FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVEITETET I DE imsa E K M E N O P P V E : : M-9 Maemaikk LÆE: Pe enik ogsa Klasse: Dao:.. Eksamensi a-il: 9.. Eksamensoppgaen beså a ølgene nall sie: 6 inkl. osie elegg nall oppgae: nall elegg: Tillae hjelpemile e: Kalklao ogsa: omle M-9 agan: omle og abelle lenal: omelsamling i maemaikk omann: Maemaisk omelsamling Ikke illa å skie i omelsamlingene KNDIDTEN MÅ ELV KONTOLLEE T OPPVEETTET E ULLTENDI

2 M-9 Oinæ Eksamen øs Oppg n Poeng a b a b c e g h i a b a b m 5 Poengene ise ek-oelingen o e enkele el-spøsmålene. Ve kaakeseing eklegges selølgelig i illegg en oal-eing bl.a. en eing a i hilken ga kaniaen ha knnskape inneno e like omåene gi i oppgae-see. Besaelsen skal innehole mellomegninge. Kalklao skal ikke benes i beegningene kn il eenell konoll a egne sa. LYKKE TIL!

3 . En paikkel beege langs ølgene ke C i omme paameeen e ien: [ 6 ] [ ] a Besem hasighesekoen som nksjon a. b Besem enhesangenekoen i pnke... Vi ha gi ølgene paaboloie: C e skjæingsken mellom en gie paaboloien og plane. Viee ha i gi ølgene ekoel: [ ] a Tegn en skisse a paaboloien. b Besem e hjelp a inegalegning olme a e legeme T som e agense a paaboloielaen og plane. c Besem iegens og cl il e gie ekoele. Besem keinegale C langs ken C ieke en bk a okes eoem. Ken C gjennomløpes i ening mo klokka se oena neoe langs -aksen. e Besem e samme keinegale C som i men enne gang e hjelp a okes eoem. Besem lksen a ekoele gi e -eko a e lkkee legeme T. g Besem lksen a ekoele gi e -eko a sielaen i paaboloien. h Vi innøe nå e plan. Lag en n ig og egn paaboloien sammen me ee plane. Vis a ken C gi i oppgae n e skjæingsken mellom paaboloielaen og ee plane. i Besem aeale a en elen a plane gi i h som ligge inneno paaboloien s aeale a en elen a plane som e agense a ken C.

4 . Vi ha gi ølgene paielle ieenialligning: a Besem en geneelle løsningen a en gie ieenialligningen. b Besem en løsningen a en gie ieenialligningen som opplle ølgene o illeggsbeingelse:

5 . I obinelse me sbsisjon i obbelinegale ha i ølgene elasjon: h g ho inegale il ense o likhesegne gå oe e omåe mens inegale il høe o likhesegne gå oe e omåe. acobi-eeminanen og ens inese e gi e: a Vis a e en lineæ-ansomasjon: c b a ho a b c og e konsane så e sammenhengen mellom aealene og il omåene og gi e: b Bk eslae i a il å besemme aeale a omåe agense a ølgene ee linje is il ense i ig.: ig. I ig. e omåe is il ense sammen me ligningene o e ee linjene. I mien a igen e is ansomasjonen og som nksjon a og som e bene. Til høe e is e ansomee omåe.

6 Velegg: n e e e e en niålae il som en lae enhesnomaleko il e en niålae il som en lae nomaleko il ' h ' h h ' h ' ' ln ± ± ±

7 Løsning:. a asighesekoen e lik en eiee mh a posisjonsekoen. [ ] [ ] [ ] 6 b Enhesangenekoen e lik hasighesekoen el på lengen a hasighesekoen. [ ] [ ] [ ] [ ] sae il T T

8 . a kisse a paaboloien: b Volm a paaboloien: [ ] [ ] V V D T c Diegens og cl il ekoele [] Diegens il e ekoel epesene e -eko e neolks p ininiesimale olmenhe og e lik skalapoke mellom el-opeao og -eko. [ ] i Cl il e ekoel epesene e -eko e siklasjon p ininiesimale aealenhe og e lik ksspoke mellom el-opeao og -eko. [ ] [ ] [ ] k j i cl

9 9 Ken C e eo en sikel me senm på -aksen i høe og ais. En paameeiseing a C e eo gi e ølgene: [ ] Deiasjon mh gi: [ ] Vekoele e gi e: ea å i: [ ] [ ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ ] Keinegale e nå gi e: 9 8 C e Ke-inegale i c beegne ha okes eoem: Velge opplaen som ha ken C som an. s Ts n C C s C [ ] [ ] 9 lksen Φ a paaboloien T bene ass eoem: Φ n T V T 8 V V 8 T

10 g lks Φ a opplaen : Φ [ ] [ ] smmeignne s n lks Φ a sielaen il paaboloien: Φ Φ Φ Φ Φ Φ 8 8 h Tegning a paaboloien og plane : Beis o a ken C e skjæingsken mellom paaboloien og plane : Pojeksjonen a skjæingsken ne i -plane e gi e: Pojeksjonen a skjæingsken ne i -plane e eo en sikel me senm i - og ais. Paameeiseingen a skjæingsken e eo gi e bene a høen a ken e gi e - : [ ] [ 6 ] Denne ken e eo ienisk me ken C i oppgae n hilke ise a ken C i oppgae n e skjæingsken mellom paaboloien og plane -

11 Elle: [ 6 ] [ ] paaboloie ke min ma ea ølge a ken C ligge på paaboloiesielaen. plan 6 ke ea ølge a ken C ligge i plane. ien paaboloiesielaen og plane ikke e sammenallene ølge a ken C e skjæingsken mellom paaboloiesielaen og plane -. Elle: Pojeksjonen a skjæingsken ne i -plane e gi e: i eale a en elen a laen som e inneno paaboloiesielaen: Vi lage oss øs en skalanksjon som ha laen som niålae. Vi enge gaienen il enne skalanksjonen ens lenge og skalapoke me enhesnomaleko på pojeksjonen a laen ne i -plane. Pojeksjonen a omåe ne i -plane e en sikel me senm i - og ais se paameeiseingen a ken C. p k p [ ] 5 [ ] [ ] 5 p 5 5 5

12 . a Den geneelle løsningen a en gie ieenialligningen: b Løsningen som opplle e gie illeggsbeingelsene:

13 . a h g ho en inese acobi-eeminanen e gi e: konsan bc a c b a c b a Den inese acobi-eeminanen e alså konsan ien også acobi-eeminanen a må æe konsan gjele ølgene: h g h g eal-besemmelse å i e å see. ea: b eale a en elen a laen som ligge inneno paaboloien: bc a c b a c b a c b a