Forelesning uke 38 Poler og stabilitet

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "Forelesning uke 38 Poler og stabilitet"

Aleksander Lorentzen
7 år siden
Visninger:

1 Forlning uk 38 Polr og abili Forlning uk 38 Polr og abili... Tranin analy bar å olr og nullunk... 0-unk... 3 Sabili... 5 Ekmlogav: Srømmn i n C rikr I... 8 Invr laalac ranformajon... AC-ron og bodlo... 8 Dibl d og logarimr... 8 AC-ron... 9 odlo hva r d? Førordn P-filr om kml... 0 Finnr før ovrføringfunkjonn... inær lo av lngdn il H vir hva H vil gjør md ignal... Finn odlo for lngdn ilovrføringfunkjonn H... 3 Omrgn il d... 3 i kan håndr ymr md mang olr og 0-unk md bodlo vd grafik å ummr dm Fra imdandiagram il odlo... 6 ijon Ovrføringfunkjon Naurlig vk +/-a kr om kml Modllring av krr i -lan amrik inar og naurlig vk: -a Svingningr, kr kir md inu Svingning md linær vk: * inω

2 amrik ' u u u u ' u n n a u ' a u an! n Sammnliknr vi md rula av ramn r vi a d bar r minu gn om killr i kan drfor likh mllom ranformajon av n ram og minu dn drivr il ranformajonn av u kan gnralir for a n. g ' g d G d Tr vi mang funkjonr vil vi a d om gjald for u fakik ogå gjldr for n gnrll funkjon g Tranin analy bar å olr og nullunk Analy av n funkjon 0-unkr og olr r krafig vrkøy

3 Plaringn av <c di forllr a hvor filr llr n forrkr har knkkunk. b om ym r abil llr ikk c om ym vil ocillr, md hvilkn frkvn og hvor lng. 0-unk E urykk om y=ax+b vil allid kry x-akn / ha 0.unk, md unnak. Hvilk? y=ax^+bx+c kan ha flr 0 unk y j -rll -rl 0-rll, mn -komlk x i kan ogå vi d vd urgning y ax bx c 0 b r ørr nn 4ac x, x b b a 4ac Når b r lik 4ac Når b r mindr nn 4ac Hva da? 3

4 x, x x, x b b a b a 4ac b b 4ac. 4ac Sr j og rgnr vidr x, x b j 4ac b a b 4ac Polr H u inn Har 0-unk for =0 og En ol for =-/ 3D-Plan D-lan H jω σ H=0 90 jω 0-unk σ Når llr r 0 vil H = 0 Trngr ikk gn n 3D gning for å vi Når nvnr 0 vil H = D kan vi ikk gn i n 3D gning uan. 4

5 Plor drfor 0 og olr i dimnjonr. 0 unk r gri å kjnn il mn D r oln om virklig r inran. Sabili a b c Figur. Fir mulig hndlforlø når man rykkr nd n bil og lir a god dmr førr il n rolig ilbakvnding il ugangunk. b Dårlig ødmr førr il n dm vingning. c ingn dming førr il a biln hor o og nd il vig id. d Tilførr vi nrgi vd for kml å kjørr ovr n hum vi kan dårlig dmr før il kaarof. I -lan r vi l hvordan ym vil ofør g vd å lo oln. Sabil ymr Tnk å n bil md fjær, Sødmr og Ma, Pr biln nd og li ilvarr kiajonn. Tnk å n C kr om kir md n ul gg har olr i d ngaiv halvlan. 5

6 nr halvlan vh Sabil lan h=k -a a jω Høyr halvlan hh uabil lan -lan σ H k 3 Har ol å σ akn for =-3 Sabil halvlan jω h=k inω 0 -σ b ω 0 uabil halvlan b* -lan σ H k 3 j 3 j Har komlkkonjugr olr 3 j, Marginal abil ymr Ta bor all dming, frikjon og lufmoand iln marginal abil. Er rykk og li vill dn huk o og nd il vig id. 6

7 Har ilfør nrgi, lir ikk forbruk omdann il varm Tilfør nrgin vil for å gi g il kjnn om bvgl. Samm for C kr. Tar vi bor vil vi ikk lngr forbruk nrgi Får ym om vil for å ving md amm amliud il vig id. Marginal ymr har olr md σ =0. Sabil halvlan uabil halvlan h=k inω 0 jω c c* ω 0 -ω 0 -lan σ k H marginal abil ym md olr, j j j Uabil ymr Har olr i høyr halvlan σ >0. Kun mulig hvi vi ilførr nrgi. For biln, dy nd gjna gangr. Pumr da hl idn nrgi inn i ym. Hum vi hvor d r humn om uførr dyingn hvr gang biln r å vi o. Tilfør nrgi må vær ørr nn dn nrgin om forbruk 7

8 Tilfør nrgi må komm i fa md ym ronanfrkvn Poiiv ilbakkobling ugangn kobl ilbak il inngangn Økning å ugangn førr il n dy i rikig rning å inngangn. Enrgin a fra n rømforyning. Slår vi av rømmn vil all olr garanr klir ovr il d ngaiv halvlan og abilir ym. Sabil halvlan -lan ω 0 uabil halvlan jω h=k inω 0 +σ d -ω 0 d* σ k H uabil ym md olr, 3 j 3 j 3 j Ekmlogav: Srømmn i n C rikr I 8

9 v C bryr Ekiajon Ovrføringfunkjon g,g on Huk a admian var d invr av imdan og a grunnn il å bruk admian hr r a vi ønkr n nhlig bhandling av ovrføringfunkjonr. i ønkr allid å kunn kriv a ronn r lik roduk mllom kiajon og ovrføringfunkjon. x x Z C c Finn Imdann G Z c i kal nd inn Snning og få u røm. Må vær n admian funkjon. v Ekiajonn r gi av bari md bryr. Kan nå kriv 9

10 0 c I G I c I c I / / / Uvid md / i uvid md for å få bor fra ub-nvnr. i uvid md / for å få aln Gnrl urykk for i N kri blir nå å ufør dlbrøkoalingn. Mrk a følgnd uldning kun r gyldig når oln r forkjllig. C a ac b b c b a c N, 4, Fakoriring av nvnr

11 / c I Som gir A Dlbrøk oaling A A Dlbrøk oaling Uvid md å bgg idr og A S inn 0-unk 0 Gjnar for

12 I Sr inn for A og og finnr rømmn Invr laalac ranformajon k i lår o lddn i lalac bibliok D r n konan k i i finnr rømmn Har ym md flr olr. Kan ikk lo i lik l om for n kr md n rakan. Hvorfor ikk? Anall olr. Flr mulig løningr.

13 N c a b c Fra nvnr har vi b, b 4ac a C Sr nå inn komonnvrdin C ll løning, o olr, ovrdm ym C ll løning, n ol, kriik dm ym C Komlk løning, o komlk olr, undrdm, ocillrnd ym Dfinr ralldd alha om d allid bar r n av C og ba om d r o av, n oiiv og n ngaiv. kan vær komlk Kan nå urykk oln lik, 3

14 β β j -lan x x -α σ Ovrdm ym C Så lng vi har forhold To rll løningr lang σ- akn. S inn nullunkn rrnr vd α og β. inhx ax ax Huk dfinijonn av inu hyrboliku, i r før å fakorn i urykk for rømmn k Sr å konann k 4

15 5 inh k k k i Sr å x lddn Skillr konnr Trkkr u alha ldd Sjlr all fra k og ubiurr in hyrboliku Figur. Srømmn i n rikobling om bår av bari md bryr, moand, ol og kondnaor når vrdin av C r valg lik a vi får o rll olr. Kriik dm ym C Så lng vi har d blir β=0 To ammnfallndløningr å dn rll akn Sr å d ovrdm i

16 , Kan ikk inn da vi får 0 i nvnr 0 Dlbrøkoalingn forua ulik olr. Kan ikk bruk d ald rula. I hor ilbak il ar Sr inn oln r inn hr I Når oln r lik kan vi kriv / I i v. Slår o i bibliok Finnr rømmn i y= -α y=k kriik dm i 6

17 7 Figur 3. Srømmn i n rikobling om bår av bari md bryr, moand, ol og kondnaor når vrdin av C r valg lik a vi får n rll ol. k=v / Undrdm ym C Får ng vrdi undr rogn Gir komlk konjugr løningr., j 0 j j j j k β liggr nå å jω akn Dør om β il ω o in k k i j j Trkkr u alha og by u ba mo omga Sjlr j fra nvnr il k og brukr Eulr Huk a

18 0 C i Undrdm, ocillrnd Figur 4. Srømmn i n rikobling, om bår av bari md bryr, moand, ol og kondnaor, når vrdin av C r valg lik a vi får komlkkonjugr olar. AC-ron og bodlo Dibl d og logarimr d 0log P / Prf Dfinijon P = ffk mål i wa 8

19 P U I U U U Sr of fakorn 0 Ud U 0log U rf U 0log U rf 0log U / U rf i brukr f.k of inn om rf for å i no om forrkningn il ym. log 0, log y / x log y log x, krivr log når vi mnr log 0 gn rglr log x log x log x 0.5 log x AC-ron Hva r d? 9

20 f: PSic AC llr ranin analy Fora h r Traninron områd for raninr AC-ron Sajonær områd E kri ilbak fra H il Hjω dv σ=0 alac, finnr urykk H. Innholdr amliud og fa om funkjon av id og frkvn. S σ = 0 og fjrn n dimnjon fra H Da mar H il h innnfor d ajonær idromm. Mir raninn. Un idakn σ i -lan kan vi bar å ndringr i H om funkjon av vinkfrkvnn ω. Hvorfor? For ørr ammna ymr blir d of for idkrvnd om vi kal rgn u al mulig for all mulig ilfllr. i rngr narvir il innik i hvordan ymn oførr g. odlo hva r d? Førordn P-filr om 0

21 kml inn u bryr Ekiajon Ovrføringfunkjon h,h on Finnr før ovrføringfunkjonn inn inn I o Ic Xc / c Finn ovrføringfunkjonn u c Ic Zc inn c c inn c u inn H c N C C 0 C Poln r vikig krn har kun n rakiv komonn Drfor kun n ol. Finn oln vd å å 0- unk for nvnr Pol i ngaiv halvlan ll ool abil ym ingn ocillajon

22 . j AC-ronn: H 0 H j cj Fjrnr før σ-akn. jω M H j H j H * j cj cj c Finn lngdn il H Komlk konjugrr ngdn il H bmmr hva H vil gjør md amliudn il ignal. Hvi M=0.5 for n frkvn vil ugangn nningn bli halvr. inær lo av lngdn il H vir hva H vil gjør md ignal ngdn il Hω.5 Hω ω Figur 5. Plo av Mω om r lngdn il H for C=.

23 Finn odlo for lngdn ilovrføringfunkjonn H Plo lngdn dmω å logarimik frkvn ak. Mω d = 0 log Mω a C= hr linj fram il ω=. Fallr md n konan fallfakor. Hvorfor r d bdr nn linær lo?. Tydliggjør filr oførl. Sr abånd, Knkk frkvn og karh.. Knkkn kommr av krn ol. H går drfor mo undlig når =-/C=-. Knkk vd ω=/c. 3. Fallr md 0 d r dkad for hvr ol. 4. Sigr md 0 db r dkad for hvr 0-unk. Omrgn il d d M 0log c Urykk M i d d M 0log 0log c d M 0 d M 0log 0log c c 3

24 Md 0log Md 0log0 Md 0 C Sr før å C C 0 Innman i vldig lin. Kvadra nda mindr. Ingn dming Md 0 log C 0log 3.003d Sr å C C Md Md Md 0log 0log 0log C C C Tilvarr -3d Til lu r vi å C C C Fallr md 0 d Dfinr a 0 C 4

25 dmω - 0.ω ω= ω 0 logω Mω d Mω d ω = logω Figur 6. D r linjn vi gnr i odlo r ilnærmingr, mn for frkvnr undr 0. ω og ovr 0ω r avvik mllom virklig kurv og aymo kjldn av rakik bydning. i kan håndr ymr md mang olr og 0-unk md bodlo vd grafik å ummr dm. 5

26 dmω ω Ekml å ummring Fra imdandiagram il odlo ImZ Zjω θ Z Figur 7. korn z i xy- lan. Z X j Z M Z z z * 6

27 Z r n fla i romm σ 90 4 jω Figur 8. korn Z for n gi konan vrdi av σ. dzω 3d logω 0.ω ω= ω 0 0ω 7

Like dokumenter

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag EKSAMEN Løningforlag 8. juni Emnkod: ITD5 Dao: 6. mai Emn: Mamaikk Ekamnid:.. Hjlpmidlr: - To A-ark md valgfri innhold på bgg idr. - Formlhf. Faglærr: Chriian F Hid Kalkulaor r ikk illa. Ekamnoppgavn: