Fasit, Eksamen. INF3440/4440 Signalbehandling 9. desember c 0 + c 1z 1 + c 2z 2. G(z) = 1/d 0 + d 1z 1 + d 2z 2

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Fasit, Eksamen. INF3440/4440 Signalbehandling 9. desember c 0 + c 1z 1 + c 2z 2. G(z) = 1/d 0 + d 1z 1 + d 2z 2"

Anne Mortensen
7 år siden
Visninger:

1 Fasit, Eksamen INF/ Signalbehandling 9. desember Oppgave : Strukturer To systemfunksjoner, G(z) og H(z), er gitt som følger: G(z) = c + c z + c z /d + d z + d z og H(z) = /d + dz + d z c + c z + c z. Figur viser forskjellige filterstrukturer. For filterstruktur -, avgjør om strukturen Struktur : Struktur : Struktur : Figur : Filterstrukturer implementerer filteret beskrevet av systemfunksjon G(z), H(z) eller eventuelt et annet filter. (/ poeng for hvert riktig svar.) Alle strukturene implementerer filteret gitt av G(z). Dato på fasit: 9. edsember

2 Kommentar: Struktur er Direkte form I struktur for filterer G(z). Ved rekning kan dette vises ved a kalle signalet ut av første del av strukuren (mellom de to + -ene i øvre grein) for w(n). Da gjelder: w[n] = c x[n] + c x[n ] + c x[n ] y[n] = d {w[n] d y[n] d y[n ]} = d y[n] + d y[n] + d y[n ] = c x[n] + c x[n ] + c x[n ], som er differanselikningen til systemet G(z). Struktur er Direkte form II struktur for struktur. Struktur er Transponert direkte form II struktur for struktur. Oppgave : Systemer Likning S til S 7 beskriver 7 systemer. Figur viser frekvensresponser, pol-nullpunkts plott og fase plott. Avgjør hvilke systemer som hører til de frekvensresponsene, hvike systemer som hører til de pol-nullpunkts plottene og hvilke systemer som hører til de to fase plottene. (. poeng for hvert riktig svar.) S : y[n] =.77y[n ] + x[n] + x[n ] S : y[n] =.77y[n ] +.77x[n] x[n ] S : H(z) = z +.77z S : H(z) = + z + z + z + z + z S : H(z) = z S : y[n] = 7X x[n k] k= S 7 : y[n] = x[n] x[n ] + x[n ] x[n ] + x[n ] x[n ] Systemene forholder seg til figurene på følgende måter: Frek.responser Pol-nullpkt. plott Fase plott A S I S a S B S II S 7 b S C S III S D S IV S E S 7 F S

3 Frekvens respons, A Frekvens respons, B Frekvens respons, C.. Frekvens respons, E.. Pol nullpunkts plott, I.... Frekvens respons, D.. 8 Pol nullpunkts plott, II Frekvens respons, F.. θ(w) Fase respons, a... Pol nullpunkts plott, III.. Pol nullpunkts plott, IV.. Fase respons, b.... θ(w) Figur : Plott av frekvensresponser, pol-nullpunkts plott og fase plott

4 Oppgave : Ymse a) z-transformen har shift egenskap (time shifting). Bruk denne egenskapen til å vise at z-transformen til konvolusjonen y[n] = x[n] h[n] er lik produktet av z- transformen til x[n] og h[n], dvs Y (z) = X(z)H(z), der X(z) er z-transformen til x[n] og H(z) er z-transformen til h[n]. p. b) Anta at en diskret-tid sekvens x[n] er båndbegrenset slik at y[n] er dannet ved å sample x[n] ved at X(w) =.π < w < π. y[n] = x(nn), hvor N er et heltall. Finn den største verdien N kan ha som sikrer at x[n] kan bli unikt rekonstruert fra y[n]. Skisser og forklar. p. a) y[n] = x[n] h[n] = Y [z] = (bytte rekefølge) = (shift-egenskap) = { y[n]z n = x[k]{ = X(z)H(z) x[k]z k }{ x[k]h[n k] { h[n k]z n } h[n]z n } x[k]h[n k]}z n b) Den største verdien N kan ha er. Hvis x[n] skal kunne bli unikt rekonstruert fra y[n], må ikke N velges så stor at folding forekommer. Velges N lik, får y[n] en båndbredde som er det dobbelte av båndbredden til signalet x[n] uten at folding forekommer. Ved N =, -dobles båndbredden til y[n] i forhold til x[n], fortsatt uten at folding forekommer. Dette er illustrert i figuren under. Økes N ut over vil folding forekomme, og den relative frekvensfordelingen til y[n] vil endres i forhold til frekvensfordelingen til x[n]. x[n] vil da ikke kunne bli unikt rekonstruert. q.e.d.

5 X(w) w [π] Y(w) N= w [π] Y(w) N= w [π] Illustrasjon av frekvensinnhold for x[n] og y[n]. Oppgave : Filter design I denne oppgaven skal du designe et enkelt reelt diskret filter som slipper igjennom frekvensen w = π/ uten demping og stopper frekvensen w = π/. a) Hvilke krav gir dette til filterets frekvensrespons, H(w). p. b) Bestem filterets systemfunksjon, H(z). p. c) Hva blir filterets impulsrespons, h(n). p. a) Krav til H(w): H(π/) = og H(π/) =. b) Fra krav i a) samt krav om at filteret skal være reelt, må filteret ha minst symmetriske null-punkter, og for disse må følgende gjelde: z, : (z, ± e jπ/ ) =. H(z) kan derfor velges på følgende form: Fra H(π/) = fås H(z) = A (z + z )(z z ) z = A z + z = A( + z ). H(π/) = H(z) z=e jπ/ = A( + e jπ/ ) = A( i), og H(π/) = A () = = A = /. = H(z) = / ( + z ), ROC: hele x-planet untatt z = c) Fra avlesning fra H(z): h[n] = (/,, / ).

6 Oppgave : Følger av pol-nullpunkts plassering Fire kausale filtre navngitt A, B, C og D beskrives av pol-nullpunkts diagram gitt i figur. Besvar de følgende spørsmålene relatert til de fire filtrene: A B C D Figur : Fire pol-nullpunktsdiagram a) Hvilket filter er et båndstopp filter?. p. b) Hvilket filter er ikke stabilt?. p. c) Hvilket filter har endelig impulsrespons?. p. d) Hvilket filter har lineær fase?. p. e) Hvilket filter er et allpassfilter?. p. a) D b) C c) D d) D e) B

Like dokumenter

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF/ Signalbehandling Eksamensdag: 9. desember Tid for eksamen:. 7. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: