Styring av romfartøy STE6122

Transkript

1 Syring av romfarøy STE6122 3HU -. 1LFNODVVRQ Høgskolen i Narvik Høs 2000 Forelesningsnoa 8 1

2 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,, Nødvendig med nøyakig syring og/eller regulering av orienering i en rekke anvendelser, f.eks.: Ved banemanøvere og jusering av baner, slik a A9 får rikig rening. For å holde roasjonaksen i en spinnsabiliser saeli i rikig rening i romme. 2

3 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,,, For jordpekende saellier (kommunikasjonssaelier), må Eulervinklene holdes lik null relaiv banereferansesyseme, slik a anenner peker i rikig rening. Ved jordovervåkning må en følge gi mål på jordoverflaen ved å endre orienering av insrumener og saelli. Ved vienskapelige målinger skal insrumener rees inn mo objeker i romme. 3

4 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,,,, Skal se på egenskaper som er felles for sysemer som skal syre orienering. Skiller mellom passive og akive syresysemer. Passiv regulering er arakiv fordi maskinvaren som engs er relaiv billig og ukompliser. Benyer fysiske egenskaper for å sabilisere orienering (graviasjonskrefer). Oppnåelig nøyakighe er dårligere ved passiv regulering relaiv bruk av lang dyrere akive syresysemer. Skiller også mellom sysemer som skal kunne uføre endringer i orienering og de som bare skal sabilisere en gi orienering (f.eks. peking mo jorden). 4

5 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ,,9 I e syresysem inngår insrumener for å besemme orieneringen, f.eks. jordsensorer, sol- og sjernesensorer, gyroer (Appendiks B). Kan enen måle orieneringen direke, eller esimere den ufra målinger. Har også maskinvare (mikroprosessorer) som beregner sørrelsen av pådragene ufra ønske orienering (referanse) og mål orienering. Ufra beregne pådrag påføres saellien e momen vha. momenhjul, momengyroer, hrusere, magnespoler, ec. Den delen av dynamikken il en saelien som beskriver orieneringen besår av 3 andreordens ulineære differensialligninger. Kan designe regulaorer vha. ulineær reguleringseori (f.eks. feedback linearizaion, backsepping, passiviy-based design, Lyapunov-analyse, ec. Benyer ofe lineariseringer av ligningene og lineær reguleringseori. 5

6 6W\ULQJ RJ UHJXOHULQJ DY RULHQWHULQJ, 9 Kan f.eks. linearisere ligningene ved å ana a Eulervinklene er små. Kan forenkle si a prosessen som skal reguleres er av andre orden med o inegraorer mellom pådrag og måling. Benyer svær ofe PID-regulaor: G 7 &,L =. 3,L ÂHUÃ +. ',L ÂHUÃ +. GW,,L XÂHUÃGW, L = 1,2,3 I praksis er prosessen mere kompliser enn re dekoblede andreordens sysemer, se (4.8.14). Blan anne er de krysskoblinger mellom ligningene (mulivariabel sysem), ulineære effeker kan gjøre seg gjeldende, legemene er ikke sive (vibrasjoner), skvalping av drivsoff gir eksra dynamikk, ec. 'HW HU HQ PHJHW RPIDWWHQGH RSSJDYH n GHVLJQH HW VW\UHV\VWHP IRU RULHQWHULQJHQ DY HQ VDWHOOLWW, VOLN DW WRWDOV\VWHPHW InU GHQ Q GYHQGLJH \WHOVH RJ UREXVWKHW. 6

7 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU,, Ser førs på sabilisering hel og holden vha. graviasjonskrefer. Følger a i (4.8.14) er nå 7 F[ = 7 F\ = 7 F] = K Z[ = K Z\ = K Z] = 0 Har dermed følgende ligninger: 7 G[ =, [ d6 + 4g 2 0 Â, \?, ] Ãd? g 0 Â, [ +, ]?, \ Ãf% 7 G] =, ] f6 + g 0 2 Â, \?, [ Ãf + g 0 Â, ] +, ]?, \ Ãd% 7 G\ =, \ S 6 + 3g 0 2 Â, [?, ] ÃS Kun forsyrrelser og iniialbeingelser som gir opphav il dynamikk i Eulervinklene. Seer a \ = Â, [?, ] Ã/, \, a [ = Â, \?, ] Ã/, [, a \ = Â, \?, ] Ã/, ] Merk a a [ = Â, \?, ] Ã, [ = X Â[2 +]2 ÃGP?XÂ[2 +\2 ÃGP Tilsvarende for a \ og a ]. XÂ\ 2 +] 2 ÃGP < 1 7

8 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU,,, Ser førs på sabilie om den legemefase < % -aksen: Laplace-ransformasjon av 7 G\ =, \ S 6 + 3g 2 0 Â, [?, ] ÃS gir den karakerisiske ligningen V 2 + 3g 2 0 Â, [?, ] Ã/, \ = 0 Beingelsen for sabilie blir, [ >, ]. De er ingen dempning i syseme (oscillaor), slik a for 7 G\ 0vilS oscillere med en ampliude proporsjonal med 7 G\ og S. Ligningen er dekoble fra de andre o ligningene. 8

9 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU,,,, Skal se på sabilie om ; % og = % -aksen: Har ligningene 7 G[, [ =, [ d6 + 4g 0 2 a [ d? g 0 Â1? a [ Ãf% 7 G], ] =, ] f6 + g 0 2 a ] f + g 0 Â1? a ] Ãd% Ved Laplace-ransformasjon finnes karakerisisk ligning som V 4 + g 2 0 Ä3a [ + a [ a ] + 1ÅV 2 + 4g 2 0 a [ a ] = 0 Løsning mhp. V 2 gir V 2 =?Â3a [+a [ a ] +1Ã Â3a [ +a [ a ] +1Ã 2?16a [ a ] g2 0 2 Dersom V 1 er en ro, vil også?v 1 være en ro. For sabilie må realdelen være negaiv. Enese mulighe er a V 1 er imaginær, dvs. V 1 2 < 0, og a delen under roegne er posiiv. 9

10 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU,,9 Beingelser for sabilie: 3a [ + a [ a ] + 1 > 4 a [ a ] a [ a ] > 0 3a [ + a [ a ] + 1 > 0 I illegg har vi den førse beingelsen, [ >, ] sam sammenhengen, \ <, ] +, [. Beingelsene kan fremsilles i a [? a ] plane, se Fig Muliplikasjon av begge sider i, \ <, ] +, [ med (, [?, ] )og, [ >, ] gir, 2 [?, 2 ] >, [, \?, \, ] eller, ] Â, \?, ] Ã =, ], \?, 2 ] >, [, \?, 2 [ =, [ Â, \?, [ Ã Gir a [ = Â, \?, ] Ã/, [ > Â, \?, [ Ã/, ] = a ], eller a [ > a ] 10

11 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU, 9, Tolkning av resulaene i a [? a ] plane: a [ > a ] ilsvarer regionen under linjen a [ = a ] i Fig a [ a ] > 0 ekskluderer regionene II og IV. Sår igjen med den delen av region I og III som ligger under linjen a [ = a ]. I region III er de en eksra beingelse gi av 3a [ + a [ a ] + 1 > 4 a [ a ] Kvadrering av begge sider gir a [ Â9 + a 2 ] + 6a ] Ã + a [ Â6? 14a ] Ã + 1 > 0 11

12 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU, 9,, Tolkning av resulaer, fors. Har a [ < 1og a ] < 1, så en må se på løsninger av ulikheen på grensen a [ =?1, a ] =?1ogpåa [ -aksen, hvor a ] = 0. Resula: Âa [,a ] Ã = Â?1/3, 0Ã, Âa [,a ] Ã = Â?0.0505,?1Ã, Âa [, a ] Ã = Â?1,?0.202Ã Funksjonen er vis i Fig Regionen under funksjonen ilsvarer usabilie. Resen av område B i region III gir sabilie, men er sjelden benye pga. srukurelle vanskeligheer (vanskelig å lage romfarøy med gie krav, se senere). Område A i region I er vanligvis benye ved design av saellier. 12

13 6WDELOLVHULQJ YKD. JUDYLWDVMRQVNUHIWHU,,,; Tolkning av resulaer, fors. Skal oversee beingelser for a [ og a ] il beingelser for reghesmomener i område A. Har allerede, [ >, ] og, \ <, [ +, ]. Følger a, \ >, [ >, ]. Dee er beingelser som gir sabilie av graviasjonsbaser regulering av orienering., \ <, [ +, ] er vanskelig å ilfredssille., [?, ] må være sørs mulig for å underrykke innvirkningen av forsyrrelser om < %?aksen (se s ). La, [ = 100 kgm 2,, ] = 10 kgm 2. Får da 110 >, \ > 100, som er vanskelig å ilfredsilles ufra konsruksjonshensyn. I region III har vi beingelsen, [ >, ] >, \. I område B har vi også beingelsen, [ <, \ +, ]. 13

14 7LGVSODQDQDO\VH,, Dersom linearisere ligninger benyes (5.3.1) kan en uføre idsplananalyse ved å benye Laplace-ransformasjonen. Ser førs på roasjon om < %?aksen. Respons avhenger av iniialbeingelser og forsyrrelse: 7 SÂVÃ = G\ + VSÂ0Ã+S% Â0Ã (5.3.15) V 2 +3g 2 0 a \, \ VÂV 2 +3g 0 2 a \ Ã 14

15 7LGVSODQDQDO\VH,,, Skal sudere responsen for forskjellige verdier av a \ (som er avhengig av, [ og, ] ). Tilfelle A: Når, [ <, ] er a \ negaiv, og en av røene i (5.3.15) er negaiv. Løsningen er usabil og SÂWÃ ÜK når W K. Tilfelle B: Når, [ =, ] er a \ = 0, og responsen blir SÂWÃ = SÂ0Ã + S % Â0ÃW + 7 G\W 2 2, \ Tilfelle C: Når, [ >, ] er a \ posiiv, og responsen blir oscillaorisk 7 SÂWÃ = G\ Ä1? cosâg 3, \ g a \ 3a \ WÃÅ = &Ä1? cosâg 0 3a \ WÃÅ & = 7 G\ /3g 2 0 Â, [?, ] Ã 15

16 7LGVSODQDQDO\VH,,,, Tilfelle C, fors. : Responsen er harmonisk svingning om offse gi av &. Frekvens av oscillasjon besem av, [,, \ og, ] og omløpshasighe i banen, g 0. Ampliuden er avhengig av 7 G\ og invers avhengig av Â, [?, ] Ã. Kan kun begrense ampliude ved å endre passende reghesmomener. Responsen er udempe. Må alså innføre dempning for graviasjonsbaser regulering. 16

17 7LGVSODQDQDO\VH,,9 Ser på respons i ; %? < % -plane. Laplace-ransformerer (5.3.5): ÂV 2 + 4g 2 0 a [ Ãd? Vg 0 Â1? a [ Ãf = 7 G[, [ + Vd 0 + d% 0? g 0 Â1? a [ Ãf 0 ÂV 2 + g 0 2 a ] Ãf + Vg 0 Â1? a ] Ãd = Overfører il mariseform V 2 + 4g 2 0 a [?Vg 0 Â1? a [ Ã dâvã Vg 0 Â1? a ] Ã V 2 + g 2 0 a ] fâvã 7 G], ] + Vf 0 + f% 0 + g 0 Â1? a ] Ãd 0 = 7 G[, [ + Vd 0 + d% 0? g 0 Â1? a [ Ãf 0 7 G], ] + Vf 0 + f% 0 + g 0 Â1? a ] Ãd 0 17

18 7LGVSODQDQDO\VH, 9 Ved å inverere finnes løsningene: dâvã fâvã = 1 AÂVÃ V 2 + g 0 2 a ] Vg 0 Â1? a [ Ã?Vg 0 Â1? a ] Ã V 2 + 4g 0 2 a [ 7 G[, [ + Vd 0 + d% 0? g 0 Â1? a [ Ãf 0 7 G], ] + Vf 0 + f% 0 + g 0 Â1? a ] Ãd 0 Deerminanen gi av AÂVÃ = V 4 + V 2 g 2 0 Ä3a [ a [ a ] Å + 4g 4 0 a [ a ] Mulivariabel 2 ¼ 2-sysem. Deerminan av 4. orden, dvs. muligens kompliser generell løsning. Ser førs på noen enklere ilfeller. 18

19 7LGVSODQDQDO\VH, 9, Ser på de symmeriske ilfelle, dvs., [ =, \ : a ] = 0 og AÂVÃ = V 2 ÄV 2 + g 0 2 Â3a [ + 1ÃÅ Har o poler i origo, dvs. hel på sabiliesgrensen. Ser på V 2 + g 0 2 Â3a [ + 1Ã = 0 Må ha imaginære løsninger, dvs. 3a [ + 1 = 3Â, \?, ] Ã/, [ + 1 > 0 Beingelsen for sabilie blir, ], [ =, ], \ <

20 7LGVSODQDQDO\VH, 9,, De symmeriske ilfelle, fors.: Løsninger for konsane forsyrrelser: dâvã fâvã = 7 G[ ÂV 2 +g 2 0 a ] Ã, [ V 3 ÄV 2 +Â3a [ +1Ãg 2 0 Å?g 0 7 G[ Â1?a ] Ã, [ V 2 ÄV 2 +Â3a [ +1Ãg 2 0 Å G] Â1?a [ Ãg 0, ] V 2 ÄV 2 +Â3a [ +1Ãg 0 2 Å 7 G] ÂV 2 +4g 2 0 a ] Ã, ] V 3 ÄV 2 +Â3a [ +1Ãg 2 0 Å dâwã og fâwã er oscillaoriske og divergene..dq LNNH EHQ\WWH JUDYLWDVMRQVVWDELOLVHULQJ QnU, [ =, \! Ser nå på ilfelle, \ =, ], dvs. symmeri om bevegelsesaksen. Har nå a [ = 0 og AÂVÃ = V 2 ÄV 2 + g 2 0 Å. For konsane forsyrrelser vil dâwã og fâwã være oscillaoriske og divergene. 20

21 7LGVSODQDQDO\VH,,,; Vil nå undersøke de generelle ilfelle: Ser på Region I og III i a [? a ] -plane. Har a [ > 0, a ] > 0. Ingen dempning fordi de ikke er ledd av ypen JV,KV 3 i deerminanen. I område A gjelder, \ >, [ >, ], og i område B har en, [ >, ] >, \. Deerminanen besår av o oscillaoriske røer AÂVÃ = ÂV 2 + g 1 2 ÃÂV 2 + g 2 2 Ã = V 4 + Âg g 2 2 ÃV 2 + g 1 2 g

22 7LGVSODQDO\VH,,; De generelle ilfelle, fors.: For konsane forsyrrelser blir løsningene: dâvã fâvã = 7 G[ ÂV 2 +g 2 0 a ] Ã, [ VÂV 2 +g 2 1 ÃÂV 2 +g 2 2 Ã?g 0 7 G[ Â1?a ] Ã, [ ÂV 2 +g 2 1 ÃÂV 2 +g 2 2 Ã + 7 G] Â1?a [ Ãg 0, ] ÂV 2 +g 1 2 ÃÂV 2 +g 2 2 Ã + 7 G]ÂV 2 +4g 0 2 a ] Ã, ] VÂV 2 +g 1 2 ÃÂV 2 +g 2 2 Ã Løsningen besår av o harmoniske ledd og en konsan bias. 22

23 7LGVSODQDQDO\VH, ; Eksempel 5.3.1: Konklusjonen i eksempele er a de er vanskelig å få ilsrekkelig underrykkelse av forsyrrelser om = %?aksen, dvs. 7 G],ved regulering av fâwã. For små S og d er dessuen momene om denne aksen som følge av graviasjonskrefene svær lie, og de er vanskelig å redusere innvirkningen av iniialbeingelsene fâ0ã og f% Â0Ã. For en jordpekende saelli (S,d u 0) er de svær vanskelig å få il god sabilisering uen bruk av akiv dempning. 23

24 7LGVSODQDQDO\VH:.RQNOXVMRQ Vikig å merke seg a bruk av graviasjonbaser sabilisering uen a de også innføres dempning, medfører oscillaorisk bevegelse når iniialbeingelsene er ulik null, eller de virker forsyrrelser på syseme. Forsyrrelser finnes allid! Må i praksis innføre e eller anne sysem for å dempe u svingninger. Vær oppmerksom på a denne analysen i idsplane bare holder for små forsyrrelser og iniialbeingelser, fordi analysen er baser på en linearisering av de ulineære bevegelsesligningene. De er kun analyse av de ulineære ligningene som kan gi e fullgod svar på sysemes egenskaper. Slik analyse er dessverre maemaisk kompliser! 24

25 3DVVLY GHPSQLQJ,, Graviasjonbaser regulering sabiliserer saellien i den forsand a de bare oppsår begrensede svingninger. For å få aksepable yelse må svingningen dempes u il e minimum. Kan innføre passive dempemekanismer som er forholdsvis billige. En ulempe er a iden de ar å dempe svingningene kan bli lang dersom de bare benyes passive dempere. 25

26 3DVVLY GHPSQLQJ,,, De finnes forskjellige yper dempere: x Dempere med punkmasse, fjær og sødemper. x Dempere moner på eksern bom. Monerer massen som gir øk reghesmomen på en fjær, med en væskedemper yers. x Bruk av magneisk hyserese. Sav av magneisk maeriale gir hysereseap pga. ineraksjon med jordas magnefel. x Monering av bom på leddmekanisme med demper. Kan gi dempning om o akser. x Demper med hjul. E hjul neddykke i en beholder med væske gir dempning om hjules roasjonsakse. 26

27 3DVVLY GHPSQLQJ,,,, Skal se på design av graviasjonsbaser reguleringssysem med hjuldemper. Må a med dynamikken av demperen:, \ S 6 + 3g 2 0 Â, [?, ] ÃS + g% Z, Z = 7 G\ g% Z, Z = 'ÂS %? g Z Ã = 'I Z ' - dempekoeffisien,, Z -reghesmomen av hjul, I Z -vinkelhasighe av hjul relaiv saelli. 27

28 3DVVLY GHPSQLQJ,,9 Skriver ligningene på mariseform: V 2 + 3g 2 0 a \?'V VÂ, Z /, \ Ã V, Z + ' SÂVÃ g Z ÂVÃ = 7 G\ /, \ + VSÂ0Ã + S % Â0Ã?'SÂ0Ã Den karakerisiske ligningen blir nå: AÂVÃ =, Z V 3 + 'Â, Z, \ + 1ÃV 2 + 3, Z g 0 2 a \ V + 3'g 0 2 a \ 28

29 3DVVLY GHPSQLQJ, 9 Løsningen for e sprang i forsyrrelsen 7 G\ blir SÂVÃ g Z ÂVÃ = 1 AÂVÃ V, Z + '?VÂ, Z /, \ Ã 'V V 2 + 3g 0 2 a \ Løsningen for SÂVÃ (pich), kan skrives som SÂVÃ = ÂV, Z+'ÃÄ7 G\ /Â, \ VÃ+VSÂ0Ã+S% Â0ÃÅ+VÂ, Z /, \ ÃSÂ0Ã AÂVÃ 7 G\ /Â, \ VÃ + VSÂ0Ã + S % Â0Ã?'SÂ0Ã For en konsan forsyrrelse får vi sasjonærverdien V7 S VV = lim G\ ÂV, Z +'Ã 7 V 0, \ = G\ VAÂVÃ 3g 0 2 Â, [?, ] Ã 29

30 3DVVLY GHPSQLQJ, 9, Den sasjonære verdien er omvend proporsjonal med Â, [?, ] Ã,og denne verdien må derfor økes, jfr. påsandene på s. 13. For gi maksimal forsyrrelse og g 0, kan en alså velge reghesmomenene slik a en aksepabel feil i S oppnås. Saellier bygges ofe av homogen disribuer maeriale, noe som innebærer a de re reghesmomenene er i samme sørrelsesorden, med en fakor i forskjell på 2-3. For å få ønsker differanse Â, [?, ] Ã må derfor, [ økes, slik a den blir mye sørre enn, ]. Økning av, [ nødvendiggjør bruk av graviasjonsbom. 30

31 'HVLJQ DY SDVVLY GHPSHU,, Den karakerisiske ligningen for syseme, AÂVÃ =, Z V 3 + 'Â, Z, \ + 1ÃV 2 + 3, Z g 0 2 a \ V + 3'g 0 2 a \ kan omskrives for bruk av URWNXUYHPHWRGHQ på formen 1 + ' 1,Z + 1,\ V 2 + 3g 0 2 a\ 1+,Z/,\ VÂV 2 +3g 0 2 a \ Ã = 1 + ' 1,Z + 1,\ VÂV 2 +V S 2 Ã ÂV 2 +V ] 2 Ã = 1 + /ÂVÃ V S = Mg 0 3a \, V ] = V S / 1 +, Z /, \ Har V S > V ] Forserkningen i følge rokurvemeoden, er. = 'Â1/, Z + 1/, \ Ã. Husk a rokurvemeoden ser på bevegelsen av røene il 1 +.KÂVÃ = 0når. varierer. Rokurvene sarer i polene il KÂVÃ for. = 0, og sluer i nullpunkene il KÂVÃ for. = K. 31

32 'HVLJQ DY SDVVLY GHPSHU,,, Syseme har o imaginære poler, o imaginære nullpunker, og en inegraor. Rokurvene er vis i Fig Selv for relaiv sor verdi av, Z i forhold il, \ (, Z = 1 kgm 2,, \ = 82 kgm 2 ) ligger de imaginære polene og nullpunkene nær hverandre for alle '. Dee beyr a maksimal oppnåelig dempningsfakor Y er lien uanse hvilken verdi ' har. D må velges slik a maksimal dempningsfakor oppnås for de gie, Z og, \., se Tabell For de gie reghesmomener er maksimal oppnåelig dempningsfakor Y u for ' = Dee beyr a de ar omren 70 omløp i en gi bane for å dempe en oscillaorisk bevegelse ned il 1/10 av iniiell verdi. 32

33 $NWLY GHPSQLQJ,, Vanskelig å oppnå skikkelig regulering av roasjon om = %?aksen pga. manglende graviasjonsgradien. Har prøvd avansere bom-mekanismer, men disse svare ikke il forvenningene. Mer logisk meode er anvendelsen av magneiske momenspoler. Ineraksjon med jordas magnefel gir nødvendige moemner for å movirke forsyrrelsen. La % være felvekoren fra jordas magnefel, og 0 den magneiske dipolvekoren som oppsår fordi de går srøm i magnespolene. 33

34 $NWLY GHPSQLQJ,,, Mekanisk momen er gi som: 7 = 0 ¼ % = L M N 0 [ 0 \ 0 ] % [ % \ % ] Ana a de ønskede momen er 7 F. Vekorproduke kan skrives som 7 F[ 7 F\ = 7 F] 0 % ]?% \?% ] 0 % [ % \?% [ 0 0 [ 0 \ = Ä% ¼Å0 0 ] Må finne 0 [, 0 \,og0 ] når 7 F er gi. Desverre er marisen Ä% ¼Å singulær slik a den inverse ikke eksiserer. 34

35 $NWLY GHPSQLQJ,,,, De er dessverre umulig å oppnå syring om alle re legemefase akser vha. den generere dipolvekoren i saellien. Den fysiske grunnen er a momene genereres som e kryssproduk av o vekorer, og følgelig kan de ikke eksisere momen om reningen av %. De er imidlerid mulig å oppnå regulering om o akser. Kan f.eks. ana a roasjon om < % sabiliseres av graviasjonsmomen, mens roasjoner om ; % og = % sabiliseres vha. magnespoler langs disse aksene. Dee gir 7 F[ =?% \ 0 ] Ñ 0 ] =?7 F[ /% \ 7 F] = % \ 0 [ Ñ 0 [ = 7 F] /% \ 35

36 $NWLY GHPSQLQJ,,9 Desverre kreves måling eller esimering av vinkelene d og f. Må også måle jordas magnefel. Kan esimere re Eulervinkeler vha. re-akse magneomeer. Dee er en relaiv billig løsning. E problem med regulering av bare o akser, er a de genereres e forsyrrende momen om < %?aksen 7 PE\ =?% ] 0 [ + % [ 0 ] Sasjonær gir dee 7 PE\ =?% ] 7 G] /% \ + % [ 7 G[ /% \ Må a hensyn il dee ved design av demper for < %?aksen. Dessverre er jordas magnefel harmonisk mhp. omløpsfrekvensen g 0, og de er vanskelig å dempe u denne harmoniske forsyrrelsen vha. passiv dempning. Skal se på alernaiv løsning. 36

37 $NWLY GHPSQLQJ, 9 På ross av de skissere vanskeligheer er de mulig å oppnå dempning om alle re akser med magnespoler, ved å benye de som kalles SULQFLSOH RI SHUSHQGLFXODULW\. Probleme er a marisen Ä% ¼Å ikke har noen invers. Mulipliserer (vekorkryssproduk) ligningen 7 = 0 ¼ % med %, slik a % ¼ 7 F = % ¼ Â0 ¼ %à = Â% 6 %Ã0? Â% 6 0Ã% Ana a 0 allid er vinkelre på %. Dersom dee er ilfelle, har en % 6 0 =,og 0 = Â% ¼ 7Ã/% 2 37

38 $NWLY GHPSQLQJ, 9, Anagelsen om a % 6 0 = er ikke hel eksak, og reguleringsraegien må uprøves nøye med simuleringer, og for forskjellige forsyrrelser. Jordas magnefel endrer seg ganske mye for forskjellige baneinklinasjoner, og dee må as hensyn il ved regulaordesign. Med magneiske dempning kan nøyakigheer i sørrelseorden 2 R? 10 R oppnås. Med passiv dempning er oppnåelige nøyakighe 10 R? 30 R. Uen dempning er oppnåelig nøyakighe emmelig dårlig. Regulering vha. magneisk dempning er kun mulig i relaiv lave baner. 38