning av forventning til Y: Når Ole har solgt mange krukker, vil gjennomsnittlig inntekt for hver solgte krukke bli ca Hypergeometrisk tilfelle: N 0,K, M N K n Antall kvinner i utvalget: X er altså fordelt: PX h Lommeregner: Y( ncr X)( ncr (-X))/(0 ncr ) Kan legge inn fordelingene i lister: {0,,,} i L og seq(y,x,0,) i L a) Fordelingen blir da: h0 h o.s.v. X 0 PX 0 0 b) Tar forventningen også for treningens skyld: EX h Finnes også en ferdig-formel, omtrent som i binomisk: EX n p n K N 0 VarX EX h h EX K N n NK n 0 9 av 0 fordelinger.te

10 Ferdig-formel: VarX Nn n K K som tilsvarer binomisk formel: N N N korreksjonsledd n p p VarX PX p a Utfallsrom:,, a a) p gir: a a a a 9 9 b) Dette gir sannsynlighetsmodellen: X p c) EX p. 9 SDX 0. Tok med {,,} i L og {,9,}/9 i L og -Var Stats. d) Se fasit, bare å bytte ut med Y X 7.0 (Se også 7.07 og 7.08!) Antall mennesker i kø: X er fordelt PX p! e Utfallsrom: 0,,,,... Dette er den såkalte Poissonfordelingen med parameter k. (Se 7.08) Denne brukes ofte i beregning av antall folk i køer og antall feil i produksjonen. Et interessant poeng er at EX VarX k! Tolkningen av k er gjennomsnittlig antall personer i køen. a) PX p! e 0. b) PX p! e 0. c) Lommeregner: Y ^X*e ^(-)/! {0,,,,...,0} i L og (Y,X,0,0) i L d) EX p VarX EX p.7 Fant med -Var Stats L,L Vi ser at EX VarX k! Dette er også poenget i 7.07 og av 0 fordelinger.te

Fagdag 5-3MX. Kommentarer

Fagdag 5-3MX. Kommentarer Fagdag 5-3MX Kommentarer 4 - Ogaver I) En sesiell sannsynlighetsfordeling. 7-10, 30, 40 (Samme roblemstilling følges o gjennom 3 ogaver) 7.10-30-40-50-51 (50 og 51 bruker formler fra 7.5 side 272) Stokastisk

Detaljer

Oppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252

Oppgaver fra 8.3, 8.4, , 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 Oppgaver fra 8.3, 8.4, 8.5 8.41, 8.51, 8.52, 8.231, 8.232, 8.250, 8.252 8.41 Populasjon: Tilfeldig variabel X : Trekke en tilfeldig flaske og måle volumet Ukjent sannsynlighetsfordeling, men forventning

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel.

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Det er i flere av oppgavene flere fremgangsmåter. Om din måte var riktig burde komme frem i rettingen. A Både X og Y tilfredsstiller

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15 HG April 0 Løsningskisse seminaroppgaver uke 5 Oppg. 5.6 La X = antall barn i utvalget som har lærevansker. Andel barn med lærevansker i populasjonen av barn antas å være p = 0,5. Utvalgsstørrelsen er

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Løsningsskisse eksamen 3MX

Løsningsskisse eksamen 3MX Løsningsskisse eksamen 3MX.6.6 Ikke sjekket, kan være feil. a) f 5tan 5 sincos 5 cos cos Eller: f 5tan 5tan 5 tan 5tan 5 (Produktregel) b) g u 3, u cos g 3u sin 3 cos sin (Kjerneregel. Kan multipliseres

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20). Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.

ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser. ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C

, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x sinx uv u v uv gir: f x x sinx x cosx x sinx x cosx ) gx sinx sinxcosx sinx, x k cosx cosx g x cosx (x k) (Kan også bruke u v u vuv, men det blir svært tungvindt

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Forelesning 3. april, 2017

Forelesning 3. april, 2017 Forelesning 3. april, 2017 APPENDIX TIL KAP. 6 Sentralgrenseteoremet AVSNITT 6.3 Anvendelser av sentralgrenseteoremet Histogrammer S-kurver Q-Q-plot Diverse eksempler MGF for følger av uavhengige identisk

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik. Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kapittel 5 i læreboka. Husk: f(x) er punktsannsynligheten til en diskret X dersom: 1. f(x) 0 2. x f(x) =1 3. f(x) =P (X = x) Vi skal nå sepå situasjoner der

Detaljer

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. 1 ECON130: EKSAMEN 014 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variason i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i >. Oppgave 1 Fra en eldre

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Noen viktige sannsynlighetsmodeller

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Noen viktige sannsynlighetsmodeller ÅMA0 Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) Hpergeometrisk modell

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN

Høgskoleni østfold EKSAMEN et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen

Detaljer

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler

Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Kap. 5.2: Utvalgsfordelinger for antall og andeler Binære data (1/0, Ja/Nei, Suksess/Feil) Utvalgsundersøkelser: Ja/Nei-spørsmål Tilstedeværelse av arter: Tilstede/Ikke-tilstede (1/0) Overlevelse etter

Detaljer

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) = Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger.

Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Diskrete sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kapittel 5 i læreboka. Husk: f() er punktsannsynligheten til en diskret X dersom: 1. f() 0 2. f() =1 3. f() =P (X = ) Vi skal nå sepå situasjoner der vi har

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) HG April 010 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 14 (6.-9. april) Innledende merknad. De fleste oppgavene denne uka er øvelser i bruk av den viktige regel 5.0, som er sentral i dette kurset,

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

S2 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1

S2 - Eksamen V Løsningsskisser. Del 1 Litt foreløpige, si ifra hvis dere finner feil! Oppgave 1 S - Eksamen V10-6.06.10 Løsningsskisser Del 1 1) Produktregel: f x x lnx x 1 x x lnx x x lnx 1 ) Kjerneregel: f x 3e x 3e u, u x f x 3e u x 6xe

Detaljer

TMA4240 Statistikk. Øving nummer 7. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4240 Statistikk. Øving nummer 7. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave Blandet drops a) Tippekupong På en tippekupong er det gitt 2 fotballkamper.

Detaljer

Hypergeometrisk modell

Hypergeometrisk modell Hpergeometrisk modell Tilnærming til binomisk fordeling - enklere å beregne binomiske sannsnligheter Dersom n er liten i forhold til N, er det tilnærmet uavhengighet mellom resultatene i ulike trekninger/

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1

ÅMA 110 (TE 199) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2005, s. 1. Oppgave 1 ÅMA 0 (TE 99) Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 005, s. Oppgave a) P (X 0) 0.04 + 0.04 + 0.06 + 0.06 + 0. + 0. + 0. 0.6 P (0 X 40) 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.06 0.0 P

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON2130 Statistikk 1 Dato for utlevering: Mandag 22. mars 2010 Dato for innlevering: Fredag 9. april 2010 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ved siden av SV-info-senter

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 5: Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.4 Geometrisk og negativ binomisk fordeling 5.5 Poisson-prosess og -fordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag,

Detaljer

Binomisk sannsynlighetsfunksjon

Binomisk sannsynlighetsfunksjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige

Detaljer

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler

STK1000 Uke 36, Studentene forventes å lese Ch 1.4 ( ) i læreboka (MMC). Tetthetskurver. Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler STK1000 Uke 36, 2016. Studentene forventes å lese Ch 1.4 (+ 3.1-3.3 + 3.5) i læreboka (MMC). Tetthetskurver Eksempel: Drivstofforbruk hos 32 biler Fra histogram til tetthetskurver Anta at vi har kontinuerlige

Detaljer

Et lite notat om og rundt normalfordelingen.

Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Et lite notat om og rundt normalfordelingen. Anta at vi har kontinuerlige data. Hva er likt og ulikt for histogrammer og fordelingskurver? Observasjoner Histogram Viser fordelingen av faktiske observerte

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

Regneøvelse 22/5, 2017

Regneøvelse 22/5, 2017 Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling

Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars) HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert

Detaljer

5.2 Diskret uniform fordeling. Midtveiseksamen (forts.) Kapittel 5. Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger. TMA4245 V2007: Eirik Mo

5.2 Diskret uniform fordeling. Midtveiseksamen (forts.) Kapittel 5. Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger. TMA4245 V2007: Eirik Mo Histogram of x 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 3 4 5 6 3 Midtveiseksamen oppg. 1a eksamen 06.08.2004 Kapittel 5 Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Høsten 2004 ble det i TMA4240 bli innført

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger. (utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007

Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger. (utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007 Kapittel 5 Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 5.2 Diskret uniform fordeling Diskret uniform fordeling: Hvis den stokastiske variabelen X antar verdiene x 1, x 2,..., x k

Detaljer

Heldagsprøve 3MX - Onsdag

Heldagsprøve 3MX - Onsdag m HD V Oppgave 1 Heldagsprøve MX - Onsdag.. Løsningsskisse 1) cos 1 k l 6 k 6 l L,, 7, 11 6 6 6 6 ) cos sin 1 sin sin sin 1 sin 1 sin 1.61 k.61 l.61 m.61 n L.61,. b) 1) cos sin d sin ) I 1 d cos 1 1 Substitusjon:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k Hogskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 5. jan 2015 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metodekurs I: Grunnleggende matematikk og statistikk (Statistikk, ny og utsatt eksamen)

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 5, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 X og Y er uavhengige Poisson-fordelte stokastiske variable, X p(x;5 og Y p(y;1.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B

Løsning på Dårlige egg med bruk av Tabell 2 i Appendix B Situasjonen er som i quiz-eksempelet: n = 4, p = 1/3 ( suksess betyr å gjette riktig alternativ), q = 2/3. Oppgave: Finn P(x), x=0,1,2,3,4 fra den generelle formelen for binomisk sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Foreleses onsdag 8. september 2010

Foreleses onsdag 8. september 2010 TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30 Dato for utlevering: 7.03.04 Dato for innlevering: 07.04.04 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ekspedisjonen, etasje innen kl 5:00 Øvrig informasjon: Denne

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1. La x være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst

Detaljer